美式期权二叉树定价及MATLAB程序

金融随机分析课程
美式期权的二叉树定价
1、对于连续随机游走：
SdZ Sdt dS σμ+=
可以用离散格随机游走模型来表示，即标的资产的价格只在离散时间点t ∆，2t ∆,3t ∆,…,N t ∆取值，t ∆表示很小但非无穷小的时间步长；如果标的资产在时刻m t ∆的价格为m S ，那么在时刻(m+1)t ∆其价格有两种可能的值:)1(>u uS m 和)1(<d dS m ，并且标的资产的价格从m S 上升到m uS 的概率为p 。

2、风险中性假设在风险中性条件下，随机微分方程：
SdZ Sdt dS σμ+=
其中的μ可以用r 来表示。

即
SdZ rSdt dS σ+=
风险中性条件下，在时刻m t ∆衍生证券的价格m V 是其在时刻(m+1)t ∆的期望值按照无风险利率r 贴现所得到的，即][1+∆-=m t r m V e E V 。

3、期权的计算
期权的计算是从二叉树图的末端（时刻T ）开始向后倒退进行的。

T 时刻期权的价值N n V 已知。

对于一个看涨期权来说，有
)0,max (K S V N n N n -=
对于一个看跌期权来说，有
)0,max (N n N n S K V -=
其中，n=0,1,2,…,N, K 为执行价格。

在风险中性条件下，t T ∆-时刻的每个结点上的期权值都可以用T 时刻期权价值的期望值在时间t ∆内用利率r 贴现求出；同理，t T ∆-2时刻的每个结点的期权值可以用t T ∆-时刻的期望值在t ∆时间内用利率r 贴现求出，其它结点依次类推。

而如果对于美式期权，必须检查二叉树图的每个结点，以确定提前执行是否比继续持有t ∆时间更为有利。

最后，向后倒推通过所有结点就求出了当前时刻的期权价值0V 。

下面对美式期权定价问题进行研究：
美式看涨期权被提前执行时，其内涵价值为
)0,max (K S V m n m n -= n=0,1,2,…,m
对于看跌期权来说，有
)0,max (m n m n S K V -= n=0,1,2,…,m
在m t ∆时刻从节点(m,n)向(m+1)t ∆时刻的结点(m+1,n+1)移动的概率为p ；向(m+1)t ∆时刻的结点(m+1,n)移动的概率为1-p 。

假设期权不提前执行，有：
])1([111+++∆--+=m n
m n t r m n V p pV e V 若期权提前执行，必须与内涵价值相比较。

那么，对于看涨期权，有
]})1([),0,m ax {m ax (111+++∆--+-=m n
m n t r m n m n V p pV e K S V 对于看跌期权，有
]})1([),0,m ax {m ax (111+++∆--+-=m n
m n t r m n m n V p pV e S K V 4、计算美式看涨期权的价格的Matlab 实现（基于具体的算例） Matlab 程序如下：
%输入具体参数
S0=100; %当前股价
K=105; %执行价格
r=0.05; %利率
T=1; %期权有效期
sigma=0.3; %波动率
q=0.02; %红利率
n=1000; %步数
dt=T/n; %时间步长
%计算二叉树各参数
u=exp(sigma*sqrt(dt)); %计算上升比率
d=1/u; %计算下降比率
p=(exp((r-q)*dt)-d)/(u-d); %计算上升的概率
%构造二叉树矩阵，i 表示行数，j 表示列数，Sx 为股价矩阵，fx 为期权的内在
价值
for j=1:n+1
for i=1:j
Sx(i,j)=S0*(u^(j-i))*(d^(i-1));
fx(i,j)=max(Sx(i,j)-K,0);
end;
end;
%计算美式期权价格矩阵Afx和欧式期权价格矩阵Efx
for i=1:n+1 %到期时(j=n+1)期权价格
Afx(i,n+1)=fx(i,n+1);
Efx(i,n+1)=fx(i,n+1);
end;
for jj=1:n %倒推前面各期(j=n-1,n-2,…,1)期权价格j=n+1-jj;
for i=1:j
Efx(i,j)=exp(-r*dt)*(p*Efx(i,j+1)+(1-p)*Efx(i+1,j+1));
Afx(i,j)=max(exp(-r*dt)*(p*Afx(i,j+1)+(1-p)*Afx(i+1,j+1)),fx(i,j));
end;
end;
%输出结果
AmeOptionPrice=Afx(1,1)
ErouOptionPrice=Efx(1,1)
AmeOptionPrice = 10.89434691587509
ErouOptionPrice = 10.89432408424911。