2020年江苏省高考数学信息预测试卷(一)

2020年江苏省高考数学信息预测试卷（一）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在答题卡上.
1．（5分）已知集合{0A =，1，2，3，4，5}，{3B =，4，5，6，7}，则A B =I ． 2．（5分）已知i 为虚数单位，若复数22()(23)m m m m i -++-是纯虚数，则实数m 的值是 ． 3．（5分）若执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是 ．
4．（5分）已知样本数据2，5，x ，6，6的平均数是5，则此样本数据的方差为 ． 5．（5分）孙老师家中藏有一套中国古典四大名剧(《西厢记》《桃花扇》《牡丹亭》《长生殿》
)分别标有编号1，2，3，4若从这四大名剧中任意取出两剧，则取出的两剧编号不相邻的
概率是 ．
6．（5分）已知a ，b ，c 均为正实数，若122log a a -=，122log b b -=，21()log 2c c =．则a ，
b ，
c 的大小关系为 ．
（用“< “连接） 7．（5分）若等差数列{}n a 满足2616a a +=，则938a a a +-= ．
8．（5分）已知函数32()23f x x ax a =+++的图象在点(1，f （1）)处的切线过点(2,7)，则a = ．
9．（5分）在直三棱柱111ABC A B C -中，若四边形11AA C C 是边长为4的正方形，且3AB =，AB AC ⊥，M 是1AA 的中点，则三棱锥11B MB C -的体积为 ．
10．（5分）已知1sin 22α=
，则tan()4
π
α+的值为 ．
11．（5分）已知点P 是直线:0l x y b +-=上的动点，过点P 向圆22:1O x y +=作切线，切点分别为M ，N ，且90MPN ∠=︒，若点P 有且只有一个，则实数b = ．
12．（5分）已知过双曲线22219x y b
-=的右焦点F 作圆229x y +=两条切线的切点分别为C ，
D ，且双曲线的右顶点为
E ，若105CE
F ∠=︒，则该双曲线的离心率为 ．
13．（5分）已知四边形ABCD 满足AB DC =u u u r u u u r
且||||||AB AD AB AD a ==-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，P 是线段BD 上一点，则()PA PC PD +u u u r u u u r u u u r
g 的最小值是 ．
14．（5分）已知函数21,0
()|2|,0
x x f x x x ⎧-+=⎨->⎩…，若关于x 的方程2()()0f x af x -=有且只有3个
不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（14分）已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，
C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 23sin sin A B C =，4bc =，23a =．
（1）求角A 的大小； （2）求ABC ∆的周长．
16．（14分）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ABE ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，22AB CD BC ==，EA EB =．
（1）求证：AB DE ⊥；
（2）线段EA 上是否存在点F 使//EC 平面FBD ？若存在，确定点F 的位置；若不存在，请说明理由．
17．（14分）已知点O 为坐标原点，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，
2，点I ，J 分别是椭圆C 的右顶点、
上顶点，且IOJ ∆的边IJ 3
． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点(2,0)H -的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若11AF BF ⊥，求直线AB 的方程．
18．（16分）自20世纪以来，战争灾害、自然灾害给人类带来巨大损失．某地为解决重大紧急情况时人群疏散的需要，对一矩形ABMN 广场区域进行改造，其中AB 的长为60米，AN 的长为120
米．现设计从边BM 上一点C 处，将CB 沿着直线CE （点E 在边AB 上）折叠，使点B 落在边AD 上点F 处，其中CEF ∆区域建在地上，CBE ∆区域往地下开挖并和其他区域相通，分地上地下用于疏散人群，令BCE θ∠=． （1）求θ的取值范围；
（2）若CE 的长最小时，人群疏散效果最佳，求人群疏散效果最佳时线段CE 的长．
19．（16分）已知函数2()()f x x ax lnx a R =+-∈． （1）若函数()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值；
（2）令函数2()()((0,])g x f x x x e =-∈，是否存在实数a 使函数()g x 的最小值是4？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由； （3）证明：25
((0,])22
lnx e x lnx x e ->
+∈． 20．（16分）已知各项均为正数数列{}n a 满足333212
12()n n a a a a a a ++⋯⋯+=++⋯⋯+． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若等比数列{}n a 满足12b a =，24b a =，求12132121n n n n n a b a b a b a b a b ---+++⋯⋯++的值（用含n 的式子表示）；
（3）若113(*)n n n a c c n N ++=+∈，2352c c -=，求证：数列{}n c 是等差数列．
2020年江苏省高考数学信息预测试卷（一）
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在答题卡上.
1．（5分）已知集合{0A =，1，2，3，4，5}，{3B =，4，5，6，7}，则A B =I {3
，4，
5} ．
【解答】解：Q 集合{0A =，1，2，3，4，5}，{3B =，4，5，6，7}， 则{3A B =I ，4，5}， 故答案为：{3，4，5}．
2．（5分）已知i 为虚数单位，若复数22()(23)m m m m i -++-是纯虚数，则实数m 的值是 0 ．
【解答】解：复数22()(23)m m m m i -++-是纯虚数，
20m m ∴-=，2230m m +-≠，
解得：0m =． 故答案为：0．
3．（5分）若执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是 1 ．
【解答】解：分析程序的运行过程知，
程序运行后输出,1
2
,1x e x ln x y e x ⎧
+⎪=⎨⎪>⎩…； 又21x ln =<，
所以2212
e
y x ln ln lne ln =+=+-=．
故答案为：1．
4．（5分）已知样本数据2，5，x ，6，6的平均数是5，则此样本数据的方差为 12
5
． 【解答】解：Q 样本数据2，5，x ，6，6的平均数是5， ∴
1
(2566)55
x ++++=， 解得6x =，
∴此样本数据的方差为：
22222112[(52)(55)(56)(56)(56)]55
-+-+-+-+-=． 故答案为：
12
5
． 5．（5分）孙老师家中藏有一套中国古典四大名剧(《西厢记》《桃花扇》《牡丹亭》《长生殿》
)分别标有编号1，2，3，4若从这四大名剧中任意取出两剧，则取出的两剧编号不相邻的
概率是
1
3
． 【解答】解：孙老师家中藏有一套中国古典四大名剧(《西厢记》《桃花扇》《牡丹亭》《长生殿》)分别标有编号1，2，3，4， 若从这四大名剧中任意取出两剧，
基本事件总数2
4
6n C ==， 取出的两剧编号不相邻的包含的基本个数2m =， ∴取出的两剧编号不相邻的概率21
63
m p n =
==． 故答案为：1
3
．
6．（5分）已知a ，b ，c 均为正实数，若122log a a -=，122log b b -=，21
()log 2c c =．则a ，
b ，
c 的大小关系为 a b c << ．
（用“< “连接） 【解答】解：由题意可知，122a log a =，12
1
()2b log b =，21()2c log c =，
利用函数2x y =，1
()2x y =，12log y x =，2log y x =的图象交点的位置，即可判断：a b c <<，
故答案为：a b c <<．
7．（5分）若等差数列{}n a 满足2616a a +=，则938a a a +-= 8 ．
【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，261162(3)a a a d +==+Q ， 138a d ∴+=，
则938138a a a a d +-=+=， 故答案为：8．
8．（5分）已知函数32()23f x x ax a =+++的图象在点(1，f （1）)处的切线过点(2,7)，则a = 1- ．
【解答】解：32()23f x x ax a =+++Q ，f ∴（1）25a =+，2()62f x x ax '=+，
()f x ∴在点(1，f （1）)处切线的斜率k f '=（1）26a =+，
()f x ∴在点(1，f （1）)处切线的切线方程为(25)(26)(1)y a a x -+=+-． ()f x Q 在在点(1，f （1）)处的切线过点(2,7)， 7(25)(26)(21)a a ∴-+=+-，1a ∴=-．
故答案为：1-．
9．（5分）在直三棱柱111ABC A B C -中，若四边形11AA C C 是边长为4的正方形，且3AB =，AB AC ⊥，M 是1AA 的中点，则三棱锥11B MB C -的体积为 8 ．
【解答】解：如图，因为4AC =，3AB =，AB AC ⊥，5BC ∴=． 111111
541022
BB C S BB B C =
⨯=⨯⨯=V ， M 到面11BB C 的距离等于A 到面11BB C 的距离．
在直三棱柱111ABC A B C -中，过A 作AD BC ⊥于D ， 根据面面垂直的性质可得AD ⊥面11BB C ， 1122AC AB BC AD ⨯=⨯，∴125
AD =． 则三棱锥11B MB C -的体积为112
10835
V =⨯⨯=．
故答案为：8．
10．（5分）已知1sin 22α=，则tan()4
π
α+的值为 3± ． 【解答】解：2222sin cos 2tan 1
sin 212
sin cos tan ααααααα=
==
++Q ， ∴整理可得：2tan 4tan 10αα-+=，解得tan 23α=±
1tan tan()341tan πα
αα
+∴+==±-．
故答案为：3±．
11．（5分）已知点P 是直线:0l x y b +-=上的动点，过点P 向圆22:1O x y +=作切线，切点分别为M ，N ，且90MPN ∠=︒，若点P 有且只有一个，则实数b = 2± ． 【解答】解：解：过原点O 作0x y b +-=的垂线y x =，垂足为A ， 由对称性可知当P 在A 处时，90MPN ∠=︒， OA Q 平分MPN ∠， 45OAM OAN ∴∠=∠=︒，
∴过A 的水平线与竖直线为圆的两条切线，
故(1,1)A 或(1,1)A --， 代入0x y b +-=可得2b =±． 故答案为：2±．
12．（5分）已知过双曲线22219x y b
-=的右焦点F 作圆229x y +=两条切线的切点分别为C ，
D ，且双曲线的右顶点为
E ，若105CE
F ∠=︒，则该双曲线的离心率为 2 ．
【解答】解：由题意可得C ，E 在圆上，
OC OE =，由105CEF ∠=︒可得75OEC OCE ∠=∠=︒，所以30COE ∠=︒，在OCF ∆中，CF 为切线，即OC CF ⊥，所以22c OF OC a ===， 所以双曲线的离心率为：22
c
=， 故答案为：2
13．（5分）已知四边形ABCD 满足AB DC =u u u r u u u r 且||||||AB AD AB AD a ==-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，P 是线段BD 上一点，则()PA PC PD +u u u r u u u r u u u r g 的最小值是 2258
a - ．
【解答】解：四边形ABCD 满足AB DC =u u u r u u u r
且||||||AB AD AB AD ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，
所以ABD ∆是正三角形，四边形ABCD 是菱形，
画出图形如图，建立如图所示的坐标系，设2AB a =，(,0)A a -，(,0)D a ，3)B a ，(23)C a a ，
设(,3)BP BD a a λλλ==-u u u r u u u r
，[0λ∈，1]，则(,33)P a a a λλ-+，
所以(33)PA a a a a λλ=--u u u r ，(33)PD a a a a λλ=-u u u r ，(23)PC a a a λλ=-u u u r
(32PC PD a a λ+=-u u u r u u u r
，233)a a λ
则22
()(810)PA PC PD a λλ+=-u u u r u u u r u u u r g ，当58
λ=时，()PA PC PD +u u u r u u u r u u u r g 取得最小值为：2258a -．
故答案为：2
258
a -．
14．（5分）已知函数21,0
()|2|,0
x x f x x x ⎧-+=⎨->⎩„，若关于x 的方程2()()0f x af x -=有且只有3个
不同的实数根，则实数a 的取值范围是 (,0)[2-∞U ，)+∞ ． 【解答】解：由题意，可知
22
1,0
1,0()(2),02|2|,02,2x x x x f x x x x x x x ⎧-+⎧-+⎪==--<<⎨⎨->⎩⎪-⎩
„„…，
函数()f x 大致图象如右：
Q 关于x 的方程2()()0f x af x -=有且只有3个不同的实数根，
()[()]0f x f x a ∴-=g 有且只有3个不同的实数根，
即()0f x =与()f x a =一共有3个不同的实数根，
()0f x =Q 有1x =-与2x =两个实数根， ()f x a ∴=有且只有1个实数根，
0a ∴<，或2a …
． ∴实数a 的取值范围为(,0)[2-∞U ，)+∞．
故答案为：(,0)[2-∞U ，)+∞．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（14分）已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，
C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 23sin sin A B C =，4bc =，23a =
（1）求角A 的大小； （2）求ABC ∆的周长．
【解答】解：（1）sin 23sin sin A B C =Q ，显然sin 0A ≠， 2sin 23sin sin sin A A B C ∴=， ∴由正弦定理可得：223sin a bc A =，
又4bc =Q ，23a =， 1283sin A ∴=，解得：3
sin A =
， (0,)2A π
∈Q ，
3
A π
∴=
，
（2）由（1）可知3
A π
=
，可得：1cos 2
A =
， ∴由余弦定理可得：22222121
cos 282b c a b c A bc +-+-===，
2216b c ∴+=，
222()224b c b c bc ∴+=++=，解得26b c +=， ABC ∴∆的周长2326a b c ++=．
16．（14分）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ABE ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，
22AB CD BC ==，EA EB =．
（1）求证：AB DE ⊥；
（2）线段EA 上是否存在点F 使//EC 平面FBD ？若存在，确定点F 的位置；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）证明：取AB 中点O ，连结EO ，DO ．
因为EB EA =， 所以EO AB ⊥．
因为四边形ABCD 为直角梯形，22AB CD BC ==，AB BC ⊥， 所以四边形OBCD 为正方形， 所以AB OD ⊥． 所以AB ⊥平面EOD ． 所以AB ED ⊥．
（2）线段EA 上存在点F 使//EC 平面FBD ，
证明：连接AC 、BD 交于点M ，面ACE ⋂面FBD FM =． 因为//EC 平面FBD ， 所以//EC FM ．
在梯形ABCD 中，有DMC BMA ∆∆∽，可得2MA MC =， 所以2AF FE =， 所以，1
3
EF EA =．
17．（14分）已知点O 为坐标原点，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，
2，点I ，J 分别是椭圆C 的右顶点、
上顶点，且IOJ ∆的边IJ 3
． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点(2,0)H -的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若11AF BF ⊥，求直线AB 的方程． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：2c a =222a b c =+2213
2a b +=
联立解得：22a =，1b c ==．
∴椭圆C 的标准方程为：2
212
x y +=．
（Ⅱ）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，过点(2,0)H -的直线方程为2x ky =-，代入椭圆方程中，消x 可得22(2)420k y ky +-+=
则△22168(2)0k k =-+>，解得2k >2k <-， 12242k y y k ∴+=
+，12
2
2
2y y k =+， 212121212(2)(2)2()4x x ky ky k y y k y y ∴=--=-++，1212()4x x k y y +=+-， 11AF BF ⊥Q ， ∴110AF BF =u u u r u u u r
g ，
221212121212121212121212(1)(1)()12()4()41(1)()10
x x y y x x x x y y k y y k y y k y y y y k y y k y y ∴+++=++++=-++++-++=+-++=
即
22
22
2(1)41022k k k k +-+=++， 解得2k =±，
故直线AB 的方程的方程为22x y =±-，即220x y ±+=
18．（16分）自20世纪以来，战争灾害、自然灾害给人类带来巨大损失．某地为解决重大紧急情况时人群疏散的需要，对一矩形ABMN 广场区域进行改造，其中AB 的长为60米，AN
的长为120
米．现设计从边BM 上一点C 处，将CB 沿着直线CE （点E 在边AB 上）折叠，使点B 落在边AD 上点F 处，其中CEF ∆区域建在地上，CBE ∆区域往地下开挖并和其他区域相通，分地上地下用于疏散人群，令BCE θ∠=． （1）求θ的取值范围；
（2）若CE 的长最小时，人群疏散效果最佳，求人群疏散效果最佳时线段CE 的长．
【解答】解：（1）设CE l =，由题意可知Rt CFE Rt CBE ∆≅∆， ∴2
BEC FEC π
θ∠=∠=
-，
2FEA FEC BEC πθ∴∠=-∠-∠=，
sin BE l θ∴=，cos sin cos2AE EF FEA l θθ=∠=g ， sin cos2sin 60l l θθθ∴+=，
23606030sin (1cos2)sin (22)sin l sin sin θθθθθθ∴=
==+--，(0,)2
π
θ∈，
230sin 601BE l sin θθ∴==
-„，∴2
12sin θ„，04πθ∴<„
， 又330cos 60
cos 120sin sin 2BC l sin θθθθθ
==
=-Q „，
1sin 22θ∴…，又Q (0,)2πθ∈，∴262ππθ剟，即124
ππ
θ
剟， 综上所求，[,]124
ππ
θ∈；
（2）令sin t θ=，Q [,]124
ππ
θ∈，62[
t -∴∈2
， 则330
l t t =-，
设3()g t t t =-，62[
t -∈2
， 233()133()(g t t t t '∴=-=-， ∴当62[
t -∈，3)时，()0g t '>，函数()g t 单调递增；当32
(x ∈时，()0g t '<，
函数()g t 单调递减， ∴
当t =
时，()g t
取到最大值，最大值为g ，
l ∴
=
即人群疏散效果最佳时线段CE
的长为． 19．（16分）已知函数2()()f x x ax lnx a R =+-∈． （1）若函数()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值；
（2）令函数2()()((0,])g x f x x x e =-∈，是否存在实数a 使函数()g x 的最小值是4？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由； （3）证明：25
((0,])22
lnx e x lnx x e ->
+∈． 【解答】解：（1）1
()2f x x a x
'=+-
，Q 函数()f x 在1x =处取得极值， f ∴'（1）210a =+-=，解得1a =-．
（2）2()()g x f x x ax lnx =-=-，(0,])x e ∈，假设存在实数a 使函数()g x 的最小值是4． 即4lnx a x
+…，(0,])x e ∈，
令4
()lnx h x x
+=，(0,])x e ∈， 23()lnx h x x +'=-
，可得3
1
x e
=时，函数()h x 取得极大值即最大值．331()h e e =． 3a e ∴…．
∴存在实数3a e =，使函数()g x 的最小值是4．
（3）证明：令25
()22
lnx u x e x lnx =---，(0x ∈，]e ． 23()2u x e x '=-
，令23()02u x e x '=-=，解得232x e
=． 可得函数()u x 的极小值即最小值2333531
()(32)23(433)0222222
u ln ln ln e =---=-=->． 25
022
lnx e x lnx ∴--
->，(0x ∈，]e ． 即25
((0,])22
lnx e x lnx x e ->
+∈． 20．（16分）已知各项均为正数数列{}n a 满足333212
12()n n a a a a a a ++⋯⋯+=++⋯⋯+．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若等比数列{}n a 满足12b a =，24b a =，求12132121n n n n n a b a b a b a b a b ---+++⋯⋯++的值（用含n 的式子表示）；
（3）若113(*)n n n a c c n N ++=+∈，2352c c -=，求证：数列{}n c 是等差数列．
【解答】解：（1）各项均为正数数列{}n a 满足333
212
12()n n a a a a a a ++⋯⋯+=++⋯⋯+． 3211a a ∴=，解得11a =．
2n …时，可得：3
2212121()()n
n n a a a a a a a -=++⋯⋯+-++⋯+， 化为：3
121(222)n
n n n a a a a a a -=++⋯⋯++g ， ∴2
2n
n n a S a =-． 2n ∴…时，2
1112n n n a S a ---=-．
相减可得：11n n a a --=． ∴数列{}n a 为等差数列．
11n a n n ∴=+-=．
（2）等比数列{}n a 满足122b a ==，244b a ==．可得公比4
22
q =
=． 2n n b ∴=．
231121321212(1)2(3)2222n n n n n n n n T a b a b a b a b a b n n n ----=+++⋯⋯++=+-+-+⋯⋯++g g g g ， 23122(1)2222n n n T n n +∴=+-+⋯⋯++g g g ，
231
1
24(21)
22222
22
222421
n n n n n n T n n n -++-∴=-+++⋯⋯+++=-+=---g ．
（3）证明：1113(*)n n n n a c c n N +++==+∈Q ， 可得：2333c c =+，1223c c =+，又2352c c -=． 解得1516c =
，2916c =，31316
c =， 2n ∴…时，13n n n c c -=+．
相减可得：11123n n n c c c +-=-+-． 12123n n n c c c ++∴=-+-，
相减可得：21113()2()()n n n n n n c c c c c c +++--=-+-． 设1n n n d c c +=-，化为：1132n n n d d d +-=+． 又121
4
d d ==
，可得314d =．
以此类推可得：1
4
n d =．
即114
n n n d c c +=-=
． ∴数列{}n c 是等差数列．。