全国高中数学竞赛二试模拟训练题(82)
高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)

高中数学竞赛试题(模拟)一、选择题:(本大题共10个小题;每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的)1.已知函数f(x)是R 上的奇函数,g(x)是R 上的偶函数,若129)()(2++=-x x x g x f ,则=+)()(x g x f ( )A .1292-+-x x B .1292-+x xC .1292+--x xD . 1292+-x x2.有四个函数:① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y=x x cos sin ⋅ ④ xxy cos sin = 其中在)2,0(π上为单调增函数的是 ( )A .①B .②C .①和③D .②和④3.方程x xx x x x ππ)1(12122-+=-+-的解集为A(其中π为无理数,π=3.141…,x 为实数),则A 中所有元素的平方和等于 ( ) A .0 B .1C .2D .44.已知点P(x,y)满足)(4)sin 4()cos 4(22R y x ∈=-+-θθθ,则点P(x,y)所在区域的面积为 A .36π B .32π C .20π D .16π ( )5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次要把10个球装完),要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数,这样的装法种数为 ( ) A .9 B .12 C .15 D .186.已知数列{n a }为等差数列,且S 5=28,S 10=36,则S 15等于 ( ) A .80B .40C .24D .-487.已知曲线C :x x y 22--=与直线0:=-+m y x l 有两个交点,则m 的取值范围是 ( )A .)2,12(--B .)12,2(--C .)12,0[-D .)12,0(-8.过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1的截面面积为S ,S max 和S min 分别为S 的最大值和最小值,则minmaxS S 的值为 ( ) A .23 B .26 C .332 D .362 9.设7log ,1sin ,82.035.0===z y x ,则x 、y 、z 的大小关系为 ( )A .x<y<zB .y<z<xC .z<x<yD . z<y<x10.如果一元二次方程09)3(222=+---b x a x 中,a 、b 分别是投掷骰子所得的数字,则该二次方程有两个正根的概率P= ( )A .181 B .91 C .61 D .1813 二、填空题(本大题共4个小题,每小题8分,共32分)11.设P 是椭圆191622=+y x 上异于长轴端点的任意一点,F 1、F 2分别是其左、右焦点,O 为中心,则=+⋅221||||||OP PF PF ___________.12.已知△ABC 中,==,,试用、的向量运算式子表示△ABC 的面积,即S △ABC = ____________________.13.从3名男生和n 名女生中,任选3人参加比赛,已知3人中至少有1名女生的概率为3534,则n=__________.14.有10名乒乓球选手进行单循环赛,比赛结果显示,没有和局,且任意5人中既有1人胜其余4人,又有1人负其余4人,则恰好胜了两场的人数为____________个.三、解答题(本大题共5个小题,15-17题每小题12分,18题、19题每小题16分,共68分) 15.对于函数f(x),若f(x)=x,则称x 为f(x)的“不动点”,若x x f f =))((,则称x 为f(x)的“稳定点”,函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ,即x x f x A ==)(|{}})]([|{x x f f x B ==.(1). 求证:A ⊆B(2).若),(1)(2R x R a ax x f ∈∈-=,且φ≠=B A ,求实数a 的取值范围.16.某制衣车间有A 、B 、C 、D 共4个组,各组每天生产上衣或裤子的能力如下表,现在上衣及裤子要配套生产(一件上衣及一条裤子为一套),问在7天内,这4个组最多能生产多少套?17.设数列}{n a 满足条件:2,121==a a ,且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证:对于任何正整数n ,都有 nnn n a a 111+≥+18.在周长为定值的△ABC 中,已知|AB|=6,且当顶点C 位于定点P 时,cosC 有最小值为257. (1).建立适当的坐标系,求顶点C 的轨迹方程.(2).过点A 作直线与(1)中的曲线交于M 、N 两点,求||||BN BM ⋅的最小值的集合.19.已知三棱锥O-ABC 的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直,P 是底面△ABC 内的任一点,OP 与三侧面所成的角分别为α、β、γ. 求证:33arcsin32≤++<γβαπ参考答案一、选择题: ADCBC CCCBA 二、填空题:11. 25 12.13. 4 14. 1 三、解答题:15.证明(1).若A=φ,则A ⊆B 显然成立;若A ≠φ,设t ∈A ,则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t ∈B,从而 A ⊆B. 解 (2):A 中元素是方程f(x)=x 即x ax =-12的实根.由 A ≠φ,知 a=0 或 ⎩⎨⎧≥+=∆≠0410a a 即 41-≥aB 中元素是方程 x ax a =--1)1(22 即 0122243=-+--a x x a x a 的实根 由A ⊆B ,知上方程左边含有一个因式12--x ax ,即方程可化为 0)1)(1(222=+-+--a ax x a x ax因此,要A=B ,即要方程 0122=+-+a ax x a ① 要么没有实根,要么实根是方程 012=--x ax ② 的根. 若①没有实根,则0)1(4222<--=∆a a a ,由此解得 43<a 若①有实根且①的实根是②的实根,则由②有 a ax x a +=22,代入①有 2ax+1=0.由此解得 a x 21-=,再代入②得,012141=-+a a 由此解得 43=a . 故 a 的取值范围是 ]43,41[-16.解:A 、B 、C 、D 四个组每天生产上衣与裤子的数量比分别是:76,117,129,108,且11712910876>>> ① 只能让每天生产上衣效率最高的组做上衣,生产裤子效率最高的组做裤子,才能使做的套数最多.由①知D 组做上衣效率最高,C 组做裤子效率最高,于是,设A 组做x 天上衣,其余(7-x)天做裤子;B 组做y 天上衣,其余(7-y)天做裤子;D 组做7天上衣,C 组做7天裤子.则四个组7天共生产上衣 6×7+8x+9y (件);生产裤子11×7+10(7-x)+12(7-y) (条)依题意,有 42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y),即 769x y -=. 令 μ= 42+8x+9y=42+8x+9(769x -)=123+x 72 因为 0≤x ≤7,所以,当x=7时,此时y=3, μ取得最大值,即μmax =125.因此,安排A 、D 组都做7天上衣,C 组做7天裤子,B 组做3天上衣,4天裤子,这样做的套数最多,为125套.17.证明:令 10=a ,则有 11-++=k k k a a a ,且 ),2,1(1111 =+=+-+k a aa a k k k k 于是 ∑∑=+-=++=nk k k nk k k a aa a n 11111由算术-几何平均值不等式,可得nn n a a a a a a 132211+⋅⋅⋅≥ +n n n a aa a a a 113120+-⋅⋅⋅ 注意到 110==a a ,可知nn n nn a a a 11111+++≥,即 nnn n a a 111+≥+18.解:(1) 以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系,设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值,所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆,所以焦距 2c=|AB|=6.因为 1||||182||||236||||2|)||(|||||26||||cos 22222--=--+=-+=CB CA a CB CA CB CA CB CA CB CA CB CA C又 22)22(||||a a CB CA =≤⋅,所以 2181cos a C -≥,由题意得 25,25718122==-a a. 此时,|PA|=|PB|,P 点坐标为 P(0,±4).所以C 点的轨迹方程为)0(1162522≠=+y y x (2) 不妨设A 点坐标为A(-3,0),M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).当直线MN 的倾斜角不为900时,设其方程为y=k(x+3) 代入椭圆方程化简,得 0)1169(83)16251(2222=-+++k x k x k 显然有 △≥0, 所以 222122212516400225,2516150k k x x k k x x +-=+-=+而由椭圆第二定义可得25165311442553125251614453125251614481251645025259)(325)535)(535(||||22222222212121+-⋅+=+-+=+-+++=++-=--=⋅k k kk k k k k x x x x x x BN BM只要考虑251653114422+-k k 的最小值,即考虑2516531144251612++-k 取最小值,显然. 当k=0时,||||⋅取最小值16.当直线MN 的倾斜角为900时,x 1=x 2=-3,得 16)534(||||2>=⋅BN BM 但)0(1162522≠=+y y x ,故0≠k ,这样的M 、N 不存在,即||||⋅的最小值的集合为空集.19.证明:由 题意可得 1sin sin sin 222=++γβα,且α、β、 )2,0(πγ∈所以 )cos()cos()2cos 2(cos 21sin sin 1sin 222γβγβγβγβα-+=+=--= 因为 )cos()cos(γβγβ+>-,所以 )](2[sin )(cos sin 222γβπγβα+-=+>当2πγβ≥+时,2πγβα>++.当2πγβ<+时,)(2γβπα+->,同样有 2πγβα>++故 2πγβα>++另一方面,不妨设 γβα≥≥,则 33sin ,33sin ≤≥γα 令 βγα2211sin )33(1sin ,33sin --==, 则 1sin sin sin12212=++γβα)cos()cos()cos()cos(sin 11112γαγαγαγαβ-+=-+=因为 γαγα-≤-11,所以 )cos()cos(11γαγα-≥- 所以 )cos()cos(11γαγα+≥+ 所以 11γαγα+≤+如果运用调整法,只要α、β、γ不全相等,总可通过调整,使111γβα++增大. 所以,当α=β=γ=33arcsin时,α+β+γ取最大值 333arcsin . 综上可知,33arcsin32≤++<γβαπ。
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全国高中数学竞赛模拟试题一、选择题(每题 6 分共 36 分)1. 由 0,1,2,3,4,5六个数字能组成数字不重复且百位数字不是5 的偶数有 [ ] 个A.360B.252C.720D.2402. 已知数列 { a n }(n ≥ 1) 满足 a n 2 = a n 1 - a n ,且 a 2 =1, 若数列的前2020 项之和为 2020,则前2020 项的和等于 [ ] A.2020B.2020C.2020D.20203. 有一个四棱锥,底面是一个等腰梯形,并且腰长和较短的底长都是1,有一个底角是 60 0,又侧棱与底面所成的角都是450 ,则这个棱锥的体积是[ ]A.1B. 3C.3 D.3424. 若 ( 2x 4)2 naa x ax2a+则 a 2 a 4 a 2 n 被 3 除的余数2 2 n x 2n (n ∈ N ),0 1是 [ ] A.0 B.1C.2D.不能确定5. 已知 x, y(2, 2 ) ,且 xy 1 ,则24 的最小值是[ ]2422 xyA 、20B 、12C 、 16 4 2D 、 16 4 277776. 在边长为 12 的正三角形中有 n 个点,用一个半径为 3 的圆形硬币总可以盖住其中的2 个点,则 n 的最小值是 [ ]A.17B.16C.11D.10二、填空题(每题 9 分共 54 分)7. 在锐角三角形 ABC 中,设 tanA,tanB,tanC 成等差数列且函数 f(x) 满足f(cos2C)=cos(B+C-A) ,则 f(x) 的解析是为100 8.[(10i 1)(10i 3)(10i 7)(10i 9)] 的末三位数是 _______i 19. 集合 A 中的元素均为正整数,具有性质:若a A ,则 12- aA ,这样的集合共有 个 .10. 抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴的正半轴上,直线 x+y-1=0 与抛物线相交于 A 、 B 两点,且 |AB|= 86. 在抛物线上是否存在一点 C ,使△ ABC 为正三角形,若存在, C 点的11坐标是.11. 在数列 { a n } 中, a 1 = 2, a nan 11(n N * ) ,设 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和,则S 2007 2S 2006S 2005 的值为12. 函数f ( x) 3 1 x x,其中0. 函数 f ( x)在[ 0, ) 上是减函数;的取范是 _____________________. 三、解答题(每题20 分共 60 分)13. 已知点 A 5,0和曲 x2 y 21 2x2 5,y上的点P、P、P n。
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加试模拟训练题(8)1、已知圆Q , 0,。
3,°4按顺时针的顺序内切于圆。
,设圆O i,O j(l<i< j<4)的外公切线长为,证明依次以1口」23」34」14为边长,以上」24为对角线构成的凸四边形是圆内接四边形。
2.设AABC三边长为a,b,c ,有不等式-c)2 > -c)2,试证不等式①中的系数』是最优的.33、设M={ 1, 2, 3,2m n) (m, neN*)是连续2”n个正整数组成的集合,求最小的正整数k, 使得M 的任何k元了集中都存在m+1个数,ai, a2, 满足ai|a1+i (i=l, 2, •••, m).4.已知a,eN*,旦(a,幻= 1,。
〉2,试问a +b n I a m +b m的充要条件是"Im吗?2006年山东省第二届夏令营试题)加试模拟训练题(8)1、已知圆Q ,。
2,。
3,°4按顺时针的顺序内切于圆。
,设圆O i,O j(l<i< j<4)的外公切线长为,证明依次以【提23」34」14为边长,以I。
,项为对角线构成的凸四边形是圆内接四边形。
证明设圆0,0{,02,03,04的半径分别为R,*①,乃匕,圆。
1,。
2,°3,°4与圆。
的切点分别为A,B,C,D , 00{ = a,001 = b,003 = c,004 = d , XO t OO2 = a,XO2OO3= ”,ZO3OO4 = /,Z(91(?(?4 = S ,因为R = a + f[=b + r2,所以有/p = Op; -(/] -r,)" = a2 +Z?2- 2ab cos a ~(^a-by = 2aZ?(l-cos«) = 4t?Z?sin2 -y ,即.2成屿。
同理可得"4,MM的表达式。
由托勒密定理的逆定理知,只要证始始+,23,4 = /13,24 °代入/〃的表达式,只要证sin — sin — + sin — sin — = sin —+ sin —+—,即AB CD + BC AD = AC BD o 22 2 2 2 22.设AABC^.边长为a,b,c ,有不等式- c)2 > -c)2,- 一①试证不等式①中的系数』是最优的.3证明在不等式①中,取a=b,设g = 2(a 一成一(a 一疔= (a一们2 +(》_c)2 +Q —a)? —H^±£(。
高中数学竞赛二试题

高中数学竞赛二试题一、选择题(每题3分,共15分)1. 下列哪个选项不是有理数?A. √2B. πC. -1/3D. 02. 如果一个函数f(x)在x=a处可导,那么下列哪个选项是正确的?A. f(x)在x=a处一定连续B. f(x)在x=a处不一定连续C. f(x)在x=a处一定不连续D. 以上都不对3. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1,那么该数列的第10项是:A. 17B. 19C. 21D. 234. 在一个平面直角坐标系中,点A(1,2)和点B(4,6),直线AB的斜率是:A. 1B. 2C. 3D. 45. 一个圆的半径为5,圆心到直线的距离为3,那么这个直线与圆的位置关系是:A. 相切B. 相交C. 相离D. 无法确定二、填空题(每题4分,共20分)6. 已知等差数列的首项为3,公差为2,该数列的第5项是________。
7. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的极值点是________。
8. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4,其外接圆的半径是________。
9. 已知直线l的方程为2x - 3y + 6 = 0,求直线l与x轴的交点坐标________。
10. 将圆x^2 + y^2 = 25沿着x轴正方向平移3个单位后,新的圆的方程是________。
三、解答题(每题10分,共30分)11. 证明:对于任意正整数n,n^5 - n 总是能被30整除。
12. 解不等式:|x - 2| + |x + 3| ≥ 5。
13. 已知椭圆的两个焦点分别为F1(-3,0)和F2(3,0),且椭圆上任意一点P到两个焦点的距离之和等于10。
求椭圆的方程。
四、证明题(每题15分,共30分)14. 证明:对于任意实数x和y,不等式(x + y)^2 ≤ 2(x^2 + y^2)总是成立。
15. 证明:如果一个三角形的三边长分别为a, b, c,且满足a^2 + b^2 = c^2,那么这个三角形是直角三角形。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(96)(1)

加试模拟训练题(96)一、在四边形ABCD 中,⊿ABD 、⊿BCD 、⊿ABC 的面积比是3∶4∶1,点M 、N 别离在AC 、CD 上知足AM ∶AC =CN ∶CD ,而且B 、M 、N 三点共线.求证:M 与N 别离是AC 与CD 的中点.证明 设AC 、BD 交于点E .由AM ∶AC =CN ∶CD ,故AM ∶MC =CN ∶ND ,令CN ∶ND =r (r >0), 那么AM ∶MC =r .由S ABD =3S ABC ,S BCD =4S ABC ,即S ABD ∶S BCD =3∶4.从而AE ∶EC ∶AC =3∶4∶7. S ACD ∶S ABC =6∶1,故DE ∶EB =6∶1,∴DB ∶BE =7∶1.AM ∶AC =r ∶(r +1),即AM =r r +1AC ,AE =37AC , ∴EM =(rr +1-37)AC =4r -37(r +1)AC .MC =1r +1AC , ∴EM ∶MC =4r -37.由Menelaus 定理,知CN ND ·DB BE ·EM MC=1,代入得 r ·7·4r -37=1,即4r 2-3r -1=0,那个方程有惟一的正根r =1.故CN ∶ND =1,确实是N 为CN 中点,M 为AC 中点.2. n 为一正整数,试确信有多少个实数x ,知足1≤x <n 和x 3-[x 3]=(x -[x])3.其中[x]表示不超过x 的最大整数.【题说】1992年澳大利亚数学奥林匹克题2.【解】记[x]=-a ,x -[x]=r ,那么有1≤a ≤n -1,0≤r <1,且A B C DM N E(a+r)3-[(a+r)3]=r3即a3+3a2r+3ar2=[(a+r)3]因此a3+3a2r+3ar2是整数,且a3≤a3+3a3r+3ar2<a3+3a2+3a=(a+1)3-1.当a肯按时,对任一整数n,a3<n<(a+1)3-1,r的二次方程3ar2+3a2r+(a3-n)=0的常数项为负,因此恰有一个正根r.而且(a+1)3-1>n=3ar2+3a2r+a3推出r<1.在n=a3时,显然r=0.因此a肯按时,r有(a+1)3-a3-1个不同的值知足0≤r<1.从而x=a+r的个数为(a+1)3-a3-1.故所求x的个数为3.从n×n正方形剪去一个1×1的角格,求其余的图形分成等积三角形的最少个数.【题说】第十六届(1990年)全俄数学奥林匹克九年级题6.【解】一个与图中折线ABC有公共点的三角形,一条边长不大于1,至少分成个等积的三角形.图中的分法说明缺角正方形能够分成2(n+1)个等积三角形.4.求方程2w+2x+2y+2z=20.625的知足条件w>x>y>z的整数解.【题说】1979年湖南省赛二试题2.【解】方程两头同乘8,得2w+3+2x+3+2y+3+2z+3=165 (1)165为奇数,故必有z+3=0,即z=-3.(1)的两头同减去1,再除以4,得2w+1+2x+1+2y+1=41 (2)同理y=-1(2)的两头同减去1,再除以8,得2w-2+2x-2=5于是x=2,w=4故所求的解为w=4,x=2,y=-1,z=-3【别解】将20.625表为2的整数幂的和得2w+2x+2y+2z=24+22+2-1+2-3比较指数即可得解.。
全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题(80).doc

加试模拟训练题(80)1 ABCD是一个平行四边形,E是AB±的一点,F为CD上的一点。
AF交ED于G, EC交FB于H。
连接线段GH并延长交AD于L,交BC于机求证:DL=BM.2.由0和1组成的、长度为n (如00101, 10100长度都为5)的排列中,没有两个1 相连的排列的个数记为f (n).约定f (0) =1.试证明:(1) f (n) =f (n-1) +f (n-2), nN2;(2) f (4k+2)可被3整除,k》0.离专字习网/ 3.设ABCD是块矩形的板,|AB|=20, |BC|=12,这块板分成20X12个单位正方形.设r是给定的正整数.当且仅当两个小方块的中心之间的矩离等于齐时,可以把放在其中一个小方块里的砸而移别另一个小方块中.在以A为顶点的小方块中放有一个硬币,我们的工作是要找出一系列的移动,使这硬币移到以B 为顶点的小方块中.(a)证明当r被2或3整除时,这一工作不能够完成.(b)证明当r=73时,这项工作可以完成.(c)当r = 97时,这项工作能否完成?4.设a,b,c是三个互不相等的正整数。
求证:在a3b-ab3, b i c-bc i, c3a-ca3三个数中, 至少有一个能被10整除。
梅 涅劳斯定理,得EG DI CH i ---- =1 9GD IC HE AG FH BJ----- . ----- — 1 . HB JA因为AB//CD,所以竺 _ AG — , CH _ FH GD GFHE ~ HB'加试模拟训练题(80)1 ABCD 是一个平行四边形,E 是48 ±的一点,F 为CD 上的一点。
AF 交ED 于G, EC 交FB 于连接线 段GH 并延长交AD 于L,交BC 于M 。
求证:DL=BM.证 如图,设直线L/W 与曲的延长线交于点与DC 的延长线交于点/。
在△£(:£)与中分别使用n^-Dl BJ 0n CD + CI AB + AJ +后厂,,,布 从而一=—,即 ----------- = -------- ,故CI=AJ.而 IC JA CI AJ BM _BJ DI _ DL MC~ CI ~ AJ~ LA J 且 BM+MC=BC=AD=AL+LD.所以 BM=DL 。
全国高中数学联赛模拟卷(2)(一试+二试_附详细解答)

全国高中数学联赛模拟卷(2)一试一、填空题(本大题共8小题,每小题8分,共64分)1. 函数1cos sin 1cos sin ++-=x x x x y 的值域是___________2. 设a , b , c 为RT △ACB 的三边长, 点(m , n )在直线ax +by +c =0上. 则m 2+n 2的最小值是___________3. 若N n ∈,且92422--+n n 为正整数,则.________=n4. 掷6次骰子, 令第i 次得到的数为i a , 若存在正整数k 使得61=∑=ki i a 的概率mnp =,其中n m ,是互质的正整数. 则n m 76log log -= .5. 已知点P 在曲线y =e x 上,点Q 在曲线y =lnx 上,则PQ 的最小值是_______6. 已知多项式f (x )满足:222(3)2(35)61017()f x x f x x x x x R +++-+=-+∈, 则(2011)f =_________7. 四面体OABC 中, 已知∠AOB =450,∠AOC =∠BOC =300, 则二面角A -OC -B 的平面角α的余弦值是 __________8. 设向量)cos sin ,cos sin 2(),,3(θθθθβαa a x x +=+=满足对任意R x ∈和θ∈[0, π2],2||≥+βα恒成立. 则实数a 的取值范围是________________.二、解答题(本大题共3小题,第9题16分,第10、11题20分,共56分)9.设数列{}n a 满足0a N +∈,211nn n a a a +=+.求证:当1200+≤≤a n 时,n a a n -=0][. (其中[]x 表示不超过x 的最大整数).10. 过点)3,2(作动直线l 交椭圆1422=+y x 于两个不同的点Q P ,,过Q P ,作椭圆的切线,两条切线的交点为M , ⑴ 求点M 的轨迹方程;⑵ 设O 为坐标原点,当四边形POQM 的面积为4时,求直线l 的方程.11. 若a 、b 、c R +∈,且满足22)4()(c b a b a cb a kabc++++≤++,求k 的最大值。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题

加试模拟训练题(2)1、 设(1,2,3,4)i x i =为正实数,满足11212312341,5,14,30,x x x x x x x x x x ≤+≤++≤+++≤ 求1234111234U x x x x =+++的最大值.2、设ΛΛ,,,,21a a a k 为两两各不相同的正整数,求证:对任何正整数n,均有∑∑==≥nk n K k k k a 11213、 一个俱乐部中有3n +1个人,每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球,如果每个人都有n 个人与他打网球,n 个人与他下棋,n 个人与他打乒乓球,证明俱乐部中有3个人,他们之间玩的游戏是三种俱全.4.证明:若正整数b a ,满足b b a a +=+2232,则b a -和122++b a 都是完全平方数。
加试模拟训练题(2)1、 设(1,2,3,4)i x i =为正实数,满足11212312341,5,14,30,x x x x x x x x x x ≤+≤++≤+++≤ 求1234111234U x x x x =+++的最大值.解:令112123123412341,5,14,30,y x y x x y x x x y x x x x =-⎧⎪=+-⎪⎨=++-⎪⎪=+++-⎩则 0(1,2,3,4)i y i ≤=,112123234341,4,9,16,x y x y y x y y x y y =+⎧⎪=-++⎪⎨=-++⎪⎪=-++⎩于是 ()()()()112223411114916234U y y y y y y y =++-+++-+++-++ 12341111102612410.y y y y =++++≤当 1121231234123410,50,140,300,y x y x x y x x x y x x x x =-=⎧⎪=+-=⎪⎨=++-=⎪⎪=+++-=⎩即12341,4,9,16x x x x ====时,max 10.U=2、设ΛΛ,,,,21a a a k 为两两各不相同的正整数,求证:对任何正整数n,均有∑∑==≥n k n K k k k a 1121证明: 设a a a b b b n n ,,,,,,2121ΛΛ是的从小到大的有序排列,即b b b n ≤≤21,因为b i 是互不相同的正整数.则n b b b n ≥≥≥,,2,121Λ 又因为n 222111132>>>>Λ所以由排序不等式得: n a a a n 22212+++Λ (乱序)n b b b n22212+++≥Λ (倒序)n 1211+++≥Λ即 ∑∑==≥n k n k k k k a 1121 成立. 3、 一个俱乐部中有3n +1个人,每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球,如果每个人都有n 个人与他打网球,n 个人与他下棋,n 个人与他打乒乓球,证明俱乐部中有3个人,他们之间玩的游戏是三种俱全.【证】 将人看作平面上的点,得到一个有3n +1个点的图(假定任意三点都不在一直线上),当两个人玩网球或象棋或乒乓球时,我们就在相应的两点之间连一条红线或黄线或蓝线,需要证明的是,一定存在一个三条边的颜色互不相同的三角形.自一点引出的3n 条线段中,如果某两条线段的颜色不同,就称它们构成一个“异色角”.考虑异色角的个数.由于自每一点引出n 条红线,角形中有3个异色角.这个三角形的三条边颜色互不相同,即相应的三个人之间玩的游戏是三种俱全.4.证明:若正整数b a ,满足b b a a +=+2232,则b a -和122++b a 都是完全平方数。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(88)(1)

加试模拟训练题(88)1.以O为圆心的圆通过⊿ABC的两个极点A、C,且与AB、BC两边别离相交于K、N两点,⊿ABC和⊿KBN的两外接圆交于B、M两点.证明:∠OMB为直角.2. 设a和b为实数,且使方程x4+ax3+bx2+ax+1=0至少有一个实根,对所有这种数对(a,b),求出a2+b2的最小可能值.3 一条平行于x轴的直线,若是它与函数y=x4+px3+qx2+rx+s的图像相交于互异的四点A、B、C、D,而线段AB、AC与AD能够组成某个三角形的三条边,那么就称此直线为“三角形的”.证明;平行于x轴而与上述函数的图像相交于四个不同点的直线中,要么全都是三角形的,要么没有一条是三角形的.4.已知实函数(,)f x y知足(,0)1,f x=①((,),)(,).f f x y z f z xy z=+②求(,)f x y的表达式.加试模拟训练题(88)1.以O为圆心的圆通过⊿ABC的两个极点A、C,且与AB、BC两边别离相交于K、N两点,⊿ABC和⊿KBN的两外接圆交于B、M两点.证明:∠OMB为直角.分析关于与圆有关的问题,常可利用圆幂定理,假设能找到BM上一点,使该点与点B关于圆O等幂即可.证明:由BM、KN、AC三线共点P,知PM·PB=PN·PK=PO2-r2.⑴由PMN =BKN =CAN,得P、M、N、C共圆,故BM·BP=BN·BC=BO2-r2.⑵⑴-⑵得,PM·PB-BM·BP= PO2 - BO2,即(PM-BM)(PM+BM)= PO2 - BO2,确实是OA CBKNMPM2 -BM2= PO2 - BO2,于是OM⊥PB.2. 设a和b为实数,且使方程x4+ax3+bx2+ax+1=0至少有一个实根,对所有这种数对(a,b),求出a2+b2的最小可能值.【题说】第十五届(1973年)国际数学奥林匹克题3.此题由瑞典提供.【解】设实数x使x4+ax3+bx2+ax+1=0则从而方程y2+ay+(b-2)=0此式即平方整理得2|a|≥2+b从而程x4+ax3+bx2+ax+1的实根).3 一条平行于x轴的直线,若是它与函数y=x4+px3+qx2+rx+s的图像相交于互异的四点A、B、C、D,而线段AB、AC与AD能够组成某个三角形的三条边,那么就称此直线为“三角形的”.证明;平行于x轴而与上述函数的图像相交于四个不同点的直线中,要么全都是三角形的,要么没有一条是三角形的.【题说】1980年四国国际数学竞赛题5.此题由芬兰提供.【证】设有一条直线是三角形的,不妨设它确实是x轴,而且交点A在最左面(若是B在最左,A为左起第二个,那么BA、BC、BD也成三角形,其它情形令x=-t就能够够化成这两种),A确实是原点.这时B、C、D 的横坐标是三次方程x3+px2+qx+r=0的三个根,它们能够作为三角形的三条边的充分必要条件是P<0,q>0, r <0及p 3>4pq -8r .任一条平行于x 轴的直线y =y 0与y =x 4+px 3+qx 2+rx +s 的四个交点的横坐标记为x 0<x 1<x 2<x 3,那么正数a =x 1-x 0,b =x 2-x 0,C =x 3-x 0及0知足方程 y 0=(x +x 0)4+p(x +x 0)3+q(x +x 0)2+r(x +x 0)+s 从而a 、b 、c 是方程的根.由于=p3-4pq +8r >0 因此a 、b 、c 能够作为三角形的边长.即直线y =y 0是三角形的.4.已知实函数(,)f x y 知足(,0)1,f x = ① ((,),)(,).f f x y z f z xy z =+ ② 求(,)f x y 的表达式.解 把①代入②,有()()()()1,,0,,01f y f f x y f y y y ==+=+, ③ 进而 ()()(),111,1f x f x =+- ()()()1,1,1f f x =- (由③) 1x =+ ④ 一方面由④有()()(),,1,1,f f x y f x y =+ ⑤ 另一方面由②、③有()()(),,11,11 1.f f x y f xy xy =+=++ ⑥ 由⑤、⑥得(),111f x y xy +=++,即 (),1f x y xy =+.查验知(),1f x y xy =+为所求.。
高中数联赛二试题及答案

高中数联赛二试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 若实数a、b满足a²+b²=1,则a+b的最大值为()。
A. 1B. √2C. 2D. √32. 已知函数f(x)=x³-3x+1,若f(a)=f(b),则a+b的值为()。
A. 0B. 1C. -1D. 23. 已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,求数列{an}的通项公式为()。
A. an=2^n-1B. an=2^(n-1)C. an=2^nD. an=2^(n-1)+14. 若复数z满足|z-1|=|z+i|,则z在复平面上对应的点位于()。
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限二、填空题(每题5分,共20分)5. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,公差d=3,则S5=________。
6. 已知函数f(x)=x²-4x+m,若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则m的取值范围为________。
7. 已知双曲线C的方程为x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0),若双曲线C的一条渐近线方程为y=√2x,则双曲线C的离心率为________。
8. 已知圆C的方程为(x-2)²+(y-3)²=25,直线l的方程为y=x+1,若圆C与直线l相切,则圆心C到直线l的距离为________。
三、解答题(每题15分,共60分)9. 已知函数f(x)=x³-3x+1,求证:f(x)至少有一个零点。
证明:首先求导数f'(x)=3x²-3,令f'(x)=0,解得x=±1。
当x<-1或x>1时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当-1<x<1时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减。
因此,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=3,在x=1处取得极小值f(1)=-1。
全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题(86)

加试模拟训练题(86)2. 设a 1=1,a 2=3,对一切自然数n 有a n+2=(n+3)a n+1-(n+2)a n求所有被11整除的a n 的值.。
的交点,证明:与是的中点,是上,在点的平分线,是是斜边上的高,中,若直角CE BF CK DE F AC D AK E ACK CE CK ABC //.1∠∆3. 已知五条线段中任何三条都可以组成一个三角形.证明:这些三角形中至少有一个是锐角三角形.4.设多项式()n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110 的系数都是整数,并且有一个奇数α及一个偶数β使得()αf 及()βf 都是奇数,求证方程()0=x f 没有整数根.加试模拟训练题(86)2. 设a 1=1,a 2=3,对一切自然数n 有a n+2=(n+3)a n+1-(n+2)a n求所有被11整除的a n 的值.【题说】1990年巴尔干地区数学奥林匹克题1.【解】设b n+1=a n+1-a n (n ≥1),则由条件有b n+1=(n+1)(a n -a n-1)=(n+1)b n (n ≥2)b n =nb n-1=n (n-1)b n-2=…=n (n-1)…3b 2=n !(n ≥2)所以 a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+1。
的交点,证明:与是的中点,是上,在点的平分线,是是斜边上的高,中,若直角CE BF CK DE F AC D AK E ACK CE CK ABC //.1∠∆CE //BF CKE FKB KE BK KC KF BE BK FC KF BEBK BC BP AC EP AC CK AE EK FC KF 1FCKF EK AE DA CD F E D ACK EP CK EP BC EBC CE BH 90HCB ACE HCB HBC ACEHBC ACK EBC BH B EBC ∴≅∴=====⋅⋅=∴⊥︒=∠+∠=∠+∠∠=∠∠=∠∠∆∆∆∆∆=依分比定理有:=即:=于是依梅涅劳斯定理有:、、和三点对于,则:上的高作为等腰三角形即:则:的平分线中,作在证:由此可算出:整除.故本题答案为n=4,n=8以及n ≥10.3. 已知五条线段中任何三条都可以组成一个三角形.证明:这些三角形中至少有一个是锐角三角形.【题说】 第四届(1970年)全苏数学奥林匹克九年级题1.【证】设五条线段的长度为a ≤b ≤c ≤d ≤e假设由这些线段组成的任何三角形都不是锐角三角形,那么,在由a 、b 、c ;b 、c 、d ;c 、d 、e 组成的三个三角形中,有c 2≥a 2+b 2,d 2≥b 2+c 2,e 2≥c 2+d 2将它们相加,得到e 2≥a 2+2b 2+c 2≥a 2+2ab +b 2=(a +b)2从而e ≥a +b .这样,用e 、a 、b 三条线段便不能组成三角形,矛盾.因此,命题得证.4.设多项式()n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110 的系数都是整数,并且有一个奇数α及一个偶数β使得()αf 及()βf 都是奇数,求证方程()0=x f 没有整数根.证明 由已知有()()()0121mod 21mod 2n f a a a a α≡⇔++++≡, ①()()()1mod 21mod 2n f a β≡⇔≡, ②若方程()0=x f 存在整数根0x ,即()00f x =.当0x 为奇数时,有()()()00120mod 20mod 2n f x a a a a ≡⇔++++≡,与①矛盾.有0x 为偶数时,有()()()00mod 20mod 2n f x a ≡⇔≡,与②矛盾.所以方程()0=x f 没有整数根.。
全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题(83).pdf

加试模拟训练题(83) 2.?数列{an}定义为a1=a2=1,an+2=an+1+an.求证:当n≥2时,a2n-1必是数列中某两项的平方和,a2n必是数列中某两项的平方差. 3. 已知平面上n(n>2)个点,其中任意三点都不在一直线上.试证:在经过这些点的所有闭折线中,长度最短的一定是简单闭折线. 4 .设,。
(1)若,求证:是完全平方数 (2)存在无穷多个,使得 加试模拟训练题(83) 2.?数列{an}定义为a1=a2=1,an+2=an+1+an.求证:当n≥2时,a2n-1必是数列中某两项的平方和,a2n必是数列中某两项的平方差. 【题说】1990年南昌市赛二试题1.此数列即为斐波拉契数列. 【证】数列的前4项为1,1,2,3, 因此对一切自然数n≥2, ? 3. 已知平面上n(n>2)个点,其中任意三点都不在一直线上.试证:在经过这些点的所有闭折线中,长度最短的一定是简单闭折线. 【题说】 1971年~1972年波兰数学奥林匹克三试题2.简单闭折线即不自身相交的闭折线. 【证】 设已知点为A1,A2,…,An,L为经过这些点的最短的闭折线. 若L不是简单闭折线,则L有两段,设为AiAj、AsAt相交于内点P,这时 AiAt+AsAjAiP+PAt+AsP+PAj =AiAj+AsAt L中的线段AiAj、AsAt改为AiAt、AsAj,则折线的长度减少,与L的最小性矛盾,从而L一定是简单闭折线. 4 .设,。
(1)若,求证:是完全平方数 (2)存在无穷多个,使得 解析:, ,。
可以得到,得证。
可以得到,取即可。
A B C M N L K A B C M N L K。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(82)

加试模拟训练题(82)1 如图,四边形ABCD 内接于圆,AB ,DC 延长线交于E ,AD 、BC 延长线交于F ,P 为圆上任意一点,PE ,PF 分别交圆于R ,S . 若对角线AC 与BD 相交于T . 求证:R ,T ,S 三点共线。
2.对于每个实数x 1,由x n+1=x n (x n +1/n ),n ≥1,构成序列x 1,x 2,…,证明:存在唯一的x 1,使得0<x n <x n+1<1(n=1,2,…).3.九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2:3的两个四边形.证明:这九条直线EB RC TA P S DF中至少有三条经过同一点.4. 已知49个正整数的集合M,M中的每个数的质因数不大于10,证明:M中有4个互不相同的元素,它们的乘积等于某个整数的四次方。
加试模拟训练题(82)1如图,四边形ABCD内接于圆,AB,DC延长线交于E,AD、BC延长EB RC线交于F ,P 为圆上任意一点,PE ,PF 分别交圆于R ,S . 若对角线AC 与BD 相交于T . 求证:R ,T ,S 三点共线。
先证两个引理。
引理1:A 1B 1C 1D 1E 1F 1为圆内接六边形,若A 1D 1,B 1E 1,C 1F 1交于一点,则有1111111111111=⋅⋅A F F E E D D C C B B A . 如图,设A 1D 1,B 1E 1,C 1F 1交于点O ,根据圆内接多边形的性质易知 △ OA 1B 1∽△OE 1D 1,△OB 1C 1∽△OF 1E 1, △ OC 1D 1∽△OA 1F 1,从而有 △O D O B E D B A 111111=, O B O F C B F E 111111=, OF OD A F D C 111111=. 将上面三式相乘即得1111111111111=⋅⋅A F FE E D D C C B B A ,引理2:圆内接六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1,若满足1111111111111=⋅⋅A F F E E D D C C B B A 则其三条对角线A 1D 1,B 1E 1,C 1F 1交于一点。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(2)(1)

加试模拟训练题(2)一、 设(1,2,3,4)i x i =为正实数,知足 求1234111234U x x x x =+++的最大值. 二、设 ,,,,21a a a k 为两两各不相同的正整数,求证: 对任何正整数n,均有∑∑==≥nk n K k k k a 1121 3、 一个俱乐部中有3n +1个人,每两个人能够玩网球、象棋或乒乓球,若是每一个人都有n 个人与他打网球,n 个人与他下棋,n 个人与他打乒乓球,证明俱乐部中有3个人,他们之间玩的游戏是三种俱全.4.证明:假设正整数b a ,知足b b a a +=+2232,那么b a -和122++b a 都是完全平方数。
加试模拟训练题(2)一、 设(1,2,3,4)i x i =为正实数,知足 求1234111234U x x x x =+++的最大值. 解:令那么 0(1,2,3,4)i y i ≤=,于是 ()()()()112223411114916234U y y y y y y y =++-+++-+++-++ 当 1121231234123410,50,140,300,y x y x x y x x x y x x x x =-=⎧⎪=+-=⎪⎨=++-=⎪⎪=+++-=⎩即12341,4,9,16x x x x ====时,max 10.U =二、设 ,,,,21a a a k为两两各不相同的正整数,求证: 对任何正整数n,均有∑∑==≥nk n K k k k a 1121 证明: 设a a ab b b n n ,,,,,,2121 是的从小到大的有序排列,即 b b b n ≤≤21,因为b i是互不相同的正整数.则n b b b n ≥≥≥,,2,121又因为n 222111132>>>>因此由排序不等式得:n a a a n 22212+++ (乱序)n b b b n22212+++≥ (倒序) 即 ∑∑==≥n k n k k k k a 1121 成立. 3、 一个俱乐部中有3n +1个人,每两个人能够玩网球、象棋或乒乓球,若是每一个人都有n 个人与他打网球,n 个人与他下棋,n 个人与他打乒乓球,证明俱乐部中有3个人,他们之间玩的游戏是三种俱全.【证】 将人看做平面上的点,取得一个有3n +1个点的图(假定任意三点都不在一直线上),当两个人玩网球或象棋或乒乓球时,咱们就在相应的两点之间连一条红线或黄线或蓝线,需要证明的是,必然存在一个三条边的颜色互不相同的三角形.自一点引出的3n 条线段中,若是某两条线段的颜色不同,就称它们组成一个“异色角”.考虑异色角的个数.由于自每一点引出n 条红线,角形中有3个异色角.那个三角形的三条边颜色互不相同,即相应的三个人之间玩的游戏是三种俱全.4.证明:假设正整数b a ,知足b b a a +=+2232,那么b a -和122++b a 都是完全平方数。
2024年全国高中数学竞赛试题

选择题设函数f(x) = sin(x) + cos(2x),则f'(π/4) 的值为:A. -√2/2B. √2/2C. -1D. 1(正确答案)已知等差数列{an} 的前n 项和为Sn,且a1 = 1,S3 = 9,则a4 的值为:A. 5B. 6C. 7(正确答案)D. 8若复数z 满足(1 + i)z = 2i,则z 的共轭复数为:A. 1 - iB. 1 + i(正确答案)C. -1 - iD. -1 + i已知向量a = (1, 2),b = (3, 4),则a 与b 的夹角的余弦值为:A. √5/5B. 2√5/5(正确答案)C. 3/5D. 4/5设函数f(x) = ex - x - 1,则不等式f(x) > 0 的解集为:A. (-∞, 0)B. (0, +∞)(正确答案)C. (-∞, 1)D. (1, +∞)已知椭圆C: x2/4 + y2/3 = 1,F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,P 为椭圆上一点,且PF1 ⊥ PF2,则|PF1| × |PF2| 的值为:A. 6/7B. 12/7C. 9/4(正确答案)D. 3/2已知函数f(x) = ln(x + 1) - x,则f(x) 的单调递增区间为:A. (-1, 0)(正确答案)B. (0, +∞)C. (-∞, -1)D. (-∞, 0)已知三角形ABC 的内角A,B,C 对应的边分别为a,b,c,且a = 2,b = 3,cos C = -1/2,则三角形ABC 的面积为:A. 3√3/4B. 3√3/2(正确答案)C. 3/2D. 3已知数列{an} 满足a1 = 1,an+1 = 2an + 3,则数列{an} 的通项公式为:A. an = 2n - 1B. an = 2(n+1) - 3C. an = 2n + 3 - 4/2n(正确答案)D. an = 2(n-1) + 3。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(77)

加试模拟训练题(77)1 设P 为△ABC 内一点,∠APB -∠ACB =∠APC -∠ABC 。
又设D ,E 分别是△APB 及△APC 的内心。
证明:AP ,BD ,CE 交于一点。
2.考察数列{c n }:c 1=c 1+c 2+…+a 8……其中a 1,a 2,…,a 8是不全为0的实数.假定该数列中有无限多项c n =0.求出所有使c n =0的自然数n .ACR SM N DE P3.在平面上给定六个点,其中任何三点都不在一直线上.证明:在这六个给定的点中,可以挑出这样三个点,使得在这三个点构成的三角形中,有一个角不小于120°.4.设n N +∈,求证:()22512332241.n n n -+-加试模拟训练题(77)1 设P 为△ABC 内一点,∠APB -∠ACB =∠APC -∠ABC 。
又设D ,E 分别是△APB 及△APC 的内心。
证明:AP ,BD ,CE 交于一点。
证 如图,过P 向三边作垂线,垂足分别为R ,S ,T 。
连RS ,ST ,RT ,设BD 交AP 于M ,CE 交AP 于N 。
易知P ,R ,A ,S ;P ,T ,B ,R ;P ,S ,C ,T 分别四点共圆,则 ∠APB -∠ACB =∠PAC +∠PBC=∠PRS +∠PRT =∠SRT 。
同理,∠APC -∠ABC =∠RST ,由条件知∠SRT =∠RST ,所以RT =ST 。
又RT =PBsinB ,ST =PCsinC ,所以PBsinB =PCsinC ,那么ACPCAB PB=。
由角平分线定理知MPAMPB AB PC AC NP AN ===。
故M ,N 重合,即AP ,BD ,CE 交于一点。
2.考察数列{c n }:c 1=c 1+c 2+…+a 8……其中a 1,a 2,…,a 8是不全为0的实数.假定该数列中有无限多项c n =0.求出所有使c n =0的自然数n .【题说】第九届(1967年)国际数学奥林匹克题5.本题由原苏联提供. 【解】不妨设a1的绝对值为最大,则必有某个a i ,满足a i =-a 1(i ≠1). 否则,当n 充分大时,不失一般性可设 a 2=-a 1所得的和c n 仍然有无穷多个为0.根据上面的推理,有(适当调整编号):a 3=-a 4,a 5=-a 6,a 7=-a 8因而n 为奇数时,c n =0.3.在平面上给定六个点,其中任何三点都不在一直线上.证明:在这六个给定的点中,可以挑出这样三个点,使得在这三个点构成的三角形中,有一个角不小于120°. 【题说】1958年匈牙利数学奥林匹克题1.【证】 考虑这六点的凸包,它是一个凸多边形,顶点是这些已知点的全体或一部分.ACR SM N DE P设∠ABC ≥120°,则A 、B 、C 即为所求. 如果凸包是△ABC ,那么有一已知点D 在这三角形内.∠ADB 、∠BDC 、∠CDA 中必有一个≥120°,结论成立.如果凸包是四边形或五边形,用对角线将它们剖分为三角形,必有一个三角形中有已知点.于是由上一种情形的讨论即得.4.设n N +∈,求证:()22512332241.n n n -+-解析:设()22332241nf n n n =-+-,要证()512f n ,可运用递推思想转化为证明()()()()5121,5121,f f n f n n N ++-∈。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(84)(1)

加试模拟训练题(84)2.数列{a n }由以下条件决定:a 1=1;n ≥1时,a n+1=a n +1/a n .求a 100的整数部份[a 100].3.在一个平面上有100个点,其中任意三点均不共线,咱们考虑以这些点为极点的所有可能的三角形,证明:其中最多有70%的三角形是锐角三角形.4. 用[]x 表示不大于x 的最大整数,求122004366366366366⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 加试模拟训练题(84) 2. 数列{a n }由以下条件决定:a 1=1;n ≥1时,a n+1=a n +1/a n .求a 100的整数部份[a 100].【题说】1990年日本数学奥林匹克第一轮选拔赛题12.【解】由题有因为a n+1-a n =1/a n >0,因此a n 递增.当≥2时,a n ≥a 2=2,于是=200+98/4<225因此 14<a 100<15 故[a 100]=14.3.在一个平面上有100个点,其中任意三点均不共线,咱们考虑以这些点为极点的所有可能的三角形,证明:其中最多有70%的三角形是锐角三角形.【题说】 第十二届(1970年)国际数学奥林匹克题6.此题由原苏联提供.【证】 任意五个点,其中没有三点共线,那么必然能够找到以它们为极点的三个非锐角三角形.那个结论可分三种情形讨论.(1)假设五个点组成一个凸五边形,那么那个五边形中至少有两个内角为钝角,它们可能相邻(例如∠A 、∠B),也可能不相邻(例如∠A 、∠C),如图a 、图b .再注意四边形ACDE 中至少有一个内角非锐角,如此就找到了三个不同的非锐角,相应地取得三个非锐角三角形.(2)假设五个点中有四个点组成一个凸四边形ABCD(图C),另一点E 在ABCD 内部,那么EA 、EB 、EC 、ED 彼其间的夹角至少有两个钝角.再加上ABCD 中的非锐内角,至少也可找到三个非锐角三角形.(3)假设五个点中有三点组成一个三角形ABC(图d),另外两点D 和E 均在△ABC 内,由于∠ADB 、∠BDC 、∠CDA 中至少有两个钝角,咱们能够找到四个钝角三角形.综合(1)、(2)、(3)可得结论.数的比为例2 用[]x 表示不大于x 的最大整数,求122004366366366366⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 讲解 题目的内层有2004个高斯记号,外层1个高斯记号.关键是弄清[]x 的含义,进而弄清加法谁与谁加、除法谁与谁除:(1)分子是哪些数相加,求出和来;由36651830200421963666⨯=<<=⨯,知分子是0~5的整数相加,弄清加数各有几个(2)除法谁除以366,求出商的整数部份.原式()036536612345175366⨯+++++⨯⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。
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加试模拟训练题(82)
1 如图,四边形ABCD 内接于圆,AB ,DC 延长线交于E ,AD 、BC 延长线交于F ,P 为圆上任意一点,PE ,PF 分别交圆于R ,S . 若对角线AC 与BD 相交于T . 求证:R ,T ,S 三点共线。
2.对于每个实数x 1,由x n+1=x n (x n +1/n ),n ≥1,构成序列x 1,x 2,…,证明:存在唯一的x 1,使得0<x n <x n+1<1(n=1,2,…).
3.九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2:3的两个四边形.证明:这九条直线
E
B R
C T
A P S D
F
中至少有三条经过同一点.
4. 已知49个正整数的集合M,M中的每个数的质因数不大于10,证明:M中有4个互不相同的元素,它们的乘积等于某个整数的四次方。
加试模拟训练题(82)
1如图,四边形ABCD内接于圆,AB,DC延长线交于E,AD、BC延长
E
B R
C
线交于F ,P 为圆上任意一点,PE ,PF 分别交圆于R ,S . 若对角线AC 与BD 相交于T . 求证:R ,T ,S 三点共线。
先证两个引理。
引理1:
A 1
B 1
C 1
D 1
E 1
F 1为圆内接六边形,若A 1D 1,B 1E 1,C 1F 1交于一点,则有
11
11
111111111=⋅⋅A F F E E D D C C B B A . 如图,设A 1D 1,B 1E 1,C 1F 1交于点O ,根据圆内接多边形的性质易知 △ OA 1B 1∽△OE 1D 1,△OB 1C 1∽△OF 1E 1, △ OC 1D 1∽△OA 1F 1,从而有 △
O D O B E D B A 111111=, O B O F C B F E 111111=, O
F O
D A F D C 111111=. 将上面三式相乘即得11
11111111111=⋅⋅A F F
E E D D C C B B A ,
引理2:
圆内接六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1,若满足
11
11
111111111=⋅⋅A F F E E D D C C B B A 则其三条对角线A 1D 1,B 1E 1,C 1F 1交于一点。
该引理与定理2的证明方法类似,留给读者。
例11之证明如图,连接PD ,AS ,RC ,BR ,AP ,SD . 由△EBR ∽△EPA ,△FDS ∽△FPA ,知EP EB PA BR =,FD
FP
DS PA =
. 两式相乘,得
FD
EP FP
EB DS BR ⋅⋅=
. ① 又由△ECR ∽△EPD ,△FPD ∽△FAS ,知
EP EC PD CR =,FA
FP
AS PD =
. 两式相乘,得FA
EP FP
EC AS CR ⋅⋅=
② 由①,②得FD
EC FA
EB CR DS AS BR ⋅⋅=
⋅⋅. 故 =⋅⋅AB SA DS CD RC BR CE
DC
FD AF BA EB ⋅
⋅. ③ 对△EAD 应用梅涅劳斯定理,有1=⋅⋅CE
DC
FD AF BA EB ④
由③,④得1=⋅⋅AB
SA
DS CD RC BR .
由引理2知BD ,RS ,AC 交于一点,所以R ,T ,S 三点共线。
2.对于每个实数x 1,由x n+1=x n (x n +1/n ),n ≥1,构成序列x 1,x 2,…,证明:存在唯一的x 1,使得0<x n <x n+1<1(n=1,2,…).
【题说】第二十六届(1985年)国际数学奥林匹克题6.本题由瑞典提供.
B F A E 1
O
C D 1
1
1
1
1
【证】设P 1(x )=x ,P n+1(x )=P n (x )(P n (x )+1/n ),(n ≥1)那么P n
(x )是正系数的2n-1
次多项式.于是x n =P n (x 1),由于x n+1>x n 与x n >1-1/n 等价,问题可改为证明存在唯一的正实数t ,使得1-1/n <P n (t )<1(n=1,2,).
由于P n (x )是严格的增函数(x ≥0),P n (0)=0,且P 1(1)=1,P n (1)>1(n ≥2),我们可以找到唯一的a n <b n ≤1,使P n (a n )=1-1/n 及P n (b n )=1.
又由P n+1(a n )=1-1/n 及P n+1(a n+1)=1-1/(n+1),可得
a n <a n+1
同理,由P n+1(b n+1)=1及P n+1(b n )=1+1/n ,得b n+1<b n . 由于[a n ,b n ] [a n-1,b n-1],所以P n-1(a n )≥P n-1(a n-1)≥
≥P 1(b n )-P 1(a n )=b n -a n
由“区间套定理”,存在唯一实数t ,使得对所有n 均满足a n <t <b n ,由此得1-1/n <P n (t )<1.
3.九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2:3的两个四边形.证明:这九条直线中至少有三条经过同一点.
【题说】 第六届(1972年)全苏数学奥林匹克八年级题4、十年级题5.
【证】 由梯形的面积等于高和中位线的积可知:分正方形成面积比为2:3的两个梯形(或矩形)的每条直线,都把沿着梯形的中位线作出的正方形的中位线分成同样的比.
如图,分正方形中位线为2:3的点共有四个,而直线有9条,故至少应有三条直线过这些点中的某一个.
例7 已知49个正整数的集合M ,M 中的每个数的质因数不大于10,证明:M 中有4个互不相同的元素,它们的乘积等于某个整数的四次方。
注:不妨假设i m M ∈且1234
2357
i i i i p
p
p
p i m =,考虑下面的有序数组()1234,,,i i i i p p p p ,从各
自的奇偶性看,共16种,所以肯定有4个有序组,它们的奇偶性次序完全相同。
这样讨论有缺陷。
先从49个有序组种取17个有序组,肯定有两个有序组的奇偶次序完全相同,这样两个有序数组记为()()1112131411121314,,,,,,,a a a a b b b b ,原来的49个有序组,还剩余47个有序,再取17个,又有两个有序组,()()2122232421222324,,,,,,,a a a a b b b b ,一次可以取17对有序组,
()()17,1
172173174171172173174,,,,,,,a
a a a
b b b b ,每两对的奇偶性次序完全相同。
将它们相乘,则
112233442357i i i i i i i i a b a b a b a b ++++,其中,还有两个奇偶性次序完全相同,再相乘,可以得到结论。