高考数学一轮复习第五篇数列(必修5)第2节等差数列课件理
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高中数学人教版必修5课件：2.2.1等差数列(共21张PPT)
1、理解等差数列的概念及分类； 2、掌握等差中项； 3、探索并掌握等差数列的通项公式并能解决
一些简单问题； 4、通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、
推理的能力，渗透由特殊到一半的思想。 • 重点：等差数列的概念及通项公式。 • 难点：概括通项同事推导过程中的数学思
想方法。
研究发现我国儿童年龄在2-12周
岁之间，其标准的身高、体重大
致成规律性变化：
你能预测12岁儿童
相差7
的身高和体重吗？
年龄 2 3 4 5 6 … 11 12
身高 84 91 98 105 112 … 147 154 （cm）
体重 12 14 16 18 20 … 30 32 （kg）
相差2 （1）84，91，98，105，112，…，147，154； （2）12，14，16，18，20，…，30，32.
• 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常 用字母d表示。
• 即：an-an-1=d
观察：以下数列有什么共同特点？ 相差7
相差2(1) 84，91，98，105，112，…，147，154. (2) 12，14，16，18，20，…，30，32 相差4 (3) 1996，2000，2004，2008，2012，2016
1896年，雅典举行第一届现代奥运会，到2012年 的伦敦奥运会已经是第30届奥运会。 相差4
（3）1896，1900，1904，…，2008，2012，（2016 ）
你能预测出第31届 奥运会的时间吗？
1、等差数列的定义：
• 如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项的差等于同一个常数，这个数列就 叫做等差数列。
2.2 等差数列
Yesterday once more
一些简单问题； 4、通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、
推理的能力，渗透由特殊到一半的思想。 • 重点：等差数列的概念及通项公式。 • 难点：概括通项同事推导过程中的数学思
想方法。
研究发现我国儿童年龄在2-12周
岁之间，其标准的身高、体重大
致成规律性变化：
你能预测12岁儿童
相差7
的身高和体重吗？
年龄 2 3 4 5 6 … 11 12
身高 84 91 98 105 112 … 147 154 （cm）
体重 12 14 16 18 20 … 30 32 （kg）
相差2 （1）84，91，98，105，112，…，147，154； （2）12，14，16，18，20，…，30，32.
• 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常 用字母d表示。
• 即：an-an-1=d
观察：以下数列有什么共同特点？ 相差7
相差2(1) 84，91，98，105，112，…，147，154. (2) 12，14，16，18，20，…，30，32 相差4 (3) 1996，2000，2004，2008，2012，2016
1896年，雅典举行第一届现代奥运会，到2012年 的伦敦奥运会已经是第30届奥运会。 相差4
（3）1896，1900，1904，…，2008，2012，（2016 ）
你能预测出第31届 奥运会的时间吗？
1、等差数列的定义：
• 如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项的差等于同一个常数，这个数列就 叫做等差数列。
2.2 等差数列
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高考数学第一轮知识点 第2课时 等差数列及其前n项和课时复习课件 理
∴n－n 1＝43.∴n＝4，an＝11.
∴数列的中间项为 11，项数为 7.
【变式训练】 3.在等差数列{an}中，Sn 表示其 前 n 项和． (1)若 a3＋a17＝10，求 S19 的值； (2)若 S4＝124，Sn－4＝54，Sn＝210，求项数 n； (3)若 S4＝1，S8＝4，求 a17＋a18＋a19＋a20 的值．
解析： (1)S19＝a1＋a219×19＝a3＋a217×19
＝95.
(2)SS4n＝－aS1n＋－4＝a2＋an＋a3＋ana－41＝＋1a2n－42，＋an－3＝156，
由两式相加得 a1＋an＝70. ∴Sn＝a1＋a2n×n＝70×2 n＝210. ∴n＝6. (3)S4＝1，S8－S4＝3，S12－S8，S16－S12，S20 －S16 成等差数列，首项为 1，公差为 2，
解得ad1＝＝21. 2，
所以 an＝2n＋10.
(2)由 Sn＝na1＋nn2－1d，Sn＝242， 得 12n＋nn2－1×2＝242.解得 n＝11 或 n＝ －22(舍去)．
等差数列的性质
1．等差数列的单调性 等差数列公差为 d，若 d＞0，则数列递增； 若 d＜0，则数列递减；若 d＝0，则数列为常数 列． 2．等差数列的最值 若{an}是等差数列，求前 n 项和的最值时， (1)若 a1＞0，d＜0，且满足aann≥ ＋1≤0，0， 前 n 项和 Sn 最大；
等差数列的判断与证明
判断或证明数列{an}为等差数列，常见的方法 有以下几种： (1)利用定义：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)； (2)利用等差中项：2an＋1＝an＋an＋2；
(3)利用通项公式：an＝dn＋c(d、c 为常数)，d 为公差．当 d≠0 时，通项公式 an 是关于 n 的 一次函数；d＝0 时为常函数，也是等差数列； (4)利用前 n 项和公式：Sn＝an2＋bn(a、b 为常 数)．若一个数列的前 n 项和为关于 n 的二次
∴数列的中间项为 11，项数为 7.
【变式训练】 3.在等差数列{an}中，Sn 表示其 前 n 项和． (1)若 a3＋a17＝10，求 S19 的值； (2)若 S4＝124，Sn－4＝54，Sn＝210，求项数 n； (3)若 S4＝1，S8＝4，求 a17＋a18＋a19＋a20 的值．
解析： (1)S19＝a1＋a219×19＝a3＋a217×19
＝95.
(2)SS4n＝－aS1n＋－4＝a2＋an＋a3＋ana－41＝＋1a2n－42，＋an－3＝156，
由两式相加得 a1＋an＝70. ∴Sn＝a1＋a2n×n＝70×2 n＝210. ∴n＝6. (3)S4＝1，S8－S4＝3，S12－S8，S16－S12，S20 －S16 成等差数列，首项为 1，公差为 2，
解得ad1＝＝21. 2，
所以 an＝2n＋10.
(2)由 Sn＝na1＋nn2－1d，Sn＝242， 得 12n＋nn2－1×2＝242.解得 n＝11 或 n＝ －22(舍去)．
等差数列的性质
1．等差数列的单调性 等差数列公差为 d，若 d＞0，则数列递增； 若 d＜0，则数列递减；若 d＝0，则数列为常数 列． 2．等差数列的最值 若{an}是等差数列，求前 n 项和的最值时， (1)若 a1＞0，d＜0，且满足aann≥ ＋1≤0，0， 前 n 项和 Sn 最大；
等差数列的判断与证明
判断或证明数列{an}为等差数列，常见的方法 有以下几种： (1)利用定义：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)； (2)利用等差中项：2an＋1＝an＋an＋2；
(3)利用通项公式：an＝dn＋c(d、c 为常数)，d 为公差．当 d≠0 时，通项公式 an 是关于 n 的 一次函数；d＝0 时为常函数，也是等差数列； (4)利用前 n 项和公式：Sn＝an2＋bn(a、b 为常 数)．若一个数列的前 n 项和为关于 n 的二次
人教A版高中数学必修5课件：2.2等差数列定义及通项公式(共37张PPT)
∴294<d≤3.又 d 为整数， ∴d＝3. ∴an＝a1＋(n－1)·d＝－24＋3(n－1)＝3n－27. ∴通项公式为 an＝3n－27.
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始， 每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等 方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
[答案] B
4．首项是 18，公差为 3 的等差数列的第________项开
始大于 100.
[解析] 由题意 an＝18＋3(n－1)＝3n＋15，
由
3n＋15>100
得
1 n>283.
∵n∈N*，
∴n＝29，即从 29 项开始大于 100.
[答案] 29
5．若b＋1 c，c＋1 a，a＋1 b成等差数列，求证：a2，b2，c2 成等差数列．
又∵d 是整数，∴d＝－4.故选 C. [答案] C
二、填空题
5．若 x≠y，数列 x，a1，a2，y 和 x，b1，b2，b3，y 各
自成等差数列，则ab11－ －ab22＝________. [解析] 由于 a1－a2＝x－3 y，b1－b2＝x－4 y，则ab11－ －ab22＝43.
[答案]
(2)若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，证明该 数列为常数列．
[解] (1)由等方差数列的定义可知：a2n－a2n－1＝p(n≥2)． (2)解法一：∵{an}是等差数列，设公差为 d，则 an－an －1＝an＋1－an＝d(n≥2)．又{an}是等方差数列，∴a2n－a2n－1＝ a2n＋1－a2n(n≥2)，∴(an＋an－1)(an－an－1)＝(an＋1＋an)(an＋1－ an)，即 d(an＋an－1－an＋1－an)＝－2d2＝0，∴d＝0，即{an} 是常数列．
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始， 每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等 方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
[答案] B
4．首项是 18，公差为 3 的等差数列的第________项开
始大于 100.
[解析] 由题意 an＝18＋3(n－1)＝3n＋15，
由
3n＋15>100
得
1 n>283.
∵n∈N*，
∴n＝29，即从 29 项开始大于 100.
[答案] 29
5．若b＋1 c，c＋1 a，a＋1 b成等差数列，求证：a2，b2，c2 成等差数列．
又∵d 是整数，∴d＝－4.故选 C. [答案] C
二、填空题
5．若 x≠y，数列 x，a1，a2，y 和 x，b1，b2，b3，y 各
自成等差数列，则ab11－ －ab22＝________. [解析] 由于 a1－a2＝x－3 y，b1－b2＝x－4 y，则ab11－ －ab22＝43.
[答案]
(2)若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，证明该 数列为常数列．
[解] (1)由等方差数列的定义可知：a2n－a2n－1＝p(n≥2)． (2)解法一：∵{an}是等差数列，设公差为 d，则 an－an －1＝an＋1－an＝d(n≥2)．又{an}是等方差数列，∴a2n－a2n－1＝ a2n＋1－a2n(n≥2)，∴(an＋an－1)(an－an－1)＝(an＋1＋an)(an＋1－ an)，即 d(an＋an－1－an＋1－an)＝－2d2＝0，∴d＝0，即{an} 是常数列．
高考北师大版数学(理)一轮复习课件：第五章 第二节 等差数列及其前n项和
(2)由(1)得 a1＝－4d，故 an＝(n－5)d， Sn＝n（n－2 9）d． 由 a1>0 知 d<0，故 Sn≥an 等价于 n2－11n＋10≤0，解得 1≤n≤10．所以 n 的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．
等差数列运算中方程思想的应用 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公 式或前n项和公式转化为方程(组)求解． (2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n， Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
等差数列的判定与证明方法 (1)定义法：对于任意自然数 n(n≥2)，an－an－1(n≥2，n∈N＋)为同一常数 ⇔{an}是等差数列． (2)等差中项法：2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)成立⇔{an}是等差数列． (3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q 为常数)对任意的正整数 n 都成立⇔{an} 是等差数列． (4)前 n 项和公式法：验证 Sn＝An2＋Bn(A，B 是常数)对任意的正整数 n 都成立⇔{an}是等差数列．
(2)等差数列的前 n 项和公式 Sn＝n（a12＋an）＝__n_a_1_＋__n_（__n_－ 2__1_）__d__(其中 n∈N＋，a1 为首项，d 为公差，
an 为第 n 项)．
要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从 第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不 是等差数列．
等差数列的公差 d 的取值范围是( D )
A．d＞785
B．d＜235
C．785＜d＜235
D．785＜d≤235
解析：由题意可得aa190≤＞11，，即221155＋＋98dd＞≤11，，解得785＜d≤235．
高考数学一轮复习第五章数列推理与证明第2讲等差数列课件理
第十页，共四十三页。
考点(kǎo di等ǎn)差1数列的基本(jīběn)运算 例 1：(1)(2017 年新课标Ⅰ)记 Sn为等差数列(děnɡ chā shù liè){an}的前n项 和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
第十一页，共四十三页。
解析：方法一，设公差为 d，a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝2a1 ＋7d＝列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝15，且满足2ann－＋13＝
2na－n 5＋1，已知 n，m∈N*，n>m，则 Sn－Sm 的最小值为(
第2讲 等差数列(děnɡ chā shù liè)
第一页，共四十三页。
1.理解(lǐjiě)等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解
决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数的关系.
第二页，共四十三页。
1.等差数列的定义
7.等差数列的最值
在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若
a1<0，d>0，则Sn存在(cúnzài)最_小_____值.
第六页，共四十三页。
1.(2015 年重庆(zhònɡ qìnɡ))在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6 ＝( B )
A.－1
第七页，共四十三页。
第十六页，共四十三页。
考点(kǎo diǎ等n) 差2 数列的基本性质(xìngzhì)及应用 例2：(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝5，则S40 ＝( ) A. 思路点拨：思路1，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，根据 (gēnjù)题意列方程组求得a1，d，进而可用等差数列前n项和公式求S40； 思路2，设{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn，由题意列出方程组求得A， B，从而得Sn，进而得S40；
考点(kǎo di等ǎn)差1数列的基本(jīběn)运算 例 1：(1)(2017 年新课标Ⅰ)记 Sn为等差数列(děnɡ chā shù liè){an}的前n项 和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
第十一页，共四十三页。
解析：方法一，设公差为 d，a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝2a1 ＋7d＝列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝15，且满足2ann－＋13＝
2na－n 5＋1，已知 n，m∈N*，n>m，则 Sn－Sm 的最小值为(
第2讲 等差数列(děnɡ chā shù liè)
第一页，共四十三页。
1.理解(lǐjiě)等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解
决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数的关系.
第二页，共四十三页。
1.等差数列的定义
7.等差数列的最值
在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若
a1<0，d>0，则Sn存在(cúnzài)最_小_____值.
第六页，共四十三页。
1.(2015 年重庆(zhònɡ qìnɡ))在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6 ＝( B )
A.－1
第七页，共四十三页。
第十六页，共四十三页。
考点(kǎo diǎ等n) 差2 数列的基本性质(xìngzhì)及应用 例2：(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝5，则S40 ＝( ) A. 思路点拨：思路1，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，根据 (gēnjù)题意列方程组求得a1，d，进而可用等差数列前n项和公式求S40； 思路2，设{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn，由题意列出方程组求得A， B，从而得Sn，进而得S40；
2023年新教材高考数学一轮复习第五章数列第二节等差数列课件
[提速度]
1．(2022·枣庄质检)已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，
所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为
()
A．28
B．29
C．30
D．31
解析：由结论(8)，设项数为奇数2n－1，S奇－S偶＝an＝319－290＝29， 故选B．
答案：B
2．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 020，2S2002200 －2S2001144 ＝6，则S2 023＝
b1＋2 b5＝192＋ 2 64＝128．故选C．
答案：C
2．已知等差数列{an}满足a4＋a6＝22，a1·a9＝57，则该等差数列的公差为 ( )
A．1或－1
B．2
C．－2
D．2或－2
解析：由a1＋a9＝a4＋a6＝22，a1·a9＝57，所以a1，a9是方程x2－22x＋57＝0的两 实数根，解得aa19＝ ＝31，9 或aa19＝ ＝13，9， 所以公差d＝a9－8 a1＝2或－2．故选D． 答案：D
第二节 等差数列
(1)理解等差数列的概念和通项公式的意义；(2)探索并掌握等差数列的前n项 和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系；(3)体会等差数列与一 元一次函数的关系．
目录
CONTENTS
1
知识 逐点夯实
2
考点 分类突破
3
课时过关检测
01 知识 逐点夯实 课前自修
重点准 逐点清 结论要牢记
等差数列的判定与证明方法 方法
解读
适合题型
定义法 对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N *)为同一常
数⇔{an}是等差数列
解答题中的
高考数学总复习 第5章 第2讲 等差数列及其前n项和课件 理 新人教A版
3 个必知问题 1. 知三求二：已知 a1、d、n、an、Sn 中的任意三个，即可求 得其余两个，这体现了方程思想． 2. Sn＝d2n2＋(a1－d2)n＝An2＋Bn⇒d＝2A.
第五页，共53页。
3. 利用Sn的图象(túxiànɡ)确定其最值时，最高点不一定是最 大值，最低点不一定是最小值.
[解析] (1)本题考查等差数列的基础量运算． 设{an}的公差为 d，由 S2＝a3 可得 d＝a1＝12，故 a2＝a1 ＋d＝1，Sn＝na1＋nn－2 1d＝14n(n＋1)． (2)设等差数列的公差为 d，由于数列是递增数列，所以 d>0，a3＝a1＋2d＝1＋2d，a2＝a1＋d＝1＋d，代入已知条件： a3＝a22－4 得：1＋2d＝(1＋d)2－4，解得 d2＝4，所以 d＝2(d ＝－2 舍去)，所以 an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. [答案] (1)1 14n(n＋1) (2)2n－1
第十二页，共53页。
(3)d>0⇔{an}是递增数列，Sn 有最小值；d<0⇔{an}是递 减数列，Sn 有最大值；d＝0⇔{an}是常数数列．
(4)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为 kd. (5)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (6)S2n－1＝(2n－1)an. (7)若 n 为偶数，则 S 偶－S 奇＝n2d. 若 n 为奇数，则 S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．
常数． [解]
证明：由题设知 an＋1＝ aan＋2n＋bbnn2＝
1＋bann ＝ 1＋bann2
bn＋1 ，所以bn＋1＝
1＋abnn2
an＋1
1＋bann2，从而abnn＋＋112－bann2＝1(n
第五页，共53页。
3. 利用Sn的图象(túxiànɡ)确定其最值时，最高点不一定是最 大值，最低点不一定是最小值.
[解析] (1)本题考查等差数列的基础量运算． 设{an}的公差为 d，由 S2＝a3 可得 d＝a1＝12，故 a2＝a1 ＋d＝1，Sn＝na1＋nn－2 1d＝14n(n＋1)． (2)设等差数列的公差为 d，由于数列是递增数列，所以 d>0，a3＝a1＋2d＝1＋2d，a2＝a1＋d＝1＋d，代入已知条件： a3＝a22－4 得：1＋2d＝(1＋d)2－4，解得 d2＝4，所以 d＝2(d ＝－2 舍去)，所以 an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. [答案] (1)1 14n(n＋1) (2)2n－1
第十二页，共53页。
(3)d>0⇔{an}是递增数列，Sn 有最小值；d<0⇔{an}是递 减数列，Sn 有最大值；d＝0⇔{an}是常数数列．
(4)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为 kd. (5)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (6)S2n－1＝(2n－1)an. (7)若 n 为偶数，则 S 偶－S 奇＝n2d. 若 n 为奇数，则 S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．
常数． [解]
证明：由题设知 an＋1＝ aan＋2n＋bbnn2＝
1＋bann ＝ 1＋bann2
bn＋1 ，所以bn＋1＝
1＋abnn2
an＋1
1＋bann2，从而abnn＋＋112－bann2＝1(n
高考数学一轮总复习第五章数列2等差数列课件高三全册数学课件
(2)因为{an}是等差数列，公差为 d，所以 a3(n＋1)－a3n＝3d(与 n 值无关的常数)，所以数列{a3n}也是等差数列．
(3)设等差数列{an}，{bn}的公差分别为 d1，d2，则 pan＋1＋ qbn＋1－(pan＋qbn)＝p(an＋1－an)＋q(bn＋1－bn)＝pd1＋qd2(与 n 值无 关的常数)，即数列{pan＋qbn}也是等差数列．
钱．( C )
5
3
A.3
B.2
4
5
C.3
D.4
第二十三页，共四十八页。
解析：设甲、乙、丙、丁、戊分别为 a－2d，a－d，a，a＋d， a＋2d，由题意可得：
a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5， a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d， 联立解得 a＝1，d＝－16. ∴这个问题中，甲所得为 1－2×(－16)＝43(钱)． 故选 C.
(2)(2019·全国卷Ⅲ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a1≠0，a2
＝3a1，则SS150＝____4____.
第十六页，共四十八页。
【解析】 (1)解法 1：设等差数列{an}的公差为 d，
∵Sa45＝ ＝05， ，
∴4a1＋4×2 3d＝0， a1＋4d＝5，
解得da＝1＝2－，3，
(1)在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则 a10＝ 18 .
(2)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝－5，S9＝27，则公
差 d＝ 2 .
(3)在等差数列{an}中，若 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则 a2＋a8
＝ 180 . (4)在等差数列{an}中，S6＝4，S18＝24，则 S12＝ 12 .
(3)设等差数列{an}，{bn}的公差分别为 d1，d2，则 pan＋1＋ qbn＋1－(pan＋qbn)＝p(an＋1－an)＋q(bn＋1－bn)＝pd1＋qd2(与 n 值无 关的常数)，即数列{pan＋qbn}也是等差数列．
钱．( C )
5
3
A.3
B.2
4
5
C.3
D.4
第二十三页，共四十八页。
解析：设甲、乙、丙、丁、戊分别为 a－2d，a－d，a，a＋d， a＋2d，由题意可得：
a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5， a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d， 联立解得 a＝1，d＝－16. ∴这个问题中，甲所得为 1－2×(－16)＝43(钱)． 故选 C.
(2)(2019·全国卷Ⅲ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a1≠0，a2
＝3a1，则SS150＝____4____.
第十六页，共四十八页。
【解析】 (1)解法 1：设等差数列{an}的公差为 d，
∵Sa45＝ ＝05， ，
∴4a1＋4×2 3d＝0， a1＋4d＝5，
解得da＝1＝2－，3，
(1)在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则 a10＝ 18 .
(2)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝－5，S9＝27，则公
差 d＝ 2 .
(3)在等差数列{an}中，若 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则 a2＋a8
＝ 180 . (4)在等差数列{an}中，S6＝4，S18＝24，则 S12＝ 12 .
高考数学一轮复习第五章数列2等差数列课件理高三全册数学课件
＋a3＋a10＝9，则 S9＝( D )
A．3
B．9
C．18
D．27
2021/12/13
第二十八页，共四十一页。
【解析】 (1)∵在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，∴ 由等差数列的性质可得 a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，∴a8＝24，∴ a2＋a14＝2a8＝48.故选 D.
2021/12/13
第二十六页，共四十一页。
(2)由n＋112n＋1<2nn1＋1
＝121n－n＋1 1，
可得数列a1n的前 n 项和 Sn＝a11＋a12＋…＋a1n≤16＋12×12－13
＋13－14＋…＋1n－n＋1 1＝16＋1212－n＋1 1<16＋14＝152，即
5 Sn<12.
2021/12/13
第七页，共四十一页。
2．若等差数列{an}的公差为 d，则数列{a2n－1}是( B )
A．公差为 d 的等差数列 B．公差为 2d 的等差数列 C．公差为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱnd 的等差数列 D．非等差数列
解析：数列{a2n－1}其实就是 a1，a3，a5，a7，…，奇数项组成 的数列，它们之间相差 2d.
2021/12/13
∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选 B.
2021/12/13
第十页，共四十一页。
解法 2：设等差数列{an}的公差为 d，∵3S3＝S2＋S4，∴3S3 ＝S3－a3＋S3＋a4，∴S3＝a4－a3，∴3a1＋3×2 2d＝d，∵a1＝2， ∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选 B.
第八页，共四十一页。
知识点二 等差数列的通项公式与前 n 项和公式
2020版高考数学总复习第五篇数列(必修)第2节等差数列课件理
所以
8a1
8 2
7
d
4a1
4 2
3
d
36,
a1 5d 2a1 6d ,
解得
ad1
2, 2.
故选
A.
(2)已知{an}是公差为 1 的等差数列,Sn 为{an}的前 n 项和.若 S8=4S4,则 a10 等于( )
(A) 17 2
16
2 64
因为 a1>0,n∈N*,
所以当 n=8 或 n=9 时,Sn 有最大值.
法三 设等差数列{an}的公差为 d,由法二得 d=- 1 a1<0. 8
设此数列的前
n
项和最大,则
aann
1
0, 0,
(1)求证:{ 1 }成等差数列; Sn
(1)证明:当 n≥2 时,由 an+2SnSn-1=0,得 Sn-Sn-1=-2SnSn-1,
所以 1 - 1 =2,又 1 = 1 =2,
S n Sn1
S1 a1
故{ 1 }是首项为 2,公差为 2 的等差数列. Sn
(2)求数列{an}的通项公式.
(2)解:由(1)可得 1 =2n,所以 Sn= 1 .
6.把下列结论正确的序号填在横线上
.
①若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是
等差数列.
②等差数列{an}的单调性是由公差d决定的. ③等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.
④已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差为-2.
答案:②④
考点专项突破
在讲练中理解知识
2016届高考数学总复习课件：第5章-第2节 等差数列及其前n项和
战 沙 场
切
点
脉 搏
[(2n＋1＋3)－3]＝1，
兵
核
心 突 破
∴数列{bn}是首项为a1＋2 3＝－32＋3＝0，公差为 1 的等差 课
时
数列．
提 升
练
菜单
第十六页，编辑于星期五：二十一点 四分。
高三总复习·数学(理)
提
考向二 等差数列的基本运算
素
养
满
分
研
[典例剖析]
指
动
导
向
考 纲
【例 2】 (2014·浙江高考)已知等差数列{an}的公差 d＞
高三总复习·数学(理)
提
素
养
满
分
研
指
动
导
向
考
纲
考
演
向
实
第二节 等差数列及其前 n 项和
战 沙
场
切
点
脉
兵
搏
核
心
突
破
课
时
提
升
练
菜单
第一页，编辑于星期五：二十一点 四分。
高三总复习·数学(理)
提
素
养
满
分
研
指
动
导
向
考
纲 考
考纲要求 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项 演
向
实
公式.3.了解等差数列与一次函数的关系.4.等差数列的基本量
养
满
分
研
指
动
导
向 考
1．等差数列运算问题的通性通法
纲
考 向
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a1 和公差
2020版高考数学一轮复习第五章数列第二节等差数列学案理(含解析)新人教A版
第二节 等差数列2019考纲考题考情1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义表达式为a n －a n －1＝d (常数)(n ∈N *，n ≥2)或a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)。
(2)等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有A ＝a ＋b2。
2．等差数列的有关公式 (1)等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d 。
(2)等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d 或S n ＝n (a 1＋a n )2。
3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)。
(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n 。
(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d 。
(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列。
(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列。
(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列。
(7)S 2n －1＝(2n －1)a n 。
(8)若项数n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若项数n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)。
1．用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”。
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解析:设公差为 d,由等差数列{an}中,a2+a3+a10=9,得 3a1+12d=9,所以 3a5=9,a5=3, S9= 9(a1 a9 ) =9a5=27.故选 D.
2
3.(教材改编题)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100等于( C )
(A)100 (B)99 (C)98
解得
ad1
2, 2.
故选 A.
(2)(2018·安徽两校阶段性测试)若等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足 a2+S3=4, a3+S5=12,则a4+S7的值是( ) (A)20 (B)36 (C)24 (D)72
(D)97
解析:由公差为
d,由题意得
9a1
98 2
d
27,
a1 9d 8,
解得
ad1
1, 1,
所以
a100=a1+99d=98.故选
C.
4.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大
值,则d的取值范围为
.
解析:由题意知 d<0 且 aa89＞＜00,,
即
7 7
7d＞0, 8d＜0,
解得-1<d<-
7 8
.
答案:(-1,- 7 ) 8
5.下列说法正确的是
.
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2. (3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的. (4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数. (5)数列{an}满足an+1-an=n,则数列{an}是等差数列. (6)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等 差数列.
第2节 等差数列
[考纲展示] 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的 等差关系,并能用等差数列的有关知 识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数的关系.
知识链条完善 考点专项突破
知识链条完善
把散落的知识连起来
知识梳理
1.等差数列的相关概念
(2)已知等差数列{an}的首项 a1 与公差 d,则其前 n 项和公式 Sn=
na1+ n(n 1) d 2
.
4.等差数列{an}的性质 (1)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(其中m,n,p,q∈N*),特别地,若p+q=2m,则ap+aq=
2am (p,q,m∈N*).
(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列. (3)若下标成等差数列,则相应的项也成等差数列,即ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*) 成等差数列.
时,an=q,等差数列为常数列,此时数列的图象是平行于x轴的直线(或x轴)上的 均匀排开的一群孤立的点.
【重要结论】
1.等差数列{an}中,若am=n,an=m,则am+n=0. 2.等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=Sn(m≠n),则Sm+n=0. 3.等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=n,Sn=m,则Sm+n=-(m+n).
2.等差数列的通项公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1,公差为d,则其通项公式为an= a1+(n-1)d . (2)通项的推广:an=am+ (n-m) d.
3.等差数列的前 n 项和公式
n(a1 an )
(1)已知等差数列{an}的首项 a1 和第 n 项 an,则其前 n 项和公式 Sn=_____2______.
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
解:(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.
反思归纳
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三 个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题. (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等 差数列的两个基本量,用它们表示已知量和未知量是常用方法.
(1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的 差 都 等于 同一个 常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为___a_n-_a_n_-_1=_d___
(n≥2,n∈N*,d为常数).
ab
(2)等差中项:若 a,A,b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A=____2______.
【跟踪训练1】 (1)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S8-S4=36,a6=2a4,则a1等于 ()
(A)-2
(B)0
(C)2
(D)4
解析:(1)设等差数列{an}的公差为 d,因为 S8-S4=36,a6=2a4,
所以
(8a1
8 2
7
d)
(4a1
4 2
3
d
36,
a1 5d 2a1 6d,
(4)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an. 5.等差数列的增减性与最值
公差d>0时为递 增 数列,且当a1<0时,前n项和Sn有最 小 数列,且当a1>0时,前n项和Sn有最 大 值.
值;d<0时为递_减_
6.等差数列与一次函数的关系
由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得an=dn+(a1-d),如果设p=d,q=a1-d,那 么an=pn+q,其中p,q是常数.当p≠0时,(n,an)在一次函数y=px+q的图象上,即公 差不为零的等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点.当p=0
对点自测
1.在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6等于( B ) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)6
解析:由等差数列的性质,得a6=2a4-a2=2×2-4=0,选B.
2.(2018·山西太原模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a3+a10=9,则S9 等于( D ) (A)3 (B)9 (C)18 (D)27
答案:(2)(3)(6)
考点专项突破
在讲练中理解知识
考点一 等差数列的基本量运算
【例1】 (2018·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15. (1)求{an}的通项公式;
解:(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15. 由a1=-7得d=2. 所以{an}的通项公式为an=2n-9.
2
3.(教材改编题)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100等于( C )
(A)100 (B)99 (C)98
解得
ad1
2, 2.
故选 A.
(2)(2018·安徽两校阶段性测试)若等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足 a2+S3=4, a3+S5=12,则a4+S7的值是( ) (A)20 (B)36 (C)24 (D)72
(D)97
解析:由公差为
d,由题意得
9a1
98 2
d
27,
a1 9d 8,
解得
ad1
1, 1,
所以
a100=a1+99d=98.故选
C.
4.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大
值,则d的取值范围为
.
解析:由题意知 d<0 且 aa89＞＜00,,
即
7 7
7d＞0, 8d＜0,
解得-1<d<-
7 8
.
答案:(-1,- 7 ) 8
5.下列说法正确的是
.
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2. (3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的. (4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数. (5)数列{an}满足an+1-an=n,则数列{an}是等差数列. (6)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等 差数列.
第2节 等差数列
[考纲展示] 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的 等差关系,并能用等差数列的有关知 识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数的关系.
知识链条完善 考点专项突破
知识链条完善
把散落的知识连起来
知识梳理
1.等差数列的相关概念
(2)已知等差数列{an}的首项 a1 与公差 d,则其前 n 项和公式 Sn=
na1+ n(n 1) d 2
.
4.等差数列{an}的性质 (1)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(其中m,n,p,q∈N*),特别地,若p+q=2m,则ap+aq=
2am (p,q,m∈N*).
(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列. (3)若下标成等差数列,则相应的项也成等差数列,即ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*) 成等差数列.
时,an=q,等差数列为常数列,此时数列的图象是平行于x轴的直线(或x轴)上的 均匀排开的一群孤立的点.
【重要结论】
1.等差数列{an}中,若am=n,an=m,则am+n=0. 2.等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=Sn(m≠n),则Sm+n=0. 3.等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=n,Sn=m,则Sm+n=-(m+n).
2.等差数列的通项公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1,公差为d,则其通项公式为an= a1+(n-1)d . (2)通项的推广:an=am+ (n-m) d.
3.等差数列的前 n 项和公式
n(a1 an )
(1)已知等差数列{an}的首项 a1 和第 n 项 an,则其前 n 项和公式 Sn=_____2______.
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
解:(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.
反思归纳
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三 个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题. (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等 差数列的两个基本量,用它们表示已知量和未知量是常用方法.
(1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的 差 都 等于 同一个 常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为___a_n-_a_n_-_1=_d___
(n≥2,n∈N*,d为常数).
ab
(2)等差中项:若 a,A,b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A=____2______.
【跟踪训练1】 (1)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S8-S4=36,a6=2a4,则a1等于 ()
(A)-2
(B)0
(C)2
(D)4
解析:(1)设等差数列{an}的公差为 d,因为 S8-S4=36,a6=2a4,
所以
(8a1
8 2
7
d)
(4a1
4 2
3
d
36,
a1 5d 2a1 6d,
(4)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an. 5.等差数列的增减性与最值
公差d>0时为递 增 数列,且当a1<0时,前n项和Sn有最 小 数列,且当a1>0时,前n项和Sn有最 大 值.
值;d<0时为递_减_
6.等差数列与一次函数的关系
由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得an=dn+(a1-d),如果设p=d,q=a1-d,那 么an=pn+q,其中p,q是常数.当p≠0时,(n,an)在一次函数y=px+q的图象上,即公 差不为零的等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点.当p=0
对点自测
1.在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6等于( B ) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)6
解析:由等差数列的性质,得a6=2a4-a2=2×2-4=0,选B.
2.(2018·山西太原模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a3+a10=9,则S9 等于( D ) (A)3 (B)9 (C)18 (D)27
答案:(2)(3)(6)
考点专项突破
在讲练中理解知识
考点一 等差数列的基本量运算
【例1】 (2018·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15. (1)求{an}的通项公式;
解:(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15. 由a1=-7得d=2. 所以{an}的通项公式为an=2n-9.