7第5章哈密顿原理
物理学中的哈密顿原理
物理学中的哈密顿原理哈密顿原理是物理学中的一种基本原理，它指出了物理系统最小作用量的原则。
该原理由英国物理学家威廉·哈密顿在19世纪初提出，对于物理学的发展有着极为重要的意义。
一、哈密顿原理是什么？哈密顿原理可以理解为：一个物理系统从其初状态到终状态所需的时间最短路径，也就是最小作用量。
其中，“作用量”是一种测量物理系统运动状态的量，它等于系统中的所有运动量在时间上积分后的结果，即作为整体的瞬时动能与势能之和。
物理系统从一个状态到另一个状态的路径，就是使得其作用量最小的路径。
而这一路径就被称为系统的正解。
二、哈密顿原理的意义和应用哈密顿原理提供了一种优雅且彻底的求解物理问题的方法。
通过将物理系统的演化从初始状态到终态视为从一个定点到另一个定点的稳定性问题，可以轻松得到此类问题的数学表达式。
同时，哈密顿原理也可以用于描述量子系统和场论的稳定性问题，因此其适用范围非常广泛。
另外，哈密顿原理也有着广泛的实用价值。
利用哈密顿原理可以推导出物理系统的运动方程，揭示出物理系统运动的本质规律，对于科学家们的研究工作具有极为重要的帮助。
此外，哈密顿原理也被广泛应用于电磁场、相对论、统计力学等多个领域，成为了这些领域中不可或缺的工具。
三、哈密顿原理与其他热力学原理的联系哈密顿原理与热力学中的另外两个基本原理——熵增原理和能量守恒原理有着密切的联系。
从熵增角度来看，哈密顿原理可以看作是熵增原理的推广，熵增原理是指任何一个物理系统在宏观上总是趋向于熵增大的方向演化；而哈密顿原理则可以更加细致地说明物理系统整体的演化方向，并与熵增原理形成相互印证的关系。
形象地说，熵增原理描述了自然界的宏观趋势，而哈密顿原理则揭示了物理系统的微观运动本质。
与能量守恒原理相比，哈密顿原理则是更进一步地明确了能量守恒关系。
应该指出的是，在哈密顿原理的框架下，能量守恒原理可以被视为系统的“可观测性”问题——也就是一个系统的可测量状态始终是相似的，换句话说，一个物理系统不会在不改变自身的能量条件下发生任何改变。
哈密顿原理的推导
哈密顿原理的推导首先，回顾一下在一定时间间隔内，质点的作用量的定义。
作用量是一个函数，记作S，表示在质点从t1时刻到t2时刻的路径上，系统所做的所有虚功的总和。
虚功可以理解为系统中所有力对质点所做的功的总和。
在一定时间间隔内，虚功可以用力对时间的乘积来表示，即F·dx，其中F是力，dx是位移。
接下来，定义路径上的广义坐标为q(t)和广义速度为dq(t)/dt。
广义坐标q(t)是质点的位置和速度的参数化描述，它是时间的函数。
根据广义坐标的定义，质点的位移可以表示为dq(t) = q'(t)dt，其中q'(t)是广义速度dq(t)/dt。
根据广义坐标和广义速度的定义，质点的虚位移可以表示为dq(t) = εq'(t)dt，其中ε是任意小量。
现在考虑一个包含质点的系统，假设在t1时刻和t2时刻之间有一个固定的路径q(t)，同时也存在其他无限接近路径q(t)+εq'(t)。
根据前面的定义，这两条路径分别对应了质点的虚位移dq(t)和dq(t)+εq'(t)。
根据作用量的定义，这两条路径上的虚功分别可以表示为F·dq(t)和F·(dq(t)+εq'(t))。
接下来，我们需要对作用量进行泰勒展开。
根据泰勒展开的近似，一个函数在其中一点附近可以近似为该点的函数值加上导数与自变量的线性关系。
对于作用量来说，根据前面的推导，我们可以将两个虚功项展开为：F·dq(t) = F·(q'(t)dt) = F·(q'(t) + εq''(t)dt) ≈F(q'(t))dt + εF'(q'(t))q''(t)dtF·(dq(t) + εq'(t)) = F·(q'(t)dt + εq'(t)dt) = F·(q'(t)+ εq'(t))dt = F(q'(t))dt + εF'(q'(t))q'(t)dt其中，F(q'(t))表示力在广义速度q'(t)处的函数值，F'(q'(t))表示力在广义速度q'(t)处的导数。
物理学中的哈密顿原理及其应用
物理学中的哈密顿原理及其应用哈密顿原理是一个重要的物理学原理，它是研究力学和量子力学等理论的基础。
对于一个系统的运动，哈密顿原理提供了一种数学描述的方式，能够给出最小作用量原理，可以通过这个原理得到物理学的解。
在这篇文章中，我们将讨论哈密顿原理的定义、应用以及它如何影响现代物理学。
1、哈密顿原理的定义哈密顿原理的定义是：对于一个系统，在一个确定的时间段内，系统的运动路径是使作用量函数最小的。
在系统运动的过程中，作用量表示为：S = ∫L dt，其中L是系统的拉格朗日函数，dt是时间差。
根据这个定义，哈密顿原理的表述是：对于在一个确定的时间段内运动的一个系统，当其在任何可行运动路径下的动作最小化时，它的实际路径将是真实路径。
2、哈密顿原理的应用哈密顿原理在物理学中的应用领域广泛，例如力学和量子力学等领域。
在力学领域，哈密顿原理可以用来导出量子场论和相对论理论的基础方程。
在量子力学中，哈密顿原理被用来描述粒子运动的描述方法，即“量子哈密顿力学”或“路径积分理论”。
在天体物理中，哈密顿原理也被用来描述星系、银河系、黑洞等天体的运动及其演化过程。
此外，哈密顿原理还被应用于航空、航天工程、自然科学、工程学和材料科学等领域。
3、哈密顿原理的影响哈密顿原理的提出对现代物理学产生了深刻的影响，它预示了一种新的力学理论，即哈密顿力学。
在哈密顿力学中，拉格朗日函数中的变量都可以通过一组可以互相转换的变量来替换，这里的变量包括位置、动量、时间和势能等。
这种方法在物理学研究中已经得到了广泛应用，包括分析旋转、振动和波动等行为。
此外，哈密顿原理还促进了物理学研究的发展，使科学家们更好地理解了物质和能量的性质，包括它们的高度复杂的性质。
这种方法不仅联结了现代理论物理，而且是微积分和变分原理的基础，从而成为许多物理问题的通用解法。
此外，哈密顿原理还为物理学家提供了在研究新现象和探索新原理的道路，有助于进一步扩展人类关于自然的认识面和技术实践。
哈密顿定理
哈密顿定理引言哈密顿定理，又称哈密顿-雅可比定理，是经典力学中的一条重要定理，由威廉·哈密顿于1835年提出。
它是质点力学中的一个基本定理，可以用来描述质点在势力场中的运动。
哈密顿定理在经典力学、量子力学、统计力学等领域都有广泛的应用。
定理表述哈密顿定理的表述如下：对于一个系统，其哈密顿函数H、广义坐标q和广义动量p之间满足以下关系：∂H/∂p = dq/dt∂H/∂q = -dp/dt其中，H是系统的哈密顿函数，q是广义坐标，p是广义动量，t是时间。
定理解释哈密顿定理可以理解为能量守恒的表述。
在一个力学系统中，系统的哈密顿函数代表系统的总能量。
根据哈密顿定理的第一部分，系统的总能量随时间的变化率与广义动量的变化率相等。
这意味着在系统中，能量的改变取决于动量的改变。
同样地，根据哈密顿定理的第二部分，系统的总能量的变化率与广义坐标的变化率的相反数相等。
这意味着在系统中，能量的改变取决于坐标的改变的相反方向。
这样，哈密顿定理给出了系统能量的变化与坐标和动量的关系，进一步揭示了力学系统内部的运动规律。
哈密顿定理的应用1. 力学系统的轨迹预测哈密顿定理可以用来预测力学系统的轨迹。
通过已知的系统的哈密顿函数、广义坐标和广义动量的初值，可以通过哈密顿定理计算出系统在不同时间点上的坐标和动量的数值。
这样，我们就可以通过数值计算的方式得到系统在未来的运动轨迹，从而对系统的行为进行预测。
这在航天器轨道计算、天体运动预测等领域有广泛的应用。
2. 力学系统的稳定性分析哈密顿定理还可以用来分析力学系统的稳定性。
通过对系统的哈密顿函数进行分析，可以得到系统在不同状态下的能量。
通过计算能量的变化率，可以了解系统在不同状态下的稳定性。
如果能量变化率始终小于零，系统就是稳定的。
而如果能量变化率大于零，系统就是不稳定的。
这种稳定性分析可以帮助我们理解力学系统的运动特性，进一步用来设计控制系统、优化工程结构等。
3. 非保守系统的分析哈密顿定理也可以用来分析非保守系统。
哈密顿原理的推导
02 03
广义坐标和广义力
在非完整系统中，广义坐标不再完全独立，需要引入广义力来描述系统 受到的约束反力。哈密顿原理在形式上仍然保持不变，但需要将广义力 纳入考虑。
应用实例
非完整系统广泛存在于实际物理问题中，如滚动摩擦、滑动摩擦等。通 过应用非完整系统的哈密顿原理，可以推导出相应的运动方程，进而分 析系统的动力学行为。
应用实例
相对论性哈密顿原理在宇宙学、黑洞物理等领域具有广泛应用。例如，通过该原理可以推 导出爱因斯坦场方程，描述引力与时空几何的关系。
哈密顿原理在现代物理学中的应用前景
量子力学与量子场论
在量子力学和量子场论中，哈密顿原理提供了从经典到量子的桥梁。通过引入算符和波函数等概念，可以将哈密顿原 理应用于微观粒子的运动规律研究。
主函数$S$是拉格朗日函数$L$对时间$t$的积分，即$S=int_{t_1}^{t_2}Ldt$。
通过变分法求解$delta S=0$，可以得到质点系的真实运动方程，即拉格朗日方程 $frac{d}{dt}frac{partial L}{partial dot{q}}-frac{partial L}{partial q}=0$。
广义相对论与宇宙学
广义相对论是描述引力与时空关系的理论框架，而哈密顿原理为广义相对论提供了变分法的基础。在宇宙学中，利用 哈密顿原理可以研究宇宙的演化、黑洞的性质等问题。
高能物理与粒子物理
在高能物理和粒子物理领域，哈密顿原理可用于描述基本粒子的相互作用和衰变过程。结合实验数据， 可以进一步揭示物质的基本结构和相互作用机制。
在理论物理、应用数学以及工程科学等领域，哈密顿原理都扮演着重要的角色。
哈密顿原理是变分法的一个应用，通过求解最小作用量原理来确定系统的运动方程 。
7第5章哈密顿原理
根据哈密顿原理，
整理后，
又，
代入前式中，得到
在瞬时t0，t1，有r== 0，于是上式中的后四项为零，由于t0，t1是任意的，所以被积函数应为零，且和是彼此独立的，于是我们得到
哈密顿原理可用来推导各种形式的弹性结构（杆及杆系、板、壳）的运动微分方程及求动力响应的近似解。
例5-6试建立二端固定而绷紧的均质弦的微幅振动动力学方程。
(1)
固定时间t，式(1)表示以a为变量（0al）的曲线参数方程，如图18-5中的曲线c，根据不可伸长的约束条件，得到
由此推出
(1)
用 分别表示横向位移及其对a和对t的偏导数，并且限于讨论偏离铅垂位置的微振动。若将横向运动量 看作一阶小量，则由公式(1)看出， 是二阶小量，在略去四阶小量 后，式(1)简化为
(2)
系统动能精确到二阶小量为
(3)
式中，是悬链线密度。若以O为零势能位置重力势能为
(4)
式中，xC是链子的质心坐标；xN是集中质量的坐标。根据质心公式，有
而
若以悬链静平衡为零势能状态，则系统的重力势能为
(5)
令
其中，是集中质量与链的质量比，则系统的拉格朗日函数由式(3)和(5)得
哈密顿作用量为
(6)
t
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
0.00
0.29313
0.56900
0.81038
1.00
0.00
0.29401
0.56975
0.81006
1.00
0.00
-0.299
-0.132
+0.0395
0.00
习
5-1如题5-1图所示，半径为r的均质圆球自半径为R的固定球顶端无初速、无滑动地滚下，试求动球的正则方程及球心下降的加速度。
哈密顿原理
§7-4 哈密顿原理人们为了追求自然规律的统一、 和谐, 按照科学的审美观点, 总是力图用尽可能少的原理(即公理)去概括尽可能多的规律.牛顿提出的三个定律, 是力学的基本原理. 由这些基本原理出发, 经过严格的逻辑推理和数学演绎, 可以获得经典力学的整个理论框架.哈密顿原理是分析力学的基本原理, 它潜藏着经典力学的全部内容并把这门学科的所有命题统一起来. 也就是说, 由它出发, 亦可得到经典力学的整个框架.哈密顿原理是力学中的积分变分原理. 变分原理提供了一个准则, 使我们能从约束许可条件下的一切可能运动中, 将力学系统的真实运动挑选出来. 变分原理的这一思想, 不仅在力学中, 而且在物理学科的其他领域中, 都具有重要意义.一、变分法简介1. 函数的变分.自变量为x 的函数表示为)(x y y =.函数的微分x y y d d ′=是由自变量x 的变化引起的函数的变化.函数的变分也是函数的微变量, 但它不是因为自变量x 的变化, 而是由于函数形式的变化引起的.这种由于函数形式变化造成的函数的变更称为函数的变分, 记作y δ.与函数y 邻近但形式与y 不同的函数有许多, 这些函数可以表示如下:)()0,(),(*x x y x y εηε+= 其中ε是任意小的参数, ()x η是任意给定的可微函数. 因0=ε时()()x y x y =0,, 所以函数形式的变化决定于上式的第二项. 因此, 函数的变分写成()()()x x y x y y εηε=−=0,,δ*在自由度为1的力学系统中讨论变分的概念. 设广义坐标为q , )(t q q =. 建立以t q ,为轴的二维时空坐标系(又称事件空间), 曲线I 是)(t q q =的函数曲线, 代表了系统的真实运动.q t d d →函数的微分.在曲线I 附近, 存在着许多相邻曲线, 这些曲线都满足力学系统的约束条件, 称为可能运动曲线,它们的方程表示为()()()t t q t q εηε+=0,,*在t 不变的情况下, 函数形式的改变也能引起函数的变化, 这种变化纯粹是由函数形式变化引起的, 它就是函数的变分q δ,()()()t t q t q q εηεδ=−=0,,*与q d 不同, q δ与时间变化无关, 称为等时变分. r δ和αq δ都是等时变分.变分的运算法则在形式上与微分运算法则相同. 下面列出几条变分法则.设1y 和2y 是自变量x 的两个函数, 则()2121δδδy y y y +=+()122121δδδy y y y y y +=22211221δδδy y y y y y y −= 现给出第3式的证明:()22222211122122211121*2121δηεηεηεηεηε+−=−++=− =y y y y y y y y y y y y y y22211221δδδy y y y y y y −= 等时变分还有两个重要性质:(1)变分与微分的运算可以交换, 即δ和d 的运算可交换;(2)变分和微商在运算上可以交换, 即δ和t d /d 的运算可交换.首先证明性质(1):设力学系统的1=s ,q . 曲线 I 表示系统的真实运动, 曲线 II 表示与曲线I 邻近的系统的可能运动.Q Q P ′→→, Q ′点的纵坐标为()q q q q d δd +++. Q P P ′→′→, Q ′点的纵坐标成为()q q q q δd δ+++. 于是 ()()q q q q q q q q δd δd δd +++=+++()()q q δd d δ=证明完毕.下面证明性质(2): 因为()()()()2d d δd d δd d d δt t q q t t q −=由于等时变分, ()()0δd d δ==t t . 所以上式可写成()()q t t q t q δd d d d δd d δ==证明完毕.在变分法中, 除等时变分外, 还有全变分. 全变分是由于函数自变量和函数形式的共同变化引起的, 用q ∆表示.()()0,,*x y x x y y −∆+=∆εx xy y y ∆+=∆d d δ 2. 泛函的变分与泛函取极值的条件---欧拉方程.若变量J 由一组函数()x y y i i =, n i ,,2,1 =的选取而确定, 则变量J 称为函数()t y y i i =的泛函, 记作()()()],,,[21x y x y x y J n .泛函J 由n 个函数的形式确定, 是函数形式的函数.泛函与函数的概念不同, 函数中的自变量是数； 而对于泛函, 处于自变量地位的是可以变化的函数的形式.举例说明：Oxy 平面中有B A ,两个固定点, 连接两固定点间的曲线的长度L 由下式确定, ()x x y L AB x x d d /d 12∫+= 显然, L 依赖于函数()x y y =的选取, 若函数()x y 的形式发生变化, 则曲线的形状随之变化, 曲线的长度也跟着改变. 长度L 就是函数()x y的泛函.研究形式最简单的泛函及其变分, 该泛函只依赖一个函数()()[]x x x y x y F J x x d ,,10∫′= 或 ()()()()()[]x x x x y x x y F J x x d ,0,,0,10∫′+′+=ηεεηε 其中()()x x y x y d d =′被积函数()()[]x x y x y F ,,′的形式是已知的, 积分的上下限是固定的. 当函数()x y 在形式上发生变化时, 泛函就会发生变化, 这种由于函数形式的变化引起泛函的变化(线性部分)称为泛函的变分,记作J δ.现将被积函数()()()()[]x x x y x x y F F ,0,,0,ηεεη′+′+=在0=ε处展开(只保留线性部分)()()()()[]x x x y x x y F ,0,,0,ηεεη′+′+()()[]()()x y F x y F x x y x y F ηεεηεε′ ′∂∂+ ∂∂+′===00,, 可见函数的变分为()()()()[]()()[]x x y x y F x x x y x x y F F ,,,0,,0,δ′−′+′+=ηεεη()()x y F x y F ηεεηεε′ ′∂∂+ ∂∂===00 y y F y y F ′ ′∂∂+ ∂∂===δδ00εεF 的变分是在0δ=x 的情况下进行的. 在力学中, x 为时间t , 这种变分是等时变分.现将J δ写成()()()()[]()()[]∫∫′−′+′+=1010d ,,d ,0,,0,δx x x x x x x y x y F x x x x y x x y F J ηεεη ()()()()[]()()[]{}∫′−′+′+=10d ,,,0,,0,x x x x x y x y F x x x y x x y F ηεεη∫=10d δx x x F 上式表明当积分变量与变分无关时, 变分算符和积分算符可以交换.在数学中, 变分法的基本问题是通过求泛函的极值(极大值, 或极小值, 或稳定值)去寻找函数)(x y . 泛函中的函数)(x y 的形式需不断改变, 直到J 达到极值. 当J 为极值时, )(x y 就是我们所要寻找的函数.泛函取极值的必要条件是满足欧拉方程. 推出欧拉方程:与函数极值条件类似, 处于极值的泛函, 其变分一定为零, 即()()[]x x x y x y F J x x d ,,δδ10∫′= ()()[]x x x y x y F x x d ,,δ10∫′= 0d δδ10= ′′∂∂+∂∂=∫x y y F y y F x x 考虑到()y x y δd d δ=′, 并对上式中的第二项采用分部积分法()x y y F x y y F x x y x y F x y y F x x x x x x d δd d δd d d δd d d δ101010∫∫∫ ′∂∂− ′∂∂=′∂∂=′′∂∂ 积分上下限是固定的, 即要求各函数曲线有相同的端点, 0δδ10==x x y y , 所以上式第一项 0δd δd d 1010=′∂∂= ′∂∂∫x x x x y y F x y y F x 故0d δ)d d (10=′∂∂−∂∂∫x y y F x y F x xεη=y δ, 由于η是任意函数, 所以y δ也是任意的. 可见, 要使上式成立, 必须0d d =′∂∂−∂∂y F x y F 这就是欧拉方程.可推广到多个函数为变量的泛函中去, 该泛函取极值的欧拉方程为0d d =′∂∂−∂∂ββy F x y F l ,,2,1 =β l 代表函数的个数.3. 变分问题.凡是与求泛函极值有关的问题都称做变分问题. 下面列举3个曾在变分法的发展中起过重要影响的变分问题.(1) 最速落径问题. 通过求泛函极值, 得知竖直平面内不在同一铅垂线上的两个固定点之间的多条曲线中, 能使质点以最短时间从高位置点到低位置点自由滑下的曲线是旋轮线(又称摆线).(2) 短程线问题. 已知曲面方程, 用求泛函极值的方法, 可得出曲面上两固定点之间长度最短的线.(3) 等周问题. 将泛函求极值, 可得知一平面内, 长度一定的封闭曲线, 所围面积最大的曲线是圆.例题6 最速落径问题.(有兴趣者自学)二、哈密顿原理1. 位形空间、 真实运动曲线和可能运动曲线.在分析力学中, 由s 个广义坐标s q q q ,,,21 组成的s 维空间称为位形空间.系统某一时刻的位形(即由广义坐标确定的系统的位置)与该空间中的一点相对应. 当位形随时间变化时(时间t 为参数), 位形点就会发生变化而形成一条曲线.用位形空间研究完整系的运动, 不用顾及约束对系统运动的影响. 因为空间由s 个广义坐标轴组成, 每一个广义坐标都可以自由变化. 位形空间中的任何一条曲线, 都表示系统在完整约束下的一种可能的运动过程.设s t q q ,,2,1),( ==ααα代表系统的真实运动, 则由它们决定的曲线称为真实运动曲线.由于函数)(t q q αα=形式发生变化而在真实曲线邻近出现的曲线称为可能运动曲线.2. 完整有势系统的哈密顿原理.哈密顿原理是分析力学中的积分变分原理, 它巧妙地运用泛函求极值的方法, 将真实运动从约束允许的一切可能运动中挑选出来.哈密顿原理是一条力学公理.首先, 定义一个称为作用量的泛函:()∫=10d ,,t t t t q q L S αα 式中的L 称为拉格朗日函数, 定义为V T L −=T 是力学系统相对惯性系的动能),,(t qq T T αα =; 势能),(t q V V α=. 拉格朗日函数是ααqq ,和t 的函数, ),,(t qq L L αα =. 假定位形空间中有两个固定点A 和B , 与A 点相对应的时刻是0t , 与B 点相对应的时刻是1t .两个固定点之间, 存在着由s t q q ,,2,1),( ==ααα决定的真实运动曲线.两固定点B A ,间还存在许多与真实运动曲线邻近的可能运动曲线, 它们是由q q q δ*+=αα s ,,2,1 =α0δδ10====t t t t q q αα s ,,2,1 =α决定的.作用量是依赖于函数)(t q α的泛函. 在位形空间的两个固定点间有许多可能运动轨道, 其中有一条是真实的. 哈密顿原理就是通过变分法中求泛函(在此指作用量)极值的方法, 将真实运动从这许多的可能运动中挑选出来的.哈密顿原理的内容是: 受完整约束的有势系, 在位形空间中, 相同时间内通过两位形点间的一切可能运动曲线中, 真实运动曲线使作用量取极值. (极值为极小值, 故此原理又称为哈密顿最小作用量原理)在哈密顿原理中, 一切可能运动必须具有以下共同的特点:(1) 都是同一系统在相同的约束条件下的可能运动;(2) 都是在时刻0t 和时刻1t 之间相同时间间隔内完成的运动;(3) 在位形空间中有相同的起点和终点, 即 0δδ10====t t t t q q ααs ,,2,1 =α哈密顿原理的数学表述:在位形空间内, 当s q q t t t t ,,2,1,0δδ10 =====ααα时, 对于受完整约束的有势系, 其真实运动使 ()0,,δδ10==∫t t t q q L S αα 综上所述, 当作用量泛函取极值时, 与该作用量所对应的位形空间曲线就是真实运动的曲线, 描绘该曲线的s 个函数)(t q q αα=就是真实运动的运动学方程.拉格朗日函数V T L −=是力学系统的特征函数.如果确定了系统的拉格朗日函数, 则通过哈密顿原理, 就可导出力学系统的动力学方程.由欧拉方程可以得到分析力学中有势系的普遍方程---拉格朗日方程, 我们将在下一章讨论这个问题.[拉格朗日函数不是惟一确定的. 设f 是一个任意广义坐标和时间的函数, 即),(t q f f α=, 设),(d d t q f tL L α+=′, 则∫∫=′1010d d t t t t t L t L δδ. 证明了在原有拉格朗日函数上加上一项广义坐标和时间的任意函数对时间的全微商, 是不会改变系统的运动方程的. 这种不变性称做规范变换不变性, 它对于现代理论物理的研究有重要意义.]例题 7 质量为m 的质点, 在重力场中以与水平线成α角的初速率v 抛射, 根据哈密顿原理, 求质点的运动微分方程.解 在抛射体运动的平面内, 以铅垂方向为y 轴, 建立直角坐标系Oxyz , 以y x ,作为质点的广义坐标. 拉格朗日函数为()mgy y x m L −+=2221 作用量为()t mgy y x m t L S t t t t d 21d 101022∫∫ −+== 根据哈密顿原理, 真实运动使()[]0d δδδδ10=−+=∫t y mg y y m x x m S t t ()∫∫∫−==10101010d δδd δd d d δt t t t t t t t t x x m x x m t x tx m t x x m ()∫∫∫−==10101010d δδd δd d d δt t t t t t t t t y y m y y m t y ty m t y y m 由于在10,t t 时刻, 0δδ==y x , 因此 ()[]∫=+−−=100d δδδt t t y mg y m x x m S 又因x δ和y δ是相互独立的, 所以要使上式成立, 必须0=xm 0=+mg ym 3. 一般完整系的哈密顿原理.对一般完整系, 主动力常含有非有势力, 上述哈密顿原理不再适用, 但可以将有势系的哈密顿原理的表达式经修改后推广到一般完整系中:即在位形空间中, 一般完整系的真实运动使0d δδ101= +∫∑=t q Q T t t S ααα 式中T 是系统的动能, αQ 是与广义坐标αq 对应的广义力.[ααq r F Q i ni i ∂∂⋅=∑= 1] 在下一章里, 我们将会根据一般完整系的哈密顿原理, 推导出一般完整系普遍适用的动力学方程, 即一般形式的拉格朗日方程.在物理学的研究中, 对于我们重要的是有势系的哈密顿原理.哈密顿原理具有统一的、简洁完美的形式, 即具有坐标变换的不变性, 从而使哈密顿原理具有很大的普适性.哈密顿原理——有限自由度——无限自由度.哈密顿原理——物理学其他领域.哈密顿原理还可用于创建新的理论, 根据实验结果和假设构造出拉格朗日函数, 便可用哈密顿原理导出运动方程, 其正确性由实践检验.哈密顿原理是作为公理提出的, 并未推证. 它们的正确性由原理演绎出的推论在实践中的检验而得到证实. ——完全不依赖牛顿定律, 它的适用条件也完全不受牛顿定律适用条件的限制, 其普适性比牛顿的运动定律大得多.。
哈密顿原理推导运动方程
哈密顿原理推导运动方程引言：物理学中，哈密顿原理是描述系统运动的一种方法。
它通过将系统的运动路径与作用在系统上的力学量相联系，从而推导出系统的运动方程。
本文将以哈密顿原理为基础，推导出运动方程，并对其进行详细的阐述和解释。
一、哈密顿原理的基本概念哈密顿原理是基于变分原理的一种方法，它是由数学家威廉·哈密顿提出的。
它描述了一个力学系统的运动路径应当使作用在系统上的作用量取极值。
作用量是一个函数，描述了系统在其运动过程中所受到的作用力。
根据哈密顿原理，系统的运动路径可以通过使作用量取极值来确定。
二、哈密顿原理的数学表达在哈密顿原理中，作用量可以表示为一个积分形式：S = ∫L(q, q', t) dt其中，S表示作用量，L表示拉格朗日量，q表示广义坐标，q'表示广义速度，t表示时间。
三、推导过程为了推导运动方程，我们需要使用变分法。
变分法是一种数学方法，可以求解函数的极值问题。
我们假设系统的运动路径为q(t)，然后对作用量进行变分，使其取得极值。
我们将作用量进行变分：δS = ∫(∂L/∂q δq + ∂L/∂q' δq') dt根据变分法的定义，我们可以将上式中的δq和δq'看作是独立的变量，因此可以分别对其进行求导：∂S/∂q = ∂L/∂q - d/dt(∂L/∂q')∂S/∂q' = ∂L/∂q'根据哈密顿原理，作用量的变分应当为零，即δS = 0。
因此，我们可以得到以下两个方程：∂S/∂q = 0∂S/∂q' = 0根据以上两个方程，我们可以得到两个重要的运动方程：∂L/∂q - d/dt(∂L/∂q') = 0∂L/∂q' = 0第一个方程又被称为欧拉-拉格朗日方程，它描述了系统的运动轨迹。
第二个方程则是哈密顿原理的直接结果，它描述了广义动量的守恒。
四、运动方程的物理解释欧拉-拉格朗日方程描述了系统在运动过程中的力学行为。
7第5章哈密顿原理
第5章哈密顿原理如前所述，力学的变分原理的实质是:将真实运动与可能发生的运动加以比较，建立判别准则以区分真实运动和可能的运动.哈密顿原理是通过真实运动与可能的运动在位形空间的位形轨迹加以比较,而哈密顿作用量S 是对不同的位形轨线取不同值的泛函,从而得到对真实运动来讲,哈密顿作用量的变分等于零.将拉格朗日方程引人哈密顿函数，导出哈密顿正则方程；给出了一种对偶的数学体系，开拓了应用前景；由动力学普遍方程对时间积分，导出一个重要的力学变分原理——哈密顿原理，提出了将真实运动与同样条件下的可能运动区分开来的准则；对于有限过程,提供了一种动力学问题的直接近似解法.5。
1 哈密顿正则方程哈密顿正则方程是分析力学中又一个重要的力学方程，它与拉格朗日方程等价，是2n 个一阶常微分方程组。
我们知道，对于一个质点系统,在建立拉格朗日方程后,重要的问题是研究这个微分方程组的积分,但是求解往往是很困难的。
哈密顿正则方程的重要性在于它将n 个二阶微分方程变换为2n 个一阶方程，而且结构对称、简洁，为正则积分理论创造了有利条件。
若是说拉格朗日方程对分析力学起着开拓性作用,则哈密顿正则方程对分析力学中的积分理论起着基础的和推动的作用.哈密顿正则方程的重要性还在于在许多理论的定性研究中,并不需要求解微分方程组，而是将二阶微分方程变换为二个一阶方程并应用几何方法求解。
5.1。
1 正则方程的建立对于主动力均有势的k 个自由度的完整约束系统，其拉格朗日方程为),,2,1(0d d k j q L q L t j j ==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ （5—1）引入广义动量),,2,1(k j qL p j j =∂∂=(5—2）代入式（5—1）,有),,2,1(k j q Lpjj =∂∂=（5-3)设拉格朗日函数L 满足条件0det 2≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂k j q q L 于是，可由式(5-2）反解出),,2,1(),,,,,,(11k j t p p q q f q k k j j ==(5-4）式（5—3）和式（5—4）就把方程（5-1）由k 个二阶微分方程化为2k 个一阶微分方程，其中方程组（5-4)并非正则形式.引入哈密顿函数),,(1),,(t p q f q j j k j j j j j j j L q p t p q H ==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=∑(5-5）按照Legendre 变换规则，将j q变换成),,2,1(k j p j =,而q i 和t 仍然保持不变,则有 jj p Hq∂∂= （5-6） ),,2,1(k j q Hq L jj =∂∂-=∂∂(5—7）tHt L ∂∂-=∂∂ （5-8)将式(5-7)代入式(5—3),并与式（5—6)联立,得),,2,1(,k j q H pp H q jj j j =∂∂-=∂∂= （5-9)这就是哈密顿正则方程，是以广义坐标和广义动量为独立变量的2k 个一阶常微分方程。
哈密顿原理
哈密顿原理哈密顿原理是经典力学中一种非常重要的原理，它由爱尔兰数学家威廉·哈密顿在19世纪提出，被广泛应用于物理学和工程学的各个领域。
哈密顿原理描述了一个系统的运动方程，它可以通过变分原理来推导出系统的运动方程，是经典力学中最重要的原理之一。
在哈密顿原理中，我们首先需要引入拉格朗日函数。
拉格朗日函数是描述系统动力学行为的一个函数，它通常由系统的动能和势能构成。
然后，我们定义哈密顿量，它是系统的总能量函数，可以用拉格朗日函数通过勒让德变换得到。
接下来，我们引入广义坐标和广义动量，它们是描述系统运动状态的变量。
通过对拉格朗日函数进行变分，我们可以得到哈密顿原理的表达式。
哈密顿原理的本质是要使系统的作用量取极值。
作用量是描述系统在一段时间内的积累效应，它是系统运动的一个重要量。
根据变分原理，我们要使系统的作用量对于任意的变分都取极值，从而得到系统的运动方程。
这就是哈密顿原理的核心思想。
哈密顿原理在物理学中有着广泛的应用。
在经典力学中，我们可以用哈密顿原理来推导出系统的运动方程，比如著名的哈密顿正则方程。
在量子力学中，哈密顿原理也有着重要的地位，它可以用来描述量子系统的演化。
此外，在光学、流体力学、电磁学等领域，哈密顿原理也都有着重要的应用。
除了在物理学中的应用，哈密顿原理在工程学中也有着重要的地位。
在控制理论中，我们可以用哈密顿原理来设计系统的最优控制律，从而实现系统的最优控制。
在航天航空领域，哈密顿原理也可以用来分析飞行器的轨迹和姿态控制。
总之，哈密顿原理作为经典力学中的重要原理，不仅在物理学中有着广泛的应用，而且在工程学中也有着重要的地位。
它通过变分原理描述了系统的运动方程，是经典力学中不可或缺的一部分。
通过深入学习和理解哈密顿原理，我们可以更好地理解物理学和工程学中的许多现象，为实际问题的分析和解决提供重要的理论基础。
《哈密顿原理》PPT课件
则 d , H 0
dt t
反之，若 , H 0 则 C
t
是正则方程的一个运动积分，因为有
dt
dq1 H
dq2 H
p1 p2
dqs H
dp1 H
dp2 H
ps
q1
q2
dps H
2q3 s
q
(1)c, 0, c为常数 (2), , 0
n
n
(3)如 j ,则, , j
振动解要求 l 为纯虚数，要做到这一点势能V>0. 令 l il
s
q Aleilt Aleilt , 1, 2, , s
l 1
s
q al coslt bl sinlt , 1, 2, , s
l 1
上式中 l 叫简正频率，共有s个。
6
3.简正坐标
T
1 2
s
a q q
1
V
V0
s 1
V q
q 0
1 s 2V 2 1 q q
1
q q
0
高级项
取 V0 0 对保守系 V 0
q
略去高级项
1 s 2V
1s
V
2
1 1
q
q
q q 0
2 1 c q q
1
2
在稳定约束下，动能只是速度的二次函数
T
1 2
s
a q q
1
1
也展开为泰勒级数
j 1
j 1
(4), ,
(5)
t
,
t
,
,
t
(6) ,, ,, , , 0
1,如
(7) q , p 0,如
哈密顿原理的推导
哈密顿原理的推导
1.系统的自由度确定：首先，需要确定系统的自由度。
自由度是描述系统运动所需要的最少独立坐标数。
一个自由度可以是一个动态变量，如质点的位置或速度，或者是一个静态变量，如角度等。
2.微元及约束条件的选择：根据系统的自由度数目，选择适当的微元变量，并确定系统在这些微元变量下的约束条件。
3.定义微分变量和广义坐标：通过对微元变量中的一部分进行积分，并定义微分变量和广义坐标，以从多个变量函数中得到单个变量函数。
广义坐标可以是位置或速度的函数，也可以是其他描述系统性质的变量。
4.拉格朗日方程的建立：利用约束条件和广义坐标，建立拉格朗日方程。
拉格朗日方程描述了系统的动力学，并包含了系统的所有信息。
5.哈密顿原理的应用：应用哈密顿原理，即使系统在时间上的变化是最小的，从而得到系统的运动方程。
哈密顿原理可以通过微分的形式来表达，即系统的动作路径的变分应该为零。
6.计算哈密顿量：通过拉格朗日方程，可以得到哈密顿量，它由广义坐标和动量构成。
哈密顿量描述了系统在相空间中的运动。
7.求解运动方程：利用得到的哈密顿量，可以求解系统的运动方程。
这些方程可以通过哈密顿正则方程得到，即通过广义坐标和动量的偏导数来表达。
总结起来，哈密顿原理的推导过程主要是通过选择适当的微元变量、约束条件和广义坐标，然后建立拉格朗日方程，并应用哈密顿原理得到系
统的运动方程和哈密顿量。
这一过程是经典力学中求解运动方程的一种重要方法，也为后续的量子力学和统计力学的发展奠定了基础。
哈密顿原理变分法
哈密顿原理变分法引言：哈密顿原理是经典力学中的一种数学工具，用于描述物体在空间中的运动。
它是由法国数学家和物理学家嗣洛·哈密顿于19世纪提出的，被广泛应用于许多物理学领域，如量子力学、相对论等。
本文将介绍哈密顿原理的基本概念、原理和应用，并探讨其在理论物理学中的重要性。
一、哈密顿原理的基本概念1. 变分法变分法是一种数学方法，用于求解泛函（函数als）极值问题。
在物理学中，我们经常遇到求解由泛函表示的物理量的极值问题，变分法就是解决这类问题的有效工具。
2. 哈密顿原理哈密顿原理是变分法在经典力学中的应用。
它表述了一个物体在给定时间间隔内，其运动轨迹使作用量（action）取极值的路径就是实际发生的路径。
作用量是由拉格朗日量（Lagrangian）和时间变量组成的积分，表示了物体在给定时间内所经历的所有可能的路径对系统的总贡献。
二、哈密顿原理的原理和推导1. 哈密顿原理的原理哈密顿原理的核心思想是“自然界的真实路径是使作用量取极值的路径”。
作用量S可以表示为：S = ∫(L - H)dt其中L是拉格朗日量，H是哈密顿量。
根据变分法的原理，我们可以通过对作用量的变分求解，得到真实路径。
2. 哈密顿原理的推导我们假设系统的状态由广义坐标q和广义速度q'描述，拉格朗日量可以表示为：L = L(q, q', t)根据拉格朗日方程，我们可以得到：d/dt(∂L/∂q') - ∂L/∂q = 0将哈密顿量H定义为：H = ∑(q'∂L/∂q' - L)则拉格朗日方程可以写为：d/dt(∂L/∂q') = ∂H/∂q对作用量S进行变分，可以得到：δS = ∫(∂L/∂qδq + ∂L/∂q'δq' - ∂H/∂qδq)dt根据变分法的原理，δS = 0，我们可得到哈密顿正则方程：∂H/∂q = -d/dt(∂L/∂q')∂H/∂q' = d/dt(∂L/∂q')三、哈密顿原理的应用1. 经典力学哈密顿原理在经典力学中有广泛的应用。
哈密顿算符运算原理
哈密顿算符运算原理
在量子力学中，物理量可以用对应的算符表示。
哈密顿算符就是描述
粒子总能量的算符，通常用H表示。
它包含了动能算符和势能算符两部分。
动能算符通常用动量算符p来表示，根据量子力学的假设，动量算符
与位置算符x是对易的，即[p,x]=0。
因此，动能算符可以写为T=p^2/2m，其中m是粒子的质量。
势能算符描述了粒子受到的外力场，一般记为V(x)，其中x是粒子
的位置。
势能算符与位置算符x是对易的，即[V(x),x]=0。
因此，哈密顿算符H可以写为H=T+V(x)。
通过哈密顿算符，我们可以求解量子力学体系的能量谱。
哈密顿算符
作用在量子态上，可以得到对应的能量本征值和能量本征态。
求解哈密顿算符的本征值问题可以使用波函数的形式解决。
假设量子
态可以用波函数ψ(x)来描述，那么哈密顿算符作用在波函数上的结果可
以写为Hψ(x)。
根据薛定谔方程，对于一个定态情况，哈密顿算符作用在波函数上得
到的结果应该等于对应的能量本征值与波函数的乘积。
即Hψ(x)=Eψ(x)。
这个方程就是薛定谔方程的定态形式，其中E表示能量本征值。
解这
个方程，可以得到能量本征值E和能量本征态ψ(x)的解析解或数值解。
总之，哈密顿算符是量子力学中描述粒子总能量的算符，包含了动能
算符和势能算符。
通过求解哈密顿算符的薛定谔方程，可以得到量子体系
的能量本征值和能量本征态。
哈密顿算符的运算原理可以通过波函数或矩
阵的表示来揭示。
哈密顿原理
哈密顿原理设n 个质点所形成的力学体系受有k 个几何约束，则这力学体系的自由度是k n s -=3。
因此，我们如果能够做到把s 个广义坐标αq ),,2,1(s =α作为时间t 的函数加以确定，我们也就确定了这力学体系的运动。
因运动方程是s 个二阶微分方程，故有s 2个积分常数，兹以s c c c 221,,, 表之。
另一方面，我们也可以认为s 个确定的αq 代表着s 维空间的一个点，而描写力学体系运动状态的积分),,,,(221s c c c t q q αα= ),,2,1(s =α （5.7.7）由于时间t 的推移则在s 维空间中描出一条曲线。
为了寻求力学体系的运动规律，哈密顿提出可以从具有相同端点，并为约束所许可的许多条可能的运动轨道即s 维空间曲线中，挑出一条真实轨道。
为此，可以采用变分法的方法来挑选这一条真实轨道。
既然可以从许多约束所许可的轨道中，选出真实轨道，当然也就确定了力学体系沿这条真实轨道运动时的运动规律。
我们现在用拉格朗日方程来推导在保守力系作用下的哈密顿原理。
至于任意力系作用下的哈密顿原理，由于用得不是太多，我们就从略了。
把拉格朗日方程（5.3.18）中的各项乘以αδq ，对α求和，然后沿着一条可能的运动轨道即s 维空间一条曲线自两曲线共同端点)(11t t P =至)(22t t P =对t 积分，则得0211=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎰∑=dt q q L q L dt d t t s ααααδ （5.7.8）但)(ααααααδδδq dt d q L q q L dt d q q L dt d ∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ααααδδq q L q q L dt d ∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= (5.7.9) 因哈密顿用的是等时变分，故这里也用了变分对易关系式)(ααδδq dt d dt dq =⎪⎭⎫ ⎝⎛，把式（5.7.9）代入式（5.7.8），得⎰∑∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂2111210t t s s dt q q L q q L t t q q L ααααααααδδδ (5.7.10)因);,,,;,,,(2121t q q q q q q L L s s =，而1|t t q =αδ=2|t t q =αδ=0,故式（5.7.10）简化为 ⎰=210t t Ldt δ (5.7.11)又因0=t δ，故式（5.7.11）中积分号内的δ可移至积分号外，即（5.7.12）这就是在保守力系作用下的哈密顿原理的数学表达式。
哈密顿原理
Ldt
t1
——主函数或作用函数或作用量。
L T V
——拉格朗日函数。
表明：对一个受理想、完整约束的力学体系，在保守 力的作用下从一个位形移动到另一个位形，对于在相 同时间内发生的一切可能运动中，只有沿 t1 到 t 2 的 轨道运动的作用函数 S 具有极值。即对真实运动来说， 作用函数的变分为零。
为等时变分。如： (
dx dt
)
d dt
。 ( x )
2
二、哈密顿原理： 1、几个概念： 设由 n 个质点组成的力学体系，受 k 个 约束，有 s 个自由度， s 个广义坐标 q 1 、 、… q ，它的运动规律为： q2 s
q1 q1 ( t ) ,
q 2 q 2 (t ) ,......, q s q s (t )
q
B (t 2 )
A(t1 )
q
真实轨道：力学体系真正运动的位形 轨道（实线AB）。
比较轨道：约束许可的位形轨道（虚 线AB）。
4
2、哈密顿原理： 对真实的的位形轨道，作用函数S有极值，即：
S
S 式中：
t2
Ldt 0 ........( 6 . 83 )
t2
t1
——哈密顿原理
q
B
A
q
.......( 1)
s
（1）、位形空间：以广义坐标 q 为坐标轴的 位形点：位形空间内的一个点。 位形轨道：位形点在位形空间内随时间 变化所描绘的一条曲线。
维空间。
相空间：以广义坐标 q 、广义动量 空间。
p
为坐标轴的 2 s维
3
（2）真实运动，可能运动：
真实运动：力学体系在所受约束及主 动力作用下真实实现的运动。 可能运动：约束许可的运动（不遵从 运动规律）。
哈密顿力学
§5-3 正则方程
1.从拉格朗日方程到正则方程
统计物理、电动力学和量子力学等理论物理学科中对力学的 描述更多的是采用哈密顿正则方程的形式。
根据哈密顿函数的定义
d H d L s p q & s(q & a d p a p a d q & a ) d L
1
a 1
d dt q & L q L =0
d dx
f y
'
f y
0
欧勒方程
例：求最速落径方程
解：已知
f
1 y '2 ， 2gy
根据欧勒方程
d f
dx
y
-
f 0. y
f 1 1 y '2 y 3 / 2 ; f 1 (1 y '2 ) 1/ 2 y
y 2 2g
y 2gy
d
dx
1 2gy
(1
y
'2 ) 1/ 2
Q qt1 qt2 0
t1 t2s1qL d dtq & L qdt0
Qq 是 任 意 的
d dt q & L q L 0
(1,2...s)
三. 哈密顿原理的意义
➢哈密顿原理在理论上具有特别重要的意义, 它是建立在描述 体系运动总体效果----积分形式的基础之上，与采用什么样的 广义坐标（坐标系）无关，因此只要适当引进拉格朗日函数 （对相互作用需要建立模型得到势函数或力函数，进而得到拉 格朗日函数）,就容易推广应用拉格朗日方程和正则方程,并建 立整个分析力学的体系.
T [ y ( x ) ] x2 f ( y , y ', x ) d x 可 以 证 明 泛 函 T [ y ( x ) ] 取 极 值 的 条 件 是 其 x1
哈密顿原理
哈密顿原理哈密顿原理，又称“哈密顿总动量定理”，是物理学的重要定理之一，由英国物理学家威廉哈密顿（William Hamilton）发现，它提供了一种有效而可靠的方式来描述许多现象，并且在现代物理学中仍然被广泛使用。
本文将以详细的介绍介绍哈密顿原理，并讨论它在现代物理学中的作用。
哈密顿原理（Hamilton Principle），也称为哈密顿总动量定理（Hamilton Principal of the Conservation of Momentum），是物理学中的重要理论，它提供了一种有效的方法来描述物质受给力作用时的运动行为。
它的主要思想是，在某些确定的物理系统中，物体在接受给力的过程中所承受的瞬态动量必须是系统整体的总动量的最小值。
因此，哈密顿原理可以用来求解某些物理系统的运动行为，但它仅适用于确定的物理系统。
哈密顿原理表明，当受力物体在系统中发生变形时，它的总动量变化（即动量矢量）越小越好。
因此，受力物体的运动行为满足哈密顿原理的条件，即最优化其总动量矢量的条件。
哈密顿原理也可以用来推导某些重力场的运动规律。
例如，对于受力物体在引力场中发生运动，哈密顿原理可以用来推导出物体受到引力时在无惯性参考系下的运动方程式，即质量*加速度=引力，从而解释山岳问题、月球问题等。
另外，哈密顿原理还可以应用于一些重要的物理现象，如超声波传播、灰尘环形等。
例如，对于超声波传播，哈密顿原理指出，超声波在介质中可以存在，且其传播的速度和传播的方向都是介质的性质决定的。
此外，哈密顿原理还可以用来求解受力物体在各种复杂运动体系中的运动行为，如基本动力学、现代力学等。
在基本动力学中，它可以用来推导受力物体的位移、速度、加速度等关系，从而求解受力物体的运动问题。
在现代的力学中，哈密顿原理也可以用来求解某些复杂的动力学问题，如振动动力学、热传导等问题。
总之，哈密顿原理是物理学的重要定理，它提供了一种有效而可靠的方式来描述许多物理现象，并且在现代物理学中仍然被广泛使用。
哈密顿原理的推导
i 1
k d j1 dt
T q j
T q j
q j
(9)
n
n
n
k
Fi ri miai ri 0 (2)
Fi ri Q jq j (3)
i 1
i 1
i 1
j 1
将此成果代入(2)式中得：
k d
j1 dt
T q j
T q j
Q j q j
0
(10a)
当主动力有势力时： 式中得：
0
(11a)
V 广义力：Q j q j 代入(11a)式中，而拉格朗日
函数L=T-V(质点系旳动能与势能之差又称为动势)
(11a)式又能够写为：
k
j 1
d dt
L q j
q j
L q j
q
j
0
V q j
0 (11b)
将(11b)式乘以dt，并从t1到t2作定积分，有：
t2 t1
mi ri 2 2
n
miai ri
i 1
n
miai
i1
k j 1
ri q j
q
j
k j 1
n i 1
miai
ri q j
q j
ma ri q j
d dt
q j
mi ri 2 2
q
j
mi ri 22(来自)将此成果代回式(4)，并引入质点系动能
得:
T n mi ri2
i1 2
n
q j
ri
q
2ri q t
k 2ri j1 q q j
q j
另一方面，直接由矢径 ri 对某一广义坐
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第 5 章哈密顿原理如前所述，力学的变分原理的实质是：将真实运动与可能发生的运动加以比较，建立判 别准则以区分真实运动和可能的运动。
哈密顿原理是通过真实运动与可能的运动在位形空间 的位形轨迹加以比较， 而哈密顿作用量 S 是对不同的位形轨线取不同值的泛函， 从而得到对 真实运动来讲，哈密顿作用量的变分等于零。
将拉格朗日方程引人哈密顿函数，导出哈密顿正则方程；给出了一种对偶的数学体系， 开拓了应用前景； 由动力学普遍方程对时间积分， 导出一个重要的力学变分原理——哈密顿 原理， 提出了将真实运动与同样条件下的可能运动区分开来的准则； 对于有限过程， 提供了一种动力学问题的直接近似解法。
5.1 哈密顿正则方程哈密顿正则方程是分析力学中又一个重要的力学方程，它与拉格朗日方程等价，是 2n 个一阶常微分方程组。
我们知道，对于一个质点系统，在建立拉格朗日方程后，重要的问题 是研究这个微分方程组的积分， 但是求解往往是很困难的。
哈密顿正则方程的重要性在于它 将 n 个二阶微分方程变换为 2n 个一阶方程，而且结构对称、简洁，为正则积分理论创造了 有利条件。
若是说拉格朗日方程对分析力学起着开拓性作用， 则哈密顿正则方程对分析力学 中的积分理论起着基础的和推动的作用。
哈密顿正则方程的重要性还在于在许多理论的定性 研究中， 并不需要求解微分方程组， 而是将二阶微分方程变换为二个一阶方程并应用几何方 法求解。
5.1.1 正则方程的建立设拉格朗日函数 L 满足条件2L det 0 q j q k于是， 可由式 (5-2)反解出q j f j (q 1, ,q k , p 1, , p k , t) (j 1,2, ,k)式(5-3)和式(5-4)就把方程 (5-1)由 k 个二阶微分方程化为 组(5-4) 并非正则形式。
引入 哈密顿函数k 个自由度的完整约束系统，其拉格朗日方程为dL dt q jLq j0 ( j 1,2, ,k)引入广义动量p jL(j 1,2, ,k)q j代入式 (5-1) ，有Lp j(j 1,2, ,k)(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)2k 个一阶微分方程，其中方程对于主动力均有势的q j这就是 哈密顿正则方程 ，是以广义坐标和广义动量为独立变量的 2k 个一阶常微分方程。
哈 密顿正则方程是关于两类变量q j 和 p j 的对偶方程，给出了一种对称的数学结构体系，不但可推广应用到力学的各个领域，还可拓展到物理学的其他领域。
5.1.2 正则方程的积分对于定常系统，这意味着机械能守恒；对于非定常系统，则意味着广义能量守恒。
例 5-1 试写出图 5-1 中球面摆的正则方程及其首次积分。
已知球面摆摆长为 l ，摆锤质 量为 m 。
解 ：取图 5-1 所示的角 数为1 2 2 2 2T V ml ( sin ) mgl cos广义动量分别为按照 Legendre 变换规则，将 q j 变换成 p j ( j Hq jp j1,2, ,k) ，而q i 和 t 仍然保持不变，则有(5-6)LH(j 1,2, ,k)(5-7) q jq jLH(5-8)tt将式(5-7)代入式 (5-3) ，并与式 (5-6)联立，得HHq j ,p j( j 1,2, ,k)(5-9)jp jq jH(q j ,p j ,t) p j q j L(5-5)q j f j (q j ,p j ,t)正则方程也有循环积分和能量积分。
由式(5-5)可见，如果 L(q j , p j , t)中不显含某广义坐标 广义坐标 q 。
因此，循环坐标可定义为不显含于函数 H H 若q 为循环坐标，则有 Hqq ，则 H(q j , p j ,t) 中也不显含该 或 L之中的广义坐标。
同样，当 H 中不显含时间变量dH dt0 ，由式 (5-9) 知， p0 ，从而有循环积分 时，j1C (常量) 有Ht 0，于是 (5-10)H q jq jH p j p j将式(5-9)代入上式，得 dH 0 ，dt中动能 T 为广义速度 q j 的二次齐次函数，有kTHq j L 2T (T V) Tj 1 q j因此，有能量积分， H ＝ C (常量)。
注意到定常系统V C (常量) (5-11)为广义坐标， A 为重力势能的零位置，则系统的拉格朗日函2 2 mgl cos C 2ml 2sin 2注意 ：由于系统是定常的，上式也可直接由式 (5-11)写出。
5.2 哈密顿原理由动力学普遍方程积分， 导出一个哈密顿原理， 因此哈密顿原理是在任一有限的时间间 隔中区分真实运动与可能运动的准则， 是积分原理。
高斯原理又称最小拘束原理， 是在任一 瞬时通过真实运动与可能运动的加速度不同进行比较而得到的判别准则，是微分原理。
为了方便， 将真实运动在位形空间中的轨线称为正路， 对约束允许的可能发生的运动在 位形空间的轨线称为旁路。
作以下规定：在瞬时 t 0，正路与旁路都通过 A 点，在瞬时 t 1又都 通过 B 点。
现在由动力学普遍方程推导哈密顿原理。
解得p Lml2ml 2 sin 2pml 2 sin 2按定义式 (5-5)，系统的哈密顿函数为 2p 2 ml 2Hp1ml 222 p 22 2ml 2正则方程 (5-9) 成为故循环积分为能量积分为p, ml2 ,2 p 2 24ml2p22 ml 2 sin 22 p 22 4 2m lsin2 p 2222ml 2sin 2mgl cosmgl cospml2pml2sin 22p cosml 2 sin 3 mglsin常量)H ＝C 常量)2p2ml 2图 5-1于是式（ 5-14）可以表达为S = 0 （5-16） 这就是 势力场完整系统的哈密顿原理：对于完整系统，若主动力有势，在相同的时间、相同 的起迄位置的条件下， 在所有为约束允许的可能运动中， 真实运动使哈密顿作用量具有极值， 或者说，正路与旁路相比，沿正路的哈密顿作用量的变分为零。
5.3 哈密顿原理的应用哈密顿原理可以表述为：沿着正路的哈密顿作用量与沿着旁路的哈密顿作用量相比较， 前者具有极值，如式（ 5-14）所表达。
应该注意的是式（ 5-14）只是在完整系统且主动力有 势的条件下成立。
对于在任意力作用下的完整系统，哈密顿原理有式（ 5-13）的形式，但不具有极值条件。
对于质点系（ n 个质点）的真实运动，满足动力学普遍方程 n（F i m i a i ） r i 0i1t 0至 t 1对时间 t 积分： N（F i m i r i ） δr i dt 0 i1将上式沿着位形空间中的正路自t 1 t 0(5-12)对于完整系统，当 t = 0，有微分—变分对易法则，则dδr i（r i dt r iδr i ) r i δr i 代入式（ 5-12）中，有t1t 0F iδr i i1m i d (r i i dtiδr i ) m i r i δr i dt 0注意到在上式中m i r i δr ii11 δ12m i r i又，t 1i1δri |t 0Nδr i|t 1Nδ i1m i r i 2 δT 2 i i上式是在任意作用力下的哈密顿原理。
tδTF i δr i dt(5-13)若主动力有势，势能函数为 V ，t 1t式中 L 为拉格朗日函数，上式可写成δ(T V)dtt1δLdtt这是在保守力作用下的哈密顿原理。
我们称为哈密顿作用量。
它是依赖于可能运动t1δ Ldt t(5-14)q jt 1S t L(q 1,q 2,tt 1 Ldttq j （t ） 的泛函，即 ,q n ; q 1,q 2, ,q n ,t)dt(5-15)首先构造函数mq j a jk jk (t), k1数 a jk 不同值得到不同的可能运动。
将式（ 5-18 ）表达的哈密顿原理只涉及到系统的两个动力学函数， 即动能和势能。
对于这两个表达系统状态 的整体性函数，没有规定必须用多少坐标（有限个参数或无限个参数）来表达。
因此，哈密 顿原理不但适用于有限多自由度系统， 也适用于连续系统。
普遍意义的原因就在于此。
将哈密顿原理应用到连续体时， 可以求解。
更广泛地说， 哈密顿原理提供了动力学问题的直接解法， 哈密顿原理比拉格朗日方程更有 只要写出连续体的动能和势能就 可以回避运动微分方程的建立 而直接求得系统动力学问题的数值解，就是说，将变分学中的里兹直接法应用于动力学中。
t 1 δ 1Ldt 0 ，边界条件 t具体的方法如下：对于 端点条件）为 q j (t 0), q j (t 1),1, 2, ,n (5-17)S a jk 的函数，然后选择 a jk 使 S 达到极值，也就是由S a jk j 1,2, ,n 来确定 a jk ,，这是 ,mk 1, 2, a jk 代入式（ 5-18）中就得到系 线性代数方程组，可以应用各种方法求解。
最后，将求得的 统的近似解。
应用哈密顿原理可以建立动力系统的运动微分方程；也可直接求解动力学问题。
例 5-2 试用哈密顿原理推导拉格朗日方程。
解：考虑一个所受主动力均有势的完整系统，设其有 由哈密顿原理 t 1Ldtt0 q k ，拉格朗日函数为 L L （q j ,q j ,t ） ， t 1Ldtt1ttL q L j q jk 个自由度，广义坐标为 q 1 ，⋯， q jdt又因 q i |t 0 q i |t 1 0 由于完整系统各t 1tt 1tj1q jq j d dt q jq jd dtL q j dtq jj1q jddtq jq j dtj1q jq jt始末位置相同）t 1 kt0j 1 q j(j 1, 2,故上式中jt1q j q jdLq j dt q j,k ） 的独立性和任意性，故q j dtt0 ，于是，有j 1, 2, ,n(5-18)式中 a jk 是待定常数，jk 是选择的适当的函数，函数q j 应满足式（ 5-17）的边界条件。
给常q *j 代入哈密顿作用量 S 中，则 S 是2(5)1 2解 ：设悬挂点 O 不动，而链的末端 N 附有质量 m 。
坐标 x ＝ a 处的 M 点在运动中达到 M 点，假设悬链是匀质不可伸长和柔软的， M 点的位移记作 u(a,t),v(a,t)，而集中质量 N 的 位移记作 u(l,t), v(l,t)，这里 l 是链子的长度，设 M 点的笛卡尔坐标为( x 、y )，则有固定时间 t ，式(1)表示以 a 为变量( 0 a l )的曲线参数方程，如图 18-5中的曲线 c ， 根据不可伸长的约束条件，得到1 V lgx C mgl x NdL dt q j 这就是势力场中第二类拉格朗日方程。