二分法求函数零点的近似解及零点个数

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　函数与方程

一、目标认知

学习目标

(1)进一步了解函数的广泛应用；

(2)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联

系；

(3)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点

近似解的常用方法.

重点

理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点，能够借助计算器或计算机用二分法求函数零点的近似解.

难点

对函数零点的性质，二分法求函数零点近似解的原理及隐含其中的数学思想方法的理解.

二、知识要点梳理

知识点一、函数的零点

1.函数的零点

一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.

要点诠释：

函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．

归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

2.二次函数零点的判定

二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.

判别式方程的根函数的零点

两个不相等的实根两个零点

两个相等的实根一个二重零点

无实根无零点

3.二次函数零点的性质

①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.

②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.

引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.

4.二次函数的零点的应用

①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图.

②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质.

引伸：二次函数的零点的应用可推广到一般函数.

5.变号零点与不变号零点

如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点.

知识点二、二分法

1.二分法

所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.

2.用二分法求函数零点的一般步骤：

已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度.

第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区

间中.

第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为

.

计算和，并判断：

①如果，则就是的零点，计算终止；

②如果，则零点位于区间中，令；

③如果，则零点位于区间中，令

第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为

.

计算和，并判断：

①如果，则就是的零点，计算终止；

②如果，则零点位于区间中，令；

③如果，则零点位于区间中，令；

……

继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度.

三、规律方法指导

1．如何求函数的零点？

答：求函数的零点即为求出相应方程的解或函数图象与轴交点的横坐标.

2．如果函数在其定义域内为单调函数，则函数在其定义域内最多有几个零点？

答：单调函数在其定义域内最多有一个零点.

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经典例题透析

类型一、求函数的零点

1．求下列函数的零点.

(1)；

(2).

思路点拨：根据函数零点与方程的根之间的关系，要求函数的零点，就是求相应方程的实数根.

解：

(1)由得，所以函数的零点是；

(2)由，令得x=1，-1，故函数的零点是1，-1.

总结升华：求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.

举一反三：

【变式1】求函数：(1)；(2)的零点.

解：(1)由求根公式解得

(2)方程可化为

由知

所以函数的零点为1，-3；函数的零点为-3，1，2.

总结升华：三次因式分解的关键是，裂项后的两组分别要有公因式可提取，函数求零点的题目和解方程的题目可相互转化.

【变式2】（2011 山东理16）已知函数，当时，函数的零点,则___________． .

解：用数形结合法

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作出及的图象，

作出及

由图象可知，当内变动，内变动时，

显然对数函数图象与直线的公共点皆在区间内，

即函数的零点，故．

类型二、确定函数零点的个数

2．二次函数中，，则函数的零点的个数是( )

A．1 B．2 C．0 D．无法确定

思路点拨：可以利用函数图象或方程的判别式.

解法1：

∴方程有两个不相等的实数根

∴函数有两个零点，选B.

解法2：

，

不论哪种情况，二次函数图象与x轴都有两个交点，所以函数有两个零点.选B.类型三、用二分法求函数的零点的近似值

3．求函数的一个正数零点(精确到0.1).

解：由于，可取区间作为计算的初始区间，

用二分法逐步计算，列表如下：

区间中点中点函数值

[1，2] 1.5-2.625

[1.5，2] 1.750.2344

[1.5，1.75] 1.625-1.3027

[1.625，1.75] 1.6875-0.5618