激光原理周炳琨激光原理答案
1-习题集-激光原理
解：
f
F 20 2 0 2 2.67 m ， 0 '2 ( F l )2 w2 ( z ) 2 2
z 2 2 1 ( )
（1）当 1 103 rad , 0.5145 m, z 3.8 105 km 时 光腰半径为 w0
2
3.3 104 m
一、课堂作业题答案
1. （ 习 题 2.11 ） 如 图 ， 已 知 ：
0 3mm, 10.6um, z1 2cm, d 50cm, f1 2cm, f 2 5cm 。求： 02 和 z2 ，并
叙述聚焦原理。
解答; 方法一。复杂方法
解答二：简单方法
聚焦原理
第一个透镜， 物距等于焦距， 具有最大焦点，
F 20 2
（1） ( F l )
0
2
f 2 1.885m2
l 1.39m
（2） ( F l )
F 20 2
0
2
f 2 568.9m2
l 23.87m
3. 如图所示，假设一高斯光束垂直入射到折射率为 n 的介质块上，试问： (1)在左图情况下，出射光束发散角为多大？ (2)若将介质块的位置左移，使其左端面移至
一定成立，因此，只要满足 稳定条件。 类似的分析可以知道，
凸凹腔的稳定条件是： R1 0
R2 L ,且 R1 R2 L 。
双凹腔的稳定条件是： R1 L ， R2 L
激光原理周炳坤-第2章习题答案
第二章 开放式光腔与高斯光束习题（缺2.18 2.19 2.20）1． 题略证明：设入射光()11,r θ，出射光()22,r θ，由折射定理1122sin sin ηθηθ=,根据近轴传输条件，则1122sin ,sin θθθθ≈≈1122ηθηθ∴=，联立21r r =，则所以变换矩阵为 2． 题略证明：由题目１知，光线进入平面介质时的变换矩阵为:经过距离ｄ的传播矩阵为： 光线出射平面介质时： 故3. 试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：其往返矩阵为：122212111210101122110101212(1) 222222[(1)][(1)(1)]A B L L T C D R R L L L R R L L L L R R R R R R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎪= ⎪-+----- ⎪⎝⎭212211100r r θηηθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21100T ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭121100T ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭2100d T ⎛⎫=⎪⎝⎭312100T ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭3113213112211101010000r r r d T T T θθηηηηθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123211221101011000000d d T T T T ηηηηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由于是共焦腔，有 12R R L == 往返矩阵变为若光线在腔内往返两次，有可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。
于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
4. 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。
激光原理第四章习题解答
《激光原理》习题解答作者：周炳琨等 国防工业出版社 第五版解答人：广东海洋大学理学院光电科学系 石友彬（2008年修正版）习题解答说明：习题解答参考蓝信鉅的激光技术、陈家璧版激光原理及应用等，在此对上述作者表示敬意！ 本章习题是在我系前外聘教授郭振华习题解答基础上汇总而成，在此表示衷心感谢。
1 静止氖原子的4223P S →谱线中心波长为632.8纳米，设氖原子分别以0.1C 、O.4C 、O.8C 的速度向着观察者运动，问其表观中心波长分别变为多少？ 解答：根据公式（激光原理P136）ccυυνν-+=110υλν=由以上两个式子联立可得：0λυυλ⨯+-=C C代入不同速度，分别得到表观中心波长为：nm C 4.5721.0=λ，nm C 26.4144.0=λ，nm C 9.2109.0=λ解答完毕（验证过）2 设有一台麦克尔逊干涉仪，其光源波长为λ，试用多普勒原理证明，当可动反射镜移动距离L 时，接收屏上的干涉光强周期性的变化L 2次。
证明：对于迈氏干涉仪的两个臂对应两个光路，其中一个光路上的镜是不变的，因此在这个光路中不存在多普勒效应，另一个光路的镜是以速度υ移动，存在多普勒效应。
在经过两个光路返回到半透镜后，这两路光分别保持本来频率和多普勒效应后的频率被观察者观察到（从半透境到观察者两个频率都不变），观察者感受的是光强的变化，光强和振幅有关。
以上是分析内容，具体解答如下：无多普勒效应的光场：()t E E ⋅=πνν2cos 0 产生多普勒效应光场：()t E E ⋅=''02cos ''πνν在产生多普勒效应的光路中，光从半透经到动镜产生一次多普勒效应，从动镜回到半透镜又产生一次多普勒效应（是在第一次多普勒效应的基础上） 第一次多普勒效应：⎪⎭⎫⎝⎛+=c υνν1'第二次多普勒效应：⎪⎭⎫ ⎝⎛+≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=c c c υνυνυνν21112'''在观察者处：()⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅==⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅=+=t c t c t E t c t E E E E πνυπνυπνυπνπν2cos 22cos 2212cos 2cos 0021观察者感受到的光强：⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=t c I I υνπ22cos 120 显然，光强是以频率cυν⋅2为频率周期变化的。
周炳坤版激光原理习题答案第六章
第六章 激光放大特性习题1． 在增益工作物质两端设置二反射率为r 的反射镜，形成一个法布里—珀罗再生式放大器,如图6.1.1所示。
入射光频率为ν，谐振腔频率为c ν。
工作物质被均匀激励，其小信号增益系数为0g ，损耗系数为α。
试求：（1)用多光束干涉方法求再生放大器的小信号增益00()/G I l I =；(2)c νν=时再生放大器的增益0m G ； (3)再生放大器的带宽δν;(4）若无反射镜时放大器的增益为3，试作0m G —r 及δν-r 的曲线； (5）再生放大器正常工作时r 的范围。
解：(1） 若设入射光场为0E ，若忽略色散效应,则电场的传播情况如图所示，图中2k πνυ=，在输出端将各分波相加可得总的输出电场。
（这里的R 即为反射镜的反射率r )l g ikl ee E 2)(00)α--l g kli eeE R )(23300)α--这样就有：1()2()20(1)[1e ]g l ikli kl gll E R E eeR e αα----=-++其中中括号的内部是一个无穷等比数列,这样上式就可以写为:1()22()(1)1g l ikll i kl glR eeE E Re e αα-----=-放大器的小信号增益为:0000*2()0*22()()0002()()2()2()(1)12e cos 2(1) [1e ]4sin g l l l g l g l g lgl glE E I l R e G I E E R e R kl R eR Re klαααααα-------===+--=-+（2） c νν=的时候，c 2m lυνν==（m 为正整数）22sin sin 0kl m π==所以有02()0()2(1)[1]g lmg l R e G Reαα---=-（3) 2c δννν=+时，0012m G G =，比较0G 和0mG 的表达式有： 000()2()2()224sin()4sin 2[1]g lg lc gl Rel Rel Re αααπδνπδννυυ---+==-因为δν远小于/l νπ，所以22sin()l l πδνπδνυυ≈，由上式可得: 00()()12g lg l Re l Reααυδνπ---=（4) 根据题意知0()3g leα-=,可得：2023(1)(13)mR G R -=-，1323Rl Rυδνπ-=0m G -r 及δν—r 的曲线如下图所示。
周炳坤激光原理课后习题答案
《激光原理》习题解答第一章习题解答1 为了使氦氖激光器的相干长度达到1KM ，它的单色性0λ∆应为多少？解答：设相干时间为τ，则相干长度为光速与相干时间的乘积，即 c L c ⋅=τ根据相干时间和谱线宽度的关系 cL c ==∆τν1又因为 0γνλλ∆=∆，00λνc=，nm 8.6320=λ由以上各关系及数据可以得到如下形式： 单色性=0ννλλ∆=∆=cL 0λ=101210328.61018.632-⨯=⨯nmnm解答完毕。
2 如果激光器和微波激射器分别在10μｍ、500nm 和Z MH 3000=γ输出1瓦连续功率，问每秒钟从激光上能级向下能级跃迁的粒子数是多少。
解答：功率是单位时间内输出的能量，因此，我们设在dt 时间内输出的能量为dE ，则功率=dE/dt激光或微波激射器输出的能量就是电磁波与普朗克常数的乘积，即d νnh E =，其中n 为dt 时间内输出的光子数目，这些光子数就等于腔内处在高能级的激发粒子在dt 时间辐射跃迁到低能级的数目（能级间的频率为ν）。
由以上分析可以得到如下的形式：ννh dth dE n ⨯==功率 每秒钟发射的光子数目为：N=n/dt,带入上式，得到：()()()13410626.61--⨯⋅⨯====s s J h dt n N s J νν功率每秒钟发射的光子数 根据题中给出的数据可知：z H mms c13618111031010103⨯=⨯⨯==--λν z H mms c1591822105.110500103⨯=⨯⨯==--λνz H 63103000⨯=ν把三个数据带入，得到如下结果：19110031.5⨯=N ，182105.2⨯=N ，23310031.5⨯=N3 设一对激光能级为E1和E2（f1=f2），相应的频率为ν（波长为λ），能级上的粒子数密度分别为n2和n1，求(a)当ν=3000兆赫兹，T=300K 的时候，n2/n1=? (b)当λ=1μm ，T=300K 的时候，n2/n1=? (c)当λ=1μm ，n2/n1=0.1时，温度T=？解答:在热平衡下，能级的粒子数按波尔兹曼统计分布，即： TK E E T k h f f n n b b )(expexp 121212--=-=ν（统计权重21f f =） 其中1231038062.1--⨯=JK k b 为波尔兹曼常数，T 为热力学温度。
激光原理周炳坤-第2章习题答案
第二章 开放式光腔与高斯光束习题（缺2.18 2.19 2.20）1． 题略证明：设入射光()11,r θ，出射光()22,r θ，由折射定理1122sin sin ηθηθ=,根据近轴传输条件，则1122sin ,sin θθθθ≈≈1122ηθηθ∴=，联立21r r =，则所以变换矩阵为 2． 题略证明：由题目１知，光线进入平面介质时的变换矩阵为:经过距离ｄ的传播矩阵为： 光线出射平面介质时： 故3. 试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：其往返矩阵为：122212111210101122110101212(1) 222222[(1)][(1)(1)]A B L L T C D R R L L L R R L L L L R R R R R R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎪= ⎪-+----- ⎪⎝⎭212211100r r θηηθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21100T ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭121100T ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭2100d T ⎛⎫=⎪⎝⎭312100T ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭3113213112211101010000r r r d T T T θθηηηηθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123211221101011000000d d T T T T ηηηηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由于是共焦腔，有 12R R L == 往返矩阵变为若光线在腔内往返两次，有可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。
于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
4. 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。
激光原理 第六版 周炳琨编著2章f
缺点：腔长太短，输出功率低。
腔内插入F-P标准具法
物理基础： F-P只能对某些特定频率的光通过。产生振荡的频率 不仅要符合谐振腔共振条件，还要对标准具有最大的透过率
腔内插入F-P标准具法
平板组合透过率是入射光波频率和平板反射率的函数
T ( ) (1 R )
2 2 2
(1 R ) 4 R sin
双凸非稳定腔的几何放大率
将从腔镜边缘外 侧逸出的球面波 作为激光器的有 用输出，非稳腔 中每一往返的平 均能量损耗率就 是其往返输出耦 合率。
双凸非稳定腔的几何放大率
球面波经M1反射到达M2的几何自 再现波型放大率： a2 l1 L m1 a2 l1
M2的几何自再现波型放大率：
纵模的选择
激光器的振荡频率范围和频谱：由工作物质增益曲线 的频率宽度来决定。P165表2-10-1给出了几种典型 激光器系统的光谱特征。
一般的谐振腔中，不同的纵模具有相同的损耗，因而进 行模式鉴别和选择时应可以利用不同纵模的不同增益。 同时，也可以引入人为的损耗差。
缩短腔的长度(短腔法)
相邻两个纵模的频率差： q q q 1 c 2L c 则当： q 2 L T 时可以实现单纵模谐振。
系统中总存在一对 轴上共轭像点p1和 P2,腔内存在一对发 散球面自再现波型， 由这一对像点发出的 球面波满足在腔内往 返一次成像的自再现 条件。
双凸腔中光线传输路径
根据球面镜成像公式，对凸面反射镜M2:
1 l1 L 1 l2 2 R2
对凸面反射镜M1:
1 l2 L
1 l1
2 R1
l2
l1 L
g 1 g 2 ( g 1 g 2 1) g 1 g 2 g 2 2g1g 2 g1 g 2 g 1 g 2 ( g 1 g 2 1) g 1 g 2 g 1 2g1g 2 g1 g 2
激光原理周炳坤
.填空1.线宽极限：这种线宽是由于自发辐射的存在而产生的 ,因而是无法排除的2.频率牵引：在有源腔中，由于增益物质的色散，使纵模频率比无源腔纵模频率更靠近中心频率的现象3.按照被放大光信号的脉宽及工作物质驰豫时间的相对大小，激光放大器分为三类：连续激光放大器、脉冲激光放大器和超短脉冲激光放大器。
此时由于光信号与工作物质相互作用时间足够长，因受激辐射而消耗的反转集居数来得及由泵浦抽运所补充，因此反转集居数及腔内光子数密度可以到达稳态数值而不随时间变化，可以用稳态方法研究放大过程。
这类放大器称为连续激光放大器；因受激辐射而消耗的反转集居数来不及由泵浦抽运补充，反转集居数和光子数在很短的相互作用期间内达不到稳定状态。
这类激光放大器必须用非稳态方法研究，称为脉冲激光放大器；当输入信号是锁模激光器所产生的脉宽为(10 -11~10-15 )s 的超短脉冲时，称为超短脉冲激光放大器4.这是由于当脉冲前沿通过工作物质时反转集居数尚未因受激辐射而抽空，而当脉冲后沿通过时，前沿引起的受激辐射以使反转集居数降低，所以后沿只能得到较小的增益，结果是输出脉冲形状发生畸变，矩形脉冲变成尖顶脉冲，脉冲宽度变窄5.，工作物质可处于三种状态 :①弱激发状态：激励较弱，△ n<0，工作物质中只存在着自发辐射荧光，并且工作物质对荧光有吸收作用。
② 反转激发状态：激励较强。
0<△ n<△ n t0 δ。
③ 超阈值激发状态：若激励很强，使△ △,0<g < /l n<n t,g0l>δ，则可形成自激振荡而产生激光。
6.即在低 Q 值状态下激光工作物质的上能级积累粒子，当Q值突然升高时形成巨脉冲振荡，同时输出光脉冲，上述方式称作脉冲反射式调。
激光能量储存于谐振腔中 ,这种调Q 方式称作脉冲透射式调Q。
7.当(Ωt+ β )=2mп时，光强最大。
最大光强 I m=(2N+1)2E02,锁模时；I m=(2N+1)E02，未锁模时。
周炳琨激光原理第三章习题解答(完整版)
周炳琨激光原理第三章习题解答（完整版）1． 试由式（3.3.5）导出式（3.3.7）,说明波导模的传输损耗与哪些因素有关。
在其他条件不变时，若波导半径增大一倍，损耗将如何变化？若λ减小到原来的21，损耗又将如何变化？在什么条件下才能获得低的传输损耗？ 解：由)]21()(211[2ka i ka u k n nm nm ηγ--≈及nm nm nm i αβγ+=可得： })]Im{21()(211[}Re{2n nm nm nmka ka u k ηγβ+-== }Re{)2(}Re{2)(21}Im {32022n nm n nm nm nm au ka ka u k ηλπηγα=--== 波导模的传输损耗nm α与波导横向尺寸a ,波长0λ，波导材料的折射率实部以及不同波导模对应得不同nm u 值有关。
（a ）波导半径增大一倍，损耗减为原来的81。
（b ）波长减小到原来的一半，损耗减为原来的41。
获得低的传输损耗应增大波导横向尺寸，选择折射率实部小的介质材料和nm u 小的波导模。
2.试证明，当η为实数时，若02.2>η，最低损耗模为01TE 模，而当02.2<η时，为11EH 模，并证明01TE 模的损耗永远比01TM 模低。
证明： ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+--=模对模对模对nm m m nm nm EH TM TE a u ,1121,1,11)2(22022023202ηηηηηλπα (3.3.8) 对于以上三种不同模，参看书中表3.1，对于同一种模式，m 越小，损耗越小，因此以下考虑01TE ，01TM ，11EH 模之间谁最小（11EH 中1=n 最小）题中设η为实数，显然1>η，所以01010101TE TM αα>,只需考虑01TE 与11EH : 当112221120111011101>+=ηααu u EH TE 时，11EH 小02.2<⇒η当111011101<EH TE αα时，01TE 小02.2>⇒η 3.BeO 在m μ6.10波长时033.0}Re{=n η，试求在内径为mm a 4.12=的BeO 波导管中11EH 模和12EH 模的损耗11a 和12a ，分别以1-cm ，1-m 以及m dB 来表示损耗的大小。
激光原理 周炳琨版课后习题答案
当 时， 小
3. 在 波长时 ，试求在内径为 的 波导管中 模和 模的损耗 和 ，分别以 ， 以及 来表示损耗的大小。当通过 长的这种波导时， 模的振幅和强度各衰减了多少（以百分数表示）？
解：由
，
， 。
当 时， ，
4.试计算用于 波长的矩形波导的 值，以 及 表示，波导由 制成， ， ，计算由 制成的同样的波导的 值，计算中取 。
二、实验步骤
1．如上图所示，在高斯光束的轴线上某一点B处放入于光轴垂直的光阑(其孔半径为a)，用卷尺测量出B到光腰O(此题中即为谐振腔的中心)的距离z；
2．用激光功率计测出通过小孔光阑的光功率 ；
3．移走光阑，量出高斯光束的总功率 ；
4．将所得到的数据代入(III)及(IV)式即可求出f(根据实际情况决定(IV)式根号前正负号的取舍)。
解：
一、实验原理
通过放在离光腰的距离为z的小孔(半径为a)的基模光功率为
(I)
式中， 为总的光功率， 为通过小孔的光功率。记 ，则有
(II)
注意到对基模高斯光束有
在(II)式的两端同时乘以 ，则有
令
(III)
则
解此关于f的二次方程，得
因为 、 、 、 都可以通过实验测得，所以由(III)及(IV)式就可以求得基模高斯光束的共焦参数f。
解：入射高斯光束的共焦参数
已知 ，根据
得
时， ，即将透镜放在距束腰1.39m处；
时， ，即将透镜放在距束腰23.87m处。
18．如图2.2光学系统，如射光 ，求 及 。
图2.2
解：先求经过一个透镜的作用之后的束腰半径及位置
由于 ，所以
=2cm
所以对第二个透镜，有
激光原理周炳坤-第2章习题答案讲解
第二章 开放式光腔与高斯光束习题（缺2.18 2.19 2.20）1． 题略证明：设入射光()11,r θ，出射光()22,r θ，由折射定理1122sin sin ηθηθ=,根据近轴传输条件，则1122sin ,sin θθθθ≈≈1122ηθηθ∴=，联立21r r =，则所以变换矩阵为 2． 题略证明：由题目１知，光线进入平面介质时的变换矩阵为:经过距离ｄ的传播矩阵为： 光线出射平面介质时：故3. 试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：其往返矩阵为：122212111210101122110101212(1) 222222[(1)][(1)(1)]A B L L T C D R R L L L R R L L L L R R R R R R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎪= ⎪-+----- ⎪⎝⎭212211100r r θηηθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21100T ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭121100T ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭2100d T ⎛⎫=⎪⎝⎭312100T ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭3113213112211101010000r r r d T T T θθηηηηθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1232112211010*******0d d T T T T ηηηηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由于是共焦腔，有 12R R L == 往返矩阵变为若光线在腔内往返两次，有可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。
于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
4. 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。
激光原理周炳坤-第4章习题答案
第四章 电磁场和物质的共振相互作用习题(缺7)1.解：根据多普勒效应，有ccz z /1/10υυυυ-+=则ccc c cc z z z z /1/1/1/1/0υυλυυυυλ+-=+-== 当c z 1.0=υ时，nm 4.5721≈λ 当c z 4.0=υ时，nm 3.4142≈λ 当c z 8.0=υ时，nm 9.2103≈λ2．设有一台迈克尔逊干涉仪，其光源波长为λ。
试用多普勒原理证明，当可动反射镜移动距离L 时，接收屏上的干涉光强周期地变化2/L λ次。
证明：如右图所示，光源S 发出频率为ν的光，从M 上反射的光为I '，它被1M 反射并且透过M ，由图中的I 所标记；透过M 的光记为II '，它被2M 反射后又被M 反射，此光记为II 。
由于M 和1M 均为固定镜，所以I 光的频率不变，仍为ν。
将2M 看作光接收器，由于它以速度v 运动，故它感受到的光的频率为：因为2M 反射II '光，所以它又相当于光发射器，其运动速度为v 时，发出的光的频率为：这样，I 光的频率为ν，II 光的频率为(12/)v c ν+。
在屏P 上面，I 光和II 光的广场可以分别表示为：S2M (1)v cνν'=+2(1)(1)(12)vv v c c cνννν'''=+=+≈+因而光屏P 上的总光场为：光强正比于电场振幅的平方，所以P 上面的光强为：它是t 的周期函数，单位时间内的变化次数为：由上式可得在dt 时间内屏上光强亮暗变化的次数为：(2/)mdt c dL ν=因为dt 是镜2M 移动dL 长度所花费的时间，所以mdt 也就是镜2M 移动dL 过程中屏上光强的明暗变化的次数。
对上式两边积分，即可以得到镜2M 移动L 距离时，屏上面光强周期性变化的次数S ：式中1t 和2t 分别为镜2M 开始移动的时刻和停止移动的时刻；1L 和2L 为与1t 和2t 相对应的2M 镜的空间坐标，并且有21L L L -=。
激光原理周炳坤-第2章习题答案概要
第二章 开放式光腔与高斯光束习题（缺2.18 2.19 2.20）1． 题略证明：设入射光()11,r θ，出射光()22,r θ，由折射定理1122sin sin ηθηθ=,根据近轴传输条件，则1122sin ,sin θθθθ≈≈1122ηθηθ∴=，联立21r r =，则所以变换矩阵为 2． 题略证明：由题目１知，光线进入平面介质时的变换矩阵为:经过距离ｄ的传播矩阵为： 光线出射平面介质时： 故3. 试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：其往返矩阵为：122212111210101122110101212(1) 222222[(1)][(1)(1)]A B L L T C D R R L L L R R L L L L R R R R R R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎪= ⎪-+----- ⎪⎝⎭212211100r r θηηθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21100T ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭121100T ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭2100d T ⎛⎫=⎪⎝⎭312100T ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭3113213112211101010000r r r d T T T θθηηηηθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123211221101011000000d d T T T T ηηηηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由于是共焦腔，有 12R R L == 往返矩阵变为若光线在腔内往返两次，有可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。
于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
4. 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。
激光原理答案 周炳琨
R12(R 2 − L) L(R1− L)(R1+ R 2−
L)
4
=
λ π
1
[L(R2−L)] 4
(R → ∞) 1
=4 3 λ ≈1.7*10−3m
4π
1
ω s2 =
λL π
R 22(R1− L) L(R 2− L)(R1+ R 2−
L)
4
=
λ
(
L
R
2 2
1 4
R=∞
R
R
R=∞
该三镜环形腔的往返矩阵为：
T = 10
10 10
L1
1 -1
f
10
1 0
L 1
1 -1
f
10
1 0
L 1
=
A C
B D
A = D = 1− 3 L + L 2 f f
能级之间实现了集居数反转。
τ （1） 4 =
A43
+
1 A42
+
A41
=
1.1*10−8
s
(2) 在稳定状态时，不考虑无辐射跃迁和热驰豫过程，
E 对 ： 3
A43 n4 =
n3 τ3
，
n3 n4
=
A43τ
3
=5*10−1
E E 实现 和 能级集居数反转
4
3
对
E2 ： A42 n4 =
n2 τ2
，
n2 n4
（2） n=
1W *500nm 6.626*10−34 Js*3*108
ms−1