7第5章哈密顿原理

第 5 章哈密顿原理

如前所述，力学的变分原理的实质是：将真实运动与可能发生的运动加以比较，建立判 别准则以区分真实运动和可能的运动。 哈密顿原理是通过真实运动与可能的运动在位形空间 的位形轨迹加以比较， 而哈密顿作用量 S 是对不同的位形轨线取不同值的泛函， 从而得到对 真实运动来讲，哈密顿作用量的变分等于零。

将拉格朗日方程引人哈密顿函数，导出哈密顿正则方程；给出了一种对偶的数学体系， 开拓了应用前景； 由动力学普遍方程对时间积分， 导出一个重要的力学变分原理——哈密顿 原理， 提出了将真实运动与同样条件下的可能运动区分开来的准则； 对于有限过程， 提供了

一种动力学问题的直接近似解法。

5.1 哈密顿正则方程

哈密顿正则方程是分析力学中又一个重要的力学方程，它与拉格朗日方程等价，是 2n 个一阶常微分方程组。我们知道，对于一个质点系统，在建立拉格朗日方程后，重要的问题 是研究这个微分方程组的积分， 但是求解往往是很困难的。 哈密顿正则方程的重要性在于它 将 n 个二阶微分方程变换为 2n 个一阶方程，而且结构对称、简洁，为正则积分理论创造了 有利条件。 若是说拉格朗日方程对分析力学起着开拓性作用， 则哈密顿正则方程对分析力学 中的积分理论起着基础的和推动的作用。 哈密顿正则方程的重要性还在于在许多理论的定性 研究中， 并不需要求解微分方程组， 而是将二阶微分方程变换为二个一阶方程并应用几何方 法求解。

5.1.1 正则方程的建立

设拉格朗日函数 L 满足条件

2

L det 0 q j q k

于是， 可由式 (5-2)反解出

q j f j (q 1, ,q k , p 1, , p k , t) (j 1,2, ,k)

式(5-3)和式(5-4)就把方程 (5-1)由 k 个二阶微分方程化为 组(5-4) 并非正则形式。引入 哈密顿函数

k 个自由度的完整约束系统，其拉格朗日方程为

dL dt q j

L

q j

0 ( j 1,2, ,k)

引入广义动量

p j

L

(j 1,2, ,k)

q j

代入式 (5-1) ，有

L

p j

(j 1,2, ,k)

(5-1)

(5-2)

(5-3)

(5-4)

2k 个一阶微分方程，其中方程

对于主动力均有势的

q j

这就是 哈密顿正则方程 ，是以广义坐标和广义动量为独立变量的 2k 个一阶常微分方程。哈 密顿正则方程是关于两类变量

q j 和 p j 的对偶方程，给出了一种对称的数学结构体系，不但

可推广应用到力学的各个领域，还可拓展到物理学的其他领域。

5.1.2 正则方程的积分

对于定常系统，这意味着机械能守恒；对于非定常系统，则意味着广义能量守恒。

例 5-1 试写出图 5-1 中球面摆的正则方程及其首次积分。 已知球面摆摆长为 l ，摆锤质 量为 m 。 解 ：取图 5-1 所示的角 数为

1 2 2 2 2

T V ml ( sin ) mgl cos

广义动量分别为

按照 Legendre 变换规则，将 q j 变换成 p j ( j H

q j

p j

1,2, ,k) ，而

q i 和 t 仍然保持不变，则有

(5-6)

L

H

(j 1,2, ,k)

(5-7) q j

q j

L

H

(5-8)

t

t

将式(5-7)代入式 (5-3) ，并与式 (5-6)联立，

得

H

H

q j ,

p j

( j 1,2, ,k)

(5-9)

j

p j

q j

H(q j ,p j ,t) p j q j L

(5-5)

q j f j (q j ,p j ,t)

正则方程也有循环积分和能量积分。

由式(5-5)可见，如果 L(q j , p j , t)中不显含某广义坐标 广义

坐标 q 。因此，循环坐标可定义为不显含于函数 H H 若q 为循环坐标，则有 H

q

q ，则 H(q j , p j ,t) 中也不显含该 或 L

之中的广义坐标。

同样，当 H 中不显含时间变量

dH dt

0 ，由式 (5-9) 知， p

0 ，从而有循环积分 时，

j1

C (常量) 有

H

t 0，于是 (5-10)

H q j

q j

H p j p j

将式(5-9)代入上式，得 dH 0 ，

dt

中动能 T 为广义速度 q j 的二次齐次函数，有

k

T

H

q j L 2T (T V) T

j 1 q j

因此，有能量积分， H ＝ C (常量)。注意到定常系统

V C (常量) (5-11)

为广义坐标， A 为重力势能的零位置，则系统的拉格朗日函

2 2 mgl cos C 2ml 2

sin 2

注意 ：由于系统是定常的，上式也可直接由式 (5-11)写出。

5.2 哈密顿原理

由动力学普遍方程积分， 导出一个哈密顿原理， 因此哈密顿原理是在任一有限的时间间 隔中区分真实运动与可能运动的准则， 是积分原理。 高斯原理又称最小拘束原理， 是在任一 瞬时通过真实运动与可能运动的加速度不同进行比较而得到的判别准则，是微分原理。

为了方便， 将真实运动在位形空间中的轨线称为正路， 对约束允许的可能发生的运动在 位形空间的轨线称为旁路。作以下规定：在瞬时 t 0，正路与旁路都通过 A 点，在瞬时 t 1又都 通过 B 点。现在由动力学普遍方程推导哈密顿原理。

解得

p L

ml

2

ml 2 sin 2

p

ml 2 sin 2

按定义式 (5-5)，系统的哈密顿函

数为 2

p 2 ml 2

Hp

1

ml 2

2

2 p 2

2 2ml 2

正则方程 (5-9) 成为

故循环积分为

能量积分为

p

, ml

2 ,

2 p 2 24

ml

2

p

22 ml 2 sin 2

2 p 2

2 4 2

m l

sin

2 p 2

22

2ml 2

sin 2

mgl cos

mgl cos

p

ml

2

p

ml

2

sin 2

2

p cos

ml 2 sin 3 mglsin

常量)

H ＝C 常量)

2

p

2ml 2

图 5-1