复变函数总结

复变函数总结

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第一章 复数与复变函数

一、复数几种表示

（1）代数表示 yi x z +=

（2）几何表示：用复平面上点表示

（复数z 、点z 、向量z 视为同一概念）

（3）三角式：)sin (cos θθi r z +=

（4）指数式 ： θi re z =

辐角πk z Argz 2arg +=

二、乘幂与方根

（1）乘幂： θi re z =，θin n n e r z =

（2）方根： 1,2,1,0,||arg 2-==+n k e z z i n z k n n π

第二章 解析函数

一、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数

求导法则与一元实变函数类似

函数点解析的定义：函数在一点及其点的邻域内处处可导

注：（1）点解析⇒点可导， 点可导推不出点解析

（2）区域内解析与可导等价

二、定理1 iv u z f w +==)(在0z 可导⇔v u ,在0z 可微，满足C-R 方程

定理2 iv u z f w +==)(在区域D 内解析（可导）

⇔v u ,在区域D 内可微，满足C-R 方程

讨论1 v u ,在区域D 内4个偏导数存在且连续，满足C-R 方程

⇒iv u z f w +==)(在区域D 内解析（可导）

三、解析函数和调和函数的关系

1、定义1 调和函数：满足拉普拉斯方程，且有二阶连续偏导数的函数。 定义2 设),(),,(y x y x ψϕ是区域D 内调和函数，且满足C-R 方程， x y y x ψϕψϕ-==,，则称ψ是ϕ的共轭调和函数。

2、定理1 解析函数的虚部与实部都是调和函数。

定理2 函数在D 内解析⇔虚部是实部的共轭调和函数。

3、问题：已知解析函数的实部（或虚部），求虚部（或实部）

理论依据：

（1）虚部、实部是调和函数。

（2）实部与虚部满足C-R 方程。

求解方法：（例如已知v ）

（1）偏积分法：先求y x u u ,，再求)(y dx u u x ϕ+=⎰，得出)(y ϕ

（2）利用曲线积分：求du u u y x ,,，再c dy u dx u u y x y x y x ++=⎰)

,(),(00

（3）直接凑全微分：求du u u y x ,,，再du

四、初等函数

1、指数函数)sin (cos y i y e e e e w x iy x z +===

性质：（1）z e 是单值函数，

（2）z e 除无穷远点外处处有定义

（3）0≠z e

（4）z e 处处解析，z z e e =')(

（5）2

121z z z z e e e =+ （6）z e 是周期函数，周期是i k π2

2、对数函数πk i z i z Lnz w 2arg ||ln ++== （多值函数）

主值（枝）z i z z arg ||ln ln += （单值函数）

性质：（1）定义域是0≠z ，

（2）多值函数

（3）除去原点和负实轴的平面内连续

（4）除去原点和负实轴的平面内解析，

z Lnz 1)(='，z z 1)(ln ='， （5）

3、幂函数ααα,0(≠==z e z w Lnz 是复常数）

（1）α为正整数，函数单值、处处解析，

（2）α为负整数，函数单值、除去0=z 及其负实轴处处解析，

4、三角函数

欧拉公式 θθθsin cos i e i +=

或 i

e e e e i i i i 2sin ,2cos θ

θθθθθ---=+= 定义：i e e z e e z iz

iz iz iz 2sin ,2cos ---=+= 性质：周期性、可导性、奇偶性、零点、等于实函数一样

各种三角公式、求导公式照搬

注：z z cos ,sin 的有界性 保护成立。

第三章 复变函数的积分

一、复积分⎰⎰++=c c yi x d vi u dz z f )()()(⎰⎰++-=c c udy vdx i vdy udx ⎰c dz z f )( （c 的正向为逆时针方向）

计算方法：

2

121)(Lnz Lnz z z Ln +=

（1）第二类曲线积分计算

（2）化为普通定积分

重要结果： ⎩

⎨⎧≠==-⎰=-1,01,2)(1||00n n i dz z z r z z n π （n 为任意整数） 二、柯西积分定理

定理1（柯西积分定理） 设)(z f 在单连通区域D 内解析，C 为D 内任意一条简单闭曲线，则 0)(=⎰C dz z f 。

注：条件变为)(z f 在单连通区域D 内解析，在D 的边界C 上连续，结论成立，即 0)(=⎰C dz z f 。

定理2 设)(z f 在单连通区域D 内解析，则积分与路径无关。

记积分为 ⎰z z dz z f 0)(，或⎰z

z d f 0)(ξξ 原函数定义

结论：⎰=z

z d f z F 0)()(ξξ是)(z f 的原函数。 )()()(011

0z F z F dz z f z z -=⎰ （条件：)(z f 是解析函数）

定理3 （闭路变形原理）（柯西积分定理推广到多连通区域） 21,C C 是两条简单闭曲线，2C 在1C 内部，)(z f 在21,C C 所围区域D 内解析，

在21,C C 上连续，则

注：定理3说明：区域内的解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内的连续变动而改变它的值。

三、柯西积分公式

定理1 （柯西积分公式）)(z f 在简单闭曲线C 上连续，C 的内部解析（即单连通区域D 内解析），0z 是C 的内部一点，则