工程力学第三章ppt

(F ) 0
Pa cos Q(2a b)cos FT h 0
P 2a b cos FT ( Q) 2 2a sin( )
M
A
(F ) 0
FNB 2a sin FT 2a cos sin Pa cos Q(2a b)cos 0 P 2a b cos cos FNB ( Q) 2 2a sin( )
（1）一矩式
Fi x 0 Fi y 0 M O ( Fi ) 0
平衡的解析条件
3个相互独立的平衡方程，可解3个未知量。
（2）二矩式
Fi x 0 M A ( Fi ) 0 M B ( Fi ) 0
式中A ，B 连线不能与x 轴垂直。
4）画受力图时，关键在于正确画出铰链约束力，除二力构件 外，通常用二分力表示铰链的约束反力。 5）分清内力和外力，在受力图上不考虑内力。 6）两物体间的相互作用力应该符合作用与反作用定律。 7）如系统由n个物体组成，其中每个物体在平面力系作用下平 衡，则有3n个独立的平衡方程，可解3n个未知量。 8）灵活选取平衡对象和列写平衡方程，尽量减少方程中的未 知量，简捷求解。 9）可用不独立的方程校核计算结果。
压路机碾子，重G =20 kN，半径r =40 cm，刚好越过石坎，石坎高h = 8 cm。① 若拉力P水平，求P；②使P最小的α，此时Pmin多大？ 分析：题目两问属两种情形，分别分析。 ①P力水平时，碾子受P、G和石坎反力N，地 面处反力为0，为平面汇交力系，有2个（代数）未知 量P、N，可求；
0 F 0, F F cos30 FDC y Ey
FEx 866kN, FEy 500kN
4）再选AC杆及球的组合体为研究对象，取分离体。 5）画出ED杆的受力图。
6）列出平衡关系式
F F M
x y
0, FAx 0 0 0, FAy W FCD
例3.1 悬臂梁AB长l，A端为固定端，如图所示，已知均布载荷的集度 为q，不计梁自重，求固定端A的约束反力。
解： 1）以AB梁为研究对象，取分离体。
2）画出AB梁的受力图。
3）列出平衡关系式
FAx 0 Fx 0 FAx 0 FAy ql FAy ql 0 Fy 0 2 M ql ( l 2) 0 M ( F ) 0 M 1 2 ql A O A
问题
下图所示物系平衡问题是否静定可解？（求支座反力） 物体数：2 （受平面任意力系） 独立未知量：6 独立平衡方程数：3×2 = 6 未知量 = 方程数 ——静定问题 独立未知量：8 独立平衡方程数：3×2 = 6 未知量 > 方程数 ——超静定（静不定） 未知量－方程数 = 2 ——2次超静定
现实中存在大量超静定问题。结构力学主要解决超静定问题。 注：①静定与否指对整个系统而言，非对其中一个物体；②不能用静力学方 程求解全部未知量，但可求解部分未知量；③加变形协调条件可求解全部未 知量──已非理论力学研究内容。
超静定问题： 超静定次数： 未知数的个数平衡方程个数。 系统未知量数目与独立平衡方程数目之差。
问题
下图所示问题是否静定可解？（求支座反力）
独立未知量：4 独立平衡方程数：3 未知量 > 方程数 ——超静定（静不定） 未知量－方程数 = 1 ——超静定次数 ——1次超静定
独立未知量：5 独立平衡方程数：3 未知量 > 方程数 ——超静定（静不定） 未知量－方程数 = 2 ——2次超静定
F
y
0
FNA P Q FT sin 0
P 2a b cos cos FNA P Q ( Q) 2 2a sin( )
3.2.2 物系平衡 静定与静不定问题
物系： 由若干个物体通过适当的约束相互连接而组成的系统。
静定问题： 未知数的个数平衡方程个数。
C
B G
解： 1.取货车为研究对象，受力分析如图。
2.列平衡方程。
F M
z
z
0,
0,
y
FA FB FC G 0
FC O3D G EM 0
x
M
FA FB
O2
E D
0,
G O1E FC O1D FB O1O2 0
FC
O1
M
y O3
方程的等效性 方程的独立性
Fi x 0 M A ( Fi ) 0 M B ( Fi ) 0
y
M A ( Fi ) 0 M B ( Fi ) 0 M C ( Fi ) 0
x O
①二投影轴是否一定垂直？是否一定水平和铅直？ ②矩心是否一定选在原点O？是否一定选在物体内部？
例3.2 如图所示，压路机的碾子重P=20kN，半径r=60cm。欲将此碾 子拉过高h=8cm的障碍物，在其中心O作用一水平拉力F，求此拉力的 大小和碾子对障碍物压力。
解： 1）以碾子为研究对象，取分离体。
2）画出碾子的受力图。
3）列出平衡关系式
p F 0 23.1 kN FNB sin F 0 FNB x cos FNB cos p 0 Fy 0 F P tan 11.5kN
（3）三矩式
M A ( Fi ) 0 M B ( Fi ) 0 M C ( Fi ) 0
式中A、B、C三点不能共线。
方程的建立
（1）一矩式
（2）二矩式
（3）三矩式
Fi x 0 Fi y 0 M O ( Fi ) 0
工程力学
Engineering Mechanics
§3.1 力系的平衡条件与平衡方程
3.1.1 空间力系的平衡条件与平衡方程
1）空间任意力系的平衡条件与平衡方程
空间任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对任意一点的主矩都等于 零。
Fi x 0 Fi y 0 FR 0 Fi z 0 Fi 0 （平衡的解析条件） 0 M O ( Fi ) 0 M x ( Fi ) 0 M O M y ( Fi ) 0 M (F ) 0 z i
若 未知量 = 平衡方程数 ——静定问题， 理论力学只讨论静定问题 。
分析物系平衡问题的要点：
1）整体系统平衡，每个物体也平衡，可取整体或部分系统或 单个物体为研究对象。
2）可首先从二力构件入手，可使受力图较简单，有利于解题。
3）解除约束时，要严格地按照约束的性质，画出相应的约束 力，切忌凭主观想象画力。
例3.4 图示结构，已知：AB=BC=1m，DK=KE，F=1732kN，W=1000kN，各杆重 量略去不计，求：结构的外约束力。
解： 1）先以ED杆为研究对象，取分离体。
2）画出ED杆的受力图。
3）列出平衡关系式。
F 0, F F sin 30 0 x Ex
M ( F ) 0, F EK F ED cos30 0 E DC
（3）平面力偶系的平衡方程
M
i
0
①每次都用三个方程求解，是否影响结果？
3.2.1 单个物体的平衡问题
解决单个物体平衡问题的三大步骤：
1）取分离体。 2）画受力图。 3）列平衡式。
注意之处：
1）判断所选取的研究对象受到何种力系作用。 2）所列出的未知量个数不能多于该种力系的独立平衡方 程个数。 3）列方程时尽量一个方程中只出现一个未知量，避免解联 立方程。
2）其他平面力系的平衡方程
Fi x 0 Fi y 0
（1）平面汇交力系的平衡方程
（2）平面平行力系的平衡方程
Fix 0 M A ( Fi ) 0 or M O ( Fi ) 0 M B ( Fi ) 0
y
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
z
F1
α
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 G 0
3.联立求解。
z
A
x
FA
G
y
E
F1
30o
F1 F2 3.54 kN FA 8.66 kN
3.联立求解。
x
G
FC 375 N , FB 213 N , FA 412 N
3.1.2 平面力系的平衡条件与平衡方程
1）平面任意力系的平衡条件与平衡方程
平面力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对平面内任意一点 的主矩都等于零。
F 0 Fi 0 R M O ( Fi ) 0 M 0 O
使P最小，则
可见，此时几何法更简单。 几何法与解析法缺一不可，互相辅助
学习力学的意义
例3.3 如图所示，均质梯子AB长2a，重P，A、B处均光滑面接触，人站在 E处，重为Q，试求A、B处的约束反力。
解： 1）以梯子和人一起为研究对象，取分离体。
2）画出梯子和人的受力图。
3）列出平衡关系式
M
K
M x ( Fi ) 0 M y ( Fi ) 0 M z ( Fi ) 0
（3）空间力偶系的平衡方程
如图所示，用起重机吊起重物。起重杆的 A 端用球铰链固定 在地面上，而B端则用绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的 C点 和 D 点，连线 CD 平行于 x 轴。已知 CE=EB=DE, 角 α=30o ， CDB 平 面与水平面间的夹角∠EBF= 30o ,重物G=10 kN。如不计起重杆的 重量,试求起重杆所受的力和绳子的拉力。
6个相互独立的平衡方程，可解6个未知量。 对应结构六个自由度
3.1.1 空间力系的平衡条件与平衡方程
2）其他空间力系的平衡方程
（1）空间汇交力系的平衡方程
Fi x 0 Fi y 0 Fi z 0
（2）空间平行力系的平衡方程
Fi z 0 M x ( Fi ) 0 M y ( Fi ) 0
②P不再水平，此时未知量有3个： P（即 Pmin）、N、α，由平衡方程只能求2个，第3个如何求？ ——“使P最小”是1个补充条件（方程）
②受力图如图(c)，列解方程：
Y 0, P cos G sin 0 G sin G sin P cos cos( )
3 cos( ) 1, arctan 3652' 4 3 Pmin G sin 20 12kN 5 另解：（几何法） ②欲使P最小，应有图(e)所 ①再画自行封闭的 示的力三角形，即Pmin⊥N， 力三角形，如图(d)， 则 则 Pmin G sin P G tg
解： 1. 取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图。
属于空间汇交力系的平衡问题 其侧视图为
z
30o
z E C F
D
F2
B
E
F1
α
F1
30o
F
B
A
x
FA
G
y
α
FA G
A
y
2. 列平衡方程。
F
z E C F
30o
x
0, 0, 0,
D
F2
B
F F
F1 sin 45 F2 sin 45 0
F
B
αBiblioteka Baidu
FA G
A
y
在三轮货车上放着一重 G=1 000 kN的货物，重力G的作用线通过矩形底板上的
点M。已知O1O2=1 m， O3D=1.6 m，O1E=0.4 m，EM =0.6 m，点D是线段O1O2的 中点，EM⊥ O1O2，试求A，B，C各处地面的铅直约束力。
A E D O2 O1 M
O3