关于一类特殊非齐次常微分方程的解法

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d x = dt2 假设
2
d dx dt du
( )
·
du = dt
(
dx －u e －u = d2 x －u e － e du du2
)
( )
dx e －2u d2 x － du du2
)
d k －1 x = dt k －1 则
( )
d k －2 x dx e － （ k －1） u d k －1 x … + α k －2 k － 1 + α1 du du dt k －2
～ ～
53
再根据欧拉方程的通解形式， 即可得方程（ 1 ） 的通解。
2
例证
2 例 1 ： 求方程 t x″ － tx' + 2 x = tlnt 的通解。
解 方程对应的齐次微分方程为 t2 x″ － tx' + 2 x = 0 是欧拉方程， 其通解为 x = C1 t cos ln | t | + C2 t sin ln | t | 根据定理 1 ， 知其特解形式为 x ln k t（ B0 ln t + B1 ） t 而 λ = 1 不是对应的齐次方程的特征值， 故取 k = 0 ． 因此特解形式为 ～ x ln k t（ B0 ln t + B1 ） t B1 = 0 ，故 代入原方程中， 可求得 B0 = 1 ， x = t ln t 从而原方程的通解为 x = C1 t cos ln | t | + C2 t sin ln | t | + t ln t 例 2 ： 求解方程 t x″ － 4 tx' + 6 x = tsin （ ln t） 。 解 方程对应的齐次方程的通解为 x = C 1 t2 + C 2 t3 由定理 2 ， 知其特解形式为 x （ t） = ln k［ C cos β （ lnt） + D sin β （ lnt） ］ t ． 而不是齐次方程的特征值， 故取 因此其特解形式为 x （ t） = ［ C cos β （ lnt） + D sin β （ lnt） ］ t 3 1 ， D = ， 代入原方程， 则得 C = 故 10 10
摘
要： 针对一类特殊非齐次常微分方程， 如下 tn
n －1 dx dn x x n －1 d + … + a n －1 t + a n x = f（ t） n + a1 t dt dt dt n －1
即非齐次方程对应的齐次方程是欧拉方程时， 运用比较系数法， 求得非齐次方程的特解， 进而求得其通解， 其过程 且计算量小。 较常数变易法简便， 关键词： 常微分方程； 特解； 比较系数法； 齐次； 非齐次 作者简介： 赵微（ 1979 － ） ， 女， 吉林通化人， 大庆师范学院数学科学学院教师， 从事基础数学非线性分析研究 。 基金项目： 大庆师范学院科学研究基金项目 （ 08ZQ07 ） ； 黑龙江省自然科学基金面上项目 （ A200813 ） 。 中图分类号： O175． 8 文献标识码： A 文章编号： 2095 － 0063 （ 2010 ） 06 － 0052 － 03 收稿日期： 2010 － 03 － 07
［ 参 考 文 献］
［ 1］ 王高雄． 常微分方程［M］ ． 3 版． 北京： 高等教育出版社， 2006． ［ 2］ 丁同仁， M］ ． 北京： 高等教育出版社， 1985． 李承治． 常微分方程［ ［ 3］ 庄万． 常微分方程习题集［ M］． 济南： 山东科学技术出版社， 2004．
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)

=
(
d2 x dx e －ku dk x + β k －2 k + … + β k －2 du du du2
)
因此， 根据数学归纳法， 可得到 dn x = dt u
(
dn x d2 x dx e －nu + γ n －1 n + … + γ n －2 du du du2
)
u 将上述式子及 t = e 代入（ 1 ） 中， 则得到
)
( )
合并同阶导数则得到
m m －1 u 再将 f（ t） = （ b0 1 n t + b1 ln t + … + b m －1 lnt + b m ） t λ 及 t = e 代入上式中， 则有
dn x d2 x dx + a n x = （ b 0 u m + b 1 u m － 1 + … + b m － 1 u + b m ） e λu + c n －1 n + … + c n －2 du du du2 从上式中可看出将原变系数方程化为了常系数方程， 且非齐次项满足 1 ） ， 故可采用比较系数法进行 求解。 1］ ， 根据文献［ 则知上述方程的特解形式为 ～ x = u k （ b 0 u m + b 1 u m － 1 + … b m － 1 u + b m ） e λu 于是， 有 xห้องสมุดไป่ตู้（ t） = ln k t（ B0 1 m m t + B1 ln m －1 t + … + B m －1 lnt + B m ） t λ 其中 λ 是对应（ 1 ） 的次方程的特征值， 而 k 是 λ 的重数， 若 λ 不是特征值， 则取 k = 2 。 再根据欧拉方程的通解形式， 则可求得方程（ 1 ） 的通解。 定理 2 考虑方程（ 1 ） ， 当 f（ t） = ［ A cos β （ lnt） + B sin β （ lnt） ］ tα ， 时， 其特解形式为 x = 1 m k t［ C cos β （ lnt） + D sin β （ lnt） ］ tα 证明 类似定理 1 证明， 做同样的变量代换， 则知， 方程可化为 dn x d2 x dx + an x = ［ + … + c n －2 + c n －1 A cos β u + B sin β u］ e αu du du n du2 1］知， 则由［ 其特解形式为 ～ x = u k［ C cos β u + D sin β u］ e αu = ln k t［ C cos β （ lnt） + D sin β （ lnt） ］ tα k 为 λ = α + iβ 的重数， 其中 λ 是（ 1 ） 对应的齐次方程的特征值， 若 λ 不是特征值， 取 k = 0。
1
定理
定理 1 考虑方程 tn 当 f（ t） = （ b0 ln m t + b1 ln 时， 其特解形式为 x = ln k t（ B0 ln m t + B1 ln 证明 做变换， 令t = e ， 则 u = ln t， 从而 dx dx du dx －u = · = = e dt du dt du
dk x = dt k
k －1 d d k －x dt 1
( )
du
·
dx dt
k d2 x e － （ k －1 ） u － （ k － 1 ） = d x + … + α k －2 k du du2

(
(
d k －1 x dx e － （ k －1） u e －u + … + α k －2 du du k －1
u ～ m －1 m －1 n －1 dn x x dx n －1 d + … + a n －1 t + a n x = f（ t） n + a1 t dt dt dt n －1
（ 1）
t + … + b m －1 ln t + b m ） t λ t + … + B m －1 ln t + B m ） t2
n －1 dn x x dx n －1 d + a n x = f（ t） + … + an － 1 t n + a1 t dt dt dt n － 1
即当方程对应的齐次方程为欧拉方程时， 并在非齐次项满足一定条件下， 采用比较系数法得到方程的 特解， 进而求出方程的通解， 其过程较常数变易法简便， 且计算量小。
0
引言
《常微分方程》 （ 文献［ 1］ ） 教材中， 在 对于常系数非齐次的常微分方程， 当非齐次项 f（ t） 为两类特殊
情况时， 即 f （ t ） = （ b 0 t m + b 1 t m － 1 + … + b m ） e λt 和 f （ t ） = ［ A（ t） cos β t + B （ t） sin β t］ e αt 时， 采用了比较系数法， 得到方程的特解， 其解法过程中主要是进行代数运算， 较为简便。 但对于变系数非齐次常微分方程的解法， 常用的方法是先求出其对应的齐次常微分方程的通解， 而后 利用常数变易法求出非齐次常微分方程的特解， 最后得到通解，由于在常数变易法的过程中， 需要计算不 定积分， 因此计算量大， 比较麻烦。 本文旨在给出如下一类特殊非齐次常微分方程 tn
～ 3 1 sinβ （ ln t） ］ x （ t） = ［ cos β （ lnt） + t 10 10 ～ ～ 2 ～ ～
从而原方程的通解为 3 1 sin β （ ln t） ］ x = C1 t2 + C2 t3 + ［ cos β （ ln t） + t 10 10
3
结语
针对一类特殊非齐次常微分方程（ 1） ， 运用比较系数法， 求得了非齐次方程的一个特解， 进而求得非齐次方 程的通解。求解过程中直接求解代数方程则可， 省去了求不定积分的麻烦， 计算量较常数变易法小。
第 30 卷
第6 期
大庆师范学院学报 JOURNAL OF DAQING NORMAL UNIVERSITY
Vol． 30
No． 6
2010 年 11 月
November， 2010
关于一类特殊非齐次常微分方程的解法
赵
1 微， 许
洁
2
（ 1． 大庆师范学院 数学科学学院， 黑龙江 大庆 163712 ； 2． 吉林化工学院 理学院， 吉林 吉林 132013 ）
n d2 x dx e －nu + … + a e u dx e －u + a x = f（ t） e nu d x + γ n －1 n －1 n n + … + γ n －2 du du du du2
(
)
( )
化简得
(
dn x d2 x dx + … + a dx e －u + a x = f（ t） + γ n －1 n －1 n n + … + γ n －2 du du du du2 dn x d2 x dx + c n －1 + a n x = f（ t） n + … + c n －2 du du du2