初中数学重点梳理：面积问题与面积方法(二)

面积问题与面积方法

知识定位

能够用正确的方法求解几何的有关面积，并且能够巧算面积，化难为易，化复杂为简单；要熟练的应用几何求几何面积的几种模式，其中主要有等积变换模型、鸟头定理（共角定理）模型、蝴蝶定理模型、相似模型、燕尾定理模型。

知识梳理

1、 等面积变化模型：

（1）等底等高的两个三角形面积相等；

（2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。如下图12::S S a b =

（3）夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；

反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。 （4）正方形的面积等于对角线长度平方的一半；

（5）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

2、鸟头定理（共角定理）模型：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

（1）共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

（2）如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△

1S 2

S

3、蝴蝶定理模型：任意四边形中的比例关系。蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

① 1243::S S S S =1324S S S S ⨯=⨯ ② ()()1243::AO OC S S S S =++ 4、相似模型：

相似三角形：相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

（1）相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； （2）相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

①

AD AE DE AF

AB AC BC AG

===

； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。

5、 燕尾定理模型：面积比转化为边之比

例题精讲

【试题来源】

【题目】如下图所示，把四边形ABCD的各边都延长一倍，得到一个新四边形EFGH。如果ABCD的面积是5平方厘米，那么请问：EFGH的面积是多少平方厘米？

【答案】65平方厘米

【解析】解连接BD，ED，BG，则△EAD、△ADB同高，

所以面积的比等于底的比，

即S△EAD=，S△ABD=2S△ABD，

同理S△EAH=，S△EAD=6S△ABD，

所以S△EAH+S△FCG=6（S△ABD+S△BCD）=6S四边形ABCD=6×5=30；

连接AF，AC，HC可得：

S△EFB=6S△ABC，S△DHG=6S△ACD，

S△EFB+S△DHG=6（S△ABC+S△ACD）=6×5=30（平方厘米），

所以四边形EFGH的面积=30+30+5=65（平方厘米）；

【知识点】等面积的应用

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】如下图所示，把三角形DEF的各边向外延长一倍后得到三角形ABC，三角形ABC的面积为1。请问：三角形DEF的面积是多少？

【答案】1/7

【解析】解连接AE、BF、CD，

利用同底等高的三角形面积相等，可得S△ADE=S△ABE=S△DEF，

同理有S△BEF=S△BCF=S△DEF，

S△CDF=S△ACD=S△DEF；

因为S△ABC=7S△DEF，

所以三角形DEF的面积是：1÷7＝1/7

【知识点】等面积的应用

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】如图，四边形ABCD中，E为BC的中点，AE与BD交于F，且F是BD的中点，O是AC，BD的交点，AF=2EF．三角形AOD的面积是3平方厘米，求四边形ABCD的面积．

【答案】24平方厘米

【解析】解由题意知：E为BC的中点，F是BD的中点，

则EF是△BCD的中位线，可得CD=2EF，EF∥CD，

因为AF=2EF，所以AF=CD，

由 EF∥CD，AF=CD，

所以四边形AFCD是平行四边形，

因为S△DOC=S△AOD=3（平方厘米），

所以S△ACF=S△ACD=2S△AOD=2×3=6 （平方厘米），

又因为AF=2EF，AE=AF+EF，

所以AE=3EF，

所以AE=3/2AF，

所以S△ABE=S△ACE=3/2S△ACF=3/2×6=9 （平方厘米），

所以SABCD=6+9+9=24（平方厘米）．

【知识点】等面积的应用

【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3

【试题来源】

【题目】如图在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，且AD:AB=2：5，AE:AC=4：7，△ADE 的面积为16平方厘米，求△ABC 的面积．

【答案】70平方厘米

【解析】 解 连接BE ，由题得

::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△， ::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，

所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△， 设△ABC 的面积为X ，则

=

所以 X=70

所以△ABC 的面积为70平方厘米

【知识点】鸟头定理应用 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2