冶金过程数值模拟复习资料参考——LoganZhou详解

1.数学模型、数学模拟、数值模拟、物理模拟
数学模型：用数学语言描述实际现象。

数学模拟：通过数学模型对实际现象的描述和求解，实现对实际过程的数学再现。

数值模拟：需要计算机进行数值求解的数学模拟。

物理模拟：是通过实验室物理实验模拟真实物理过程的方法。

将实际地形物理的缩小模型置于实验体（如风洞、水槽等）内，在满足基本相似条件（包括几何、运动、热力、动力和边界条件相似）的基础上，模拟真实过程的主要特征，如空气动力规律和扩散规律。

由于所有相似条件不可能完全满足，针对具体要求恰当选取相似参数是实现物理模拟的关键。

物理模拟主要用于数值计算模式难于处理的复杂地形以及建筑物影响时的扩散研究。

物理模拟实验与现场实验相比条件易控制、重复，且省人力、物力，可进行较全面和规律性实验，是大气扩散研究的重要手段。

2、建立数学模型的方法步骤及意义
数学模型的建立可以分成三个步骤：(a). 分解，将复
杂的冶金反应过程分解为流体流动、传热、传质和化学反
应等基本单元过程；(b). 简化，通过一系列假设对问题进
行合理简化，简化原则包括：抓住主要矛盾而不失真实性，
满足应用的精度要求，适应当前实验条件，以便进行模型
识别和参数估算，适应现有计算机能力；(c). 推导，基于
上述分解和假设，开始对所有的数学表达进行具体推导，
构建模型的核心方程组，可以是线性、非线性，常微分、
偏微分，甚至隐函数；
1）、摸排阶段：根据实际生产提出的问题，了解问题
背景、主次、本质、目标、建模方法；
2）、梳理阶段：确定目标，限定过程现象，据此进行参量分析、确定问题的参数、搜集各种必要信息，明确已知量、未知量、自变量、因变量、主要量、次要量，以及这些量之间的关系和所属的基础理论范畴，同时做出误差允许范围内的简化处理，舍弃一些次要量，便于求解；
3）、建模阶段：通过基本过程描述，进行理论依据的选取，根据文献收集，进行合适的数学模型的比较分析和选取，如果没有合适模型，需要自定义模型。

作用和意义：
现有工艺：加深对过程的基本现象、
反应机理的认识，为改善工艺过程和操作
提供依据；探索设备、工艺过程和操作参
数的变化对冶金效果的影响和变化规律
及它们之间的定量关系，为优化工艺、改
进设备、改善操作提供必要的数据和依据；
实现对工艺过程的诊断和过程的自动控
制；指导中试厂和现场实物实验的设计和
规划，以节省开支等。

新工艺：对新设计工艺的可行性和灵
活性做出准确的估计；对规划和设计实验室、中试厂或实物规模的实验提供指导；帮助评估中试厂或实物试验结果和进行比例放大；在一定条件下，可替代中试厂
或现场实物进行开发性试验，以节省费用等。

3、通量传输速度的确定
通量：在空间任意位置上，单位时间内通过垂直于运动方向上单位面积的物理量。

其本身是矢量性质，单位是“物理量单位/(m2·s)”。

层流laminar flow：流速小，流层不混
湍流turbulent flow：流速大，流层混合剧烈，微团运动极不规则
质量传输：有效扩散系数＝分子扩散系数+涡流扩散系数
动量传输：有效粘度＝分子粘度+涡流粘度
能量传输：有效导热系数＝分子导热系数+涡流导热系数
4.1、控制方程-边界条件及初始条件
只有具备足够数量的赋值（或关系式），微分方程才能有特解。

一般非稳态方程要求有一个初始条件。

方程数目根据变量个数确定，而边界条件数目则由方程中变量的导数阶次和个数共同决定，每个n阶导数需要n个边界条件。

一般边界条件取决于局部条件，边界条件的典型类别有：
一类边界条件：直接给定边界上因变量的数值。

如研究流体流动时常设流体与固体边界无相互滑移，即固－液界面处u=0。

二类边界条件：边界上存在通量连续条件。

如分析
钢锭模向外散热时有：
式中，ε——锭模表面发射率；σ——斯芯藩－玻
尔兹曼常数；T0——环境温度；Ta——模表面温度。

三类边界条件：直接给定边界传输通量。

如钢包中心线两侧钢液的动能耗散通量为零。

4.2、流体的3种湍流模型求解
求μt （μt 为涡流粘度或表观湍流粘度）一般采用的有三种方法：普朗特混合长理论（零方程模型）、κ方程模型（单方程模型）和κ－ε双方程模型，以及后一种方法的变体。

①.混合长模型：对于粘性流体，如果湍流微团从某一层中由于脉动的作用而到达速度不同的另一层，微团运动过程中经历了l m 距离，且这一运动导致目标层的扰动，则随机湍流速度u t 可表达为： 。

其中，
为x 方向时均速度在y 方向上的速度梯度的绝对
值，l m 为特征混合长度。

进而，普朗特提出涡流粘度可以表达为 该模型被称为零方程模型，因为它是以代数方程表示特征量的。

优点：是不必求解与μt 有关的微分方程，只需要确定混合长（但相当困难） 缺点：该模型仅限于简单流场的描述，复杂流场（如环流）无能为力。

②.κ方程模型：已知μt =ρl m u t ，而湍流流动速度与湍流动能的平方根成正比，即湍流脉动速度u t 有式中κ为湍流脉动动能，
于是，涡流粘度可以表达为： 式中C μ为经验常数，κ的数值由湍流能量衡算得到。

例如，在x 方向流动的湍流边界层中，如假设流动属稳态，其湍流能量守恒方程为
式中C D ——流量系数，Pr κ——湍流动能的普朗特数。

优缺点：与零方程一样，κ方程模型同样需要首先确定混合长度，这就对研究诸如气体搅拌钢铁等环流过程构成了障碍。

③.κ－ε双方程模型 ：这一模型的基本出发点是以特征能量和特征耗散速率来表示对特征长度的函数关系，即： 式中κ——湍流脉动动能；ε——湍流脉动动能的耗散率。

只要确定湍流脉动动能κ和耗散速率ε，则涡流粘度有解。

由脉动动量方程推导可以得到描述κ和ε的偏微分方程为
式中G κ为湍流脉动动能κ的产生速率，C μ、C 1及C 2都是经验常数，Pr κ、
Pr ε分别为湍流动能和动能耗散速率的普朗特数。

一般取
在κ－ε
方程中包括速度项，可见湍流条件下求解速度场需要将连续性方程、运动方程及湍流κ－ε方程联立求解。

步骤：求解运动方程获得速度场→求解k-ε方程获得涡流粘度分布→以涡流粘度为前提，求解速度场温度场→收敛→结束
5、数值模拟考虑湍流时，如何理解？ x t m u u l y ∂=∂2x t m t m
u l u l y
μρρ∂==∂t u ∝2
2
2
12x y z u u u κ⎡
⎤'''=++⎢⎥⎣⎦
32
2Pr t x x y
t D m
u u u C x y y y y l κμκκκρκρμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂+=-⨯
+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭3
22t and m l C μκεμρκε
==()
eff eff 12 and Pr Pr D D G C
G C Dt Dt κκκεμμκ
εε
ρκρερερεκ
⎛⎫⎛⎫=∇⋅∇+-=∇⋅∇+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭121.45; 1.92; 0.09; Pr 1.0; Pr 1.3
C C
C μκε=====x u y ∂∂1
2
t m C l μμρκ
=
对钢铁冶金而言，湍流特征的描述应当摆在突出位置，因为钢铁冶金过程所涉及的流动问题大多数是湍流问题，一是因为钢液、熔渣等高温流体都是高粘度流体，二是这些流体（包括很多气体）的流动都是高速流动，从它们的粘度和速度计算得到的雷诺数都非常高。

描述这些湍流的目的就是为了求解速度场，确切地说，就是通过给定适当的系数来描述湍流条件下的混合效果，以便进一步利用纳维尔－斯托克斯方程求解湍流速度场。

从模型设计者的角度，就是找到湍流条件下有效传输系数的途径。

6.1、当量直径、比表面积
6.2、气—固相反应的数学模型
一界面模型假设所有化学反应都发生在内核界面，而这显然是不合适的，实际的Fe2O3的还原过程是一个逐步还原过程，这必然涉及到还原程度不同的分层。

三界面未反应核模型就是认为存在三个反应界面层：Fe-FexO 、FexO-Fe3O4、Fe3O4-Fe2O3。

还原气体CO （或H2）通过边界层扩散到De3层（ Fe-FexO 层）界面，与FexO 反应消耗一部分还原剂，产物CO2（或H2O ）向外扩散，其余还原剂继续往中心扩散，通过De3到De2、De1…整个过程共有11个环节，其中扩散环节8个（DCO,界面层，DCO,Fe 层，DCO,FeO 层，DCO,Fe3O4层，DCO2,Fe3O4层， DCO2,FeO 层， DCO2,Fe 层， DCO2,界面层），界面反应环节3个。

7、气-液双模理论
是当气液两相作相对运动时其接触界面两侧分别存在气体边界层气膜和液体边界层液膜。

气膜和液膜均属层流。

双膜理论的基本论点如下：
1、相互接触的气、液两相流体间存在着稳定的相界面，界面两侧各有一个很薄的停滞膜，相界面两侧的传质阻力全部集中于这两个停滞膜内，吸收质以分子扩散方式通过此二膜层由气相主体进入液相主体；
2、在相界面处，气、液两相瞬间即可达到平衡，界面上没有传质阻力，溶质在界面上两相的的组成存在平衡关系，即所需的传质推动力为零或气、液两相达到平衡。

3、在两个停滞膜以外的气、液两相主体中，由于流体充分湍动，不存在浓度梯度，物质组成均匀。

溶质在每一相中的传质阻力都集中在虚拟的停滞膜内。

8、冶金过程的模拟方法
数值方法的计算流程图：偏微分方程的数学分类:
9、离散化方法：区域离散化、控制方程离散化
区域离散化：
1）、内节点法：①先节点后界面；②界面位于相邻两节点的正中间；③代表控制容积的节点位置不一定在控制容积的正中心。

2）、外节点法：①先界面后节点；②节点位置在控制容积的正中心；③界面不一定位于相邻两节点的正中间位置。

注：当采用均匀离散的时候，外节点法＝内节点法
【外节点法 & 内节点法之相关说明：
1. 边界节点所代表的控制体不同。

外节点法位于非角顶上的边界节点代表了半个控制体；而内节点法则可看成厚度为零的控制体的代表。

2.在非均匀离散中，外节点法的界面是处于节点之间的中间位置，因此所计算的通量值精度较高，但节点位置不处于控制容积的正中心，所以用节点位置的值代替控制容积的值，会有一定误差；内节点法则正好相反。

3.求解区域内如果有物性突变，则内节点法处理这种突变界面比较容易，因为内节点法容易保证控制单元内的物性均一，比如模拟相变过程。

4.离散过程以尽量均匀为宗旨，应注意相邻控制体的厚度变化不宜过大，同一控制体各个方向的尺寸一般不宜相差太远，这些都容易降低计算准确度。

5. 为了书写和编程方便，必须对节点加上编号，原则上编号顺序是任意的，但习惯采用与坐标轴正方向相一致的顺序编号。

如用i表示x方向的节点的编号，j表示y轴方向，k表示z轴方向，因此，节点坐标为(xi,yj)的点可以直接写成(i,j)。

由于i,j和k的值都随坐标轴的前进而增加，所以有下列关系 Xi+△Xi=Xi+1; Xi-△Xi-1=Xi-1;Yj+△Yj=Yj+1;Yj-△Yj-1=Yj-1在节点(xi,yj)上的某传输量的值，如温度，也可以写成T(i,j)或Tij。

6. 在非稳态传递过程中，还必须对时间域进行离散化处理，把连续时间τ离散成τk。

如时间步长为Δτ，则也有τk+ Δτk= τk+1，式中Δτk表示τk时刻的时间步长。

当然，时间步长也可以是不均匀的，把时间和空间统一起来表示，可以写成诸如Tijk或更普遍形式的φijk。

】
10、控制方程离散化：
元体平衡法——有限体积法的变形：
有限差分法：
11、差分法四个准则、四个特点：
四个特点：
1】精度(accuracy)：
1）、解析解是精确解，离散解是近似解，所以存在精度问题；
2）、精度的判断首先是截断误差O((Δx)n)，并由此来定义离散方法的阶数n ；
3）、从截断误差的形式判断，阶数越高越精确，网格划分越密越精确，这有一定道理；
4）、但实际情况是“阶数越高越精确，网格划分越密越精确”这句话经常出错，主要因为：(1). 虽然整个数值解的精度取决于求解区域上的各节点离散方程的截断误差，但邻近边界的内节点，往往难于得到高截断误差的表达式；(2). 对于对流换热问题，除了上述数学上的一些误差外，更要顾及差分格式在物理特性上的表现，而这不是都能与截断误差联系起来的；(3). 过分细密的网格，会使计算机的运算次数大大增加，且误差的传播会使舍入误差被过分放大。

所以现在的计算采用二阶精度截断误差的差分格式就可以了。

2】相容性(consistency)： 差分方程相容性是讨论当 时，差分方程逼近于微分方程的程度，因此，相容性是讨论差分方程和微分方程的关系。

定义：对于一足够光滑函数 ，若时间步长 ，空间步长 趋近于0时，差分方程截断误差 对于每一点 都趋近于0，则该差分方程 逼近微分方程 ，即差分方程与微分方程是相容的。

差分方程相容性可以通过Taylor 展开方法来证明。

一些说明：1.相容性是对求解区域内任意一点差分方程逼近于微分方程的程度，相容性是有限差分算法（包括有限体积算法）首先必须满足的有效性条件。

2.相容性要求对于求解区域内任意点（Xj ，tn ），在 △t,△x 同时趋近于0，截断误差Rnj 趋近于0。

如果△t,△x 不是同时趋近于0或并不趋近于0，而是趋近于某值，或结论并不是对每个点（Xj ，tn ）都成立，则差分方程就不满足相容性条件，差分方程也就不逼近于微分方程。

3.相容性条件不仅要求差分方程截断误差Rnj 趋近于0，而且要求差分方程定解条件截断误差 rnj 也同时趋近于0。

3】收敛性(convergence)：
差分方程收敛性是讨论当△t,△x →0时，差分方程的解和微分方程的解是否一致性的问题，也就是讨论差分方程的解和微分方程的解的逼近程度。

定义1：差分方程 Lu nj=0的数值解为u nj ，微分方程的精确解为u ，它们之间的误差用enj 表示，则enj=u-u nj 称为离散化误差。

定义2：节点Xp,tp 为微分方程求解区域Ω内任意一点，当当X →Xp,t →tp 时，差分方程数值解u nj 趋近于微分方程精确解u ，即enj=u-u nj=0则差分方程收敛于微分方程。

4】稳定性(stability)：
稳定性是讨论在计算过程中，某一时刻，某一点产生计算误差，随着计算时间增加，这个误差是否能被抑制的问题。

稳定性是一个差分格式的固有属性，凡是稳定的差分格式，任何一个信息扰动在计算过程中被放大的程度都是有限的；而不稳定的差分格式，无论什么误差都会在计算中被不断放大，当计算时间足够长时，误差的传播会让得到的解毫无意义。

四准则：
要保持差分方程与微分方程具有同样的性质，并且保证所得的解符合物理上的真实性，所得离散化方程必须遵循下列四个基本准则。

准则一：控制容积界面上通量的守恒性。

通过控制容积的任何一个界面上的,0t x ∆∆→u t ∆x ∆n j
R ()
,j n x t 0Lu =0
n j Lu =
通量（热量、质量和动量）应该保持守恒。

例如从节点P 经过界面e 流出的热量应该等于经过同一界面e 流入节点E 的热量，这两部分的值在计算P 点和E 点时应该保持一致。

准则二：所有系数都为正值。

所有系数都要求保持为正，其中源项b 除外。

这是因为如果系数有正有负，符合数学的一些计算会因为计算机的计算过程问题出现不符合物理条件的计算结果。

准则三：线性源项的斜率要求为负或零。

线性源项S=Sc+Sp φp 的Sp 要求是负值或零，否则系数ap 就有成为负值的可能性。

所以延续准则三作为准则二的推广。

准则四：邻近系数之和规则。

当基本方程中值包含变量的二阶微商项时，必须满足ap=Σanb ，即ap 是邻近节点的系数的总和。

后来这条准则被斯卡巴勒改写成：Σ|anb|/|ap|＜1至少一个节点；Σ|anb|/|ap|≤1对于所有节点。

这是一个充分条件，而不是必要条件，有时不遵守这个规定仍能获得正确的结果。

如果某些系数为负，此时必然出现Σanb<Σ|anb|，则Σ|anb|/|ap|>1，这就违反了准则四，但并不必然出错。

实际上，该准则是由于迭代法求解线性差分方程组所要求的。

若该条件不满足，则迭代就有可能发散。

12、传热相关概念：
温度场：某一时刻导热物体内各点温度分布的总称。

等温线（面）的特点： 1）、不可能相交；2）、完全封闭或仅在边界中断； 3）、沿等温线（面）无热量传递；4）、疏密代表温度梯度的大小。

温度梯度：沿等温线（面）法线方向
温度的增量与法向距离比值的极限。

温度
梯度是矢量，方向垂直于等温线，且指向
温度增加的方向。

导热系数λ：单位温度梯度下物体内或物体间所产生的热流密度的模。

导热系数反映物体导热能力的大小。

是物性参数，取决于物质的种类及热力状态。

对流：
流体各部分之间发生相对位移，冷热流体相互渗混所引起的热量传递方式。

对流换热的基本计算式： 影响对流给热的因素: 1 流体速度: 强制性流动和自然对流;2 流体的物理性质: 导热系数,比热,密度,黏度;3 给热面的几何尺寸,形状,位置。

[]
W )(∞-=t t hA Φw
辐射：物体通过电磁波来传递能量的过程。

热辐射：物体由于热原因以电磁波形式向外发射能量的过程。

传热量： 黑度是指实际物体的辐射力E 与同温下黑体的辐射力E0之比,又称辐射率。

13、一维导热问题的数值求解（稳态+
非稳态、显式+
隐式、推导、概念）+
二维稳态导热问题的数值求解（显式+隐式、推导、概念）
见PPT 《第四课-导热过程数值求解-20140421》（太多了，这就不写了）
14、一维稳态对流与扩散问题、三种离散模型 ()
440m r T T A h Q --=
几种格式的比较：
1）、中心差分格式的解，在小|Pe|时和严格解很符合，但当|Pe|=2的附近，误差明显增大。

当|Pe|>2后，结果均已超出边界值，违反了物理上的真实性。

2）、上风格式对任何Pe都能得到物理上真实解，但在整个Pe范围内都有显著误差。

这是由于在小Pe时，对流项用了上游节点值计算；而在大Pe时，扩散项仍用中心差分格式离散所致。

3）、混合格式所得结果在|Pe|≤2时和中心差分格式的相同，|Pe|>2时比上风格式有很大改进，因为此时将扩散项取成了零，因此和严格解符合很好。

15、虚假扩散：
虚假扩散一般产生于下列三种情况：
1）、离散化时，非稳态项或对流项采用一阶截断误差的格式，为此可以采用二阶上风格式（又称为QUICK格式（quadratic upstream interpolation for convertive kinematics））等高阶离散化格式加以避免；
2）、流动方向与网格线呈倾斜交叉状的多维对流扩散问题；
3）、建立差分格式时没有考虑非常数的源项的影响。

QUICK格式：
QUICK格式是一种对流项的二阶上风格式，是英国Leonard于1979年提出的用于计算控制容积界面值的二阶插值格式。

它利用控制容积界面两侧的紧挨着的邻近点和处于上风侧的一个远邻近节点，共三个节点的值来进行插值计算。

如图所示。

认为，界面w处的对流项中
还受其上游的远邻近节点WW影
响，而对于反向流动的情况，
而扩散项中的可采用上述
三点构造的拟合曲线在界面处
的斜率计算，也可采用中心差商格式计算。

注：所有例题见PPT 祝我们好运（Logan Zhou）。