《指数函数》教案(1)

指数函数（1）

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学习要求

1．理解指数函数的概念；掌握指数函数的图象、性质； 2．初步了解函数图象之间最基本的初等变换。 3．能运用指数函数的性质比较两个指数值的大小． 4．提高观察、运用能力．

自学评价

1．形如 的函数叫做指数函数，其中自变量是 ，函数定义域是 ， 值域是 ．

2. 下列函数是为指数函数有 ．

①2

y x = ②8x

y =

③(21)x

y a =-（12

a >

且1a ≠）④(4)x y =-

⑤x

y π= ⑥1

22

5+=x

y ⑦x y x

=

⑧

10x y =-．

3.指数函数

(0,0)x y a a a =>≠恒经过

点 ． 4.当1a >时，函数x

y a =单调性 为 ；

当01a <<时，函数x y a = 单调性是在R 上是 ．

答案

1. (0,0)x

y a a a =>≠,x,R ,(0,)+∞

2. ② ③ ⑤ 3(0,1)

4. 在R 上是增函数 ,减函数

【精典范例】 例1：比较大小：

（1） 2.5 3.21.5,1.5；（2） 1.2 1.50.5,0.5--；（3）0.3 1.21.5,0.8．

分析：利用指数函数的单调性．点评:当底数相同的两个幂比较大小时，要考虑指数函数；当底数不相同的两个幂比较大小时，要寻找第三个值来与之比较．

例2：（1）已知0.5

33x

≥，求实数x 的取值范围；（2）已知0.225x

<，求实数x 的取值范围. 分析：利用指数函数的单调性.

例3：设a 是实数，

2

()()21

x

f x a x R =-

∈+， （1）求a 的值，使函数()f x 为奇函数

（2）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数；

例1【解】（1）考虑指数函数() 1.5x

f x =，1.51>，

() 1.5x

f x =在R 上是增函数，

∴ 2.5

3.21.5

1.5<．

（2）考虑指数函数()0.5x

f x =，0.51<，

()0.5x f x =在R 上是减函数，

∴ 1.2

1.50.5

0.5--<．

（3）() 1.5x

f x =在R 上是增函数，()0.8x

f x =在R 上是减函数，

∴0.3

01.5

1.51>=， 1.200.80.81<= ∴0.3

1.21.5

0.8>．

例2【解】（1）()3x

f x =在R 上是增函数， 由0.5

33

x

≥得0.5x ≥，即实数x 的取值范围是

[0.5,)+∞.

（2）()0.225x

f x =<在R 上是减函数， 又2

21

25()

0.25

--==，

由2

0.20.2x

-<得2x >-，即实数x 的取值范围是

(2,)-+∞.

点评:通过函数值的大小关系来寻找出自变量的大小是单调性运用的又一常用方法.

例3分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、

奇偶性的定义进行证明。

（1）∵222()2112

x

x x

f x a a -⋅-=-=-++， 由()f x 是奇函数，∴()()0f x f x +-=

即2(12)

2012

x x

a +-=+，∴1a =. （2）证明：设1212,,x x R x x ∈<，则

12()()f x f x -12

22()()2121x x a a =-

--++ 21

22

2121

x x =-++ 12122(22)(21)(21)

x x x x -=++， 由于指数函数2x

y =在R 上是增函数，且12x x <，所以1222x x <即12

22

0x

x -<，

又由20x >，得1210x

+>，2210x

+>， 所以，12()()0f x f x -<即12()()f x f x <．

因为此结论与a 取值无关，所以对于a 取任意实数，

()f x 在R 为增函数.

点评:求与指数函数有关的复合函数的奇偶性、单调性时要注意运用指数函数的有关性质来解决问题. 追踪训练一

1.若函数(1)x

y a =-在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是 （） （A ）(1,)+∞ （B ）(0,1)

（C ）(,1)-∞（D ）(1,1)-

2.已知函数x

y a =(0,1)a a >≠在区间[1,1]-上的最大值与最小值的差是1，求实数a 的值；

3. 解不等式：(1)2

93

x

x -> (2)34260x

x

⨯-⨯>

析：本题的本质是利用函数的单调性求参数的范围． 答案 1. B

2. 解：当1a >时，函数x

y a =在区间[1,1]-上是增函

数，1

1

1a a --=，∵1a >

，∴12

a +=

； 当01a <<时，函数x

y a =在区间[1,1]-上是减函数，

111a a --=，∵01a <<，

∴12

a -+=

；

综上：12a +=

或12

a -+=． 3. 解：(1)∵2

93

x

x ->

∴223

3x

x ->

又∵3x

y =在定义域上是增函数 ∴原不等式等价于22x x >- 解之得2x >-

∴原不等式的解集为{|2}x x >- (2)

34260x x ⨯-⨯>可以整理为

3426x x ⨯>⨯

∵40,60x

x

>>， ∴4263x x >即1

22()()33

x >，

又∵2

()3

x

y =在定义域上是减函数，∴1x <

故原不等式的解集为{|1}x x <．

【选修延伸】

一、与指数函数有关的复合函数

例4: 求函数2617

1()2

x x y -+=的定义域、值域、单调区间．

分析：原函数由函数2

617u x x =-+与1()2

u y =复合

而成，求解时要统筹考虑．

追踪训练二

1．求下列函数的定义域、值域：

(1)121

8x y -=

(2)y