高中不等式习题精选精解及答案

高中不等式习题精选精解

一、求取值范围

1、已知31,11≤-≤≤+≤-y x y x ，求y x -3的取值范围。 解： )(*2)(*13y x y x y x -++=-

根据已知条件：731,3*2132*11≤-≤+≤-≤+-y x y x 所以y x -3的取值范围是[]7,1

2、已知c b a >>，且0=++c b a ，求a c /的取值范围。 解：由已知条件，显然0,0<>c a

2/1/,0,02,-<∴>=++<+∴>a c a c b a c a c b 2/,0,2,02,->∴>->=++>+∴>a c a a c c b a c a b a

综上所述a c /的取值范围是()2/1,2--

3、正数y x ,满足12=+y x ，求y x /1/1+的最小值。

解：2/2/1)/1/1)(2()/1/1(*1/1/1+++=++=+=+x y y x y x y x y x y x 223)/2)(/(23+=+≥x y y x （y x , 为正数）

4、设实数y x ,满足1)1(2

2

=-+y x ，当0≥++c y x 时，求c 的取值范围。

解：方程1)1(22

=-+y x 表示的是以点（0，1）为圆心的圆，根据题意当直线0=++c y x （c 为常数）与圆在第二象限相切时，c 取到最小值；（此时，切点的坐标),(y x 满足

0=++c y x ，其它圆上的点都满足0≥++c y x （因为在直线的上方），当c 增大，直线向

下方平移，圆上的全部点满足0≥++c y x ， 因此：12,0)21(0min min -==+-+c c

所以c 的取值范围是

[

)

+∞-,12

x

5、已知函数2

()(0)f x ax bx a =+≠满足1(1)2f ≤-≤，2(1)5f ≤≤，求(3)f -的取值范围。

解：由习已知得：52,21≤+≤≤-≤b a b a

设：⎩

⎨

⎧==⇒⎩⎨⎧-=-=+⇒-++=-=-63

39)()(39)3(n m n m n m b a n b a m b a f 27)3(12),1(*3)1(*6)3(≤-≤∴+-=-∴f f f f

所以)3(-f 的取值范围是[]27,12

6、已知：a 、b 都是正数，且1a b +=，1a a α=+

，1

b b

β=+，求αβ+的最小值 解：b a , 是正数，41,41

22

≥∴=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+≤∴ab b a ab

51

11)11()(11≥+=++=+++=+++

=+∴ab

ab b a b a b a b b a a βα βα+∴的最小值是5，（当且仅当2/1==b a 时）。

7、已知集合{

}045|2

≤+-=x x x A 与{

}

022|2

≤++-=a ax x x B ，若A B ⊆，求a 的取值范围。

解：{}41|,41,0)1)(4(452

≤≤=∴≤≤≤--=+-x x A x x x x x

设 222

++-=a ax x y （*）

当=B Ø，即方程（*）无解，显然A B ⊆成立，由0<∆得 0)2(442

<+-a a ，解得)1(21 <<-a

当≠B Ø，且A B ⊆成立，即：{}{}41||21≤≤⊆≤≤x x x x x x 根据图像得出：

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≤--≤≥++-≥++-4

221024*24021*2122

a

a a a a ，解得)2(718

1 ≤≤a

综合（1）（2）两式，得a 的取值范围为(]7/18,1-。

8、若关于x 的方程0124=++⋅+a a x

x 有实数解，求实数a 的取值范围。

解一：设x t 2=，0,02>∴>t x

，原题转换为求方程

2

在 共有两种情况，一种是有两个根，一种是只

有一个根（如图所示），由二次函数的图像和

性质，得方程012

=+++a at t 在()+∞,0上

有实数解的充要条件为：

⎩⎨⎧≤+=>+-=∆⎪⎪⎩⎪⎪

⎨⎧>+=>-≥+-=∆01)0(0)1(40

1)0(0

20)1(422a f a a a f a

a a 或 注：两组不等式分别对应两个图 解得222,12221-≤-≤-≤<-a a a 即或 所以a 的取值范围是(]

222,-∞-

解二：由方程012

=+++a at t 得)0(112

>++-=t t

t a 函数)0(11)(2

>++-=t t

t t f 的值域就是a 的取值范围。 2

22)222(212)1(12)1(12)1(1122-=--≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=+---=++-=t t t t t t t t a

所以a 的取值范围是(]

222,-∞-

二、解不等式

1、032)2(2≥---x x x 解：不等式0)()(≥⋅x g x f 与⎩⎨

⎧>≥0

)(0

)(x g x f 或0)(=x g 同解，也可以这样理解：

符号“≥”是由符号“>”“=”合成的，故不等式0)()(≥⋅x g x f 可转化为

0)()(>⋅x g x f 或0)()(=⋅x g x f 。

解得：原不等式的解集为{}13|-=≥x x x 或