1.3流体流动中的守恒原理

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第 1 章 流体流动
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第 1 章 流体流动
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实际水的流出流量（速率）
V 0.62A0 2gZ
(2)求液面自高度为Z1降至Z2所需时间。 由于桶液面不断下降，排水速度也不断减小，故为不稳定过程， 应按下列关系式进行物料衡算：（输入速率－输出速率＝积累速率） 设在某一瞬间，液面高度为Z，经历dθ 时间后，液面高度改变dz 在此时间内，对于桶内液面以下的空间（划定体积）水的输入速率 ＝0 ，水的输出速率＝ 0.62A0 2 gZ
ห้องสมุดไป่ตู้
2 u2 1 u d (m) 2 GA 2
2 u1 P2 u2 gZ 1 W gZ 2 hf 2 2
P 1
2
u
V

4
d2
u2 u2 能否以 代替 2 2
后者是在管截面上流体动能的平均值。
第 1 章 流体流动 12
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u u 能否以 代替 2 2
uA 60 2.12m / s 3.14 3600 0.12 4
2
B
0 .2 m
A
0.1 uB uA 0.53m / s 0.2
2 2 uA uB PA PB 0.2 g 2 2 2 2 uB uA PA ( PB 0.2 g ) 2 2
1 P Z 0 z
duz 1 P Z 1 z dt
1 P X 0 x
dux 1 P X 1 x dt
1 P Y 0 y
duy 1 P Y 1 y dy
对于静止的流体，三个方向上的力均为零。对于运动着的流体来 说，三个方向上的力均不为零。
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第 1 章 流体流动
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1-9 实际流体的机械能衡算式
1、实际流体的机械能衡算式 将柏努利方程式扩展到实际流体的管流时，必须考虑： （1）Z 、P 应取管截面的平均值； （2）自管流的截面1流到截面2的机械能损失； （3）自管流的截面1 流到截面2 有时需要外加入机械能； （4）管流截面上的单位kg流体的动能应该取平均值。
1
P
u Zg Const. 2
2
2
2in
3in
0 .5 m
1m
Z尽可能大、u尽可能大之处
2）求解2in之处的压强
1-4之间列机械能方程式
4
u 1 9.81 2
2 4
u4 4.43m / s
36 u2,in u4 14.35m / s 20
P2,in 3.2437 103 Pa
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第 1 章 流体流动
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第 1 章 流体流动
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稳态流动(steady state flow)时，流线与轨线相重合， 所以柏努利(Bernoulli)方程亦可应用于稳态流动的流线 的描述。
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理想流体，粘度μ ＝0，流动时无能量损失，自控制体的截面1流 至截面2，控制体通常为一段管路，利用柏努利(Bernoulli)方程描 述一段管路中，理想流体的一条流线。
继续将柏努利方程式扩展到理想流体的管流：
Z 、P 、u 均取管截面上的平均值即可，即上式可以不加修改地
推广应用于理想流体的管流，方程式的形式无需变化，因为理想流 体的每条流线速度相等 。
V A u
点流速

4
d2 u
rR
u
与体积流量V的关系
dA V u
f r u
A
r 0
2r dr u
1-6 稳定流动与不稳定流动（定常态流动与非定常态流动）
流体的流动参数是否随时间发生变化。
不随时间变化的流动称为稳定流动，否则为非稳定流动。
第1章 流体流动（14学时）
第3讲：
1.3 管内流体流动的基本方程式 1-5 流量与流速 1-6 稳定流动与不稳定流动 1-7 连续性方程 1-8 柏努利方程式 1-9 实际流体的机械能衡算式
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第 1 章 流体流动
1
1.3 管内流体流动的基本方程式
1-5 流量和流速 1、流量 体积流量V 质量流量G 2、流速 平均体积流速u 平均质量流速w 点流速
30o C水 : Pv 4.2474 103 Pa
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2
1-2in之间列机械能方程式
P2,in 14.352 1.013 105 0.5 9.81 1000 1000 2
故可以发生水的汽化现象。
2016/4/16 第 1 章 流体流动
例3：水以60m3/h的流量在一倾斜管中流过，此管的内径由100mm突然扩大 到200mm，A、B两点的垂直距离为0.2m 。在此两点之间连接一U形管压差计， 指示剂为CCl4 ，其密度为1630kg/m3 ，若忽略阻力损失，试求： （1）U形管压差计两侧指示剂液面哪侧高？相差多少mm？ （2）若将上述的倾斜扩大管路改为水平扩大管路，压差计的读数有何变化？ 解：1）先假设如图所示右侧高 管内用动力学方程式描述； 管外用静力学方程式描述
2
若为等管径管道 则
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A1 A2
u1 u2
第 1 章 流体流动 4
1-8柏努利方程 (Bernoulli’s equation)
机械能守恒（ conservation of mechanical energy）
理想流体的定义:粘度等于零的流体。 牛顿第二定律
du dy
在管内各流通面上流速均相同。
2）自槽1-1面至管内1-1面列机械能衡算式
2 u2 u Pa P1,in P1. in Pa 2 2 3）自槽1-1面至最高点的管内流通面列机械能衡算式 u2 u2 Pa Phigh hg Phigh Pa hg 2 2
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第 1 章 流体流动
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例2：如图所示，30oC的水由高位槽流经直径不等的两管段。上部细管直径为 20mm ，下部粗管直径为36mm 。不计所有阻力损失，管路中何处压强最低？该处 的水是否会发生汽化现象？ 解：1）根据机械能衡算式判断何处压强最低
2
2
2
后者是在管截面上流体动能的平均值。
2 2 u 1 u 1 u dA d (m) u 2 GA 2 u A A 2
u u 1 u 3 dA 3 u 2 2 u AA 2 1 3 dA 3 u u AA
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2
正确 正确
2 2 P3 u3 u1 Z1 g Z3 g 2 2
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第 1 章 流体流动
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a
b
c
2 2 P3 u3 u2 Z2 g Z3 g 2 2 (a) 正确 2 2 P3 u3 P1 u1 Z1 g Z3 g 2 2 2 2 2 P3 u3 P1 u1 P2 u2 Z1 g Z1 g Z3 g (b)(c ) 2 2 2
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m3 s
G V
kg s
V u A G u A
m3 2 m s
w u
kg m2 s
u
V lim u A 0 A
第 1 章 流体流动 2
3、流量与流速的关系 平均体积流速u与体积流量V的关系
J kg
J m3
P1 u12 P2 u22 Z1 He Z2 Hf g 2 g g 2 g
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J m N
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应用机械能衡算式时注意
正确
错误
u P2 u Z1 g Z1 g 2 2 P1
P1
2 1
2 2
2
2
根据管截面上流速的分布关系式可以 解出动能校正系数α 。 层流时α=0.5 ；湍流时α≈1
第 1 章 流体流动 13
2 u1 P2 u2 gZ 1 W gZ 2 hf 2 2
P1
2
u12 P2 u22 gZ 1 1 W gZ 2 2 hf 2 2 P1
工业生产管路中通常为湍流形态，动能系数可取为1 ，管截面上的 平均流速就习惯地写为u 。
u12 P2 u22 gZ 1 W gZ 2 hf 2 2 P1
u12 u22 gZ 1 P1 W gZ 2 P2 Pf 2 2
2016/4/16 第 1 章 流体流动 3
1-7 连续性方程式
质量守恒 (conservation of mass)
对于稳定流动
G1 G2
密度不随所受压强变化的流体称为不可压缩流体。
V1 V2
即

4
d u1
2 1

4
2 d2 u2
d1 u2 u1 d 2
可知
2 2 uB uA R( i ) g 2 2
以单位质量流体为基准，分析其在空间三维方向x,y,z方向上 分别所受的力。应用牛顿第二定律
回顾静力学的受力分析
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回顾(review)静压强在空间的分布
以z方向上的受力分析为例
（负）
du dx
du dy
（正）
P z P z P xy P xy Zxyz 0 z 2 第1章 2016/4/16 z 2 6 流体流动
R
1
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第 1 章 流体流动
管外用静力学方程式描述
P1 PA xg Rg
P2 PB 0.2g xg Ri g PA ( PB 0.2g) R( i ) g
对比
2
B
u u PA ( PB 0.2 g ) 2 2
P2 P2
Pa Pa
R Pa P2 u V
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第 1 章 流体流动
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2、柏努利方程式的应用
1)
可忽略流体流动时的机 械能损失，分析： 1）管内流速u ； 2）管内在1-1水平面 处的压强 P1.in ； 3）管内最高点处的压 强 Phigh 。
h
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第 1 章 流体流动
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2、柏努利方程式的应用
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第 1 章 流体流动
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2、柏努利方程式的应用
（4）
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第 1 章 流体流动
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2、柏努利方程式的应用
（5）
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第 1 章 流体流动
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2、柏努利方程式的应用
例1：如图所示的小桶，截面为A， 桶底有一小孔，面积为A。，求： （1）若自孔排水时，不断有水补 充入桶内，使水面高度维持恒定为 Z，求水的体积流量？ (2)若排水时不补充水，求水面高度自Z1降到Z2所需的时间。 说明：实际液体由孔流出时其流动截面有所减小（收缩），并且有阻力损失，表 示流速时可先给予忽略，再根据经验取实际流速（流量）为理论流速（流量）的 0.62倍（孔流系数）。
J m N
应用流体的机械能衡算式注意的问题：
1）看是否符合应用条件（稳定连续流动，满流 状态）； 2）画示意图； 3）截面选取已知量最多，大截面可取u=0 ， 所选的截面要垂直于流体的流动方向； 4）水平基准面的选取； 5）压强的基准。
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2、柏努利方程式的应用
P2
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第 1 章 流体流动
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u12 P2 u22 gZ 1 W gZ 2 hf 2 2 P1
u12 u22 gZ 1 P1 W gZ 2 P2 Pf 2 2
J kg
J m3
2
P1 u12 P2 u22 Z1 He Z2 Hf g 2 g g 2 g