斜率乘积为定值问题解析

2，故x12
x22
2.
所以OA2 OB2 x12 y12 x22 y22 3.
评析：本题第(1)问主要考查椭圆及圆的几何性质的应 用；第(2)问是定值问题，切入的关键在于设三点A， B，M的坐标，通过向量条件及三点在椭圆上，寻求 出三点坐标间的关系，从而使问题获解 。
4.感受高考
斜率乘积为定值问题
1.回归课本
选修2-1 P39第4题
在 ABC中，B（ 6，0），C（6，0） 直线 AB，AC
的斜率乘积为
9 4
，求顶点A的轨迹方程。
变式1
：9 改为- 9
4
4
变式2
：9 4
改为m（m
0)
变式3：乘积 改为 差 (教材2-1 P59） 抛物线
2.热身练习
(数学之友P40第3题）
ma2 ma2
+b2 - b2
ma2 + b2 x0 ,- ma2 - b2
y0
)。
例题2
(数学之友P46第8题）
已知椭圆 x2 y2 1(a＞b＞0)的离心率为 2 ，
a2 b2
2
其焦点在圆x2 y2 1上.
1 求椭圆的方程；
2设A，B，M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，
且存在锐角，使OM cos OA sin OB.
ⅰ( )求证：直线OA与OB的斜率之积为定值； (ⅱ)求OA2 OB2.
解析：1依题意，得c 1.于是，a 2，b 1.
所以所求椭圆的方程为 x2 y2 1. 2
2 ⅰ( )设A(x1，y1)，B(x2，y2 )，则
x12 2
y12
1，①
x22 2
y22
1.②
又设M (x，y)，因为OM cos OA sin OB，
推广：
1 3
椭圆k1 • k2 =
b2 a2
双曲线k1 • k2 =
b2 a2
圆k1 • k2 = 1
3.例题讲解
例题1
(数学之友P46第5题）
一般结论：过椭圆 x2 a2
+
y2 b2
= 1一点定p(x0 ,
y0 )
的直线l1, l2分别交椭圆与A，B。若kl1 kl2 = m
则直线AB过定点（
故
x y
x1cos y1cos
x2sin y2sin
.
来自百度文库
因M 在椭圆上，
故
( x1cos
x2sin )2
2
( y1cos
y2sin )2
1.
整理得( x12 2
y12 )cos2
( x22 2
y22 )sin2
2(
x1x2 2
y1 y2 )cossin
1.
将①②代入上式，
并注意cos sin
0，得
x1x2 2
y1 y2
0.
所以，kOAkOB
y1 y2 x1x2
1 为定值． 2
(ⅱ) y1y2 2
(
x1x2 )2 2
x12 2
x22 2
(1
y12 )(1
y22 )
1 ( y12 y22 ) y12 y22，故y12 y22 1.
又( x12 2
y12
)
(
x22 2
y22 )