抛物线的简单几何性质-课件

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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/3/12021/3/12021/3/1M ar-211- Mar-21
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/12021/3/12021/3/1M onday, March 01, 2021
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/12021/3/12021/3/12021/3/13/1/2021
PF PF
2y0x2p0
P(x0，y0)在x2=-2py上, PF 2p－y0
抛物线的几何性质：
1、抛物线的范围: y2=2px
y
X0
x
y取全体实数
2、抛物线的对称性 y2=2px
Y
关于x轴对称
没有对称中心，因 此X ，抛物线又叫做 无心圆锥曲线。 而椭圆和双曲线又 叫做有心圆锥曲线
3、抛物线的顶点 y2=2px
个动点，且 kMAkMB r (r为非零常
数)，求证：直线AB过定点。
将“探究6”的M AM B“直线
MA与直线MB的倾斜角之差为900”
变为“直线MA与直线MB的倾斜角
之和为90k0”MA，k即MB r
直线AB过定点.
，r =1,
将“探究6”的M AM B“直线
MA与直线MB的倾斜角之差为900”
A (x1,y1)B ,(x2,y2)，O为坐标原点，
OA⊥OB，则直线AB是否过定点？ 求AB中点P的轨迹方程.
探究6 设抛物线 y2 2px 上两动点
A (x1,y1)B ,(x2,y2)，M为该抛物线
上一定点，且MA⊥MB，则直线AB 是否过定点？
探究7 若M为抛物线 y22px(p0) 上一个定点，A、B是抛物线上的两
问题 (2004年北京卷理)
过抛物线 y2 2px(p0上)一定点 P(x0,y0)(y00)， 作 两 条 直 线 分 别 交抛物线于A(x1,y1)B ,(x2,y2.)当PA与
PB的斜率存在且倾斜角互补时，求
的值y1 ， 并y 2证明直线AB的斜 y0
率为非零常数.
变式1过抛物线 y2 2px(p0)上一定
变式3 如图，抛物线 y2 2px(p0)， 过点P(1,0)作斜率为k的直线l交抛物 线于A、B两点，A关于x轴的对称点 为C，直线BC交x轴于Q点，当k变化 时，探究点Q是否为定点？
练习1：
如图，定长为3的线段AB的两 端点在抛物线y2=x上移动，设 线段AB的中点为M，求点M到y 轴的最短距离。
探究1 过焦点的直线具有上述性质， 反之，若直线AB与抛物线 y2 2px 的两个交点A，B的纵坐标为 y1, y2 ， 且 y1y2 p2 ，那么直线AB是否经 过焦点F 呢？
探究2 既然过抛物线焦点的直线与 其相交，交点的纵坐标的乘积是一 个定值，那么过抛物线对称轴上其 他任意一定点，是否也有这个性质 呢?
探究3 设抛物线 y2 2px 上两动点
A (x1,y1)B ,(x2,y2)，且满足 y1y2 k(k为常)，数问AB是否恒过
某一定点？
探究4 设抛物线 y2 2px 上两动点
A (x1,y1)B ,(x2,y2)，且满足 y1y2 k(k为常)，数求AB中点P的
轨迹方程.
探究5 设抛物线 y2 2px 上两动点
B1
,y1y2= - p2
(3) 1 1 2
| AF| |BF| P
M
OF
X
B(x2,y2)
(4)A,O,B1三点,B 共 ,O,A 线 1三点
y
A1
y2=2px(p>0) M1
A(x1,y1)
M
N OF
B1
B(x2,y2)
(5)证明:以AB为直径的圆与准线相切 ∠AM1B=Rt ∠,
∠A1FB1=Rt ∠
练习1：
已知抛物线方程为y2=4x，直线l 过定点P（-2，1），斜率为k. 则k为何值时，直线l与抛物线 y2=4x 只有一个公共点；有两个 公共点；没有公共点呢。
提出问题 过抛物线 y2 2px 的焦
点的一条直线和抛物线相交，两交 点的纵坐标为 y1, y2 ， 求证：y1y2 p2.（焦点弦的其中 一条性质）
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/3/12021/3/12021/3/12021/3/1
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
抛物线的简单几何性质 （一）
M是抛物线y2 = 2px（p＞0）上一点，若
点M 的横坐标为x0，则点M到焦点的距
离是
p
． x0 + —2 yM
．
OF
x
焦半径及焦半径公式 抛物线上一点到焦点的距离
p
P(x0，y0)在y2=2px上，
PF
x0
p
2
P(x0，y0)在y2=-2px上, P(x0，y0)在x2=2py上,
练习2：正三角形的一个顶点位 于坐标原点，另外两个顶点在 抛物线y2=2px(p>0)上，求这个 三角形的边长。
变式：已知在抛物线y=x2上三个 点A、B、C组成一个等腰直角三 角形，且顶点B是直角顶点，
(1)设直线BC的斜率为k，求顶点 B的坐标；
(2)求等腰直角三角形的面积的最 小值。
抛物线的对称性问题
点 P(x0,y0)y (00)，作两条直线分别 交抛物线于 A (x1,y1)B ,(x2,y2)，若直 线AB的斜率为定值 p ，证明直线 PA与PB的倾斜角互补.y 0
变式2 设动直线AB：y=-x+b与抛物 线 y2 8x相交于两点A (x1,y1)B ,(x2,，y2) 问在直线MN：x=2上能否找到一定 点P（坐标与b Байду номын сангаас值无关），使得直 线PA与PB的倾斜角互补？
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年3月1日星期 一2021/3/12021/3/12021/3/1
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年3月2021/3/12021/3/12021/3/13/1/2021
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/3/12021/3/1Marc h 1, 2021
的一条弦。设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的
中点M(x0,y0),过A,B,M分别向抛物线
的准线作垂线，垂足为A1,B1,M1,则 y
A1
A(x1,y1)
M1
M
OF
B1
B(x2,y2)
(1)|AB|＝x1+x2+p A1
y2=2px(p>0)
y A(x1,y1)
M1
p2 (2)x1x2= 4
例.已知直线过原点，抛物线的顶点 在原点，焦点在x轴的正半轴上，且 点A（-1，0）和B（0，8）关于直 线的对称点都在抛物线上，求直线 和抛物线的方程。
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/3/12021/3/1M onday, March 01, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/3/12021/3/12021/3/13/1/2021 8:59:58 AM
变为“直线MA与直线MB的倾斜角
之和为1800”，直线AB不过定点，
探究8 若M为抛物线 y2 2px(p0) 上一个定点，A、B是抛物线上的两 个动点，且直线MA与直线MB的倾 斜角互补，求证：直线AB的斜率为 定值。
设计意图：培养学生研究数学问题 的一般思想方法，一是考虑原命题 的逆命题是否成立；二是考虑能否 把原命题进行一般推广；三是考虑 从原命题条件中还能推出什么结论？ 四是考虑把原命题进行适当变式进 行拓展。
Y
定义 ：抛物线 与对称轴的交 点，叫做抛物
X
线的顶点 只有一个顶点
4、抛物线的离心率 y2=2px
Y
所有的抛物 X 线的离心率
都是 1
5、抛物线的基本元素 y2=2px
Y
基本点：顶点，焦点
基本X 线：准线，对称轴
基本量：焦准距p（决定 抛物线开口大小）
例1：已知抛物线y2=2x (1)设点A的坐标为( 2 ，0)，求曲
3
线上与点A距离最近的点P的坐 标及相应的|PA|的值；
(2)若上题中A(2,0)，则结果如何？
例2： 斜率为1的直线经过抛物 线y2 =4x 的焦点,与抛物线相交 于两点A、B, 求线段AB的长.
6、焦点弦和通径
通径是焦点弦中最短的弦， 通径|AB|=2p
设AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F