《数学分析》(华师大二版)课本上的习题22

第二十二章 曲线积分与曲面积分

P.361 第一型曲线积分与第一型曲面积分 1. 计算下列第一型曲线积分： （1）)1,0(),0,1(),0,0(,)(B A O L ds y x L

是以其中⎰+为顶点的三角形；

（2）

⎰+L

ds y x

2

12

2

)(，其中L 是以原点为中心，R 为半径的右半圆周；

（3）⎰L xyds ，其中L 为椭圆122

22=+b

y a x 在第一象限中的部分；

（4）

⎰L

ds y ，其中L 为单位圆122=+y x ；

（5）ds z y x L

)(2

2

2

⎰

++，其中L 为螺旋线)20(,sin ,cos π≤≤===t bt z t a y t a x 的一

段； （6）⎰

L

xyzds ，其中L 为曲线)10(2

1

,232,22≤≤==

=t t z t y t x 的一段； （7）

⎰

+L

ds z y 222,其中L 是2222a z y x =++与y x =相交的圆周．

2. 求曲线)0,10(2

1,,2

>≤≤=

==a t at z at y a x 的质量．设其线密度为.2a

z =ρ 3. 求摆线⎩⎨

⎧≤≤-=-=)0()

cos 1()

sin (πt t a y t t a x 的重心，设其质量分布是均匀的．

4. 计算下列第一类型曲面积分： （１）

⎰⎰++S

dS z y x )(,其中S 是上半圆面0,2

222≥=++z a z y x ； （２）

⎰⎰+S

dS y x )(22，其中S 为立体12

2≤≤+z y x 的边界曲面； （３），⎰⎰+S y

x dS 22其中S 为柱面2

22R y x =+被平面H z z ==,0所截取的部分； （４）

⎰⎰S

xyzdS ，其中S 为平面1=++z y x 在第一卦限中的部分；

5. 若曲线以极坐标))((21θθθθρρ≤≤=表示，试给出计算

⎰

L

ds y x f ),(的公式，并用此

公式计算下列曲线积分： （１）⎰

+L

y x ds e

2

2，其中L 为曲线)4

(π

θρ≤

≤=a 的一段；

（２）⎰

L

xds ，其中L 为对数螺线)0(>=k ae k θ

ρ在圆a r =内的部分．

6. 设有一质量分布不均匀的半圆弧)0(sin ,cos πθθθ≤≤==r y r x ，其线密度θρa =

（a 为常数），求它对原点)0,0(处质量为m 的质点的引力．

7. 证明：若函数f 在光滑曲线],[),(),(:βα∈==t t y y t x x L 上连续，则存在点

L y x ∈),(00，使得L y x f dS y x f L

∆=⎰),(),(00，其中L ∆为L 的长．

8. 计算

dS z S

⎰⎰2

，其中S 为圆锥表面的一部分： ⎩⎨⎧≤≤≤≤⎪⎩

⎪

⎨⎧===,20,0:;cos sin sin sin cos :πϕθ

θϕθ

ϕa r D r z r y r x S

这里θ为常数).2

0(π

θ≤

≤

P.371 第二型曲线积分

1. 计算第二型曲线积分： （１）

⎰-L ydx xdy ，其中L 为本节例２中的三种情形．

（２）⎰

+-L

dy dx y a )2(，其中L 为摆线)20)(cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 沿t 增加方向的一段； （３）

⎰++-L y x ydy xdx 22，其中L 为圆周2

22a y x =+，依逆时针方向；

（４）⎰

+L

xdy ydx sin ，其中L 为)0(sin π≤≤=x x y 与x 轴所围的闭曲线，依顺时针方

向； （５）

⎰++L

zdz ydy xdx ，其中L ：从（１，１，１）到（２，３，４）的直线段．

2. 设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比．若质点由

)0,(a 沿椭圆移动到),0(b ，求力所作的功。

3. 设一质点受力作用，力的方向指向原点，大小与质点到xy 平面的距离成反比。若质点

沿直线)0(,,≠===c ct z bt y at x 从),,(c b a M 到)2,2,2(c b a N ，求力作的功。 4. 证明：曲线积分的估计式：

,LM Qdy Pdx AB

≤+⎰

其中L 为AB 的弧长，

22),(max

Q P M AB

y x +=∈，

利用上述不等式估计积分⎰=+++-=2222

22)(R y x

R y xy x xdy

ydx I ，并证明：

0lim =+∞

→R R I 。

５.计算沿空间曲线的第二型曲线积分：