生物统计学教案(3)

生物统计学教案

第三章几种常见的概率分布律

教学时间：3学时

教学方法：课堂板书讲授

教学目的：重点掌握正态分布，掌握二项分布，了解泊松分布，中心极限定律。

讲授难点：正态分布、二项分布

3.1 二项分布（重点）

3.1.1 二项分布的概率函数

满足二项分布的条件：

1、在一随机试验中，每次试验都有两种不同的结果。

2、两种结果是互不相容的。

3、每一种结果在每次试验中都有恒定的概率。

4、试验间应是独立的。

独立地将此试验重复n次，求在n此试验中，一种结果出现x次的概率是多少？

例：从雌雄各半的100只动物中抽样，抽样共进行10次，问

其中包括3只雄性动物的概率是多少？包括3只及3只以下的概率是多少？即求P （X＝3）和P（X≤3）

该例符合二项分布的条件。规定以下一组符号：

n＝试验次数

x ＝在n次试验中事件A出现的次数

φ＝事件A发生的概率（每次试验都是恒定的） 1－φ＝事件A发生的概率

p(x) = x的概率函数＝P（X＝x）

（累积分布函数） F (x ) = P ( X ≤x )

上例中：n =10 x =3 φ=0.5 求p (3) 和F (3)。在一次抽样中抽到的结果为：mmmfffffff ，它的概率为

P （mmmfffffff ）=φ3(1-φ) 7

抽到3雄7雌的数目相当于从10个元素中抽出3个元素的组合数

对于任意n 和x 有以下通式：

()()

1,0,1,2,,n x

x x

n

p x C x n ϕϕ-=-=⋅⋅⋅

上式称为二项分布的概率函数。该式正是二项展开式的第x +1项,因而产生“二项分布”这一名称。因为φ＋（1－φ）＝1，所以

将x ＝0，1，2，3，代入二项分布概率函数，可以得出出现0，1，2，3只雄性动物

的概率。

P （0）＝ 0.0009766 P （1）＝ 0.0097656 P （2）＝ 0.0439453 P （3）＝ 0.1171876 抽到3只和3只以下雄性动物的概率为：

F （3）＝P （0）＋P （1）＋P （2）＋P （3） ＝0.1718751

3.1.2 服从二项分布的随机变量的特征数

平均数： μ＝n φ 或 μ＝φ 方差： σ2＝n φ（1-φ） 或

3.1.3 二项分布应用实例

例1 以杂合基因型Wvwv 的小鼠为父本，隐性纯合子小鼠wvwv 为母本杂交（wv 波浪毛，Wv 直毛），后代两种基因型的数目应各占一半。实验只选每窝8只的，多于

()()7

33

1013ϕϕ-=C p ()()[]

1

10

=-+=∑

=n

n

x x p ϕϕ()

n

ϕϕσ

-=

12

8只和少于8只的都淘汰。结果列在下表中。 直毛后代数 观测频数

（x ） （f ） fx fx 2 p (x ) Np (x )

0 0 0 0 0.003906 0.124992 1 1 1 1 0.031250 1.000000 2 2 4 8 0.109375 3.500000 3 4 12 36 0.218750 7.000000 4 12 48 192 0.273437 8.749984 5 6 30 150 0.218750 7.000000 6 5 30 180 0.109375 3.500000 7 2 14 98 0.031250 1.000000 8 0 0 0 0.003906 0.124992 总数 N ＝32 139 665 0.999999 31.99968 样本平均数、总体平均数；样本方差、总体方差如下：

例2 遗传学中单因子杂交RR ×rr ，F 1代为Rr ，F 1自交，F 2基因型比符合二项分布。在F 2中P （R ）＝φ＝1/2，P （r ）＝1－φ＝1/2，n ＝2。展开二项式：

()()()2

1974798.131

321396651

000000

.4218343750

.432

139

2

2

2

2

2=-==-

=

--

=

=⎪⎭

⎫

⎝⎛====

=

∑∑∑ϕϕσ

ϕμn N N

fx fx s

n N fx x ()[]

()()

()()()rr Rr RR 4

12141

21212122111212

2

2

2

2

++=

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭

⎫ ⎝⎛=-+-+=-+ϕϕϕϕ

ϕϕ

对于两对因子，n ＝4

在为人类或动物遗传学研究中，为了保证实验顺利完成，在制定试验计划时，首先要以指定概率求出所需样本含量n 。

例3 用棕色正常毛（bbRR ）的家兔和黑色短毛（BBrr ）兔杂交，F 1代为黑色正

常毛长的家兔（BbRr ）, F 1代自交，F 2代表型比为：9/16B_R_ : 3/16B_rr : 3/16bbR_ :

1/16bbrr 。问最少需要多少F 2代家兔，才能以99％的概率得到一个棕色短毛兔？ 答： φn ＝（15/16）n ＝ 0.01 n （lg15－lg16）＝ lg0.01 -0.02803n ＝－2.00000 n ＝71.4 3.2 泊松分布

3.2.1 泊松分布的概率函数

在二项分布中，当某事件出现的概率特别小（φ→0），而样本含量又很大（n

→∞）时，二项分布就变成泊松分布了。泊松分布是描述在一定空间、长度、面积、体积或一定时间间隔内，点子散布状况的理想化模型。泊松分布的概率函数为：

3.2.2 服从泊松分布的随机变量的特征数

泊松分布的平均数： μ＝ μ

可见，泊松分布的平均数就是泊松分布概率函数中的μ。

泊松分布的方差： σ2＝ μ

概率函数中的μ不但是它的平均数，而且是它的方差。 3.2.3 泊松分布应用实例

()[]16

1164166164161212121421216212142114

322344++++=⎪

⎭⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+ϕϕ()⋅

⋅⋅==

,2,1,0,!x e

x x p x

μ

μ