2020专升本高数二知识点总结 (1)

目录
一、概率论
1.事件发生的概率选择题5分、2014，2019年8分大题
2.离散型随机变量大题8分
二、极限和连续
1. 极限选择、填空4-5分
2. 连续选择、填空4-5分
三、一元函数微分
1. 导数选择、填空、大题（重点）平均18.4分
2. 函数的应用选择或填空、大题17分
3. 微分选择、填空、大题（考查分散）平均4分
4. 洛必达法则2017年填空、8分大题必出
四、多元函数微分
1. 偏导数选择、填空、大题、平均1
2.4分
五、一元函数积分
1. 不定积分选择、填空，大题必出、平均15.2分
2. 定积分选择、填空、答题必出平均19.2分
六、补充
1. 全微分偶尔出题，选择或填空或结合偏导出大题
2. 二元函数的无条件极值 2013，2015，2016年出10分大题
3. 定积分的几何应用8分大题必出
一、概率论
1.事件发生的概率
①对立事件
例如箱子里有5个球，三个白球两个黑球，抓到白球的概率是3/5，黑球的概率是2/5，这两个概率相加是1，抓到黑球我们也可以理解为抓到的不是白球的概率，那么就是一个事件发生的概率与一个事件不发生的概率加在一起就是1.
②独立事件
事件A概率的发生对事件B概率的发生没有影响，事件A、B相互独立，叫独立事件。

例如，第一次掷骰子5点的概率，第二次5点的概率，两次掷骰子会得到5点的概率相互没有影响，各自独立。

独立事件概率用两个事件的自己发生概率相乘计算)
A
P 。

P
(B
)
(
独立事件一般和对立事件结合出题，例如设事件A，B相互独立，A，B发生的概率分别为0.6,0.9，A，B都不发生的概率，那么先看A和B分别不发生的概率是多少，A发生的概率是0.6，A不发生的概率就是1-0.6=0.4，B发生的概率是0.9， B不发生的概率就是1-0.9=0.1，那么A，B都不发生的概率就是A不发生的概率0.4乘以B不发生的概率0.1×0.4=0.04。

③条件事件（非独立事件）
假设要第一次抓到白球第二次抓到黑球的概率，3个白球2个黑球，那么第一次抓到白球还是3/5，那么第二次抓到黑球呢？因为已经抓走了一个球，那么此时箱子里的球就是一共有4个球，其中2个黑球，抓到黑球的概率就是2/4=1/2，求第这两件事同时发生的概率用乘法，所以第一次抓到白球第二次抓到黑球的概率就是3/5×1/2=3/10.
应试指导：对立事件2016年出选择题，重点记住对立事件概率相加为1。

独立事件2013，2014，2017年考查选择题，独立事件概率用两个事件各自发生概率相乘计算。

条件事件2014年出大题，条件发生的概率乘以事件发生的概率就是条件事件发生的概率。

综合来看，每年都会出一道概率题目（2015年没出），其中最常考查的是独立事件和对立事件结合出题，计算都是简单的计算，选择题还是选项可以参考，还是很容易拿分的，同学们一定要好好把握。

2. 离散型随机变量
随机变量举例来解释，假设事件A为一个选手射箭，其必能射中八环及以上，对他射箭进行统计，统计出他射中8环的概率为0.3，9环的概率为0.2,10环的概率为0.5.可以下列出表格表述此事件的概率分布，随机变量就是指射中的环数（8，9，10），虽然射中8环及以上是必然，但是具体射中8，9，10环是不确定的，所以叫做随机变量，用X来表示，因为射中8环及以上是必然事件，那么概率P加在一起就是1。

①数学期望E （X ）
用环数乘以发生的概率最后相加，也就是2.95.0102.093.08=⨯+⨯+⨯，叫做数学期望，用随机变量分别乘以概率相加，一般用大写E 来表示。

②方差D （X ）：
用不同的环数减去平均数，例如8-9.2，能知道每次射箭和平均水平相差的数值，就能知道选手发挥是否稳定，方差的计算是用每次的随机变量减去数学期望的平方，乘以概率，最后相加，
76.05.0)2.910(2.0)2.99(3.0)2.98(222=⨯-+⨯-+⨯-，用大写字母D 来表示。

应试指导：这部分是出大题的考点，一道大题8分，2016，2017单独出题，2015和事件概率结合出题，只有数学期望和方差这两个知识点考查，计算也比较简单，同学们要尽量认真仔细计算核对，确保拿到这8分。

二、极限和连续 1.极限
极限的概念是建立在函数基础上的，假设函数x x f =)(，当x 无限地接近于1时，这时)(x f ，也无限地靠近1，1叫做是)(x f 的极限,用英文字母lim 表示极限，在lim 下面用x →表示x 趋近于几。

①代入法
求极限最常用的方法就是将数值代入函数式。

平均每年都会有一道这样的题目，就相当于是送分题。

②两个重要极限
（1）1sin lim 0=→x
x
x
（2）e x x x =+∞→)1
1(lim
③无穷小量
如果一个函数的极限是0，就把这个函数称为无穷小量。

应试技巧：
极限是每年都会出的题目，2015年出五道小题，2013，2016年出三道小题，2017年出两道小题，2014年出一道小题，学习的重点是学会极限的运算和两个特殊极限。

我们在求极限的时候，基本就是上面三种方法：
第一，一般是直接代入趋近数字求值即可；
第二，我们看到求x 乘任何式子的函数求趋近于0的极限，肯定就是0，也就是无穷小量。

因
为0乘以任何数都是0；
第三，当趋近数字没有定义或无穷大时，首先考虑是否为特殊极限或其变形。

2.连续
连续是基于函数极限基础上的一个定义，以图像举例，如图，这个函数图像在x=1时断开了，也就是说这不是一个连续的图像。

会有是否连续这个问题，主要是由于分段函数的出现，当然也有反比例函数这样定义域不是全集导致的。

考试就是考分段函数的连续问题。

判断分段函数是否连续就是两段函数求得的分段点极限值是否相等。

分段点极限值相等就连续，不相等就不连续。

考的分段函数一般定义域都为全集，也就是分段点肯定是有意义的，那么直接代入分段点数值到2个分段函数就可以得到分段点的2个极限值，再比较2个极限值是否相等。

例如分段函数()⎩⎨⎧-≥-=1,11,12 x x x x x f ，分段点就是1，1代入前段函数x-1求出第一个极限为0，1
代入后段函数x 2-1求出第二个极限还是为0，两个极限值相等，说明该分段函数在分段点处是连续的。

如果分段函数()⎩⎨⎧-≥-=1,21,12 x x x x x f ，那么第一个极限值还是0，第二个极限值变成-1了，两个
极限值不相等，说明该分段函数在分段点处不连续，我们就把这个分段点叫做间隔点。

应试技巧：2013，2014，2016年考查连续，2014年考查间隔点。

在遇到这样的题目时，如果已知连续，直接将连续点代入两个函数式使两个数值相等可以了。

三、一元函数微分 1. 导数 ①导数的定义
比如李四到公园散步，以3.6km 每小时的速度匀速前行，用函数表示李四散步走了多长距离s
和时间t 的关系就是：s=3.6t ，而导数就是反应李四在散步过程中在任意一个位置的前进速度，前面说了他是以3.6km 每小时的速度匀速前行，因此任意位置的进行速度都是3.6km 每小时，而函数s=3.6t 的导函数s ’=3.6。

又比如李四到河边玩抛石子，水平抛出，石子落地的时间都相同，因为地球地表引力加速度都是g （9.8米/秒），水平抛出原垂直速度都为0，加速度g 是石子垂直方向速度变化反应，就是速度的导函数，速度的函数就是gt ，距离的函数是gt 2/2.
速度反应距离的变化情况，所以速度函数是距离函数的导函数，加速度反应速度的变化情况，所以加速度函数是速度函数的导函数。

导数就是反应函数的变化情况的，某点导数值就是反应函数在某个点的变化情况的。

某个点的变化情况(导数)，从极限理解，就是极其相近距离趋近于0的两点（x 1，y 1）（x 2，y 2）形成的一条切线斜率，y 2-y 1=△y ，x 2-x 1=△x ，切线斜率（导数）可写作
x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)
()(lim
lim
1100。

②导数的基本公式：
最常见的求导是指数函数，以x 3为例，我们求导时用指数函数的次方数×其原函数指数减一个次方：（x 3）’=3x （3-1）=3x 2，那么如果是常数，例如常数5可以看作5x 0，它们求导等于0×x -1=0，0×5x -1
=0，因为其最前面的次方数为0就决定了，后面乘任何数都为0，所以任何常数的导数都为0。

正弦函数sinx 的导数是余弦函数cosx ，余弦函数cosx 的导数是负的正弦函数-sinx ，考试中还有遇到的是对数函数lnx 的导数是分式x
1
，特殊的导数e x 的导数还是e x 。

一共这六种，需要同学们能够熟练运用。

（1）0)'(=C
（2）1)'(-=n n nx x ，（n 为实数） （3）x x e e =)'( （4）x x cos )'(sin = （5）x x sin )'(cos -= （6）x
x 1)'(ln = ③高阶导数
考试中还会有二阶导数，三阶导数，做法都是一样的，就是求出一次导数之后，用的得到的新的函数式再求一次导数就是二阶导数，三阶导数就是在二阶导数的基础上再求一次导数。

考的
二阶导数用22dx
y
d 或者y ”表示，就像前面的例子，速度和距离是一阶导数关系，加速度和速度
是一阶导数关系，那么加速度和距离就是二阶导数关系。

④复合函数的导数
复合函数的导数是我考试中最常出现的题型，所谓复合函数就是指几个函数复合在一起的形式，考试中常出现的是e x 的指数x ，或者三角函数的角度x ，被一个函数式代替。

例如：设）
（12sin +=x y ，则=y ' 。

解析：这道题就是三角函数角度x 被一次函数2x+1代替，遇到这样的题目的时候，要分开来看题目，先看括号内的2x+1，常数1导数为0，2x 的导数是2，那么（2x+1）’=2，然后再整体来看，整体上是一个正弦函数，正弦函数的导数是余弦函数，这时把括号内的一次函数当做是一个整体，那么sin （2x+1）的导数就是cos （2x+1），这里可以把2x+1设为a ，那么就是sina 的导数是cosa ，算到最后再把2x+1代回来。

括号内的导数和括号外的导数都求出来的，然后相乘，就是2×cos （2x+1）=2cos （2x+1），可以把复合函数的导数运算记为“里导乘外导”（里面的导数乘以外面的导数）。

⑤导数运算
两个函数f （x ）和g （x ）相乘，那么他们的导数[f （x ）g （x ）]’就是f ’（x ）g （x ）+f （x ）g ’（x ），前函数的导数×后函数的原函数+前函数的原函数×后函数的导数。

这个就像3×6=18和5×7=35的差量17，可以通过（5-3）×6+（7-6）×5=17得出，写出的前者差量（5-3）×后者原式的数字6+后者差量（7-6）×前者原式的数字5，把差量看作导数，原式的数字看作原函数。

⑥隐函数求导
在考试中常给出一个函数，对隐函数求导。

给出的函数式中有x 和y ，将x 当做未知数来看，正常求导，y 当做未知函数式来看，运用复合函数的求导法则也进行求导，最后求出dx
dy
y ='就可以。

例如：设y=y （x ）是由方程y=x-e y 所确定的隐函数，则
=dx
dy
. 解析：这道题给出了方程y=x-e y ，隐函数方程两端导数相等，我们对方程两端进行求导，x 的
导数直接求出来，y 当做函数式来看，导数写成y ’，那么左边就是y ’，右边x 的导数是1，-e y 的y 当做函数式来看就是复合函数（里导乘外导），先对y 求导是y ’，-e y 的导数是它本身，
最后函数两端就是y ’=1+y ’·（-e y ），题目要求求出
dx dy
就是指y ’，我们通过简单计算可以得出y ’的值。

y ’+y ’·e y =1，（1+e y ）y ’=1，y ’=y e +11，所以dx dy =y ’=y e +11。

应试技巧：导数是分值比较高并且比较简单的部分，2013，2015，2017年出三道小题，2014年两道小题，2016年四道小题，2014-2017年各一道大题，导数的分值由12-24分，是我们考试中拿分的重点。

导数的考查主要集中在几个导数公式的运用上，其他只是简单的变形，所以我们只要能够熟练运用导数公式，这部分题目就不是问题。

2. 导数的应用 ①一阶导数的应用
（1）函数的驻点，单调性和极值
导数在函数图像上的体现，就是函数图像的单调性，单调性我们也可以叫做增减性，如图，函数的图像有增有减，增加、上升时就是单调递增，减小、下降时就是单调递减，下面我们从导数层面来看函数的递增递减。

导数值＞0，单调递增；导数值＜0，单调递减。

注：导数值=0时，就是函数的极值，该点叫做函数的极值点，也叫做驻点（函数图像在该点没有增减性，可以记忆为函数停留（驻点）在该点没有增减）。

（2）切线
切点就是切线和函数图像的交点，直线方程y=kx+b 的斜率（k ）=切点的导数值。

切点、直线方程、函数，三者只要知道其中之二，通过交点和斜率=导数值两点就可以求出最后一个内容。

②二阶导数的应用
（1）拐点与凹凸性
对于凹凸性定义的理解：
凹时，切线斜率都是越来越大（递增），而二阶导数反应的时候切线斜率的变化趋势，递增时就是二阶导数＞0。

凸时，切线斜率都是越来越小（递减），而二阶导数反应的时候切线斜率的变化趋势，递减时就是二阶导数＜0。

二阶导数结果为0的点是拐点。

③铅直渐近线。

例如：曲线2
)
1(1
-+=
x x y 的铅直渐近线方程是 。

解析：铅直渐近线方程就是使函数极限为无穷的x 值，在将极限的时候，讲过分母趋于无穷小0，分数就是趋于无穷大，所以使分母为0，就可以得到它的铅直渐近线方程，使（x-1）2=0，那么x=1，所以x=1就是函数2
)1(1
-+=
x x y 的铅直渐近线方程。

对于分式来说，铅直渐近线方程
都是分母为0时的x 值，因为取的这个x 值，只能无限靠近却最终不能相等，所以叫渐近线。

知识点考查分布：
2013
2014
2015
2016
2017
选择 单调性
单调区间
单调区间，极值，切线
填空 拐点，切线 单调区间，切线
切线，拐点 铅直渐近线方程
解答 单调区间和极
值
驻点 单调区间，极值，凹凸性
单调区间，极值，凹凸区间
应试技巧：设函数)(x f y =，点0x 使0)('0=x f ，那么0x 就是函数的驻点，若0)('0>x f ，那么函数在此区间递增，若0)('0<x f ，那么函数在此区间递减，此时0x 也是函数的极值点；点1x 使函数二阶导数0)("1=x f ，那么1x 就是函数的拐点，若1x 一侧使0)("1>x f ，那么此区间为函数的凹区间，若1x 一侧使0)('1<x f ，那么此区间为函数凸区间。

我们记住这些知识点，结合求导，这部分的题目就能得分，8分大题也能得到4-8分。

3. 微分
把导数也叫做微分，是因为微分和导数的计算是一样的，把微分用dy 来表示，而导数是dx
dy
，将
dx dy 看作是dy 除以dx ，那么导数dx dy =f ’（x ），所以dy=f ’（x ）dx ，所以微分就是求导之后在函数式后面加上dx 。

应试技巧：微分2013年出了一道大题，2014，2016年选择题，2015年填空题。

因为微分和求导是一样的，所以只要我们掌握了求导，微分就没有问题。

4. 洛必达法则
洛必达法则是基于导数基础上对极限的求法，当分母为0，或者分母分子都为0，就要用洛必达法则。

洛必达法则考查都是分式，这些分式使用代入法的话分母是0，用洛必达法则，对分子和分母分别进行求导，在求导之后，再用代入法进行计算。

如果求导一次使用代入法分母依然没有意义，也就是还是为0，再次进行求导，直到使用代入法分母不为0.
补充： 2019年洛必达法则增加∞比∞型，这样的题型的特征是∞
→x lim ，分子和分母都有x ，假
设∞代入上下还是趋近于∞，我们还是将这样的题目称之为“∞比∞型”。

在遇到这样的题目的时候，我们有要注意的是分子分母有关x 的指数的最高次数，比较分子和分母的x 的指数的大小，如果分子大于分母，最后结果则为∞，如果分子小于分母，最后结果则为0，两个相等，则结果为分子关于x 的系数比分母关于x 的系数。

应试技巧：成考每年考试的第一道大题都是洛必达法则，2017，2019年还额外出了一道填空题。

简而言之，遇到用代入法分母为0的极限，就将分子分母分别求导，直至可以用代入法。

所以说，只要掌握了导数，这部分的分值我们也很容易拿到。

四、多元函数微分 1. 偏导数 ①一阶偏导数
导数和偏导没有本质区别，都是当自变量的变化量趋于0时，函数值的变化量与自变量变化量
比值的极限，x
x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)
()(lim
lim 1100。

但是一元函数，一个y 对应一个x ，导数只有一个。

而原函数,一个z 对应一个x 和一个y （例如z=3x+2y ），那就有两个未知数，有两个导数了，一个是z 对x 的导数，一个是z 对y 的导数，称之为偏导。

二元函数偏导数，函数中有两个元，求出偏导数时需要我们一个一个来求，那当求x 的偏导时，将y 当做常数计算，当求y 的偏导数时，将x 当做常数，然后正常用导数法则进行求导就可以。

②二阶偏导数
T ：我们考试中最常考查的就是二阶函数偏导数，同学们还记得二阶导数的计算么？先求一阶导数然后再次求导。

偏导数也是一样的，先求出一阶偏导数，然后再次求偏导，就可以求出二阶偏导数。

但是因为偏导数里面有一个未知数，除了可以两次都对x 和两次都对y 求偏导之外，我们还以先对x 求偏导，再对y 求偏导，或者先对y 求偏导再对x 求偏导（看分母哪一个在前面），我们把这种x 和y 混合求偏导的函数又叫混合偏导数，有的函数的混合偏导数是一样的，但是为了保险起见，我们还是正常按照要求来做题。

③复合函数的偏导数
复合函数的偏导数是这里比较复杂的一个知识点，在复合函数中，给出三个函数式，关于x 和y 的函数式u 和v ，关于u 和v 和函数式z ，在计算的时候，如果求关于x 的偏导数，就是x
v
v z x u u z x z ∂∂∂∂+
∂∂∂∂=∂∂，求出函数z 中关于u 的偏导数（u 外导）×函数u 中关于x 的偏导数（u 里导）+函数z 中关于v 的偏导数（v 外导）×函数v 中关于x 的偏导数（v 里导）。

复合函数的偏导数和复合函数的导数也是差不多的，也是“里导乘外导”，里面的导数乘以外面的导数，但是因为有两个元，都要求偏导数，所以在里导乘外导之后还要加在一起。

那么如果是求关于y 的偏导数，就是
y
v
v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂，求出函数z 中关于u 的偏导数乘以函数u 中关于y 的偏导数加上函数z 中关于v 的偏导数加上函数v 中关于y 的偏导数。

总而言之，复合函数的偏导数就是分别里导乘外导再相加。

应试技巧：偏导数也是关于导数部分的学习，偏导数在2013-2015年考查以选择填空为主，在近两年考试出现对大题的考查。

2013年：两道选择
2014年：两道选择，两道填空 2015年：两道选择，一道填空 2016年：一道填空，一道解答 2017年：一道选择，一道解答
偏导数的重点是要理解当x 求偏导，y 做常数，y 求偏导，x 做常数。

偏导数能够拿到10分没有问题。

五、一元函数积分 1.不定积分
①不定积分的概念和性质
原函数，简单来说，一个函数就是它的导函数的原函数，原函数经求导变为导函数，求导之前的函数叫做原函数。

举例：函数23)(x x F =，导函数x x f 6)(=，则函数F(x)为f(x)的原函数。

不定积分，一个函数的原函数即为不定积分，求不定积分的过程就是求原函数的过程，原函数通过求导变为导数，导数通过积分变为原函数，不定积分就是导数或微分的逆推。

不定积分的符号⎰就像是大F 去掉横线，中间是要求积分的导函数，后面d 表示求积分的对象x 。

有时后面的x 也可以换成例如x 2一类的，那就把x 2当做一个整体来看，也相当于x ，不需要再对x 2
求积分。

举例：函数x x f 6)(=，C x xdx +=⎰236。

注：注意+C ，学导数时知道，任意常数的导数为0，所以在导数逆推求不定积分的时候不知道原函数是否有常数，就需要用+C 来表示不定积分的未知常数。

②基本积分公式
（1）⎰+=C kx kdx （k 为常数）
3x 的导数是3，所以3的积分就是3x+C 。

（2）)1(1
1
-≠++=
+⎰n C n x dx x n n
3
1
x 3的导数是x 2，x 2进行逆推，求导数的时候指数是减1，那么原函数指数就应该加1，
2+1=3，原函数指数应该是3提前，但是导函数没有3，只有3×31
=1，所以就是
3
123
112x x =+++C ，指数函数的积分就是函数指数+1/（指数+1）=x n+1/n+1。

（3）C x dx x
+=⎰||ln 1
lnx 的导数是x 1，那么x
1
的积分就是ln|x|+C ，ln 是e （e>0）为底的对数，所以ln 的
平方或立方之后，得到的结果都是大于等于0的，所以后面要有绝对值。

（4）C e dx e x x +=⎰
e x 的导数就是本身，所以积分也是本身e x +C 。

（5）⎰+-=C x xdx cos sin
比如：余弦函数cosx 的导数是负的正弦函数-sinx ，所以正弦函数sinx 的积分是负的余弦函数-cosx+C 。

（6）+=C x xdx sin cos
比如：正弦函数sinx 的导数是余弦函数cosx ，所以余弦函数cosx 的积分是正弦函数sinx+C 。

这些基本的积分公式大家可以选择记忆或者运用导数的进行逆推。

③第一类换元法（凑微分法）
第一换元法，也叫作凑微分法，如果题目给出的已知函数，是由一个导函数和它的原函数构成的，也就是)(')]([x x f ϕϕdx 形式，那么我们就可以将)('x ϕ提出，然后与dx 合并变为d )(x ϕ，以此来简化做答。

比如2
21122
2
2
)(2
111)(2x x dx x xdx x =+=
=⋅+⎰⎰，可以理解为复合函数求导，里导乘外导，里导先不乘的时候，就这么写。

4
133
2
2
113222x x dx x xdx x =+⨯
==•+⎰⎰，这原函数也可以写成复合函数()
2
242
121x x =。

考试题目一般不会直接给出)('x ϕ，所以就要自己来凑，所以叫凑微分法。

④第二类换元法
不能凑微分的情况，我们就直接将复杂函数设定为其他元。

例如：计算dx x ⎰
+)
1(31
3
解析：将要求的函数式中的复杂部分用字母代替，将被积变量x 变为包含t 的函数，已达到简便运算的目的。

未知数x 在函数式3x 里，设t x =3，那么3t x =，所以)(3t d dx =，我们把t 3变成t ，就把t 3求导放到被积函数里，和上面的凑微分的把)('x ϕdx 变成d )(x ϕ刚好相反，dt t dx 23=，相当于dx 是一个关于t 的复合函数的里导，我把里导3t 2写出来，然后d 后面就变成了t ，所以
dt t t d dx 233)(==。

将导数中的3
x 替换成t ， 则dt t t dt t t x dx dx x ⎰⎰⎰⎰+=+=+=+1)1(33)
1(3)1(312
23
3， 可导数式分子为t +1，而分母是2t ，两者难以约分，这里是平方，运用平方差公式，))((22b a b a b a -+=-，将分子-1，但是又不能凭空加一个数字，所以我们-1再+1，那就是
dt t t t dt t t dt t t ⎰⎰⎰+++-=++-=+11
)1)(1(111122，前部分分子和分母都有1+t ，可以约去，
dt t t dt t t t ++-=++-+⎰⎰11111)1)(1(，求原函数，t 的原函数是22t ，-1的原函数是-t ，t
+11
原函数是ln|t+1|，所以最后得C t t t +++-)1ln(2
1
2。

应试技巧：不定积分每年必出一道大题。

除了大题还会有一到三道小题。

2013年：只考查不定积分基本公式，一道选择，一道填空，一道大题。

2014年：一道填空查考定义，大题考查基本公式
2015年：一道选择考查基本公式，两道填空考查定义，大题考查凑微分法。

2016年：一道填空考查基本公式，大题考查凑微分法。

2017年：一道选择考查基本公式，一道填空考查定义，大题考查第二类换元法。

2018年：一道选择考查基本公式。

一道选择考查定义，一道填空考查基本公式，一道大题考查分部积分法。

2019年：一道选择考查性质，一道选择、一道填空考查基本公式，一道填空考查原函数，一道填空、一道大题考查第二类换元法。

求不定积分一般遇到分母复杂分式一般使用平方差（a2-b2=（a+b ）（a-b ））或立方差（a 3-b 3=（a-b ）（a 2+ab+b 2））就可以约去分子。

凑微分就是复合函数里导乘外导，里导先不乘的写法)('x ϕdx=d )(x ϕ。

第二类换元法就是凑微分的逆运算，把x 当成假设变量t 的复合函数，求里导，
dt t t d dx )())(('ϕϕ==。

2.定积分
①牛顿-莱布尼茨公式
定积分的运算最基础的是掌握牛顿-莱布尼茨公式，这是定积分个不定积分的主要区别，根据牛顿—莱布尼茨公式，在求定积分的时候，正常按照不定积分求出被积函数的原函数，然后将给出的定积分的取值范围ɑ与b 的值代入，用)()(a F b F -求出被积函数的值。

)()()()(|a F b F x F dx x f b
a
b
a
-==⎰
，其中)(x F 为)(x f 的原函数。

②奇、偶函数在对称区间上的积分
如果在考试中遇到积分区间是[-a ，a]这样的，前后是互为相反数，就可以根据函数的奇偶性在做题，奇函数（原点中心对称）就是指函数以原点为中心，x 轴上每两个正负对应的点，对应的y 轴数值是一正一负，也就是-f （x ）=f （-x ）。

偶函数（y 轴轴对称）就是函数以原点为中心，x 轴上每两个正负对应的点，对应的y 轴数值相等。

也就是f （x ）=f （-x ）。

若被积函数)(x f 在[-ɑ，ɑ]上为连续奇函数，则⎰-=a
a dx x f 0)(。

如果被积函数)(x f 在[-ɑ，ɑ]上为连续偶函数，则⎰⎰-=a
a a
dx x f dx x f 0
)(2)(。

指数函数奇偶性判定可以看指数，指数为奇数则为奇函数，指数为偶数，则为偶函数，其余需要特别记住的是，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

奇函数乘以偶函数，等于奇函数；奇函数乘以奇函数等于偶函数，偶函数乘以偶函数等于偶函数
③分部积分法
分部积分法考查主要在定积分，求定积分时被积函数是两个相乘的形式，往往其中有一个没有原函数（常见lnx ），将这种形式看作是⎰b
a dx uv '，一般来说，u 是没有原函数的，另一个给出
的函数看做是其原函数的导数v ’，例如给出的是2x ，就看做是（x 2）’，在计算的时候，令u 和v 相乘，（注意不是v ’），再减去一个定积分，这个定积分的被积函数是v （有原函数的变为原函数）乘以u ’的导数（没有原函数的进行求导）。

然后还是用牛顿-莱布尼茨公式，将积分区间代入相减，那么就是⎰b
a
dx uv '=⎰-b
a
b
a
vdx u uv '|。

这是根据函数乘积求导公式变形而来。

比如：3
16
388)3032(02|3|1|)(23
3332
320
32
02
2
22
0'
22
0=
-=----=⨯-⋅=⋅=⋅⎰⎰⎰x x dx x x x dx x x xdx x 如果不通过分部积分，直接算：3
160316232232|3222032
32
02
2
0=-=⨯-⨯⨯==⋅⎰⎰x dx x xdx x
两种方式算出的结果一致，也应证了分部公式的正确性。

④换元积分法
定积分的换元积分法和不定积分的第二类换元法相类似，遇到复杂函数式的时候，用字母代替复杂函数式来解答。

例如：已知函数f （x ）在区间[-3，3]上连续，则=⎰-dx x f )3(1
1？
解析：设3x=t ，x=31t ，所以dx=3
1
dt ，关于x 的积分，x 在-1到区间1上，那么因为t=3x ，
所以t 的区间就是3到-3，所以 ⎰-3
3
)(31dt t f 。

⑤反常积分
定积分函数积分区间有限，而反常函数往往积分上限（或积分下限）为+∞（或为-∞）。

在求。