数值分析历年考题

数值分析A 试题
2007.1
第一部分：填空题10⨯5
1.设3112A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
,则A ∞=___________ 2()cond A =___________ 2.将4111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
分解成T A LL =，则对角元为正的下三角阵L =___________
,请用线性最小二乘拟合方法确定拟合函数()bx
f x ae =中的参数：a = ___________ b =___________
4.方程13cos 2044
x x π--=在[0,1]上有 个根，若初值取00.95x =，迭代方法113cos 244
k k x x π+=-的收敛阶是 5.解方程2210x x -+=的Newton 迭代方法为___________，其收敛阶为___________
6.设()s x = 3232323,[0,1]
31,[1,2]ax x x x x x bx x +-+∈--+∈为三次样条函数，则a = ___________
b =___________
7.要想求积公式：1
121()(()f x dx A f f x -≈+⎰的代数精度尽可能高，参数1A = ___________ 2x =___________此时其代数精度为：___________
8.用线性多步法2121(0.50.5)n n n n n y y h f f f ++++-=-+来求解初值问题00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，该方法的局部截断误差为___________，设,0,f y μμ=〈其绝对稳定性空间是___________
9.用线性多步法2121()n n n n n y ay by h f f ++++-+=-来求解初值问题00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，希望该方法的阶尽可能高，那么a = ___________ b =___________，此时该方法是几阶的：___________
10.已知[1,1]-上的四次legendre 多项式为4241()(35303)8
L x x x =-+,求积分1
241()()ax bx c L x dx -++=⎰___________其中,,a b c 为常数。

第二部分：解答题（共5题，其中1，2，5题必做，3，4选做一题）
1.（14分）已知方程组,Ax b =其中31,32a A b a ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（1）用迭代收敛的充要条件，分别求出是Jacobi 和Gauss-seidel 迭代法收敛的a 的取值围，并给出这两种迭代法的渐进收敛速度比。

（2）当1, 1.2a ω=-=时，写出SOR 方法迭代矩阵的表达式和SOR 方法计算公式的分量形式，并取初值(0)(0,0)T x =，求(1)(2),x x
（3）取1a =-，用迭代公式(1)()()()k k k x
x Ax b β+=+-，试求使该迭代方法收敛的β的最
大取值围，最优β=？ 2（14分）用单步法1[(,)(,(,))]2
n n n n n n n n h y y f x y f x h y hf x y +=++++求解初值问题：00'(,),(),y f x y y x y ==
（1） 求出局部截断误差1n T +以及局部截断误差主项，该方法是几阶的？
（2） 求绝对稳定性区间。

（写出求解过程）
（3） 用该方法解初值问题0',(0)y y y y =-=时，步长h 满足什么条件才能保证方法的绝
对稳定性。

3（14分）已知非线性方程组 11221124cos 0
1408
x x x x x x +-=-+=，在矩形域212{|11,02}D x R x x =∈-≤≤≤≤有解*x 。

提示：
cos(0.5)0.8776,sin(0.5)0.4794.== （1） 取初值(0)(0.5,0.5)T x =，用Newton 迭代(1)x 。

（2） 记12(,)T x x x =，并设122111(cos )4()11()48x x x x x ⎡⎤-+⎢⎥Φ=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦。

试证明不动点迭代法(1)()k k x x +=Φ在*x 处具有局部收敛性。

4（14分）试构造Gauss 型求积公式：1
11221()()()(),x f x dx A f x A f x ρ-≈+⎰其中，权函数
2().x x ρ=构造步骤如下：
（1） 构造区间[1,1]-上权函数为2
x 的首项系数为1的二次正交多项式，求出Gauss 点12,x x
（2） 写出求积系数12,A A ，并给出求积公式代数精确度的次数
（3） 写出求积公式的余项表达式并化简
5（8分）设A 为n 阶非奇异阵，B 是奇异阵，求证()2cond A A B A αα-≥,其中•为矩阵从属数，α为常数，且0α≠
第二份（2004.6）
1. 给定二阶RK 基本公式，求相容阶数，判断是否收敛，考虑稳定性后对h 的要求 112121()2
(,)
33(,)55n n n n n n h y y k k k f t y k f t h y hk +=++==++
2. 给定一个分段函数，求全函数为1区间[0,2]的最佳二次平方逼近
3. 给定对称正定矩阵（3*3），判断SOR 收敛性（ 1.2ω=）、给定初值算一步，估计5次迭
代误差
4. 给定求积表达式，要求有最大的代数精度，确定参数和代数精度
()f x 从0积到2 1122()()r f x r f x =+
5. 给定两个矩阵1,A A （均为3*3）,将A 变化为三对角阵，用QR 方法对1A 算一步求2A
6. （1）设B 奇异，证明11
A B
A A A --=,其中•为算子数。

（2）证明最佳n 次平方逼近函数奇偶性与()f x 相同
第三份，老师2002.1
1. 单步法122(,)3(,(,))433
n n n n n n n n h h h y y f t y f t y f t y +=++++ （1）1,n T +收敛阶
（2）绝对稳定区间
（3）对052,1,y y y '=-+=在0.2,0.5,1h =时讨论数值扰动的稳定性
2.（1）2x e -的(1*2)pade 逼近
（2）012(()()())I A f x f x f x =++
确定012,,,A x x x ，判断代数精度，是否高斯
3. 给定()F x (1) 11(),(1,1,1)4
T k k x x F x x *+=-=,证明局部收敛 （2） 给定0x ，用牛顿算两步
4. ,Ax b A =含未知数a
（1）求a ，使T LL 存在
（2）给定a ，用cholesky 算L
（3）给定a ，判断,jaccobi gauss siedel -是否收敛
（4）给定a ，SOR 算一步
5. 给定A
（1）househoulder 算p ，1A pAp =
（2）givens 对1A 做QR
（3）算一步QR 迭代，得到2A 6. 1B <,证明I B -可逆，并证明11I B B
-<
-
第四份，老师2006年
填空：
1. 3.1425926是π的几位有效数字
2. 3()1f x x x =+-，求均差[1,1,1],[0,1,2,3],[0,1,2,3,4]f f f
3. simpson 公式得代数精度是几阶
4. cot New es -积分系数k C 的和是多少
5. 1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求12(),,,()A A A cond A ρ∞
6. [1,1]-，求2()f x x =的最佳一次平方逼近，最佳一次一致逼近
7. 拉格朗日插值基函数，01,,
n x x x 是相异节点，求10()n n k k l x x +∑ 简答：
1. 高斯积分，1
20121()()()()x f x dx Af x Bf x Af x -=++⎰，使代数精度最高，求
012,,,,A B x x x
2. 1210223,31302A b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
，用LU 分解求解Ax b = 3. 201021,111householder ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
变换成准上三角阵，用givens 变换，第一种原点位移QR 分解求一步，求2A
4. 证明严格对角占优矩阵A 可逆，且1
1min()
ii ij i j A a a -∞≠<-∑
除第一份是完整试卷外，其余皆为回忆版，可能有错误之处，大家凑合看，抓住要点即可。

2002年12月30晚7:20-9:20
B卷
一.(1)函数f(x)=|x|在[-1,1]上积分，求在空间span{1,x2}和span{x,x^3}上权函数p(x)=1
的最佳平方逼近函数，并说明
(2)对f(x)在[-1,1]上积分,求A0,A1,A2,x0,x2, 使得A0*f(x0)+A1*f(0)+A2*f(x2)对
求积公式有最高的代数精度，并求代数精度
二. A=[2 0 1;0 2 -1;1 -1 1]
(1)求householder变换矩阵P，使得A1=PAP为三对角矩阵
(2)用Givens变换，对A1进行QR分解；
(3)若用QR方法求A1特征值，迭代一步，求A2，并证明A2和A相似
三.线性二步法y(n+2)=y(n)+h*(fn-fn+2)
fi=f(ti,yi)
(1)求局部截断误差及主部，方法是几阶收敛
(2)用根条件判断收敛性
(3)绝对收敛域
四.A为对称正定矩阵，最大特征值和最小特征值分别是λ1和λn,
迭代X(k+1)=(I-w*A)*X(k)+w*b
求w的围，使迭代法收敛，并求w'使收敛速度最快。

五. 非线性方程组
F(x)=[x1^2-10*x1+x2^2+8;x1*x2^2+x1-10*x2+8]'=0
令G(x)=[1/10*(x1^2+x2^2+8)
1/10*(x1*x2^2+x1+8)]
(1)若0<x1,x2<3/2, 用x=G(x)迭代，证明G(x)在D中存在
唯一的不动点；
(2)判断G(x)是否收敛？
(3)写出牛顿迭代法的公式，并且取初值x0=(0.5,0.5)T,
求出x1
六. A，B为n*n阶矩阵，A非奇异，||A-B||< 1/||A^(-1)||
证明：
(1) B非奇异
(2) ||B^(-1)|| <= ||A^(-1)||/(1-||A^(-1)||*||A-B||)
(3) ||A^(-1)-B^(-1)|| <= ||A^(-1)||^2*||A-B||/(1-||A^(-1)||*||A-
B||)
1.三点高斯－勒让得积分公式
最佳平方逼近，f(x)=|x|，(-1,1)分别在span{1,x^2}和span{x,x^3}中求
2.书上P236第31题第2小问原题，只是没告诉α的围，要你求
3.书上P257原题
加了两问，证明收敛，再算一步
4.householder变换
Givens做QR分解
5.Y(n+2)=Y(n)+h(fn+f(n+2))
求局部TE，相容，根条件，绝对稳定区间
6.定理1.12和推论，以及P167式3.4的应用
||A-B||<1/||inv(A)||
要证B可逆,||inv(B)||<=||inv(A)||/(1-||A-B||*||inv(A)||)
||inv(A)-inv(B)||<=(||inv(A)||)^2*||A-B||/(1-||A-B||*||inv(A)||)
填空：
1 A=[1,1/2;1/2,1/3]求||A||2和cond2（A）
2 J，GS迭代有关
3 f(x)=x^2+3x+2,在－2，－1，0，1，2五点确定得拉格朗日多项式插值多项式
4 一个稳定得算法计算一个良态得问题是否一定稳定（大致）
计算
1 F(x)=....
(1)证明x(k+1)=x(k)-1/4F'(x)收敛到其解x*=[1,1,1]'
(2)用牛顿法在给定初值x0＝[...]'下计算两步
2 显式和隐式欧拉法得局部截断误差和阶数，写出梯形法，及其阶数.....
3 A=[4,1,1;1,1,1;1,1,2];b=[...]'
(1)housholder变换求A得QR变换
(2)用QR变换结果计算Ax=b
证明
已知Ax=b,A(x+deltaX)=b+deltaB
证明||deltaX||/||x||<=cond(A)*||deltaB||/||b||
1.（1）求f(x)=|x|,区间[-1，1]上权函数为ρ(x)=1，在span{1,x2}上的最佳平方逼近
（2）[0，1]上权函数为ρ(x)=1，求积分公式Af(0)+Bf(x1)+Cf(1)的参数使得代数精度尽可能高
2。

A=[0 3 4；3 0 0；4 0 1]
（1）求householder变换使A1=PAP为对称三对角阵
（2）用givens变换求A1的QR分解
（3）用不带原点位移的QR算A的特征值，A1迭代一次得A2，证明A2与A1相似
3。

不动点迭代
F（x）=0，F（x）=[x1+x2^2-x1^2+x2]
等价于x=G(x)，G(x)=[-x2^2 x1^2]
（a）证明D={（x1,x2）T|-0.25<=x1,x2<=0.25}上，G有唯一不动点
（b）写出newton公式，取x(0)=(1,1)T，求x(1)
4.初值问题dy/dt+y=0,y(0)=1
（a）tn=nh，用梯形法求数值解yn
（b）h趋于0时，证明数值解收敛于准确解y=exp(-t)
（c）梯形法的局部阶段误差主项
（d）梯形法的绝对稳定区域
5（1）A为n*m矩阵，列满秩，w与ATA的特征值有什么关系时
x(k+1)=x(k)+wAT(b-Ax(k))
收敛到ATAx=ATb的唯一解
（2）B为n阶方阵，x*=Bx*+C,迭代公式x(k+1)=Bx(k)+C
若||B||<=β<1且||x(k)-x(k-1)||<=ε(1-β)/β
证明||x*-x(k)||<=ε
6.A对称正定，φ（x）=0.5xTAx-xTb,p为非零向量
定义ψ(α)=φ(x+αp),求α为何值时ψ(α)最小
证明对此α定义下的x*=x+αp,有b-Ax*与p正交
1、给定2阶RK基本公式，求相容阶数，判断是否收敛，考虑稳定性后对h的要求
yn+1=yn+h/2*(k1+k2)
k1=f(tn,yn)
k2=f(tn+3/5*h,yn+3/5*h*k1)
2、给定一个分段函数，求全函数为1区间[0，2]的最佳二次平方逼近
3、给定对称正定矩阵(3*3)，判断SOR收敛性(w=1.2)、给定初值算一步、估计5次迭代误差
4、给定求积表达式，要求有最大的代数精度，确定参数和代数精度
f(x)从0积到2= r1*f(x1)+r2*f(x2)
5、给定两个矩阵A、A1(均为3*3)，将A变化为三对角阵，用QR方法对A1算一步求A2
6、(1)以前试题的变形,设B奇异，证明(||A-B||/||A||)〉=1/(||inv(A)||||A||)，其中||为算子数
(2)证明最佳n次平方逼近函数奇偶性与f(x)相同
5道大题，若干小题，卷面成绩满分70
1.(1)求f(x)=sqrt(1-x^2)在span{1,x,x^2}上，权函数为rou=1/sqrt(1-x^2)的最佳平方逼近多项式
(2)求证高斯型求积公式中的A(k)满足A(k)=∫p(x)l(x)dx=∫p(x)l^2(x)dx，其中l(k)为Lagrange多项式
2.(1)Ax=b中A非奇异，则用J法、GS法、SOR法、SSOR法求解等价方程ATAx=ATb，各种方法的收敛性怎样？（其中0<w<2)
(2)A严格对角占优，求证其有唯一的LU分解，对称矩阵[3 1 0;1 3 1;0 1 3]求其cholysky分解
3.(1)写出用Lanczos方法计算某矩阵第一列的α和β
(2)已知矩阵[3 0 0;0 3 2;0 2 3]，求其QR分解，计算一步H'=RQ
4(1)f(x)=[x2^2-x1^2-x1 其精确解为x*=[0 0 0],写出牛顿法的计算公式
sin(x1^2)-x2];
(2)已知G(x)=[x2^2-x1^2
sin(x1^2)];
给出区域D使得在此区域的初始值可以收敛到精确解，并说明原因
5.(1)线性2步法-0.5y(n)-0.5y(n+1)+y(n+2)=h/2*(f(n)+f(n+1)+f(n+2))，计算其局部阶段误差的阶数若h=0.1，判断其稳定性
(2)已知R(z)的稳定函数是exp(z)的pade(1,2)逼近多项式，计算其稳定域，是否是A-稳定?（pade逼近的计算公式卷子上给了)
1.已知矩阵[2 1 求矩阵的谱半径，条件1数，条件2数，条件无穷数
0 1] ,
我做的是2,1,3+sqr(5),3,
切比雪夫多项式是T(X),问T(2x-1)的时候取值围以及权
我的计算是[0,1],1/sqr(1-(2x-1)^2)
2.已知一个积的定义∫xf(x)g(x)dx=(g,f)，围是(0,1)
，求x^2在[0，1]上面的一次最佳平方逼近。

3.要求高斯积分∫x(1-x)f(x)dx=∑Aif(xi),
求N=1以及N=2时的求积节点以及系数
我的答案，随便猜得
N=1，节点为0.5+sqr(3)/6,0.5-sqr(3)/6，系数都是1/12还是1/6,记不清楚了N=2时，三个节点0.5-saq(15)/10,0.5,0.5+sqr(15)/10，
三个系数1/36.1/9.1/36，不知道对不对。

4.LU分解解一个三阶矩阵
5.牛顿迭代法
6.QR分解以及HOUSEHOULDER变换
7.现性多步法
8.单步法求证二阶相容并且绝对稳定
1、填空：
a、有效数字，3.1425926近似pi——小心，从小数点后第三位就不一样了
b、均差f=x^3+x-1求f[1,1,1]，f[0,1,2,3]，f[0,1,2,3,4]
c、simpson公式代数精度——3
d、Newton-Cotes积分系数Ck的和——这个就是1啦，呵呵
e、A=[1,2;0,1]，求普半径，1，2，无穷条件数
f、x^2的最佳一次平方逼近和一致逼近
g、拉格朗日插值基函数lk(x)xk^(n+1)从0到n求和
2、高斯积分x^2f(x)=Af(x0)+Bf(x1)+Af(x2).积分限[-1，1]
3、LU分解求方程组的解
4、求Householder阵P使得PAP为三对角阵
用第一种QR位移迭代算一步，求A2
5、证明严格对角占优矩阵A可逆，且
A^(-1)的无穷数小于1/[min|aii|-除对角线外的|aij|]
6、第九章的作业题P480T6(《数值分析基础》高等教育关治、陆金甫)
填空：
1.3.14215是pi的几位有效数字据说是3
2. f(x)=x^3+x-1,求f[1,1,1]＝6,f[0,1,2,3]＝1,f[0,1,2,3,4]＝0
3. simpson的代数精度是几阶 3
4. N-C的系数是Cnk，求系数和 1
5.[1 2;0 1] 谱半径 1 条件1数9 条件2数3＋2sqr(2) 条件无穷数9
6. [-1,1] 求f(x)=x^2的最佳一次平方逼近1/3 最佳一次一致逼近1/2
7. X0,X1....Xn是相异节点求西格码lk（0）Xk^(n+1)= (-1)^nX0X1……Xn
计算题
1积分符号x^2f(x)dx＝Af(x0)+Bf(x1)+A(x3)，[-1,1],使代数精度最高求A,B，x0,x1,x2 A=7/25 ,B=8/75 X0=-sqr(5/7) x1=0 x2=sqr(5/7)
2[1 2 1;2 2 3;-1 -3 0] b=[0 3 2] LU分解接x＝[1,-1,1]
3.[2 0 1; 0 2 -1;1 -1 1] householder变换成准上三角阵
用givens变换，第一种原点位移QR分解求一步
证明
A是严格对角占优阵，证明A可逆（书上定理）
||A^-1||<=1/min(|aii|-西格码|aij|)
无穷数
6 yn+1=yn+h(f+h/2g(t+h/3,y+fh/3)
g(t,y)=ft(t,y)+ffy(t,y)
研究相容阶与收敛性
三阶相容，收敛
1.(1,1/2;1/2,1)求2数和cond2
2.上题的QR分解
后面是几题判断题，要求写出对错和原因．题不记得了，但不难，与往年差不多（本来准备做完后将题录下来的，可是实在没时间了:(）
以下的小题顺序不一定对:
du/dt=(u-u+)(u-u-) u+>u-,问哪个是稳态的哪个不是．
矩阵如果可以相似对角化，就一定可以求解特征值，其条件数等于求矩阵解的条件数cond （判断）
多重网格是解椭圆方程的最优方案，其特点是用粗网格消去高频分量，细网格消去低频分量．（判断）
f (x) = f(x1,x2,x3)=x1x2-x2x3-x3^2-x2-x3临界点＼临界值＼正则点＼正则值
不完全LU分解用于用Gauss消去法求解稀疏阵．（判断）
就记得这么多了．
大题：
１．（4,1,1;1,2,1;1,1,3)用初值q1=(1/3,2/3,2/3)进行lanczos分解．（数据是回忆的，不一定对）
２．一个函数Ｆ(x)，表达示不记得了．问(1)证明x=(...,...)'是其解（送分的，代入就行）(2)写出Newton法迭代式（很容易写）(3)写出当x0=(...,...)'时用newton法的x1．（总体很常规，不难）
３．A=（4,1;1,1;1,2)问(1)svd分解(2)求A+(3)求r(A)，（送分的）
4.证明题:zm属于krylov空间Km(r0,Ar0,A^2r0....)，Lm=AKm(Ar0,A^2r0,A^3r0...)，证明（r0-Azm,v)=0,v属于Lm<==>||r0-Azm||=min||r0-Az||其中z属于Km．
（比较简单，书上有的．）
5．一题变分的，要求证明两个问题等价，好像是d4u/dx4=f(x)，变分为一个边值和一阶边值为零的问题．具体记不清了，因为没时间，只看了看，但也不是太难．可用分部积分算算．应该可以做出来．
1。

单步法yn+1=yn+h/4(f(tn,yn)+3f(tn+2/3h，yn+2/3hf(tn,yn))
1)Tn+1,收敛阶
2)绝对稳定区间
3)对y'=-5y+2,y0=1(好像是），在h=0.2,0.5,1时讨论数值扰动的稳定性
2.1)exp(-2x)的pade(1*2)逼近
2)I=A(f(x0)+f(x1)+f(x2))
确定A,x1,x0,x2,判断代数精度，是否高斯
3。

给定F(x)
1）xk+1=xk-1/4F(x),x*=(1,1,1)T,证明局部收敛
2）给定x0,用牛顿算两部
4。

Ax=b A含未知数a
1)求a,使LLT存在
2）给定a,用cholesky算L
3)给定a,判断jacobi,gauss_siedel是否收敛
4）给定a,sor算一步
5。

给定A,
1)househoulder算p，A1=pAp
2)givens对A1做QR
3)算一步QR迭代，得到A2
6。

||B||<1,证明I-B可逆，并证明||I-B||<1/1-||B||
1.(1)sin(x)的pade(3*3)逼近
(2)确定求击公式的待定参数，使代数精度尽量高并指出代数精度是多少，判断是否为
Gauss型
2.给出一多步线性方法，要求作出
(1)该方法误差主项和阶的判定
(2)相容性判定
(3)是否满足根条件
(4)是否A稳定
3.给定矩阵，要求作上Hessenberg阵和基本QR分解
4.给一非线性方程组，要求
(1)写出相应的牛顿法迭代公式
(2)自己再设计一种迭代方式，并判定其局部收敛性
5.给一矩阵A，含有参数a，要求
(1)用J法的充要条件求a的围
(2)若a＝0，写出SOR法的分量计算公式，并求最优松弛因子
6.压缩影射原理中不动点的存在性和唯一性证明
1.1)求sin(x)的pade(3*3)逼近R33
2)确定求积公式的待定参数，使其代数精度尽量高并指出代数精度是多少，
判断是否为Gauss型
(区间是-2到2,被积函数是f(x),求积公式为Af(-α)+Bf(0)+Cf(α))
2.给出一多步线性方法，y(n+2)=y(n)+h[f(n)+f(n+2)]
1)求此方法局部截断误差主项,并判断方法的阶
2)是否相容
3)是否满足根条件,是否收敛
4)是否A稳定
3.给定矩阵A,B.
5 1 -2 3 4 0
A= -3 2 1 B= 4 4 1
4 1 3 0 0 2
1)用正交相似变换把A变化成上Hessenberg型矩阵
2)对B做一次QR分解
4.给一非线性方程组
3(X1)^2-(X2)^2=0
3(X1)(X2)^2-(X1)^3-1=0
此方程组在D{0.4<=X1=<0.6 ; 0.5<=X2<=1}上有精确解X*
要求
1)写出相应的牛顿法迭代公式,给定X(0)=(0.55,0.9)T,求X(1)
2)已知X*=(1/2,3^(1/2)/2)T,求一种不动点迭代方式，并判定其局部收敛性
5.给一矩阵A和向量b
4 -2 a 2
A= -2 4 -1 b= 6
a -1 4 5
1)求使J法迭代收敛的a的围(注意使用最简单的收敛充要条件)
2)若a＝0,写出SOR法的分量计算公式,并求最优松弛因子Wopt
6.||G(x)-G(y)||<=L||x-y|| 0<L<1 G(D0)是D0的真子集
求证G(x)在D0中存在唯一的不动点
一、给了个矩阵A
1）用household正交相似变换，将A变换为森堡形式A1
2）对A1(我记得是A1,不是A,不知道看错没有)做一次QR分解，要求用第一种位移方
法
二
1）给了个常微分方程组，求刚性比
2) y(n+2)=y(n+1)+h/(3f(n+2)+f(n))/4,求阶数，判断相容性，收敛，及绝对稳定
区间
三，给定Ax = b
1)用变分构造出它的二次形式，并证明（这题的意思我觉得就是证明方程组的解使
该函数取最小值，好像就是证明书上那个定理，不知道对不对）
2)给定初值，用最速下降法算一步。

四，给了个非线性二元二次方程组
1）判断在定义区间上是否有唯一不动点
2)用newton迭代法计算一步。

五，给出了一个用分段线性插值逼近函数f的表达式（形式和书上差不多)，求出它
的法方程的系数矩阵，并判断它是否有解。

六，A对称正定，对Ax = b
构造(I-αA)x= (I+αA)x- 2αb(不知道记得对不对）
证明α>0时，迭代收敛
5道大题，若干小题，卷面成绩满分70
1.(1)求f(x)=sqrt(1-x^2)在span{1,x,x^2}上，权函数为rou=1/sqrt(1-x^2)的最佳平方逼近多项式
(2)求证高斯型求积公式中的A(k)满足A(k)=∫p(x)l(x)dx=∫p(x)l^2(x)dx，其中l(k)为Lagrange多项式
2.(1)Ax=b中A非奇异，则用J法、GS法、SOR法、SSOR法求解等价方程ATAx=ATb，各种方法的收敛性怎样？（其中0<w<2)
(2)A严格对角占优，求证其有唯一的LU分解，对称矩阵[3 1 0;1 3 1;0 1 3]求其cholysky分解
3.(1)写出用Lanczos方法计算某矩阵第一列的α和β
(2)已知矩阵[3 0 0;0 3 2;0 2 3]，求其QR分解，计算一步H'=RQ
4(1)f(x)=[x2^2-x1^2-x1 其精确解为x*=[0 0 0],写出牛顿法的计算公式
sin(x1^2)-x2];
(2)已知G(x)=[x2^2-x1^2
sin(x1^2)];
给出区域D使得在此区域的初始值可以收敛到精确解，并说明原因
5.(1)线性2步法-0.5y(n)-0.5y(n+1)+y(n+2)=h/2*(f(n)+f(n+1)+f(n+2))，计算其局部阶段误差的阶数若h=0.1，判断其稳定性
(2)已知R(z)的稳定函数是exp(z)的pade(1,2)逼近多项式，计算其稳定域，是否是A-稳定?（pade逼近的计算公式卷子上给了)。