数学分析定积分应用 ppt课件

第十章 定积分应用
y
y=f (x)
0a
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x x+dx b x
1
第一节 定积分的元素法
一、问题的提出
定积分概念的出现和发展都是由实际问题引起和 推动的。因此定积分的应用也非常广泛。本书主要介 绍几何、物理上的应用问题，例如：平面图形面积， 曲线弧长，旋转体体积，水压力，抽水做功，引力等。
例 1计 算 由 两 条 抛 物 线 y2x和 yx2所 围 成 的
图 形 的 面 积 .
解 1) 求出两抛物线的交点.
解方程组
y 2 x
y
x2
x0,x1
即这两个抛物线的交点为：(0,0),(1,1)
2) 选x为积分变量, 则x[0,1]
x y2(1,1) y x2
x x+dx 1
3) 面积元素 dA (y上y下)dx( xx2)dx
提示：选积分变量,
jj 面积元素 dA=[j右(y)j左(y)]dy,
面积
S c d [ 右 ( y ) 左 ( y ) d ] y
为
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例 2 计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围
成的图形的面积.
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例 2 计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围
x y
j
(t) (t)
曲边梯形的面积 A b ydx t2(t)j(t)dt.
a
t1
（其中t1和 t2对应曲线起点与终点的参数值）
在[t1,t2（] 或 [t2,t1]）上 x j (t )具有连续导数， y (t)连续.
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例3
求椭圆 x2 a2
y2 b2
1. 若总量U非均匀分布在变量 x的某个区间[a, b]上;
2. 总量U有可加性.
步 (1) 求微元 骤
(2) 求全量
应用方向：
局部近似得 dU = f (x)dx
微元积分得
b
Ua
f (x)dx
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；
功；水压力；引力和平均值等．
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微元法的实质 (1) 整体问题转化为局部问题； (2) 在局部范围内，以常代变，以直代曲； (3) 取极限 (定积分) 由近似值变为精确值。
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微元法 (Element Method)
例1. 写出长为 l 的非均匀细直棒质量的积分表达式，
任一点的线密度是长度的函数。
解:建立坐标如图, 设任意点x的密度为 (x)
o
x x+dx
lx
关 键(x)变 量 ！(x)C
step1. 取[微 x ,x d元 ]x 则 ,dM ? (x)dx
成的图形的面积.
解 两曲线的交点
y+dy y
y2 2x
(2 , 2 )(,8 ,4 ).
y x4
yx4 yx4
yy2222xx
选 y为积分变量 y[2,4]
dA
y
4
y2 2
dy
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4
y2
A (y4 )dy1.8
2
2
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b
b
A f(x)dx ydx
a
a
如果曲边梯形的曲边为参数方程
1的面积.
解
椭圆的参数方程
x y
a cost bsint
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
A4
a
0
ydx4 bsin td(acot)s
0
2
4ab2sin2tdt a.b 0
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二、极坐标系情形
图形是曲边扇(梯)形
曲边扇形是由曲
线rj()及射线 , 所围成
如何应用定积分解决实际问题_____微元法：
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回顾 曲边梯形面积 A b f (x)dx的计算过程：
a
n
(1) 分割. 把区间[a, b]分成n个小区间, 有 A Ai
i 1
总量A 对于[a, b]具有区间可加性, 即A可以分割成
n个部分量Ai 的和.
(2) 近似. 计算Ai的近似值 A i f( i)xi (xi1i xi)
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一、直角坐标系情形
y yf(x)
o a xxxb x 曲边梯形的面积
dA f(x)dx
b
A f(x)dx 13.04.20a20
y
yf2(x)
yf1(x)
o axxx b x 由y=f1(x)和y=f2(x)围成的面积:
d A [f2(x)f1(x)d ] x
b
Aa[f2(x)f1(x)d ] x 10
. .
2
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例4: 计算阿基米德螺线 r = a (a > 0)
(3) 求和. 得A的近似值
n
A f(i )xi
y
i1 n
(4) 求极限. A lim 0
ff (( ii )) xx ii
i 1
y = f (x)
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b
f ( x)dx a
0 1 2 i
x0 a x1 xi1 xi
n x
x
n
3 1
b
xn
把上述步骤略去下标，改写为：
(1) 分割. 取微元 任取一个具有代表性的小区间 [x, x+dx] (区间微元)，
1
A ( 0
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xx2)dx ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
3
x2
x3 3
1 0
1. 3
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jj S a b [ f 上 ( x ) f 下 ( x ) d S ] c d [ 右 x ( y ) 左 ( y ) d ]
讨论：由左右两条曲线xj左(y) 与xj右(y)及上下两条直线yd
与yc所围成的平面图形的面积 如何表示为定积分？
r =j( ) 如何化不规则 +d 为规则
的图形
dA
d
以圆扇形面积近 似小曲边扇形的 面积，得到面积 元素：
o
r
.
. .
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d
o
r =j( ) 积分变 量 [,]
+d
面积元素
dA
以圆扇形面积近似小 曲边扇形面积，得到
面积元素：
dA1j()2d
2
r
.
曲边扇形的面积 A 1[j()]2d
用A表示[x, x+dx]上的小曲边梯形的面积，
(2) 近似. 计算A的近似值 Af(x)dx
并记 dA f(x)dx称为面积面微积 元 y元素yfx
(3) 求和. (4) 求极限.
则 Aa bf(x)d x
0a
这种方法通常称为微元法或元素法 13.04.2020
x x+dx b x
4
可用微元法的条件
step2. 质量 M l(xd)x 0
下面用微元法讨论定积分在几何，物理中的
13一.04.2些020 应用。
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第二节 定积分在几何上的应用
一、平面图形的面积 二、体积 三、平面曲线的弧长
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平面图形的面积
一、直角坐标系情形 二、极坐标系情形 三、小结 思考题
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