抛物线的简单几何性质-课件
合集下载
抛物线的性质ppt课件
x
p
2
P1
l
p
p
端点为
(
, p )
特别地, 当x1 x2 时, AB 2 p, 此时 AB 为抛物线的通径.
2
2
y
y
设P ( x0 , y0 )，
l
P
P1
F
P
O
l
则由抛物线的定义，
|PF| | P1 P | x0
p
2
设P ( x0 , y0 )，
P1
x
O
则由抛物线的定义，
p
y k ( x 1)
联立 2
得k 2 x 2 (2k 2 4) x k 2 0(k 0).
y 4x
4
4
x1 x2 2 2 . PQ PF QF x1 x2 2 4 2 8.
k
k 2 1. k tan [1,0) (0,1].
(1)若直线l的倾斜角为60, 求 AB 的值.
(2)若 AB 9, 求线段AB的中点M到准线的距离.
3
3
解 : (1) F ( ,0), l : y 3 ( x )
2
2
3
9
y 3( x ) 2
联立
2 得x 5 x 0. 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ).
F
B
p
AF AA' p AF cos AF (1 cos ) p AF
1 cos
p
BF p BF cos BF
1 cos
上－下+
为直线的倾斜角.
2024(精品课件)抛物线的简单几何性质
(精品课件)抛物线的简单几何性质contents •抛物线基本概念及引入•抛物线标准方程及性质•抛物线平移变换规律探究•抛物线焦点弦性质研究•抛物线切线问题解决方法•抛物线综合应用举例目录抛物线基本概念及引入抛物线定义与数学表达式定义抛物线是指平面内到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）距离相等的点的轨迹。
数学表达式一般形式为$y = ax^2 + bx + c$（开口向上或向下）或$x = ay^2 + by + c$（开口向左或向右）。
其中，$a$、$b$、$c$ 为常数，$a neq 0$。
体育运动工程设计科学研究桥梁、拱门等建筑结构的形态设计。
弹道学、天文学等领域的研究。
0302 01抛物线在实际生活中应用如篮球、足球、铅球等运动项目的轨迹分析。
当椭圆的长轴无限延长时，椭圆将趋近于抛物线。
与椭圆关系双曲线的一支在无限远处与抛物线相交。
与双曲线关系抛物线、椭圆和双曲线都是二次曲线，具有一些共同的几何性质，如对称性、切线性质等。
二次曲线共性抛物线与其他二次曲线关系通过学习抛物线的基本概念，为进一步学习其他二次曲线打下基础。
掌握基本概念通过对抛物线几何性质的探究，培养学生的几何直觉和空间想象力。
培养几何直觉掌握抛物线知识，可以帮助学生更好地理解和解决一些实际问题，如运动轨迹分析、建筑设计等。
解决实际问题引入课程目的和意义抛物线标准方程及性质标准方程形式及推导过程标准方程形式y^2=2px(p>0)或x^2=2py(p>0)，其中p为焦准距，表示焦点到准线的距离。
推导过程通过抛物线的定义（平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹）和几何性质，可以推导出抛物线的标准方程。
焦点、准线概念及其性质焦点抛物线上的一个固定点，记为F，对于标准方程y^2=2px，焦点坐标为(p/2,0)；对于x^2=2py，焦点坐标为(0,p/2)。
准线抛物线的一条固定直线，记为l，对于标准方程y^2=2px，准线方程为x=-p/2；对于x^2=2py，准线方程为y=-p/2。
抛物线的简单几何性质课件
生活中的抛物线结构
总结词
在建筑、工程和设计等领域中利用抛物线形状的结构。
详细描述
在现实生活中，抛物线结构被广泛应用于建筑、工程和 设计等领域。例如，在建筑设计中，抛物线形状的屋顶 可以有效地排水并保持适当的角度，以适应当地的气候 条件。在工程领域，抛物线结构可以用于桥梁设计，以 实现最佳的承重能力和稳定性。此外，在艺术和装饰领 域，抛物线结构也被广泛使用，如抛物线形状的雕塑和 装饰品等。
抛物线的简单几何பைடு நூலகம்质课件
目录
• 抛物线的定义 • 抛物线的性质 • 抛物线的应用 • 抛物线的几何性质 • 抛物线的画法
01
抛物线的定义
什么是抛物线
定义1
抛物线是一种二次曲线，它的一 般形式是 y2 = 2px，其中p>0。
定义2
抛物线是指满足y^2=2px(p>0) 形式的曲线。当p>0时，抛物线 开口向右，当p<0时，抛物线开 口向左。
抛物线的标准方程
01
抛物线的标准方程是 y^2 = 2px ，其中 p 是焦准距，x 是自变量 ，y 是因变量。
02
焦准距 p 决定了抛物线的形状和 位置。p 越大，抛物线的开口越 窄，p 越小，抛物线的开口越宽 。
抛物线的焦点与准线
焦点：对于开口向右的抛物线，焦点坐标为 (p, 0)，对于开口向左的抛物 线，焦点坐标为 (-p, 0)。
使用数学软件绘制抛物线
MATLAB
MATLAB 是一种流行的数学软 件，可以轻松地绘制各种图形， 包括抛物线。只需使用 MATLAB 的图形功能，输入抛物线的方程
即可。
GeoGebra
GeoGebra 是一款流行的几何 软件，提供了丰富的几何工具，
抛物线的简单几何性质ppt课件
所以开口向左，焦点坐标为
1 2
,
0
，准线为
x
1 2
，对称轴为
x
轴，
即 D 正确，ABC 错误.
2.若抛物线 y2 4x 过焦点的弦被焦点分成长为 m 和 n 两部分，则 m 与 n 的关系式
为( C )
A. m n 4
B. mn 4
C. 1 1 1 mn
D. 1 1 2 mn
解析：令过焦点的弦为 x ky 1，与抛物线交点分别为 A、B，
下面介绍另一种方法——数形结合的方法
在图中，设 A x1, y1 ， B x2, y2 .由抛物线的定义可知， AF 等于点 A 到准线的
距离 AA' .由 p
2， p 2
1 ，得 AA'
x1
BF
BB '
x2
p 2
x2 1 ，于是得 AB
p 2
x1
AF
1 .于是 AF x1 1 ，同理， BF =x1+x2 +p x1+x2 +2 .
4.已知抛物线 y2 8x 上一点 P 到准线的距离为 d1 ，到直线l : 4x 3y 12 0 的距离
D 为 d2 ，则 d1 d2 的最小值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：由抛物线 y2 8x 知，焦点 F 2,0 ，准线方程为l : x 2 ，根据题意作图如下；
点 P 到直线 l : 4x 3y 12 0 的距离为 PA ，到准线l1 : x 2 的距离为 PB ， 由抛物线的定义知： PB PF ， 所以点 P 到直线 l : 4x 3y 12 0 和准线l1 : x 2 的距离之和为 PF PA ，
3.3.2抛物线的简单几何性质课件(人教版)
抛物线的焦点弦问题
解：设抛物线方程为 x2＝2py 或 x2＝－2py(p>0)，
p 依题意得 y＝
，代入 x2＝2py 或 x2＝－2py 得|x|＝p，
2
∴2|x|＝2p＝8，p＝4.
∴抛物线方程为 x2＝8y 或 x2＝－8y.
04课堂总结
课堂总结
1.抛物线的几何性质的应用； 2.直线与抛物线的位置关系； 3.抛物线的焦点弦问题。
由题意有 x1＋x2＝2x， ③ y1＋y2＝2y. ④
直线与抛物线的位置关系
①－②得 y21－y22＝2(x1－x2)，将④代入上式且当 x1≠x2 时，所以y1－y2
1 ＝
．
x1－x2 y
又y1－y2
y－1 ＝
y－1 (kAB＝kMQ)，所以
1 ＝
，
x1－x2 x－2
x－2 y
即 y2－y＝x－2，所以(y－1)2＝x－7 ．
顶点
4个
2个
1个
离心率
0<e<1
e>1
e＝1
决定形状 的因素
e 决定扁平程度
e 决定“张口”大小 p 决定“张口”大小
抛物线的简单几何性质
典例：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线关于顶点对称．( ) (2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．( ) (3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．( )
2
4
故弦 AB 的中点的轨迹方程为(y－1)2＝x－7 ．
2
4
抛物线的焦点弦问题
例 8：已知直线 l 经过抛物线 y2＝6x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A，B 两点．若直线 l 的倾斜角为 60°.求|AB|的值．
度上学期高二数学3.3《抛物线的简单几何性质》课件
图形
ly
x
OF
yl x
FO
y
F
x
O
l
y
l
O
F
x
标准方程
y2 2 px ( p 0)
y2 2 px ( p 0)
x2 2 py ( p 0)
x2 2 py ( p 0)
焦半径
图形
ly
x
OF
yl x
FO
y
F
x
O
l
y
l
O
F
x
标准方程
y2 2 px ( p 0)
y2 2 px ( p 0)
(3) 若直线AB与x轴的夹角为，弦长|AB| 如何 用表示?
【引申】与抛物线有关的重要结论：
设点A(x1, y1), B(x2, y2)为抛物线y2＝2px (p＞0)上 两点，且AB为过焦点的弦.
【引申】与抛物线有关的重要结论：
设点A(x1, y1), B(x2, y2)为抛物线y2＝2px (p＞0)上 两点，且AB为过焦点的弦.
【例4】
直线y x 2与y2 2x交于A, B, 求证：OA OB.
【例5】
已知抛物线y2=4x上求一点P,使得P点到直线 y=x+3的距离最短.
【变式】
已知P点是抛物线y2 2x上的一个动点，则点 P到点A(0, 2)的距离与P到该抛物线准线的距离之 和的最小值为__________ .
只有一个公共点；有两个公共点； 没有公共点.
【例3】
斜率为1的直线l经过抛物线y2 4x的焦点F , 且与抛物线相交于A, B两点,求线段AB的长.
【例3】
斜率为1的直线l经过抛物线y2 4x的焦点F , 且与抛物线相交于A, B两点,求线段AB的长.
高二数学抛物线的简单几何性质2省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
M
N OF
B1
B(x2,y2)
(5)证明:以AB为直径旳圆与准线相切 ∠AM1B=Rt ∠,
∠A1FB1=Rt ∠
练习1：
已知抛物线方程为y2=4x，直线l 过定点P（-2，1），斜率为k. 则k为何值时，直线l与抛物线 y2=4x 只有一种公共点；有两个 公共点；没有公共点呢。
提出问题 过抛物线
线
相交于两点
，
问在直线MN：x=2上能否找到一定
点P（坐标与b 旳值无关），使得直
线PA与PB旳倾斜角互补？
变式3 如图，抛物线
，
过点P(1,0)作斜率为k旳直线l交抛物
线于A、B两点，A有关x轴旳对称点
为C，直线BC交x轴于Q点，当k变化
时，探究点Q是否为定点？
练习1：
如图，定长为3旳线段AB旳两 端点在抛物线y2=x上移动，设 线段AB旳中点为M，求点M到y 轴旳最短距离。
练习2：正三角形旳一种顶点位 于坐标原点，另外两个顶点在 抛物线y2=2px(p>0)上，求这个 三角形旳边长。
变式：已知在抛物线y=x2上三个 点A、B、C构成一种等腰直角三 角形，且顶点B是直角顶点，
(1)设直线BC旳斜率为k，求顶点 B旳坐标；
(2)求等腰直角三角形旳面积旳最 小值。
抛物线旳对称性问题
例.已知直线过原点，抛物线旳顶点 在原点，焦点在x轴旳正半轴上，且 点A（-1，0）和B（0，8）有关直 线旳对称点都在抛物线上，求直线 和抛物线旳方程。
； 微信分销系统 ；
阳镜,叶静云奇怪の说："你们看,在那壹块地域上,有壹块黑色の区域,难道那混蛋藏在那壹带?""只是那壹块,壹,本,读,比较广,咱们怎样寻找?"晴文婷并不是太乐观.姑素纤纤说："
N OF
B1
B(x2,y2)
(5)证明:以AB为直径旳圆与准线相切 ∠AM1B=Rt ∠,
∠A1FB1=Rt ∠
练习1：
已知抛物线方程为y2=4x，直线l 过定点P（-2，1），斜率为k. 则k为何值时，直线l与抛物线 y2=4x 只有一种公共点；有两个 公共点；没有公共点呢。
提出问题 过抛物线
线
相交于两点
，
问在直线MN：x=2上能否找到一定
点P（坐标与b 旳值无关），使得直
线PA与PB旳倾斜角互补？
变式3 如图，抛物线
，
过点P(1,0)作斜率为k旳直线l交抛物
线于A、B两点，A有关x轴旳对称点
为C，直线BC交x轴于Q点，当k变化
时，探究点Q是否为定点？
练习1：
如图，定长为3旳线段AB旳两 端点在抛物线y2=x上移动，设 线段AB旳中点为M，求点M到y 轴旳最短距离。
练习2：正三角形旳一种顶点位 于坐标原点，另外两个顶点在 抛物线y2=2px(p>0)上，求这个 三角形旳边长。
变式：已知在抛物线y=x2上三个 点A、B、C构成一种等腰直角三 角形，且顶点B是直角顶点，
(1)设直线BC旳斜率为k，求顶点 B旳坐标；
(2)求等腰直角三角形旳面积旳最 小值。
抛物线旳对称性问题
例.已知直线过原点，抛物线旳顶点 在原点，焦点在x轴旳正半轴上，且 点A（-1，0）和B（0，8）有关直 线旳对称点都在抛物线上，求直线 和抛物线旳方程。
； 微信分销系统 ；
阳镜,叶静云奇怪の说："你们看,在那壹块地域上,有壹块黑色の区域,难道那混蛋藏在那壹带?""只是那壹块,壹,本,读,比较广,咱们怎样寻找?"晴文婷并不是太乐观.姑素纤纤说："
抛物线的简单几何性质 课件
对称轴
_x_轴
_y_轴
顶点 性 质 焦点
准线
F(p ,0) ___2___ _x____p2_
_O_(_0_,_0_)_
F( p ,0) ____2____
_x___p2__
F(0, p) _____2__ yp ______2_
F(0, p) ______2__
y p ____2__
离心率
e=_1_
即又yx020y=02p2p(x0,xy∴∴00x)y00=2=21p,xp2+0(x0=-52p),.
p 2
因此直线AB的方程为x=5p .
2
【互动探究】题2中,若把“垂心”改为“重心”,AB的方程如 何? 【解析】根据抛物线的对称性,因为F为△OAB的重心,所以A,B 两点关于x轴对称.又根据重心的性质, ∵|OF|= p,
FA FB
【解题探究】1.判断直线与圆位置关系时最常用的方法是什 么? 2.什么是定值? 探究提示: 1.判断直线与圆的位置关系时,一般利用几何法进行判断,即判 断圆心到直线的距离与半径的大小. 2.定值就是代数式化简的结果与任何参数都无关.
【证明】1.如图,作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,
抛物线的简单几何性质
抛物线的简单几何性质
标准方程
y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0)
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
图象
标准方程
y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0)
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
范围 _x_≥_0_,_y_∈__R_ _x_≤__0_,_y∈__R_ _x_∈__R_,_y_≥_0_ x_∈__R_,_y_≤__0_
3.3.2第1课时(抛物线的简单几何性质)课件(人教版)
五、课堂小结
1.抛物线的简单几何性质：
图形 y
l
O Fx
方程 焦点 y2=2px F( p ,0) (p>0) 2
准线
x=-p 2
yl FO x
y2=-2px (p>0)
F(-
p 2
,0)
x=p 2ຫໍສະໝຸດ yF x x2=2py F(0,p) y = - p
O
(p>0)
2
2
l
ly
O F
x
x2=-2py (p>0)
四、典型例题
例2 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 M(2, -2 2 )，求它的标准方程.
四、典型例题
顶点在原点，对称轴是坐标轴,并且经过点M(2, -2 2 )的抛物 线有几条?求出这些抛物线的标准方程.
四、典型例题
方法归纳
求抛物线方程,通常用待定系数法. (1)若能确定抛物线的焦点位置,则可设出抛物线的标准方程, 求出p值即可. (2)若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论. (3)焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2=ax(a≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可设为x2=ay(a≠0).
二、探究新知
类比用方程研究对椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你 认为应研究抛物线
y2=2px(p>0) 的哪些几何性质?如何研究这些性质?
三、抛物线的简单几何性质
视察右下图,类比研究椭圆、双曲线范围的方法，发现抛物线 y2=2px(p>0)上点的横坐标、纵坐标的范围是多少？ 你能利用方 程(代数方法)解释它的范围吗？
三、抛物线的简单几何性质
在①同y2=一4x坐标②系y画2=下2x列抛③物y线2=,x视察④开y口2 =大21 x小与p的关系.
3.3.2抛物线的简单几何性质(第1课时)课件(人教版)
关于x轴
对称
( x, y )
O
•
F
(
p
,0)
2
若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px，
则 (-y)2 = 2px
即点(x,-y) 也在抛物线上,
故抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
x
3.顶点
定义：抛物线与它的对称轴的交
y
点叫做抛物线的顶点.
y2
= 2px (p>0)中，
叫做抛物线的焦半径.
y
焦半径公式：
p
MF x0
2
H
y2 = 2px
d
M (x0,y0)
O
•
F( p ,0) x
2
方程 y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py
图
形
y
l
M
O F
M
x
F
y
y
l
O
F M
x
O
l
焦半
径
y
x
O
F
l
M x
p
p
p
p
MF x0
MF
例4.斜率为1的直线 l 经过抛物线
且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.
解:F(1,0),直线l:y=x-1
y x 1
由 2
消y得：x 2 6 x 1 0
y 4xyA来自oFB
法2：设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
x1 x2 6
x1 x2 1
由 2
y 4x
抛物线的简单几何性质 课件
变量y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程,考虑该一元二次方程的
判别式,则有:
Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点;
Δ=0⇔直线与圆锥曲线相切;
Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离.
2.运用抛物线的定义解决问题
剖析:抛物线的离心率e=1,体现了抛物线上的点到焦点的距离等
于它到准线的距离,因此,涉及抛物线的焦点、过焦点的弦的问题,
求抛物线的方程.
分析:先确定抛物线方程的形式,再由条件用待定系数法求解.
=
解法一:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴,
则可设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为5,
∴ = 5, ∴ = 10.
2
∴所求抛物线的方程为y2=20x或y2=-20x.
解法二:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴.
=
2
, 1·y2=p·(-p)=-p2(定值).
4
(4)当 AB 与 x 轴不垂直时,由抛物线的定义,知
|AF|=x1+ , || = 2 + ,
2
2
2 + + 1 +
2
2
1 +
+
2 2 2
1
1
1
1
故
+
=
+
=
|| || +
+
1
2 2 2
1 + 2 +
1
+
|| ||
2
=
2
1
1
判别式,则有:
Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点;
Δ=0⇔直线与圆锥曲线相切;
Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离.
2.运用抛物线的定义解决问题
剖析:抛物线的离心率e=1,体现了抛物线上的点到焦点的距离等
于它到准线的距离,因此,涉及抛物线的焦点、过焦点的弦的问题,
求抛物线的方程.
分析:先确定抛物线方程的形式,再由条件用待定系数法求解.
=
解法一:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴,
则可设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为5,
∴ = 5, ∴ = 10.
2
∴所求抛物线的方程为y2=20x或y2=-20x.
解法二:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴.
=
2
, 1·y2=p·(-p)=-p2(定值).
4
(4)当 AB 与 x 轴不垂直时,由抛物线的定义,知
|AF|=x1+ , || = 2 + ,
2
2
2 + + 1 +
2
2
1 +
+
2 2 2
1
1
1
1
故
+
=
+
=
|| || +
+
1
2 2 2
1 + 2 +
1
+
|| ||
2
=
2
1
1
3.3.2抛物线简单几何性质 课件(共21张PPT)
2
y2
2
2
3 ，∴ 2 0 y 0 3 ∴y =2
1
2
的距离 d=1-（-
或 y =-6（舍去）
，∴x=
2
3
1
=
.
）
2
2
∵点 M 到抛物线焦点的距离等于点 M 到抛物线 y2=2x 的准线的距离，
3
∴点 M 到该抛物线焦点的距离为 2 .
y2
2
=1
7.设 P 是抛物线 y 2 4 x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点.
(x2, y2)
即时巩固
过点M(2,0)作斜率为1的直线l，交抛物线y2=4x于两点A、B，求焦点，求|AB|．
解：设A(1 ,1 ), B(2 ,2 ),
直线l为 = − 2，代入抛物线方程，得x2-8x+4=0，
∴ 1 +2 =8, 1 2 =4
∴ =
1 + 2 ∙
线准线的距离等于（
A.2
B.1
C ）
C.4
D.8
3.已知抛物线 y 2 2 px( p 0) 的准线与圆 ( x 3) 2 y 2 16 相切，则 p 的值为（ C ）
A.
1
2
B.1
C.2
D.4
4.抛物线 x 2 8 y 焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点， PA l ，A 为垂足，如果直线 AF 的倾
第一章
3.3
抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
学习目标
1.了解抛物线的简单几何性质.
2.能运用抛物线的几何性Байду номын сангаас解决相关问题.
抛物线的简单几何性质 课件
抛物线性质的综合应用
[探究问题] 1．若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时，两条直线的斜率有什么关 系？ 提示：两条直线的斜率互为相反数．
2．如何求抛物线 y＝－x2 上的点到直线 4x＋3y－8＝0 的最小值？
提示：法一：设 A(t，－t2)为抛物线上的点， 则点 A 到直线 4x＋3y－8＝0 的距离 d＝|4t－35t2－8|＝|3t2－54t＋8|＝15 3t－232－43＋8＝153t－232＋230＝35t－232＋43. ∴当 t＝23时，d 有最小值43.
(2)①设出直线方程，直线方程与抛物线方程联立，根据焦点弦长公式求 解．
②根据(1)求出点 A、B 的坐标，设出点 C 的坐标，由O→C＝O→A＋λO→B，可 用 λ 表示点 C 的坐标，最后根据点 C 在抛物线上求出 λ 值．
[解] (1)法一：设以 Q 为中点的弦 AB 的端点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有 y21＝8x1，y22＝8x2，
(2)已知过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.
①求该抛物线的方程； ②O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若O→C＝O→A＋λO→B，求 λ 的值．
[思路探究] (1)法一：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，用点差法求 kAB；法二： 设直线 AB 的方程，建立方程求解．
则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x.
[答案] y2＝3x或y2＝－3x
(2)由已知得ac＝2，所以a2＋a2b2＝4，解得ab＝ 3， 即渐近线方程为 y＝± 3x. 而抛物线准线方程为 x＝－p2， 于是 A－p2，－ 23p，B－p2， 23p， 从而△AOB 的面积为21· 3p·p2＝ 3，可得 p＝2.因为抛物线开口向右，所 以其标准方程为 y2＝4x.
2.3.2抛物线的简单几何性质_课件-湘教版数学选修1-1
3．直线 y＝x－1 被抛物线 y2＝4x 截得线段的中点坐标是 ____________．
解析 法一 设直线 y＝x－1 与抛物线 y2＝4x 交于 A(x1，y1)， B(x2，y2)，其中点为 P(x0，y0)，
由题意得yy＝ 2＝x4－x，1， 消去 y，整理得(x－1)2＝4x，即 x2－6x＋1＝0. ∴x0＝x1＋2 x2＝3，y0＝x0－1＝2.∴P(3，2)．
综上所述，|A1F|＋|B1F|＝2p.
题型三 直线与抛物线 【例 3】 已知抛物线的方程为 y2＝4x，直线 l 过定点 P(－2， 1)，斜率为 k.k 为何值时，直线 l 与抛物线 y2＝4x：只有一个公共 点、有两个公共点、没有公共点？ 解 由题意，设直线 l 的方程为 y－1＝k(x＋2)． 由方程组yy－ 2＝14＝x，k（x＋2）， 可得 ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.① (1)当 k＝0 时，由方程①得 y＝1.把 y＝1 代入 y2＝4x， 得 x＝14. 这时，直线 l 与抛物线只有一个公共点14，1.
2．焦点弦问题
如图所示，AB 是抛物线 y2＝2px(p＞0)过焦点 F 的一条弦．设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点 M(x0，y0)，过 A，M，B 分别向 抛物线的准线 l 作垂线，垂足分别为 A1，M1，B1.则根据抛物线的 定义，有|AF|＝|AA1|，|BF|＝|B1B|，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|. 又因为|MM1|是梯形 AA1B1B 的中点线，所以|AB|＝|AA1|＋|BB1|＝ 2|MM1|.故有下列结论：(1)以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切；(2)|AB| ＝2x0＋p2(焦点弦长与中点关系)；
点评 因抛物线方程的独特形式，较之椭圆与双曲线，它上 面的点便于用一个变量表示出来，如 y2＝2px 上任一点，可表示为 2yp2 ，y，注意恰当运用．
2.3.2抛物线的简单几何性质课件人教新课标1
先定型，再定量
例 2 斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的
焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线
段AB的长.
解法一:
y
由已知得抛物线的焦点为(1，0)
A
所以直线AB的方程为y=x -1 o F x
联立方程组得 y2 4x ①
B
y x 1
②
y
②代入①得 (x-1)2=4x
A
整理得 x2-6x+1=0
可知 |AF|=dA=x1+1， |BF|=dB=x2+1，
于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2 y
由已知得抛物线的焦点为(1，0)
A’
dA A
所以直线AB的方程为
y=x -1 ①
oF x
B’ dB B
将①代入方程y2=4x，得 (x-1)2=4x
y
A’
A
整理得 x2-6x+1=0 解得: x1 3 2
直线l的方程为
P
y=kx+2k+1
o
x
y=kx+(2k+1)
由方程组 y2=4x
(І)
可得 ky2-4y+4(2k+1)=0 (П) (1)当k=0时，由方程(П)，得 y=1
把x1 y=1代入y2=4x ， 得
y
4
这时，直线l与抛物线只有 一个公共点 (1/4 ， 1 )
P
(2)当k≠0时，方程(П)的
oF x
解得: ， x1 3 2 2
B
x2 3 2 2
将x1 ， x2代入y=x-1得AB坐标为
A(3 2 2,2 2 2) B(3 2 2,2 2 2)
例 2 斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的
焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线
段AB的长.
解法一:
y
由已知得抛物线的焦点为(1，0)
A
所以直线AB的方程为y=x -1 o F x
联立方程组得 y2 4x ①
B
y x 1
②
y
②代入①得 (x-1)2=4x
A
整理得 x2-6x+1=0
可知 |AF|=dA=x1+1， |BF|=dB=x2+1，
于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2 y
由已知得抛物线的焦点为(1，0)
A’
dA A
所以直线AB的方程为
y=x -1 ①
oF x
B’ dB B
将①代入方程y2=4x，得 (x-1)2=4x
y
A’
A
整理得 x2-6x+1=0 解得: x1 3 2
直线l的方程为
P
y=kx+2k+1
o
x
y=kx+(2k+1)
由方程组 y2=4x
(І)
可得 ky2-4y+4(2k+1)=0 (П) (1)当k=0时，由方程(П)，得 y=1
把x1 y=1代入y2=4x ， 得
y
4
这时，直线l与抛物线只有 一个公共点 (1/4 ， 1 )
P
(2)当k≠0时，方程(П)的
oF x
解得: ， x1 3 2 2
B
x2 3 2 2
将x1 ， x2代入y=x-1得AB坐标为
A(3 2 2,2 2 2) B(3 2 2,2 2 2)
抛物线的简单几何性质 课件
求A、B两点的坐标 → 求出弦长AB →
写出△OAB的面积，利用面积列方程解p → 得结果
【解】 由题意，抛物线方程为 y2＝2px(p≠0)， 焦点 Fp2，0，直线 l：x＝p2， ∴A、B 两点坐标为p2，p，p2，－p，∴|AB|＝2|p|. ∵△OAB 的面积为 4， ∴12·|p2|·2|p|＝4，∴p＝±2 2. ∴抛物线方程为 y2＝±4 2x.
焦点弦问题
设 P(x0，y0)是抛物线 y2＝2px(p>0)上一点，F 是 抛物线的焦点，则|PF|＝x0＋p2，这就是抛物线的 焦半径公式．利用这一公式可以解决过焦点的弦 长问题．
例2 过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于 点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，求AB的中 点M到抛物线准线的距离． 【思路点拨】 设抛物线的焦点为F，则|AB|＝ |AF|＋|BF|，然后利用抛物线的定义求解．
而 y1y2<0，
∴y1y2＝－4.
(3)证明：设 OM，ON 的斜率分别为 k1，k2， 则 k1＝xy11，k2＝xy22， 由(2)知，y1y2＝－4，x1x2＝4， ∴k1·k2＝－44值或定值问题
(1)对抛物线中的定点、定值问题，往往采用设而 不求的方法，即方程中含有参数，不论怎样变化, 某直线过定点，代数式恒为某常数． (2)解决有关抛物线的最值问题，一种思路是合理 转化，用几何法求解；另一种思路是代数法，转 化为二次函数求最值．
则直线 OB 的方程为 y＝－1kx，
y＝kx， 由y2＝2x，
解得xy＝＝00，，
或x＝k22， y＝2k，
即 A 点的坐标为(k22，2k)．同样由yy＝ 2＝－2x1k，x，
解得 B 点的坐标为(2k2，－2k)． ∴AB 所在直线的方程为 y＋2k＝k22k2－＋22kk2(x－2k2)， 化简并整理，得(1k－k)y＝x－2. 不论实数 k 取任何不等于 0 的实数，当 x＝2 时， 恒有 y＝0.故直线过定点 P(2,0)．
写出△OAB的面积，利用面积列方程解p → 得结果
【解】 由题意，抛物线方程为 y2＝2px(p≠0)， 焦点 Fp2，0，直线 l：x＝p2， ∴A、B 两点坐标为p2，p，p2，－p，∴|AB|＝2|p|. ∵△OAB 的面积为 4， ∴12·|p2|·2|p|＝4，∴p＝±2 2. ∴抛物线方程为 y2＝±4 2x.
焦点弦问题
设 P(x0，y0)是抛物线 y2＝2px(p>0)上一点，F 是 抛物线的焦点，则|PF|＝x0＋p2，这就是抛物线的 焦半径公式．利用这一公式可以解决过焦点的弦 长问题．
例2 过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于 点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，求AB的中 点M到抛物线准线的距离． 【思路点拨】 设抛物线的焦点为F，则|AB|＝ |AF|＋|BF|，然后利用抛物线的定义求解．
而 y1y2<0，
∴y1y2＝－4.
(3)证明：设 OM，ON 的斜率分别为 k1，k2， 则 k1＝xy11，k2＝xy22， 由(2)知，y1y2＝－4，x1x2＝4， ∴k1·k2＝－44值或定值问题
(1)对抛物线中的定点、定值问题，往往采用设而 不求的方法，即方程中含有参数，不论怎样变化, 某直线过定点，代数式恒为某常数． (2)解决有关抛物线的最值问题，一种思路是合理 转化，用几何法求解；另一种思路是代数法，转 化为二次函数求最值．
则直线 OB 的方程为 y＝－1kx，
y＝kx， 由y2＝2x，
解得xy＝＝00，，
或x＝k22， y＝2k，
即 A 点的坐标为(k22，2k)．同样由yy＝ 2＝－2x1k，x，
解得 B 点的坐标为(2k2，－2k)． ∴AB 所在直线的方程为 y＋2k＝k22k2－＋22kk2(x－2k2)， 化简并整理，得(1k－k)y＝x－2. 不论实数 k 取任何不等于 0 的实数，当 x＝2 时， 恒有 y＝0.故直线过定点 P(2,0)．
抛物线的简单几何性质(共21张PPT)
准线方程
F
x
y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0)
p ( ,0 ) 2 p ( ,0 ) 2 p (0， ) 2
p x 2 p x 2 p y 2 p y 2
y
F
l
O
x
y
F
O
l
x
y
l
O F
x
p x2=-2py (0， ) (p>0) 2
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
2
求抛物线方程 > log 2 (1) log0.7 1.61 和 > log0.7 1.8 (3) log2 3 和 3
< ln 8.5 (2) ln 3.4和
> log0.3 4 (4) log0.2 0.7和
• 1、顶点在原点,对称轴为y轴且过(4,1)的抛 物线方程是 .
解：由已知可设抛物线的方程为x2=ay,将点(4,1)
1、
范围
y
由抛物线y2 =2px（p>0） 有 2 px y 2 0
所以抛物线的范围为 x 0
抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也 增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
x0
p0
o
p F ( ,0 ) 2
x
2、
对称性
关于x轴
y
( x, y)
对称
( x, y )
y∈R
(0,0)
y
O
F
y≥0
x∈R y轴 y≤0
1
l
y
O F
= -2py F (0, p ) y p 2 x（p>0） 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
变式3 如图，抛物线 y2 2px(p0)， 过点P(1,0)作斜率为k的直线l交抛物 线于A、B两点，A关于x轴的对称点 为C，直线BC交x轴于Q点，当k变化 时，探究点Q是否为定点？
练习1：
如图，定长为3的线段AB的两 端点在抛物线y2=x上移动，设 线段AB的中点为M，求点M到y 轴的最短距离。
探究1 过焦点的直线具有上述性质， 反之，若直线AB与抛物线 y2 2px 的两个交点A，B的纵坐标为 y1, y2 ， 且 y1y2 p2 ，那么直线AB是否经 过焦点F 呢？
探究2 既然过抛物线焦点的直线与 其相交，交点的纵坐标的乘积是一 个定值，那么过抛物线对称轴上其 他任意一定点，是否也有这个性质 呢?
问题 (2004年北京卷理)
过抛物线 y2 2px(p0上)一定点 P(x0,y0)(y00)， 作 两 条 直 线 分 别 交抛物线于A(x1,y1)B ,(x2,y2.)当PA与
PB的斜率存在且倾斜角互补时，求
的值y1 ， 并y 2证明直线AB的斜 y0
率为非零常数.
变式1过抛物线 y2 2px(p0)上一定
PF PF
2y0x2p0
P(x0，y0)在x2=-2py上, PF 2p－y0
抛物线的几何性质：
1、抛物线的范围: y2=2px
y
X0
x
y取全体实数
2、抛物线的对称性 y2=2px
Y
关于x轴对称
没有对称中心，因 此X ，抛物线又叫做 无心圆锥曲线。 而椭圆和双曲线又 叫做有心圆锥曲线
3、抛物线的顶点 y2=2px
练习2：正三角形的一个顶点位 于坐标原点，另外两个顶点在 抛物线y2=2px(p>0)上，求这个 三角形的边长。
变式：已知在抛物线y=x2上三个 点A、B、C组成一个等腰直角三 角形，且顶点B是直角顶点，
(1)设直线BC的斜率为k，求顶点 B的坐标；
(2)求等腰直角三角形的面积的最 小值。
抛物线的对称性问题
练习1：
已知抛物线方程为y2=4x，直线l 过定点P（-2，1），斜率为k. 则k为何值时，直线l与抛物线 y2=4x 只有一个公共点；有两个 公共点；没有公共点呢。
提出问题 过抛物线 y2 2px 的焦
点的一条直线和抛物线相交，两交 点的纵坐标为 y1, y2 ， 求证：y1y2 p2.（焦点弦的其中 一条性质）
变为“直线MA与直线MB的倾斜角
之和为1800”，直线AB不过定点，
探究8 若M为抛物线 y2 2px(p0) 上一个定点，A、B是抛物线上的两 个动点，且直线MA与直线MB的倾 斜角互补，求证：直线AB的斜率为 定值。
设计意图：培养学生研究数学问题 的一般思想方法，一是考虑原命题 的逆命题是否成立；二是考虑能否 把原命题进行一般推广；三是考虑 从原命题条件中还能推出什么结论？ 四是考虑把原命题进行适当变式进 行拓展。
A (x1,y1)B ,(x2,y2)，O为坐标原点，
OA⊥OB，则直线AB是否过定点？ 求AB中点P的轨迹方程.
探究6 设抛物线 y2 2px 上两动点
A (x1,y1)B ,(x2,y2)，M为该抛物线
上一定点，且MA⊥MB，则直线AB 是否过定点？
探究7 若M为抛物线 y22px(p0) 上一个定点，A、B是抛物线上的两
Y
定义 ：抛物线 与对称轴的交 点，叫做抛物
X
线的顶点 只有一个顶点
4、抛物线的离心率 y2=2px
Y
所有的抛物 X 线的离心率
都是 1
5、抛物线的基本元素 y2=2px
Y
基本点：顶点，焦点
基本X 线：准线，对称轴
基本量：焦准距p（决定 抛物线开口大小）
例1：已知抛物线y2=2x (1)设点A的坐标为( 2 ，0)，求曲
点 P(x0,y0)y (00)，作两条直线分别 交抛物线于 A (x1,y1)B ,(x2,y2)，若直 线AB的斜率为定值 p ，证明直线 PA与PB的倾斜角互补.y 0
变式2 设动直线AB：y=-x+b与抛物 线 y2 8x相交于两点A (x1,y1)B ,(x2,，y2) 问在直线MN：x=2上能否找到一定 点P（坐标与b 的值无关），使得直 线PA与PB的倾斜角互补？
•
14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年3月1日星期 一2021/3/12021/3/12021/3/1
•
15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年3月2021/3/12021/3/12021/3/13/1/2021
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/3/12021/3/1Marc h 1, 2021
B1
,y1y2= - p2
(3) 1 1 2
| AF| |BF| P
M
OF
X
B(x2,y2)
(4)A,O,B1三点,B 共 ,O,A 线 1三点
y
A1
y2=2px(p>0) M1
A(x1,y1)
M
N OF
B1
B(x2,y2)
(5)证明:以AB为直径的圆与准线相切 ∠AM1B=Rt ∠,
∠A1FB1=Rt ∠
探究3 设抛物线 y2 2px 上两动点
A (x1,y1)B ,(x2,y2)，且满足 y1y2 k(k为常)，数问AB是否恒过
某一定点？
探究4 设抛物线 y2 2px 上两动点
A (x1,y1)B ,(x2,y2)，且满足 y1y2 k(k为常)，数求AB中点P的
轨迹方程.
探究5 设抛物线 y2 2px 上两动点
抛物线的简单几何性质 （一）
M是抛物线y2 = 2px（p＞0）上一点，若
点M 的横坐标为x0，则点M到焦点的距
离是
p
． x0 + —2 yM
．
OF
x
焦半径及焦半径公式 抛物线上一点到焦点的距离
p
P(x0，y0)在y2=2px上，
PF
x0
p
2
P(x0，y0)在y2=-2px上, P(x0，y0)在x2=2py上,
3
线上与点A距离最近的点P的坐 标及相应的|PA|的值；
(2)若上题中A(2,0)，则结果如何？
例2： 斜率为1的直线经过抛物 线y2 =4x 的焦点,与抛物线相交 于两点A、B, 求线段AB的长.
6、焦点弦和通径
通径是焦点弦中最短的弦， 通径|AB|=2p
设AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F
个动点，且 kMAkMB r (r为非零常
数)，求证：直线AB过定点。
将“探究6”的M AM B“直线
MA与直线MB的倾斜角之差为900”
变为“直线MA与直线MB的倾斜角
之和为90k0”MA，k即MB r
直线AB过定点.
，r =1,
将“探究6”的M AM B“直线
MA与直线MB的倾斜角之差为900”
的一条弦。设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的
中点M(x0,y0),过A,B,M分别向抛物线
的准线作垂线，垂足为A1,B1,M1,则 y
A1
A(x1,y1)
M1
M
OF
B1
B(x2,y2)
(1)|AB|＝x1+x2+p A1
y2=2px(p>0)
y A(x1,y1)
M1
p2 (2)x1x2= 4
例.已知直线过原点，抛物线的顶点 在原点，焦点在x轴的正半轴上，且 点A（-1，0）和B（0，8）关于直 线的对称点都在抛物线上，求直线 和抛物线的方程。
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/3/12021/3/1M onday, March 01, 2021
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/3/12021/3/12021/3/13/1/2021 8:59:58 AM
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/3/12021/3/12021/3/12021/3/1
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
•
11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ21/3/12021/3/12021/3/1M ar-211- Mar-21
•
12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/12021/3/12021/3/1M onday, March 01, 2021
•
13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/12021/3/12021/3/12021/3/13/1/2021