从平面向量到空间向量
从平面向量到空间向量
定义：两个向量a和b的向量积是一个向量，其模长等于以a和b为邻边的平行四边形的面积，方 向垂直于a和b所在的平面，记作a×b。
运算规则：向量积满足反交换律，即a×b=-b×a；向量积也满足结合律，即 (a+b)×c=a×c+b×c。
几何意义：向量积可以表示一个旋转操作，其方向垂直于a和b所在的平面。
空间向量的加法性质：满足结合律 和交换律，即(a+b)+c=a+(b+c) 且a+b=b+a。
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空间向量的加法定义：根据平行四 边形法则，将两个空间向量相加得 到新的向量。
空间向量加法的几何意义：表示两 个向量的起点和终点分别连接，得 到的向量即为两个向量的和。
定义：数乘是向量与实数的乘 积，结果仍为向量
PART SIX
数学学科的完善和发展
促进物理、工程等领域的发展和创 新
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为解决实际问题提供更广泛的方法 和思路
提高人类的思维能力和认知水平
人工智能与机器学 习：空间向量在处 理大数据和模式识 别方面的应用将进 一步发展，有助于 提高人工智能的准 确性和效率。
物理模拟和仿真： 空间向量在物理模 拟和仿真领域的应 用将更加广泛，例 如在流体动力学、 电磁学等领域，有 助于提高模拟的准 确性和效率。
PART FOUR
定义：空间向量的加法、数乘等运算 性质：满足交换律、结合律和数乘分配律 几何意义：表示空间中向量之间的位置关系和方向 应用：解决实际问题中的向量问题两个非零向量的夹角的余弦值乘以它们的模长 性质：数量积满足交换律和分配律 几何意义：表示两个向量在垂直方向上的投影长度之积 运算律：与标量乘法和向量加法的结合律
从平面向量到空间向量教案01
《从平面向量到空间向量》教案一、教学目标(teaching objective)：1．知识目标(knowledge objective)：掌握空间向量基底的概念；了解空间向量的基本定理及其推论；了解空间向量基本定理的证明．2．能力目标(capability objective)：理解空间任一向量可用空间三个不共面向量唯一线性表示，会在平行六面体、四面体为背景的几何体中选用空间三个不共面向量作基底，表示其它向量．会作空间任一向量的分解图．类比平面向量的基本定理学习空间向量基本定理，培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力．3．情感目标(emotion objective)：创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，开始就引起学生极大的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，体现新课程改革的理念之一，加强数学与生活实践的联系．二、教学难点(teaching difficulties)：空间向量的分解作图，用不同的基底表示空间任一向量．灵活运用空间向量基本定理证明空间直线的平行、共面问题．三、教学重点(teaching focus)： 运用空间向量基本定理表示空间任一向量，并能根据表达式判断向量与基底的关系．四、教学手段(teaching method)：在多媒体和实物模型的环境下，学生分组自主与合作学习相结合，老师引导、参与学生活动和讨论的民主式的教学．五、教学过程（teaching procession ）1．引入（intruduce ）：对比平面向量的基本定理，生活实际需要向三维空间发展（播放美伊战争画面，地面的坦克如何瞄准空中的飞机画面），推广到空间向量的基本定理．用向量来描述：若空间三个向量不共面，那么空间的任一向量都可以用这三个向量表示．我们研究一下怎么表示．（提示学生思考平面的任一向量怎么用平面向量的基底表示）学生：1e 、2e 是平面内两个不共线的向量，则该平面内的任一向量a 都可以表示为a =λ11e +λ22e ，其中λ1、λ2是一对唯一的实数．2．推广（extend ）：请学生猜测推广到空间向量的基本定理如何？1A 学生：空间向量的基本定理：如果空间三个向量a 、b 、c 不共面，则空间的任一向量p 都可表示为x a +y b +z c ．师：若猜想正确，则给出证明，若猜想不正确，先给出定理，再证明． 老师板演证明：设空间三个不共面的向量OA =a OB =b ，OC =c ，OP =p 是空间任一向量，过P作PD ∥OC 交平面OAB 于D ，则OP =OD +DP ，由空间两直线平行的充要条件知DP = z c ，由平面 向量的基本定理知向量OD 与OA 、OB 共面， 则OD = x a +y b ，所以，存在x ，y ，z 使得OP =x a +y b + z c ．这样的实数x ，y ，z 是否唯一呢？用反证法证明：若另有不同于x ，y ，z 的实数x 1，y 1，z 1满足OP = x 1a +y 1b + z 1c ，则x a +y b + z c = x 1a +y 1b + z 1c ，即(x －x 1) a +(y －y 1) b +(z －z 1) c =0又a 、b 、c 不共面，则x －x 1=0，y －y 1=0，z －z 1=0，所以x ，y ，z 是唯一的实数．这样，就把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理． 老师介绍相关概念：其中{a 、b 、c }叫做空间向量的一个基底，a 、b 、c 都叫做基向量． 师：对于空间向量的基底{a 、b 、c }的理解，要明确：①空间任意不共面的三个向量都可以作为向量的基底，基底不唯一； ②三个向量不共面，隐含它们都是非零向量；③基底是一个集合，一个向量组，一个向量不能构成基底，基向量是基底中的某一向量．④通常选择共点不共面的三个向量作为空间向量的基底．⑤若{a 、b 、c }是空间向量的一个基底，则由这三个基向量还能生成其它的基底吗？引导学生举例说明，结果不唯一，通过思考培养学生的发散思维．如：a+b、a+c、b+c；2a+3b、4c、b等构成向量的基底．能否由原来的基向量生成新的基底，取决于生成的新向量是否共面，即其中的一个向量能否用另两个向量线性表示，请同学随便说一组向量，大家判断这组向量能否构成向量的基底．通过老师的引导，不仅让学生理解空间向量的基本定理，还要让学生学会把平面向量的知识迁移到空间向量来，用发展、联系的观点看以前在平面向量中成立的结论，空间向量比平面向量发展了什么，保留了什么，渗透辨证法的思想．特别地，当x=0，则p与b、c共面；若y=0，则p与a、c共面；若z=0，则p与a、b共面．当x=0，y=0时，p与c共线；当x=0，z=0时，p与b共线；当\y=0，z=0时，p与a共线．说明每一次维数增加了，高维数的定理不但发展了低维数的定理，并包含了低维数的结论，使得原来的定理仍适用，这种发展是继承的发展，是合理的发展．这不仅体现在平面向空间的迁移，也体现在数学中其它知识的迁移（如数系的发展）．3．类比（analogy）：对比平面向量中成立的结论推广到空间是什么相应的结论：14．例题(examples)例1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = a ，AD =b ，1AA =c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点，N 是C 1D 1的中点，点Q 在CA 1上，且CQ ：QA 1=4：1，用基底{a 、b 、c }表示以下向量： （1）AP ，（2）AN ，（3）AQ线．解：（1）由P 是CA 1的中点，得AP =21（1AA +AC ）=21（c +AD +AB ）=21（a +b +c ） （2）AN =AM +MN =AM +211CC =21（c +a ）+b +21c =b +c +21a法2：AN =1AA +N A 1=1AA +11D A +N D 1=c +b +21a（3）AQ =AC +CQ =AC +541CA =AC +54（1AA +CA ）=51AC +541AA=51(b +a )+54c 例2．在例1中，设O 是AC 的中点，判断AQ 和OC 1所在直线的位置关系．解：由例1得：AQ =51(b +a )+54c ，1OC =OC +1CC =21AC +1AA=21（b +a ）+c 则AQ 和1OC 与（b +a ）和c 共面，又AQ ≠λ1OC ，则AQ 和OC 1所在直线不能平行，只能相交．追问：要使AQ 和OC 1所在直线平行，则O 应在AC 的什么位置？分析：要使AQ 和OC 1所在直线平行，则1OC =λAQ =λ[51(b +a )+54c ]又1OC =OC +1CC ，设OC =μAC =μ（b +a ）则λ[51(b +a )+54c ]=μ（b +a ）+c ，即51λb +51λa +54λc =μb +μa +c ，由a 、b 、c 不共面即空间向量基本定理的唯一性知：41,4515451=μ=λ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=λλ=μ，所以，OC=41AC 学生可能不一定用刚学过的不熟悉的向量法去做，而是用平面几何的方法，根据平行线分线段成比例定理，也应加以肯定，让学生自己从中体会向量几何与平面几何风格的不同，更深地了解向量几何侧重定量研究，即将空间任一向量放在空间坐标系中，用向量的基底表示，再进行运算，思路简捷，不需要很强的演绎推理．请学生板演平面几何证法：A 1AQCCC 1ORAB C DO易证△AA 1Q ≌△CC 1R ，则CR=A 1Q=41CQ ，又CQ CR AC OC =， 所以AC OC =415．练习(exercises)已知向量a =1e －22e +33e ，b =21e +2e ，c =61e －22e +63e ， 判断a +b 与c 能否共面或共线？c －3b 与b －2a 能否共面或共线？a +b =31e －2e +33e ，c =2（a +b ），则a +b 与c 共线即平行 c －3b =61e －22e +63e －61e －32e ＝63e －52eb －2a =21e +2e －21e +42e －63e =－63e +52ec －3b 与b －2a 共线但反向．思维发散训练：已知甲烷（CH 4）的分子结构：中心为碳原子，外围有四个氢原子，四个氢原子构成正四面体的顶点，确定了四个氢原子的位置，能找到碳原子的位置吗？能求出两个碳氢键之间的键角吗？6．反思(reconsider)⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⇒⇒定量研究异面直线线在面内、线不在面内面面平行线线平行、线面平行、点共线）向量平行（直线平行、向量基本定理面面平行线线平行、线面平行、平行公理点在线上、线共点）公理（2 如何对向量进行定量研究，对比平面向量的研究方法，预习下节内容． 7．作业(homework)：。
教学设计(从平面向量到空间向量)
孙疃中学—王婧文
班级
高二（7）班
教学目标
知识与技能：
1、通过向量由平面到空间的推广，了解空间向量的概念。
2、掌握空间向量的几何表示法和字母表示法。
3、掌握空间向量的夹角、空间直线的方向向量和平面的法向量。
过程与方法：经历从平面向量到空间向量的推广，分析向量与直线、平面的位置关系，使学生会类比的思想方法。
向量的表示方法向量的大小单位向量零向量
相等向量、相反向量平行向量
4,、空间向量的夹角
三、小试牛刀
1、口答：
2、
四、探究新知二
1、向量与直线
直线的方向向量
思考：过一点A和一个方向向量 可以确定几条空间直线？（小组合作交流）
2、向量与平面
平面的法向量
思考：过一定点A，且法向量为 的平面确定吗？（分组探究，合作交流）
五、练一练
六、小结
1、你有哪些知识方面的收获？
2、你有哪些数学思想方法上的收获？
七、课后思考
试用类比的思想探究空间向量有哪些运算
2、向量的表示方法有哪些？举例说明。
思考：李明从学校大门口出发,向北行走100m,再向东行走200m,最后上电梯15m到达住处.如何刻画这种位移？
二、探究新知一
1、空间向量的概念（类比）
向量可以看作是一个位移
2、说明：自由向量
思考：空间中任意两个向量是否共面？
3、类比平面向量有关概念，请分别给出下列定义
情感态度与价值观：让学生体会学习是一个循序渐进的过程。
教学重点与难点
教学重点：
1、空间向量的有关基本概念。
2、空直线的方向向量和平面的法向量。
教学难点：向量的夹角和平面法向量的求法。
高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量ppt课件
→ —→ (2)〈AB，C1A1〉； 解答 〈A→B，C—1→A1〉＝π－〈A→B，A—1→C1〉＝π－π4＝34π.
→ —→ (3)〈AB，A1D1〉.
解答
〈A→B，A—1→D1〉＝〈A→B，A→D〉＝π2.
引申探求 →→
在本例中，求〈AB1，DA1〉. 解答
如图，衔接B1C，那么B1C∥A1D， →→
梳理
间向量的夹角
(1)文字表达：a，b是空间中两个非零向量，过空间恣意一点O，作
→ OA
＝a，O→B＝b，那么∠AOB 叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉 .
(2)图形表示：
角度
表示
〈a，b〉＝__0_
〈a，b〉是_锐__角__
〈a，b〉是_直__角__ 〈a，b〉是_钝__角__〈a，b〉 Nhomakorabea_π__
第二章 空间向量与立体几何
§1 从平面向量到空间向量
学习目的 1.了解空间向量的概念. 2.了解空间向量的表示法，了解自在向量的概 念. 3.了解空间向量的夹角. 4.了解直线的方向向量与平面的法向量的概念.
内容索引
问题导学 题型探求 当堂训练
问题导学
知识点一 空间向量的概念
思索1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 答案 在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量.
答案 解析
研讨长方体的模型可知，一切顶点两两相连得到的线段中，长度为1 的线段只需4条，故模为1的向量有8个.
12345
5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的 是②__③____.(填序号)答案
No Image
12345
规律与方法
在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是 该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合.二者缺一不可. 给定空间中恣意一点A和非零向量a，就可以确定独一一条过点A且平行 于向量a的直线.
2-1从平面向量到空间向量 课件(北师大版选修2-1)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
(3)空间中，若一个向量所在直线 平行于 一个平面，则称这个 向量平行于该平面． (4)把平行于同一平面的一组向量称作共面向量，
不平行于同一个平面 的一组向量称为不共面向量．
(5)平行于一个平面的向量 垂直 该平面的法向量．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
：空间两个向量能否异面？空间两个向量是否确定唯一 的平面？ 提示 空间两个向量不能异面，是因为空间任意两个向量都可 转化为共面向量；空间两个向量不能确定唯一的平面，因为同 向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量． 因此，空间两向量可以平移到以空间任意点 O 为起点的同一个 平面内，所以空间两向量确定的平面不是一个，而是一组互相 平行的平面的集合．但在研究解决具体问题时，一般只要在其 中一个平面内考虑即可．
课前探究学习 课堂讲练互动 活页限时训练
解 (1)假命题，有向线段只是空间向量的一种表示形式，但不 能把二者完全等同起来．(2)假命题，不相等的两个空间向量的 模也可以相等，只要它们的方向不相同即可．(3)假命题，当两 个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两 → → 个向量相等却不一定有相同的起点和终点． (4)真命题， 与AB BA 仅是方向相反，它们的长度是相等的．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
(4)与平面向量一样，空间向量的大小也叫作向量的长度或模， → 用 |AB| 或 |a| 表示． (5)向量夹角的定义：如图所示，两非零向量 a，b， → → 在空间中任取点 O，作OA＝a，OB＝b，则 ∠AOB 叫作向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉 ． (6)向量夹角的范围：规定 0≤〈a，b〉≤π ． π (7)特殊角： 〈a， ＝ 2 时， 当 b〉 向量 a 与 b 垂直 ， 记作 a⊥b ； 当〈a，b〉＝0 或π 时，向量 a 与 b 平行 ，记作 a∥b ．
2.1《从平面向量到空间向量》课件(北师大版选修2-1)
1.在空间向量中，下列说法正确的是(
)
(A)如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等 (B)如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同 (C)如果两个向量平行并且它们的模相等，那么这两个向量相 等 (D)同向且等长的有向线段表示同一向量
3.(5分)在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，与向量BA相等 的向量是_______；与BC′平行的向量是_______. 【解析】CD是与BA长度相等，方向相同的向量，AD′是与 BC′方向相同的向量
答案：CD
AD′(答案不唯一)
4.(15分)已知：如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体
被截面AEFG所截而得的，其中AD=1，BE=3，CD内，所以CD⊥AI，在等腰三角形EAD中，I是ED的中点，所
以AI⊥ED，所以AI⊥平面CDE.因此AI是平面ECD的法向量.
2.（5分）记“一个平面和它的一个法向量”为一个“垂直 对”，那么，在正方体中，由正方体的四个顶点围成的面，由
两个顶点对应的向量（AB与BA只记一次）中，共可以组成“垂
1.(5分)如图，四棱锥E—ABCD中，EA⊥平面ABCD，四边形
ABCD为正方形，且EA=AD，F、G、H、I分别是所在边上的中点， 则过点A作平面CDE的一个法向量是( )
【解析】选A.因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥CD，又四边形 ABCD为正方形，所以AD⊥CD，所以CD⊥平面EAD，又AI在平面
两条不共线的向量都垂直的向量.
【解析】
7.在空间四边形ABCD中，已知BC=AC，AD=BD，作BE⊥CD，E为
垂足，作AH⊥BE于H，求证：AH是平面BCD的一个法向量.
【证明】取AB中点F，连接CF、DF、AE， ∵AC=BC，∴CF⊥AB. 又∵AD=BD，∴DF⊥AB，∴AB⊥平面CDF. 又CD在平面CDF内，∴CD⊥AB.又CD⊥BE， ∴CD⊥平面ABE， ∴CD⊥AH.又AH⊥BE，∴AH⊥平面BCD.故 AH是平面BCD的一个法向量.
高考数学选修2,1知识点：从平面向量到空间向量
高考数学选修2,1知识点：从平面向量到空间向量1500字从平面向量到空间向量，是高中数学的一个重要知识点。
平面向量和空间向量是向量的两种不同形式，它们在数学上有着相似的性质和运算规律，但在几何上有一些区别。
首先，我们来了解一下平面向量。
平面向量是指在平面内有大小和方向的向量。
平面向量用有向线段表示，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
设向量AB的起点为A，终点为B，记作向量AB，表示为→AB。
平面向量有两种表示方法：坐标表示和分量表示。
1. 坐标表示：假设平面向量AB的起点坐标为A(x1, y1)，终点坐标为B(x2, y2)，则向量AB的坐标表示为(x2 - x1, y2 - y1)。
2. 分量表示：平面向量的分量表示是通过向量的水平分量和竖直分量表示向量。
假设平面向量AB的长度为|r|，与X轴的夹角为θ，则水平分量为|r|cosθ，竖直分量为|r|sinθ。
接下来，我们来了解一下空间向量。
空间向量是指在三维空间中有大小和方向的向量。
空间向量同样用有向线段表示，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
设向量AB的起点为A，终点为B，记作向量AB，表示为→AB。
空间向量也有两种表示方法，即坐标表示和分量表示。
1. 坐标表示：假设空间向量AB的起点坐标为A(x1, y1, z1)，终点坐标为B(x2, y2, z2)，则向量AB的坐标表示为(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)。
2. 分量表示：空间向量的分量表示同样是通过向量在坐标轴上的投影来表示向量。
假设空间向量AB的长度为|r|，与X轴、Y轴、Z轴的夹角分别为α、β、γ，则向量的X 轴分量为|r|cosα，Y轴分量为|r|cosβ，Z轴分量为|r|cosγ。
在从平面向量到空间向量的过程中，需要注意以下几点：1. 坐标表示的差异：平面向量的坐标表示有两个分量，而空间向量的坐标表示有三个分量。
2. 分量表示的差异：平面向量的分量表示只有水平分量和竖直分量，而空间向量的分量表示有X轴、Y轴、Z轴三个分量。
2.1从平面向量到空间向量课件(北师大版高中数学选修2-1)
例3 对空间任意一点O和不共线的三点 A、B、C，试问满足向量关系式 OP xOA yOB zOC （其中
x y z 1 ）的四点P、A、B、
C是否共面？
例4
已知A、B、M三点不共线，对于平面
ABM外的任一点O，确定在下列各条件下， 点P是否与A、B、M一定共面？
2.共面向量定理:如果两个向量
p与向量 不共线,则向量
a ,b
a , 共面的充要 b 条件是存在实数对 x, y使 P xa yb
B b M a A
p
A
P
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充要
条件是存在有序实数对x,y使 MP xMA yMB 或对空间任一点O,有 OP OM xMA yMB
向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量 叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线. 量 使 的充要条件是存在实数λ a, b(b o), a // b a b
2.共线向量定理:对空间任意两个向
a 知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P在 直线 上的充要条件是存在实数t,满足等式 l a OP=OA+t 其中向量a叫做直线的方向向量.
A E B C
D
(1) AC x( AB BC CC )
' '
(2) AE AA x AB y AD
'
A
D C
B
练习
A
在立方体AC1中,点E是面A’C’ 的中心,求下 列各式中的x,y. ' D ( 2) AE AA x AB y AD
北师大高中数学选择性必修第一册3.2.1从平面向量到空间向量【课件】
变式训练 2
如图所示，以长方体 ABCD－A1B1C1D1 的八个顶点的两点为
始点和终点的向量中，若 AB＝AD＝2，AA1＝1，
(1)试写出与 相等的所有向量；
(2)试写出1 的相反向量.
解：(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有 ，及
共3个.
(2)向量 的相反向量为 ， ， ， .
第三章
空间向量与立体几何
2
2. 1
空间向量与向量运算
从平面向量到空间向量
自
主
预
习
互动Biblioteka 学习达标
小
练
[课标解读]1. 经历从平面向量到空间向量的推广过程. 2. 会说出空间向量
有关概念的含义.
[素养目标] 水平一：掌握空间向量的有关概念(逻辑推理).
水平二：理解掌握共线向量，共面向量(数学运算，逻辑推理).
D. 若两个非零向量 与 满足 ＋＝0，则 ∥
[解析]
因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意
两向量均共面，选项A是假命题；由＝知，||＝||，且与
同向，但A与C，B与D不一定重合，选项B是假命题；因为空间向量不能
比较大小，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有＞这种写法，
2. 相等向量、相反向量和平行向量的关系.
提示：相等向量，相反向量均为平行向量.
基础训练
互动学习
[例 1]
下列命题是真命题的是 (
)
A. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个
向量不是共面向量
B. ＝ 的充要条件是 A 与 C 重合，B 与 D 重合
C. 若向量 ， 满足| |＞| |，且 与 同向，则 ＞
第一节 从平面向量到空间向量
第二章 空间向量与立体几何第1课时 第一节 从平面向量到空间向量【课堂互动】新知1 空间向量中的相反向量，共线向量例1.（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列四对向量：①AB 与11D C ；②1AC 与1BD ；③1AD 与B C 1；④D A 1与C B 1． 其中互为相反向量的有n 对，则n =（）A ．1B ．2C ．3D ．4笔记：（2）.与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或（ ）．a 平行于b 记作b a//新知2 直线的方向向量，平面的法向量例2. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，（1）直线AB 的方向向量是哪个？（2）平面ABCD 的法向量是哪些？． 笔记：【堂中精炼】3. 在正四面体A-BCD 中AB 与BC 的夹角是 （ ） A.60ºB. 90ºC.120ºD. 75º4. 在正四面体A-BCD 中AB 与CB 为 （ ） A.60ºB. 90ºC.120ºD. 75º5. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中与BC 平行的向量有（ ）个 A.1 B.2 C.3 D.46. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中与BC 互为相反向量的有（ ）个 A.1 B.2 C.3 D.47.零向量的模为 __________. 8.单位向量的模为__________.点睛：与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．反向且等长是互为相反向量当我们说向量a 、b共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线.点睛：我们把直线l 上的向量e 以及与e 共线的向量叫做直线l 的方向向量 3、平面的法向量 如果表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥n ，如果α⊥n ，那么向量n 叫做平面α的法向量。
从平面向量基本定理到空间向量基本定理
设计意图:帮助学生会根据求数量积的具体问题，选择 基底时兼顾向量的模和夹角，结合图形，应用向量的加 A1 法、相等向量和相反向量，将所涉及的向量均表示为基 向量的表示形式.
A
建议:根据基底的多种选择性，鼓励学生大胆表达自己 的思路.
D
C1
B1 C
B
活动一 “共线向量定理、平面向量基本定理推广到空间”设计思路及实施建议
➢ 问题：1.已知非零向量 a ，与 a 共线的任意向量是否都可以
表示成 a ( R )？
共线向量定理
2.上述 a 能否表示一个平面 内的所有向量？
平面向量基本定理 3.上面两个结论在空间中仍成立吗？
活动一 “共线向量定理、平面向量基本定理推广到空间”设计思路及实施建议
A1
D1
设计意图:帮助学生会用基底表示指定向量，掌握用向 量解决几何问题的基本途径.
c B1
建议:引导学生观察图形，利用向量的加法和减法，找 A
b
到所求向量的一个路径，再转化成基底表示.
a
B
例 3.如图所示，已知直三棱柱 ABC A1B1C1 中， D 为 A1C1 的中点， ABC 60， AB 2， BC CC1 1，求 AB1 CD .
建议:鼓励学生类比平面向量基本定理的唯一性证明进行自主探究和表 达，教师进行积极的评价.
活动二 “空间向量基本定理的应用”设计思路及实施建议
例1. 已知空间的一组基底 i, j,k， a i 2 j k ， b i 3 j 2k .
（1）写出一个与向量 a 平行的向量 c1 ；
（2）向量 a ， b 是否共线？是否共面？
➢ 课时分配： 第一课时 共线向量定理和平面向量基本定理向空间推广、共面向量定理、 以及空间向量基本定理的猜想 第二课时 空间向量基本定理的证明及应用
《 从平面向量到空间向量》示范公开课教学课件【高中数学北师大】
长度相等，方向相反．
方向相反且模相等的向量称为相反向量．向量的相反向量用表示．
规定：模为的向量叫做零向量，记为．零向量的起点与终点重合，零向量的方向为任意方向．
当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时，称这两个向量互为共线向量（或平行向量）．如图，向量，，互为共线向量，记作，，．
解：当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等，不一定起点相同、终点相同，故命题①错误，
若空间向量，满足，但，的方向没定，命题②错误；
当时，也有，③不正确；④显然正确；
对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．故选C．
C
结构框图
解：
⑥向量可以用有向线段表示，但向量不等同于有向线段，如：零向量就不能看作是有向线段．
4
（多选）在平行六面体中，与向量相等的向量有（ ） A. B. C. D.
解：如图，在平行六面体中，与向量相等的向量有，，， 故选：．
我们曾通过力和位移引入了平面向量，事实上，力和位移都是空间中的概念，如图，在天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上，在其中一个秤盘中放入质量为1 kg的物品，在另一个秤盘中放入质量为1 kg的砝码，天平平衡．3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为，，），这些力在同一平面内吗？
说明：相等向量和相反向量都是共线向量的特殊情况．规定：零向量与任意向量平行．
当表示向量的有向线段所在直线平行于平面或在平面内时，就说向量平行于平面，记作//．通常，我们把平行于同一平面的向量，叫作共面向量． 共线向量是共面向量的一种特例．
空间中任意两个向量一定共面． 这是因为数学中，我们学习的向量都是自由向量，可以通过平移使两个向量所在的直线有一个交点，根据 “两条相交直线确定一个平面” 知空间中任意两个向量一定共面．空间中任意三个向量可能是共面的，也可能是不共面的． 能平移到同一平面内的三个向量叫做共面向量．
高中数学课件-2 1 从平面向量到空间向量
第二章 2.1
[点评] 求两向量夹角时，注意只有将两向量平移至起点 相同处，得到的夹角才是所求．如第(1)问中，将向量A→A1平移 至B→B1处，由于B→1C，B→B1的起点不相同，所以得到的∠BB1C 为 应求两向量夹角的补角．同学们注意体会！
第二章 2.1
如 图 ， M ， N 分 别 是 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD － A′B′C′D′的棱 BB′，B′C′的中点，求：
第二章 2.1
探索拓研创新
第二章 2.1
法向量
对于平行四边形 ABDC，图 中的五个向量中各个向量之间的关系如 何？在图中画出平行四边形 ABDC 的一个 法向量．
[分析] 分析图中五个向量的关系，要看它们是否相等、 相反或平行．作平面的法向量，只要作向量b，使之垂直于平 面内两个相交向量即可．
第二章 2.1
向量的有关概念
给出下列五个命题：
①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
②若空间两向量 a，b 满足|a|＝|b|，则 a＝b；
③在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中必有A→C＝A→1C1； ④若空间向量 m，n，p 满足 m＝n，n＝p，则 m＝p；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数
第二章 2.1
[点评] 证明一个向量是一条直线的方向向量，只要证直 线与直线平行即可；若要证明一个向量是一个平面的法向量， 只要证明直线垂直于平面即可．都可转化为已学过的空间几何 问题．
第二章 2.1
如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
(1)分别给出直线AA1，BD的一个方向向量； (2)分别给出平面ADD1A1，平面BB1D1D的一个法向量．
第二章 2.1
《从平面向量到空间向量》
加速度是描述物体速度变化快慢的物 理量，也可以用空间向量表示，包括 大小和方向。
解决实际问题的应用
物理问题
空间向量在解决物理问题 中有着广泛的应用，如力 的平衡、动量守恒、机械 能守恒等。
航天工程
在航天工程中，空间向量 被广泛应用于火箭发射、 卫星轨道计算、重力场研 究等方面。
机器人技术
在机器人技术中，空间向 量被用于描述机器人的运 动轨迹、姿态控制、传感 器数据等方面。
混合积
$overrightarrow{AB} cdot (overrightarrow{CD} times overrightarrow{EF})$表示一个 标量，其值为$left| overrightarrow{AB} right| cdot left| overrightarrow{CD} right| cdot left| overrightarrow{EF} right| cdot sintheta$。
转动惯量
描述物体转动惯性的物理量，与物体的质量分布和旋转轴的位置有关。转动惯 量的方向与转动轴的方向一致，大小等于质量与质点到转动轴距离平方的乘积。
电场与磁场的研究
电场
描述电场中电荷受力情况的物理量，由电荷分布和电场强度矢量共同决定。在空间向量中，电场强度矢量是一个 既有大小又有方向的矢量，遵循矢量运算法则。
03
空间向量在几何中的应用
力的合成与分解
力的合成
根据力的平行四边形法则，两个 力可以合成一个合力，合力的大 小和方向由平行四边形的边长和 夹角确定。
力的分解
一个力可以分解为两个或多个分 力，分力的大小和方向由平行四 边形的边长和夹角确定。
速度和加速度的研究
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量， 可以用空间向量表示，包括大小和方 向。
文档：从平面向量到空间向量的教学反思
《从平面向量到空间向量》的教学反思一、其教育价值体现在：空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角(“立体几何初步”侧重于定性研究，本章则侧重于定量研究)。
空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。
进一步体会向量方法在研究几何问题中的作用。
向量是一个重要的代数研究对象，引入向量运算，使数学的运算对象发生了一个重大跳跃：从数、字母与代数式到向量，运算也从一元到多元。
向量又是一个几何对象，本身既有方向，又有长度；是沟通代数与几何的一个桥梁，是一个重要的数学与物理模型，这些也为进一步学习向量和研究向量奠定了一定的基础。
《标准》中要求让学生经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，目的是让学生体会数学的思想方法（类比与归纳），体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并尝试如何解决这些问题。
同时在这一过程中，也让学生见识一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质。
掌握空间向量的基本概念及其性质是基本要求，是后续学习的前提。
利用向量来解决立体几何问题是学习这部分内容的重点，要让学生体会向量的思想方法，以及如何用向量来表示点、线、面及其位置关系。
新老课程相比，该部分减少了大量的综合证明的内容，重在对于图形的把握，发展空间概念，运用向量方法解决计算问题，这样的调整，将使得学生把精力更多地放在理解数学的细想方法和本质方面，更加注意数学与现实世界的联系和应用，重在发展学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识，提高学生自觉运用数学分析问题、解决问题的能力，为学生日后的进一步学习，或工作、生活中应用数学，打下更好的基础。
二、教学中应注意的问题1.作为空间向量的第一课时，应该让学生体会到生活中很多问题用到空间向量，比如课本开始举的李明从学校到住处的位移，求这个位移就用到了我们空间向量，而且三次位移不在同一个平面上，从而进入课题。
2 重要概念的把握，比如“自由向量”这个概念如果能让学生理解透彻，那么很多平面向量的东西平移到空间向量上是很自然的。
〖2021年整理〗《从平面向量到空间向量》参考优秀教案
从平面向量到空间向量教案一、教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备二、教学重点：平面向量的基础知识。
教学难点：运用向量知识解决具体问题三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、基本概念向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。
（二）、基本运算1、向量的运算及其性质2、平面向量基本定理：如果21,e e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ，使a = ；注意)(21OB OA OP +=,OA OA OP )1(λλ-+=的几何意义3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b 的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则//a b 的充要条件是： ；（坐标表示）4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则a b ⊥的充要条件是： ；（坐标表示）（三）、课堂练习1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( OB -OC )·(OB +OC －2OA )=0，则∆ABC 是（ ）A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形2．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心3．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ． 矩形 B ． 菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形4．已知||22p =||3q =，p 、q 的夹角为45︒，则以52a p q =+，3b p q =-为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ）A ．15BC ． 14D ．165．O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OA OP =||||AC AC AB AB +λ，),0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 （四）、作业布置1．设平面向量a =(－2，1)，b =(λ，-1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）A ．),2()2,21(+∞- B ．),2(+∞ C ．),21(+∞- D ．)21,(--∞ 2．若()(),0,7,4,3,2=+-==c a b a 方向在则b c 上的投影为 。
§1从平面向量到空间向量-§2空间向量的运算
教学要求：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：由平面向量类比学习空间向量．教学过程：一、复习引入1、有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ 既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a 、b 等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB ．长度相等且方向相同的向量叫相等向量.2. 向量的加减以及数乘向量运算：向量的加法：向量的减法：实数与向量的积： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：|λa |＝|λ||a | (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa＝0. 3. 向量的运算运算律：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a4. 三个力都是200N ，相互间夹角为60°，能否提起一块重500N 的钢板？二、新课讲授1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模.→ 举例？ 表示？（用有向线段表示） 记法？ → 零向量？ 单位向量？ 相反向量？ → 讨论：相等向量？ 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．→ 讨论：空间任意两个向量是否共面？2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：OB OA AB =+=a +b ， AB OB OA =-（指向被减向量）， OP =λa ()R λ∈ （请学生说说数乘运算的定义？）3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律．⑴加法交换律：a +b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) +c =a + (b + c )； ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ．4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=；⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；⑶空间平行四边形法则．5. 出示例：已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： AB BC +⑴； 'AB AD AA ++⑵；1(3)'2AB AD CC ++； 1(')3AB AD AA ++⑷． 师生共练 → 变式训练6. 练习：课本题7. 小结：概念、运算、思想（由平面向量类比学习空间向量）三、巩固练习： 课后题.教学要求：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式．教学过程：一、复习引入 1. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b 与非零向量a 是否共线？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量． 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .称平面向量共线定理，二、新课讲授1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ．2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝λa ，其中λ是唯一确定的实数。
从平面向量到空间向量教案北师大版
-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。
-通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
3.课后拓展应用
教师活动：
-布置作业：教师根据平面向量到空间向量的课题，布置适量的课后作业，巩固学习效果。
-提供拓展资源：教师提供与平面向量到空间向量相关的拓展资源，如书籍、网站、视频等，供学生进一步学习。
2.直观想象：通过观察向量的图形表示，提高学生的直观想象能力，使其能够更好地理解向量的性质和运算。
3.数学建模：通过运用向量知识解决实际问题，培养学生的数学建模能力，使其能够将数学知识应用到实际生活中。
4.数据分析：通过分析向量的坐标表示，提高学生的数据分析能力，使其能够处理和分析复杂的数学问题。
5.数学运算：通过掌握向量的运算规则，提升学生的数学运算能力，使其能够熟练进行向量的加减、乘除等运算。
例题三：已知向量a=（1，2，3），向量b=（4，5，6），求向量a×b。
解答：向量a×b表示向量a和向量b的向量积。根据向量积的计算公式，向量a×b=（2*6-3*5，3*4-1*6，1*5-2*4）=（12-15，12-24，5-12）=（-3，-12，-7）。
例题四：已知向量a=（1，2，3），向量b=（4，5，6），求向量a与向量b的点积。
解答：向量a+b表示向量a和向量b的对应分量相加。因此，向量a+b=（1+4，2+5，3+6）=（5，7，9）。
例题二：已知向量a=（1，2，3），向量b=（4，5，6），求向量a-b。
解答：向量a-b表示向量a和向量b的对应分量相减。因此，向量a-b=（1-4，2-5，3-6）=（-3，-3，-3）。
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表示方法2: 用字母表示 a, b, c…… 或者 a, b, c……
空间向量的大小 空间向量的大小 也叫作向量的长度或模 用AB 或|a |表示
两向量的夹角
A
B
b
b
a
a
O 过空间任意一点Ｏ作向量a , b 的相等
向量OA和 OB,则∠AOB叫作向量
a , b 的夹角,记作< a , b >
(3)与EF平行的向量有
A?Ｂ , D?C, Ｂ A?, CＤ ?
C′ B′
C B
向量与直线
l为空间一直线,A,B是直线l上任意两点 则称 AB 为直线l的方向向量. 与 AB 平行的非零向量 a 也为直线l的 方向向量
Bl aA
练习2、过空间中一定点A，作方向向量 为 a 的空间直线。
a A
向量与平面
D′
C′
A?B ?? AB , A′
B′
D ?C ?? AB
F
D
C
A
E
B
例1.在正方体ABCD ? A?B?C?D?中, (2)向量C?D?,CD, BA与A?B?是相反向量吗?
解 : (2)C?D?? ? A?B?,
D′
CD ? ? A?B?, A′
BA ? ? A?B?
D
C′
B′
F C
A
E
B
例1.在正方体 ABCD ? A?B?C ?D ?中,
推广:
(1)首尾相接的若干向量之和， 等于由起始向量的起点指向 末尾向量的终点的向量；
A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? A1 An
推广:
(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An A1 ? 0
§1 从平面向量到空间向量
复习回顾：平面向量
1、定义：既有大小又有方向的量。
几何表示法: 用有向线段表示
字母表示法：
用小写字母 a 表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。
相等向量：长度相等且方向相同的向量
B
A
D
C
平面向量的加法、减法与数乘运算
b a 向量加法的三角形法则 b a 向量加法的平行四边形法则
(1)举出与向量 AD相等的向量;
(2)举出向量 AD的相反向量;
(3) AE ? 1 AA?, AF ? 1 AB,
D′
3
3
举出与EF平行的向量. A′
C′ B′
E
D
F A
C B
D′
解:
A′
(1)与 AD相等的向量有
E
D
A?D?, BC, B?C? ． F
(2)向量 AD的相反向量有 A
D?A?, CB, C?B?, ＤＡ .
规定 0≤< a ,b>≤?
两向量的夹角 当< a ,b>=? /2时,向量 a 与 b 垂直,
记作: a⊥b 当< a ,b>=0或? 时,向量 a 与 b 平行,
记作: a // b
例1.在正方体ABCD ? A?B?C?D?中, (1)向量DC, A?B?, D?C?与向量AB相等吗?
解 : (1) DC ? AB ,
(3) E和 F 分别是 AB 和 BB ?的中点 , 在正方
体中能找到 3个与 EF 平行的向量吗 ?
解 : (3)在三角形ABB?中,因为
D′
E和F分别是AB和BB?的中点,
所以EF // AB?,
A′
C′ B′
从而EF // AB?
F
D
C
EF // B?A, EF // DC?
A
E
B
练习1、 在长方体ABCD ? A?B?C?D?中,
如果直线l垂直于平面? ,
l
那么把直线l的方向向量 a
a
叫做平面? 的法向量.
所有与直线l平行的
?
A
非零向量都是平面? 的法向量.
练习3、过空间中一定点A，作法向量 为 a 的平面。
a A
小 结:
空间向量的概念 直线的方向向量 法向量
平面向量的加法、减法与数乘运算
b
a 向量减法的 三角形法则
a
k a (k>0)
k a (k<0) 向量的数乘
平面向量的加法、减法与数乘运算律
加法交换律： a ? b ? b ? a 加法结合律： (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律： k (a ? b) ? k a＋k b
上
李明从学校大门口出发,向
北行走100m,再向东行走
东 200m,最后上电梯15m到达南Biblioteka 住处.住处学校
在一个平面内来考虑 既有大小又有方向的量称为平面向量 在一个空间内来考虑 既有大小又有方向的量称为空间向量
D A
C
Ba
D1 A1
C1 B1
b
D
C
A
B
空间向量的表示 表示方法1: 用有向线段表示 如 AB , A叫做向量的起点,