基于误差校正的预测控制算法综述
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的深入研究和 发 展 后，不 仅 在 工 程 实 际 中 取 得 了 广 泛 的 应 用 ，其 理 论 和 方 法［5 ~ 9］也 日 臻 完 善 。
然而，由于实际被控对象中存在的非 线 性、参 数 时变、模型失 配、有 界 干 扰 等 因 素，基 于 描 述 对 象 的 数学模型的预测与实际对象的输出将会存在较大的 误差，这种不可 避 免 的 模 型 误 差 势 必 降 低 系 统 的 控 制精度和鲁棒性，甚至导致系统的不 稳 定。 所 以，这 就需要用附加 的 预 测 手 段 补 充 模 型 预 测 的 不 足，或 者 对 对 象 模 型 进 行 在 线 修 正［10］。 但 即 使 对 于 广 义 预测控制算法，尽 管 进 行 在 线 辨 识 修 正 对 象 模 型 参 数，仍对对象降阶建模 误 差（ 结 构 性 建 模 误 差 ）的 鲁 棒 性 不 好 ，并 对 随 机 噪 声 干 扰 较 敏 感 。
对于 基 于 非 参 数 模 型 的 预 测 控 制（ 如 MAC、 DMC），减小 预 测 误 差 的 传 统 方 法 是 采 用 反 馈 校 正 （ 或称为闭环预测），即：
Y = Ym + H（e I）
（2）
式中：Y ———系统的最优输 出 预 测 向 量；Ym ———模
型 预测向量；（e I） =
3. 2 基于神经网络误差校正的预测控制
神经网络在控制工程领域的应用具有很大潜力
和优势，特别是 神 经 网 络 能 够 通 过 输 入 输 出 数 据 进
行学习以逼近非线性函数和适应不确定性系统的动
态特性，使之成为非线性系统的建模、辨识 与 控 制 中
的非常重 要 的 技 术 与 方 法。 文 献［ 22 ］为 了 抑 制 模
差 ）为 ：
N
1（ I） = （ z0，i - zi ）U（ I - i）+
Baidu Nhomakorabea
z0，i U（ I - i）+ I（1 I）
i=1
i = N +1
+ I（2 I）
（1）
式中：zi ———系 统 脉 冲 响 应 序 列，i = 1，2，…，N，N 为 截 断 时 刻 ；z0，i ——— 系 统 真 实 脉 冲 响 应 序 列 ，i = 1，2，… ；U（ I - i）——— I - i 时刻系统输入；I（1 I）， I（2 I）——— I 时刻的系统干扰和系统观测噪声。
针 对 这 个 问 题 ，席 裕 庚［10 ~ 11］提 出“ 引 入 误 差 预 测，构成以误差 预 测 补 充 模 型 预 测 的 多 层 次 的 综 合 预 测 ”的 思 想 。 其 中 ，模 型 预 测 反 映 了 预 测 模 型 所 描 述的确定的动 态 因 果 关 系，而 误 差 预 测 则 描 述 了 在 预测模型中未 能 包 含 的 一 切 不 确 定 性 信 息，可 以 归 结为基于一系列过去的误差信息采用因果或非因果 的方式预报未 来 的 误 差，它 作 为 模 型 预 测 的 重 要 补 充，可以弥补在 对 象 模 型 中 已 简 化 或 无 法 加 以 考 虑 的一切其它因素。这在 MAC、DMC 最初提出 时 就 已 有所表现，即所谓模型预测与误差预测的 结 合，但 它 们只是对误差 预 测 采 取 了 简 单 的 启 发 式 方 法，即 将 来时刻的预 测 误 差 等 于 当 前 时 刻 的 误 差。 而 且，如 果我们对引起 误 差 的 原 因 有 某 些 先 验 知 识，则 可 对 误 差 预 测 再 作 分 解 ，以 形 成 多 层 次 的 综 合 预 测 。
建模动态 （ t）、有界 干 扰 i（ t）等 ），提 出 了 一 种 鲁
棒参数自适应 算 法，并 将 这 种 算 法 与 广 义 预 测 控 制
相结合，提出一 种 鲁 棒 间 接 自 适 应 广 义 预 测 控 制 算
法 ，并 进 行 了 算 法 的 闭 环 系 统 鲁 棒 稳 定 性 证 明 。
使得这种校正作用有限。 值得 注 意 的 是 ，在 广 义 预 测 控 制 算 法（ GPC ）［14］
推导过程中，虽然没有明显给出反馈或闭 环 的 表 示，
但它在进行滚 动 优 化 时，强 调 了 优 化 的 基 点 与 实 际
系统相一致。这意味着在控制的每一步都要检测实
际输出并与预 测 值 比 较，并 以 此 修 正 预 测 的 不 确 定
未来误差的预测：
y（e t + I / t） = P（TI t）9^ （I t） （ I = 1 ，2 ，… ，N）
（7）
将得到模型误差的预测值对系统的预测输出修
正后，提出了一 种 鲁 棒 性 较 强 的 新 的 广 义 预 测 控 制
算法。
文献［21 ］针 对 对 象 的 不 确 定 性 干 扰 （ t）（ 未
综述与评论
化工自动化及仪表，2005，32（2）：1 ~ 4 COntrOI and Instruments in ChemicaI Industry
基于误差校正的预测控制算法综述
庞 中 华 ，金 元 郁
（ 青岛科技大学 自动化学院，山东 青岛 266042 ）
摘要： 在分析了模型预测误差的来源后，对近 20 年 来 典 型 的 基 于 误 差 校 正 的 预 测 控 制 算 法 作 了 较 全 面 的 回 顾 ，分 析 各 种 方 法 的 研 究 现 状 及 其 成 功 应 用 的 实 例 。
由式（1）可以看出，开 环 预 测 误 差 1（ I）由 以 下
四部分组成：
（1）模 型 不 准 确（ zi - zi ）U（ I - i）。
N
z0，i ）带 来 的 偏 差 （ z0，i i=1
（2 ）脉 冲 响 应 模 型 截 断 误 差 z0，i U（ I - i）。 i = N +1
（3）系统干扰作用 I（1 I）。 （4）系统观测噪声 I（2 I）。 其中截断误差、观测噪声一般数值较 小，可 以 忽 略 ，因 此 1（ I）主 要 由 模 型 误 差 和 系 统 干 扰［13］引 起 。
的负担，而且还 可 以 使 得 算 法 对 模 型 失 配 具 有 较 强
的抑制 能 力，增 强 了 广 义 预 测 控 制 的 鲁 棒 性。但 BP
网络的训练算 法 速 度 较 慢，当 工 况 发 生 变 化 时 不 能
很快地适应 环 境，在 实 时 控 制 中 难 以 实 际 应 用。 基
于此，文献［23］利 用 一 种 权 值 可 以 在 线 调 整 的 动 态
与现有的最优状态反馈控制和传统的模型算法控制
进行了比较，仿真结果表明：该算法在系统 存 在 干 扰
和系统特性发生变化时能够较好地预测模型误差，
从而表现 出 良 好 的 稳 定 性 和 鲁 棒 性。 文 献［ 16 ］将
这种误差预测方法引 入 动 态 矩 阵 控 制（ DMC ），并 将 其 应 用 于 锅 炉 燃 烧 系 统 热 负 荷 调 节 的 控 制 中［17］。
^
（3）推出模型误差 的 预 测 值 i（ I + i / I） （ i = 1，2， …，p）。用 i（^ I + i / I）代替式（2）中 hi（e I），即可得 到最优输出预测向量 Yp ，最终推 出 一 种 基 于 预 测 误 差校正的 预 测 控 制 算 法。 文 献［ 12 ］中 还 将 该 算 法
自预测控制 算 法 出 现 后，国 内 众 多 学 者 对 模 型 误差预测作了 深 入 的 研 究，提 出 了 多 种 基 于 预 测 误
差校正的预测控制算法。本文将简要概述这种算法
的研究现状。 # " 预 测 控 制 的 模 型 误 差 问 题 分 析［12］
模型算法控制（ MAC），以 脉 冲 响 应 序 列 作 为 预 测模型，其开环预测误差（ 实际输出值与预测输出之
的实时检测与预报，求得轮廓误差预补偿 控 制 量，对
插补输出进行动态预修正，实现闭环轮廓 控 制，以 提
高轮廓加工精度。
文 献［20］定义了离 I - 时刻最近的 I 步预测误
差：
!（I t - ） = y（ t - ）- y0m（ t - / t - I - ）
并用 AR 模型对该随机序列进行描述：
y（ I）-
y
（
m
I
）———
I
时刻的误
差 ；H =［ z1 ，z2 ，… ，zp ］T ——— 反 馈 修 正 系 数 向 量 ，其
中 p 为 预 测 长 度 ）。 一 般 地 ，取 zi = 1［a］ 。但 在 实
收稿日期：2004 -12 -16（ 修改稿）
·2·
化工自动化及仪表
第 32 卷
际 应用中，由于大多数工业过程存在的 i（ I）表现为 一数值较大并且变化幅度也大的非平稳随机序列，
（4）
式 中 ：a1 ，… ，am ；c1 ，… ，cg ——— 模 型 参 数 ；（ I）———
零均值白噪声。
在实际情 况 下，由 于 式（ 4 ）中 模 型 参 数 未 知 且
时变，所以先利用 模 型 辨 识 方 法 递 推 估 计 ARMA 模
型（ m，g）参数，而 后 根 据 最 小 方 差 预 报 原 理，计 算 最 优预测值 （l^ I + i / I） （ i = 1，2，…，p），进而由式
性。当实际系统 存 在 非 线 性、时 变、模 型 失 配、干 扰
等因素时，这种反馈就能及时修正预测值，使 优 化 建 立 在 较 准 确 的 预 测 基 础 上［15］。
3 基于误差校正的预测控制算法 3 . 1 基 于 时 间 序 列 预 测 的 预 测 控 制［12］
由 模型预测误差的来源可以看出，i（ I）为一非
平 稳 随 机 序 列 ，则 ：
（l I） = i（ I）- i（ I - 1）
（3）
式（3）为 一 平 稳 随 机 序 列，并 可 用 ARMA 模 型
（ m，g）描述如下：
（l I）+ a1（l I - 1）+ … + am（l I - m） = （ I）+ c1 （ I - 1）
+ … + cg （ I - g）
关键词： 预测控制；模型预测误差；反馈校正；鲁棒性 中图分类号：TP273 文献标识码：A 文章编号：1000-3932（2005）（02）-0001-04
!" 引" 言 自 70 年代中期以来出现的预测 控 制 算 法，如 模
型 算 法 控 制（ MAC［1］，MPHC［2］），动 态 矩 阵 控 制 （ DMC［3］），广 义 预 测 控 制（ GPC［4］）等 ，经 过 近 30 年
（5）
!（I t） = hI1 !（I t - 1 ）+ hI2 !（I t - 2 ）+ … + hIn !（I t - n）
+
（
I
t）
（6）
式 中 ：I
=
1 ，2 ，… ，N
；
（
I
t ）——— 零 均 值 白 噪 声 。
利用最小二 乘 法 递 推 估 计 误 差 模 型 参 数 9（I t）
=［ hI1 ，hI2 ，… ，hIn ］T ，则 可 根 据 误 差 模 型（6 ）得 到 对
据建立误差预 测 的 小 波 网 络 动 态 补 偿 模 型，并 结 合
线性预测模型，构造了一种新的广义预测 控 制 算 法，
仿真结果表明，基 于 线 性 模 型 预 测 和 具 有 误 差 校 正
型失配的影响，在原有广义预测控制的基 础 上，利 用
预测误差 的 历 史 数 据 建 立 了 一 个 误 差 预 测 模 型 的
BP 神经 网 络，经 过 学 习 训 练 后 可 作 为 误 差 的 预 测
器，用由此得到 的 模 型 误 差 的 预 测 值 修 正 纯 基 于 系
统数学模型的 预 测 值，这 样 不 仅 降 低 建 立 数 学 模 型
BP 神经网络对模型预测误差 进 行 补 偿，提 出 一 种 对
模型预测误差具有动态补偿能力的广义预测控制算
法。由于小波 网 络 作 非 线 性 函 数 逼 近 时，性 能 优 于
同等规模的神 经 网 络，网 络 训 练 过 程 从 根 本 上 避 免
了局部最优，于是 文 献［ 24 ］利 用 预 测 误 差 的 历 史 数
文献［18］提出一种简化模型 的 DMC，并 用 基 于 时 间
序列预测的模型误差代替原模型误差对系统的滚动
优化控制进行校正。在数控机床轮廓误差控制过程
中，为了消除由伺服跟踪误差引起的合成 轨 迹 误 差，
文献［19］提 出 一 种 基 于 指 数 加 权 平 滑 模 型 的 轮 廓
误差预补偿控制方法。该方法通过对伺服跟随误差
然而，由于实际被控对象中存在的非 线 性、参 数 时变、模型失 配、有 界 干 扰 等 因 素，基 于 描 述 对 象 的 数学模型的预测与实际对象的输出将会存在较大的 误差，这种不可 避 免 的 模 型 误 差 势 必 降 低 系 统 的 控 制精度和鲁棒性，甚至导致系统的不 稳 定。 所 以，这 就需要用附加 的 预 测 手 段 补 充 模 型 预 测 的 不 足，或 者 对 对 象 模 型 进 行 在 线 修 正［10］。 但 即 使 对 于 广 义 预测控制算法，尽 管 进 行 在 线 辨 识 修 正 对 象 模 型 参 数，仍对对象降阶建模 误 差（ 结 构 性 建 模 误 差 ）的 鲁 棒 性 不 好 ，并 对 随 机 噪 声 干 扰 较 敏 感 。
对于 基 于 非 参 数 模 型 的 预 测 控 制（ 如 MAC、 DMC），减小 预 测 误 差 的 传 统 方 法 是 采 用 反 馈 校 正 （ 或称为闭环预测），即：
Y = Ym + H（e I）
（2）
式中：Y ———系统的最优输 出 预 测 向 量；Ym ———模
型 预测向量；（e I） =
3. 2 基于神经网络误差校正的预测控制
神经网络在控制工程领域的应用具有很大潜力
和优势，特别是 神 经 网 络 能 够 通 过 输 入 输 出 数 据 进
行学习以逼近非线性函数和适应不确定性系统的动
态特性，使之成为非线性系统的建模、辨识 与 控 制 中
的非常重 要 的 技 术 与 方 法。 文 献［ 22 ］为 了 抑 制 模
差 ）为 ：
N
1（ I） = （ z0，i - zi ）U（ I - i）+
Baidu Nhomakorabea
z0，i U（ I - i）+ I（1 I）
i=1
i = N +1
+ I（2 I）
（1）
式中：zi ———系 统 脉 冲 响 应 序 列，i = 1，2，…，N，N 为 截 断 时 刻 ；z0，i ——— 系 统 真 实 脉 冲 响 应 序 列 ，i = 1，2，… ；U（ I - i）——— I - i 时刻系统输入；I（1 I）， I（2 I）——— I 时刻的系统干扰和系统观测噪声。
针 对 这 个 问 题 ，席 裕 庚［10 ~ 11］提 出“ 引 入 误 差 预 测，构成以误差 预 测 补 充 模 型 预 测 的 多 层 次 的 综 合 预 测 ”的 思 想 。 其 中 ，模 型 预 测 反 映 了 预 测 模 型 所 描 述的确定的动 态 因 果 关 系，而 误 差 预 测 则 描 述 了 在 预测模型中未 能 包 含 的 一 切 不 确 定 性 信 息，可 以 归 结为基于一系列过去的误差信息采用因果或非因果 的方式预报未 来 的 误 差，它 作 为 模 型 预 测 的 重 要 补 充，可以弥补在 对 象 模 型 中 已 简 化 或 无 法 加 以 考 虑 的一切其它因素。这在 MAC、DMC 最初提出 时 就 已 有所表现，即所谓模型预测与误差预测的 结 合，但 它 们只是对误差 预 测 采 取 了 简 单 的 启 发 式 方 法，即 将 来时刻的预 测 误 差 等 于 当 前 时 刻 的 误 差。 而 且，如 果我们对引起 误 差 的 原 因 有 某 些 先 验 知 识，则 可 对 误 差 预 测 再 作 分 解 ，以 形 成 多 层 次 的 综 合 预 测 。
建模动态 （ t）、有界 干 扰 i（ t）等 ），提 出 了 一 种 鲁
棒参数自适应 算 法，并 将 这 种 算 法 与 广 义 预 测 控 制
相结合，提出一 种 鲁 棒 间 接 自 适 应 广 义 预 测 控 制 算
法 ，并 进 行 了 算 法 的 闭 环 系 统 鲁 棒 稳 定 性 证 明 。
使得这种校正作用有限。 值得 注 意 的 是 ，在 广 义 预 测 控 制 算 法（ GPC ）［14］
推导过程中，虽然没有明显给出反馈或闭 环 的 表 示，
但它在进行滚 动 优 化 时，强 调 了 优 化 的 基 点 与 实 际
系统相一致。这意味着在控制的每一步都要检测实
际输出并与预 测 值 比 较，并 以 此 修 正 预 测 的 不 确 定
未来误差的预测：
y（e t + I / t） = P（TI t）9^ （I t） （ I = 1 ，2 ，… ，N）
（7）
将得到模型误差的预测值对系统的预测输出修
正后，提出了一 种 鲁 棒 性 较 强 的 新 的 广 义 预 测 控 制
算法。
文献［21 ］针 对 对 象 的 不 确 定 性 干 扰 （ t）（ 未
综述与评论
化工自动化及仪表，2005，32（2）：1 ~ 4 COntrOI and Instruments in ChemicaI Industry
基于误差校正的预测控制算法综述
庞 中 华 ，金 元 郁
（ 青岛科技大学 自动化学院，山东 青岛 266042 ）
摘要： 在分析了模型预测误差的来源后，对近 20 年 来 典 型 的 基 于 误 差 校 正 的 预 测 控 制 算 法 作 了 较 全 面 的 回 顾 ，分 析 各 种 方 法 的 研 究 现 状 及 其 成 功 应 用 的 实 例 。
由式（1）可以看出，开 环 预 测 误 差 1（ I）由 以 下
四部分组成：
（1）模 型 不 准 确（ zi - zi ）U（ I - i）。
N
z0，i ）带 来 的 偏 差 （ z0，i i=1
（2 ）脉 冲 响 应 模 型 截 断 误 差 z0，i U（ I - i）。 i = N +1
（3）系统干扰作用 I（1 I）。 （4）系统观测噪声 I（2 I）。 其中截断误差、观测噪声一般数值较 小，可 以 忽 略 ，因 此 1（ I）主 要 由 模 型 误 差 和 系 统 干 扰［13］引 起 。
的负担，而且还 可 以 使 得 算 法 对 模 型 失 配 具 有 较 强
的抑制 能 力，增 强 了 广 义 预 测 控 制 的 鲁 棒 性。但 BP
网络的训练算 法 速 度 较 慢，当 工 况 发 生 变 化 时 不 能
很快地适应 环 境，在 实 时 控 制 中 难 以 实 际 应 用。 基
于此，文献［23］利 用 一 种 权 值 可 以 在 线 调 整 的 动 态
与现有的最优状态反馈控制和传统的模型算法控制
进行了比较，仿真结果表明：该算法在系统 存 在 干 扰
和系统特性发生变化时能够较好地预测模型误差，
从而表现 出 良 好 的 稳 定 性 和 鲁 棒 性。 文 献［ 16 ］将
这种误差预测方法引 入 动 态 矩 阵 控 制（ DMC ），并 将 其 应 用 于 锅 炉 燃 烧 系 统 热 负 荷 调 节 的 控 制 中［17］。
^
（3）推出模型误差 的 预 测 值 i（ I + i / I） （ i = 1，2， …，p）。用 i（^ I + i / I）代替式（2）中 hi（e I），即可得 到最优输出预测向量 Yp ，最终推 出 一 种 基 于 预 测 误 差校正的 预 测 控 制 算 法。 文 献［ 12 ］中 还 将 该 算 法
自预测控制 算 法 出 现 后，国 内 众 多 学 者 对 模 型 误差预测作了 深 入 的 研 究，提 出 了 多 种 基 于 预 测 误
差校正的预测控制算法。本文将简要概述这种算法
的研究现状。 # " 预 测 控 制 的 模 型 误 差 问 题 分 析［12］
模型算法控制（ MAC），以 脉 冲 响 应 序 列 作 为 预 测模型，其开环预测误差（ 实际输出值与预测输出之
的实时检测与预报，求得轮廓误差预补偿 控 制 量，对
插补输出进行动态预修正，实现闭环轮廓 控 制，以 提
高轮廓加工精度。
文 献［20］定义了离 I - 时刻最近的 I 步预测误
差：
!（I t - ） = y（ t - ）- y0m（ t - / t - I - ）
并用 AR 模型对该随机序列进行描述：
y（ I）-
y
（
m
I
）———
I
时刻的误
差 ；H =［ z1 ，z2 ，… ，zp ］T ——— 反 馈 修 正 系 数 向 量 ，其
中 p 为 预 测 长 度 ）。 一 般 地 ，取 zi = 1［a］ 。但 在 实
收稿日期：2004 -12 -16（ 修改稿）
·2·
化工自动化及仪表
第 32 卷
际 应用中，由于大多数工业过程存在的 i（ I）表现为 一数值较大并且变化幅度也大的非平稳随机序列，
（4）
式 中 ：a1 ，… ，am ；c1 ，… ，cg ——— 模 型 参 数 ；（ I）———
零均值白噪声。
在实际情 况 下，由 于 式（ 4 ）中 模 型 参 数 未 知 且
时变，所以先利用 模 型 辨 识 方 法 递 推 估 计 ARMA 模
型（ m，g）参数，而 后 根 据 最 小 方 差 预 报 原 理，计 算 最 优预测值 （l^ I + i / I） （ i = 1，2，…，p），进而由式
性。当实际系统 存 在 非 线 性、时 变、模 型 失 配、干 扰
等因素时，这种反馈就能及时修正预测值，使 优 化 建 立 在 较 准 确 的 预 测 基 础 上［15］。
3 基于误差校正的预测控制算法 3 . 1 基 于 时 间 序 列 预 测 的 预 测 控 制［12］
由 模型预测误差的来源可以看出，i（ I）为一非
平 稳 随 机 序 列 ，则 ：
（l I） = i（ I）- i（ I - 1）
（3）
式（3）为 一 平 稳 随 机 序 列，并 可 用 ARMA 模 型
（ m，g）描述如下：
（l I）+ a1（l I - 1）+ … + am（l I - m） = （ I）+ c1 （ I - 1）
+ … + cg （ I - g）
关键词： 预测控制；模型预测误差；反馈校正；鲁棒性 中图分类号：TP273 文献标识码：A 文章编号：1000-3932（2005）（02）-0001-04
!" 引" 言 自 70 年代中期以来出现的预测 控 制 算 法，如 模
型 算 法 控 制（ MAC［1］，MPHC［2］），动 态 矩 阵 控 制 （ DMC［3］），广 义 预 测 控 制（ GPC［4］）等 ，经 过 近 30 年
（5）
!（I t） = hI1 !（I t - 1 ）+ hI2 !（I t - 2 ）+ … + hIn !（I t - n）
+
（
I
t）
（6）
式 中 ：I
=
1 ，2 ，… ，N
；
（
I
t ）——— 零 均 值 白 噪 声 。
利用最小二 乘 法 递 推 估 计 误 差 模 型 参 数 9（I t）
=［ hI1 ，hI2 ，… ，hIn ］T ，则 可 根 据 误 差 模 型（6 ）得 到 对
据建立误差预 测 的 小 波 网 络 动 态 补 偿 模 型，并 结 合
线性预测模型，构造了一种新的广义预测 控 制 算 法，
仿真结果表明，基 于 线 性 模 型 预 测 和 具 有 误 差 校 正
型失配的影响，在原有广义预测控制的基 础 上，利 用
预测误差 的 历 史 数 据 建 立 了 一 个 误 差 预 测 模 型 的
BP 神经 网 络，经 过 学 习 训 练 后 可 作 为 误 差 的 预 测
器，用由此得到 的 模 型 误 差 的 预 测 值 修 正 纯 基 于 系
统数学模型的 预 测 值，这 样 不 仅 降 低 建 立 数 学 模 型
BP 神经网络对模型预测误差 进 行 补 偿，提 出 一 种 对
模型预测误差具有动态补偿能力的广义预测控制算
法。由于小波 网 络 作 非 线 性 函 数 逼 近 时，性 能 优 于
同等规模的神 经 网 络，网 络 训 练 过 程 从 根 本 上 避 免
了局部最优，于是 文 献［ 24 ］利 用 预 测 误 差 的 历 史 数
文献［18］提出一种简化模型 的 DMC，并 用 基 于 时 间
序列预测的模型误差代替原模型误差对系统的滚动
优化控制进行校正。在数控机床轮廓误差控制过程
中，为了消除由伺服跟踪误差引起的合成 轨 迹 误 差，
文献［19］提 出 一 种 基 于 指 数 加 权 平 滑 模 型 的 轮 廓
误差预补偿控制方法。该方法通过对伺服跟随误差