数学分析定积分应用 ppt课件
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数学分析定积分课件
定积分在物理中的应 用
• 定积分在物理中的应用 • 求解物体的位移 • 求解物体的速度 • 求解物体的加速度
定积分在工程中的应 用
• 定积分在工程中的应用 • 求解工程问题的累积效应 • 求解工程问题的优化问题 • 求解工程问题的概率分布
数06学分析定积分习题精选
与解答
习题精选与解题思路
习题精选
连续函数的定积分与间断函数的定积分
连续函数的定积分
• 如果函数f(x)在[a, b]上连续，则定积分∫[a, b] f(x) dx存在 • 连续函数的定积分可以通过基本积分公式、换元积分法和分部积分法求解
间断函数的定积分
• 如果函数f(x)在[a, b]上存在间断点，则定积分∫[a, b] f(x) dx可能存在 • 间断函数的定积分可以通过黎曼和和勒贝格积分求解
基本积分公式的应用
• 求解简单的定积分问题 • 通过换元法求解复杂积分问题
换元积分法及其应用
换元积分法的基本原理
• 通过换元将复杂的积分问题转化为简单的积分分法的应用实例
• 将三角函数转换为幂函数 • 将指数函数转换为幂函数 • 将多项式函数转换为幂函数
定积分的极限存在性
• 如果函数f(x)在[a, b]上连续，则定积分∫[a, b] f(x) dx存 在 • 如果函数f(x)在[a, b]上单调有界，则定积分∫[a, b] f(x) dx存在
定积分的唯一性
• 如果函数f(x)在[a, b]上连续，则定积分∫[a, b] f(x) dx的 值唯一 • 如果函数f(x)在[a, b]上单调有界，则定积分∫[a, b] f(x) dx的值唯一
分部积分法及其应用
分部积分法的基本原理
• 将复杂的积分问题分解为简单的积分问题 • 通过分部积分求解定积分
定积分的应用课件
液体静压力计算步骤
详细阐述液体静压力计算的步骤，包 括确定计算区域、选择坐标系、列出 被积函数等。
其他物理问题中定积分应用
引力计算
通过定积分求解质点系或连续体 之间的引力问题。
波动问题
将波动问题转化为定积分问题， 进而求解波动过程中的各种物理 量。
01
02
电场强度计算
利用定积分求解电荷分布连续体 所产生的电场强度。
消费者剩余和生产者剩余计算
消费者剩余计算
消费者剩余是消费者愿意支付的价格与实际支付价格之间的差额。在需求曲线和价格线之间的面积表示消费者 剩余，可以通过定积分计算。
生产者剩余计算
生产者剩余是生产者实际得到的价格与愿意接受的最低价格之间的差额。在供给曲线和价格线之间的面积表示 生产者剩余，同样可以通过定积分计算。
01
通过定积分求解绕x轴或y轴旋转一周所得旋转体的体积。
平行截面面积为已知的立体体积计算
02
利用定积分将立体划分为无数个平行截面，通过截面面积和高
度求解体积。
参数方程表示立体体积计算
03
将参数方程转化为普通函数形式，再利用定积分求解体积。
曲线弧长求解方法
1 2
直角坐标下曲线弧长计算
通过定积分求解曲线在直角坐标系下的弧长。
参数方程表示曲线弧长计算
将参数方程转化为普通函数形式，再利用定积分 求解弧长。
3
极坐标下曲线弧长计算
通过定积分求解曲线在极坐标系下的弧长。
03
定积分在物理学中应用
变力做功问题求解方法
微元法求解变力做功
通过将变力做功的过程划分为无数个微小的 元过程，每个元过程中力可视为恒力，从而 利用定积分求解变力做功。
六章定积分应用ppt课件
WF(ba)
F
a
b
若F 为变力，力对
物体所作的功W=？
例1 带电量为q0与q1的正电荷分别放在空间两点， 求当q1沿a与b连线从a移到b时电场力所作的功。
解: 如图建立坐标系：在上述移动过程中，电场
对q1作用力是变化的。
(i)取r为积分变量，则 r[a,b] q0
q1
(ii)相应于[a,b]上任一小区间[r,r+dr] o a
br
的功元素
dW Fdrkq0q1dr
(iii)所求功
r2
W
b
k
a
qr0q21dr
kq0q1
(1) r
b a
kq0q1(1ab1)
例2 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体。在等 温条件下，由于气体膨胀，把容器中的一个活塞（面积为S） 从点a推移至b，计算在移动过程中气体压力所作的功。
解: 如图建立坐标系，活塞位置可用坐标x表示。
引力
问题的提出：从物理学知道，质量分别为m1、m2，相
距为r的两质点间的引力大小为
F Gmr1m2 2
其中G为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线。
如何计算一根
细棒对一个质点的 引力F=？
r
o
m1
m2 x
例6 设有一长度为l、线密度为的均匀细棒，在
其中垂线上距棒a单位处有一质量为m 的质点M。
试计算该棒对质点M的引力。
x
问题的解决方法： 定积分元素法
以液面为y轴，x轴铅直向下。
设平板铅直位于液体中形状如图。
o
距离液面x、高为dx、宽为f(x) 的
矩形平板所受压力的近似值，即压力 元素为
a x x+dx
高等数学(第三版)课件：定积分的应用
线 y f ( x，) 直线 x a, x b (a b) 与
• x 轴围成的面积是在x 轴上方和下方曲边梯形
面积的差.
• • 同样可由微元法分析
•⒉ 一般地，根据微元法由曲线 y f ( x), y g( x),
• ( f ( x) g( x)) 及直线x a, x b 所围的图形
• 面积.（右图所示）
• 解: 取 为积分变量,
•
面积微元为
d
A
1 2
(a )2
d
• 于是
A 2 1 (a )2d a 2 2
02
23
2 4 a 2 3
03
• 例5 计算双纽线 r 2 a2 cos2 (a 0)
•
所围成的平面图形的面积（下图所示）
• 解 因 r 2 0,故 的变化范围是 [ 3 , 5 ,]
• ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积 A )
分为部分量(小曲边梯形面积 Ai）之和;
• ⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);
Ai f (i )xi
• ⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);
n
A f (i )xi
i 1
• ⑷对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.
n
A lim 0
• 它表示高为f ( x) 、底为 dx 的一个矩形面积.
• ⑵由定积分几何意义可知,当 f (x) 0 时,由曲
线 y f (x)，直线 x a, x b (a b) 与 x 轴所围成
的曲边梯形的面积A为
A
b
f (x)dx
.
a
• ⑶当 f ( x)在区间 [a, b]上的值有正有负时，则曲
•
定积分的应用通用课件
计算需求弹性
总结词
定积分在计算需求弹性方面具有重要应用，帮助企业了解市场需求并制定相应的营销策 略。
详细描述
需求弹性是衡量市场需求对价格变动敏感度的指标，对于企业的定价和营销策略具有指 导意义。通过定积分，可以将需求函数转化为弹性函数，从而帮助企业了解市场需求并
制定相应的营销策略。
预测市场趋势和销售量
详细描述
分部积分法的关键是选择合适的函数对，使得其中一个函数的导数容易计算， 而另一个函数的原函数容易找到。通过分部积分法，可以将复杂的定积分转化 为简单的定积分，从而简化计算过程。
03
定积分在几何学中的应用
计算平面图形的面积
01 矩形面积
对于任意长度a和宽度b的矩形，其面积A=a×b。
02 圆形面积
06
定积分在其他领域的应用
在信号处理中的应用
信号的强度变化
定积分可以用来计算信号的强度 变化，例如声音信号的振幅变化
。
信号的平滑处理
通过定积分，可以对信号进行平滑 处理，消除噪声和干扰，提高信号 质量。
信号的滤波
定积分可以用于信号的滤波，例如 低通滤波器和高通滤波器的设计。
在控制系统中的应用
控制系统的稳定性分析
定积分的应用通用课 件
目录
• 定积分的概念与性质 • 定积分的基本计算方法 • 定积分在几何学中的应用 • 定积分在物理学中的应用 • 定积分在经济学中的应用 • 定积分在其他领域的应用
01
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的 极限。定积分常用于计算平面图形的面积、体积、平面 曲线的长度等。
控制系统的误差分析
定积分可以用来分析控制系统的稳定 性，例如判断系统的收敛性和稳定性 。
《定积分课件》课件
03 定积分的应用
CHAPTER
面积与体积的计算
总结词
定积分在计算平面图形的面积和三维物体的体积方面具有广 泛应用。
详细描述
利用定积分，可以计算出由曲线围成的平面图形的面积，例 如由y=sinx和y=cosx围成的图形面积。此外，定积分还可以 用于计算三维物体的体积，例如球体、圆柱体和旋转体的体 积。
详细描述
在静水压力问题中，压力分布是深度的函数。通过定积分，我们可以计算任意 深度的压力分布，从而了解水下物体的受力情况。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度，理解引 力场的分布规律。
VS
详细描述
在引力场中，场强是位置的函数。通过定 积分，我们可以计算任意位置的场强，从 而了解物体在引力场中的运动规律。
符号表示
02
定积分的符号为∫，读作“拉姆达”。
计算方法
03
定积分的计算方法是通过微积分基本定理，将定积分转化为求
原函数在某点的值。
定积分的几何意义
平面区域面积
定积分可以用来计算平面图形的面积，特别是 当面积元素与坐标轴平行时。
体积
定积分还可以用来计算三维物体的体积，例如 旋转体的体积。
曲线下面积
定积分可以用来计算曲线下在某一区间内的面积。
定积分的计算方法
要点一
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法和分部积分法等。
要点二
详细描述
定积分的计算可以通过多种方法进行。直接法是根据微积 分基本定理，通过求原函数并计算其差值来得到定积分的 结果。换元法是在积分变量进行换元，使得积分简化。分 部积分法则是通过将两个函数的乘积进行积分，将一个积 分转化为另一个积分，从而简化计算。这些方法在计算定 积分时常常需要结合使用。
定积分的简单应用 课件
物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)
所做的功为W＝
b
aF(x)dx
.
[点睛] 变速直线运动物体的路程、位移与定积分的关系
如果做变速直线运动物体的速度－时间函数为v＝v(t)，
b
则物体在区间[a，b]上的位移为定积分
a
v(t)dt；物体在区间
b
[a，b]上的路程为a|v(t)|dt.
即4t2－23t3＝0，解得t＝0或t＝6， 因为t＝0对应于点P刚开始从原点出发的情况，所以t＝6为所求．
有关路程、位移计算公式 路程是位移的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b 所经过的路程s和位移s1分别为 (1)若v(t)≥0(a≤t≤b)，
b
则s＝av(t)dt；
b
s1＝av(t)dt.
∴将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功
0.15
W＝ 2 0
000xdx＝1
000x200.15
＝22.5(J)．
求变力做功的方法步骤 (1)要明确变力的函数式F(x)，确定物体在力的方向 上的位移． (2)利用变力做功的公式W＝bF(x)dx计算．
a
[注意] 将力与位移的单位换算为牛顿(N)与米(m)， 功的单位才为焦耳(J)．
＝1
0
x＋13xdx＋132－23xdx
＝23x
3 2
＋16x210
＋2x－13x213
＝23＋16＋6－13×9－2＋13＝163.
利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形． (2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上 限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素： ①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和 积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式． (5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．
《数学定积分的应用》课件
线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差 的积分，可以分别对每个函数进行积分后再求和 或求差。
区间可加性
定积分具有区间可加性，即对于任意两个不重叠 的区间[a, b]和[b, c]，有 ∫(a,c)f(x)dx=∫(a,b)f(x)dx+∫(b,c)f(x)dx。
积分中值定理
如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么至少存在 一个点ξ∈[a, b]，使得∫(a,b)f(x)dx=f(ξ)(b-a)。
电路中的电流和电压
要点一
总结词
定积分在电路分析中用于计算电流和电压，通过求解电路 中的微分方程，可以得到电流和电压的分布。
要点二
详细描述
在电路分析中，电流和电压的变化规律通常由微分方程描 述。通过应用定积分，可以将电路中的电压和电流表示为 时间的函数。然后通过求解这个微分方程，可以得到电流 和电压在整个电路中的分布情况。
详细描述
对于曲线形构件，其质量可以通过定积分计算。首先，确定构件的材料密度分 布，然后对密度函数在构件的体积上进行积分，得到构件的总质量。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度
详细描述
在引力场中，物体受到的引力大小与物体质 量成正比，与物体之间的距离的平方成反比 。通过定积分计算在某一空间区域内的引力 场强度，即在该区域内所有物体产生的引力 对该点的合力。具体地，将引力函数在空间 区域上进行积分，得到该区域内的引力场强 度。
dx进行计算。
功和压力
总结词
定积分可以用于计算变力做功和压力。
详细描述
对于一个质点在力F(x)=f(x)*dx的作用下沿直线运动 ，力F所做的功可以通过计算定积分得出，公式为 ∫(b a) f(x) dx。
定积分的应用课件
2 信号处理
定积分可以计算信号的功 率、频谱和通量。
3 流体力学
通过定积分可以计算流体 的压力、速度和流率。
定积分在地理学中的应用
地形测量
通过定积分可以计算地球表面和 地质构造的高程。
气象学
定积分可以计算气象参数在空气 层中的分布和变化。
人口地理学
通过定积分可以计算人口密度和 城市发展的空间格局。
将面积概念应用于实际场 景，如教室布置和园艺规 划。
3 面积游戏
通过面积游戏和竞赛激发 学生学习兴趣和动力。
和混合效果。
3
创意表达
定积分可以用于艺术家和设计师的创意 表达和构思。
定积分在社会科学中的应用
社会学
定积分可以用于计算人口统计数 据和社会发展指标。
心理学
通过定积分可以建模心理过程和 行为变化。
经济学
定积分可以用于经济模型和政策 的评估和预测。
小学生学习面积时的应用
1 绘图和标注
2 实际场景
通过绘制图形和标注边长， 引导学生进行面积计算。
3
经济增长
通过计算国民收入的定积分，可以评估经济的增长率。
定积分在生物学中的应用
种群动态
定积分可以计算物种数量和 种群生长率。
生态系统
通过定积分可以计算能量流 量和物质循环。
药物浓度
定积分可以计算药物在体内 的浓度和释放速率。
定积分在工程学中的应用
1 结构分析
定积分可以计算结构的强 度、刚度和变形。
定积分在计算机科学中的应用
1 图像处理
定积分可以计算图像的亮 度、对比度和边缘检测。
2 数据挖掘
通过计算定积分，可以评 估数据的分布和模式。
《高中定积分的应用》课件
总结词
定积分在计算曲线形状的质量分布方面具有广泛应用，有助于理解物体的重心和转动惯量等物理量。
详细描述
对于曲线形状的物体，我们可以通过定积分计算其质量分布，进而求出物体的重心和转动惯量。这对于分析物体 的稳定性和运动特性具有重要意义。
电场强度与电势的计算
总结词
在电场分析中，定积分用于计算电场强度和电势，有助于深入理解电场的性质和分布。
详细描述
在解决涉及多个函数的定积分问题时，需要仔细分析这 些函数之间的关系，如一个函数可能对另一个函数求导 或积分，或者两个函数之间存在特定的关系等。
复杂几何形状的分析与计算
总结词
对复杂几何形状的深入分析是解决问题的必要步骤。
详细描述
在解决涉及复杂几何形状的定积分问题时，需要深入理 解几何形状的特点，如面积、体积等，并能够运用适当 的公式进行计算。同时，还需要理解如何将复杂的几何 形状分解为更简单的部分，以便于解决定积分问题。
详细描述
在经济学中，边际分析通过计算边际成本、 边际收益和边际利润等指标，帮助企业决策 者判断生产、定价和销售等方面的最优策略 。弹性分析则通过计算需求价格弹性、供给 价格弹性等指标，分析市场价格的变动对需 求和供给的影响，进而影响市场均衡和资源 配置。
成本与收益计算
总结词
成本与收益计算是经济学中重要的财务分析 工具，用于评估企业的经营绩效和投资回报 。
THANK YOU
定积分的几何意义
总结词
定积分的几何意义有助于直观理解定积分的应用。
详细描述
定积分的几何意义表示一个曲线下的面积。通过计算定积分，可以求出曲线下某 个区间上的面积，从而解决一些实际问题，如求物体的质量、速度等。
定积分的计算方法
定积分在计算曲线形状的质量分布方面具有广泛应用，有助于理解物体的重心和转动惯量等物理量。
详细描述
对于曲线形状的物体，我们可以通过定积分计算其质量分布，进而求出物体的重心和转动惯量。这对于分析物体 的稳定性和运动特性具有重要意义。
电场强度与电势的计算
总结词
在电场分析中，定积分用于计算电场强度和电势，有助于深入理解电场的性质和分布。
详细描述
在解决涉及多个函数的定积分问题时，需要仔细分析这 些函数之间的关系，如一个函数可能对另一个函数求导 或积分，或者两个函数之间存在特定的关系等。
复杂几何形状的分析与计算
总结词
对复杂几何形状的深入分析是解决问题的必要步骤。
详细描述
在解决涉及复杂几何形状的定积分问题时，需要深入理 解几何形状的特点，如面积、体积等，并能够运用适当 的公式进行计算。同时，还需要理解如何将复杂的几何 形状分解为更简单的部分，以便于解决定积分问题。
详细描述
在经济学中，边际分析通过计算边际成本、 边际收益和边际利润等指标，帮助企业决策 者判断生产、定价和销售等方面的最优策略 。弹性分析则通过计算需求价格弹性、供给 价格弹性等指标，分析市场价格的变动对需 求和供给的影响，进而影响市场均衡和资源 配置。
成本与收益计算
总结词
成本与收益计算是经济学中重要的财务分析 工具，用于评估企业的经营绩效和投资回报 。
THANK YOU
定积分的几何意义
总结词
定积分的几何意义有助于直观理解定积分的应用。
详细描述
定积分的几何意义表示一个曲线下的面积。通过计算定积分，可以求出曲线下某 个区间上的面积，从而解决一些实际问题，如求物体的质量、速度等。
定积分的计算方法
高等数学-定积分及其应用ppt课件.ppt
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
5.6.1 广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
1 连续函数在无限区间上的积分
定义1. 设
若
存在 ,
则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
性质1 常数因子可提到积分号外 性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
5.2 定积分的简单性质
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则 性质4 定积分的区间可加性 若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
的面积 .
解:
例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
5.6.1 广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
1 连续函数在无限区间上的积分
定义1. 设
若
存在 ,
则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
性质1 常数因子可提到积分号外 性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
5.2 定积分的简单性质
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则 性质4 定积分的区间可加性 若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
的面积 .
解:
例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?
《定积分及其应用》课件
在经济学中，供需关系决定了市场的价格。供需曲线的面积表示市场上供应和需求的关系。通过计算这个面积， 我们可以了解市场的均衡点，也就是市场上的价格。同时，通过观察供需曲线面积的变化，我们可以了解市场的 价格变动趋势。
感谢您的观看
THANKS
在曲线上的积分。
曲线的转动惯量
总结词
通过定积分计算曲线的转动惯量
详细描述
转动惯量是描述物体转动难易程度的物理量。对于一个 均匀细长的物体，其转动惯量可以通过定积分来计算。 转动惯量等于质量分布相对于某一轴的转动惯量，等于 质量密度函数在物体质量分布上的积分。
05
定积分的经济应用
收益流的现值
总结词
收益流的现值是定积分在经济中的一个重要应用，它 可以帮助我们计算未来的现金流在当前的价值。
详细描述
在金融和经济学中，我们经常需要考虑未来的收益流 ，也就是未来的现金流。由于货币的时间价值，我们 需要将未来的现金流折现到现在的价值。定积分可以 用来计算这种折现的值。
投资决策问题
总结词
投资决策问题涉及到如何分配有限的资源以获得最大 的回报。定积分可以用来解决这类问题。
定积分的几何意义
总结词
定积分的值等于函数图像与x轴所夹的面积。
详细描述
定积分的值可以通过几何意义来解释，即定积分的值等于函数图像与x轴所夹的 面积。这个面积可以是正的、负的或零，取决于函数图像在给定区间上的上下 位置。
定积分的性质
总结词
定积分具有线性性质、可加性、可减性和区间可加性等性质。
详细描述
体积的计算
总结词
定积分在计算三维空间中物体体积的问 题中起到关键作用，特别是对于旋转体 和薄片绕旋转轴旋转形成的体积。
VS
感谢您的观看
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在曲线上的积分。
曲线的转动惯量
总结词
通过定积分计算曲线的转动惯量
详细描述
转动惯量是描述物体转动难易程度的物理量。对于一个 均匀细长的物体，其转动惯量可以通过定积分来计算。 转动惯量等于质量分布相对于某一轴的转动惯量，等于 质量密度函数在物体质量分布上的积分。
05
定积分的经济应用
收益流的现值
总结词
收益流的现值是定积分在经济中的一个重要应用，它 可以帮助我们计算未来的现金流在当前的价值。
详细描述
在金融和经济学中，我们经常需要考虑未来的收益流 ，也就是未来的现金流。由于货币的时间价值，我们 需要将未来的现金流折现到现在的价值。定积分可以 用来计算这种折现的值。
投资决策问题
总结词
投资决策问题涉及到如何分配有限的资源以获得最大 的回报。定积分可以用来解决这类问题。
定积分的几何意义
总结词
定积分的值等于函数图像与x轴所夹的面积。
详细描述
定积分的值可以通过几何意义来解释，即定积分的值等于函数图像与x轴所夹的 面积。这个面积可以是正的、负的或零，取决于函数图像在给定区间上的上下 位置。
定积分的性质
总结词
定积分具有线性性质、可加性、可减性和区间可加性等性质。
详细描述
体积的计算
总结词
定积分在计算三维空间中物体体积的问 题中起到关键作用，特别是对于旋转体 和薄片绕旋转轴旋转形成的体积。
VS
定积分的应用ppt课件共37页PPT
例 连接坐标原点O 及点 P(h, r )的直线、直线
x h及 x轴围成一个直角三角形．将它绕 x轴旋
转构成一个底半径为r 、高为h的圆锥体，计算
圆锥体的体积．
y
P
解 直线 OP方程为
y r x
o
h
r
h
x
取积分变量为x，x[0,h]
在 [ 0 ,h ] 上 任 取 小 区 间 [ x ,x d ] ， x
以 d为 底 x 的 窄 边 梯 形 绕 x 轴 旋 转 而 成 的 薄 片 的
体 积 为
y
dVhr x2dx o
P
r
h
x
圆 锥 体 的 体 积
V
0hhr x2dx
r 2 h2
x3 h 3 0
hr 3
2
.
三、定积分在医学中的应用举例
如果函数 f ( x)在闭区间[a, b]上连续，
则在积分区间[a, b]上至少存在一个点 ，
y2 2x y x4
(2 , 2 )(,8 ,4 ).
选 y为积分变量 y[2,4]
yx4
y2 2x
dAy4y2dy
4
A dA18.
2
2
特别地,当曲边梯形的曲边由参数方程
x(t) y(t), (T1 t T2)
给出时,则此曲边梯形的面积为:
A T2(t)(t)dt T1
其中T1和T2是对应于曲线的起点及终点的 参数值.
x (y)、直线y c、y d及y轴所围
成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，
体积为
y
V d [(y)]2dy c
d
x(y)
cox源自例 4 证 明 底 半 径 为 r , 高 为 h 的 圆 锥 的 体 积 公 式 .
《定积分及其应用》课件
性质
1 线性性质
定积分的线性性质使得我们能够对函数的和、差、乘以常数进行积分。
2 区间可加性
在一个区间上的积分等于在多个子区间上的积分之和。
3 保号性质
当函数在一个区间上不改变符号时，其定积分保持正负性质。
计算方法
换元法
通过变量代换，将原本复杂的积分转化为简单 的积分。
分部积分法
将原本难以求解的函数积分转换成两个易于求 解的函数之积分。
定积分的应用
通过物理、经济学相关实例展示定积分在实际中 的应用价值。
总结与回顾
在本课件中，我们深入学习了定积分的定义、性质、计算方法以及应用。希 望这些知识能够帮助你更好地理解和应用定积分，在解决实际问题中发挥重 要作用。
《定积分及其应用》PPT 课件
欢迎大家来到本次关于《定积分及其应用》的PPT课件，本课件将带领你深 入探索定积分的世界，揭示其定义、性质、计算方法以及广泛的应用。让我 们开始这个精彩的学习之旅吧！
定义
定积分代表曲线和x轴之间的面积，可以看作是无穷多个微小的面积的累加。
区别。
应用
几何意义
定积分可以计算曲线和x轴之间的面积，可以应用于计算图形的面积、弧长、体积等。
物理应用
定积分可以应用于物理学中的速度、加速度、质量等问题的求解。
经济学应用
定积分可以应用于经济学中的边际效应、总收益、总成本等的分析和计算。
综合实例展示
曲线的定积分
通过实际例子展示如何计算曲线和x轴之间的定 积分。
数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第10章-定积分的应用(1)可编辑全文
围立体的体积.
z
a
x
a x0
O
a
y
解 先求出立体在第一卦限的体积V1. x0 [0,a] ,
x x0 与立体的截面是边长为 a2 x02 的正方形,
前页 后页 返回
所以 A( x) a2 x2 , x [0,a]. 于是求得
V
8V1 8
9 0
a2 x2
dx 16 a3. 3
以下讨论旋转体的体积.
4
S( A2 ) 1 x ( x 2) dx
2 3
x3
2
x2 2
4
2x
1
14 3
3 2
.
则
S(
A)
S(
A1 )
S(
A2
)
4 3
14 3
3 2
9 2
.
前页 后页 返回
若把 A 看作为 y 型区域，则
g1( y) y2 (1 y 2), g2( y) y 2 (1 y 2).
体积公式.
前页 后页 返回
§3 平面曲线的弧长与曲率
本节定义光滑曲线的弧长,并用定积分给出弧长计 算公式.
一、平面曲线的弧长
定义1 设平面曲线 C 由以下参数方程表示:
x x(t), y y(t), t [, ].
如果 x(t)与 y(t)在[ , ]上连续可微, 且 x(t)与 y(t)
•(4, 2)
A
x y2
O
4x
• (1, 1)
若把 A 看作 x 型区域, 则
f1(
x)
x
x 2
,0 ,1
x x
1 4
,
f2x x ,0 x 4.
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提示：选积分变量,
jj 面积元素 dA=[j右(y)j左(y)]dy,
面积
S c d [ 右 ( y ) 左 ( y ) d ] y
为
13.04.2020
12
例 2 计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围
成的图形的面积.
13.04.2020
13
例 2 计算由曲线 y2 2x和直线 y xf(x)
o a xxxb x 曲边梯形的面积
dA f(x)dx
b
A f(x)dx 13.04.20a20
y
yf2(x)
yf1(x)
o axxx b x 由y=f1(x)和y=f2(x)围成的面积:
d A [f2(x)f1(x)d ] x
b
Aa[f2(x)f1(x)d ] x 10
1的面积.
解
椭圆的参数方程
x y
a cost bsint
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
A4
a
0
ydx4 bsin td(acot)s
0
2
4ab2sin2tdt a.b 0
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16
二、极坐标系情形
图形是曲边扇(梯)形
曲边扇形是由曲
线rj()及射线 , 所围成
step2. 质量 M l(xd)x 0
下面用微元法讨论定积分在几何，物理中的
13一.04.2些020 应用。
7
第二节 定积分在几何上的应用
一、平面图形的面积 二、体积 三、平面曲线的弧长
13.04.2020
8
平面图形的面积
一、直角坐标系情形 二、极坐标系情形 三、小结 思考题
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1
A ( 0
13.04.2020
xx2)dx 32
3
x2
x3 3
1 0
1. 3
11
jj S a b [ f 上 ( x ) f 下 ( x ) d S ] c d [ 右 x ( y ) 左 ( y ) d ]
讨论：由左右两条曲线xj左(y) 与xj右(y)及上下两条直线yd
与yc所围成的平面图形的面积 如何表示为定积分？
第十章 定积分应用
y
y=f (x)
0a
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x x+dx b x
1
第一节 定积分的元素法
一、问题的提出
定积分概念的出现和发展都是由实际问题引起和 推动的。因此定积分的应用也非常广泛。本书主要介 绍几何、物理上的应用问题，例如：平面图形面积， 曲线弧长，旋转体体积，水压力，抽水做功，引力等。
1. 若总量U非均匀分布在变量 x的某个区间[a, b]上;
2. 总量U有可加性.
步 (1) 求微元 骤
(2) 求全量
应用方向：
局部近似得 dU = f (x)dx
微元积分得
b
Ua
f (x)dx
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；
功；水压力；引力和平均值等．
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5
微元法的实质 (1) 整体问题转化为局部问题； (2) 在局部范围内，以常代变，以直代曲； (3) 取极限 (定积分) 由近似值变为精确值。
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6
微元法 (Element Method)
例1. 写出长为 l 的非均匀细直棒质量的积分表达式，
任一点的线密度是长度的函数。
解:建立坐标如图, 设任意点x的密度为 (x)
o
x x+dx
lx
关 键(x)变 量 ！(x)C
step1. 取[微 x ,x d元 ]x 则 ,dM ? (x)dx
用A表示[x, x+dx]上的小曲边梯形的面积，
(2) 近似. 计算A的近似值 Af(x)dx
并记 dA f(x)dx称为面积面微积 元 y元素yfx
(3) 求和. (4) 求极限.
则 Aa bf(x)d x
0a
这种方法通常称为微元法或元素法 13.04.2020
x x+dx b x
4
可用微元法的条件
x y
j
(t) (t)
曲边梯形的面积 A b ydx t2(t)j(t)dt.
a
t1
（其中t1和 t2对应曲线起点与终点的参数值）
在[t1,t2（] 或 [t2,t1]）上 x j (t )具有连续导数， y (t)连续.
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15
例3
求椭圆 x2 a2
y2 b2
. .
2
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18
例4: 计算阿基米德螺线 r = a (a > 0)
(3) 求和. 得A的近似值
n
A f(i )xi
y
i1 n
(4) 求极限. A lim 0
ff (( ii )) xx ii
i 1
y = f (x)
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b
f ( x)dx a
0 1 2 i
x0 a x1 xi1 xi
n x
x
n
3 1
b
xn
把上述步骤略去下标，改写为：
(1) 分割. 取微元 任取一个具有代表性的小区间 [x, x+dx] (区间微元)，
r =j( ) 如何化不规则 +d 为规则
的图形
dA
d
以圆扇形面积近 似小曲边扇形的 面积，得到面积 元素：
o
r
.
. .
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17
d
o
r =j( ) 积分变 量 [,]
+d
面积元素
dA
以圆扇形面积近似小 曲边扇形面积，得到
面积元素：
dA1j()2d
2
r
.
曲边扇形的面积 A 1[j()]2d
成的图形的面积.
解 两曲线的交点
y+dy y
y2 2x
(2 , 2 )(,8 ,4 ).
y x4
yx4 yx4
yy2222xx
选 y为积分变量 y[2,4]
dA
y
4
y2 2
dy
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4
y2
A (y4 )dy1.8
2
2
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b
b
A f(x)dx ydx
a
a
如果曲边梯形的曲边为参数方程
例 1计 算 由 两 条 抛 物 线 y2x和 yx2所 围 成 的
图 形 的 面 积 .
解 1) 求出两抛物线的交点.
解方程组
y 2 x
y
x2
x0,x1
即这两个抛物线的交点为：(0,0),(1,1)
2) 选x为积分变量, 则x[0,1]
x y2(1,1) y x2
x x+dx 1
3) 面积元素 dA (y上y下)dx( xx2)dx
如何应用定积分解决实际问题_____微元法：
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2
回顾 曲边梯形面积 A b f (x)dx的计算过程：
a
n
(1) 分割. 把区间[a, b]分成n个小区间, 有 A Ai
i 1
总量A 对于[a, b]具有区间可加性, 即A可以分割成
n个部分量Ai 的和.
(2) 近似. 计算Ai的近似值 A i f( i)xi (xi1i xi)