多元正态分布检验
多元正态分布参数的估计与假设检验-判别分析
注 共轭分布族总是针对分布中的某个参数而言的 共轭分布族总是针对分布中的某个参数而言的.
三、贝叶斯风险
1、贝叶斯风险的定义 由第一小节内容可知，给定损失函数以后， 由第一小节内容可知，给定损失函数以后，风 险函数定义为
R(d ) = inf R(d ),
* d ∈D
∀d ∈ D
则称d * ( X )为参数θ的贝叶斯估计量
注 1、贝叶斯估计是使贝叶斯风险达到最小的决策 、 函数. 函数 2、不同的先验分布，对应不同的贝叶斯估计 、不同的先验分布， 2、贝叶斯点估计的计算 平方损失下的贝叶斯估计 定理4.2 定理 设θ的先验分布为π(θ)和损失函数为 的先验分布为π θ 和损失函数为
Θ
=∫
Θ
∫
Χ
L(θ , d ( x ))q( x | θ )π(θ )dxdθ
=∫
Θ
∫θ | x )g(x )dxdθ
Θ
= ∫ g(x ){ ∫ L(θ , d ( x ))h(θ | x )dθ }dx
Χ
四 、贝叶斯估计
1、贝叶斯点估计 定义4.6 若总体 的分布函数F(x,θ)中参数θ为随机 定义 若总体X的分布函数 中参数θ 的分布函数 θ 中参数 变量， θ 为 的先验分布，若决策函数类D中存在 变量，π(θ)为θ的先验分布，若决策函数类 中存在 一个决策函数使得对决策函数类中的任一决策函数 均有
第8.2节 节
判别分析
一、先验分布和后验分布 二、共轭先验分布 三、贝叶斯风险 四、贝叶斯估计
一、先验分布与后验分布
上一章提出用风险函数衡量决策函数的好坏， 上一章提出用风险函数衡量决策函数的好坏，但 是由于风险函数为二元函数，很难进行全面比较。 是由于风险函数为二元函数，很难进行全面比较。 贝叶斯通过引入先验分布， 的指标. 贝叶斯通过引入先验分布，给出了整体比较 的指标 1、先验信息 在抽取样本之前， 在抽取样本之前，人们对所要估计的未知参数 先验信息. 所了解的信息，通常称为先验信息 所了解的信息，通常称为先验信息 例1(p121例4.6) 某学生通过物理试验来确定当地 1(p121例 的重力加速度，测得的数据为(m/s²): 的重力加速度，测得的数据为 9.80, 9.79, 9.78, 6.81, 6.80 试求当地的重力加速度. 试求当地的重力加速度
多元正态分布参数的假设检验
( ) ( ) 3. 计算统计量T的具体值 T02 = n X − μ0 ′ Σ−1 X − μ0 .
4. 按规定的小概率标准α，查 χ 2分布表，得临界
值 χα2 ( p)，并作出判断: 当 T02 ≤ χα2 ( p)，接受H0，拒绝H1，即认为与没有显
著差异。 当 T02 ＞ χα2 ( p)，接受H1，拒绝H0，即认为与有显著
当p = 1时，因为，X
~
N1 ( μ1 ,
σ2
n
)
，Y
~
N1 ( μ2
,
σ2
m
)
,
且相
互独立，在，H0成立条件下，有
(X −Y) 1 + 1
t=
nm
~ t(n + m− 2)
∑ ∑ ⎡ n
⎢
(Xi
− X)2
+
m
(Yi
−Y
)2
⎤ ⎥
(n+m−2)
⎣ i=1
j=1
⎦
∑ ∑ 显然
t2 = nm
⎡ ⎢
n
Xj −X
Xj −X ′
9
武汉理工大学统计学系唐湘晋
( )( ) ∑ 在
H 0 :μ
=
μ0下, S=
X~
n
X
1 NP (μ0 , n Σ)
j -X Xj -X
′
,
~
X − μ0 ~
Wp (n −1,
NP (0,
Σ).
1 n
Σ)
j =1
故由T2分布定义知
( ) ( ) T 2 = (n −1) ⎡⎣ n X − μ0 ⎤⎦′ S−1 ⎡⎣ n X − μ0 ⎤⎦ ~ T 2 ( p, n −1)
多元正态分布参数估计与检验
则称随机向量 为X维正p态随机向量，
其中
称为均值向量， V为协方差矩阵(协差阵)，且
V0. 对于一般情形 V0, 仍可定义多维正
态随机向量， 记为 X～ Np(,V 。) 当 V0时，
X有前面的密度表示，而当
布是退化的正态分布。
时|V，|0 X的分
多元正态分布的性质：
（1） p维正态分布由其均值向量和协方差阵唯
即
～
H0
成立时， 1
时，
2
D 0 6 n 1 n 20 7(X Y )T V 0 8 1 (X Y )0 9 2 (p )1 0
n n 而当 不 1有偏2 大的趋
因此，对
给定的显著
当
H 成立时， 0
势。
D
性水平 ，
D n n 11 n n 22(X Y )T V 1 (X Y )1 2 (p )
体 Np(,V)的简单样本， 令
X
1n nk1
Xk
——样本均值向量
n
S (XkX)X (kX)T —样本离差阵
k1
定理18.1
态总体
的简单样本，
设 X 1 ,X 2 , ,X n ( n 是p ) 来自多元正
态总体 Np(,的V简)单样本，
且 V，0 则 X是
的极大似然估计，
1 S 是 V的极大似然估计。
体 Np(,V的) 简单样本，
其中 V已知。 考虑假设
检验问题
H 0 ： 0 ， H 1 ： 0
令 D n (X 0)T V 1(X 0),则可以证明当
H 0 成立时，即 时，0 D～ 2(p)
H0
D
01
0 2
03
04
多元正态分布假设检验
多元正态分布假设检验1. 引言说到多元正态分布，很多人可能会觉得它像是一块难啃的骨头，复杂得让人眼花缭乱。
但其实，别怕，今天咱们就像喝茶一样，慢慢聊聊这个话题，让它变得亲切点。
多元正态分布，听起来像个高大上的数学术语，其实就代表着一种数据分布的模式。
简单来说，就是当你有多个变量的时候，这些变量的数据可以同时呈现出一种规律。
就好比，你的身高、体重和年龄，都是可以一起影响你的健康状况的。
2. 假设检验的基础2.1 什么是假设检验？假设检验，就像是你在做一个决定之前，先给自己列个清单。
你想知道某个观点是否成立，首先要提出一个“零假设”，然后再通过数据来检验它。
比如，你可能想知道一款新产品的效果是不是比旧款好，那你就先假设新产品和旧款效果一样，接着用数据来验证。
真是妙啊！2.2 多元正态分布在假设检验中的作用那么，这跟多元正态分布有什么关系呢？其实，当我们在进行假设检验时，常常会假设数据是服从某种分布的。
而多元正态分布就像是给你提供了一种“理想”的数据状态，让你可以更轻松地进行各种统计分析。
换句话说，使用多元正态分布，你可以放心大胆地进行推断，就像开车时把安全带系好一样，心里有底。
3. 如何进行多元正态分布假设检验3.1 数据的准备要进行多元正态分布假设检验，首先得准备好你的数据。
这就像做饭前，你得把食材准备齐全。
数据要足够多，还要确保没有缺失值。
就算有缺失，也可以通过一些方法来填补，但记得要小心，这可不能随便糊弄。
3.2 检验的方法接下来，咱们就进入了检验的环节。
常用的方法有ShapiroWilk检验和Bartlett检验等，这些听起来像是外星人名字的检验其实很简单。
ShapiroWilk检验主要是检查数据是否服从正态分布，而Bartlett检验则是用于检查不同组之间的方差是否相等。
通过这些检验，你就能找到数据是否符合多元正态分布的线索。
4. 结论与反思多元正态分布假设检验，乍一看似乎是个高深莫测的领域，但其实掌握了基本概念后，还是挺容易上手的。
第三章 多元正态分布均值向量和协方差的检验
第三章多元正态分布均值向量和协方差的检验
1.基本思想和步骤
2.均值向量的检验
（1）分布：设且X与S相互独立，，则称统计量的分布为非中心分布
当时，称服从（中心）分布，记为
（2）转换为F分布：若且X与S相互独立，令，则
3.一个正态总体均值向量的检验
（1）协差阵已知，检验统计量为
（2）协差阵未知，检验统计量为
4.两个正态总体均值向量的检验
设为来自p维正态总体的容量为n的样本，
为来自p维正态总体的容量为m的样本，且两组样本相互独立
①针对共同已知协差阵，检验统计量为
②针对共同未知协差阵，检验统计量为
（2）协差阵不等
①针对n=m的情形，检验统计量为
②针对n≠m的情形，检验统计量为
5.多个正态总体均值向量的检验
（1）单因素方差分析：设k个正态总体分别为，从k个总体中取个独立样本，，假设H0成立，检验统计量为
其中，组间平方和为，组内平方和为，总平方和为，其中，
（2）若，则为X的广义方差，为样本广义方差
（3）Wilks分布：若且二者相互独立，
为Wilks统计量，分布为Wilks分布，简记为
（4）多元方差分析：检验统计量为
其中，，A为组间离差阵，E为组内离差阵，T为总离差阵，且T=A+E
6.协差阵的检验
（1）一个正态总体协差阵的检验：构造检验统计量
（2）多个协差阵相等的检验：构造检验统计量。
多元正态分布的协方差检验
一、One sample covariance testcov.equal=function(x,Sigma,a=0.05) {##x i s t h e d a t a s e t##S i g m a i s t h e a s s u m e d c o v a r i a n c e m a t r i x## a i s t h e s i g n i f i c a n c e l e v e l s e t b y d e f a u l t t o 0.05 x=as.matrix(x)Sigma=as.matrix(Sigma)p=n c o l(x)##d i m e n s i o n a l i t y o f t h e d a t an=n r o w(x)##t o t a l s a m p l e s i z eS=c o v(x) ## s a m p l e c o v a r i a n c e m a t r i x## t h e n e x t 2 l i n e s c o n s t r u c t t h e t e s t s t a t i s t i cmesa=solve(Sigma)%*%Stest=sum(diag(mesa))-n*log(det(mesa))-n*p+n*p*log(n)d f=0.5*p*(p+1)##t he d e g r e e s of f r e e d o m o f t h ec h i-s q u a r ed i s t r i b u t i o np v a l u e=1-p c h i s q(t e s t,d f)##p-v a l u e o f t h e t e s ts t a t i s t i ccrit=qchisq(1-a,df) ## critical value of the chi-square distributionlist(test=test,degres=df,p.value=pvalue,critical=crit) }二、Multi-sample covariance matricesLog-likelihood ratio testcov.likel=function(x,ina,a=0.05) {##x i s t h e d a t a s e t## i n a i s a n u m e r i c v e c t o r i n d i c a t i n g t h e g r o u p s o f t h e d a t a s e t##a i s t h e s i g n i f i c a n c e l e v e l,s e t t o0.05b y d e f a u l tx=as.matrix(x)p=n c o l(x)##d i m e n s i o n o f t h e d a t a s e tn=n r o w(x)##t o t a l s a m p l e s i z ek=m a x(i n a)##n u m b e r o f g r o u p sn u=r e p(0,k)##t h e s a m p l e s i z e o f e a c h g r o u p w i l l b e s t o r e d l a t e rpame=rep(0,k)## t h e n e x t 2 "f o r" f u n c t i o n s s e p a r a t e t h e k g r o u p s a n d e x t r a c t t h e##c o v a r i a n c e m a t r i x o f e a c h g r o u p##t h e w a y i s n o t t h e b e s t b u t i t w o r k snu=as.vector(table(ina))mat=mat1=array(dim=c(p,p,k))## t h e n e x t 3 l i n e s c r e a t e t h e p o o l e d c o v a r i a n c e m a t r i x##a n d c a l c u l a t e t h e c o v a r i a n c e m a t r i x o f e a c h g r o u pf o r(i i n1:k){mat[,,i]=((nu[i]-1)/nu[i])*cov(x[ina==i,])mat1[,,i]=(nu[i]-1)*cov(x[ina==i,]) }Sp=apply(mat1,1:2,sum)/nfor(iin1:k)pame[i]=det(solve(mat[,,i])%*%Sp)test=sum(nu*log(pame)) ## test statisticd f=0.5*p*(p+1)*(k-1)##de g r e e s of f r e e d o m o f t h e a s y m p t o t i c c h i-s q u a r ep v a l u e=1-p c h i s q(t e s t,d f)##p-v a l u e o f t h e t e s t s t a t i s t i ccrit=qchisq(1-a,df) ## critical value of the chi-square distributionlist(test=test,degrees=df,critical=crit,p.value=pvalue)Box’s M testcov.Mtest=function(x,ina,a=0.05) {##x i s t h e d a t a s e t## i n a i s a n u m e r i c v e c t o r i n d i c a t i n g t h e g r o u p s o f t h e d a t a s e t##a i s t h e s i g n i f i c a n c e l e v e l,s e t t o0.05b y d e f a u l tx=as.matrix(x)p=n c o l(x)##d i m e n s i o n o f t h e d a t a s e tn=n r o w(x)##t o t a l s a m p l e s i z ek=m a x(i n a)##n u m b e r o f g r o u p sn u=r e p(0,k)##t h e s a m p l e s i z e o f e a c h g r o u p w i l l b e s t o r e d h e r e l a t e rp a m e=r e p(0,k)##t h e d e t e r m i n a n t o f e a c h c o v a r i a n c e w i l l b e s t o r e d h e r e##t h e n e x t"f o r"f u n c t i o n c a l c u l a t e s t h e c o v a r i a n c e m a t r i x o f e a c h g r o u pnu=as.vector(table(ina))mat=mat1=array(dim=c(p,p,k))f o r(i i n1:k){mat[,,i]=cov(x[ina==i,])pame[i]=det(mat[,,i]) ## the detemirnant of each covariance matrixmat1[,,i]=(nu[i]-1)*cov(x[ina==i,]) }##t h e n e x t2l i n e s c a l c u l a t e t h e p o o l e d c o v a r i a n c e m a t r i xSp=apply(mat1,1:2,sum)Sp=Sp/(n-k)f o r(i i n1:k)p a m e l a=d e t(S p) ## d e t e r m i n a n t o f t h e p o o l e d c o v a r i a n c e m a t r i xtest1=sum((nu-1)*log(pamela/pame))gama1=(2*(p^2)+3*p-1)/(6*(p+1)*(k-1))gama2=(sum(1/(nu-1))-1/(n-k))gama=1-gama1*gama2t e s t=g a m a*t e s t1##t h i s i s t h e M(t e s t s t a t i s t i c)d f=0.5*p*(p+1)*(k-1)##de g r e e s of f r e e d o m o f t h e c h i-s q u a r e d i s t r i b u t i o npvalue=1-pchisq(test,df) ## p-value of the test statistic crit=qchisq(1-a,df) ## critical value of the chi-square distributionlist(M.test=test,degrees=df,critical=crit,p.value=pvalue) }。
多元正态分布的检验_2023年学习资料
4的p个线性组合a山，山，，d,u的1001-a%-T2联合置信区间为：-以-无gs+-n-i=1,2,… p-x元og咖e+元g-ae1。
4的p个分量4,42,4。的1001-a%-T2联合置信区间为：-i=1,2,…,p-其中，X是均值向量X 第个分量，-S是协方差矩阵S第个对角线上的元素。
x-可-Sw-当|t>t.n1+n2-2时，拒绝-10-英巾，之可立为-n1i-1-,i=1-42-20以 列-a+a-+a
或检验统计量：--,--收到列-当F>F.1,n1+n2-2时，拒绝H。
两个多元正态总体均值成组比较-设X1,X2,…,Xn和Y,Y2,…,Yn,分别取-自于p维正态总体N,1, 和N,42,∑-的随机样本，且两样本相互独立，-检验假设：-H0:41=42,H1:41≠42-∑未知
联合置信区间与单一置信区间的L比较-4,的单一置信区间：-外-4,的T2联合置信区间为：-4:的Bonfe roni联合置信区间为：
§2.2两个正态总体均值-的成组比较
一元情形的回顾-设x,2,…,x和，2，…，ym分别取自J-正态总体N4,σ 2和N42,σ 2的随机样本，两样本相互独立，检验假设：-H041=42,H1:41≠4o2未知
§2.1单个正态总体均值的检-验及置信区间
一元正态总体均值检验的回顾-1σ 2已知时-设x1,心2，…，xn为取自于正态总体V4,o2-的随机样本，检 假设-Ho:=4,H1:L≠40-02已知-检验统计量：U=-x-0-给定显著性水平a,当|U>u.时，绝原假设H·
202未知时-设x1,心2，，xn为取自于正态总体V4,o2-的随机样本，检验假设-H0:L=0,-H1: ≠4σ 2未知-检验统计量：t=-文一4。-sin-给定显著性水平a,当|t>tsn-1时，-拒绝原假设H。
多元正态分布及其参数估计、假设检验
协方差阵相等时，两个正态总体均值向量的检 验
协方差阵不相等时，两个正态总体均值向量的 检验
协方差阵检验 多个协差阵相等的检验
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16
均值向量和协方差阵的假设检 验时常用的统计分布
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17
可编辑ppt
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10
多元正态分布密度函数
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11
多元正态分布的数字特征
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12
多元正态分布的性质
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13
多元正态分布的参数估计
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14
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15
多元正态总体均值向量和协方 差阵的假设检验
均值向量和协方差阵的假设检验时常用的统计 分布
均值向量的假设检验
多元变量的边缘密度独立性与条件分布多元正态总体均值向量和协方差阵的假设检验多元正态总体均值向量和协方差阵的假设检验均值向量和协方差阵的假设检验时常用的统计分布协方差阵不相等时两个正态总体均值向量的检验多个协差阵相等的检验均值向量和协方差阵的假设检验时常用的统计分布均值向量的假设检验协方差阵相等时两个正态总体均值向量的检验协方差阵不相等时两个正态总体均值向量的检验多个协差阵相等的检验
28
多个协差阵相等的检验
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29
第三讲 多元正态分布及其参数估计、 假设检验
多元分布概述 多元正态分布
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1
第一节 多元分布概述
多元变量--随机向量 多元分布函数 多元分布密度 多元变量的边缘密度、独立性与条件分
布 多元变量的数字特征
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2
有关多元正态分布的均值和方差检验
多元统计分析实验报告基于spss多元正态分布均值和方差的检验院（系）：专业班级：学号姓名：指导老师：成绩：完成时间：目录基于多元正态分布均值和方差的检验 (1)一、引言 (2)二、实验目的 (2)（一）掌握正态分布均值及方差检验方法 (2)（二）熟悉运用EXCEL、SPSS软件 (2)（三）培养动手操作能力 (2)（四）学会理论知识与实践相结合 (2)三、实验环境 (2)四、实验内容 (2)五、实验过程及分析 (3)（一）实验步骤 (3)1.输入数据32.正态性检验33.均值与方差的检验44.不同分类经济发展水平的比较4（二）结果分析 (4)六、实验体会 (8)基于多元正态分布均值和方差的检验摘要多元正态分布是一种多元概率分布，在多元统计学中占有相当重要的位置。
本文采用多元统计的分析方法利用SPSS实现了均值向量和协方差阵的检验，得到各指标权重系数，从而解决验证各指标是否具有显著性差异的问题。
关键词：多元正态分布，假设检验，显著差异，SPSS一、引言在基础统计学中，随机变量的正态分布在理论和实际应用中都有着重要的地位。
同样，在多元统计学中，多元正态分布也占有相当重要的位置。
原因是许多实际问题研究中的随机变量确实遵守或近似遵从多元正态分布；对于多元正态分布，已有一整套统计推断方法，并且可以得到许多完整的结果。
二、实验目的（一）掌握正态分布均值及方差检验方法（二）熟悉运用EXCEL、SPSS软件（三）培养动手操作能力（四）学会理论知识与实践相结合三、实验环境MS Excel 2016 、SPSS 21.0四、实验内容现选取内蒙古、广西、贵州、云南、西藏、宁夏、新疆、甘肃和青海等9个内陆边远省区。
选取人均GDP、第三产业比重、人均消费支出、人口自然增长率及文盲半文盲人口占15岁以上人口的比例等5项能够较好地说明各地区社会经济发展水平的指标，验证边远地区及少数民族聚居区的社会经济发展水平与全国平均水平有无显著差异。
多元正态分布均值向量和协差阵的检验
而
Y n(X 0) ~ Np (0,)
故 T02 n(X 0)T 1(X 0) ~ 2( p)
(2)协差阵未知时，均值向量的检验
H0：＝（0 0为已知向量），H1： 1
假设H
成立，检验统计量为
0
F (n 1) p 1T 2 ~ F ( p, n p) (n 1) p
第三章 多元正态分布均值向量和
协差阵的检验
一、均值向量的检验
二、协差阵的检验
一、均值向量 •的假设检验
1、霍特林（Hotelling）T 2分布
定义1：设X ~ N p (, ),S ~ Wp (n, )，且X与S相互独立，n p,
则称统计量 T 2 nX T S 1X的分布为非中心霍特林T 2分布，
X (i) ~ N4 (1, ), i 1,2,,10； Y(i) ~ N4 (2 , ), i 1,2,,10
且两组样本相互独立，有共同未知协方差阵 0
假设检验 H0 : 1 2 , H1 : 1 2
构造统计量
F
(n＋m 2) (n＋m
p 2) p
X
～N
p
(0,
2
n
)
，
在一元统计中，若 t ~ t(n 1) 分布， 则 t2 ~ F (1, n 1) 分布，即把t分布转化为F分 布来处理，在多元统计分析中统计量也有类 似的性质。
定理1：设X ~ N p (0, ), S ~ Wp (n, )，且X与S相互独立， 令 T 2 nX T S 1 X 则 n p 1T 2 ~ F ( p, n p 1)
再由样本值计算出统计量T02，比较
若T02
多元正态分布检验 r语言
多元正态分布检验 r语言多元正态分布是统计学中重要的概率分布之一，常用于分析多个随机变量之间的相关关系。
在R语言中，我们可以使用多种方法进行多元正态分布检验。
一、基本概念多元正态分布是指在多维空间中，各个维度的随机变量服从正态分布，并且各个维度之间存在线性相关性。
多元正态分布的概率密度函数由均值向量和协方差矩阵决定。
二、多元正态分布检验的目的多元正态分布检验的目的是判断给定的多维数据是否符合多元正态分布的假设。
如果数据符合多元正态分布，则可以使用多元正态分布的统计方法进行进一步的分析和推断。
三、多元正态分布检验的方法在R语言中，我们可以使用多种方法进行多元正态分布检验。
下面介绍两种常用的方法：Shapiro-Wilk检验和Anderson-Darling检验。
1. Shapiro-Wilk检验Shapiro-Wilk检验是一种常用的用于检验数据是否来自正态分布的方法。
在R语言中，我们可以使用shapiro.test函数进行Shapiro-Wilk检验。
该函数的用法如下：```Rshapiro.test(data)```其中，data为待检验的多维数据。
2. Anderson-Darling检验Anderson-Darling检验是另一种常用的用于检验数据是否来自正态分布的方法。
在R语言中，我们可以使用ad.test函数进行Anderson-Darling检验。
该函数的用法如下：```Rad.test(data)```其中，data为待检验的多维数据。
四、示例分析为了更好地理解多元正态分布检验的方法，下面我们使用一个示例数据进行分析。
假设我们有一组数据，包含两个变量x和y，共有100个观测值。
我们希望检验这组数据是否符合多元正态分布的假设。
我们需要将数据存储为一个矩阵或数据框，然后使用shapiro.test 函数进行Shapiro-Wilk检验。
代码如下：```Rdata <- matrix(c(x, y), ncol = 2)result <- shapiro.test(data)```其中，x和y分别为变量x和y的取值。
多元统计分析多元正态分布
因子分析可以用于数据的降维、分类和解释变量之间的复杂关系。
03
04
多元正态分布的聚类分析
K-means聚类
一种无监督的机器学习算法，通过迭代过程将数据划分为K个集群，使得每个数据点与其所在集群的中心点之间的平方距离之和最小。
总结词
K-means聚类是一种常见的聚类分析方法，其基本思想是：通过迭代过程将数据划分为K个集群，使得每个数据点与其所在集群的中心点之间的平方距离之和最小。具体步骤包括：随机选择K个中心点，将每个数据点分配给最近的中心点所在的集群，然后重新计算每个集群的中心点，并重复此过程直到中心点不再发生变化或达到预设的迭代次数。
定义与性质
性质
定义
均值向量
描述多元正态分布的期望值，表示分布的中心位置。
协方差矩阵
描述多元正态分布的各变量之间的方差和协方差，表示分布的散布程度和变量间的相关性。
维数
描述多元正态分布中随机变量的个数，不同维数的多元正态分布具有不同的形态和性质。
多元正态分布的参数
统计分析
多元正态分布在统计分析中广泛应用，如回归分析、因子分析、聚类分析等。
KNN分类
06
多元正态分布的可视化技术
总结词
主成分分析（PCA）是一种常用的多元统计分析方法，用于降维和数据可视化。
总结词
PCA可视化能够揭示数据中的模式和趋势，帮助我们理解数据的内在结构和关系。
详细描述
通过将数据投影到主成分上，我们可以将高维数据可视化为一组二维或三维图形，从而更直观地观察数据的分布、中心、离群值和聚类等特征。
逻辑回归分类
VS
支持向量机（SVM）是一种有监督学习算法，用于解决分类问题。在多元正态分布的背景下，支持向量机通过找到能够将不同类别的数据点最大化分隔的决策边界来实现分类。
多元正态分布参数的假设检验
2 22.74 32.56 51.49 61.39 9 22.62 32.57 51.23 61.39 16 23.02 33.05 51.48 61.44
3 22.60 32.76 51.50 61.22 10 22.67 32.67 51.64 61.50 17 23.02 32.95 51.55 61.62
5
武汉理工大学统计学系唐湘晋
一、Σ已知时单个总体均值向量的检验
设 X1, X2,…, Xn 是来自正态总体 N p ( μ , Σ ) 的样本, 考虑假设: H 0 :μ = μ 0 ,
H 1 :μ ≠ μ 0
a) p = 1 b) p > 1
U 1 )
T02 = n ( X − μ 0 )′ Σ − 1 ( X − μ 0 ) .
4
武汉理工大学统计学系唐湘晋
§3.2 多元正态分布的均值向量的检验
p维正态总体 N p (μ, Σ) 的统计推断问题，包括均 值向量的检验和均值的置信域问题。 p维正态随 机向量的每一个分量都是一元正态变量，若将p 维均值向量的检验问题化为p个一元正态的均值 检验问题，虽然可以使问题简化，但忽略了p个 分量间的互相依赖关系，常常得不出正确的结 论。
13
武汉理工大学统计学系唐湘晋
解:
⎡ X 1 ⎤ ⎡ 22.82 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ X 2 ⎥ ⎢ 32.79 ⎥ ⎥ = X=⎢ ⎢ X 3 ⎥ ⎢ 51.45 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ X 4 ⎥ ⎣ 61.38 ⎦ ⎢ ⎦ ⎣
1 21 V= ∑ (Xi − X)(Xi − X)′ 21 − 1 i=1 ⎡ 70.3076 ⎤ ⎢ −52.1469 ⎥ 73.5511 ⎥ =⎢ ⎢ 3.4462 −19.3637 ⎥ 90.4098 ⎢ ⎥ 1.2022 −33.6989 40.0895⎦ −6.9624 ⎣
厦门大学《应用多元统计分析》习题第03章 多元正态分布均值向量和协差阵的检验
3
2
50.5
2.25
53
2.25
3
51
2.5
51.5
2.5
4
56.5
3.5
51
3
5
52
3
51
3
6
76
9.5
77
7.5
7
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9
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10
8
74
9.5
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11
96
13.5
91
12
12
97
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13
13
99
16
94
15
14
92
11
92
12
15
94
15
91
12.5
3.6 1992 年美国总统选举的三位候选人为布什、佩罗特和克林顿。从支
持三位候选人的选民中分别抽取了 20 人，登记他们的年龄段（ x1 ）、受教育
程度（ x2 ）和性别（ x3 ）资料如下表所示：
投票人
x1
x2
x3
投票人
x1
x2
x3
布什
2
1
2
1
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11
1
1
2
2
1
3
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4
1
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0
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4
1
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2
14
3
4
2
5
3
1
鸢尾花多元正态分布检验步骤
鸢尾花多元正态分布检验步骤引言：鸢尾花（Iris）是一种常见的植物，也是统计学中经常用来进行多元正态分布检验的数据集。
多元正态分布检验是一种统计方法，用于检验多个变量是否满足正态分布的要求。
本文将介绍鸢尾花数据集的多元正态分布检验步骤。
一、数据收集和准备我们需要收集鸢尾花数据集，并对数据进行准备。
鸢尾花数据集包含四个变量：花萼长度（sepal length）、花萼宽度（sepal width）、花瓣长度（petal length）和花瓣宽度（petal width）。
我们可以使用开源数据集或者自己采集数据。
二、多元正态分布假设检验在进行多元正态分布检验之前，我们需要先对数据进行正态性检验。
常用的正态性检验方法有Shapiro-Wilk检验和Kolmogorov-Smirnov检验。
如果数据不满足正态分布，则不能进行多元正态分布检验。
三、变量独立性检验在进行多元正态分布检验之前，我们还需要检验各个变量之间的独立性。
独立性检验常用的方法包括Pearson相关系数和Spearman 等级相关系数。
如果变量之间存在显著相关性，则不能进行多元正四、协方差矩阵检验在进行多元正态分布检验之前，我们还需要检验变量之间的协方差矩阵。
协方差矩阵是一个对称矩阵，用于描述变量之间的关系。
常用的协方差矩阵检验方法有Bartlett检验和Mardia's测试。
如果协方差矩阵不满足正定要求，则不能进行多元正态分布检验。
五、多元正态分布检验在通过前面的步骤检验后，我们可以进行多元正态分布检验。
多元正态分布检验常用的方法是利用多元正态分布的概率密度函数和样本数据进行比较。
常用的统计量有马氏距离和多变量正态分布估计。
六、结果解释根据多元正态分布检验的结果，我们可以得出结论。
如果样本数据与多元正态分布的概率密度函数相吻合，则可以认为数据满足多元正态分布的要求。
如果样本数据与多元正态分布的概率密度函数存在显著差异，则可以认为数据不满足多元正态分布的要求。
第十二讲多元正态分布的参数估计与检验
H 0：? ? ? 0，H 1：? ? ? 0
令F
?
n (n ? p
p)( X
?
? 0 )T S ?1 ( X
?
? 0 ),
则可以证
明当 H 0 成立时，即 ? ? ? 0时，F ～ F ( p, n ? p)
而当
H
不成立时，
0
F
有偏大的趋势。因此，对
给定的显著性水平 ? ，当
F
?
n (n ?
?
?
)T V
?1(X
?
?
)?? ?
则称随机向量 X 为 p维正态随机向量，其中 ?
称为均值向量，V 为协方差矩阵(协差阵)，且
V ? 0. 对于一般情形V ? 0, 仍可定义多维正
态随机向量， 记为X ～ N p(? ,V )。 当 V ? 0时，
X有前面的密度表示，而当 |V |? 0 时， X 的分 布是退化的正态分布。
且相互独立， 故 ? 2 ? 分布的定义知 Y TY ～ ? 2 ( p).
二、参数的估计
在此给出多元正态分布的参数 ? 和V的估
计。为简单计，仅考虑 V ? 0 的情形。 设 X 1, X 2 ,? , X n (n ? p) 是来自多元正态总
体 N p (? ,V )的简单样本，令
? X
?
1 n
Y ～N p ( A? ? b, AVA T ).
（4） X 为 p 维正态随机向量的充要条件为对任
一 p维向量c， cT X 是一维正态随机变量。
（5）
设X
?
(
X
T 1
,
X
T 2
)T
为多维正态随机向量，
多元正态分布及检验
协方差分析
以前介绍的方差分析可用于两组或多组均数间 的比较，其处理因素一般是可以控制的。方差 分析要求各比较组除了所施加的处理因素不同 外，其他对观察指标有影响得因素齐同或均衡， 即要求控制对观察指标有影响的其它因素。在 实际工作中，有时有些因素无法加以控制，或 由于实验设计的疏忽、实验条件的限制等原因， 造成对观察指标有影响的个别因素未加控制或 难以控制。此时用方差分析不合适，应考虑用 协方差分析。
x1i x2i
x1i n
n 1
x2i
12 21 /
11 22 r12
x1ix2i
x1i
x2i
n
x2
1i
x1i
2
n
x2 2i
x2i
2
n
协方差阵与逆阵
11 21
12
22
1
1
11
22
2 12
22
12
21
11
1122
2 12
11 22
N k m ni nj
Di2j
F
一组资料（单样本）
对于单变量且服从正态分布资料的样本 与总体的比较，
变形
t = (X - m0) = n (X - m0)
S/ n
S
t2 = n(X - m0)S- 2 (X - m0)
当为多元资料时，此公式推广为HoTt2eling
T 2 = n(X - ) m0 ' S- (X - m0)
( ) ( ) T 2 = n1n2
n1 + n2
X1 -
X2
Sc- 1
X1 -
X2
其中 X1, X2为样本均数向量，S1, S2 为样本协方差阵， Sc 为合并 样本协方差阵。
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商业实验室
x1i(BOD)
6
x2i(SS)
27
6
23
18
64
8
44
11
30
34
75
28
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71
124
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州卫生实验室
y1i(BOD)
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15
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29
20
39
21
-19 -22 -18 -27 -4 -10 -14 17 9 4 -19 12 10 42 15 -1 11 -4 60 -2 10 -7
§2.2 两个正态总体均值 的成组比较
一元情形的回顾
两个多元正态总体均值成组比较
均值差的T2置信区间
均值差的Bonferroni置信区间
§2.3 两个正态总体均值 的成对比较
两个一元正态总体均值的成对比较
两个多元正态总体均值的成对比较
样品
i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
第二章 多元正态分布参数的检验
§2.1 单个正态总体均值的检验及置信区间 §2.2 两个正态总体均值的成组比较 §2.3 两个正态总体均值的成对比较
§2.1 单个正态总体均值的检 验及置信区间
一元正态总体均值检验的回顾
(1) 2 已知时
(2) 2 未知时
单个多元正态总体均值的检验
多元正态总体均值的T2置信区间
置信域和T2置信区间的关系
置信域和T2置信区间的关系（续）
n
K=p
2
4 10
15
0.88 0.69 0.29
25
0.90 0.75 0.48
50
0.91 0.78 0.58
100
0.91 0.80 0.62
0.91 0.81 0.66
联合置信区间与单一置信区间的比较
练习：
用两种工艺各生产50块肥皂，测量两个指标
X1=泡沫量，X2=舒适度。由两种工艺生产的肥 皂的汇总统计数字为
8.3 X1 4.1,
10.2 X2 3.9
2 1 S1 1 6
2 1 S2 1 4
问两种工艺制造的肥皂是否一致？ F0.05(2,97) 3.1 (认为两总体协方差矩阵相等)() 已知时马氏距离 的n倍
( X ) 1 ( X )
(2) 未知时
例题：
设一个容量为n 3的随机样本取自二维正态总体， 其样本数据为
n
123
x1
6 10 8
x2
963
试对0 (9,5)计算T2的值。
多元正态总体均值的置信域
置信域和T2置信区间的关系（续）
一元正态总体均值的置信区间