合情推理与演绎推理练习题(高考总复习)
高中数学 2.1《合情推理与演绎推理》测试(1) 新人教B版选修2-2
合情推理与演绎推理一、归纳推理 例1．（1）观察圆周上n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？变式1.设平面内有n 条直线)3(≥n ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f =____________；当4>n 时，=)(n f ．（用n 表示）变式2.在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两条线段,彼此最多分割成4条线段,同时将圆分割成4部分;画三条线段,彼此最多分割成9条线段,同时将圆分割成7部分.那么 (1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分?(2)猜想:圆内两两相交的n (n ≥2)条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分?强化训练1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 .2.由107＞85,119＞108,2513＞219,…若a ＞b ＞0,m ＞0，则m a m b ++与a b 之间的大小关系为 .3.下列推理是归纳推理的是 （填序号）.①A ，B 为定点，动点P 满足|PA |+|PB |=2a ＞|AB |，得P 的轨迹为椭圆 ②由a 1=1，a n =3n -1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式 ③由圆x 2+y 2=r 2的面积πr 2，猜想出椭圆2222b y a x +=1的面积S =πab④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇4.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第60个数对是 .二、类比推理（一）数列中的类比例1.在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有等式n a a a +⋅⋅⋅++21),19(1921+-∈<+⋅⋅⋅++=N n n a a a n 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{}n b 中，若19=b ，则有等式 成立.强化练习1.定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
江苏省南通中学高考数学复习小题专题合情推理与演绎推理练习(含解析)
南通中学数学高考小题专题复习练习合情推理与演绎推理一、填空题：（共12题，每题5分）1、观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z 的值依次是__________ ．2、对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题: “ ”,这个类比命题的真假性是 ． 3、已知数列{}n a 的通项公式)()1(12+∈+=N n n a n ，记)1()1)(1()(21n a a a n f -⋅⋅⋅--=，试通过计算)3(),2(),1(f f f 的值，推测出.________________)(=n f4、 在ABC Rt ∆中，若,1cos cos ,90220=+=∠B A C 则则在空间中类比给出四面体性质的猜想 . 5、 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线．已知直线b ⊆/平面α，直线⊂a 平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 ．6、 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{}a n 是等和数列，且 a 12=，公和为5，那么a 18的值为________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为__ __ ． 7、若等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项的和为n S ，则数列{}n S n 为等差数列，公差为2d．类 似地，若各项均为正数的等比数列{}n b 的公比为q ，前n 项的积为n T，则数列为等比数列，公比为 ． 8、根据下面一组等式：…………可得13521n s s s s -+++⋅⋅⋅+= ．9、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线的切点为P 1、P 2，则切1234561,235,45615,7891034,111213141565,161718192021111,s s s s s s ==+==++==+++==++++==+++++=点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=,那么对于双曲线则有如下命题: 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线的切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是 ．10、设010'()cos ,()()f x x f x f x ==，'21()(),,f x f x ='1()()n n f x f x +=，n ∈N ，则2011()f x = .11、设面积为S 的平面四边形的第i 条边的边长记为a i （i =1，2，3，4），P 是该四边形内任意一点，P 点到第i 条边的距离记为h i ，若31241234a a a a k ====, 则412()i i S ih k ==∑.类比上述结论，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i （i =1，2，3，4），Q 是该三棱锥内的任意一点，Q 点到第i 个面的距离记为H i ，则相应的正确命题是：若31241234S S S S k ====,则 ．12、将正⊿ABC 分割成n 2（n ≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC 的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)= ，…，f(n)=南通中学数学高考小题专题复习练习答题纸班级 姓名 分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3、 4、 5、 6 、 7、 8、 9 、 10、 11、 12 、 二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、观察以下各等式：2020003sin 30cos 60sin 30cos604++=2020003sin20cos50sin20cos504 ++=2020003sin15cos45sin15cos454++=，分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．合情推理与演绎推理１．42,41,123 2．如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补．（答案不唯一） 假命题 3．)1(22)(++=n n n f . 4．四面体的三个侧面互相垂直，且与底面所成的角分别是γβα,,，则1c o s c o s c o s 222=++γβα.5．大前提是错误的6． 3,⎪⎩⎪⎨⎧+∈=+∈-=-=)(2,25)(12,215N k k n nN k k n n n S7．;8．答案:4n ,方法一：1131351,16,81,S S S S S S =+=++=猜想41321n S S S n -+++=．方法二：先求出221(21)(221)n S n n n -=--+，然后求和（对文科学生要求较高，不必介绍）9．00221x x y ya b-=提示：设111(,)P x y ,222(,)P x y , 000(,)P x y ,则过P 1、P 2的切线方程分别是11221x x y y a b -=， 22221x x y ya b-=．因为000(,)P x y 在这两条切线上,故有1010221x x y y ab-=,2020221x x y y ab-=,这说明111(,)P x y ,222(,)P x y 在直线00221x x y y a b-=上,故切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b -= 10． sin α.11． 413()i i V iH k ==∑． 12．101,(1)(2)36n n -+提示：当n=3时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知1212121,,,a b c x x a b y y b c z z c a ++=+=++=++=+1212121221122()2,2x x y y z z a b c g x y x z y z +++++=++==+=+=+12121262()2g x x y y z z a b c =+++++=++= .即12121211110(3)13233g f a b c x x y y z z g ==+++++++++=++=而进一步可求得(4)5f =。
第五节 合情推理与演绎推理
考点探究
解析：观察发现， 1 1 第 n 个不等式的左边＝1＋ 2＋„＋ ， 2 （n＋1）2 2（n＋1）－1 第 n 个不等式的右边＝ ， n＋1 1 1 1 1 1 11 ∴第五个不等式为 1＋ 2＋ 2＋ 2＋ 2＋ 2＜ . 2 3 4 5 6 6
考点探究
1 4 【例 2】 (2013· 银川质检)当 x∈(0， ＋∞)时可得到不等式 x＋ ≥2， x＋ 2＝ x x x x 22 p ＋ ＋x ≥3，由此可以推广为 x＋ n≥n＋1，取值 p 等于(A) 2 2 x A．nn B．n2 C．n D．n＋1 1 4 x x 解析：因为 x∈(0，＋∞)时可得到不等式 x＋ ≥2，x＋ 2＝ ＋ x x 2 2
考点探究
变式探究
1 2 1 998 4x 5．设 f(x)＝ x .求和：f1 999＋f1 999＋„＋f1 999的值． 4 ＋2
4 4a 4a 4 解析：∵f(a)＋f(1－a)＝ a ＋ 1－a ＝ a ＋ 4 ＋2 4 ＋2 4 ＋2 4＋2×4a 4a 2 ＝ a ＋ a ＝1， 4 ＋2 4 ＋2 1 2 1 998 ∴f( )＋f( )＋„＋f( ) 1 999 1 999 1 999 ＝
1 1 998 f（ ）＋f（ ） 1 999 1 999
1－a
＋
2 1 997 f（ ）＋f（ ） 1 999 1 999
＋
„
＋
999 1 000 f（ ）＋f（ ） 1 999 1 999
＝1＋1＋„＋1999 个＝999.
考点探究
解析：将三角形与三棱锥类比，显然给出的半径是一致的，均为 r1，r2，r，所以类比得到的等式中的分母与已知等式的分母相同．不 同的是分子，而不再是线段了，二维是线段，三维应该是面积，故把 AC BD AB 2CD 等式 ＋ ＝ ＋ 中的线段替换成相对应的面积即可，于是 r1 r2 r h S△ADC S△BCD S△ABC 2S△PDC 得到 ＋ ＝ ＋ . r1 r2 r h S△ADC S△BCD S△ABC 2S△PDC 答案： ＋ ＝ ＋ r1 r2 r h
高考数学一轮复习专题训练—合情推理与演绎推理
合情推理与演绎推理考纲要求1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．知识梳理1．合情推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．1．合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确性，则需要证明．2．在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误．3．应用三段论解决问题时，要明确什么是大前提、小前提，如果前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．若大前提或小前提错误，尽管推理形式是正确的，但所得结论是错误的．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．()答案(1)×(2)√(3)×(4)×解析(1)类比推理的结论不一定正确．(3)平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适．(4)演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．2．如图，根据图中的数构成的规律，得a表示的数是()A．12 B．48 C．60 D．144答案 D解析由题干图中的数据可知，每行除首末两数外，其他数等于其上一行两肩上的数字的乘积．所以a＝12×12＝144.3．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，且n∈N*)成立．类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则存在的等式为________．答案b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*)解析根据类比推理的特点可知：等比数列和等差数列类比，在等差数列中是和，在等比数列中是积，故有b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*)．4．(2020·贵阳一模)有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点，因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值为0，所以x＝0是f(x)＝x3的极值点，以上推理()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确答案 A解析大前提是“对于可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，且满足在x0附近左右两侧导函数值异号，那么x＝x0才是函数f(x)的极值点，所以大前提错误．故选A.5．(2021·郑州质检)某学校甲、乙、丙、丁四人竞选校学生会主席职位，在竞选结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对竞选结果做了如下预测：甲说：丙或丁竞选成功；乙说：甲和丁均未竞选上；丙说：丁竞选成功；丁说：丙竞选成功．若这四人中有且只有两人预测的正确，则成功竞选学生会主席职位的是()A．甲B．乙C．丙D．丁答案 D解析若成功竞选的是甲，则甲、乙、丙、丁四人的预测均错误，故不合题意；若成功竞选的是乙，则甲、丙、丁三人的预测错误，乙的预测正确，故不合题意；若成功竞选的是丙，则甲、乙、丁三人的预测正确，丙的预测错误，故不合题意；若成功竞选的是丁，则甲、丙两人的预测正确，乙、丁两人的预测错误，符合题意．故选D.6．(2020·桂林模拟)已知函数f(x)满足f(1)＝f(2)＝1，且对任意n∈N*恒有f(n＋2)＝f(n＋1)＋f(n)，观察下列等式：f(1)＋f(2)＝2＝3－1，f(1)＋f(2)＋f(3)＝4＝5－1，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝7＝8－1，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝12＝13－1，可推测f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n＋1)＝________.答案f(n＋3)－1解析根据题意可得f(3)＝2，f(4)＝3，f(5)＝5，f(6)＝8，f(7)＝13，因为f(1)＋f(2)＝2＝3－1＝f(4)－1，f(1)＋f(2)＋f(3)＝4＝5－1＝f(5)－1，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝7＝8－1＝f(6)－1，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝12＝13－1＝f(7)－1，可推测f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n＋1)＝f(n＋3)－1.故答案为f(n＋3)－1.考点一归纳推理角度1与图形变化有关的推理【例1】中国有句名言“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算的，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示，以此类推．例如6 613用算筹表示就是，则8 335用算筹可表示为()答案 B解析各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示，则8 335用算筹可表示为.故选B.角度2与数字或式子有关的推理【例2】 已知32＋27＝2327，33＋326＝33326，34＋463＝43463，……，3 2 021＋mk＝2 0213m k ，则k ＋1m 2＝________.答案 2 021解析 由已知32＋27＝2327，33＋326＝33326，34＋463＝43463，……，可归纳出3n ＋n n 3－1＝n 3nn 3－1， 又因为32 021＋mk ＝2 0213m k，所以m ＝2 021，k ＝2 0213－1， 所以k ＋1m 2＝2 0213－1＋12 0212＝2 021.感悟升华 归纳推理问题的常见类型及解题策略体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n ＝6时，该黑色三角形内去掉小三角形个数为( )A ．81B ．121C ．364D ．1 093(2)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2 ＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. 答案 (1)C (2)4n n ＋13解析 (1)由图可知，每一个图形中去掉小三角形的个数等于前一个图形去掉小三角形个数的3倍加1，所以，n ＝1时，a 1＝1； n ＝2时，a 2＝3＋1＝4； n ＝3时，a 3＝3×4＋1＝13； n ＝4时，a 4＝3×13＋1＝40； n ＝5时，a 5＝3×40＋1＝121； n ＝6时，a 6＝3×121＋1＝364，故选C. (2)观察前4个等式，由归纳推理可知⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝43×n ×(n ＋1)＝4n n ＋13.考点二 类比推理【例3】 (1)在平面上，设h a ，h b ，h c 是△ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c ＝1.把它类比到空间中，则三棱锥中的类似结论为________．(2)已知命题：在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)，△ABC 的顶点B 在椭圆上，顶点A ，C 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为e 1，则sin A ＋sin C sin B ＝1e 1，现将该命题类比到双曲线中，△ABC 的顶点B 在双曲线上，顶点A ，C 分别为双曲线的左、右焦点，设双曲线的方程为x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)，双曲线的离心率为e 2，则有________．答案 (1)P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d ＝1(2)|sin A －sin C |sin B ＝1e 2解析 (1)设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d ＝1.(2)因为△ABC 的顶点B 在双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)上，顶点A ，C 分别是双曲线的左、右焦点，所以有|BA －BC |＝2a 2， 所以1e 2＝2a 22c 2＝|BA －BC |AC，由正弦定理可得BC sin A ＝AC sin B ＝AB sin C ，所以|sin A －sin C |sin B ＝1e 2.感悟升华 1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．2．类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；实数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.【训练2】(2020·赣州一模)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量．在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－2,3)且法向量为n＝(4，－1)的直线(点法式)方程为4×(x＋2)＋(－1)×(y－3)＝0，化简得4x－y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点B(2,3,4)且法向量为n＝(－1，－2，1)的平面(点法式)方程为________．答案x＋2y－z－4＝0解析将平面中的运算类比到空间中的运算得：经过点B(2,3,4)且法向量为n＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为(－1)×(x－2)＋(－2)×(y－3)＋1×(z－4)＝0，化简得x＋2y－z－4＝0，即平面的方程为x＋2y－z－4＝0.考点三演绎推理【例4】(2020·河南六校联考)自主招生联盟成形于2009年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟．调查某高中学校学生自主招生报考的情况，得到如下结果：①报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟；②报考“华约”联盟的学生，也报考了“京派”联盟；③报考“卓越”联盟的学生，都没报考“京派”联盟；④不报考“卓越”联盟的学生，就报考“华约”联盟．根据上述调查结果，下列结论错误的是()A．没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生B．报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多C．报考“北约”联盟的考生也报考了“卓越”联盟D．报考“京派”联盟的考生也报考了“北约”联盟答案 D解析设该校报考“北约”联盟，“华约”联盟，“京派”联盟和“卓越”联盟的学生分别为集合A，B，C，D，报考自主招生的总学生为U，则由题意，知A∩B＝∅，B⊆C，D∩C＝∅，∁U D＝B，∴A⊆D，B＝C，B∩D＝∅.选项A，B∩D＝∅，正确；选项B，B＝C，正确；选项C，A⊆D，正确，故选D.感悟升华解决逻辑推理问题的两种方法：(1)假设反证法：先假设题中给出的某种情况是正确的，并以此为起点进行推理．如果推理导致矛盾，则证明此假设是错误的，再重新提出一个假设继续推理，直到得到符合要求的结论为止．(2)枚举筛选法：即不重复、不遗漏地将问题中的有限情况一一枚举，然后对各种情况逐个检验，排除一些不可能的情况，逐步归纳梳理，找到正确答案．【训练3】(1)(2019·全国Ⅱ卷)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙(2)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(ⅰ)男学生人数多于女学生人数；(ⅱ)女学生人数多于教师人数；(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．②该小组人数的最小值为________．答案(1)A(2)①6②12解析(1)由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，故若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误．综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．故选A.(2)设男学生人数为x ，女学生人数为y ，教师人数为z ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >z ，2z >x ，且x ，y ，z 均为正整数．①当z ＝4时，8>x >y >4，∴x 的最大值为7，y 的最大值为6，故女学生人数的最大值为6. ②x >y >z >x 2，当x ＝3时，条件不成立，当x ＝4时，条件不成立，当x ＝5时，5>y >z >52，此时z ＝3，y ＝4.∴该小组人数的最小值为12.基础巩固一、选择题1．已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( ) A ．a n ＝3n －1 B ．a n ＝4n －3 C ．a n ＝n 2 D ．a n ＝3n －1答案 C解析 a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2.2．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( ) A ．f (x ) B ．－f (x ) C ．g (x ) D ．－g (x )答案 D解析 由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．3．(2020·合肥一模)2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”“国富民强”“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：小明说：“鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；小金说：“兴国之路”不是我制作的．若三人的说法有且仅有一个是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是()A．小明B．小红C．小金D．小金或小明答案 B解析依题意，三个人制作的所有情况如下所示：12345 6鸿福齐天小明小明小红小红小金小金国富民强小红小金小金小明小红小明兴国之路小金小红小明小金小明小红若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足．故“鸿福齐天”的制作者是小红，故选B.4．(2021·安徽六校测试)如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点．第n个图形由正n＋2边形扩展而来，其中n∈N*，则第n个图形的顶点个数是()A．(2n＋1)(2n＋2) B．3(2n＋2)C．2n(5n＋1) D．(n＋2)(n＋3)答案 D解析(1)由已知中的图形可以得到：当n＝1时，图形的顶点个数为12＝3×4，当n＝2时，图形的顶点个数为20＝4×5，当n＝3时，图形的顶点个数为30＝5×6，当n＝4时，图形的顶点个数为42＝6×7，……由此可以推断：第n个图形的顶点个数为(n＋2)(n＋3)，故选D.5．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列{a n}的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案 B解析从S1，S2，S3猜想出数列{a n}的前n项和S n，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理，故应选B.6．“对数函数是非奇非偶函数，f(x)＝log2|x|是对数函数，因此f(x)＝log2|x|是非奇非偶函数”，以上推理()A．结论正确B．大前提错误C．小前提错误D．推理形式错误答案 C解析本命题的小前提是f(x)＝log2|x|是对数函数，但是这个小前提是错误的，因为f(x)＝log2|x|不是对数函数，它是一个复合函数，只有形如y＝log a x(a>0且a≠1)的才是对数函数．故选C.7．若等差数列{a n}的前n项之和为S n，则一定有S2n－1＝(2n－1)a n成立．若等比数列{b n}的前n项之积为T n，类比等差数列的性质，则有()A．T2n－1＝(2n－1)＋b n B．T2n－1＝(2n－1)－b nC．T2n－1＝(2n－1)b n D．T2n－1＝b2n－1n答案 D解析 在等差数列{a n }中，a 1＋a 2n －1＝2a n ， a 2＋a 2n －2＝2a n ，…，故有S 2n －1＝(2n －1)a n ， 在等比数列{b n }中，b 1b 2n －1＝b 2n ，b 2·b 2n －2＝b 2n ，…，故有T 2n －1＝b 1b 2…b 2n －1＝b 2n －1n. 8．(2020·昆明质检)斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，…，在数学上，斐波那契数列{a n }定义为：a 1＝1，a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，斐波那契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据a n ＋2＝a n ＋a n ＋1可得a n ＝a n ＋2－ a n ＋1，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n ＋2－a n ＋1)＝a n ＋2－a 2＝a n ＋2－1，类比这一方法，可得a 21＋a 22＋…＋a 210＝( )A ．714B ．1 870C ．4 895D ．4 896答案 C解析 将a n ＋1＝a n ＋2－a n 两边同乘a n ＋1，可得a 2n ＋1＝a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n ，则a 21＋a 22＋…＋a 210＝a 21＋(a 2a 3－a 2a 1)＋(a 3a 4－a 2a 3)＋…＋(a 10a 11－a 9a 10)＝1－a 2a 1＋a 10a 11＝1－1＋55×89＝4 895.故选C. 二、填空题9．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋…＋12 0202<________. 答案4 0392 020解析 由题意得，不等式右边分数的分母是左边最后一个分数的分母的底数，分子是一个以3为首项，2为公差的等差数列中的项，可以推出1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n ，所以1＋122＋132＋…＋12 0202<2 020×2－12 020＝4 0392 020. 10．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为________．答案 55解析 由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55.11．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1，那么对于双曲线，则有如下命题：若P (x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________． 答案x 0x a 2－y 0y b 2＝1 解析 类比椭圆的切点弦方程可得双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的切点弦方程为x 0x a 2－y 0yb2＝1.12．如下分组的正整数对：第1组为{(1,2)，(2,1)}，第2组为{(1,3)，(3,1)}，第3组为{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}，第4组为{(1,5)，(2,4)，(4,2)，(5,1)}，……，则第40组的第21个数对为________． 答案 (22,20)解析 由题意可得第1组数对中的各数的和为3，第2组数对中各数的和为4，第3组数对中各数的和为5，第4组数对中各数的和为6， ……第n 组数对中各数的和为n ＋2，且各个数对中无重复数字， 可得第40组数对中各数的和为42， 则第40组的第21个数对为(22,20)．能力提升13．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立70周年时为( ) A ．“丙酉”年 B ．“戊申”年 C ．“己申”年 D ．“己亥”年答案 D解析 中华人民共和国成立70周年时为2019年，从1949到2019共有71个数，若把天干排成一列，记为{a n }，且a 1＝“己”，则a 71＝a 7×10＋1＝a 1＝“己”；若把地支排成一列，记为{b n }，且b 1＝“丑”，则b 71＝b 5×12＋11＝b 11＝“亥”．所以中华人民共和国成立70周年时为“己亥”年，故选D.14．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋11＋11＋…中“…”代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋1x ＝x求得x ＝5＋12.类比上述过程，3＋23＋2…＝( ) A ．3 B ．13＋12C ．6D ．2 2答案 A解析 由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解(舍去负根)， 令3＋23＋2…＝m (m >0)，则两边平方得，3＋23＋23＋2…＝m 2，即3＋2m ＝m 2，解得m ＝3或m ＝－1(舍去)．故选A. 15．(2021·武汉模拟)观察下列数表： 2 4 68 10 12 1416 18 20 22 24 26 28 30 …设数100为该数表中的第n 行，第m 列，则mn ＝________. 答案 114解析 观察数表可知第n 行的数的个数为a n ＝2n －1，则前n 行的所有数的个数之和S n ＝1－2n1－2＝2n －1，数表中的数是由正偶数排列而成的，而数100是第50个数，令2n －1＝50，解得5<n <6，则100在这个数表中的第6行，S 5＝31，则100在这个数表中的第19列，即n ＝6，m ＝19，所以mn ＝6×19＝114.16．(2021·豫南九校质量考评)已知函数f (x )＝1x ＋1x ＋1＋1x ＋2，由f (x －1)＝1x －1＋1x ＋1x ＋1是奇函数，可得函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称，类比这一结论，可得函数g (x )＝x ＋2x ＋1＋x ＋3x ＋2＋…＋x ＋7x ＋6的图象关于点________对称．答案 ⎝⎛⎭⎫－72，6 解析 由题意得g (x )－6＝x ＋2x ＋1－1＋x ＋3x ＋2－1＋x ＋4x ＋3－1＋x ＋5x ＋4－1＋x ＋6x ＋5－1＋x ＋7x ＋6－1＝1x ＋1＋1x ＋2＋1x ＋3＋1x ＋4＋1x ＋5＋1x ＋6， 则g ⎝⎛⎭⎫x －72－6＝1x －72＋1＋1x －72＋2＋1x －72＋3＋1x －72＋4＋1x －72＋5＋1x －72＋6＝1x －52＋1x －32＋1x －12＋1x ＋12＋1x ＋32＋1x ＋52， 令g ⎝⎛⎭⎫x －72－6＝h (x )， ∴h (－x )＝1－x －52＋1－x －32＋1－x －12＋1－x ＋12＋1－x ＋32＋1－x ＋52＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，∴函数g (x )＝x ＋2x ＋1＋x ＋3x ＋2＋…＋x ＋7x ＋6的图象关于点⎝⎛⎭⎫－72，6对称.。
高三数学合情推理与演绎推理试题
高三数学合情推理与演绎推理试题1.（已知集合，且下列三个关系：•‚ƒ有且只有一个正确，则.【答案】【解析】由已知，若正确，则或，即或或或均与“三个关系有且只有一个正确”矛盾；若正确，则正确，不符合题意；所以，正确，，故.【考点】推理与证明.2.观察分析下表中的数据：面数（）顶点数（)棱数（)5 6 9猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________.【答案】【解析】①三棱锥：,得；②五棱锥：,得；③立方体：,得；所以归纳猜想一般凸多面体中，所满足的等式是：，故答案为【考点】归纳推理.3.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”，类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”，类比推出，“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”，类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；④“若x∈R，则|x|<1⇒－1<x<1”，类比推出“若z∈C，则|z|<1⇒－1<z<1”．其中类比正确的为()A．①②B．①④C．①②③D．②③④【答案】A【解析】对于③，“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”是错误的，如a＝2＋i，b＝1＋i，则a－b＝1>0，但2＋i>1＋i不正确；对于④，“若z∈C，则|z|<1⇒－1<z<1”是错误的，如y＝＋i，|y|＝<1，但－1<＋i<1是不成立的．故选A.4. 1955年，印度数学家卡普耶卡（D.R.Kaprekar）研究了对四位自然数的一种交换：任给出四位数，用的四个数字由大到小重新排列成一个四位数m，再减去它的反序数n(即将的四个数字由小到大排列，规定反序后若左边数字有0，则将0去掉运算，比如0001，计算时按1计算)，得出数，然后继续对重复上述变换，得数，…，如此进行下去，卡普耶卡发现，无论是多大的四位数，只要四个数字不全相同，最多进行k次上述变换，就会出现变换前后相同的四位数t(这个数称为Kaprekar变换的核).通过研究10进制四位数2014可得Kaprekar变换的核为 .【答案】6174【解析】把5 298代入计算，用5 298的四个数字由大到小重新排列成一个四位数9852．则9852-2589=7263，用7263的四个数字由大到小重新排列成一个四位数7632．则7632-2367=5265，用5265的四个数字由大到小重新排列成一个四位数6552．则6552-2556=3996，用3996的四个数字由大到小重新排列成一个四位数9963．则9963-3699=6264，用6264的四个数字由大到小重新排列成一个四位数6642．则6642-2466=4176，用4176的四个数字由大到小重新排列成一个四位数7641．则7641-1467=6174，用6174的四个数字由大到小重新排列成一个四位数7641．则7641-1467=6174…可知7次变换之后，四位数最后都会停在一个确定的数6174上．同样地，把4 852代入计算，可知7次变换之后，四位数最后都会停在一个确定的数6174上．故答案为：7，6174【考点】合情推理.5.若等差数列的首项为公差为，前项的和为，则数列为等差数列，且通项为．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列的首项为，公比为，前项的积为，则．【答案】数列为等比数列，且通项为．【解析】根据等差数列与等比数列类似原理，等差数列和的算术均值对应等比数列积的几何均值，即数列为等比数列，且通项为.【考点】类比6.若等差数列的首项为公差为，前项的和为，则数列为等差数列，且通项为．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列的首项为，公比为，前项的积为，则．【答案】数列为等比数列，且通项为【解析】根据等差数列与等比数列类似原理，等差数列和的算术均值对应等比数列积的几何均值，即数列为等比数列，且通项为.【考点】类比7.有两种花色的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干个图案,则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是().A．26B．31C．32D．36【答案】B【解析】有菱形纹的正六边形个数如下表:由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项,以5为公差的等差数列,所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6+5×(6-1)=31.故选B．8.观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72011的末两位数字为（）A．01B．43C．07D．49【答案】B【解析】根据题意，72=49，73=343，74=2401，则75的末两位数字为07，进而可得76的末两位数字为49，77的末两位数字为43，78的末两位数字为01，79的末两位数字为07，…分析可得规律：n从2开始，4个一组，7n的末两位数字依次为49、43、01、07，则72011的与73对应，其末两位数字43；故选B．9.将正偶数、、、、按表的方式进行排列，记表示第行和第列的数，若，则的值为（）第列第列第列第列第列第行第行第行第行第行A. B. C. D.【答案】C【解析】由表所反映的信息来看，第行的最大偶数为，则，由于，解得；另一方面奇数行的最大数位于第列，偶数行最大数位于第列，第行最大数为，此数位于第行第列，因此位于第行第列，所以，，故，选C.【考点】推理10.观察下列等式：；；；……则当且时， .（最后结果用表示）【答案】【解析】等式规律为：项数为所以【考点】数列归纳11.将1，2，3，，9这9个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上．现在第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，则6应该写在第张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是．【答案】二；【解析】由题意，不能写在第一张卡片上，因为，不能写在第二张卡片上，因为，故只能写在第三张卡片上；不能写在第一张卡片上，因为，不能写在第三张卡片上，因为，故只能写在第二张卡片上；不能写在第二张卡片上，因为，不能写在第三张卡片上，因为，故只能写在第一张卡片上；剩余只能放到第二，三张卡片上，不能写在第三张卡片上，因为，故只能写在第二张卡片上，剩余只能放到第三张卡片上，故6应该写在第二张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是．【考点】逻辑推理．12.在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是;(2)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S=(用数值作答).【答案】(1)3,1,6(2)79【解析】(1)四边形DEFG可看作由3个边长为1的正方形构成,故S=3,内部有一个格点,N=1,边界上有6个格点,即L=6.(2)取题图中的三角形ABC,四边形DEFG,再取一个边长为2的格点正方形,可得解得当N=71,L=18时,S=71+×18-1=79.13.已知=2,=3,=4,…,若=7,(a,t均为正实数),则类比以上等式,可推测a、t的值,a+t=.【答案】55【解析】类比所给等式可知a=7,且7t+a=72·a,即7t+7=73,∴t=48.∴a+t=55.14.如图，三角形数阵满足：（1)第n行首尾两数均为n;（2）表中的递推关系类似杨辉三角4则第n行（n≥2)第2个数是＿＿＿＿．【答案】【解析】因为由三角形数阵知，第三行的第二个数可以表示为；第四行的第二个数可表示为；第五行的第二个数可表示为.….由此可合情推理，根据图形第n行的第二个数为.故填.【考点】1.合情推理的思想.2.关键是找到规律.15.已知f(x+1)=,f(1)=1(x∈N*),猜想f(x)的表达式为()A．f(x)=B．f(x)=C．f(x)=D．f(x)=【答案】B【解析】∵f(1)=1,∴f(2)==,f(3)===,f(4)==,…,由此可猜想f(x)=.16.推理“①矩形是平行四边形;②正方形是矩形;③正方形是平行四边形”中的小前提是() A．①B．②C．③D．以上均错【答案】B【解析】①是大前提,③是结论,②是小前提.17.设函数f(x)=(x>0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,f3(x)=f(f2(x))=,故fn(x)=.【答案】【解析】根据题意知,分子都是x,分母中的常数项依次是2,4,8,16,…可知fn(x)的分母中常数项为2n,分母中x的系数为2n-1,故fn(x)=.18.已知P(x0,y)是抛物线y2=2px(p>0)上的一点,过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得:在y2=2px两边同时求导,得:2yy'=2p,则y'=,所以过P的切线的斜率:k=.试用上述方法求出双曲线x2-=1在P(,)处的切线方程为.【答案】2x-y-=0【解析】用类比的方法对=x2-1两边同时求导得,yy'=2x,∴y'=,∴y'===2,∴切线方程为y-=2(x-),∴2x-y-=0.19.设等差数列{an }的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列,类比以上结论有:设等比数列{bn }的前n项积为Tn,则T4,,,成等比数列.【答案】【解析】根据等比数列的性质知,b1·b2·b3·b4,b5·b6·b7·b8,b9·b10·b11·b12,b13·b14·b15·b16成等比数列,∴T4,,,成等比数列.20.已知下列等式：观察上式的规律,写出第个等式________________________________________.【答案】【解析】．【考点】归纳推理．21.已知，则在下列的一段推理过程中，错误的推理步骤有．（填上所有错误步骤的序号）【答案】③【解析】，在不等式的两边同时乘以，不等号方向发生变化，即，则有.【考点】不等式的性质、演绎推理22.（文科）给出下列等式：，，，……请从中归纳出第个等式：．【答案】；【解析】根据，，，易得第个等式：【考点】本题考查了归纳推理的运用点评：熟练运用归纳推理观察式子特点是解决此类问题的关键，属基础题23.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系o-xyz中，经过点A(1,2,3)且法向量为＝(－1，－2,1)的平面的方程为____________ ．（化简后用关于x，y，z的一般式方程表示）【答案】x＋2y－z－2＝0【解析】根据法向量的定义，若为平面α的法向量，则⊥α，任取平面α内一点P（x，y，z），则⊥，∵=（1-x，2-y，3-z），=(-1，-2，1)，∴（x-1）+2（y-2）+（3-z）=0，即x+2y-z-2=0，故答案为x+2y-z-2=0。
6、合情推理与演绎推理 学生版
个性化教学辅导教案——进门测评分_____（老师根据学生情况进行添加）1．由“若a＞b，则a＋c＞b＋c”得到“若a＞b，则ac＞bc”采用的是()A．归纳推理B．演绎推理C．类比推理D．数学证明2．数列5,9,17,33，x，…中的x等于________．3．平行于同一直线的两直线平行，因为a∥b，b∥c，所以a∥c，这个推理称为()A．合情推理B．归纳推理C．类比推理D．演绎推理4．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理中“三段论”中的__________是错误的．合情推理1．归纳推理和类比推理[点睛] (1)归纳推理与类比推理的共同点：都是从具体事实出发，推断猜想新的结论． (2)归纳推理的前提和结论之间的联系不是必然的，结论不一定正确；而类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠，因此不一定正确．2．合情推理归纳推理在数、式中的应用[典例] (1)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( ) A ．28 B ．76 C ．123D ．199(2)已知f (x )＝x 1－x ，设f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))(n ＞1，且n ∈N *)，则f 3(x )的表达式为________，猜想f n (x )(n ∈N *)的表达式为________．[活学活用] 1．观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4；⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5；…… 照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，满足S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)． (1)求a 2，a 3，a 4的值． (2)猜想a n 的表达式．归纳推理在几何中的应用[典例] 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．36[活学活用]1．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2 D ．8n ＋22．(陕西高考)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．类比推理的应用[典例]如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a=b·cos C+c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．1．类比推理的步骤(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)．(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想．(3)检验这个猜想．2．平面图形与空间图形类比如下平面图形空间图形点线线面圆球三角形四面体线线角二面角边长面积周长表面积面积体积……[活学活用]1．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD ＝12(AB +AC )，将命题类比到四面体中去，得到一个命题为：______________________________________.2．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，在空间中，给出四面体性质的猜想．演绎推理1．演绎推理(1)概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理． (2)特点：演绎推理是从一般到特殊的推理． (3)模式：三段论． 2．三段论“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：“三段论”的结论①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断 “三段论”的表示①大前提：M 是P ；②小前提：S 是M ； ③结论：S 是P[点睛] 用集合的观点理解三段论若集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的一个子集，那么S 中所有元素也都具有性质P .演绎推理在代数中的应用[典例] 已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a ＞1)，求证：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．[活学活用]已知函数f (x )＝x 2－a ln x 在区间[1,2]内是增函数，g (x )＝x －a x 在区间(0,1]内是减函数，则a ＝______.1．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( ) A. B ．△ C.D ．○2．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n 边形的内角和是(n －2)·180°(n ∈N *，且n ≥3)．A ．①②B ．①③④C ．①②④D ．②④3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为( )A ．1∶2B ．1∶4C ．1∶8D ．1∶164．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论： ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.nn －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2 C.n n －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝26．求函数y＝log2x－2 的定义域时，第一步推理中大前提是a有意义时，a≥0，小前提是log2x－2 有意义，结论是____________．7．某一三段论推理，其前提之一为肯定判断，结论为否定判断，由此可以推断，该三段论的另一前提必为________判断．8．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提：_______________________________________________________________.小前提：___________________________________________________________________.结论：_____________________________________________________________.9．将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)菱形的对角线互相平分．(2)奇数不能被2整除，75是奇数，所以75不能被2整除．10．下面给出判断函数f(x)＝1＋x2＋x－11＋x2＋x＋1的奇偶性的解题过程：1．归纳推理和类比推理2．合情推理——出门测 评分_____1．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图2-1-5)．图2-1-5则第n 个正方形数是( )A ．n (n －1)B ．n (n ＋1)C ．n 2D ．(n ＋1)22．如图2-1-6所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n }的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )图2-1-6A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝3nC ．a n ＝3n －2nD ．a n ＝3n －1＋2n －33．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________.4．“三角函数是周期函数，y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2是三角函数，所以y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2是周期函数”．在以上演绎推理中，下列说法正确的是( )A ．推理完全正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．推理形式不正确5．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的1．下面说法：①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；⑤运用三段论推理时，大前提和小前提都不可以省略．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC中，AB＝AC，所以在△ABC中，∠B＝∠C，以上推理运用的规则是()A．三段论推理B．假言推理C．关系推理D．完全归纳推理3．推理过程“大前提：__________，小前提：四边形ABCD是矩形．结论：四边形ABCD的对角线相等．”应补充的大前提是()A．正方形的对角线相等B．矩形的对角线相等C．等腰梯形的对角线相等D．矩形的对边平行且相等4．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在()A．大前提B．小前提C．推理过程D．没有出错5．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是()A．①④B．②④C．①③D．②③6．观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝25百度文库花文定制教案114＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第n 个等式为________．7．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是_______________________．8．如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列{a n }的通项公式为a n ＝__________.9．在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，由此猜想凸n 边形有几条对角线？10．已知f (x )＝13x ＋3，分别求f (0)＋f (1) ，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论．。
合情推理与演绎推理同步练习6选修12
高中新课标选修（1-2）合情推理与演绎推理测试题一、选择题1．下列说法正确的是（ ）Ａ．由归纳推理得到的结论一定正确Ｂ．由类比推理得到的结论一定正确Ｃ．由合情推理得到的结论一定正确Ｄ．演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确答案：Ｄ2．写出数列7777777777--L ，，，，的一个通项公式是（ ）Ａ．7n a n = Ｂ．7(101)9n n a =- Ｃ．17(1)(101)9n n n a +=-- Ｄ．7(1)(101)9n n n a =--答案：Ｃ3．关于平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：①=··a b b a ；②()()ab c a b c =····；③()a b c a b a c +=+···；④a b a b =··； ⑤由(0)a b a c a =≠··，可得b c =．以上通过类比得到的结论正确的有（ ）Ａ．2个 Ｂ．3个 Ｃ．4个 Ｄ．5个答案：Ａ4．若平面上n 个圆最多把平面分成()f n 个区域，则1n +个圆最多把平面分成区域的个数为（ ）Ａ．()1f n n ++ Ｂ．()2f n n + Ｃ．()22f n n +- Ｄ．()22f n n ++答案：Ｂ5．若四面体ABCD 的四个顶点为111222333444()()()()A x y z B x y z C x y z D x y z ，，，，，，，，，，，，类比平面直角坐标系中三角形的重心，可得此四面体的重心为（ ） Ａ．1234123422x x x x y y y y ++++++⎛⎫ ⎪⎝⎭， Ｂ．1234123433x x x x y y y y ++++++⎛⎫ ⎪⎝⎭，Ｃ．1234123444x x x x y y y y ++++++⎛⎫ ⎪⎝⎭， Ｄ．1234123455x x x x y y y y ++++++⎛⎫ ⎪⎝⎭，答案：Ｃ6．三段论：“某年份若能被4整除，但不能被100整除，或者能被400整除，则该年份为闰年”．现已知某年份不能被400整除，则该年份不是闰年．上述推理（ ）Ａ．小前提与结论都错 Ｂ．只有小前提错Ｃ．只有大前提错 Ｄ．只有结论错答案：Ａ二、填空题7．推理1：因为“平面内不共线的3个点确定一个圆”，可以推断“空间不共面的4个点确定一个球”；推理2：因为“平行四边形对边平行且相等”；而矩形是特殊的平行四边形，所以矩形的对边平行且相等．则推理1、推理2所用的推理方法分别是 、 ．答案：类比推理，演绎推理8．数列{}n a 中，11121n n n a a a a +==+，，试推测出数列{}n a 的通项公式为n a = ． 答案：121n - 9．已知(0)x ∈+，∞，观察下列几式：12x x +≥，2244322x x x x x+=++≥，L L 类比有1()n a x n n x*++∈N ≥，则a = ．答案：n n10．若1a b >>，P =1(lg lg )2Q a b =+，lg 2a b R +⎛⎫= ⎪⎝⎭，则P Q R ，，的大小关系为 ．答案：P Q R <<11．通过圆与球的类比，由“半径为R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为22R ．”猜想关于球的相应命题为 ．答案：关径为R312．类比平面上的命题（m ），给出在空间中的类似命题（n ）的猜想． （m ）如果ABC △的三条边BC CA AB ，，上的高分别为a b h h ，和c h ，ABC △内任意一点P 到三条边BC CA AB ，，的距离分别为a b c P P P ，，，那么1a b c a b cp p p h h h ++=． （n ） ．答案：从四面体的四个顶点A B C D ，，，分别向所对的面作垂线，垂线长分别为a b c h h h ，，和d h ．P 为四面体内任意一点，从点P 向AB C D ，，，四个顶点所对的面作垂线，垂线长分别为a b c P P P ，，和d P ，那么类比所得的关系式是1a b c d a b c dp p p p h h h p +++=．三、解答题13．设()f x 对0x >有意义，(2)1()()()f f xy f x f y ==+，，且()()f x f y >成立的充要条件是0x y >>．（1）求(1)f 与(4)f 的值；（2）当()(3)2f x f x +-≤时，求x 的取值范围．解：（1）因(2)1f =，且对于00x y >>，，有()()()f xy f x f y =+， 令12x y ==，，得(2)(1)(2)(1)0f f f f =+⇒=；令2x y ==，得(4)(2)(2)2f f f =+=．（2）由条件()()()f xy f x f y =+，得2()(3)(3)f x f x f x x +-=-， 又(4)2f =，由()(3)2f x f x +-≤，得2(3)(4)f x x f -≤．由()()f x f y >成立的充要条件是0x y >>，所以有23403430x x x x x ⎧-⎪>⇒<⎨⎪->⎩，，．≤≤14．设0()x x e a a f x a e>=+，是R 上的偶函数，求a 的值．解：()f x ∵是R 上的偶函数，()()f x f x -=∴，110x x a e a e ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴对于一切x ∈R 成立， 由此得10a a-=，即21a =．又0a >，1a =∴．15．一个平面用n 条直线去划分，最多将平面分成()f n 个部分．（1）求(1)(2)(3)(4)f f f f ，，，；（2）观察(2)(1)(3)(2)(4)(3)f f f f f f ---，，有何规律；（3）求出()f n ．解：（1）(1)2(2)4(3)7(4)11f f f f ====，，，；（2）(2)(1)2(3)(2)3(4)(3)4f f f f f f -=-=-=，，，猜想()(1)f n f n n --=，即()(1)(2)f n f n n n =-+≥．（3）由(2)(1)2(3)(2)3(4)(3)4f f f f f f -=-=-=L ，，，，()(1)f n f n n --=．将以上各式相加得()(1)234f n f n -=++++L ，而(1)2f =，()1(123)f n n =+++++L ∴2(1)2122n n n n +++=+=， 22()2n n f n ++=∴．。
高三一轮专题复习合情推理与演绎推理有详细答案
§7.4合情推理与演绎推理1.推理根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理.推理一般分为合情推理与演绎推理两类.2.合情推理3.(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理；(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；(3)模式：三段论.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.(×)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.(√)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.(×)(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.(√)(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n ＝n (n ∈N ＋).( × ) (6)2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…， 6＋b a＝6ba(a ，b 均为实数)，则可以推测a ＝35，b ＝6.( √ ) 2.数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A.28B.32C.33D.27 答案 B解析 5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9， 推出x －20＝12，所以x ＝32.3.观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 011的后四位数字为( ) A.3125B.5625C.0625D.8125 答案 D解析 55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，可得59与55的后四位数字相同，…，由此可归纳出5m ＋4k 与5m (k ∈N *，m ＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 011＝4×501＋7，所以52 011与57后四位数字相同为8125，故选D. 4.(2013·陕西)观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________.答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2解析 观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n 个等式左边有n 项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n ＋1n 2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{a n }，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，…，a n －a n －1＝n ，各式相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ，即a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以第n 个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2.5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列.类比以上结论有设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列.答案T 8T 4T 12T 8解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项积为T n ， 则T 4＝a 1a 2a 3a 4，T 8＝a 1a 2…a 8，T 12＝a 1a 2…a 12， T 16＝a 1a 2…a 16，因此T 8T 4＝a 5a 6a 7a 8，T 12T 8＝a 9a 10a 11a 12，T 16T 12＝a 13a 14a 15a 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列.题型一 归纳推理例1 设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.思维启迪 解题的关键是由f (x )计算各式，利用归纳推理得出结论并证明. 解 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得：f (－1)＋f (2)＝33， f (－2)＋f (3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，均为f (x 1)＋f (x 2)＝33. 证明：设x 1＋x 2＝1，∵f (x 1)＋f (x 2)＝131x ＋3＋132x ＋3＝(31x ＋3)＋(32x ＋3)(31x ＋3)(32x ＋3)＝31x ＋32x ＋23321x x +＋3(31x ＋32x )＋3＝31x ＋32x ＋233(31x ＋32x )＋2×3＝31x ＋32x ＋233(31x ＋32x ＋23)＝33.思维升华 (1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围.(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的. (3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用.(1)观察下列等式 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第五个等式应为________________________.(2)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则有______.答案 (1)5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 (2)f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *) 解析 (1)由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81. (2)由题意得f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n)>n ＋22.故填f (2n)>n ＋22(n ≥2，n ∈N *).题型二 类比推理例2 已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －man －m .类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________.思维启迪 等差数列{a n }和等比数列{b n }类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算，等差数列的乘除法运算对应等比数列中的乘方开方运算. 答案 n －m d n c m解析 设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . 因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1qn －1，a m ＋n ＝nb －man －m，所以类比得b m ＋n ＝n －m d nc m思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.(3)在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等.(1)给出下列三个类比结论：①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是()A.0B.1C.2D.3(2)把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r＝a2＋b22(其中a，b为直角三角形两直角边长).类比此方法可得三条侧棱长分别为a，b，c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R＝________.答案(1)B(2)a2＋b2＋c22解析(1)①②错误，③正确.(2)由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径. 题型三演绎推理例3 已知函数f (x )＝－aa x ＋a (a >0，且a ≠1).(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值.思维启迪 证明本题依据的大前提是中心对称的定义，函数y ＝f (x )的图象上的任一点关于对称中心的对称点仍在图象上.小前提是f (x )＝－a a x ＋a (a >0且a ≠1)的图象关于点(12，－12)对称.(1)证明 函数f (x )的定义域为全体实数，任取一点(x ，y )， 它关于点(12，－12)对称的点的坐标为(1－x ，－1－y ).由已知得y ＝－a a x ＋a ，则－1－y ＝－1＋a a x ＋a ＝－a xa x ＋a ，f (1－x )＝－a a 1－x ＋a ＝－a a a x ＋a＝－a ·a x a ＋a ·a x ＝－a xa x ＋a ， ∴－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称.(2)解 由(1)知－1－f (x )＝f (1－x )，即f (x )＋f (1－x )＝－1. ∴f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1，f (0)＋f (1)＝－1. 则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3.思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.已知函数y ＝f (x )，满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调增函数. 证明 设x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2，则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)， ∴x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0，∵x 1<x 2，∴f (x 2)－f (x 1)>0，f (x 2)>f (x 1). 所以y ＝f (x )为R 上的单调增函数.高考中的合情推理问题典例：(1)(5分)(2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数N (n,4)＝n 2， 五边形数N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数N (n,6)＝2n 2－n………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________.思维启迪 从已知的部分k 边形数观察一般规律写出N (n ，k )，然后求N (10,24).解析 由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1 100－100＝1 000. 答案 1 000(2)(5分)若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________. 思维启迪 直接类比可得. 解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 则P 1，P 2的切线方程分别是 x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x a 2－y 2y b 2＝1. 因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上， 故有x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b2＝1， 这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0yb 2＝1上，故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0yb 2＝1.答案x 0x a 2－y 0yb 2＝1 (3)(5分)在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项： k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，…，n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]. 相加，得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝13n (n ＋1)·(n ＋2). 类比上述方法，请你计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)·(n ＋2)”，其结果为________. 思维启迪 根据两个数积的和规律猜想，可以利用前几个式子验证.解析 类比已知条件得k (k ＋1)(k ＋2)＝14[k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)－(k －1)k (k ＋1)(k ＋2)]， 由此得1×2×3＝14(1×2×3×4－0×1×2×3)， 2×3×4＝14(2×3×4×5－1×2×3×4)， 3×4×5＝14(3×4×5×6－2×3×4×5)， …，n (n ＋1)(n ＋2)＝14[n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)－(n －1)n (n ＋1)(n ＋2)]. 以上几个式子相加得：1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)(n ＋2)＝14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3). 答案14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3) 温馨提醒 (1)合情推理可以考查学生的抽象思维能力和创新能力，在每年的高考中经常会考到；(2)合情推理的结论要通过演绎推理来判断是否正确.方法与技巧1.合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想2.演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.失误与防范1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明.2.演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.3.合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.(2012·江西)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于()A.28B.76C.123D.199答案 C解析观察规律，归纳推理.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.2.定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(1)1*1=1，（2）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于()A.nB.n＋1C.n－1D.n2答案 A解析由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1+(n－1).又∵1*1=1，∴n*1＝n3.下列推理是归纳推理的是()A.A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆B.由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C.由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πab D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案 B解析 从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理，故应选B.4.已知△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，求证：a <b .证明：∵∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴∠A <∠B .∴a <b ，其中，画线部分是演绎推理的( )A.大前提B.小前提C.结论D.三段论答案 B解析 由三段论的组成可得画线部分为三段论的小前提.5.若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n)也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A.d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n nB.d n ＝c 1·c 2·…·c n nC.d n ＝ n c n 1＋c n 2＋…＋c n n nD.d n ＝n c 1·c 2·…·c n 答案 D解析 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ， ∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列； 若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q n (n －1)2， ∴d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列，故选D. 二、填空题6.仔细观察下面○和●的排列规律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________.答案 14解析 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n 组两种圈的总数是f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝n (n ＋3)2， 易知f (14)＝119，f (15)＝135，故n ＝14.7.若函数f (x )＝x x ＋2(x >0)，且f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2，当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f [f n －1(x )]，则f 3(x )＝________，猜想f n (x )(n ∈N *)的表达式为________.答案 x 7x ＋8x (2n －1)x ＋2n解析 ∵f 1(x )＝x x ＋2，f n (x )＝f [f n －1(x )](n ≥2)， ∴f 2(x )＝f (x x ＋2)＝xx ＋2(x x ＋2＋2)＝x 3x ＋4. f 3(x )＝f [f 2(x )]＝f (x 3x ＋4)＝x3x ＋4(x 3x ＋4＋2)＝x 7x ＋8. 由所求等式知，分子都是x ，分母中常数项为2n ，x 的系数比常数项少1，为2n －1，故f n (x )＝x (2n －1)x ＋2n. 8.在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE EB ＝AC BC，把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图所示)，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 相交于点E ，则类比得到的结论是________.答案 BE EA ＝S △BCD S △ACD解析 易知点E 到平面BCD 与平面ACD 的距离相等，故V E －BCD V E －ACD ＝BE EA ＝S △BCD S △ACD. 三、解答题9.已知等差数列{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝5.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n 的大小规律.解 (1)由于a 1＝5，d ＝2，∴S n ＝5n ＋n (n －1)2×2＝n (n ＋4). (2)∵T n ＝n (2a n －5)＝n [2(2n ＋3)－5]＝4n 2＋n .∴T 1＝5，T 2＝4×22＋2＝18，T 3＝4×32＋3＝39，T 4＝4×42＋4＝68，T 5＝4×52＋5＝105.S 1＝5，S 2＝2×(2＋4)＝12，S 3＝3×(3＋4)＝21，S 4＝4×(4＋4)＝32，S 5＝5×(5＋4)＝45.由此可知S 1＝T 1，当n ≥2时，S n <T n .归纳猜想：当n ＝1时，S n ＝T n ；当n ≥2，n ∈N 时，S n <T n .10.在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.解 如图所示，由射影定理AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2.又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. 猜想，四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2. 证明：如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD .∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD2， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2. B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1.给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③若“a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”.其中类比结论正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案 C解析 ①②正确，③错误.因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小.2.设是R 的一个运算，A 是R 的非空子集.若对于任意a ，b ∈A ，有a b ∈A ，则称A 对运算封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )A.自然数集B.整数集C.有理数集D.无理数集答案 C解析 A 错：因为自然数集对减法、除法不封闭；B 错：因为整数集对除法不封闭；C 对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D 错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭.3.平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为________.答案 n 2＋n ＋22解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域. 4.数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N *).证明： (1)数列{S n n}是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .故S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，(小前提) 故{S n n}是以2为公比，1为首项的等比数列.(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2).(小前提) 又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提)∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)5.对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现， (1)求函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心； (2)计算f (12 013)＋f (22 013)＋f (32 013)＋f (42 013)＋…＋f (2 0122 013). 解 (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12. f (12)＝13×(12)3－12×(12)2＋3×12－512＝1. 由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1). (2)由(1)，知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)， 所以f (12＋x )＋f (12－x )＝2，即f (x )＋f (1－x )＝2. 故f (12 013)＋f (2 0122 013)＝2， f (22 013)＋f (2 0112 013)＝2， f (32 013)＋f (2 0102 013)＝2， …f (2 0122 013)＋f (12 013)＝2. 所以f (12 013)＋f (22 013)＋f (32 013)＋f (42 013)＋…＋f (2 0122 013)＝12×2×2 012＝2 012.。
专练37 合情推理与演绎推理
专练37 合情推理与演绎推理命题范围：合情推理(归纳和类比)、演绎推理．[基础强化]一、选择题1．下面几种推理是演绎推理的是( )A ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12 (a n －1＋1a n －1)(n ≥2)由此归纳数列{a n }的通项公式 B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质C ．两直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行直线与第三条直线形成的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°D ．某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人2．用三段论推理：“任何实数的绝对值大于0，因为a 是实数，所以a 的绝对值大于0”，你认为这个推理( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．是正确的3．[2022·全国乙卷(理)，4]嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}b n ：b 1＝1＋1α1 ，b 2＝1＋1α1＋1α2 ，b 3＝1＋1α1＋1α2＋1α3，…，依此类推，其中αk ∈N *(k ＝1，2，…).则( )A ．b 1<b 5B ．b 3<b 8C ．b 6<b 2D ．b 4<b 74．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．1995．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2 ＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( ) A ．18 B ．19 C ．164 D ．1276．[2022·陕西省西安中学四模]第24届冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日～2月20日在北京和张家口联合举行．为了更好地安排志愿者工作，需要了解每个志愿者掌握的外语情况，已知志愿者小明只会德、法、日、英四门外语中的一门．甲说，小明不会法语，也不会日语；乙说，小明会英语或法语；丙说，小明会德语．已知三人中只有一人说对了，由此可推断小明掌握的外语是( )A ．德语B ．法语C ．日语D ．英语7．完成下列表格，据此可猜想多面体各面内角和的总和的表达式是( )(说明：上述表格内，顶点数V 指多面体的顶点数)A.2(V －2)π B ．(F －2)πC ．(E －2)πD ．(V ＋F －4)π8．[2022·东北三省第三次联考]下列说法错误的是( )A ．由函数y ＝x ＋x －1的性质猜想函数y ＝x －x －1的性质是类比推理B ．由ln 1≤0，ln 2＜1，ln 3＜2…猜想ln n ≤n －1(n ∈N *)是归纳推理C ．由锐角x 满足sin x ＜x 及0＜π12 ＜π2 ，推出sin π12 ＜π12是合情推理 D ．“因为cos (－x )＝cos x 恒成立，所以函数y ＝cos x 是偶函数”是省略大前提的三段论9．[2022·黑龙江省第三次质检]以下四个命题中是假命题的是( )A ．“昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿”此推理属于演绎推理B ．“在平面中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，将此结论放到空间中也成立”此推理属于合情推理C ．若命题“ ¬p ”与命题“p ∨q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题D ．若x ∈(0，π2 ]，则sin x ＋2sin x的最小值为22 二、填空题10．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好．”乙说：“我们四人中有人考得好．”丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的________两人说对了．11．如图所示，将正整数排成三角形数阵，每阵的数称为一个群，从上到下顺次为第1群，第2群，……，第n 群，……，第n 群恰好有n 个数，则第n 群中n 个数的和是________．12 34 6 58 12 10 716 24 20 14 932 48 40 28 18 11……12．[2022·江西赣州二模]“n ×n 蛇形数阵”是指将从1开始到n 2(n ∈N *)的若干个连续的自然数按顺序顺时针排列在正方形数阵中，如图分别是3×3与4×4的蛇形数阵，在一个11×11的蛇形数阵，则该数阵的第6行第5列的数为________．[能力提升] 13．[2022·安徽芜湖一中三模]一道单选题，现有甲、乙、丙、丁四位学生分别选择了A ，B ，C ，D 选项．他们的自述如下，甲：“我没选对”；乙：“甲选对了”；丙：“我没选对”；丁：“乙选对了”．其中有且仅有一位同学说了真话，则选对正确答案的同学是________.14．[2022·重庆南开中学模拟]给定正整数n (n ≥5)，按照如下规律构成三角形数表：第一行从左到右依次为1，2，3，…，n ，从第二行开始，每项都是它正上方和右上方两数之和，依次类推，直到第n 行只有一项，记第i 行第j 项为a ij ，如图所示．现给定n ＝2 022，若a i 4>2 022，则i 的最小值为________．15．[2022·安徽淮南二模]像13 ，113 ，1105等这样分子为1的分数在算术上称为“单位分数”，数学史上常称为“埃及分数”.1202年意大利数学家斐波那契在他的著作《算盘术》中提到，任何真分数均可表示为有限个埃及分数之和，如78 ＝12 ＋14 ＋18.该结论直到1880年才被英国数学家薛尔维斯特严格证明，实际上，任何真分数a b(a ＜b ，a ∈N *，b ∈N *)总可表示成a b ＝1x ＋1 ＋（x ＋1）a －b （x ＋1）b①，这里x ＝⎣⎡⎦⎤b a ，即不超过b a 的最大整数，反复利用①式即可将a b 化为若干个“埃及分数”之和．请利用上面的方法将1318表示成3个互不相等的“埃及分数”之和，则1318＝________． 16．[2022·河南开封三模]在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．若第1个图中的三角形的周长为1，则第4个图形的周长为________．。
高考数学 试题汇编 第二节 合情推理与演绎推理 理(含解析)
高考数学试题汇编第二节合情推理与演绎推理理（含解析）合情推理考向聚焦由已知条件归纳出一个结论或运用类比的形式给出某个问题的结论,是高考对合情推理的常规考法,从题型上看,以选择题、填空题为主,所占分值4~5分,属中低档题备考指津合情推理(归纳推理和类比推理)是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想.归纳推理时要做到归纳到位、准确;类比推理时,要从本质上去类比,不要被表面现象所迷惑1.(2012年江西卷,理6,5分)观察下列各式:a+b=1,a2+b 2=3,a 3+b3=4,a 4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=( )(A)28 (B)76 (C)123 (D)199解析:本题考查递推数列知识以及归纳推理的思想方法.记a n+b n=f(n),则f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11;f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=123,即a10+b10=123.故选C.答案:C.涉及递推数列的某一项或通项的问题(尤其是小题)常常可借助归纳推理加以解决.2.(2011年江西卷,理7)观察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,…,则52011的末四位数字为( )(A)3125 (B)5625 (C)0625 (D)8125解析:∵55=3125,56=15625,57=78125,58末四位数字为0625,59末四位数字为3125,510末四位数字为5625,511末四位数字为8125,512末四位数字为0625,…,由上可得末四位数字周期为4,呈规律性交替出现,∴52011=54×501+7末四位数字为8125.答案:D.3.(2012年陕西卷,理11,5分)观察下列不等式1+<,1++<,1+++<,……照此规律,第五个不等式为.解析:不完全归纳:第一个:1+<,第二个:1++<,第三个:1+++<,…归纳猜想:第n个:1+++…+<,故n=5时,1+++…+<.答案:1+++++<4.(2012年湖北卷,理13,5分)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3443,94249等,显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99,3位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999,则(1)4位回文数有个;(2)2n+1(n∈N+)位回文数有个.解析:已知1位回文数有9个,2位回文数有9个,3位回文数有90=9×10个,4位回文数有1001,1111,…,1991,2002,…,9999,共90个,以此类推,猜想2n+1位回文数与2(n+1)位回文数个数相等,均为9×10n个.答案:(1)90 (2)9×10n5.(2011年陕西卷,理13)观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…照此规律,第n个等式为.解析:照等式规律,第n行的首位数字为n且有2n-1个相邻正整数相加∴n+(n+1)+…+(3n-2)=(2n-1)2答案:n+(n+1)+…+(3n-2)=(2n-1)26.(2011年山东卷,理15)设函数f(x)=(x>0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,f3(x)=f(f2(x))=,f4(x)=f(f3(x))=,…根据以上事实,由归纳推理可得:当n∈N*且n≥2时,f n(x)=f(f n-1(x))= .解析:观察分母的x的系数数列:1,3,7,15,…,a n,…而分母的常数项数列:2,4,8,16,…,b n,…∴b n=2n,a n=2n-1,∴当n≥2时,f n(x)=f(f n-1(x))=答案:7.(2010年陕西卷,理12)观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第五个等式为.解析:观察已知等式13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43=(1+2+3+4)2,归纳可得,13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212,故应填13+23+33+43+53+63=212.答案:13+23+33+43+53+63=2128.(2010年浙江卷,理14)设n≥2,n∈N,(2x+)n-(3x+)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n,将|a k|(0≤k ≤n)的最小值记为T n,则T2=0,T3=-,T4=0,T5=-,…,T n,…其中T n= .解析:由归纳推理得T n=.答案:此类题目要对所给的已知等式进行观察,分析其结构特征,再进行比较和联想,发现规律,归纳得出结论.演绎推理考向聚焦演绎推理也是高考重点考查的内容,渗透于各种题型的各个问题中,主要以综合题的形式考查演绎推理的基本步骤与严谨性,有时也会出现高难度题,12~14分备考指津在数学研究中,合情推理获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠,它只能帮助我们猜想和发现结论,由已知条件归纳或类比出的结论,需要再运用演绎推理进行证明.也就是说,合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的.在前提和推理形式都正确的情况下,利用演绎推理证明所得结论是正确的9.(2011年浙江卷,理20)如图,在三棱锥P ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:AP⊥BC;(2)在线段AP上是否存在点M,使得二面角A MC B为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由.(1)证明:由AB=AC,D是BC的中点,得AD⊥BC.又PO⊥平面ABC,所以PO⊥BC.因为PO∩AD=O,所以BC⊥平面PAD,故BC⊥PA.(2)解:存在.如图,在平面PAB内作BM⊥PA于M,连接CM,PD.由(1)知AP⊥BC,得AP⊥平面BMC.又AP⊂平面APC,所以平面BMC⊥平面APC.在Rt△ADB中,AB2=AD2+BD2=(AO+OD)2+(BC)2=41,得AB=.在Rt△POD中,PD2=PO2+OD2,在Rt△PDB中,PB2=PD2+BD2,所以PB2=PO2+OD2+DB2=36,得PB=6.在Rt△POA中,PA2=AO2+OP2=25,得PA=5.又cos∠BPA==,从而PM=PB·cos∠BPA=2,所以AM=PA-PM=3.综上所述,存在点M符合题意,AM=3.演绎推理的主要形式,就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理,在应用三段论来求解问题时,首先应该明确什么是问题中的大前提和小前提.在演绎推理中,只有前提和推理形式是正确的,结论才是正确的.。
(江西版)2013年高考数学总复习 第十一章11.3 合情推理与演绎推理 理 北师大版(含详解)
2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第十一章11.3 合情推理与演绎推理练习一、选择题1．下列推理过程是演绎推理的是( )．A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式2．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是( )．A ．27B ．28C ．29D ．303．定义一种运算“*”：对于正整数n 满足以下运算性质： (1)1]( )．A ．nB ．n ＋1C ．n －1D ．n 24．(2011江西高考，理7)观察下列各式：55＝3 125，56＝15 625，57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为( )．A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 1255．如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB ⊥AB 时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e ＝( )．A ．5＋12B ．5－12C ．5－1D ．5＋16．设f (x )＝1＋x1－x ，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f [f k (x )]，k ＝1,2，…，则f 2 012(x )＝( )．A ．－1xB ．xC ．x －1x ＋1D ．1＋x 1－x二、填空题7．(2011陕西咸阳高考模拟三)在平面几何中，已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”，类比到空间写出你认为合适的结论：__________.8．(2012山东菏泽高考模拟)在△ABC 中，若BC ⊥AC ，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22.将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S －ABC 中，若SA ，SB ，SC 两两垂直，SA ＝a ，SB ＝b ，SC ＝c ，则四面体S －ABC 的外接球半径R ＝__________.9．观察下列不等式：1＞12，1＋12＋13＞1,1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2,1＋12＋13＋…＋131＞52，…，由此猜想第n 个不等式为______． 三、解答题10．类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质．11．已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)写出具有类似特性的性质，并加以证明．12．已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4＝14，且a 1，a 3，a 7成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n 为数列{1a n a n ＋1}的前n 项和，若T n ≤λa n ＋1对一切n ∈N ＋恒成立，求实数λ的最小值．参考答案一、选择题1．A 解析：C 是类比推理，B 与D 均为归纳推理，而合情推理包括类比推理和归纳推理，故B ，C ，D 都不是演绎推理．而A 是由一般到特殊的推理形式，故A 是演绎推理．2．B 解析：观察归纳可知第n 个三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴第七个三角形数为7×(7＋1)2＝28.3．A 解析：由(n ＋1)*1＝n *1＋1，得n *1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2＝…＝1*1＋(n －1). 又∵1*1＝1，∴n *1＝n .4．D 解析：由观察易知55的末四位数字为3125,56的末四位数字为5625,57的末四位数字为8125,58的末四位数字为0625,59的末四位数字为3125，故周期T ＝4.又由于2 011＝502×4＋3，因此52 011的末四位数字是8125.5．A 解析：在“黄金双曲线”中，B (0，b )，F (－c ,0)，A (a ,0)．∵FB ⊥AB ，∴FB ·AB＝0.∴b 2＝ac .而b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2＝ac .在等号两边同除以a 2得e 2－e －1＝0，又e ＞1，∴解得e ＝5＋12. 6．B 解析：计算21111()=1111xx x f x f xx x+++⎛⎫-= ⎪+-⎝⎭--＝－1x ， 31111()=111x x f x f x x x--⎛⎫-== ⎪+⎝⎭+， 4111()==111x x f x x x x -++--+， 511+()=()=1xf x f x x -， 归纳得4+11+()=1k xf x x-.∴()()()2 01245034f x f x f x x ⨯＝＝＝.二、填空题7．正四面体内一点到四个面的距离之和是一个定值 解析：因为边长为a 的正四面体的体积和各个面的面积是定值，在其内部任取一点，将其分割成四个底面积相等的三棱锥，由体积和是定值，可得该点到四个面的距离之和是一个定值．8．a 2＋b 2＋c 22解析：如图所示，以SA ，SB ，SC 为邻边作一长方体，该长方体的体对角线的长l ＝a 2＋b 2＋c 22， 此即四面体S －ABC 的外接球直径，所以半径R ＝a 2＋b 2＋c 22.9．1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2解析：由1＞12，1＋12＋122－1＞22，1＋12＋13＋…＋123－1＞32， 1＋12＋13＋…＋124－1＞42， 1＋12＋13＋…＋125－1＞52， 可猜想第n 个不等式为1＋12＋13＋…＋12－1＞n2.三、解答题10．解：(1)两实数相加后，结果是一个实数；两向量相加后，结果仍是一个向量． (2)从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律．即a ＋b ＝b ＋a ，a ＋b ＝b ＋a ； (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )，(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算，即a ＋x ＝0与a ＋x ＝0都有唯一解：x ＝－a 与x ＝－a .(4)在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a ＋0＝a ；在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，亦不改变该向量的方向，即a ＋0＝a .11．解：类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为PM k ，PN k 时，那么PMk 与PN k 之积是与点P 的位置无关的定值．证明：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )， 则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )在已知双曲线上，所以n 2＝b 2a2m 2－b 2.同理y 2＝b 2a2x 2－b 2.则PM k ·PN k ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．12．解：(1)设公差为d .由已知得121114614,(2)(6),a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩ 联立解得d ＝1或d ＝0(舍去)，∴a 1＝2，故a n ＝n ＋1.(2)+11n n a a＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，∴T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n2(n ＋2).∵T n ≤1n a ＋，∴n2(n ＋2)≤λ(n ＋2)．∴λ≥n2(n ＋2)2.又n2(n ＋2)2＝12(n ＋4n＋4)≤12(4＋4)＝116.∴λ的最小值为116.。
高考数学《合理推理与演绎推理》综合复习练习题(含答案)
高考数学《合理推理与演绎推理》综合复习练习题（含答案）一、单选题1．甲、乙、丙做同一道题，仅有一人做对.甲说：“我做错了.”乙说：“甲做对了.”丙说：“我做错了.”如果三人中只有一人说的是真的，以下判断正确的是（ ） A ．甲做对了B ．乙做对了C ．丙做对了D ．以上说法均不对2．观察下列算式：122=，224=，328=，4216=，…，则20222的个位数字是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．83．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月4日～2月20日在北京和张家口联合举行．为了更好地安排志愿者工作，现需要了解每个志愿者掌握的外语情况，已知志愿者小明只会德、法、日、英四门外语中的一门．甲说，小明不会法语，也不会日语：乙说，小明会英语或法语；丙说，小明会德语．已知三人中只有一人说对了，由此可推断小明掌握的外语是（ ） A ．德语B ．法语C ．日语D ．英语4．下面几种推理为合情推理的是（ ） ①由圆的性质类比出球的性质；②由11,21,n a a n ==-凭记忆求出2=n S n ；③,M N 是平面内两定点，平面内动点P 满足2PM PN a MN +=>(a 为常数)，得点P 的轨迹是椭圆；④由三角形的内角和是180，四边形内角和是360，五边形的内角和是540，由此归纳出凸多边形的内角和是(2)180n -⋅. A ．①④B ．②③C ．①②④D ．①②③④5．在2022年北京冬奥会冰雪项目中，小将苏翊鸣荣获单板滑雪男子大跳台金牌.李先生由于当天有事，错过了观看苏翊鸣夺冠的高光时刻.赛后，他向当天观看比赛的甲､乙､丙､丁四名观众询问了比赛情况，甲说：“2号或3号选手获得金牌”，乙说：“1号和3号选手都没有获得金牌”，丙说：“3号选手获得了金牌”，丁说：“2号选手获得金牌”.若这四名观众中有2人说的与实际赛况不符，则小将苏翊鸣是（ ） A ．1号选手B ．2号选手C ．3号选手D ．4号选手6．甲､乙､丙三人共同收看第24届冬奥会某项目的决赛，他们了解到该项目的参赛运动员来自丹麦､瑞典､挪威､芬兰､冰岛这五个北欧国家，三人做了一个猜运动员国籍的游戏.他们选定了某位运动员，甲说：此运动员来自丹麦或挪威；乙说：此运动员一定不是瑞典和挪威的；丙说：此运动员来自芬兰或冰岛.最后证实，甲､乙､丙三人之中有且只有一人的猜测是正确的，则此运动员来自（ ） A ．丹麦B ．挪威C ．芬兰D ．冰岛7．给出如下“三段论”的推理过程：已知'()f x 是函数()f x 的导函数，如果0'()0f x =，那么0x x =是函数()f x 的极值点，（大前提）；因为函数3()f x x =在0x =处的导数值'(0)0f =，（小前提）；所以0x =是函数3()f x x =的极值点.（结论）则上述推理错误的原因是（ ） A ．大前提错误B ．小前提错误C ．大前提､小前提都错误D ．推理形式错误8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11a =,2n n S n a =*()n N ∈,可归纳猜想出n a 的表达式为A ．21nn + B ．311n n -+ C ．212n n ++ D ．22n n+ 9．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如果对于正整数m ，经过n 步变换，第一次到达1，就称为n 步“雹程”.如取3m =，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得7n =.则下列命题错误的是（ ） A ．若2n =，则m 只能是4 B ．当17m =时，12n =C ．随着m 的增大，n 也增大D ．若7n =，则m 的取值集合为{}3,20,21,12810．观察下面数阵，则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（ ） A ．545B ．547C ．549D ．55111．在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有2个正三角形），然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有11个正三角形），这个过程称之为迭代．如果在边长为27的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形（图中共有7个正三角形），则图3中最小的正三角形面积为（ ）A ．336B ．312C ．34D ．93412．数学源于生活，数学在生活中无处不在!学习数学就是要学会用数学的眼光看现实世界!1906年瑞典数学家科赫构造了能够描述雪花形状的图案，他的做法如下：从一个边长为2的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边，分别向外作正三角形，再去掉底边（如图①､②､③等）.反复进行这一过程，就得到雪花曲线.不妨记第(1,2,3,)n n =⋅⋅⋅个图中的图形的周长为n a ，则5a =（ ） A ．2569B ．25627C ．51227D ．51281二、填空题13．运动会上甲、乙、丙、丁四人参加100米比赛，A ，B ，C ，D 四位旁观者预测比赛结果，A 说：甲第三，乙第四；B 说：甲第二，丙第一；C 说：乙第二，丙第三；D 说：乙第三，丁第一．比赛结束后发现，四位旁观者每人预测的两句话中，有且只有一句是正确的，比赛结果没有并列名次，则甲是第______名． 14．观察下列各式：2318-=， 27148-=，2111120-=，2151124-=， …据此规律，推测第n 个式子为___________.15．甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委大，甲与体委的年龄不同，体委比乙的年龄小．据此推断班长是________． 16．如图，连接△ABC 的各边中点得到一个新的111A B C △，又连接111A B C △的各边中点得到222A B C △，如此无限继续下去，得到一系列三角形：ABC ，111A B C △，222A B C △，…，这一系列三角形趋向于一个点M ．已知A （0，0），B （3，0），C （2，2），则点M 的坐标是______．三、解答题17．已知数列{}n a 中，112a =，()12n n n a n a +=+． (1)求2a ，3a ，4a ，5a 的值；(2)根据（1）的计算结果，猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明．18．已知数列1，112+，1123++，11234+++， (1123)+++⋅⋅⋅+（n *∈N ）的前n 项和为n S ．(1)求2S ，3S ，4S ；(2)猜想前n 项和n S ，并证明．19．阅读以下案例，并参考此案例化简0112233434343434C C C C C C C C +++．案例：观察恒等式()()()523111x x x +=++左右两边2x 的系数．因为等式右边()()()()230122031223222333311C C C C C C C x x x x x x x ++=+++++，所以等式右边2x 的系数为011223232323C C C C C C ++， 又等式左边2x 的系数为25C ，所以01122322323235C C C C C C C ++=．20．下表称为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是我国古代数学伟大成就之一．杨辉三角中，我们称最上面一行为第0行，第1行有2个数，第2行有3个数，…，第10行有11个数．(1)求杨辉三角中第10行的各数之和；(2)求杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和．21．已知2223sin 30sin 90sin 1502++=，2223sin 5sin 65sin 1252++=，2223sin 21sin 81sin 141.2++=通过观察等式的规律，写出一般性规律的命题，并给出证明．22．设()1n f n n +=，()()1ng n n =+，*N n ∈．(1)当1,2,3,4n =时，试比较()()f ng n 与1的大小； (2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．23．开普勒说：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密.”波利亚也曾说过：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题.”在教材选修1—2第二章《推理与证明》的学习中，我们知道，很多平面图形可以推广为空间图形.如正三角形可以推广到正四面体，圆可以推广到球，平行四边形可以推广到平行六面体等.如图1，在三角形ABC 中，已知AB AC ⊥，若AD BC ⊥，则2AB BD BC =⋅.类比该命题：(1)如图2，三棱锥A —BCD 中，已知AD ⊥平面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在的平面内的射影为M ，你能得出什么结论； (2)判断该命题的真假，并证明.24．在平面直角坐标系内，我们知道ax ＋by ＋c ＝0（a 、b 不全为0）是直线的一般式方程．而在空间直角坐标系内，我们称ax ＋by ＋cz ＋d ＝0（a 、b 、c 不全为0）为平面的一般式方程．．．．．．．．． (1)求由点()2,0,0A ，()0,3,0B ，()0,0,4C 确定的平面的一般式方程；(2)证明：(),,n a b c =为平面ax ＋by ＋cz ＋d ＝0（a 、b 、c 不全为0）的一个法向量；(3)若平面α的一般式方程为ax ＋by ＋cz ＋d ＝0（a 、b 、c 不全为0），()000,,P x y z为平面α外一点，求点P 到平面α的距离.参考答案1．C2．B3．B4．A5．C6．B7．A8．D9．C10．C11．C12．C 13．二14．()()2411821n n n --=- 15．乙 16．52,33⎛⎫ ⎪⎝⎭17.(1)因为112a =，()12n n n a n a +=+，所以211233a a ==． 因为223a =，所以322344a a ==． 因为334a =，所以433455a a ==． 因为445a =，所以544566a a ==． (2)根据（1）的计算结果，猜想数列{}n a 的通项公式为1n na n =+． 证明如下：①当n ＝1时，等式成立． ②假设当n ＝k 时，1k ka k =+成立． 当n ＝k +1时，()()111221121k k k k k k a kk a k k k k +++====+++++⋅+． 则n ＝k +1时，等式成立．由①②可知，对任意的n +∈N ，1n na n =+． 18．(1)2141123S =+=+，32131232S S =+=++，431812345S S =+=+++；(2)猜想前n 项，21n n S n =+证明：当1n =时，111S ==,成立， 当*,n k k N =∈时，假设命题成立，即21k kS k =+， 那么当1n k =+时，11211123 (1)k k k k S S a k k ++=+=+++++++， ()()()()()()()()222221221121212k k k k k k k k k k k +++=+==+++++++ ()()()2121211k k k k ++==+++， 即当1n k =+时，命题成立，综上可知当*n ∈N 时，命题成立，即21n nS n =+. 19．观察恒等式()()()734111x x x +=++左右两边3x 的系数． 因为等式右边()()3411++x x()()01223304132234333344444C C C C C C C C C =+++++++x x x x x x x ，所以等式右边3x 的系数为0112233434343434C C C C C C C C +++， 又等式左边3x 的系数为37C ，所以011223343343434347C C C C C C C C C +++=．20．（1）杨辉三角中第10行的各数之和为0121010101010C +C C C +++102=1024=． （2）杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和为22222234515C C C C C +++++32222334515C C C C C =+++++ 322244515C C C C =++++3225515C C C =+++321515C C ==+316C =161514560321⨯⨯==⨯⨯．21．一般形式：()()2223sin sin 60sin 1202ααα++︒++︒=， 证明：左边()()1cos 21201cos 22401cos 2222ααα-+︒-+︒-=++()()31cos 2cos 2120cos 224022ααα⎡⎤=-++︒++︒⎣⎦ 31cos2cos2cos120sin2sin120cos2cos240sin 2sin 24022ααααα⎡⎤=-+-+-︒⎣⎦31113cos 2cos 22cos 2222222ααααα⎡⎤=---==⎢⎥⎣⎦ 右边 ， ∴原式得证．22．（1）∵()2111f ==，()1122g ==，∴()()11f g <，()()111f g <． ∵()3228f ==，()2239g ==，∴()()22f g <，()()212f g <． ∵()43381f ==，()33464g ==，∴()()33f g >，()()313f g >． ∵()5441024f ==，()445625g ==，∴()()44f g >，()()414f g >． （2）猜想：当3n ≥，*N n ∈时，有()()1f n g n >． 证明：①当3n =时，猜想成立．②假设当n k =（3k ≥，*N k ∈）时猜想成立，()()()111k kf k kg k k +=>+． 当1n k =+，()()()()()()()()()222221111111112122k k k k k k k k f k k k k k g k k k k k k k +++++++++++==⋅>+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．∵()()2212120k k k k k +=++>+>，∴()()2112k k k +>+，则()()12112k k k k +⎡⎤+>⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，即()()221112k k k k k +++>+⎡⎤⎣⎦， ∴当1n k =+时，猜想成立. 由①②知，当3n ≥，*N n ∈时，有()()1f n g n >． 23．(1)命题是：在三棱锥A BCD -中，已知AD ⊥平面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在的平面内的射影为M ，则有2ABC BCM BCD S S S =⋅△△△；(2)该命题为真命题. 证明如下：连接DM 并延长交BC 于点E ，连接AE ，因为AD ⊥平面ABC ，AE ､BC ⊂平面ABC ， 所以BC AD ⊥，AE AD ⊥.因为AM ⊥平面BCD ，DE ､BC ⊂平面BCD ， 所以BC AM ⊥，AM DE ⊥. 因为ADAM A =，所以BC ⊥平面ADE . 因为AE ､DE ⊂平面ADE ， 所以DE BC ⊥，AE BC ⊥， 因为AE AD ⊥，AM DE ⊥， 所以，cos EM AEAED AE DE∠==， 所以，2AE EM DE =⋅，所以，2111222BC AE EM BC DE BC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即2ABC BCM BCD S S S =⋅△△△. 24．（1）将点()2,0,0A ，()0,3,0B ，()0,0,4C 代入后得：203040a d b d c d +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，不妨令1d =-，则111,,234a b c ===， 故平面的一般方程为：10234x y z ++-=，即6x ＋4y ＋3z －12＝0； （2）记平面α的方程为ax ＋by ＋cz ＋d ＝0，在平面α上任取一条直线，该直线上任取两个不同的点()111,,M x y z 和()222,,N x y z ，则M α∈，N α∈，故有11122200ax by cz d ax by cz d +++=⎧⎨+++=⎩； 因为()212121,,MN x x y y z z =---，(),,n a b c =，所以()()()()()2121212221110n MN a x x b y y c z z ax by cz ax by cz d d ⋅=-+-+-=++-++=-+=， 故n MN ⊥所以n 垂直于平面α上的任意一条直线，所以n 是平面α的一个法向量．（3）由（2）知：(),,n a b c =为平面ax ＋by ＋cz ＋d ＝0（a 、b 、c 不全为0）的一个法向量， 任取平面α上一点()111,,Q x y z ，则1110ax by cz d +++=，点P 到平面α的距离d 是向量PQ 在n 的方向上的投影的模，于是(1n PQa x d n ⋅===，所以点P 到平面α。
2015届高考数学总复习 第六章 第五节合情推理与演绎推理课时精练 理
第五节 含绝对值的不等式1．若关于x 的不等式||x －a <1的解集为()1，3，则实数a 的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2答案：A2．已知p ：||x ≤2，q ：0≤x ≤2，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：B3．(2013·株洲模拟)不等式(1＋x )(1－|x |)>0的解集是( )A ．{x |0≤x <1}B ．{x |x <0且x ≠1}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |x <1且x ≠－1}解析：当x ≥0时，(x ＋1)(x －1)<0，∴0≤x <1.当x <0时，(x ＋1)2>0，∴x ≠－1，综上可知，选D.答案：D4．(2013·佛山一模)已知集合M ＝{x ||x －4|＋|x －1|＜5}，N ＝{x |a ＜x ＜6}，且M ∩N ＝(2，b )，则a ＋b ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：由集合M 中的不等式，解得：0＜x ＜5，所以M ＝{x |0＜x ＜5}，因为N ＝{x |a ＜x ＜6}，且M ∩N ＝(2，b )，所以a ＝2，b ＝5，于是a ＋b ＝2＋5＝7.故选B.答案：B5．已知a ∈R ，则“a <2”是“|x －2|＋|x |>a 恒成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵|x －2|＋|x |≥|(x －2)－x |＝2，∴当a <2时，不等式成立，反之也成立．故选C.答案：C6．(2013·广州一模)不等式|x －1|≤x 的解集是________________．解析：当x ≥1时，x －1≤x ，即－1≤0；当x ＜1时，1－x ≤x ，x ≥12；所以原不等式解集是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞7．(2013·汕尾二模)不等式2|x |＋|x －1|＜4的解集为________________．解析：当x ＜0时，不等式2|x |＋|x －1|＜4转化为：－2x ＋1－x ＜4，解得－1＜x ＜0， 当0≤x ≤1时，不等式2|x |＋|x －1|＜4转化为：2x ＋1－x ＜4，解得0≤x ≤1，当x ＞1时，不等式2|x |＋|x －1|＜4转化为：2x ＋x －1＜4，解得1＜x ＜53， 综上不等式的解集为：⎝⎛⎭⎪⎫－1，53. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，538．已知a 和b 是任意非零实数，则|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为________．解析：∵|2a ＋b |＋|2a －b |≥|2a ＋b ＋2a －b |＝4|a |对于任意的a ，b 恒成立，∴最小值为4.答案：49．若不等式|x －a |＋|x －2|≥1对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由|x －a |＋|x －2|≥|(x －a )－(x －2)|＝|a －2|.∴|a －2|≥1解之得a ≤1或a ≥3.答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)10．若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________________．解析：因为|x ＋1|＋|x －2|≥|x ＋1－(x －2)|＝3依题意有|a |≥3，解得a ≤－3或a ≥3. 答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)11．不等式1x 2－x ≤1|x |的解集是________．解析：当x 2－x <0，即0<x <1时，不等式成立；当x 2－x >0，即x <0或x >1时，x 2－x ≥|x |，∴x －x 2≤x ≤x 2－x .解得x ≥2或x ≤0，∴x ≥2或x ＜0.综上可知，不等式的解集为(－∞，0)∪(0,1)∪[2，＋∞)．12．(2013·天津模拟)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，则集合A ∩B ＝________.解析：|x ＋3|＋|x －4|≤9，当x <－3时，－x －3－(x －4)≤9，即－4≤x <－3；当－3≤x ≤4时，x ＋3－(x －4)＝7≤9恒成立；当x >4时，x ＋3＋x －4≤9，即4<x ≤5.综上所述，A ＝{x |－4≤x ≤5}．又∵x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)，∴x ≥24t ·1t －6＝－2，当t ＝12时取等号． ∴B ＝{x |x ≥－2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}．答案：{x |－2≤x ≤5}13．设函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R .(1)不等式f (x )≤a 的解集为{x |0≤x ≤1}，求a 的值；(2)若g (x )＝1f （x ）＋f （x ＋1）＋m的定义域为R ，求实数m 的取值范围．．解析：(1)由f (x )≤a ，得1－a 2≤x ≤1＋a 2. ∵不等式f (x )≤a 的解集为{x |0≤x ≤1}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2＝0，1＋a 2＝1.解得a ＝1. (2)由g (x )＝1f （x ）＋f （x ＋1）＋m ＝1|2x －1|＋|2x ＋1|＋m的定义域为R 知， 对任意实数x ，有|2x －1|＋|2x ＋1|＋m ≠0恒成立．∵|2x －1|＋|2x ＋1|≥|(2x －1)－(2x ＋1)|＝2，∴m >－2，即实数m 的取值范围为(－2，＋∞)．14．已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )<4的解集为M .(1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |.(1)解析：f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1.当x <－1时，由－2x <4，得－2<x <－1；当－1≤x ≤1时，f (x )＝2<4恒成立；当x >1时，由2x <4，得1<x <2，∴M ＝{x |－2＜x ＜2}．(2)证明：当a ，b ∈M 时，－2<a <2，－2<b <2，∵4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)(4－b 2)<0， ∴4(a ＋b )2<(4＋ab )2.∴2|a ＋b |<|4＋ab |.。
高考理科数学一轮复习合情推理与演绎推理专题练习题
课时作业39 合情推理与演绎推理一、选择题1．(1)已知a 是三角形一边的长，h 是该边上的高，则三角形的面积是12ah ，如果把扇形的弧长l ，半径r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为12lr ；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2，则(1)(2)两个推理过程分别属于( A )A ．类比推理、归纳推理B ．类比推理、演绎推理C ．归纳推理、类比推理D ．归纳推理、演绎推理解析：(1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 1＝1，S n ＝n 2a n ，试归纳猜想出S n 的表达式为( A ) A ．S n ＝2nn ＋1B ．S n ＝2n －1n ＋1C ．S n ＝2n ＋1n ＋1D ．S n ＝2n n ＋2解析：S n ＝n 2a n ＝n 2(S n －S n －1)，∴S n ＝n 2n 2－1S n －1，S 1＝a 1＝1，则S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85.∴猜想得S n ＝2nn ＋1.故选A. 3．下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是( C )A ．n (n ＋1)B ．n n －12C ．n n ＋12D ．n (n －1)解析：由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，则第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.4．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，则52 018的末四位数字为( B )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 125解析：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，…，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m ＋4k与5m (k ∈N *，m ＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 018＝4×503＋6，所以52 018与56的后四位数字相同，为5 625，故选B.5．(2019·山西孝义调研)我们知道：在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x ＋2y＋2z ＋3＝0的距离为( B )A ．3B ．5 C.5217D ．3 5解析：类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(x 0，y 0，z 0)到直线Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2，则所求距离d ＝|2＋2×4＋2×1＋3|12＋22＋22＝5，故选B.6．给出以下数对序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)……记第i行的第j个数对为a ij，如a43＝(3,2)，则a nm＝( A )A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)解析：由前4行的特点，归纳可得：若a nm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴a nm＝(m，n－m＋1)．7．(2019·惠州市调研考试)《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( B ) A ．33 B ．34 C ．36D ．35解析：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.二、填空题8．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，…，观察上述结果，可归纳出的一般结论为f (2n )≥n ＋22(n ∈N *)．解析：本题考查归纳推理．由归纳推理可得f (2n)≥n ＋22(n ∈N *)．9．如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是33.解析：由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个……由此可得第n 次操作后，三角形共有4＋3(n －1)＝3n ＋1个．当3n ＋1＝100时，解得n ＝33.10．在正项等差数列{a n }中有a 41＋a 42＋…＋a 6020＝a 1＋a 2＋…＋a 100100成立，则在正项等比数列{b n }中，类似的结论为20b 41b 42b 43…b 60＝100b 1b 2b 3…b 100.解析：结合等差数列和等比数列的性质，类比题中的结论可得，在正项等比数列{b n }中，类似的结论为20b 41b 42b 43…b 60＝100b 1b 2b 3…b 100.11．(2019·安徽界首模拟)埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单分数和的形式．例如25＝13＋115可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人12，不够，每人13，余13，再将这13分成5份，每人得115，这样每人分得13＋115.形如2n (n ＝5,7,9,11，…)的分数的分解：25＝13＋115，27＝14＋128，29＝15＋145……按此规律，211＝16＋166；2n ＝1n ＋12＋1nn ＋12(n ＝5,7,9,11，…)． 解析：27＝14＋128表示两个面包分给7个人，每人13，不够，每人14，余14，再将这14分成7份，每人得128，其中4＝7＋12，28＝7×7＋12；29＝15＋145表示两个面包分给9个人，每人14，不够，每人15，余15，再将这15分成9份，每人得145，其中5＝9＋12，45＝9×9＋12，按此规律，211表示两个面包分给11个人，每人15，不够，每人16，余16，再将这16分成11份，每人得166，所以211＝16＋166，其中6＝11＋12，66＝11×11＋12.由以上规律可知，2n ＝1n ＋12＋1nn ＋12.12．(2019·潍坊市统一考试)“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、……、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、……、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，……、癸亥，60个为一周，周而复始，循环记录.2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的( C )A ．己亥年B ．戊戌年C ．庚子年D ．辛丑年解析：由题意知2014年是甲午年，则2015到2020年分别为乙未年、丙申年、丁酉年、戊戌年、己亥年、庚子年．13．(2019·福建宁德一模)我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有( C )A ．58B ．59C ．60D ．61解析：小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25,20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8,6,5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33＋25＋20－(8＋6＋5)＋1＝60.故选C.14．(2019·安徽质量检测)某参观团根据下列约束条件从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：①若去A镇，也必须去B镇；②D，E两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．则该参观团至多去了( C )A．B，D两镇B．A，B两镇C．C，D两镇D．A，C两镇解析：若去A镇，根据①可知一定去B镇，根据③可知不去C镇，根据④可知不去D 镇，根据②可知去E镇，与⑤矛盾，故不能去A镇；若不去A镇，根据⑤可知也不去E镇，再根据②知去D镇，再根据④知去C镇，再根据③可知不去B镇，再检验每个条件都成立，所以该参观团至多去了C，D两镇．故选C.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·益阳、湘潭调研考试)《数书九章》中给出了“已知三角形三边长求三角形面积的求法”，填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代人具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．若把这段文字写成公式，即S＝14[c2a2－c2＋a2－b222]，现有周长为22＋5的△ABC满足sin A sin B sin C＝(2－1)5(2＋1)，用上面给出的公式求得△ABC的面积为( B )A.32B.34C.52D.54解析：由正弦定理得sin A sin B sin C＝a b c＝(2－1)5(2＋1)，可设三角形的三边分别为a＝(2－1)x，b＝5x，c＝(2＋1)x，由题意得(2－1)x＋5x＋(2＋1)x＝(22＋5)x＝22＋5，则x＝1，故由三角形的面积公式可得△ABC的面积S＝1 4[2＋122－12－3＋22＋3－22－522]＝34，故选B.16．(2019·重庆市质量调研)某学生的素质拓展课课表由数学、物理和体育三门学科组成，且各科课时数满足以下三个条件：①数学课时数多于物理课时数；②物理课时数多于体育课时数；③体育课时数的两倍多于数学课时数．则该学生的素质拓展课课表中课时数的最小值为12.解析：解法1：设该学生的素质拓展课课表中的数学、物理、体育的课时数分别为x，y，z ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥1，y －z ≥1，2z －x ≥1，x ，y ，z ∈N *，则该学生的素质拓展课课表中的课时数为x ＋y ＋z .设x ＋y ＋z ＝p (x －y )＋q (y －z )＋r (2z －x )＝(p －r )x ＋(－p ＋q )y ＋(－q ＋2r )z ，比较等式两边的系数，得⎩⎪⎨⎪⎧p －r ＝1，－p ＋q ＝1，－q ＋2r ＝1，解得p ＝4，q ＝5，r ＝3，则x ＋y ＋z ＝4(x －y )＋5(y－z )＋3(2z －x )≥4＋5＋3＝12，所以该学生的素质拓展课课表中的课时数的最小值为12.解法2：设该学生的素质拓展课课表中的数学、物理、体育的课时数分别为x ，y ，z ，则2z >x >y >z .由题意，知z 的最小值为3，由此易知y 的最小值为4，x 的最小值为5，故该学生的素质拓展课课表中的课时数x ＋y ＋z 的最小值为12.。
高考理科第一轮复习练习(6.5合情推理与演绎推理)
课时提升作业(三十九)一、选择题1.(2013·上饶模拟)观察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…,可以得出的一般结论是( )(A)n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=n2(B)n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2(C)n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=n2(D)n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)22.(2013·宝鸡模拟)观察下列数1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是( )(A)13,39,123 (B)42,41,123(C)24,23,123 (D)28,27,1233.如图是2012年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是( )4.(2013·海口模拟)记S n是等差数列{a n}前n项的和,T n是等比数列{b n}前n项的积,设等差数列{a n}公差d ≠0,若对小于2011的正整数n,都有S n=S2011-n成立,则推导出a1006=0.设等比数列{b n}的公比q≠1,若对于小于23的正整数n,都有T n=T23-n成立,则( )(A)b11=1 (B)b12=1(C)b13=1 (D)b14=15.将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20,…为“梯形数列”．根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差，即a2 012－5=( )(A)1 009×2 011(B)1 009×2 010 (C)1 009×2 009 (D)1 010×2 0116.已知f 1(x)=sinx+cosx,记f 2(x)=f '1(x),f 3(x)=f '2(x),…,f n (x)=f 'n-1(x)(n ∈N +且n ≥2),则f 1(错误！未找到引用源。
2021年高考分类题库考点：27 合情推理与演绎推理 Word版含解析(数理化网)
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考点28 合情推理与演绎推理
一、选择题
A.乙可以知道四人的成绩
B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
【命题意图】考查合情推理与演绎推理知识,意在考查学生的理解和推理判断能力.
【解析】选D.由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好,则甲、丁一人优秀一人良好,乙看到丙的结果则知道自己的结果,丁看到甲的结果则知道自己的结果.
A.乙可以知道四人的成绩
B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
【命题意图】考查合情推理与演绎推理知识,意在考查学生的理解和推理判断能力.
【解析】选D.由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好,则甲、丁一人优秀一人良好,乙看到丙的结果则知道自己的结果,丁看到甲的结果则知道自己的结果.
二、填空题
①记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是.
②记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是.
【命题意图】本题主要考查统计中的散点图,意在培养学生的识图能力.
【解析】作图可得A1B1中点纵坐标比A2B2,A3B3中点纵坐标大,所以第一位选Q1,
p i表示A i与B i的纵坐标之和比上横坐标之和,作图将A i和B i的横纵坐标分别相加得到C1,C2,C3三点,分别连接OC i,可知OC2的斜率最大,故选p2.
答案:Q1p2
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④合情推理与演绎推理备选习题
备选习题【历年真题】1. 观察下列等式；C 15＋C 55＝23－2，C 19＋C 59＋C 99＝27＋23，C 113＋C 513＋C 913＋C 1313＝211－25，C 117＋C 517＋C 917＋C 1317＝215＋27， ……由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，C 14n ＋1＋C 54n ＋1＋C 94n ＋1＋…＋C 4n ＋14n ＋1＝ .解析：由题意：第一个2的指数总比同行组合数下标少2，故为24n －1.第二个2的指数为奇数，故为22n －1.又奇数行为相减，偶数行为相加，故有(－1)n .答案：24n －1＋(－1)n ·22n －12.(2009·福建）五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学所需拍手一次．已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为__ __. 解析：由题意可知其构成如下数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，… 通过观察可知其每隔4个数必有一个数能被3整除． 因为100÷4＝25，故拍手总数为25次，又据题意五个同学排成一圈， 故应该为25÷5＝5. 答案：53.(2008·江苏) 将全体正整数排成一个如下的三角形数阵：12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15… … … … … …根据以上排列规律，数阵的第n (n ≥3)行中从左到右的第3个数是 .解析：由题意知该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，……，第n 行有n 个数，则第n－1行的最后一个数为(n －1)(1＋n －1)2＝n 22－n 2，所以第n 行的第3个数为n 22－n2＋3.答案：n 22－n2＋34.（2007·福建）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”“平行关系”等，如果集合A 中元素之间的一个关系“～”满足以下三个条件： (1)自反性：对于任意a ∈A ，都有a ～a ；(2)对称性：对于a ，b ∈A ，若a ～b ，则有b ～a ；(3)传递性：对于a ，b ，c ∈A ，若a ～b ，b ～c ，则有a ～c .则称“～”是集合A 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立)．请你再列出两个等价关系：答案不唯一，如“图形的全等”“图形的相似”“非零向量的共线”“命题的充要条件”等等．.解析：此处用命题等价性或充要条件，找出两个具有自反性、对称性、传递性的命题即可，如“图形的全等”“图形的相似”“非零向量的共线”“命题的充要条件”等【模拟质检】1. 对“a 、b 、c ”是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b 与a <b 及a ＝b 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：①②正确． 答案：C2. 已知a 1＝1，a n ＋1>a n ，并且(a n ＋1－a n )2－2(a n ＋1＋a n )＋1＝0，计算a 2、a 3，猜想a n ＝( ) A ．n B ．n 2C ．n 3 D.n ＋3－n 解析：a 2＝4＝22，a 3＝9＝32，故猜想a n ＝n 2. 答案：B3.（2010·青岛质检）把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是 ( )A ．27B ．28C ．29D ．30解析：易知通项公式为a n ＝n (n ＋1)2，则a 7＝7×82＝28.答案：B4. 下列推理是归纳推理的是 ( ) A ．A ，B 为定点，动点P 满足|P A |＋|PB |＝2a >|AB |，得P 的轨迹为椭圆B ．由a 1＝a ，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理，故应选B. 答案：B5. 如果两个向量a 、b 共线，一定存在λ∈R 使a ＝λb .因为0与任何向量共线，因此对于任何向量a ，一定有λ∈R 使a ＝λ0.对以上三段论，下面说法正确的是 ( ) A ．推理完全正确 B ．大前提不正确 C ．小前提不正确 D ．推理形式不正确 解析：大前提中应加上“b ≠0”这一条件． 答案：B6. 观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可以猜想当n ≥2时有 .解析：本小题考查了类比推理．答案：1＋122＋…＋1n 2<2n －1n7.（2010·滨州质检）如图所示，图(a)是棱长为1的小正方体，图(b)、图(c)是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n 层．第n 层的小正方体的个数记为S n .解答下列问题：(1)按照要求填表：(2)S 10＝55；(3)S n ＝n (n ＋1)2.解析：第1层：1个，第2层：3＝(1＋2)个，第3层：6＝(3＋3)个，第4层：6＋4＝10(个)．每层的个数为上一层个数加上本层的层数．所以S 10＝55，S n ＝n (n ＋1)2＝1＋2＋3＋…＋n .答案：（1）10（2）55n(n+1)28. 近几年来，在欧美等国家流行一种“数独”推理游戏，游戏规则如下：①在9×9的九宫格子中，分成9个3×3的小九宫格，用1到9这9个数字填满整个格子； ②每一行与每一列都有1到9的数字，每个小九宫格里也有1到9的数字，并且一个数字在每行、每列及每个小九宫格里只能出现一次，既不能重复也不能少． 求A 处和B 处应填入的数字分别是多少，并说明理由．解：A 的值不能等于同行的3,5,7,9，同时不等于同列的4,2,6,8， 所以A ＝1，同理B ＝3.。
高三数学合情推理与演绎推理试题
高三数学合情推理与演绎推理试题1.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市.丙说：我们三个去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为__________【答案】A【解析】由丙说可知，乙至少去过A,B,C中的一个城市，由甲说可知，甲去过A,C且比乙去过的城市多，故乙只去过一个城市，且没去过C城市，故乙只去过A城市．【考点】推理．2.表示不超过的最大整数，例如：．依此规律，那么（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为；所以故选A.【考点】合情推理.3. [2014·长春调研]用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n条“金鱼”需要火柴棒的根数为________．【答案】6n＋2【解析】由图形间的关系可以看出，第一个图中有8根火柴棒，第二个图中有8＋6根火柴棒，第三个图中有8＋2×6根火柴棒，以此类推第n个“金鱼”需要火柴棒的根数是8＋6(n－1)，即6n ＋2.4.观察等式：，，.照此规律，对于一般的角，有等式 .【答案】【解析】，，，所以.【考点】归纳推理.5.已知，经计算得，，，，观察上述结果，可归纳出的一般结论为 .【答案】【解析】,,,,由归纳推理得，一般结论为，【考点】归纳推理.6.（2013•湖北）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为．记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数，正方形数N（n，4）=n2，五边形数，六边形数N（n，6）=2n2﹣n，…可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）=_________．【答案】1000【解析】原已知式子可化为：，，，，由归纳推理可得，故=1100﹣100=1000故答案为：10007.观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x，y）的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解（x，y）的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解（x，y）的个数为12 …．则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为（）A．76B．80C．86D．92【答案】B【解析】观察可得不同整数解的个数4，8，12，…可以构成一个首项为4，公差为4的等差数列，通项公式为an =4n，则所求为第20项，所以a20=80故选B．8.观察下列各式：则___________.【答案】123【解析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即123，故答案为：123．【考点】数列的简单应用、推理与证明.9.在计算“1×2+2×3+...+n（n+1）”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：k（k+1）=由此得1×2=...............相加，得1×2+2×3+...+n（n+1）.类比上述方法，请你计算“1×2×3×4+2×3×4×+....+”，其结果是_________________.（结果写出关于的一次因式的积的形式）【答案】【解析】先改写第k项：由此得……相加，得．【考点】归纳推理.10.将正偶数、、、、按表的方式进行排列，记表示第行和第列的数，若，则的值为（）第列第列第列第列第列第行第行第行第行第行【答案】C【解析】由表所反映的信息来看，第行的最大偶数为，则，由于，解得；另一方面奇数行的最大数位于第列，偶数行最大数位于第列，第行最大数为，此数位于第行第列，因此位于第行第列，所以，，故，选C.【考点】推理11.将正偶数、、、、按表的方式进行排列，记表示第行和第列的数，若，则的值为（）第列第列第列第列第列第行第行第行第行第行A. B. C. D.【答案】C【解析】由表所反映的信息来看，第行的最大偶数为，则，由于，解得；另一方面奇数行的最大数位于第列，偶数行最大数位于第列，第行最大数为，此数位于第行第列，因此位于第行第列，所以，，故，选C.【考点】推理12.某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为级需要的天数为，等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数【答案】2700【解析】由表格知，∴．【考点】归纳推理，数列的通项公式．13.已知数列{an }满足a1＝2，an＋1＝ (n∈N*)，则a3＝________，a1.a2.a3 (2007)________．【答案】－，3【解析】(解法1)分别求出a2＝－3、a3＝－、a4＝、a5＝2，可以发现a5＝a1，且a1·a2·a3·a4＝1，故a1·a2·a3·…·a2 007＝a2 005·a2 006·a2 007＝a1·a2·a3＝3.(解法2)由a n ＋1＝，联想到两角和的正切公式，设a 1＝2＝tanθ，则有a 2＝tan，a 3＝tan，a 4＝tan，a 5＝tan(π＋θ)＝a 1，….则a 1·a 2·a 3·a 4＝1，故a 1·a 2·a 3·…·a 2 007＝a 2 005·a 2 006·a 2 007＝a 1·a 2·a 3＝3.14. 下表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,记第i 行第j 列的数为a ij (i≥j,i,j ∈N *),则a 53等于 ,a mn = (m≥3)., ,,… 【答案】【解析】由题意可知第一列首项为,公差d=-=,第二列的首项为,公差d=-=, 所以a 51=+4×=,a 52=+3×=, 所以第5行的公比为q==,所以a 53=a 52q=×=.由题意知a m1=+(m-1)×=, 第m 行的公比q=, 所以a mn =a m1q n-1=×=,m≥3.15. 观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第五个等式为 . 【答案】13+23+33+43+53+63=212【解析】由13+23=(1+2)2=32;13+23+33=(1+2+3)2=62;13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102得,第五个等式为13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212.16. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n 个图形包含f(n)个小正方形.(1)求出f(5).(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系式,并根据你得到的关系式求f(n)的关系式.【答案】(1)41 (2) f(n)=2n 2-2n+1【解析】(1)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25, ∴f(5)=25+4×4=41. (2)由f(2)-f(1)=4=4×1. f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, …得f(n+1)-f(n)=4n.∴f(2)-f(1)=4×1,f(3)-f(2)=4×2,f(4)-f(3)=4×3,…f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2),f(n)-f(n-1)=4·(n-1)∴f(n)-f(1)=4[1+2+…+(n-2)+(n-1)]=2n(n-1),∴f(n)=2n2-2n+1.17.已知…，若（a，t均为正实数），则类比以上等式，可推测a，t的值，a+t= .【答案】35.【解析】照此规律：a=6,t=a2-1=35.【考点】推理证明.18.观察下列等式：；；；……则当且时， .（最后结果用表示）．【答案】．【解析】当时，为第一个式子，此时，当时，为第二个式子，此时，当时，为第三个式子，此时，由归纳推理可知观察下列等式：，故答案为：．【考点】归纳推理．，则；类比此性质，如图，在四19.在中，，斜边上的高为h1面体中，若，，两两垂直，底面上的高为，则得到的正确结论为_________________________.【答案】【解析】连接且延长交于点，连，由已知，在直角三角形中，，即，容易知道⊥平面，所以，在直角三角形中，，所以，，故.（也可以由等体积法得到）【考点】1.等面积法应用；2.勾股定理.20.给出下列等式：观察各式：，则依次类推可得；【答案】18【解析】由于，所以【考点】归纳推理点评：做归纳推理的题目，关键是找出里面的规律。
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第五节合情推理与演绎推理一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．下列说法正确的是()A．合情推理就是归纳推理B．合理推理的结论不一定正确，有待证明C．演绎推理的结论一定正确，不需证明D．类比推理是从特殊到一般的推理解析类比推理也是合情推理，因此，A不正确．合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，有待进一步证明，故B正确．演绎推理在大前提，小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确，否则就不正确，故C的说法不正确．类比推理是由特殊到特殊的推理，故D的说法也不正确．答案 B2．观察下式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则第n个式子是()A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2解析方法1：由已知得第n个式子左边为2n－1项的和且首项为n，以后是各项依次加1，设最后一项为m，则m－n＋1＝2n－1，∴m＝3n－2.方法2：特值验证法．n ＝2时，2n －1＝3,3n －1＝5，都不是4，故只有3n －2＝4，故选C.答案 C3．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合格的图形为( )A.B. C. D.解析 表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个应该是阴影矩形．答案 A4．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P —ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( ) A.18B.19C.164D.127解析 正四面体的内切球与外接球的半径之比为13，故V 1V 2＝127.答案 D5．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( ) A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2>2n解析 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确；选项B 、C 不是归纳推理，因此选A.答案 A6．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12,2×6,3×4三种，其中3×4是这三种分解中，两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p ×q (p ≤q 且p ，q ∈N *)是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数f (n )＝p q ，例如f (12)＝34.关于函数f (n )有下列叙述：①f (7)＝17；②f (24)＝38；③f (28)＝47；④f (144)＝916.其中所有正确叙述的序号为( )A ．①②B ．①③C ．①②④D ．①③④解析 利用题干中提供的新定义信息可得，对于①，∵7＝1×7，∴f (7)＝17，①正确；对于②，∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，∴f (24)＝46＝23，②不正确；对于③，∵28＝1×28＝2×14＝4×7，∴f (28)＝47，③正确；对于④，∵144＝1×144＝2×72＝3×48＝4×36＝6×24＝8×18＝9×16＝12×12，∴f (144)＝1212＝1，④不正确．答案 B二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为__________．解析 由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3,4，….因此，第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.答案 13＋23＋33＋43＋53＋63＝2128．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有__________个小正方形．解析 第1～5个图形中分别有3,6,10,15,21个小正方形，它们分别为1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4,1＋2＋3＋4＋5，1＋2＋3＋4＋5＋6，因此a n ＝1＋2＋3＋…＋(n ＋1)．故a 6＝1＋2＋3＋…＋7＝7(1＋7)2＝28，即第6个图中有28个小正方形．答案 289．(2014·湖南五市十校联考)已知两个正数a ，b ，可按规则c ＝ab ＋a ＋b 扩充为一个新数c ，在a ，b ，c 三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．若p >q >0，经过6次操作后扩充所得的数为(q ＋1)m (p ＋1)n －1(m ，n 为正整数)，则m ＋n 的值为________．解析 不妨设a >b >0，第一次扩充c 1＝ac ＋c ＋a ＝(a ＋1)c ＋(a ＋1)－1＝(a ＋1)(c ＋1)－1，第二次扩充c 2＝c 1c ＋c 1＋c ＝c 1(c ＋1)＋(c ＋1)－1＝(c 1＋1)(c ＋1)－1＝(a ＋1)(c ＋1)2－1，第三次扩充c 3＝c 2c 1＋c 2＋c 1＝(c 2＋1)(c 1＋1)－1＝(a ＋1)(c ＋1)2(a ＋1)(c ＋1)－1＝(a ＋1)2(c ＋1)3－1，……第六次扩充c 6＝(a ＋1)8(c ＋1)13－1，所以m ＋n ＝8＋13＝21.答案 21三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．已知函数f (x )＝x x ＋2(x >0)．如下定义一列函数：f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f (f 1(x ))，f 3(x )＝f (f 2(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，…，n ∈N *.求由归纳推理得到的函数f n (x )的解析式．解 f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝f (x x ＋2)＝xx ＋2x x ＋2＋2＝x 3x ＋22＝x (22－1)x ＋22，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝f [x (22－1)x ＋22]＝x(22－1)x ＋22x (22－1)x ＋22＋2＝x (23－1)x ＋23，…，f n (x )＝x (2n －1)x ＋2n (x >0，x ∈N *)． 11．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和，已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，试求：(1)a 18的值；(2)该数列的前n 项和S n .解 (1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ＝1,2，…)，故a 18＝3.(2)当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n )＝2＋2＋…＋2n 2个2＋3＋3＋…＋3n 2个3＝52n ； 当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －12.综上所述：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 52n (n 为偶数)，52n －12 (n 为奇数).12．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解 方法1：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 方法2：(1)同解法1.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α)＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.。