初中数学重点梳理：面积问题与面积方法(二)

面积问题与面积方法
知识定位
能够用正确的方法求解几何的有关面积，并且能够巧算面积，化难为易，化复杂为简单；要熟练的应用几何求几何面积的几种模式，其中主要有等积变换模型、鸟头定理（共角定理）模型、蝴蝶定理模型、相似模型、燕尾定理模型。

知识梳理
1、 等面积变化模型：
（1）等底等高的两个三角形面积相等；
（2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如下图12::S S a b =
（3）夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；
反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。

（4）正方形的面积等于对角线长度平方的一半；
（5）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
2、鸟头定理（共角定理）模型：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

（1）共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

（2）如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△
1S 2
S
3、蝴蝶定理模型：任意四边形中的比例关系。

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

① 1243::S S S S =1324S S S S ⨯=⨯ ② ()()1243::AO OC S S S S =++ 4、相似模型：
相似三角形：相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
（1）相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； （2）相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

①
AD AE DE AF
AB AC BC AG
===
； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。

5、 燕尾定理模型：面积比转化为边之比
例题精讲
【试题来源】
【题目】如下图所示，把四边形ABCD的各边都延长一倍，得到一个新四边形EFGH。

如果ABCD的面积是5平方厘米，那么请问：EFGH的面积是多少平方厘米？
【答案】65平方厘米
【解析】解连接BD，ED，BG，则△EAD、△ADB同高，
所以面积的比等于底的比，
即S△EAD=，S△ABD=2S△ABD，
同理S△EAH=，S△EAD=6S△ABD，
所以S△EAH+S△FCG=6（S△ABD+S△BCD）=6S四边形ABCD=6×5=30；
连接AF，AC，HC可得：
S△EFB=6S△ABC，S△DHG=6S△ACD，
S△EFB+S△DHG=6（S△ABC+S△ACD）=6×5=30（平方厘米），
所以四边形EFGH的面积=30+30+5=65（平方厘米）；
【知识点】等面积的应用
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如下图所示，把三角形DEF的各边向外延长一倍后得到三角形ABC，三角形ABC的面积为1。

请问：三角形DEF的面积是多少？
【答案】1/7
【解析】解连接AE、BF、CD，
利用同底等高的三角形面积相等，可得S△ADE=S△ABE=S△DEF，
同理有S△BEF=S△BCF=S△DEF，
S△CDF=S△ACD=S△DEF；
因为S△ABC=7S△DEF，
所以三角形DEF的面积是：1÷7＝1/7
【知识点】等面积的应用
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】如图，四边形ABCD中，E为BC的中点，AE与BD交于F，且F是BD的中点，O是AC，BD的交点，AF=2EF．三角形AOD的面积是3平方厘米，求四边形ABCD的面积．
【答案】24平方厘米
【解析】解由题意知：E为BC的中点，F是BD的中点，
则EF是△BCD的中位线，可得CD=2EF，EF∥CD，
因为AF=2EF，所以AF=CD，
由 EF∥CD，AF=CD，
所以四边形AFCD是平行四边形，
因为S△DOC=S△AOD=3（平方厘米），
所以S△ACF=S△ACD=2S△AOD=2×3=6 （平方厘米），
又因为AF=2EF，AE=AF+EF，
所以AE=3EF，
所以AE=3/2AF，
所以S△ABE=S△ACE=3/2S△ACF=3/2×6=9 （平方厘米），
所以SABCD=6+9+9=24（平方厘米）．
【知识点】等面积的应用
【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，且AD:AB=2：5，AE:AC=4：7，△ADE 的面积为16平方厘米，求△ABC 的面积．
【答案】70平方厘米
【解析】 解 连接BE ，由题得
::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△， ::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，
所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△， 设△ABC 的面积为X ，则
=
所以 X=70
所以△ABC 的面积为70平方厘米
【知识点】鸟头定理应用 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2
【试题来源】2007年”走美”初赛试题
【题目】如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，AE=1/3AC ，CF=1/3BC ．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．
E
C A
【答案】10平方厘米 【解析】 解 由题意知
13AE AC =
、13CF BC =，
可得
2
3CE AC =
根据”共角定理”可得，
():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；
而66218ABC S =⨯÷=△；
所以4CEF S =△；
同理得，:2:3CDE ACD S S =△△，183212CDE S =÷⨯=△，6CDF S =△
故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．
【知识点】鸟头定理应用 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图，边长为1的正方形ABCD 中，2BE EC =，CF FD =，求三角形AEG 的面积．
A
B
C
D
E
F G
A
B
C
D
E
F
G
【答案】
27
【解析】 连接EF ．
因为2BE EC =，CF FD =，所以
1111
()23212DEF ABCD ABCD
S S S
∆=⨯⨯=．
因为12AED ABCD S S ∆=，根据蝴蝶定理，11
::6:1
212AG GF ==，
所以6613
677414AGD GDF ADF ABCD ABCD
S S S S S ∆∆∆===⨯=．
所以
1322
21477AGE AED AGD ABCD ABCD ABCD S S S S S S ∆∆∆=-=-==
， 即三角形AEG 的面积是2
7．
【知识点】任意四边形的蝴蝶定理应用 【适用场合】当堂例题 【难度系数】5
【试题来源】
【题目】如图，已知正方形ABCD 的边长为10厘米，E 为AD 中点，F 为CE 中点，G 为BF 中点，求三角形BDG 的面积．
A
B
C
D
F
G
O
A
B F
G
【答案】6.25平方厘米
【解析】设BD 与CE 的交点为O ，连接BE 、DF ．
由蝴蝶定理可知::BED
BCD
EO OC S S
=，而
14
BED
ABCD
S
S =，
12
BCD
ABCD
S
S =，
所以::1:2BED
BCD
EO OC S S
==，故13EO EC
=．
由于F 为CE 中点，所以1
2EF EC =
，故:2:3EO EF =，:1:2FO EO =．
由蝴蝶定理可知::1:2BFD BED S S FO EO ==，所以1
12
8
BFD
BED
ABCD
S
S S ==，
那么111
1010 6.25
21616BGD BFD ABCD S S S ===⨯⨯=（平方厘米）．
【知识点】蝴蝶定理求面积的应用 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】5
【试题来源】
【题目】如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边BC 、CA 上的点，且BD=4，DC=1，AE=5，EC=2．连接AD 和BE ，它们相交于点P ，过点P 分别作PQ ∥CA ，PR ∥CB ，它们分别与边AB 交于点Q 、R ，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比为
【答案】
【解析】 解：如图：
过点E 作EF ∥AD ，且交BC 于点F ，则
，
∴，
∵PQ∥CA，
∴，
于是，
∵PQ∥CA，PR∥CB，
∴∠QPR=∠ACB，
∵△PQR∽△CAB，
∴．
故答案是：．
【知识点】相似下求面积的应用
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】2001•无锡
【题目】如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，E是腰AB上的一点，连接CE，（1）如果CE⊥AB，AB=CD，BE=3AE，求∠B的度数；
（2）设△BCE和四边形AECD的面积分别为S1和S2，且2S1=3S2，试求的值．
【答案】（1）60°（2）4
【解析】延长BA、CD相交于点M．如图1：∵AD∥BC，
∴△MAD∽△MBC，
∴．
∴MB=3MA．设MA=2x，则MB=6x．
∴AB=4x．
∵BE=3AE，
∴BE=3x，AE=x．
∴BE=EM=3x，E为MB的中点．
又∵CE⊥AB，
∴CB=MC．
又∵MB=MC，
∴△MBC为等边三角形．
∴∠B=60°；
（2）延长BA、CD相交于点F，如图2：
∵AD∥BC，
∴△FAD∽△FBC，
∴，
设S△FAD=S3=a，则S△FBC=9a，S1+S2=8a，又∵2S1=3S2，
∴a，a，S3=a．
∵△EFC 与△CEB 等高，
∴．
设FE=7k ，则BE=8k ，FB=15k ， ∴FA=FB=5k ． ∴
AE=7k ﹣5k=2k ． ∴
=4．
【知识点】含绝对值的不等式（组） 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】4
【试题来源】
【题目】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.
E
F
A
E
F A
E
F
B A
【答案】12.5
【解析】 (法一)连接CF ，因为BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，
所以1103ABE ABC S S ==△△，1
15
2ABD ABC S S ==△△．
根据燕尾定理，
1
2
ABF
CBF
S AE
S EC
==
△
△，
1
ABF
ACF
S BD
S CD
==
△
△,
所以
1
7.5
4
ABF ABC
S S
==
△△
，157.57.5
BFD
S=-=
△，
所以阴影部分面积是30107.512.5
--=．
(法二)连接DE，由题目条件可得到
1
10
3
ABE ABC
S S
==
△△
，
112
10
223
BDE BEC ABC
S S S
==⨯=
△△△
，所以
1
1
ABE
BDE
S
AF
FD S
==
△
△，
111111
2.5
223232
DEF DEA ADC ABC
S S S S
=⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=
△△△△
，
而
21
10
32
CDE ABC
S S
=⨯⨯=
△△
．所以阴影部分的面积为12.5．
【知识点】燕尾定理应用
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
习题演练
【试题来源】
【题目】如图所示，D为△ABC中AC边上一点，AD=1，DC=2，AB=4，E是AB上一点，且△ABC的面积等于△DEC面积的2倍，则BE的长为（）
【答案】1
【解析】解：已知AD=1，DC=2，
∴S△DEC=2S△AED，
又由S△ABC=2S△DEC，
∵S△BCE+S△AED+S△DEC=S△ABC，
∴S△BCE+1/2S△DEC+S△DEC=2S△DEC，
∴S△BCE=1/2S△DEC=1/4S△ABC，
设△ABC 和△BCE 的同高为h ， 则：1/2BE•h=1/4×1/2AB•h ， ∴BE=1/4AB=1/4×4=1，
【知识点】等面积应用 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD=AB ；延长BC 至E ，使CE=2BC ；延长CA 至F ，使AF=3AC ，求三角形DEF 的面积．
F
E
D
C
B A
【答案】18
【解析】用共角定理∵在△ABC 和△CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补，
∴
111
428
ABC FCE
S AC BC S
FC CE ⋅⨯=
==
⋅⨯．
又1ABC
S
=，所以8FCE
S =．
同理可得6ADF
S
=，3BDE
S =．
所以186318DEF
ABC
FCE ADF
BDE
S
S
S
S
S
=+++=+++=
【知识点】鸟头定理求面积应用 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2
【试题来源】
【题目】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，点E为BD延长线上一点，且（1）求证：AE=AD；
（2）若点F为线段BD上一点，CF=CD，BF=2，BE=6，△BFC的面积为3，求△ABD的面积．
【答案】(1) AE=AD (2)9
【解析】解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，即∠ABE=∠CBD．
又∵，
∴△ABE∽△CBD，
∴∠AEB=∠CDB，
∵∠ADE=∠CDB，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD；
（2）∵CD=CF，AE=AD，
∴=．
又∵在△ABC中，BD平分∠ABC，
∴=，
∴=，
又∵∠ABD=∠CBF（BD是∠ABC的平分线），
∴△ABD∽△CBF
∴=．
∵，
∴=，则BD2=BF•BE=2×6=12，
即BD=2，
∴==．
∴=（）2=3，
∴S △ABD=3S △CBF=3×3=9． 即△ABD 的面积是9． 【知识点】相似求面积应用 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3
【试题来源】
【题目】正六边形123456A A A A A A 的面积是2009平方厘米，123456B B B B B B 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是( )平方厘米．
B 6B 5
B 4
B 3
B 2
B A 6
5
4
A 3
A A
O
B 6
B 5
B 4
B 3
B 2
B A 6
5
4
A 3
A A
【答案】1148
【解析】如图，设62B A 与13B A 的交点为O ，则图中空白部分由6个与23A OA ∆一样大小的三角
形组成，只要求出了23A OA ∆的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积．
连接63A A 、61B B 、63B A ．
设116A B B ∆的面积为1，则126B A B ∆面积为1，126A A B ∆面积为2，那么636A A B ∆面积为126A A B ∆的2倍，为4，
梯形1236A A A A 的面积为224212⨯+⨯=，263A B A ∆的面积为6，123B A A ∆的面积为2． 根据蝴蝶定理，
12632613:1:6
B A B A A B B O A O S S ∆∆===，故
23616A OA S ∆=
+，12312
7B A A S ∆=
，
所以
23123612
::12:1:77A OA A A A A S S ∆=
梯形，
即23A OA ∆的面积为梯形1236A A A A 面积的1
7，
故为六边形123456A A A A A A 面积的1
14，那么空白部分的面积为正六边形面积的136147⨯=，
所以阴影部分面积为3200911148
7⎛⎫
⨯-= ⎪⎝⎭(平方厘米)．
【知识点】蝴蝶定理求面积应用 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】5
【试题来源】
【题目】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四
边形DFEC 的面积等于2
22cm ，则三角形ABC 的面积 ．
A B
C
D
E F
A B
C
D
E
F
2.41.62A B
C D
E
F 12
【答案】45
【解析】连接CF ,根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==
△△，2
3ABF CBF S AE S EC ==△△,
设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，2ABF S =△份，4AFC
S =△份，2
4 1.6
23AEF S =⨯=+△
份,3
4 2.4
23EFC S =⨯=+△份,
如图所标，所以2 2.4 4.4EFDC S =+=份，2349ABC S =++=△份
所以2
22 4.4945(cm )ABC S =÷⨯=△
【知识点】燕尾求面积应用【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3。