全国高中数学竞赛二试模拟训练题(82)
高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)
高中数学竞赛试题（模拟）一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的)1.已知函数f(x)是R 上的奇函数，g(x)是R 上的偶函数，若129)()(2++=-x x x g x f ，则=+)()(x g x f ( )A ．1292-+-x x B ．1292-+x xC ．1292+--x xD ． 1292+-x x2.有四个函数：① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y=x x cos sin ⋅ ④ xxy cos sin = 其中在)2,0(π上为单调增函数的是 ( )A ．①B ．②C ．①和③D ．②和④3.方程x xx x x x ππ)1(12122-+=-+-的解集为A(其中π为无理数，π=3.141…，x 为实数)，则A 中所有元素的平方和等于 ( ) A ．0 B ．1C ．2D ．44.已知点P(x,y)满足)(4)sin 4()cos 4(22R y x ∈=-+-θθθ，则点P(x,y)所在区域的面积为 A ．36π B ．32π C ．20π D ．16π ( )5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次要把10个球装完)，要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为 ( ) A ．9 B ．12 C ．15 D ．186.已知数列{n a }为等差数列，且S 5=28，S 10=36，则S 15等于 ( ) A ．80B ．40C ．24D ．-487.已知曲线C ：x x y 22--=与直线0:=-+m y x l 有两个交点，则m 的取值范围是 ( )A ．)2,12(--B ．)12,2(--C ．)12,0[-D ．)12,0(-8.过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1的截面面积为S ，S max 和S min 分别为S 的最大值和最小值，则minmaxS S 的值为 ( ) A ．23 B ．26 C ．332 D ．362 9.设7log ,1sin ,82.035.0===z y x ，则x 、y 、z 的大小关系为 ( )A ．x<y<zB ．y<z<xC ．z<x<yD ． z<y<x10.如果一元二次方程09)3(222=+---b x a x 中，a 、b 分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P= ( )A ．181 B ．91 C ．61 D ．1813 二、填空题（本大题共4个小题，每小题8分，共32分）11.设P 是椭圆191622=+y x 上异于长轴端点的任意一点，F 1、F 2分别是其左、右焦点，O 为中心，则=+⋅221||||||OP PF PF ___________.12.已知△ABC 中，==,，试用、的向量运算式子表示△ABC 的面积，即S △ABC = ____________________.13.从3名男生和n 名女生中，任选3人参加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为3534，则n=__________.14.有10名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1人胜其余4人，又有1人负其余4人，则恰好胜了两场的人数为____________个.三、解答题（本大题共5个小题，15-17题每小题12分，18题、19题每小题16分，共68分） 15.对于函数f(x),若f(x)=x,则称x 为f(x)的“不动点”，若x x f f =))((，则称x 为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即x x f x A ==)(|{}})]([|{x x f f x B ==.(1). 求证：A ⊆B(2).若),(1)(2R x R a ax x f ∈∈-=，且φ≠=B A ，求实数a 的取值范围.16.某制衣车间有A 、B 、C 、D 共4个组，各组每天生产上衣或裤子的能力如下表，现在上衣及裤子要配套生产(一件上衣及一条裤子为一套)，问在7天内，这4个组最多能生产多少套？17.设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有 nnn n a a 111+≥+18.在周长为定值的△ABC 中，已知|AB|=6，且当顶点C 位于定点P 时，cosC 有最小值为257. (1).建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程.(2).过点A 作直线与(1)中的曲线交于M 、N 两点，求||||BN BM ⋅的最小值的集合.19.已知三棱锥O-ABC 的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，P 是底面△ABC 内的任一点，OP 与三侧面所成的角分别为α、β、γ. 求证：33arcsin32≤++<γβαπ参考答案一、选择题： ADCBC CCCBA 二、填空题：11. 25 12.13. 4 14. 1 三、解答题：15.证明(1).若A=φ，则A ⊆B 显然成立；若A ≠φ，设t ∈A ，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t ∈B,从而 A ⊆B. 解 (2)：A 中元素是方程f(x)=x 即x ax =-12的实根.由 A ≠φ，知 a=0 或 ⎩⎨⎧≥+=∆≠0410a a 即 41-≥aB 中元素是方程 x ax a =--1)1(22 即 0122243=-+--a x x a x a 的实根 由A ⊆B ，知上方程左边含有一个因式12--x ax ，即方程可化为 0)1)(1(222=+-+--a ax x a x ax因此，要A=B ，即要方程 0122=+-+a ax x a ① 要么没有实根，要么实根是方程 012=--x ax ② 的根. 若①没有实根，则0)1(4222<--=∆a a a ，由此解得 43<a 若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有 a ax x a +=22，代入①有 2ax+1=0.由此解得 a x 21-=,再代入②得,012141=-+a a 由此解得 43=a . 故 a 的取值范围是 ]43,41[-16.解：A 、B 、C 、D 四个组每天生产上衣与裤子的数量比分别是：76,117,129,108，且11712910876>>> ① 只能让每天生产上衣效率最高的组做上衣，生产裤子效率最高的组做裤子，才能使做的套数最多.由①知D 组做上衣效率最高，C 组做裤子效率最高，于是，设A 组做x 天上衣，其余(7-x)天做裤子；B 组做y 天上衣，其余(7-y)天做裤子;D 组做7天上衣，C 组做7天裤子.则四个组7天共生产上衣 6×7+8x+9y (件)；生产裤子11×7+10(7-x)+12(7-y) (条)依题意，有 42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y)，即 769x y -=. 令 μ= 42+8x+9y=42+8x+9(769x -)=123+x 72 因为 0≤x ≤7,所以，当x=7时，此时y=3, μ取得最大值，即μmax =125.因此，安排A 、D 组都做7天上衣，C 组做7天裤子，B 组做3天上衣，4天裤子，这样做的套数最多，为125套.17.证明：令 10=a ,则有 11-++=k k k a a a ，且 ),2,1(1111 =+=+-+k a aa a k k k k 于是 ∑∑=+-=++=nk k k nk k k a aa a n 11111由算术-几何平均值不等式，可得nn n a a a a a a 132211+⋅⋅⋅≥ +n n n a aa a a a 113120+-⋅⋅⋅ 注意到 110==a a ，可知nn n nn a a a 11111+++≥，即 nnn n a a 111+≥+18.解：(1) 以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6.因为 1||||182||||236||||2|)||(|||||26||||cos 22222--=--+=-+=CB CA a CB CA CB CA CB CA CB CA CB CA C又 22)22(||||a a CB CA =≤⋅，所以 2181cos a C -≥，由题意得 25,25718122==-a a. 此时，|PA|=|PB|，P 点坐标为 P(0，±4).所以C 点的轨迹方程为)0(1162522≠=+y y x (2) 不妨设A 点坐标为A(-3，0)，M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).当直线MN 的倾斜角不为900时，设其方程为y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得 0)1169(83)16251(2222=-+++k x k x k 显然有 △≥0， 所以 222122212516400225,2516150k k x x k k x x +-=+-=+而由椭圆第二定义可得25165311442553125251614453125251614481251645025259)(325)535)(535(||||22222222212121+-⋅+=+-+=+-+++=++-=--=⋅k k kk k k k k x x x x x x BN BM只要考虑251653114422+-k k 的最小值，即考虑2516531144251612++-k 取最小值，显然. 当k=0时，||||⋅取最小值16.当直线MN 的倾斜角为900时，x 1=x 2=-3,得 16)534(||||2>=⋅BN BM 但)0(1162522≠=+y y x ，故0≠k ，这样的M 、N 不存在，即||||⋅的最小值的集合为空集.19.证明：由 题意可得 1sin sin sin 222=++γβα，且α、β、 )2,0(πγ∈所以 )cos()cos()2cos 2(cos 21sin sin 1sin 222γβγβγβγβα-+=+=--= 因为 )cos()cos(γβγβ+>-，所以 )](2[sin )(cos sin 222γβπγβα+-=+>当2πγβ≥+时，2πγβα>++.当2πγβ<+时，)(2γβπα+->，同样有 2πγβα>++故 2πγβα>++另一方面，不妨设 γβα≥≥，则 33sin ,33sin ≤≥γα 令 βγα2211sin )33(1sin ,33sin --==， 则 1sin sin sin12212=++γβα)cos()cos()cos()cos(sin 11112γαγαγαγαβ-+=-+=因为 γαγα-≤-11，所以 )cos()cos(11γαγα-≥- 所以 )cos()cos(11γαγα+≥+ 所以 11γαγα+≤+如果运用调整法，只要α、β、γ不全相等，总可通过调整，使111γβα++增大. 所以，当α=β=γ=33arcsin时，α+β+γ取最大值 333arcsin . 综上可知，33arcsin32≤++<γβαπ。
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全国高中数学竞赛模拟试题一、选择题（每题 6 分共 36 分）1. 由 0,1,2,3,4,5六个数字能组成数字不重复且百位数字不是5 的偶数有 [ ] 个A.360B.252C.720D.2402. 已知数列 { a n }(n ≥ 1) 满足 a n 2 = a n 1 - a n ，且 a 2 =1, 若数列的前2020 项之和为 2020，则前2020 项的和等于 [ ] A.2020B.2020C.2020D.20203. 有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是 60 0，又侧棱与底面所成的角都是450 ，则这个棱锥的体积是[ ]A.1B. 3C.3 D.3424. 若 ( 2x 4)2 naa x ax2a+则 a 2 a 4 a 2 n 被 3 除的余数2 2 n x 2n (n ∈ N ),0 1是 [ ] A.0 B.1C.2D.不能确定5. 已知 x, y(2, 2 ) ，且 xy 1 ，则24 的最小值是[ ]2422 xyA 、20B 、12C 、 16 4 2D 、 16 4 277776. 在边长为 12 的正三角形中有 n 个点，用一个半径为 3 的圆形硬币总可以盖住其中的2 个点，则 n 的最小值是 [ ]A.17B.16C.11D.10二、填空题（每题 9 分共 54 分）7. 在锐角三角形 ABC 中，设 tanA,tanB,tanC 成等差数列且函数 f(x) 满足f(cos2C)=cos(B+C-A) ，则 f(x) 的解析是为100 8.[(10i 1)(10i 3)(10i 7)(10i 9)] 的末三位数是 _______i 19. 集合 A 中的元素均为正整数，具有性质：若a A ，则 12- aA ，这样的集合共有 个 .10. 抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上，直线 x+y-1=0 与抛物线相交于 A 、 B 两点，且 |AB|= 86. 在抛物线上是否存在一点 C ，使△ ABC 为正三角形，若存在， C 点的11坐标是.11. 在数列 { a n } 中， a 1 ＝ 2， a nan 11(n N * ) ，设 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和，则S 2007 2S 2006S 2005 的值为12. 函数f ( x) 3 1 x x，其中0. 函数 f ( x)在[ 0, ) 上是减函数；的取范是 _____________________. 三、解答题（每题20 分共 60 分）13. 已知点 A 5,0和曲 x2 y 21 2x2 5,y上的点P、P、P n。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(8).doc
加试模拟训练题(8)1、已知圆Q , 0，。
3，°4按顺时针的顺序内切于圆。
，设圆O i,O j(l<i< j<4)的外公切线长为，证明依次以1口」23」34」14为边长，以上」24为对角线构成的凸四边形是圆内接四边形。
2.设AABC三边长为a,b,c ,有不等式-c)2 > -c)2,试证不等式①中的系数』是最优的.33、设M={ 1, 2, 3,2m n) (m, neN*)是连续2”n个正整数组成的集合,求最小的正整数k, 使得M 的任何k元了集中都存在m+1个数，ai, a2, 满足ai|a1+i (i=l, 2, •••, m).4.已知a,eN*,旦(a,幻= 1,。
〉2,试问a +b n I a m +b m的充要条件是"Im吗?2006年山东省第二届夏令营试题)加试模拟训练题(8)1、已知圆Q ,。
2，。
3，°4按顺时针的顺序内切于圆。
，设圆O i,O j(l<i< j<4)的外公切线长为，证明依次以【提23」34」14为边长，以I。
，项为对角线构成的凸四边形是圆内接四边形。
证明设圆0,0{,02,03,04的半径分别为R,*①,乃匕，圆。
1，。
2，°3，°4与圆。
的切点分别为A,B,C,D , 00{ = a,001 = b,003 = c,004 = d , XO t OO2 = a,XO2OO3= ”，ZO3OO4 = /,Z(91(?(?4 = S ,因为R = a + f[=b + r2,所以有/p = Op； -(/] -r,)" = a2 +Z?2- 2ab cos a ~(^a-by = 2aZ?(l-cos«) = 4t?Z?sin2 -y ,即.2成屿。
同理可得"4,MM的表达式。
由托勒密定理的逆定理知，只要证始始+，23,4 = /13,24 °代入/〃的表达式，只要证sin — sin — + sin — sin — = sin —+ sin —+—,即AB CD + BC AD = AC BD o 22 2 2 2 22.设AABC^.边长为a,b,c ,有不等式- c)2 > -c)2,- 一①试证不等式①中的系数』是最优的.3证明在不等式①中，取a=b,设g = 2(a 一成一(a 一疔= (a一们2 +(》_c)2 +Q —a)? —H^±£(。
高中数学竞赛二试题
高中数学竞赛二试题一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个选项不是有理数？A. √2B. πC. -1/3D. 02. 如果一个函数f(x)在x=a处可导，那么下列哪个选项是正确的？A. f(x)在x=a处一定连续B. f(x)在x=a处不一定连续C. f(x)在x=a处一定不连续D. 以上都不对3. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，那么该数列的第10项是：A. 17B. 19C. 21D. 234. 在一个平面直角坐标系中，点A(1,2)和点B(4,6)，直线AB的斜率是：A. 1B. 2C. 3D. 45. 一个圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，那么这个直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）6. 已知等差数列的首项为3，公差为2，该数列的第5项是________。
7. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的极值点是________。
8. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，其外接圆的半径是________。
9. 已知直线l的方程为2x - 3y + 6 = 0，求直线l与x轴的交点坐标________。
10. 将圆x^2 + y^2 = 25沿着x轴正方向平移3个单位后，新的圆的方程是________。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 总是能被30整除。
12. 解不等式：|x - 2| + |x + 3| ≥ 5。
13. 已知椭圆的两个焦点分别为F1(-3,0)和F2(3,0)，且椭圆上任意一点P到两个焦点的距离之和等于10。
求椭圆的方程。
四、证明题（每题15分，共30分）14. 证明：对于任意实数x和y，不等式(x + y)^2 ≤ 2(x^2 + y^2)总是成立。
15. 证明：如果一个三角形的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(96)(1)
加试模拟训练题（96）一、在四边形ABCD 中，⊿ABD 、⊿BCD 、⊿ABC 的面积比是3∶4∶1，点M 、N 别离在AC 、CD 上知足AM ∶AC =CN ∶CD ，而且B 、M 、N 三点共线．求证：M 与N 别离是AC 与CD 的中点．证明 设AC 、BD 交于点E ．由AM ∶AC =CN ∶CD ，故AM ∶MC =CN ∶ND ，令CN ∶ND =r (r >0)， 那么AM ∶MC =r ．由S ABD =3S ABC ，S BCD =4S ABC ，即S ABD ∶S BCD =3∶4．从而AE ∶EC ∶AC =3∶4∶7． S ACD ∶S ABC =6∶1，故DE ∶EB =6∶1，∴DB ∶BE =7∶1．AM ∶AC =r ∶(r +1)，即AM =r r +1AC ，AE =37AC ， ∴EM =(rr +1-37)AC =4r －37(r +1)AC ．MC =1r +1AC ， ∴EM ∶MC =4r －37．由Menelaus 定理，知CN ND ·DB BE ·EM MC=1，代入得 r ·7·4r －37=1，即4r 2－3r －1=0，那个方程有惟一的正根r =1．故CN ∶ND =1，确实是N 为CN 中点，M 为AC 中点．2. n 为一正整数，试确信有多少个实数x ，知足1≤x ＜n 和x 3－[x 3]=（x －[x]）3．其中[x]表示不超过x 的最大整数．【题说】1992年澳大利亚数学奥林匹克题2．【解】记[x]=－a ，x －[x]=r ，那么有1≤a ≤n －1，0≤r ＜1，且A B C DM N E（a+r）3－[（a+r）3]=r3即a3+3a2r+3ar2=[（a+r）3]因此a3+3a2r+3ar2是整数，且a3≤a3+3a3r+3ar2＜a3+3a2+3a=（a+1）3－1．当a肯按时，对任一整数n，a3＜n＜（a+1）3－1，r的二次方程3ar2+3a2r+（a3－n）=0的常数项为负，因此恰有一个正根r．而且（a+1）3－1＞n=3ar2+3a2r+a3推出r＜1．在n=a3时，显然r=0．因此a肯按时，r有（a+1）3－a3－1个不同的值知足0≤r＜1．从而x=a+r的个数为（a+1）3－a3－1．故所求x的个数为3.从n×n正方形剪去一个1×1的角格，求其余的图形分成等积三角形的最少个数．【题说】第十六届(1990年)全俄数学奥林匹克九年级题6．【解】一个与图中折线ABC有公共点的三角形，一条边长不大于1，至少分成个等积的三角形．图中的分法说明缺角正方形能够分成2(n＋1)个等积三角形．4.求方程2w+2x+2y+2z=20.625的知足条件w＞x＞y＞z的整数解．【题说】1979年湖南省赛二试题2．【解】方程两头同乘8，得2w+3+2x+3+2y+3+2z+3=165 （1）165为奇数，故必有z+3=0，即z=－3．（1）的两头同减去1，再除以4，得2w+1+2x+1+2y+1=41 （2）同理y=－1（2）的两头同减去1，再除以8，得2w-2+2x-2=5于是x=2，w=4故所求的解为w=4，x=2，y=－1，z=－3【别解】将20.625表为2的整数幂的和得2w+2x+2y+2z=24+22+2-1+2-3比较指数即可得解．。
全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题(80).doc
加试模拟训练题(80)1 ABCD是一个平行四边形，E是AB±的一点,F为CD上的一点。
AF交ED于G, EC交FB于H。
连接线段GH并延长交AD于L,交BC于机求证：DL=BM.2.由0和1组成的、长度为n (如00101, 10100长度都为5)的排列中，没有两个1 相连的排列的个数记为f (n).约定f (0) =1.试证明：(1) f (n) =f (n-1) +f (n-2), nN2；(2) f (4k+2)可被3整除，k》0.离专字习网/ 3.设ABCD是块矩形的板，|AB|=20, |BC|=12,这块板分成20X12个单位正方形.设r是给定的正整数.当且仅当两个小方块的中心之间的矩离等于齐时，可以把放在其中一个小方块里的砸而移别另一个小方块中.在以A为顶点的小方块中放有一个硬币，我们的工作是要找出一系列的移动，使这硬币移到以B 为顶点的小方块中.(a)证明当r被2或3整除时，这一工作不能够完成.(b)证明当r=73时，这项工作可以完成.(c)当r = 97时，这项工作能否完成？4.设a,b,c是三个互不相等的正整数。
求证：在a3b-ab3, b i c-bc i, c3a-ca3三个数中, 至少有一个能被10整除。
梅 涅劳斯定理，得EG DI CH i ---- =1 9GD IC HE AG FH BJ----- . ----- — 1 . HB JA因为AB//CD,所以竺 _ AG — , CH _ FH GD GFHE ~ HB'加试模拟训练题(80)1 ABCD 是一个平行四边形，E 是48 ±的一点,F 为CD 上的一点。
AF 交ED 于G, EC 交FB 于连接线 段GH 并延长交AD 于L,交BC 于M 。
求证:DL=BM.证 如图，设直线L/W 与曲的延长线交于点与DC 的延长线交于点/。
在△£(：£)与中分别使用n^-Dl BJ 0n CD + CI AB + AJ +后厂,,,布 从而一=—,即 ----------- = -------- ,故CI=AJ.而 IC JA CI AJ BM _BJ DI _ DL MC~ CI ~ AJ~ LA J 且 BM+MC=BC=AD=AL+LD.所以 BM=DL 。
全国高中数学联赛模拟卷(2)(一试+二试_附详细解答)
全国高中数学联赛模拟卷(2)一试一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 函数1cos sin 1cos sin ++-=x x x x y 的值域是___________2. 设a , b , c 为RT △ACB 的三边长, 点(m , n )在直线ax +by +c =0上. 则m 2+n 2的最小值是___________3. 若N n ∈，且92422--+n n 为正整数，则.________=n4. 掷6次骰子, 令第i 次得到的数为i a , 若存在正整数k 使得61=∑=ki i a 的概率mnp =，其中n m ,是互质的正整数. 则n m 76log log -= .5. 已知点P 在曲线y =e x 上，点Q 在曲线y =lnx 上，则PQ 的最小值是_______6. 已知多项式f (x )满足：222(3)2(35)61017()f x x f x x x x x R +++-+=-+∈, 则(2011)f =_________7. 四面体OABC 中, 已知∠AOB =450,∠AOC =∠BOC =300, 则二面角A －OC －B 的平面角α的余弦值是 __________8. 设向量)cos sin ,cos sin 2(),,3(θθθθβαa a x x +=+=满足对任意R x ∈和θ∈[0, π2],2||≥+βα恒成立. 则实数a 的取值范围是________________.二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．设数列{}n a 满足0a N +∈,211nn n a a a +=+.求证：当1200+≤≤a n 时,n a a n -=0][. (其中[]x 表示不超过x 的最大整数)．10. 过点)3,2(作动直线l 交椭圆1422=+y x 于两个不同的点Q P ,，过Q P ,作椭圆的切线，两条切线的交点为M ， ⑴ 求点M 的轨迹方程；⑵ 设O 为坐标原点，当四边形POQM 的面积为4时，求直线l 的方程.11. 若a 、b 、c R +∈，且满足22)4()(c b a b a cb a kabc++++≤++，求k 的最大值。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题
加试模拟训练题（2）1、 设(1,2,3,4)i x i =为正实数，满足11212312341,5,14,30,x x x x x x x x x x ≤+≤++≤+++≤ 求1234111234U x x x x =+++的最大值．2、设ΛΛ,,,,21a a a k 为两两各不相同的正整数,求证:对任何正整数n,均有∑∑==≥nk n K k k k a 11213、 一个俱乐部中有3n ＋1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n 个人与他打网球，n 个人与他下棋，n 个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．4．证明：若正整数b a ,满足b b a a +=+2232，则b a -和122++b a 都是完全平方数。
加试模拟训练题（2）1、 设(1,2,3,4)i x i =为正实数，满足11212312341,5,14,30,x x x x x x x x x x ≤+≤++≤+++≤ 求1234111234U x x x x =+++的最大值．解：令112123123412341,5,14,30,y x y x x y x x x y x x x x =-⎧⎪=+-⎪⎨=++-⎪⎪=+++-⎩则 0(1,2,3,4)i y i ≤=，112123234341,4,9,16,x y x y y x y y x y y =+⎧⎪=-++⎪⎨=-++⎪⎪=-++⎩于是 ()()()()112223411114916234U y y y y y y y =++-+++-+++-++ 12341111102612410.y y y y =++++≤当 1121231234123410,50,140,300,y x y x x y x x x y x x x x =-=⎧⎪=+-=⎪⎨=++-=⎪⎪=+++-=⎩即12341,4,9,16x x x x ====时，max 10.U=2、设ΛΛ,,,,21a a a k 为两两各不相同的正整数,求证:对任何正整数n,均有∑∑==≥n k n K k k k a 1121证明: 设a a a b b b n n ,,,,,,2121ΛΛ是的从小到大的有序排列,即b b b n ≤≤21,因为b i 是互不相同的正整数.则n b b b n ≥≥≥,,2,121Λ 又因为n 222111132>>>>Λ所以由排序不等式得: n a a a n 22212+++Λ (乱序)n b b b n22212+++≥Λ (倒序)n 1211+++≥Λ即 ∑∑==≥n k n k k k k a 1121 成立. 3、 一个俱乐部中有3n ＋1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n 个人与他打网球，n 个人与他下棋，n 个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．【证】 将人看作平面上的点，得到一个有3n ＋1个点的图(假定任意三点都不在一直线上)，当两个人玩网球或象棋或乒乓球时，我们就在相应的两点之间连一条红线或黄线或蓝线，需要证明的是，一定存在一个三条边的颜色互不相同的三角形．自一点引出的3n 条线段中，如果某两条线段的颜色不同，就称它们构成一个“异色角”．考虑异色角的个数．由于自每一点引出n 条红线，角形中有3个异色角．这个三角形的三条边颜色互不相同，即相应的三个人之间玩的游戏是三种俱全．4．证明：若正整数b a ,满足b b a a +=+2232，则b a -和122++b a 都是完全平方数。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(88)(1)
加试模拟训练题（88）1．以O为圆心的圆通过⊿ABC的两个极点A、C，且与AB、BC两边别离相交于K、N两点，⊿ABC和⊿KBN的两外接圆交于B、M两点．证明：∠OMB为直角．2. 设a和b为实数，且使方程x4+ax3+bx2+ax+1=0至少有一个实根，对所有这种数对(a，b)，求出a2+b2的最小可能值．3 一条平行于x轴的直线，若是它与函数y＝x4＋px3＋qx2＋rx＋s的图像相交于互异的四点A、B、C、D，而线段AB、AC与AD能够组成某个三角形的三条边，那么就称此直线为“三角形的”．证明；平行于x轴而与上述函数的图像相交于四个不同点的直线中，要么全都是三角形的，要么没有一条是三角形的．4.已知实函数(,)f x y知足(,0)1,f x=①((,),)(,).f f x y z f z xy z=+②求(,)f x y的表达式.加试模拟训练题（88）1．以O为圆心的圆通过⊿ABC的两个极点A、C，且与AB、BC两边别离相交于K、N两点，⊿ABC和⊿KBN的两外接圆交于B、M两点．证明：∠OMB为直角．分析关于与圆有关的问题，常可利用圆幂定理，假设能找到BM上一点，使该点与点Ｂ关于圆O等幂即可．证明：由BM、KN、AC三线共点P，知PM·PB=PN·PK=PO2-r2．⑴由PMN =BKN =CAN，得P、M、N、C共圆，故BM·BP=BN·BC=BO2-r2．⑵⑴－⑵得，PM·PB-BM·BP= PO2 - BO2，即(PM-BM)(PM+BM)= PO2 - BO2，确实是OA CBKNMPM2 -BM2= PO2 - BO2，于是OM⊥PB．2. 设a和b为实数，且使方程x4+ax3+bx2+ax+1=0至少有一个实根，对所有这种数对(a，b)，求出a2+b2的最小可能值．【题说】第十五届(1973年)国际数学奥林匹克题3．此题由瑞典提供．【解】设实数x使x4+ax3+bx2+ax+1=0则从而方程y2+ay+(b-2)=0此式即平方整理得2｜a｜≥2+b从而程x4+ax3+bx2+ax+1的实根)．3 一条平行于x轴的直线，若是它与函数y＝x4＋px3＋qx2＋rx＋s的图像相交于互异的四点A、B、C、D，而线段AB、AC与AD能够组成某个三角形的三条边，那么就称此直线为“三角形的”．证明；平行于x轴而与上述函数的图像相交于四个不同点的直线中，要么全都是三角形的，要么没有一条是三角形的．【题说】1980年四国国际数学竞赛题5．此题由芬兰提供．【证】设有一条直线是三角形的，不妨设它确实是x轴，而且交点A在最左面(若是B在最左，A为左起第二个，那么BA、BC、BD也成三角形，其它情形令x＝－t就能够够化成这两种)，A确实是原点．这时B、C、D 的横坐标是三次方程x3＋px2＋qx＋r＝0的三个根，它们能够作为三角形的三条边的充分必要条件是P＜0，q＞0， r ＜0及p 3＞4pq －8r ．任一条平行于x 轴的直线y ＝y 0与y ＝x 4＋px 3＋qx 2＋rx ＋s 的四个交点的横坐标记为x 0＜x 1＜x 2＜x 3，那么正数a ＝x 1－x 0，b ＝x 2－x 0，C ＝x 3－x 0及0知足方程 y 0＝(x ＋x 0)4＋p(x ＋x 0)3＋q(x ＋x 0)2＋r(x ＋x 0)＋s 从而a 、b 、c 是方程的根．由于＝p3－4pq ＋8r ＞0 因此a 、b 、c 能够作为三角形的边长．即直线y ＝y 0是三角形的．4.已知实函数(,)f x y 知足(,0)1,f x = ① ((,),)(,).f f x y z f z xy z =+ ② 求(,)f x y 的表达式.解 把①代入②，有()()()()1,,0,,01f y f f x y f y y y ==+=+， ③ 进而 ()()(),111,1f x f x =+- ()()()1,1,1f f x =- （由③） 1x =+ ④ 一方面由④有()()(),,1,1,f f x y f x y =+ ⑤ 另一方面由②、③有()()(),,11,11 1.f f x y f xy xy =+=++ ⑥ 由⑤、⑥得(),111f x y xy +=++，即 (),1f x y xy =+.查验知(),1f x y xy =+为所求.。
高中数联赛二试题及答案
高中数联赛二试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若实数a、b满足a²+b²=1，则a+b的最大值为（）。
A. 1B. √2C. 2D. √32. 已知函数f(x)=x³-3x+1，若f(a)=f(b)，则a+b的值为（）。
A. 0B. 1C. -1D. 23. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求数列{an}的通项公式为（）。
A. an=2^n-1B. an=2^(n-1)C. an=2^nD. an=2^(n-1)+14. 若复数z满足|z-1|=|z+i|，则z在复平面上对应的点位于（）。
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，公差d=3，则S5=________。
6. 已知函数f(x)=x²-4x+m，若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增，则m的取值范围为________。
7. 已知双曲线C的方程为x²/a²-y²/b²=1（a>0，b>0），若双曲线C的一条渐近线方程为y=√2x，则双曲线C的离心率为________。
8. 已知圆C的方程为(x-2)²+(y-3)²=25，直线l的方程为y=x+1，若圆C与直线l相切，则圆心C到直线l的距离为________。
三、解答题（每题15分，共60分）9. 已知函数f(x)=x³-3x+1，求证：f(x)至少有一个零点。
证明：首先求导数f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0，解得x=±1。
当x<-1或x>1时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增；当-1<x<1时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减。
因此，f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=3，在x=1处取得极小值f(1)=-1。
全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题(86)
加试模拟训练题（86）2. 设a 1=1，a 2=3，对一切自然数n 有a n+2=（n+3）a n+1-（n+2）a n求所有被11整除的a n 的值．。
的交点，证明：与是的中点，是上，在点的平分线，是是斜边上的高，中，若直角CE BF CK DE F AC D AK E ACK CE CK ABC //.1∠∆3. 已知五条线段中任何三条都可以组成一个三角形．证明：这些三角形中至少有一个是锐角三角形．4．设多项式()n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110 的系数都是整数，并且有一个奇数α及一个偶数β使得()αf 及()βf 都是奇数，求证方程()0=x f 没有整数根．加试模拟训练题（86）2. 设a 1=1，a 2=3，对一切自然数n 有a n+2=（n+3）a n+1-（n+2）a n求所有被11整除的a n 的值．【题说】1990年巴尔干地区数学奥林匹克题1．【解】设b n+1=a n+1-a n （n ≥1），则由条件有b n+1=（n+1）（a n -a n-1）=（n+1）b n （n ≥2）b n =nb n-1=n （n-1）b n-2=…=n （n-1）…3b 2=n ！（n ≥2）所以 a n =（a n -a n-1）+（a n-1-a n-2）+…+（a 2-a 1）+1。
的交点，证明：与是的中点，是上，在点的平分线，是是斜边上的高，中，若直角CE BF CK DE F AC D AK E ACK CE CK ABC //.1∠∆CE //BF CKE FKB KE BK KC KF BE BK FC KF BEBK BC BP AC EP AC CK AE EK FC KF 1FCKF EK AE DA CD F E D ACK EP CK EP BC EBC CE BH 90HCB ACE HCB HBC ACEHBC ACK EBC BH B EBC ∴≅∴=====⋅⋅=∴⊥︒=∠+∠=∠+∠∠=∠∠=∠∠∆∆∆∆∆＝依分比定理有：＝即：＝于是依梅涅劳斯定理有：、、和三点对于，则：上的高作为等腰三角形即：则：的平分线中，作在证：由此可算出：整除．故本题答案为n=4，n=8以及n ≥10．3. 已知五条线段中任何三条都可以组成一个三角形．证明：这些三角形中至少有一个是锐角三角形．【题说】 第四届(1970年)全苏数学奥林匹克九年级题1．【证】设五条线段的长度为a ≤b ≤c ≤d ≤e假设由这些线段组成的任何三角形都不是锐角三角形，那么，在由a 、b 、c ；b 、c 、d ；c 、d 、e 组成的三个三角形中，有c 2≥a 2＋b 2，d 2≥b 2＋c 2，e 2≥c 2＋d 2将它们相加，得到e 2≥a 2＋2b 2＋c 2≥a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b)2从而e ≥a ＋b ．这样，用e 、a 、b 三条线段便不能组成三角形，矛盾．因此，命题得证．4．设多项式()n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110 的系数都是整数，并且有一个奇数α及一个偶数β使得()αf 及()βf 都是奇数，求证方程()0=x f 没有整数根．证明 由已知有()()()0121mod 21mod 2n f a a a a α≡⇔++++≡， ①()()()1mod 21mod 2n f a β≡⇔≡， ②若方程()0=x f 存在整数根0x ，即()00f x =.当0x 为奇数时，有()()()00120mod 20mod 2n f x a a a a ≡⇔++++≡，与①矛盾.有0x 为偶数时，有()()()00mod 20mod 2n f x a ≡⇔≡，与②矛盾.所以方程()0=x f 没有整数根．。
全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题(83).pdf
加试模拟训练题（83） 2.?数列｛an｝定义为a1=a2=1，an+2=an+1+an．求证：当n≥2时，a2n-1必是数列中某两项的平方和，a2n必是数列中某两项的平方差． 3. 已知平面上n(n＞2)个点，其中任意三点都不在一直线上．试证：在经过这些点的所有闭折线中，长度最短的一定是简单闭折线． 4 .设，。
（1）若，求证：是完全平方数 （2）存在无穷多个，使得 加试模拟训练题（83） 2.?数列｛an｝定义为a1=a2=1，an+2=an+1+an．求证：当n≥2时，a2n-1必是数列中某两项的平方和，a2n必是数列中某两项的平方差． 【题说】1990年南昌市赛二试题1．此数列即为斐波拉契数列． 【证】数列的前4项为1，1，2，3， 因此对一切自然数n≥2， ? 3. 已知平面上n(n＞2)个点，其中任意三点都不在一直线上．试证：在经过这些点的所有闭折线中，长度最短的一定是简单闭折线． 【题说】 1971年～1972年波兰数学奥林匹克三试题2．简单闭折线即不自身相交的闭折线． 【证】 设已知点为A1，A2，…，An，L为经过这些点的最短的闭折线． 若L不是简单闭折线，则L有两段，设为AiAj、AsAt相交于内点P，这时 AiAt＋AsAjAiP＋PAt＋AsP＋PAj ＝AiAj＋AsAt L中的线段AiAj、AsAt改为AiAt、AsAj，则折线的长度减少，与L的最小性矛盾，从而L一定是简单闭折线． 4 .设，。
（1）若，求证：是完全平方数 （2）存在无穷多个，使得 解析：， ，。
可以得到，得证。
可以得到，取即可。
A B C M N L K A B C M N L K。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(82)
加试模拟训练题（82）1 如图，四边形ABCD 内接于圆，AB ，DC 延长线交于E ，AD 、BC 延长线交于F ，P 为圆上任意一点，PE ，PF 分别交圆于R ，S . 若对角线AC 与BD 相交于T . 求证：R ，T ，S 三点共线。
2.对于每个实数x 1，由x n+1=x n （x n +1/n ），n ≥1，构成序列x 1，x 2，…，证明：存在唯一的x 1，使得0＜x n ＜x n+1＜1（n=1，2，…）．3.九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2:3的两个四边形．证明：这九条直线EB RC TA P S DF中至少有三条经过同一点．4. 已知49个正整数的集合M，M中的每个数的质因数不大于10，证明：M中有4个互不相同的元素，它们的乘积等于某个整数的四次方。
加试模拟训练题（82）1如图，四边形ABCD内接于圆，AB，DC延长线交于E，AD、BC延长EB RC线交于F ，P 为圆上任意一点，PE ，PF 分别交圆于R ，S . 若对角线AC 与BD 相交于T . 求证：R ，T ，S 三点共线。
先证两个引理。
引理1:A 1B 1C 1D 1E 1F 1为圆内接六边形，若A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交于一点，则有1111111111111=⋅⋅A F F E E D D C C B B A . 如图，设A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交于点O ，根据圆内接多边形的性质易知 △ OA 1B 1∽△OE 1D 1，△OB 1C 1∽△OF 1E 1， △ OC 1D 1∽△OA 1F 1，从而有 △O D O B E D B A 111111=， O B O F C B F E 111111=， OF OD A F D C 111111=. 将上面三式相乘即得1111111111111=⋅⋅A F FE E D D C C B B A ，引理2：圆内接六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1，若满足1111111111111=⋅⋅A F F E E D D C C B B A 则其三条对角线A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交于一点。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(2)(1)
加试模拟训练题（2）一、 设(1,2,3,4)i x i =为正实数，知足 求1234111234U x x x x =+++的最大值． 二、设 ,,,,21a a a k 为两两各不相同的正整数,求证: 对任何正整数n,均有∑∑==≥nk n K k k k a 1121 3、 一个俱乐部中有3n ＋1个人，每两个人能够玩网球、象棋或乒乓球，若是每一个人都有n 个人与他打网球，n 个人与他下棋，n 个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．4．证明：假设正整数b a ,知足b b a a +=+2232，那么b a -和122++b a 都是完全平方数。
加试模拟训练题（2）一、 设(1,2,3,4)i x i =为正实数，知足 求1234111234U x x x x =+++的最大值． 解：令那么 0(1,2,3,4)i y i ≤=，于是 ()()()()112223411114916234U y y y y y y y =++-+++-+++-++ 当 1121231234123410,50,140,300,y x y x x y x x x y x x x x =-=⎧⎪=+-=⎪⎨=++-=⎪⎪=+++-=⎩即12341,4,9,16x x x x ====时，max 10.U =二、设 ,,,,21a a a k为两两各不相同的正整数,求证: 对任何正整数n,均有∑∑==≥nk n K k k k a 1121 证明: 设a a ab b b n n ,,,,,,2121 是的从小到大的有序排列,即 b b b n ≤≤21,因为b i是互不相同的正整数.则n b b b n ≥≥≥,,2,121又因为n 222111132>>>>因此由排序不等式得:n a a a n 22212+++ (乱序)n b b b n22212+++≥ (倒序) 即 ∑∑==≥n k n k k k k a 1121 成立. 3、 一个俱乐部中有3n ＋1个人，每两个人能够玩网球、象棋或乒乓球，若是每一个人都有n 个人与他打网球，n 个人与他下棋，n 个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．【证】 将人看做平面上的点，取得一个有3n ＋1个点的图(假定任意三点都不在一直线上)，当两个人玩网球或象棋或乒乓球时，咱们就在相应的两点之间连一条红线或黄线或蓝线，需要证明的是，必然存在一个三条边的颜色互不相同的三角形．自一点引出的3n 条线段中，若是某两条线段的颜色不同，就称它们组成一个“异色角”．考虑异色角的个数．由于自每一点引出n 条红线，角形中有3个异色角．那个三角形的三条边颜色互不相同，即相应的三个人之间玩的游戏是三种俱全．4．证明：假设正整数b a ,知足b b a a +=+2232，那么b a -和122++b a 都是完全平方数。
2024年全国高中数学竞赛试题
选择题设函数f(x) = sin(x) + cos(2x)，则f'(π/4) 的值为：A. -√2/2B. √2/2C. -1D. 1（正确答案）已知等差数列{an} 的前n 项和为Sn，且a1 = 1，S3 = 9，则a4 的值为：A. 5B. 6C. 7（正确答案）D. 8若复数z 满足(1 + i)z = 2i，则z 的共轭复数为：A. 1 - iB. 1 + i（正确答案）C. -1 - iD. -1 + i已知向量a = (1, 2)，b = (3, 4)，则a 与b 的夹角的余弦值为：A. √5/5B. 2√5/5（正确答案）C. 3/5D. 4/5设函数f(x) = ex - x - 1，则不等式f(x) > 0 的解集为：A. (-∞, 0)B. (0, +∞)（正确答案）C. (-∞, 1)D. (1, +∞)已知椭圆C: x2/4 + y2/3 = 1，F1，F2 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF1 ⊥ PF2，则|PF1| × |PF2| 的值为：A. 6/7B. 12/7C. 9/4（正确答案）D. 3/2已知函数f(x) = ln(x + 1) - x，则f(x) 的单调递增区间为：A. (-1, 0)（正确答案）B. (0, +∞)C. (-∞, -1)D. (-∞, 0)已知三角形ABC 的内角A，B，C 对应的边分别为a，b，c，且a = 2，b = 3，cos C = -1/2，则三角形ABC 的面积为：A. 3√3/4B. 3√3/2（正确答案）C. 3/2D. 3已知数列{an} 满足a1 = 1，an+1 = 2an + 3，则数列{an} 的通项公式为：A. an = 2n - 1B. an = 2(n+1) - 3C. an = 2n + 3 - 4/2n（正确答案）D. an = 2(n-1) + 3。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(77)
加试模拟训练题（77）1 设P 为△ABC 内一点，∠APB －∠ACB =∠APC －∠ABC 。
又设D ，E 分别是△APB 及△APC 的内心。
证明：AP ，BD ，CE 交于一点。
2.考察数列｛c n ｝：c 1=c 1+c 2+…+a 8……其中a 1，a 2，…，a 8是不全为0的实数．假定该数列中有无限多项c n =0．求出所有使c n =0的自然数n ．ACR SM N DE P3.在平面上给定六个点，其中任何三点都不在一直线上．证明：在这六个给定的点中，可以挑出这样三个点，使得在这三个点构成的三角形中，有一个角不小于120°．4.设n N +∈，求证：()22512332241.n n n -+-加试模拟训练题（77）1 设P 为△ABC 内一点，∠APB －∠ACB =∠APC －∠ABC 。
又设D ，E 分别是△APB 及△APC 的内心。
证明：AP ，BD ，CE 交于一点。
证 如图，过P 向三边作垂线，垂足分别为R ，S ，T 。
连RS ，ST ，RT ，设BD 交AP 于M ，CE 交AP 于N 。
易知P ，R ，A ，S ；P ，T ，B ，R ；P ，S ，C ，T 分别四点共圆，则 ∠APB －∠ACB =∠PAC +∠PBC=∠PRS +∠PRT =∠SRT 。
同理，∠APC －∠ABC =∠RST ，由条件知∠SRT =∠RST ，所以RT =ST 。
又RT =PBsinB ，ST =PCsinC ，所以PBsinB =PCsinC ，那么ACPCAB PB=。
由角平分线定理知MPAMPB AB PC AC NP AN ===。
故M ，N 重合，即AP ，BD ，CE 交于一点。
2.考察数列｛c n ｝：c 1=c 1+c 2+…+a 8……其中a 1，a 2，…，a 8是不全为0的实数．假定该数列中有无限多项c n =0．求出所有使c n =0的自然数n ．【题说】第九届（1967年）国际数学奥林匹克题5．本题由原苏联提供． 【解】不妨设a1的绝对值为最大，则必有某个a i ，满足a i =-a 1（i ≠1）． 否则，当n 充分大时，不失一般性可设 a 2=-a 1所得的和c n 仍然有无穷多个为0．根据上面的推理，有（适当调整编号）：a 3=-a 4，a 5=-a 6，a 7=-a 8因而n 为奇数时，c n =0．3.在平面上给定六个点，其中任何三点都不在一直线上．证明：在这六个给定的点中，可以挑出这样三个点，使得在这三个点构成的三角形中，有一个角不小于120°． 【题说】1958年匈牙利数学奥林匹克题1．【证】 考虑这六点的凸包，它是一个凸多边形，顶点是这些已知点的全体或一部分．ACR SM N DE P设∠ABC ≥120°，则A 、B 、C 即为所求． 如果凸包是△ABC ，那么有一已知点D 在这三角形内．∠ADB 、∠BDC 、∠CDA 中必有一个≥120°，结论成立．如果凸包是四边形或五边形，用对角线将它们剖分为三角形，必有一个三角形中有已知点．于是由上一种情形的讨论即得．4.设n N +∈，求证：()22512332241.n n n -+-解析：设()22332241nf n n n =-+-，要证()512f n ，可运用递推思想转化为证明()()()()5121,5121,f f n f n n N ++-∈。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(84)(1)
加试模拟训练题（84）2.数列｛a n ｝由以下条件决定：a 1=1；n ≥1时，a n+1=a n +1/a n ．求a 100的整数部份[a 100]．3.在一个平面上有100个点，其中任意三点均不共线，咱们考虑以这些点为极点的所有可能的三角形，证明：其中最多有70%的三角形是锐角三角形．4. 用[]x 表示不大于x 的最大整数，求122004366366366366⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 加试模拟训练题（84） 2. 数列｛a n ｝由以下条件决定：a 1=1；n ≥1时，a n+1=a n +1/a n ．求a 100的整数部份[a 100]．【题说】1990年日本数学奥林匹克第一轮选拔赛题12．【解】由题有因为a n+1-a n =1/a n ＞0，因此a n 递增．当≥2时，a n ≥a 2=2，于是=200+98/4＜225因此 14＜a 100＜15 故[a 100]=14．3.在一个平面上有100个点，其中任意三点均不共线，咱们考虑以这些点为极点的所有可能的三角形，证明：其中最多有70%的三角形是锐角三角形．【题说】 第十二届(1970年)国际数学奥林匹克题6．此题由原苏联提供．【证】 任意五个点，其中没有三点共线，那么必然能够找到以它们为极点的三个非锐角三角形．那个结论可分三种情形讨论．(1)假设五个点组成一个凸五边形，那么那个五边形中至少有两个内角为钝角，它们可能相邻(例如∠A 、∠B)，也可能不相邻(例如∠A 、∠C)，如图a 、图b ．再注意四边形ACDE 中至少有一个内角非锐角，如此就找到了三个不同的非锐角，相应地取得三个非锐角三角形．(2)假设五个点中有四个点组成一个凸四边形ABCD(图C)，另一点E 在ABCD 内部，那么EA 、EB 、EC 、ED 彼其间的夹角至少有两个钝角．再加上ABCD 中的非锐内角，至少也可找到三个非锐角三角形．(3)假设五个点中有三点组成一个三角形ABC(图d)，另外两点D 和E 均在△ABC 内，由于∠ADB 、∠BDC 、∠CDA 中至少有两个钝角，咱们能够找到四个钝角三角形．综合(1)、(2)、(3)可得结论．数的比为例2 用[]x 表示不大于x 的最大整数，求122004366366366366⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 讲解 题目的内层有2004个高斯记号，外层1个高斯记号.关键是弄清[]x 的含义，进而弄清加法谁与谁加、除法谁与谁除：（1）分子是哪些数相加，求出和来；由36651830200421963666⨯=<<=⨯，知分子是0～5的整数相加，弄清加数各有几个（2）除法谁除以366，求出商的整数部份.原式()036536612345175366⨯+++++⨯⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。
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加试模拟训练题（82）
1 如图，四边形ABCD 内接于圆，AB ，DC 延长线交于E ，AD 、BC 延长线交于F ，P 为圆上任意一点，PE ，PF 分别交圆于R ，S . 若对角线AC 与BD 相交于T . 求证：R ，T ，S 三点共线。
2.对于每个实数x 1，由x n+1=x n （x n +1/n ），n ≥1，构成序列x 1，x 2，…，证明：存在唯一的x 1，使得0＜x n ＜x n+1＜1（n=1，2，…）．
3.九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2:3的两个四边形．证明：这九条直线
E
B R
C T
A P S D
F
中至少有三条经过同一点．
4. 已知49个正整数的集合M，M中的每个数的质因数不大于10，证明：M中有4个互不相同的元素，它们的乘积等于某个整数的四次方。
加试模拟训练题（82）
1如图，四边形ABCD内接于圆，AB，DC延长线交于E，AD、BC延长
E
B R
C
线交于F ，P 为圆上任意一点，PE ，PF 分别交圆于R ，S . 若对角线AC 与BD 相交于T . 求证：R ，T ，S 三点共线。
先证两个引理。
引理1:
A 1
B 1
C 1
D 1
E 1
F 1为圆内接六边形，若A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交于一点，则有
11
11
111111111=⋅⋅A F F E E D D C C B B A . 如图，设A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交于点O ，根据圆内接多边形的性质易知 △ OA 1B 1∽△OE 1D 1，△OB 1C 1∽△OF 1E 1， △ OC 1D 1∽△OA 1F 1，从而有 △
O D O B E D B A 111111=， O B O F C B F E 111111=， O
F O
D A F D C 111111=. 将上面三式相乘即得11
11111111111=⋅⋅A F F
E E D D C C B B A ，
引理2：
圆内接六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1，若满足
11
11
111111111=⋅⋅A F F E E D D C C B B A 则其三条对角线A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交于一点。
该引理与定理2的证明方法类似，留给读者。
例11之证明如图，连接PD ，AS ，RC ，BR ，AP ，SD . 由△EBR ∽△EPA ，△FDS ∽△FPA ，知EP EB PA BR =,FD
FP
DS PA =
. 两式相乘，得
FD
EP FP
EB DS BR ⋅⋅=
. ① 又由△ECR ∽△EPD ，△FPD ∽△FAS ，知
EP EC PD CR =，FA
FP
AS PD =
. 两式相乘，得FA
EP FP
EC AS CR ⋅⋅=
② 由①，②得FD
EC FA
EB CR DS AS BR ⋅⋅=
⋅⋅. 故 =⋅⋅AB SA DS CD RC BR CE
DC
FD AF BA EB ⋅
⋅. ③ 对△EAD 应用梅涅劳斯定理，有1=⋅⋅CE
DC
FD AF BA EB ④
由③，④得1=⋅⋅AB
SA
DS CD RC BR .
由引理2知BD ，RS ，AC 交于一点，所以R ，T ，S 三点共线。
2.对于每个实数x 1，由x n+1=x n （x n +1/n ），n ≥1，构成序列x 1，x 2，…，证明：存在唯一的x 1，使得0＜x n ＜x n+1＜1（n=1，2，…）．
【题说】第二十六届（1985年）国际数学奥林匹克题6．本题由瑞典提供．
B F A E 1
O
C D 1
1
1
1
1
【证】设P 1（x ）=x ，P n+1（x ）=P n （x ）（P n （x ）+1/n ），（n ≥1）那么P n
（x ）是正系数的2n-1
次多项式．于是x n =P n （x 1），由于x n+1＞x n 与x n ＞1-1/n 等价，问题可改为证明存在唯一的正实数t ，使得1-1/n ＜P n （t ）＜1（n=1，2，）．
由于P n （x ）是严格的增函数（x ≥0），P n （0）=0，且P 1（1）=1，P n （1）＞1（n ≥2），我们可以找到唯一的a n ＜b n ≤1，使P n （a n ）=1-1/n 及P n （b n ）=1．
又由P n+1（a n ）=1-1/n 及P n+1（a n+1）=1-1/（n+1），可得
a n ＜a n+1
同理，由P n+1（b n+1）=1及P n+1（b n ）=1+1/n ，得b n+1＜b n ． 由于[a n ，b n ] [a n-1，b n-1]，所以P n-1（a n ）≥P n-1（a n-1）≥
≥P 1（b n ）-P 1（a n ）=b n -a n
由“区间套定理”，存在唯一实数t ，使得对所有n 均满足a n ＜t ＜b n ，由此得1-1/n ＜P n （t ）＜1．
3.九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2:3的两个四边形．证明：这九条直线中至少有三条经过同一点．
【题说】 第六届(1972年)全苏数学奥林匹克八年级题4、十年级题5．
【证】 由梯形的面积等于高和中位线的积可知：分正方形成面积比为2:3的两个梯形(或矩形)的每条直线，都把沿着梯形的中位线作出的正方形的中位线分成同样的比．
如图，分正方形中位线为2:3的点共有四个，而直线有9条，故至少应有三条直线过这些点中的某一个．
例7 已知49个正整数的集合M ，M 中的每个数的质因数不大于10，证明：M 中有4个互不相同的元素，它们的乘积等于某个整数的四次方。
注：不妨假设i m M ∈且1234
2357
i i i i p
p
p
p i m =，考虑下面的有序数组()1234,,,i i i i p p p p ，从各
自的奇偶性看，共16种，所以肯定有4个有序组，它们的奇偶性次序完全相同。
这样讨论有缺陷。
先从49个有序组种取17个有序组，肯定有两个有序组的奇偶次序完全相同，这样两个有序数组记为()()1112131411121314,,,,,,,a a a a b b b b ，原来的49个有序组，还剩余47个有序，再取17个，又有两个有序组，()()2122232421222324,,,,,,,a a a a b b b b ，一次可以取17对有序组，
()()17,1
172173174171172173174,,,,,,,a
a a a
b b b b ，每两对的奇偶性次序完全相同。
将它们相乘，则
112233442357i i i i i i i i a b a b a b a b ++++，其中，还有两个奇偶性次序完全相同，再相乘，可以得到结论。