2019年北京各区高三一模文科数学分类汇编----解析几何

2019年北京各区高三一模文科数学分类汇编----解析几何1.（2019海淀一模文科）抛物线2:4W y x =的焦点为F ，点A 在抛物线形上，且点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则线段AF 的长度为 B (A)1 (B)2 (C)3 (D)42.（2019海淀一模文科）已知椭圆221:14x C y +=和双曲线2222:1(0)x C y m m-=>．经过1C 的左顶点A 和上顶点B 的直线与2C 的渐近线在第一象限的交点为P ，且AB BP =，则椭圆1C 的离心率1e = ，双曲线2C 的离心率2e =,23.（2019海淀一模文科）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为(2,0)A -，两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，过点(1,0)P 且与x 轴不重合的直线l 与椭圆交于,M N 不同的两点．(I)求椭圆P 的方程；(Ⅱ)当AM 与MN 垂直时，求AM 的长；(Ⅲ)若过点P 且平行于AM 的直线交直线52x =于点Q ，求证：直线NQ 恒过定点． 解：（Ⅰ）因为(2,0)A -，所以2a =因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，所以b c = 又222b c a +=所以b c = ，所以椭圆方程为22142x y +=（Ⅱ）方法一： 设(,)m m M x y 1m MP m y k x =-，=2m AM m yk x + 1AM MP k k ⋅=-22112142m m m mm m y y x x x y ⎧⋅=-⎪-+⎪⎨⎪+=⎪⎩m m x y =⎧⎪⎨=⎪⎩20m mx y =-⎧⎨=⎩（舍）所以AM 方法二： 设(,)m m M x y ， 因为AM 与MN 垂直，所以点M 在以AP 为直径的圆上， 又以AP 为直径的圆的圆心为1(,0)2-，半径为32，方程为2219()24x y ++=222219()24142m m m m x y x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，m m x y =⎧⎪⎨=⎪⎩20m mx y =-⎧⎨=⎩（舍）所以AM 方法三：设直线AM 的斜率为k ，:(2)AM l y k x =+ ，其中 0k ≠22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简得2222(12)8840k x k x k +++-=当0∆>时，228412A M k x x k -⋅=+得222412M k x k -=+ ，2421M k y k =+ 显然直线,AM MN 存在斜率且斜率不为0.因为AM 与MN 垂直，所以222421=24112MPk k k k k +=--+1k=- 得212k =，k =， 0M x =所以2M AM + （Ⅲ）直线NQ 恒过定点(2,0) 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由题意，设直线MN 的方程为1x my =+，由 221,240x my x y =+⎧⎨+-=⎩得22(2)230m y my ++-=，显然，0∆>，则12222m y y m -+=+，12232y y m -=+，因为直线PQ 与AM 平行，所以112PQ AM y k k x ==+， 则PQ 的直线方程为11(1)2y y x x =-+， 令52x =，则111133222(3)y y y x my ==++，即1135(,)22(3)y Q my + 121122112232(3)2635(3)(23)2NQ y y my my y y y k my my x -++-==+--， 直线NQ 的方程为12212221221263()2639my y y y y y x x m y y my my +--=-+-- 12211221222212211221263(263)(1)26392639my y y y my y y y my y x y m y y my my m y y my my +-+-+=-++--+--122112212212211221263215326392639my y y y my y y y x m y y my my m y y my my +-+-=-+--+--令0y =，得122112212153263my y y y x my y y y +-=+-因为121223()my y y y =+，故221829y x y ==， 所以直线NQ 恒过定点(2,0).4.（2019朝阳一模文科）已知圆22:(2)2C x y -+=，直线:2l y kx =-. 若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条的切线12,l l ，使得12l l ⊥，则实数k 的取值范围是 DA. [0,2-)2+∞（）UB. 22[C. ∞(-,0)D. )∞[0,+ 5.（2019朝阳一模文科）双曲线2214x y -=的右焦点到其一条渐近线的距离是 .1 6.（2019朝阳一模文科）已知点00(,)M x y 为椭圆22:12x C y +=上任意一点，直线00:22l x x y y +=与圆22(1)6x y -+=交于,A B 两点，点F 为椭圆C 的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率及左焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证：直线l 与椭圆C 相切；（Ⅲ）判断AFB ∠是否为定值，并说明理由．（Ⅰ）由题意a ，1b =，1c ==所以离心率c e a ==，左焦点(1,0)F -． …………4分 （Ⅱ）由题知，220012x y +=，即220022x y +=. 当00y =时直线l方程为x =x =l 与椭圆C 相切． 当00y ≠时，由22001,222x y x x y y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得2222000(2)4440y x x x x y +-+-=， 即22002220x x x y -+-= 所以 2200(2)4(22)x y ∆=---22004+880x y =-= 故直线l 与椭圆C 相切． …………8分（Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当00y =时，12x x =，12y y =-，1x =，2211(1)FA FB x y ⋅=+-2211(1)6(1)x x =+-+-21240x =-=，所以FA FB ⊥，即90AFB ∠=．当00y ≠时，由220(1)6,22x y x x y y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 得2222000(1)2(2)2100y x y x x y +-++-=， 则20012202(2)1y x x x y ++=+，2012202101y x x y -=+， 2001212122220001()42x x y y x x x x y y y =-++200254422x x y --+=+． 因为1122(1,)(1,)FA FB x y x y ⋅=+⋅+ 1212121x x x x y y =++++2222000000220042084225442222y y x y x x y y -++++--+=+++ 220025(2)10022x y y -++==+． 所以FA FB ⊥，即90AFB ∠=．故AFB ∠为定值90． …………14分7.（2019西城一模文科）如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线2||2y x =-围成的平面区域的直径为 B （A ）2 （B ）4 （C）（D）8.（2019西城一模文科）设1F ，2F 为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的两个焦点，若双曲线C 的两个顶点恰好将线段12F F 三等分，则双曲线C 的离心率为____．39.（2019西城一模文科）已知椭圆W :2214x y m m +=的长轴长为4，左、右顶点分别为,A B ，经过点(1,0)P 的动直线与椭圆W 相交于不同的两点,C D （不与点,A B 重合）. （Ⅰ）求椭圆W 的方程及离心率； （Ⅱ）求四边形ACBD 面积的最大值；（Ⅲ）若直线CB 与直线AD 相交于点M ，判断点M 是否位于一条定直线上？若是，写出该直线的方程. （结论不要求证明）解：（Ⅰ）由题意，得244a m == , 解得1m =. ……………… 1分所以椭圆W 方程为2214x y +=. ………………2分故2a =，1b =，c =所以椭圆W的离心率2c e a ==. ……………… 4分（Ⅱ）当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为1x =，代入椭圆W的方程，得C，(1,D ， 又因为||24AB a ==，AB CD ⊥， 所以四边形ACBD的面积1||||2S AB CD =⨯= ……………… 6分当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立方程22(1), 1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得2222(41)8440k x k x k +-+-=. …… 7分由题意，可知0∆>恒成立，则2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+. (8)分四边形ACBD 的面积ABC ABD S S S ∆∆=+1211||||||||22AB y AB y =⨯+⨯ ……… 9分121||||2AB y y =⨯-122|()|k x x =-==设241k t +=，则四边形ACBD的面积S =1(0,1)t∈，所以S = 综上，四边形ACBD面积的最大值为. ……………… 11分（Ⅲ）结论：点M 在一条定直线上，且该直线的方程为4x =. (14)分10. （2019丰台一模文科）双曲线221169x y -=的渐近线方程为____．34y x =± 11.（2019丰台一模文科）直线2y kx =+与圆224x y +=相交于,M N 两点，若||MN =，则k =____．1±12.（2019丰台一模文科）已知椭圆22:22W x y +=，直线1:(0)l y kx m km =+≠与椭圆W 交于,A B 两点，直线2:l y kx m =-与椭圆W 交于,C D 两点． （Ⅰ）求椭圆W 的离心率；（Ⅱ）证明：四边形ABCD 不可能为矩形．解：（Ⅰ）由题知2222221a b a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩则2c e a ==， 所以椭圆W的离心率为2. （Ⅱ）由于两直线关于原点成中心对称且椭圆是关于原点的中心对称图形.不妨设()()()()()1122112212,,,,,,,A x y B x y C x y D x y x x ----≠±.则221122222222x y x y ⎧+=⎨+=⎩L L ①②②−①得()()222221212y y x x -=--，()()()()2221212122212121112AB AD y y y y y y k k x x x x x x ----⋅=⋅==-≠-----. 所以 AB 不垂直于AD .所以 四边形ABCD 不可能为矩形.13（2019石景山一模文科）已知抛物线22(0)y px p =>的准线为l ，l 与双曲线2214x y -=的渐近线分别交于 ,A B 两点．若||4AB =，则p =______ ．814.（2019石景山一模文科）在直角坐标系xOy 中，点()11,A x y 和点()22,B x y 是单位圆221x y +=上两点，=1AB ，则AOB ∠=______；12|2||2|y y +++的最大值为 _ ．π34．15.（2019石景山一模文科）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为(,0)F c ，左顶点为A ，右顶点B 在直线l :2x =上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上异于A ，B 的点，直线AP 交直线l 于点D ，当点P 运动时，判断以BD 为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．解：（Ⅰ）依题可知(0)B a ，，2a = 因为12c e a == ， 所以1c =b故椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切．PF证明如下：由题意可设直线AP 的方程为(2)(0)y k x k =+≠． 则点D 坐标为24)k （，，BD 中点E 的坐标为22)k （，，由得 ．设点的坐标为，则．所以，． 因为点坐标为， ①当时，点的坐标为，直线PF 的方程为1x =， 点的坐标 为．此时以为直径的圆与直线相切． ② 当时，直线的斜率． 所以直线的方程为,即214104k x y k ---=． 故点到直线的距离221414|221||2|k k k d k -+-⨯-===（或直线的方程为224401414k kx y k k --=--,故点到直线的距离） 又因为k R BD 42== ，故以为直径的圆与直线相切． 综上得，当点P 运动时，以为直径的圆与直线相切．解法二:（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切．22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(34)1616120k x k x k +++-=P 00(,)x y 2021612234k x k --=+2026834k x k-=+00212(2)34k y k x k =+=+F (1, 0)12k =±P 3(1, )2±D (2, 2)±BD 22(2)(1)1x y -+=PF 12k ≠±PF 0204114PF y k k x k ==--PF 24(1)14k y x k=--E PF PF EPF d =322228142||14|14|k k k k k k +-==+-BD PF BD PF BD PF证明如下: 设点00(,)P x y ,则220001(0)43x y y +=≠① 当01x =时,点的坐标为，直线PF 的方程为1x =， 点的坐标为， 此时以为直径的圆与直线相切， ② 当1x ≠时直线AP 的方程为00(2)2y y x x =++， 点D 的坐标为004(2,)2y x +,中点的坐标为002(2,)2y x +,故002||||2y BE x =+ 直线的斜率为001PF y k x =-, 故直线PF 的方程为00(1)1y y x x =--,即00110x x y y ---=, 所以点到直线的距离00012|21|2||||2x y y d BE x --⨯-===+ 故以为直径的圆与直线相切．综上得，当点P 运动时，以为直径的圆与直线相切．16.（2019延庆一模文科）圆心为(0,1)且与直线2y =相切的圆的方程为 C（A ）22(1)1x y -+= （B ）22(1)1x y ++= （C ）22(1)1x y +-=（D ）22(1)1x y ++=17.（2019延庆一模文科）“01k <<”是“方程22112x y k k +=-+表示双曲线”的 A （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件18.（2019延庆一模文科）已知椭圆G :22212x y a +=，左、右焦点分别为(,0)c -、(,0)c ，若点(,1)M c 在椭圆上， （Ⅰ）椭圆的标准方程； （Ⅱ）若直线:l 20(0)y m m -+=≠与椭圆G 交于两个不同的点A ，B ，直线MA ，P 3(1, )2±D (2, 2)±BD 22(2)(1)1x y -+=PF BD E PF E PF BD PF BD PFMB 与x 轴分别交于P ，Q 两点，求证：PM QM =解：（Ⅰ）(,1)M c 在椭圆22212x y a +=上 2212c a ∴= , 由22b =解得 24a ∴= ………………3分所以，椭圆的标准方程为22142x y +=………………4分 (Ⅱ)由2220,1,42y m x y-+=⎨+=⎪⎩得22480x m ++-=．………………5分 因为直线l 与椭圆C 有两个交点，并注意到直线l 不过点M ，所以22844(8)0,0.m m m ⎧-⨯->⎨≠⎩解得40m -<<或04m <<．……………6分设11(,)A x y ，22(,)B x y，则122x x m +=-，21284m x x -=,……………8分112my +=，222m y +=．……………10分显然直线MA 与MB 的斜率存在，设直线MA 与MB 的斜率分别为1k ，2k ， 由（Ⅰ）可知M则12k k +=……………11分211)(1)(x x -+===28)(m m ----+=2=220==．因为120k k +=，所以MPQ MQP ∠=∠．……………13分所以PM QM =． ………………14分19.（2019怀柔一模文科）已知抛物线22=y px 的准线方程为1x =-，则=p __________．220.（2019怀柔一模文科）以原点(0,0)O 为圆心，以1为半径的圆C 的方程为__________；若点P 在圆C 上，点A 的坐标为(2,0)-，则AO A P ⋅的最大值为__________．221+=x y ，6.21.（2019怀柔一模文科）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，点(0,)B b 满足||2FB =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点F 作直线l 交椭圆E 于M N 、两点，若BFM ∆与BFN ∆的面积之比为2，求直线l 的方程．解 （Ⅰ） 椭圆的右焦点为，点满足，，解得.由公式，得所以所以椭圆的方程为22143+=x y ------------------------------------------------5分 （Ⅱ）直线l 的斜率不存在时，,,不符合题意；设直线l 的方程为y=k(x-1),由得，（3+4）2222:1(0)x y E a b a b+=>>(1,0)F (0,)B b ||2FB =2=0)b b =>222c a b =-2134,2(0)a a a =+==>2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩E FM FM=BFN BFM S S ∆∆={134)1(22=+-=y x x k y 2k 01248222=-+-k x k x设M(①②由，得， 即. 可得， 即 ③由① ③ 得， 代入② 得， 解得， 所以，所求直线的方程为. ------------------------------------13分 22.（2019东城一模文科） 已知圆22:20C x x y ++=，则圆心C 到直线3x =的距离等于 D（A ）1（B ）2 （C ）3 （D ）423.（2019东城文科一模）抛物线C :22y px =上一点0(1,)y 到其焦点的距离为3，则抛物线C 的方程为_______.28y x =24.（2019东城文科一模）已知3(2,0),(1,)2A P -为椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：上两点，过点P 且斜率为,(0)k k k ->的两条直线与椭圆M 的交点分别为,B C . （Ⅰ）求椭圆M 的方程及离心率；（Ⅱ）若四边形PABC 为平行四边形，求k 的值．解：（I ）由题意得222,191.4a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ (),11N y x ),,22y x 2221438恒成立。