初二上期中考试数学试卷及答案
北京师范大学附属实验中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试题[含答案]
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北师大实验中学2024—2025学年度第一学期初二年级数学期中考试试卷试卷说明：1．本试卷考试时间为100分钟，总分数为110分．2．本试卷共8页，四道大题，28道小题．3．请将答案都写在答题纸上．4．一律不得使用涂改液及涂改带，本试卷主观试题铅笔答题无效．5．注意保持卷面整洁，书写工整．A 卷一、选择题（本大题共8道小题，每小题2分，共16分）1．下列四届奥运会会徽中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．下列计算，错误的是（ ）A ．()3328a a =B ．358a a a ×=C ．624a a a ¸=D ．()236a a -=-3．如图，ABC CDA △△≌，50BCA Ð=°，90B Ð=°，则CAD Ð的度数等于（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°4．若分式21x x -+的值为0，则x 的值为A ．﹣1B ．0C ．2D ．﹣1或25．等腰三角形的一个角为50°，则顶角的度数为（ ）A ．65°或50°B ．80°C ．50°D ．50°或80°6．下列因式分解正确的是（ ）A ．()ab ac a a b c ++=+B ．()()22331a a a a --=+-C ．()2222a ab b a b ++=+D ．()()4221644a a a -=+-7．下列说法中正确的是（ ）A ．如果两个三角形全等，则它们一定关于某直线成轴对称．B ．到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．C ．等腰三角形任意角的平分线与该角所对边的高线、中线互相重合．D ．到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．8．如图是22´的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的ABC V 为格点三角形，则正方形网格中与ABC V 成轴对称的格点三角形的个数是（ ）A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个二、填空题（本大题共8道小题，每小题2分，共16分）9．若分式12x -有意义，则x 的取值范围是 ．10．计算234x x -×= ．11．如图，BE 、CD 交于点O ，且BE CD =，请添加一个条件，使得ABE ACD V V ≌，则可以添加的条件是： ．12．如图，一个直角三角板的一条直角边经过AOB Ð的顶点O ，一把直尺经过三角板的直角顶点E 并且与这条直角边垂直，直尺与AOB Ð的两边分别交于C 、D ，当CE DE =时，AOE Ð与AOB Ð的数量关系为： ．13．关于x 的多项式()()13x x n +-展开合并后一次项系数为1-，则n 的值为 ．14．如图，射线OG 为AOB Ð的平分线，点P 为射线OG 上一点，PM OA ^于点M ，PN OB ^于点N ，且3PN =，点C 为OA 上一点，9OCP S =△，则OC = ．15．如图，线段BD 为ABC V 的中线，且BD BC ^，4BC =，若45A C Ð+Ð=°，则BD = ．16．如图，在等边ABC V 中，点P 、Q 在边BC 上，并且满足BP CQ =，连接AP 、AQ ，点N 为AC 上一动点，连接PN 、QN ．（1）当PN NQ +最短时，测量CN = cm ；（精确到0.1cm ）（2）若4AB =，则在点P 从B 运动到C 的过程中，PN QN +最短时，CN = ．三、解答题（本大题共10道小题，其中第17至21题每题8分，第22至23题每题6分，第24题5分，第25题4分，第26题7分，共68分）17．计算：(1)()()421x x x --+(2)()2322682a bc a b a b -¸18．计算：(1)22246ab c a c b c-׸(2)22331a a a a a a a -+æö××ç÷-+èø19．把下列各式分解因式：(1)221218xy xy x-+(2)()222a b a --20．如图，射线OM 平分BOA Ð．(1)按要求尺规作图：作线段AB 的垂直平分线交射线OM 于点C ，连接CB 、CA ．（保留作图痕迹）(2)请把以下解题过程补充完整：求证：180OBC OAC Ð+Ð=°．证明：在OA 上截取OD OB =，连接CD ．OM Q 平分BOAÐBOM AOM\Ð=Ð在OBC △与ODC V 中：_______OB OD BOM AOM=ìïÐ=Ðíïî①OBC ODC \≌△△（②）CD CB \=，OBC ODCÐ=ÐQ 点C 在线段AB 的垂直平分线上CB CA \=（③）CD CA\=CDA CAD \Ð=Ð（④）Q 点D 在射线OA 上180ODC CDA \Ð+Ð=°180OBC OAC \Ð+Ð=°21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，()2,1A --，()1,2B -，连接AB ．(1)画线段11A B ，使得线段11A B 与线段AB 关于y 轴对称，并写出11A B 的坐标：1A _______，1B _______；(2)如果点C 在y 轴上，且ABC V 是等腰三角形，试着写出一个满足条件的点C 的坐标：_______．这样符合条件的点C 共有_______个．22．化简求值：当2610x x --=时，求()()()23233x x x --+-的值．23．如图，等腰ABC V 中，AB AC =，AD BC ^于D ，过点D 分别作DE AB ^交AB 于点E ，DF AC ^交AC 于点F ．求证：BE CF =．24．如图1，小长方形的长和宽分别为a 和b ，将四块这样的长方形按如图2所示位置摆放．(1)图2中的四边形EFGH 为正方形，其边长为_______．(2)能用图2中的图形面积关系来验证的等式是：_______=_______．(3)若3x y -=，4xy =，求x y +的值．25．已知：如图，36MON Ð=°，射线OM 、ON 上分别有点A 和点B ，点P 在线段OB 上，连接PA ，()0144OAB a a Ð=°<<°．若线段PA 将AOB V 分割为两个等腰三角形，则称线段PA 为AOB V 的“a 角等分线”．(1)如图1，当90a =°时，画出AOB V 的“90角等分线”此时OAP Ð=_______°．(2)当90a ¹°时，若存在线段PA 为AOB V 的“a 角等分线”，则a =_______°．26．如图1所示，在ABC V 中，AB AC =，2BAC a Ð=()4590a °<<°，D 为线段BC 上一点，E 为CD 中点，连接AE ．作EAM a Ð=，得到射线AM ，过点E 作EF AE ^交射线AM 于点F ．(1)依题意补全图形；(2)求证：B AFE Ð=Ð；(3)如图2，当60a =°时，连接BF 、DF ，求证：FBD V 为等边三角形．B 卷四、填空题（本大题共两道小题，其中27题4分，28题6分，共10分）27．如图，点B 在线段AC 上，点E 在线段BD 上，ABD DBC Ð=Ð，AB DB =，EB CB =，M ，N 分别是线段AE 、CD 的中点．以下结论正确的是： ．①AE CD =；②AE CD ^；③AE 平分DAC Ð；④BM BN ^且BM BN=28．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(),R a b ．对于点P 给出如下定义：先将点P 向右()0a ³或向左()0a <平移a 个单位长度，再关于直线y b =对称，得到点P ¢，则称点P'为点P 的“R 关联点”(1)如图1，点P 坐标为()3,1①当点R 坐标为()1,2-时，则点P 的“R 关联点”P ¢的坐标为：_______；②若点()4,3Q -为点P 的“R 关联点”，则R 的坐标为_______；(2)如图2，点A (−2,0)、C (0,1)，点B 与点A 关于y 轴对称．点R 在ABC V 边上，点P 坐标为()5,0①画出点P 所有的“R 关联点”；②这些关联点组成的图形形状是：_______．(3)如图3，点(),E n n -、(),F n n --、(),G n n -、(),H n n ，0n >，点R 在正方形EFGH 边上，点()6,4M 、()7,5N ，若线段MN 上存在点()3,0P n 的“R 关联点”，直接写出n 的取值范围．1．A【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：B ，C ，D 选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；A 选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：A ．2．D【分析】本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可．【详解】解：A 、()3328a a =，故该项正确，不符合题意；B 、358a a a ×=，故该项正确，不符合题意；C 、624a a a ¸=，故该项正确，不符合题意；D 、()236a a -=，故该项不正确，符合题意；故选：D ．3．C【分析】本题考查了全等三角形的性质，由三角形全等可知ACB CAD Ð=Ð，进而即可得出答案．【详解】解：Q ABC CDA △△≌，ACB CAD Ð=Ð\，Q 50BCA Ð=°，50CAD \Ð=°，故选：C ．4．C【分析】根据分式值为零的条件可得x ﹣2＝0，再解方程即可．【详解】解：由题意得：x ﹣2＝0，且x +1≠0，解得：x ＝2，故选C ．5．D【分析】分50°角是等腰三角形的顶角和底角两种情况计算，熟练掌握等边对等角，三角形内角和定理是解题的关键．【详解】当50°角是等腰三角形的顶角时，顶角的度数是50°；当50°角是等腰三角形的底角时，顶角的度数是180505080°-°-°=°；故选Ｄ．6．C【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式，掌握提公因式法和公式法分解因式的步骤和要求是解答的关键．利用提公因式法或公式法对每个选项中的式子进行因式分解，进而可作出判断．【详解】解：A 、()1ab ac a a b c ++=++，原计算错误，不符合题意；B 、()()22331a a a a --=-+，原计算错误，不符合题意；C 、()2222a ab b a b ++=+，原计算正确，符合题意；D 、()()()()()42221644422a a a a a a -=+-=++-，原计算错误，不符合题意；故选：C ．7．B【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定及角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定及角平分线的判定依次进行判断即可．【详解】解：如果两个三角形全等，则它们不一定关于某直线成轴对称，故A 选项不符合题意；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故B 选项符合题意；等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高相互重合，故C 选项不符合题意；在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，故D 选项不符合题意，故选：B ．8．B【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．【详解】解：如图所示，BCD △，EBC V ，MHN V ，BAO V 与ABC V 成轴对称∴共5个．故选：B ．9．2x ¹【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可．【详解】解：∵分式12x -有意义，∴20x -¹，∴2x ¹，故答案为：2x ¹．10．312x -【分析】此题考查的是单项式乘单项式，解决此题的关键是掌握单项式乘单项式的运算法则．直接根据单项式乘单项式的运算法则计算即可．【详解】解：原式312x =-．故答案为：312x -．11．B C Ð=Ð（答案不唯一）【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法．添加条件：B C Ð=Ð，再由已知条件BE CD =和公共角A Ð可利用AAS 定理证明ABE ACD V V ≌．【详解】解：添加条件：B C Ð=Ð，在ABE V 和ACD V 中，A ABC BE CD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，\()AAS ABE ACD V V ≌，故答案为：B C Ð=Ð（答案不唯一）．12．12AOE AOB Ð=Ð【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定．根据SAS 可以证明OEC OED V V ≌，从而得结论．【详解】解：由题意得OE CD ^，90OEC OED \Ð=Ð=°，在OEC △和OED V 中，CE DE OEC OED OE OE =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)OEC OED \V V ≌，AOE BOE \Ð=Ð，12AOE AOB \Ð=Ð，故答案为：12AOE AOB Ð=Ð．13．4【分析】本题考查了多项式乘以多项式的法则的应用，关键是理解展开合并后一次项系数为1-．根据多项式乘以多项式法则展开后，根据x 项的系数等于1-可得出n 的值．【详解】解：()()()22133333x x n x nx x n x n x n+-=-+-=+--Q 一次项系数为1-，31n \-=-4n \=，故答案为：4．14．6【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．首先根据角平分线的性质定理得到3PM PN ==，然后利用9OCP S =△代数求解即可．【详解】解：∵射线OG 为AOB Ð的平分线，PM OA ^，PN OB ^，且3PN =，∴3PM PN ==；∵9OCP S =△，∴192OC MP ×=，即1392OC ´=，∴6OC =．故答案为：6．15．2【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定．解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．延长BD 至点E ，使得DE BD =，连接CE ，证明ADB CDE △△≌，可得ECD A Ð=Ð，再证得45BCE Ð=°，最后根据等腰三角形判定求解可．【详解】解：如图，延长BD 至点E ，使得DE BD =，连接CE ，在ADB V 和CDE V 中，AD CD ADB CDE BD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()SAS ADB CDE \V V ≌，ECD A \Ð=Ð，45A BCD Ð+Ð=°Q ，45ECD BCD \Ð+Ð=°，45BCE \Ð=°，BD BC ^Q ，45BCE BEC \Ð=Ð=°，4BE BC \==，122BD BE \==，故答案为：216． 0.5 1【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，三角形的外角，两点之间线段最短问题．（1）作点Q 关于直线AC 的对称点Q ¢，连接PQ ¢，交AC 于点N ， 根据“两点之间线段最短”可知，此时PN NQ +最短，测量出CN 即可；（2）连接AQ CQ ¢¢，，根据题意证明()SAS ABP ACQ V V ≌，结合点Q 关于直线AC 的对称点Q ¢，证明()SSS AQC AQ C ¢V V ≌，因此AP AQ AQ BAP CAQ CAQ ¢¢==Ð=Ð=Ð，，进而证明APQ ¢△是等边三角形，根据“两点之间线段最短”可知，要使PN QN +最短，则P 、N 、Q ¢三点共线，此时PN NQ PQ ¢+=，又因为AP PQ ¢=，即AP 最小，过点A 作^AP BC 于点P ，此时AP 最小，由QN Q N ¢=，APQ ¢△是等边三角形，得AN PQ ¢^，再结合30NPC Ð=°，4AB =，即可求出答案．【详解】解：（1）作点Q 关于直线AC 的对称点Q ¢，连接PQ ¢，交AC 于点N ，此时PN NQ +最短，则测量0.5cm CN =；（2）连接AQ CQ ¢¢，，在等边ABC V 中，60AB AC B ACB =Ð=Ð=°，，BP CQ =Q ，()SAS ABP ACQ \V V ≌，Q 点Q 关于直线AC 的对称点Q ¢，AQ AQ CQ CQ ¢¢\==，，AC AC =Q ，()SSS AQC AQ C \¢V V ≌，AP AQ AQ BAP CAQ CAQ ¢¢\==Ð=Ð=Ð，，60BAC Ð=°Q ，60PAQ ¢\Ð=°，APQ ¢\V 是等边三角形，AP PQ ¢\=，PN QN PN NQ PQ ¢¢+=+³Q ，\要使PN QN +最短，则P 、N 、Q ¢三点共线，此时PN NQ PQ ¢+=，AP PQ ¢=Q ，即AP 最小，过点A 作^AP BC 于点P ，此时AP 最小，Q ABC V 为等边三角形，BP CP \=，Q BP CQ =，\此时P 、Q 重合，QN Q N ¢=Q ，APQ ¢△是等边三角形，AN PQ ¢\^，90906030NPC ACB \Ð=°-Ð=°-°=°，Q 4AB =，11222CP BC AB \===，112CN CP \==，\PN QN +最短时，1=CN ，故答案为：1．17．(1)2491x x --(2)34c ab-【分析】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．（1）直接利用单项式乘多项式法则进行化简，再去括号，最后合并进而得出答案；（2）直接利用多项式除以单项式法则计算得出答案．【详解】（1）解：原式2481x x x =---，2491x x =--；（2）解：原式34c ab=-18．(1)23-(2)3a -【分析】本题考查了分式的乘法运算和分式的除法运算，熟记分式的运算法则是解题的关键．（1）根据分式的乘除法则，先将除法转化为乘法，再约分化简即可；（2）先将分子分母因式分解，再约分化简即可．【详解】（1）解：22246ab c a c b c-׸22246ab c c c b a-××=23=-；（2）22331a a a a a a a -+æö××ç÷-+èø()()223131a a a aa a a -+=××-+3a =-．19．(1)()223x y -(2)()()3a b a b --【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．（1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．（2）利用平方差公式因式分解即可．【详解】（1）221218xy xy x-+()2269x y y =-+()223x y =-；（2）()222a b a --()()22a b a a b a =-+--()()3a b a b =--．20．(1)见解析(2)OC OC =；SAS ；线段垂直平分线的性质；等边对等角【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练的作图是解本题的关键．（1）按题意作出图形即可；（2）根据全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定，逐步填写推理过程与推理依据即可．【详解】（1）解：如图；．（2）证明：在OA 上截取OD OB =，连接CD ．OM Q 平分BOAÐBOM AOM\Ð=Ð在OBC △与ODC V 中：OB OD BOM AOMOC OC =ìïÐ=Ðíï=î()SAS OBC ODC \V V ≌CD CB \=，OBC ODCÐ=ÐQ 点C 在线段AB 的垂直平分线上CB CA \=（线段垂直平分线的性质）CD CA\=CDA CAD \Ð=Ð（等边对等角）Q 点D 在射线OA 上180ODC CDA \Ð+Ð=°180OBC OAC \Ð+Ð=°故答案为：OC OC =；SAS ；线段垂直平分线的性质；等边对等角21．(1)图见解析，()12,1A -，()11,2B ；(2)()0,0，4．【分析】()1根据轴对称的性质画出图形并写出对称点的坐标即可；()2选取一点与线段AB 构成等腰三角形分三种情况：以点A 为等腰三角形的顶点AB 为腰；以点B 为等腰三角形的顶点AB 为腰；以AB 为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的顶点在线段AB 的垂直平分线上．【详解】（1）解：如下图所示，分别作点A 、B 关于y 轴的对称点1A 、1B ，连接11A B ，线段11A B 与线段AB 关于y 轴对称；Q 已知点A 、B 的坐标分别是()2,1--、()1,2-，1A \的坐标是()2,1-，1B 的坐标是(1,2)；（2）解：当以点A 为等腰三角形的顶点AB 为腰时，在y 轴上有2个点可以与线段AB 组成等腰三角形，如下图所示，当以点B 为等腰三角形的顶点AB 为腰时，在y 轴上有两个点使3C B AB =、4C B AB =，可以看出点A 、B 、3C 在同一条直线上，不能构成三角形，\在y 轴上有1个点可以与线段AB 组成等腰三角形，如下图所示，当以AB 为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的顶点在线段AB 的垂直平分线上，如下图所示，可以发现这个点恰好是原点．综上所述，在y 轴上有4个点可以与线段AB 构成等腰三角形，其中一个满足条件的点是()0,0．【点睛】本题考查了轴对称变换和等腰三角形的性质．关于y 轴对称的两个点的纵坐标相等，横坐标互为相反数；有两条边相等的三角形是等腰三角形．22．23【分析】此题考查了整式乘法的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将已知等式整体变形代入计算即可求值．【详解】解：∵2610x x --=∴261x x -=∴22122x x -=()()()23233x x x --+-()()223449x x x =-+--22312129x x x =-+-+221221x x =-+221=+23=．23．见解析【分析】此题考查了等腰三角形三线合一性质，等边对等角，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．首先由三线合一性质和等边对等角得到BD CD =，B C Ð=Ð，然后证明出()AAS BDE CDF ≌△△，．即可得到BE CF =．【详解】解：∵等腰ABC V 中，AB AC =，AD BC ^于D ，∴BD CD =，B CÐ=Ð∵DE AB ^，DE AB^∴90BED CFD Ð=Ð=°∴()AAS BDE CDF ≌△△∴BE CF =．24．(1)()a b -(2)()2a b -，()24a b ab+-(3)5x y +=±【分析】此题考查了列代数式，完全平方公式和几何图形的应用，利用完全平方公式的变形求值，解题的关键是掌握以上知识点．（1）由小长方形的长和宽分别为a 和b 求解即可；（2）分别用两种方法表示出正方形EFGH 的面积即可求解；（3）由（2）得()()224x y x y xy -=+-，然后整体代数求解即可．【详解】（1）解：∵小长方形的长和宽分别为a 和b ，∴图2中的四边形EFGH 为正方形，其边长为()a b -；（2）解：正方形EFGH 的面积为()22EF a b =-；正方形EFGH 的面积还可以表示为()24a b ab +-；∴()()224a b a b ab -=+-；（3）解：由（2）得，()()224x y x y xy-=+-∵3x y -=，4xy =，∴()22344x y =+-´∴()225x y +=∴5x y +=±．25．(1)画图见解析；36；(2)72或108【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理及外角的性质，解决本题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质与判定．（1）作出线段OB 的中点P ，连接AP ，线段PA 为AOB V 的“90角等分线”，再根据直角三角形性质及等腰三角形性质求解即可；（2）作出图形并分两种情况讨论：作72OAB Ð=°，OB 交ON 于点B ，在线段上作点P ，使得OP AP =；作108OAB Ð=°，OB 交ON 于点B ，在线段上作点P ，使得OP AP =，再求解即可．【详解】（1）解：如图，作出线段OB 的中点P ，连接AP ，线段PA 为AOB V 的“90角等分线”，Rt AOB Q △中，AP 是斜边上的中线，OP AP PB \==，\线段PA 将AOB V 分割为两个等腰三角形，\线段PA 为AOB V 的“90角等分线”，36OAP MON \Ð=Ð=°，故答案为：36；（2）解：如图，作72OAB Ð=°，OB 交ON 于点B ，在线段上作点P ，使得OP AP =，36MON Ð=°Q ，OP AP =，36OAP MON \Ð=Ð=°，72OAB Ð=°Q ，723636PAB \Ð=°-°=°，72APB MON OAP Ð=Ð+Ð=°Q ，18072ABP PAB APB Ð=°-Ð-Ð=°Q ，ABP APB \Ð=Ð，AP AB \=，\线段PA 将AOB V 分割为两个等腰三角形，72a =°；如图，作108OAB Ð=°，OB 交ON 于点B ，在线段上作点P ，使得OP AP =，36MON Ð=°Q ，OP AP =，36OAP MON \Ð=Ð=°，108OAB Ð=°Q ，1083672PAB \Ð=°-°=°，72APB MON OAP Ð=Ð+Ð=°Q ，PAB APB \Ð=Ð，AB PB \=，\线段PA 将AOB V 分割为两个等腰三角形，108a =°；故答案为：72或10826．(1)见详解(2)见详解(3)见详解【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质等；（1）按要求补全图形，即可求解；（2）由角的和差得90AFE EAF Ð=°-Ð，由等腰三角形的性质得()118022B a Ð=°-，即可求证；（3）延长AE 至H 使AE EH =，连接,DH FH ，证明()SAS AEC HED V V ≌得出AC DH =，CAE EHD Ð=Ð，进而证明DHF BAF Ð=Ð，证明()SAS ABF HDF V V ≌，推出FB FD =，AFB HFD Ð=Ð，即可得出60BFD AFH Ð=Ð=°，则FBD V 为等边三角形．【详解】（1）解：如图，（2）证明：Q EF AE ^，90AEF \Ð=°，90AFE EAF\Ð=°-Ð90a =°-，AB AC =Q ，2BAC a Ð=，()118022B a \Ð=°-90a =°-，\B AFE Ð=Ð；（3）证明：延长AE 至H 使AE EH =，连接,DH FH ，∵,,AE EH AEC HED DE EC=Ð=Ð=∴()SAS AEC HED V V ≌∴AC DH =，CAE EHDÐ=Ð又∵AB AC=∴AB DH=∵60a =°，则120BAC Ð=°，60FAE Ð=°∴60BAF EACÐ=°-Ð∵EF AH ^，AE EH=∴AF FH =，∴60DHF AHF EHD EAC BAC FAE EAC BAFÐ=Ð-Ð=°-Ð=Ð-Ð-Ð=Ð∴()SAS ABF HDF V V ≌∴FB FD =，AFB HFDÐ=Ð∴60BFD AFH Ð=Ð=°∴FBD V 为等边三角形．27．①②④【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．首先证明出()SAS ABE DBC V V ≌，得到AE CD =，即可判断①；延长AE 交CD 于点F ，得到EAB BDC Ð=Ð，然后结合三角形内角和 得到90ABD DFE ==°∠∠，即可判断②；根据题意无法证明AE 平分DAC Ð，即可判断③；证明出()ASA ABM DBN V V ≌，得到ABM DBN Ð=Ð，进而可判断④．【详解】解：在ABE V 和DBC △中，AB DB ABD DBC EB CB =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ABE DBC V V ≌，∴AE CD =，故①正确；如图所示，延长AE 交CD 于点F∵ABD DBC Ð=Ð，点B 在线段AC 上，∴90ABD DBC Ð=Ð=°∵ABE DBCV V ≌∴EAB BDCÐ=Ð∵AEB DEFÐ=Ð∴AE CD ^，故②正确；根据题意无法证明AE 平分DAC Ð，故③错误；∵ABE DBC V V ≌，M ，N 分别是线段AE 、CD 的中点∴BM BN=又∵MAB NDB Ð=Ð，AB BD=∴()ASA ABM DBN V V ≌∴ABM DBNÐ=Ð∴ABM DBM DBN DBMÐ+Ð=Ð+Ð∴90ABD MBN Ð=Ð=°∴BM BN ^，故④正确；综上所述，结论正确的是：①②④．故答案为：①②④．28．(1)①(2,3)；②(1,1)-(2)①图见解析；②等腰三角形(3)522n ££或732n ££【分析】本题考查了坐标变换，解题关键是得到“R 关联点”变化规律.（1）根据“R 关联点”定义可得点P (,)x y 的“(),R a b 关联点”的坐标为(),2P x a b y ¢+-，据此计算即可；（2）①根据(),R a b 关联点的定义计算出当R 在三角形的顶点时，点P 的“R 关联点”坐标，即可画图；②由图可知关联点组成的图形形状是三角形.（3）分点R 在正方形的四条边上上时，坐标不同，根据()3,0P n 的“R 关联点”在线段MN 上方程和不等式求解即可.【详解】（1）解：设P 坐标为(,)x y ，设P ¢的坐标为(),P x y ¢¢¢，先将点P 向右()0a ³或向左()0a <平移a 个单位长度，得到点的坐标为(,)x a y +，再关于直线y b =对称，得到点P ¢，则2x x a y y b =+ì¢+=¢ïíïî，∴2x x a y b y =+ìí=-¢¢î即P ¢坐标为(),2x a b y +-①当点P 坐标为()3,1，点R 坐标为()1,2-时，则点P 的“R 关联点”P ¢的坐标为(31,221)-´-，即(2,3)；②点()4,3Q -为点P ()3,1的“R 关联点”，∴43321a b =+ìí-=-î解得：11a b =ìí=-î，即R 的坐标为(1,1)-，（2）解：①如图②这些关联点组成的图形形状是等腰三角形.（3）∵点()6,4M 、()7,5N ，①当点R 在EH 上时，设点(,)R a n 其中n a n -££，则线段MN 上存在点()3,0P n 的“R 关联点”坐标为(3,2)n a n +，∴322n a n +-=，∴2a n=-又∵637n a n a n £+£ìí-££î即63(2)72n n n n n£+-£ìí-£-£î解得：522n ££，当点R 在EH 上时，522n ££， 线段MN 上存在点()3,0P n 的“R 关联点”②当点R 在FG 上时，设点(,)R a n -其中n a n -££，则线段MN 上存在点()3,0P n 的“R 关联点”坐标为(3,2)n a n +-，∵0n >，∴(3,2)n a n +-不可能在第一象限，故点R 在FG 上时，线段MN 上不存在点()3,0P n 的“R 关联点”；③当点R 在H G 上时，设点(,)R n b 其中n b n -££，则线段MN 上存在点()3,0P n 的“R 关联点”坐标为(4,2)n b ，∴422n b -=，∴21b n =-又∵647n n b n ££ìí-££î即64721n n n n££ìí-£-£î不等式组无解，故点R 在H G 上时，线段MN 上不存在点()3,0P n 的“R 关联点”；④当点R 在EF 上时，设点(,)R n b -其中n b n -££，则线段MN 上存在点()3,0P n 的“R 关联点”坐标为(2,2)n b ，∴222n b -=，∴1b n =-又∵627n n b n ££ìí-££î即6271n n n n££ìí-£-£î解得：732n ££，当点R 在EF 上时，732n ££， 线段MN 上存在点()3,0P n 的“R 关联点”综上所述：当522n ££或732n ££时，线段MN 上存在点()3,0P n 的“R 关联点”。
人教版八年级上册数学期中考试试卷及答案
人教版八年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17B．15C．13D．13或173．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝（）A．180°B．360°C．270°D．540°4．如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为（）A．30°B．36°C．40°D．45°5．如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC＝3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（）A．3：2B．6：4C．2：3D．不能确定6．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．若一个图形上所有点的纵坐标不变，横坐标乘以－1，则所得图形与原图形的关系为（）A．关于x轴成轴对称图形B．关于y轴成轴对称图形C．关于原点成中心对称图形D．无法确定8．如图，将两根钢条AA'，BB'的中点O连在一起，使AA'，BB'可绕点O自由转动，就△≌△的理由是（）做成了一个测量工件，则A B''的长等于内槽宽AB，那么判定OAB OA B''A．边角边B．角边角C．边边边D．角角边9．如图，已知Rt△OAB，∠OAB＝50°，∠AOB＝90°，O点与坐标系原点重合，若点P在x轴上，且△APB是等腰三角形，则点P的坐标可能有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则底角的度数为（）A．60°B．120°C．60°或120°D．60°或30°二、填空题11．如图，C、D点在BE上，∠1=∠2，BD=EC，请补充一个条件：____________，使△ABC ≌△FED ．12．在ABC 中，AB ＝6，AC ＝10，那么中线AD 边的取值范围是___．13．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD=___．14．如图，在△ABC 中，10AB AC ==，120BAC ∠=︒，AD 是△ABC 的中线，AE 是∠BAD 的角平分线，DF//AB 交AE 的延长线于点F ，则DF 的长为______________．15．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=36°，（1）作出AB 边的垂直平分线DE ，交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接BD ；（2）下列结论正确的是：①BD 平分∠ABC ；②AD=BD=BC ；③△BDC 的周长等于AB+BC ；④D 点是AC 中点；16．如图,等腰△ABC 中，AB=AC,∠A=20°,线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠EBC=__________度.17．如图，AD，BE在AB的同侧，AD＝4，BE＝4，AB＝8，点C为AB的中点，若∠DCE ＝120°，则DE的最大值是_____．三、解答题18．如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD．求证：AB=DE．19．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，你就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．（1）如图，请根据下列图形，填写表中空格：正多边形边数3456…n正多边形每个内角的度数（2）如果限于一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？（3）从正三角形、正方形、正六边形中选一种，再在其它正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成一个平面图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．20．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，O为BC的中点，点E、D分别为边AB、AC上的点，且满足OE⊥OD，求证：OE=OD．21．如图，点A、B、C在同一直线上，△ABD，△BCE都是等边三角形．（1）求证：AE=CD；（2）若M，N分别是AE，CD的中点，试判断△BMN的形状，并证明你的结论．22．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．（1）求证：AB＝DC；（2）试判断△OEF的形状，并说明理由．23．如图，线段AB=8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP=∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．（1）求证：△AEP≌△CEP；（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；（3）求△AEF的周长．24．如图，'''，使它与△ABC关于直线l对称；（1）利用网格线画△A B C'''的面积；（2）若每个小正方形的边长为1，请直接写出△A B C（3）若建立直角坐标系后，点A(m－1，3)与点Q(－2，n+1)关于x轴对称，求m2+n的值．25．如图，AC和BD相交于点E，AB//CD，BE=DE．求证：△ABE≌△CDE．26．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求∠APN的度数．参考答案1．B2．A3．B4．B5．A6．C7．B8．A9．D10．D11．AC=DF（或∠A=∠F或∠B=∠E）【解析】【详解】∵BD=CE，∴BD-CD=CE-CD，∴BC=DE，①条件是AC=DF 时，在△ABC 和△FED 中，12AC DF BC DE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABC ≌△FED （SAS ）；②当∠A=∠F 时，12A F BC DE ∠=∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝∴△ABC ≌△FED （AAS ）；③当∠B=∠E 时，12BC DE B E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△FED （ASA ）故答案为AC=DF （或∠A=∠F 或∠B=∠E ）．12．28AD <<【解析】【分析】延长AD 到点E ，使AD DE =，连接CE ，得出ADB EDC ≌，推出6CE AB ==，再根据三角形三边关系定理即可得出答案．【详解】解：如图，延长AD 到点E ，使AD DE =，连接CE，AD 是ABC 中线，BD CD ∴=，在ADB △和EDC △中，AD DE ADB EDC BD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB EDC SAS ∴△≌△，6AB EC ∴==，∵在ACE 中，AC CE AE AC CE -<<+，∴106106AE -<<+，4216AD ∴<<，28AD ∴<<，故答案为：28AD <<．【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．13．2【解析】【分析】过P 点作PE ⊥OB 于E ，如图，根据角平分线的性质得到PE=PD ，再利用平行线的性质得到∠PCE=∠AOB=30°，接着根据含30度的直角三角形三边的关系得到PE=12PC=2，从而得到PD 的长．【详解】解：过P 点作PE ⊥OB 于E，如图，∵∠AOP=∠BOP=15°，∴OP 平分∠AOB ，∠AOB=30°，而PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴PE=PD ，∵PC ∥OA ，∴∠PCE=∠AOB=30°，∴PE=12PC=12×4=2，∴PD=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了含30度的直角三角形的性质和平行线的性质．14．5【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，求出∠DAE=∠EAB=30°，根据平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°，从而得到∠DAE=∠F，根据等角对等边求出AD=DF，求出∠B=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．【详解】解：∵AB=AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×120°=60°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE=∠EAB=12∠BAD=12×60°=30°，∵DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°，∴∠DAE=∠F=30°，∴AD=DF，∵∠B=90°-60°=30°，∴AD=12AB=12×10=5，∴DF=5．故答案为：5．【点睛】本题考查的是含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质是解题的关键．15．（1）详见解析；（2）①②③.【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等）求解即可求得答案,（1）利用线段垂直平分线的作法进而得出即可.(2)由在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,根据等边对等角与三角形内角和定理,即可求得∠ABC 与∠C的度数,又由AB的垂直平分线是DE,根据线段垂直平分线的性质,即可求得AD=BD,继而求得∠ABD的度数,则可知BD平分∠ABC,可得△BCD的周长等于AB+BC,又可求得∠BDC的度数，,求得AD=BD=BC,则可求得答案,注意排除法在解选择题中的应用．【详解】(1)(2)∵在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,∵AB的垂直平分线是DE,∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=36°,∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°=∠ABD,∴BD平分∠ABC,故①正确,∴△BCD的周长为:BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB,故③正确；∵∠DBC=36°,∠C=72°,∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°,∴∠BDC=∠C,∴BD=BC,∴AD=BD=BC,故②正确；∵BD＞CD,∴AD＞CD,∴点D不是线段AC的中点,故④错误,故答案为:①②③.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质,线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识,解决本题的关键是注意数形结合思想的应用,注意等腰三角形的性质与等量代换．16．60°.【解析】【分析】先根据△ABC中，AB=AC，∠A=20°求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线的性质可求出AE=BE，即∠A=∠ABE=20°即可解答．【详解】解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°，∴∠ABC=180-202=80°，∵DE是线段AB垂直平分线的交点，∴AE=BE，∠A=∠ABE=20°，∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=80°-20°=60°．故填：60°．【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．17．12【解析】【分析】如图，作点A关于直线CD的对称点M，作点B关于直线CE的对称点N，连接DM，CM，CN，MN，NE．证明△CMN是等边三角形，再根据DE≤DM+MN+EN，当D，M，N，E 共线时，DE的值最大．【详解】解：如图，作点A关于直线CD的对称点M，作点B关于直线CE的对称点N，连接DM，CM，CN，MN，NE．由题意AD＝EB＝4，AC＝CB＝4，DM＝CM＝CN＝EN＝4，∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC，∵∠DCE＝120°，∴∠ACD+∠BCE＝60°，∵∠DCA＝∠DCM，∠BCE＝∠ECN，∴∠ACM+∠BCN＝120°，∴∠MCN＝60°，∵CM＝CN＝4，∴△CMN是等边三角形，∴MN＝4，∵DE≤DM+MN+EN，∴DE≤12，∴当D，M，N，E共线时，DE的值最大，最大值为12，故答案为：12．【点睛】本题考查轴对称的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决问题，属于中考填空题中的压轴题．18．见详解【解析】【分析】先根据条件求出BC=EF，根据平行线性质求出∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，根据ASA推出△ABC≌△DEF即可．【详解】∵FB＝CE，∴FB+FC=FC+CE ，即BC=FE ，又∵AB ∥ED ，AC ∥FD ，∴∠B=∠E ，∠ACB=∠DFE ，在△ABC 和△DEF 中，B E BC FE ACB DFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）∴AB=DE ．【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理论证能力．19．（1）60°，90°，108°，120°，…（n-2）•180°÷n ；（2）正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形；（3）答案见详解．【解析】【分析】（1）利用正多边形一个内角=180°-360n°求解；（2）进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为360°，因此我们只需验证360°是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍；（3）常见的两种正多边形的密铺组合有：正三角形和正四边形能密铺，正六边形只能和正三角形密铺．所以要从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，只能选择正四边形．【详解】解：（1）由正n 边形的内角的性质可分别求得正三角形、正方形、正五边形、正六边形…正n 边形的每一个内角为：60°，90°，108°，120°，…（n-2）•180°÷n ，故答案为60°，90°，108°，120°，…，()2180n n -∙︒；（2）如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于360°得正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形；（3）正方形和正八边形（如下图所示），理由：设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，那么m，n应是方程m·90＋n·135＝360的正整数解，即2m＋3n＝8的正整数解，只有12mn=⎧⎨=⎩一组，∴符合条件的图形只有一种．【点睛】本题主要考查了多边形内角和的知识点，求正多边形一个内角度数，可先求出这个外角度数，让180减去即可．一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°；两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．20．见解析．【分析】连接AO，证明△BEO≌△ADO即可．【详解】证明：如图，连接AO，∵∠BAC=90°，AB=AC，O为BC的中点，∴AO=BO，∠OAD=∠B=45°，∵AO⊥BO，OE⊥OD，∴∠AOE+∠BOE=∠AOE+∠AOD=90°，∴∠AOD＝∠BOE，∴△AOD≌△BOE，∴OE=OD．本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ．21．（1）证明见解析；（2）△MBN 是等边三角形．【解析】【分析】(1)利用SAS 证明△AOC ≌△BOD ，则有AE ＝CD ；(2)由△ABE ≌△DBC ，可证△ABM ≌△DBN ，从而得BM ＝BN ，∠MBN ＝60°.【详解】(1)证明：∵△ABD 、△BCE 都是等边三角形，∴AB ＝BD ，BC ＝BE ，∠ABD ＝∠CBE ＝60°，∴∠ABD ＋∠DBE ＝∠DBE ＋∠CBE 即∠ABE ＝∠DBC ，∴在△ABE 和△DBC 中，AB DBABE DBC BE BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ABE ≌△DBC(SAS)．∴AE ＝CD ．(2)解：△MBN 是等边三角形，理由如下：∵△ABE ≌△DBC ，∴∠BAE ＝∠BDC ．∵AE ＝CD ，M 、N 分别是AE 、CD 的中点，∴AM ＝DN ；又∵AB ＝DB ．∴△ABM ≌△DBN ．∴BM ＝BN ，∠ABM ＝∠DBN ．∴∠DBM ＋∠DBN ＝∠DBM ＋∠ABM ＝∠ABD ＝60°．∴△MBN 是等边三角形．22．（1）证明见解析（2）等腰三角形，理由见解析【详解】证明：（1）∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE ．又∵∠A ＝∠D ，∠B ＝∠C ，∴△ABF ≌△DCE （AAS ），∴AB ＝DC ．（2）△OEF 为等腰三角形理由如下：∵△ABF ≌△DCE ，∴∠AFB=∠DEC ．∴OE=OF ．∴△OEF 为等腰三角形．23．（1）见解析；（2）CF ⊥AB ，理由见解析；（3）16【解析】【分析】（1）四边形APCD 正方形，则PD 平分∠APC ，PC=PA ，∠APD=∠CPD=45°，即可求解；（2）由△AEP ≌△CEP ，则∠EAP=∠ECP ，而∠EAP=∠BAP ，则∠BAP=∠FCP ，又∠FCP+∠CMP=90°，则∠AMF+∠PAB=90°即可求解；（3）过点C 作CN ⊥BG ，垂足为N ，证明△PCN ≌△APB （AAS ），则CN=PB=BF ，PN=AB ，即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形APCD 为正方形∴PD 平分∠APC ，∠APC=90°，PC=PA∴∠APD=∠CPD=45°在△AEP 和△CEP 中，EP EP EPC EPAPC PA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEP ≌△CEP(SAS)（2）CF ⊥AB ．理由如下：∵△AEP≌△CEP，∴∠EAP=∠ECP∵∠EAP=∠BAP∴∠BAP=∠FCP∵∠FCP+∠CMP=90°，∠AMF=∠CMP ∴∠AMF+∠PAB=90°∴∠AFM=90°∴CF⊥AB（3）过点C作CN⊥BG，垂足为N∵CF⊥AB，BG⊥AB∴四边形BFCN为矩形，FC∥BN∴∠CPN=∠PCF=∠EAP=∠PAB又AP=CP，∠ABP=∠CNP=90°∴△PCN≌△APB(AAS)∴CN=PB=BF，PN=AB∵△AEP≌△CEP∴AE=CE∴AE+EF+AF=CE+EF+AF=BN+AF=PN+PB+AF=AB+BF+AF=2AB=16【点睛】本题为四边形综合题，涉及到正方形的性质、三角形全等等知识点，其中（3），证明△PCN ≌△APB （AAS ），是本题的关键．24．（1）见解析；（2）2；（3）-3．【解析】【分析】（1）根据成轴对称图形的性质画出图象即可；（2）用割补法求出三角形的面积；（3）根据点A 与点Q 的对称关系，求出m ，n 的值，再计算最后结果．【详解】（1）如图为所作，略；（2）111232213112222A B C S '''=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=△；（3）∵点A(m －1，3)与点Q(－2，n+1)关于x 轴对称∴m －1=－2，n+1=－3解得m=－1，n=－4∴m 2+n 的=(－1)2+(－4)=－3．【点睛】本题考查了轴对称图形的画法及面积计算，坐标计算，熟知轴对称图形的性质是解题的关键．25．见解析【解析】【分析】先观察要证的线段分别在哪两个三角形，再证出全等即可．【详解】证明：∵AB ∥CD ，∴∠B=∠D ，∠A=∠C ，在△ABE 和△CDE 中，∠B=∠D ，∠A=∠C ，BE=DE ，∴△ABE ≌△CDE （AAS ）．【点睛】本题考查全等三角形的全等的判定问题，关键掌握全等三角形的证明方法，一般采用证三角形全等来证线段或角相等，这是一种很重要的方法．26．（1）证明见解析；（2）∠APN 的度数为108°．【解析】【分析】（1）利用正五边形的性质得出AB=BC ，∠ABM=∠C ，再利用全等三角形的判定得出即可；（2）利用全等三角形的性质得出∠BAM+∠ABP=∠APN ，进而得出∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC 即可得出答案．【详解】证明：（1）∵正五边形ABCDE ，∴AB=BC ，∠ABM=∠C ，∴在△ABM 和△BCN 中AB BC ABM C BM CN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM ≌△BCN （SAS ）；（2）∵△ABM ≌△BCN ，∴∠BAM=∠CBN ，∵∠BAM+∠ABP=∠APN ，∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC=()521805-⨯ =108°．即∠APN 的度数为108°．。
人教版八年级上册数学期中考试试卷含答案
人教版八年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．下面各组线段中，能组成三角形的是（）A ．6，9，14B ．8，8，16C ．10，5，4D ．5，11，63．一个多边形的每个内角均为135°，则这个多边形是（）A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形4．如图，ABC 中，60BAC ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线交于E ，D 是AE 延长线上一点，且120BDC ∠=︒．下列结论：①120∠=︒BEC ；②DB DE =；③2BDE BCE ∠=∠．其中所有正确结论的序号有（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③5．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪一块去（）A ．①B ．②C ．③D ．①和②6．如图，在 ACE 中，点D 在AC 边上，点B 在CE 延长线上，连接BD ，若∠A ＝47°，∠B ＝55°，∠C ＝43°，则∠DFE 的度数是（）A．125°B．45°C．135°D．145°7．下列几种说法：①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等；④全等的两个三角形一定重合。
其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④8．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．12B．15C．12或15D．189．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是（）A．10B．15C．20D．3010．已知：如图，FD∥BE，则（）A．∠1＋∠2－∠A＝180°B．∠2＋∠A－∠1＝180°C．∠A＋∠1－∠2＝180°D．∠1－∠2＋∠A＝180°二、填空题11．如图，在△ABC中，BE和AD分别是边AC和BC上的中线，则△AEF和四边形EFDC 的面积之比为_____．12．赵师傅在做完门框后，为防止变形，如图中所示的那样在门上钉上两条斜拉的木条（即图中的AB ，CD ），这其中的数学原理是__________．13．若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形______边形．14．小明从平面镜子中看到镜中电子钟示数的像如图所示，这时的时刻应是________．15．如图所示，一个角60°的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2＝_____．16．如图，线段AC ，BD 相交于点E ，EB CE =，要使ABE DCE △≌△，只需增加的一个条件是________．（只要填出一个即可）17．如图，在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，AE 平分BAC ∠，若30BAE ∠=︒，20CAD ∠=︒，则B ∠=______．18．如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连结DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC CD DA --向终点A 运动．设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为______________时，ABP △和DCE 全等．三、解答题19．如图，电信部门要在公路m ，n 之间的S 区域修一座电视信号发射塔P.按照设计要求，发射塔P 到区域S 内的两个城镇A,B 的距离必须相等，到两条公路m ，n 的距离也必须相等.发射塔P 建在什么位置？在图中用尺规作图的方法作出它的位置并标出（不写作法但保留作图痕迹）.20．一个等腰三角形的周长是36厘米．（1）已知腰长是底长的2倍，求各边长．（2）已知其中一边长为8厘米，求其它两边长．21．在一次数学课上，老师在黑板上画出如图所示的图形，并写下四个等式，（1）AB DC =，（2）BD AC =，（3）B C ∠=∠，（4）BDA CAD ∠=∠．要求同学从这四个等式中选出其中的两个或三个作为条件，推出第四个，请你试着完成王老师提出的要求（写出三种）并选择一种说明理由．22．已知BC ED =，AB AE =，B E ∠=∠，F 是CD 的中点，求证：AF CD ⊥．23．如图，三角形纸片中，AB=8cm ，BC=6cm ，AC=5cm ．沿过点B 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，求ADE 的周长24．如图，在△ABC 中，DM ，EN 分别垂直平分AC 和BC ，交AB 于M ，N 两点，DM 与EN 相交于点F ．（1）若△CMN 的周长为15cm ，求AB 的长；（2）若70MFN ∠=︒，求MCN ∠的度数．25．探究与发现：如图①，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 在底边BC 上，AE=AD ，连接DE ．（1）当∠BAD=60°时，求∠CDE 的度数；（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．参考答案1．D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案．【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．2．A【解析】【分析】运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．【详解】解：由6，9，14可得，6＋9＞14，故能组成三角形；由8，8，16可得，8＋8＝16，故不能组成三角形；由10，5，4可得，4＋5＜10，故不能组成三角形；由5，11，6可得，5＋6＝11，故不能组成三角形；故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系的运用，三角形的两边差小于第三边，三角形两边之和大于第三边．3．D【解析】【详解】︒-︒=︒，解：正多边形的每个外角都相等，每个外角为18013545多边形的外角和为360︒，︒÷︒=所以边数为：360458故选：D.4．D【解析】【详解】分析：根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB，然后求出∠BEC=120°，判断①正确；过点D作DF⊥AB于F，DG⊥AC的延长线于G，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG，再求出∠BDF=∠CDG，然后利用“角边角”证明△BDF和△CDG全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CD，再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB，根据等角对等边可得BD=DE，判断②正确，再求出B，C，E三点在以D为圆心，以BD为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE，判断③正确．详解：∵60BAC ∠=︒，∴18060120ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒，∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，∴12EBC ABC ∠=∠，12ECB ACB ∠=∠，∴11()1206022EBC ECB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，∴180()18060120BEC EBC ECB ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，故①正确．如图，过点D 作DF AB ⊥于F ，DG AC ⊥的延长线于G，∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，∴AD 为BAC ∠的平分线，∴DF DG =，∴36090260120FDG ∠=︒-︒⨯-︒=︒，又∵120BDC ∠=︒，∴120BDF CDF ∠+∠=︒，120CDG CDF ∠+∠=︒．∴BDF CDG ∠=∠，∵在BDF 和CDG 中，90BFD CGD DF DG BDF CDG∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴BDF ≌()CDG ASA ，∴DB CD =，∴1(180120)302DBC ∠=︒-︒=︒，∴30DBC DBC CBE CBE ∠=∠+∠=︒+∠，∵BE 平分ABC ∠，AE 平分BAC ∠，∴ABE CBE ∠=∠，1302BAE BAC ∠=∠=︒，根据三角形的外角性质，30DEB ABE BAE ABE ∠=∠+∠=∠+︒，∴DEB DBE ∠=∠，∴DB DE =，故②正确．∵DB DE DC ==，∴B 、C 、E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，∴2BDE BCE ∠=∠，故③正确，综上所述，正确结论有①②③，故选D ．点睛：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，圆内接四边形的判定，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半性质，综合性较强，难度较大，特别是③的证明．5．C【解析】【分析】观察每块玻璃形状特征，利用ASA 判定三角形全等可得出答案．【详解】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA 来配一块一样的玻璃．应带③去．故选：C ．【点睛】本题属于利用ASA 判定三角形全等的实际应用，难度不大，但形式较颖，要善于将所学知识与实际问题相结合，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．6．D【解析】【分析】利用三角形内角和定理求出∠AEC，再求出∠EFB可得结论．【详解】解：∵∠A+∠C+∠AEC＝180°，∴∠AEC＝180°﹣47°﹣43°＝90°，∴∠FEB＝90°，∴∠EFB＝90°﹣∠B＝35°，∴∠DFE＝180°﹣35°＝145°，故选：D．【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理，属于中考常考题型．7．D【解析】【分析】依据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形．即可求解．【详解】解：①全等三角形的对应边相等，正确；②全等三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；③全等三角形的周长相等，但周长的两个三角形不一定能重合，不一定是全等三角形．故该选项错误；④全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，故正确；故正确的是①④．故选D．8．B【解析】【分析】根据题意，要分情况讨论：①、3是腰；②、3是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边．【详解】解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是6，但是3+3=6，∴不构成三角形，舍去．②若3是底，则腰是6，6．3+6＞6，符合条件．成立．∴C=3+6+6=15．故选B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质．9．B【解析】【分析】过D 作DE ⊥BC 于E ，根据角平分线性质求出DE ＝3，对12BDC S BC DE =⨯ 计算求解即可．【详解】解：如图，过D 作DE ⊥BC 于E ，∵BD 平分ABC∠∴由角平分线的性质可知3DE AD ==∴111031522BDC S BC DE =⨯=⨯⨯= 故选B ．【点睛】本题考查了角平分线的性质．解题的关键在于根据角平分线的性质求出BDC 的高．10．A【解析】【详解】∵FD//BE ，∴∠2=∠4，∵∠4+∠5=180°，∴∠5=180°-∠4=180°-∠2,∵∠1+∠3=180°,∴∠3=180°-∠1,∵∠3+∠5+∠A=180°,∴180°-∠1+(180°-∠2)+∠A=180°,∴∠1＋∠2－∠A＝180°,故选：A．11．1：2【解析】【分析】设△DEF的面积为S，先判断F点为△ABC的重心，根据三角形重心的性质得到AF＝2FD，＝2S，再利用E点为AC的中点得到S△DAE＝S△DCE＝则根据三角形面积公式得到S△AEF3S，从而得到△AEF和四边形EFDC的面积之比．【详解】解：设△DEF的面积为S，∵BE和AD分别是边AC和BC上的中线，∴F点为△ABC的重心，∴AF＝2FD，＝2S，∴S△AEF∵E点为AC的中点，＝S△DCE＝S+2S＝3S，∴S△DAE∴△AEF和四边形EFDC的面积之比为2S：（S+3S）＝1：2．故答案为：1：2．【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S12=⨯底×高．三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．12．三角形的稳定性【解析】【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．【详解】解：赵师傅这样做是运用了三角形的稳定性．故答案为：三角形的稳定性．【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键在于能够熟知三角形具有稳定性．13．十二【解析】【分析】根据多边形的内角和公式列式求解即可．【详解】解：设这个多边形的边数是n，则()21801800n-⨯︒=︒，解得：12n=．故答案为：十二．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．14．16:25:08【解析】【分析】关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字．【详解】解：∵是从镜子中看，∴对称轴为竖直方向的直线，∵5的对称数字为2，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，∴这时的时刻应是16:25:08.故答案为16:25:08.【点睛】本题考查镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5，5的对称数字是2．15．240°．【解析】【分析】三角形纸片中，剪去其中一个60°的角后变成四边形，则根据多边形的内角和等于360度即可求得∠1+∠2的度数．【详解】解：根据三角形的内角和定理得：四边形除去∠1，∠2后的两角的度数为180°﹣60°＝120°，则根据四边形的内角和定理得：∠1+∠2＝360°﹣120°＝240°．故答案为：240°．【点睛】本题考查多边形角度的计算,关键在于结合图形运用角度转换.16．AE=DE或∠A=∠D或∠B=∠C【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法添加条件即可．【详解】解：∵BE=CE，∠AEB=∠DEC，添加AE=DE，可根据SAS证明△ABE≌△DCE，添加∠A=∠D，可根据AAS证明△ABE≌△DCE，添加∠B=∠C，可根据ASA证明△ABE≌△DCE，故答案为：AE=DE或∠A=∠D或∠B=∠C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，题目是一道开放型的题目，答案不唯一．17．50︒【解析】【分析】想办法求出AED∠，再利用三角形的外角的性质求解即可．【详解】解：AE∠，∵平分BAC∴∠=∠=︒，BAE CAE30∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，EAD EAC DAC302010，⊥AD BC∴∠=︒，ADE90∴∠=︒-∠=︒，AED EAD9080，∠=∠+∠AED B BAE∴∠=︒-︒=︒，B803050故答案是：50︒．【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．18．1或7【解析】【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2或AP=16-2t=2即可求得结果．【详解】解：当点P在BC上时，∵AB＝CD，∴当△ABP≌△DCE，得到BP=CE，由题意得：BP＝2t＝2，当P在AD上时，∵AB＝CD，∴当△BAP≌△DCE，得到AP=CE，由题意得：AP＝6+6-4﹣2t＝2，解得t＝7．∴当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．故答案为：1或7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想进行求解．19．作图见解析【解析】【分析】作线段AB的垂直平分线，再作直线m与n的夹角的角平分线，两线的交点就是P点．【详解】解：如图所示．20．（1）365cm，725cm，725cm；（2）14cm，14cm．【解析】【分析】（1）设底边BC=acm，则AC=AB=2acm，代入求出即可；（2）分类讨论，然后根据三角形三边关系定理判断求出的结果是否符合题意．解：如图，（1）设底边BC=acm ，则AC=AB=2acm ，∵三角形的周长是36cm ，∴2a+2a+a=36，∴a=365，2a=725，∴等腰三角形的三边长是365cm ，725cm ，725cm ．（2）①当等腰三角形的底边长为8cm 时，腰长=（36-8）÷2=14（cm ）；则等腰三角形的三边长为8cm 、14cm 、14cm ，能构成三角形；②当等腰三角形的腰长为8cm 时，底边长=36-2×8=20；则等腰三角形的三边长为8cm ，8cm 、20cm ，不能构成三角形．故等腰三角形另外两边的长为14cm ，14cm ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．21．见解析【解析】【分析】根据SAS 、ASA 、AAS 进行推理即可得到答案．【详解】解：由①②③可推出④；由②③④可推出①；由①③④可推出②；第一种情况证明：∵AB DC =，BD AC =，B C ∠=∠，∴ABD DCA ∆≅∆（SAS ）∴BDA CAD∠=∠第二种情况证明：∵BD AC =，B C ∠=∠，BDA CAD∠=∠∴ABD DCA ∆≅∆（ASA ）∴AB DC=第三种情况证明：∵AB DC =，B C ∠=∠，BDA CAD∠=∠∴ABD DCA ∆≅∆（AAS ）∴BD AC=22．见解析【分析】连接AC 、AD ，由已知证明ABC AED ∆≅∆，得到AC AD =，又因为点F 是CD 的中点，利用等腰三角形的三线合一或全等三角形可得AF CD ⊥．【详解】解：如图，连接AC 、AD，在ABC ∆和AED ∆中，AB AE B E BC ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC AED SAS ∴∆≅∆．AC AD ∴=．ACD ∴∆是等腰三角形．又 点F 是CD 的中点，AF AF CF DF AC AD =⎧⎪∴=⎨⎪=⎩，()ACF ADF SSS ∴∆≅∆，90AFC AFD ∴∠=∠=，AF CD ∴⊥．23．7cm【分析】根据翻折变换的性质可得DE=CD ，BE=BC ，然后求出AE ，再根据三角形的周长列式求解即可．【详解】解：∵BC 沿BD 折叠点C 落在AB 边上的点E 处，∴DE=CD ，BE=BC ，∵AB=8cm ，BC=6cm ，∴AE=AB-BE=AB-BC=8-6=2cm ，∴△ADE 的周长=AD+DE+AE ，=AD+CD+AE ，=AC+AE ，=5+2，=7cm ．24．（1）AB 的长为15cm ；（2）MCN ∠的度数为40︒．【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得AM CM =，CN NB =，可得△CMN 的周长等于线段AB ；（2）根据三角形内角和定理，列式求出MNF NMF ∠+∠，再求出A B ∠+∠，根据等边对等角可得A ACM ∠=∠，B BCN ∠=∠，即可求解．【详解】解：（1）∵DM ，EN 分别垂直平分AC 和BC∴AM CM =，CN NB=∵△CMN 的周长为15cm∴15CM CN MN cm++=∴15AM BN MN cm++=∴15AB cm=AB 的长为15cm（2）由（1）得AM CM =，CN NB=∴A ACM ∠=∠，B BCN∠=∠在MNF 中，70MFN ∠=︒∴110FMN FNM ∠+∠=︒根据对顶角的性质可得：FMN AMD ∠=∠，FNM BNE∠=∠在Rt ADM △中，9090A AMD FMN∠=︒-∠=︒-∠在Rt BNE 中，9090B BNE FNM∠=︒-∠=︒-∠∴909070A B FMN FNM ∠+∠=︒-∠+︒-∠=︒∴70MCA NCB ∠+∠=︒在ABC 中，70A B ∠+∠=︒∴110ACB ∠=︒∴()40MCN ACB MCA NCB ∠=∠-∠+∠=︒25．（1）30°(2)∠CDE=12∠BAD(3)∠CDE=12∠BAD 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠BAD=60°，由于AD=AE ，于是得到∠ADE=60°，根据三角形的内角和即可得到∠CDE=75°﹣45°=30°；（2）设∠BAD=x ，于是得到∠CAD=90°﹣x ，根据等腰三角形的性质得到∠AED=45°+12x ，于是得到结论；（3）设∠BAD=x ，∠C=y ，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=180°﹣2y ，由∠BAD=x ，于是得到∠DAE=y+12x ，即可得到结论．【详解】解：（1）∵AB=AC ，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°，∵∠BAD=60°，∴∠DAE=30°，∵AD=AE ，∴∠AED=75°，∴∠CDE=∠AED=∠C=30°；（2）设∠BAD=x，∴∠CAD=90°﹣x，∵AE=AD，∴∠AED=45°+12x，∴∠CDE=12 x；∴∠CDE=12∠BAD（3）设∠BAD=x，∠C=y，∵AB=AC，∠C=y，∴∠BAC=180°﹣2y，∵∠BAD=x，∴∠DAE=y+12 x，∴12 CDE AED C x ∠=∠-∠=．∴∠CDE=12∠BAD21。
八年级数学上学期期中考试试卷及答案
八年级数学上学期期中考试试卷及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 已知实数 $a$，$b$ 满足 $a^2 + b^2 = 6$，则下列选项中正确的是：A. $a^2 + b^2 \geq 6$B. $a^2 + b^2 \leq 6$C. $a^2 + b^2 = 6$D. $a^2 + b^2 \in [4,8]$2. 已知函数 $f(x) = x^3 - 3x$，则 $f'(x)$ 是：A. $f'(x) = 3x^2 - 3$B. $f'(x) = 3x^2$C. $f'(x) = 3x$D. $f'(x) = 1$3. 下列等式正确的是：A. $\sqrt[3]{27} = 3$B. $\sqrt{9} = 3$C. $\sqrt[4]{64} = 4$D. $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$4. 若 $a$，$b$ 是方程 $x^2 - 4x + 3 = 0$ 的根，则 $a + b$ 的值为：A. $1$B. $2$C. $3$D. $4$5. 已知等差数列的前三项分别为 $a-2$，$a$，$a+2$，则该数列的通项公式为：A. $a_n = 3n-4$B. $a_n = 2n-3$C. $a_n = n^2-3n+2$D. $a_n = 3n^2-4n+2$二、填空题（每题5分，共25分）1. 若 $a$，$b$ 是方程 $x^2 - 2ax + a^2 = 0$ 的根，则 $a^2 +b^2 = ______.$2. 函数 $f(x) = 2x^3 - 6x + 1$ 的导数 $f'(x)$ 在 $x = 1$ 处的值为______.3. 若等差数列的前三项分别为 $2$，$5$，$8$，则该数列的通项公式为 ______.4. 下列等式中正确的是 ______: $\sqrt{36} = 6$，$\sqrt[3]{27} = 3$，$\sqrt{9} = 3$，$\sqrt[4]{64} = 4$.5. 若复数 $z$ 满足 $|z| = 2$，且 $z$ 在复平面内对应的点位于第二象限，则 $z$ 可能的值为 ______.三、解答题（每题10分，共30分）1. 解方程：$2x^2 - 5x + 2 = 0$2. 已知函数 $f(x) = x^3 - 3x$，求 $f'(x)$ 的值。
人教版八年级上册数学期中考试试卷及答案
人教版八年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17B．15C．13D．13或173．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝（）A．180°B．360°C．270°D．540°4．如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为（）A．30°B．36°C．40°D．45°5．如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC＝3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（）A．3：2B．6：4C．2：3D．不能确定6．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．若一个图形上所有点的纵坐标不变，横坐标乘以－1，则所得图形与原图形的关系为（）A．关于x轴成轴对称图形B．关于y轴成轴对称图形C．关于原点成中心对称图形D．无法确定8．如图，将两根钢条AA'，BB'的中点O连在一起，使AA'，BB'可绕点O自由转动，就△≌△的理由是（）做成了一个测量工件，则A B''的长等于内槽宽AB，那么判定OAB OA B''A．边角边B．角边角C．边边边D．角角边9．如图，已知Rt△OAB，∠OAB＝50°，∠AOB＝90°，O点与坐标系原点重合，若点P在x轴上，且△APB是等腰三角形，则点P的坐标可能有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则底角的度数为（）A．60°B．120°C．60°或120°D．60°或30°二、填空题11．如图，C、D点在BE上，∠1=∠2，BD=EC，请补充一个条件：____________，使△ABC ≌△FED ．12．在ABC 中，AB ＝6，AC ＝10，那么中线AD 边的取值范围是___．13．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD=___．14．如图，在△ABC 中，10AB AC ==，120BAC ∠=︒，AD 是△ABC 的中线，AE 是∠BAD 的角平分线，DF//AB 交AE 的延长线于点F ，则DF 的长为______________．15．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=36°，（1）作出AB 边的垂直平分线DE ，交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接BD ；（2）下列结论正确的是：①BD 平分∠ABC ；②AD=BD=BC ；③△BDC 的周长等于AB+BC ；④D 点是AC 中点；16．如图,等腰△ABC 中，AB=AC,∠A=20°,线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠EBC=__________度.17．如图，AD，BE在AB的同侧，AD＝4，BE＝4，AB＝8，点C为AB的中点，若∠DCE ＝120°，则DE的最大值是_____．三、解答题18．如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD．求证：AB=DE．19．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，你就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．（1）如图，请根据下列图形，填写表中空格：正多边形边数3456…n正多边形每个内角的度数（2）如果限于一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？（3）从正三角形、正方形、正六边形中选一种，再在其它正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成一个平面图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．20．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，O为BC的中点，点E、D分别为边AB、AC上的点，且满足OE⊥OD，求证：OE=OD．21．如图，点A、B、C在同一直线上，△ABD，△BCE都是等边三角形．（1）求证：AE=CD；（2）若M，N分别是AE，CD的中点，试判断△BMN的形状，并证明你的结论．22．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．（1）求证：AB＝DC；（2）试判断△OEF的形状，并说明理由．23．如图，线段AB=8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP=∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．（1）求证：△AEP≌△CEP；（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；（3）求△AEF的周长．24．如图，'''，使它与△ABC关于直线l对称；（1）利用网格线画△A B C'''的面积；（2）若每个小正方形的边长为1，请直接写出△A B C（3）若建立直角坐标系后，点A(m－1，3)与点Q(－2，n+1)关于x轴对称，求m2+n的值．25．如图，AC和BD相交于点E，AB//CD，BE=DE．求证：△ABE≌△CDE．26．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求∠APN的度数．参考答案1．B2．A3．B4．B5．A6．C7．B8．A9．D10．D11．AC=DF（或∠A=∠F或∠B=∠E）【解析】【详解】∵BD=CE，∴BD-CD=CE-CD，∴BC=DE，①条件是AC=DF 时，在△ABC 和△FED 中，12AC DF BC DE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABC ≌△FED （SAS ）；②当∠A=∠F 时，12A F BC DE ∠=∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝∴△ABC ≌△FED （AAS ）；③当∠B=∠E 时，12BC DE B E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△FED （ASA ）故答案为AC=DF （或∠A=∠F 或∠B=∠E ）．12．28AD <<【解析】【分析】延长AD 到点E ，使AD DE =，连接CE ，得出ADB EDC ≌，推出6CE AB ==，再根据三角形三边关系定理即可得出答案．【详解】解：如图，延长AD 到点E ，使AD DE =，连接CE，AD 是ABC 中线，BD CD ∴=，在ADB △和EDC △中，AD DE ADB EDC BD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB EDC SAS ∴△≌△，6AB EC ∴==，∵在ACE 中，AC CE AE AC CE -<<+，∴106106AE -<<+，4216AD ∴<<，28AD ∴<<，故答案为：28AD <<．【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．13．2【解析】【分析】过P 点作PE ⊥OB 于E ，如图，根据角平分线的性质得到PE=PD ，再利用平行线的性质得到∠PCE=∠AOB=30°，接着根据含30度的直角三角形三边的关系得到PE=12PC=2，从而得到PD 的长．【详解】解：过P 点作PE ⊥OB 于E，如图，∵∠AOP=∠BOP=15°，∴OP 平分∠AOB ，∠AOB=30°，而PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴PE=PD ，∵PC ∥OA ，∴∠PCE=∠AOB=30°，∴PE=12PC=12×4=2，∴PD=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了含30度的直角三角形的性质和平行线的性质．14．5【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，求出∠DAE=∠EAB=30°，根据平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°，从而得到∠DAE=∠F，根据等角对等边求出AD=DF，求出∠B=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．【详解】解：∵AB=AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×120°=60°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE=∠EAB=12∠BAD=12×60°=30°，∵DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°，∴∠DAE=∠F=30°，∴AD=DF，∵∠B=90°-60°=30°，∴AD=12AB=12×10=5，∴DF=5．故答案为：5．【点睛】本题考查的是含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质是解题的关键．15．（1）详见解析；（2）①②③.【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等）求解即可求得答案,（1）利用线段垂直平分线的作法进而得出即可.(2)由在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,根据等边对等角与三角形内角和定理,即可求得∠ABC 与∠C的度数,又由AB的垂直平分线是DE,根据线段垂直平分线的性质,即可求得AD=BD,继而求得∠ABD的度数,则可知BD平分∠ABC,可得△BCD的周长等于AB+BC,又可求得∠BDC的度数，,求得AD=BD=BC,则可求得答案,注意排除法在解选择题中的应用．【详解】(1)(2)∵在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,∵AB的垂直平分线是DE,∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=36°,∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°=∠ABD,∴BD平分∠ABC,故①正确,∴△BCD的周长为:BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB,故③正确；∵∠DBC=36°,∠C=72°,∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°,∴∠BDC=∠C,∴BD=BC,∴AD=BD=BC,故②正确；∵BD＞CD,∴AD＞CD,∴点D不是线段AC的中点,故④错误,故答案为:①②③.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质,线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识,解决本题的关键是注意数形结合思想的应用,注意等腰三角形的性质与等量代换．16．60°.【解析】【分析】先根据△ABC中，AB=AC，∠A=20°求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线的性质可求出AE=BE，即∠A=∠ABE=20°即可解答．【详解】解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°，∴∠ABC=180-202=80°，∵DE是线段AB垂直平分线的交点，∴AE=BE，∠A=∠ABE=20°，∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=80°-20°=60°．故填：60°．【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．17．12【解析】【分析】如图，作点A关于直线CD的对称点M，作点B关于直线CE的对称点N，连接DM，CM，CN，MN，NE．证明△CMN是等边三角形，再根据DE≤DM+MN+EN，当D，M，N，E 共线时，DE的值最大．【详解】解：如图，作点A关于直线CD的对称点M，作点B关于直线CE的对称点N，连接DM，CM，CN，MN，NE．由题意AD＝EB＝4，AC＝CB＝4，DM＝CM＝CN＝EN＝4，∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC，∵∠DCE＝120°，∴∠ACD+∠BCE＝60°，∵∠DCA＝∠DCM，∠BCE＝∠ECN，∴∠ACM+∠BCN＝120°，∴∠MCN＝60°，∵CM＝CN＝4，∴△CMN是等边三角形，∴MN＝4，∵DE≤DM+MN+EN，∴DE≤12，∴当D，M，N，E共线时，DE的值最大，最大值为12，故答案为：12．【点睛】本题考查轴对称的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决问题，属于中考填空题中的压轴题．18．见详解【解析】【分析】先根据条件求出BC=EF，根据平行线性质求出∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，根据ASA推出△ABC≌△DEF即可．【详解】∵FB＝CE，∴FB+FC=FC+CE ，即BC=FE ，又∵AB ∥ED ，AC ∥FD ，∴∠B=∠E ，∠ACB=∠DFE ，在△ABC 和△DEF 中，B E BC FE ACB DFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）∴AB=DE ．【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理论证能力．19．（1）60°，90°，108°，120°，…（n-2）•180°÷n ；（2）正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形；（3）答案见详解．【解析】【分析】（1）利用正多边形一个内角=180°-360n°求解；（2）进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为360°，因此我们只需验证360°是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍；（3）常见的两种正多边形的密铺组合有：正三角形和正四边形能密铺，正六边形只能和正三角形密铺．所以要从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，只能选择正四边形．【详解】解：（1）由正n 边形的内角的性质可分别求得正三角形、正方形、正五边形、正六边形…正n 边形的每一个内角为：60°，90°，108°，120°，…（n-2）•180°÷n ，故答案为60°，90°，108°，120°，…，()2180n n -∙︒；（2）如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于360°得正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形；（3）正方形和正八边形（如下图所示），理由：设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，那么m，n应是方程m·90＋n·135＝360的正整数解，即2m＋3n＝8的正整数解，只有12mn=⎧⎨=⎩一组，∴符合条件的图形只有一种．【点睛】本题主要考查了多边形内角和的知识点，求正多边形一个内角度数，可先求出这个外角度数，让180减去即可．一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°；两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．20．见解析．【分析】连接AO，证明△BEO≌△ADO即可．【详解】证明：如图，连接AO，∵∠BAC=90°，AB=AC，O为BC的中点，∴AO=BO，∠OAD=∠B=45°，∵AO⊥BO，OE⊥OD，∴∠AOE+∠BOE=∠AOE+∠AOD=90°，∴∠AOD＝∠BOE，∴△AOD≌△BOE，∴OE=OD．本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ．21．（1）证明见解析；（2）△MBN 是等边三角形．【解析】【分析】(1)利用SAS 证明△AOC ≌△BOD ，则有AE ＝CD ；(2)由△ABE ≌△DBC ，可证△ABM ≌△DBN ，从而得BM ＝BN ，∠MBN ＝60°.【详解】(1)证明：∵△ABD 、△BCE 都是等边三角形，∴AB ＝BD ，BC ＝BE ，∠ABD ＝∠CBE ＝60°，∴∠ABD ＋∠DBE ＝∠DBE ＋∠CBE 即∠ABE ＝∠DBC ，∴在△ABE 和△DBC 中，AB DBABE DBC BE BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ABE ≌△DBC(SAS)．∴AE ＝CD ．(2)解：△MBN 是等边三角形，理由如下：∵△ABE ≌△DBC ，∴∠BAE ＝∠BDC ．∵AE ＝CD ，M 、N 分别是AE 、CD 的中点，∴AM ＝DN ；又∵AB ＝DB ．∴△ABM ≌△DBN ．∴BM ＝BN ，∠ABM ＝∠DBN ．∴∠DBM ＋∠DBN ＝∠DBM ＋∠ABM ＝∠ABD ＝60°．∴△MBN 是等边三角形．22．（1）证明见解析（2）等腰三角形，理由见解析【详解】证明：（1）∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE ．又∵∠A ＝∠D ，∠B ＝∠C ，∴△ABF ≌△DCE （AAS ），∴AB ＝DC ．（2）△OEF 为等腰三角形理由如下：∵△ABF ≌△DCE ，∴∠AFB=∠DEC ．∴OE=OF ．∴△OEF 为等腰三角形．23．（1）见解析；（2）CF ⊥AB ，理由见解析；（3）16【解析】【分析】（1）四边形APCD 正方形，则PD 平分∠APC ，PC=PA ，∠APD=∠CPD=45°，即可求解；（2）由△AEP ≌△CEP ，则∠EAP=∠ECP ，而∠EAP=∠BAP ，则∠BAP=∠FCP ，又∠FCP+∠CMP=90°，则∠AMF+∠PAB=90°即可求解；（3）过点C 作CN ⊥BG ，垂足为N ，证明△PCN ≌△APB （AAS ），则CN=PB=BF ，PN=AB ，即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形APCD 为正方形∴PD 平分∠APC ，∠APC=90°，PC=PA∴∠APD=∠CPD=45°在△AEP 和△CEP 中，EP EP EPC EPAPC PA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEP ≌△CEP(SAS)（2）CF ⊥AB ．理由如下：∵△AEP≌△CEP，∴∠EAP=∠ECP∵∠EAP=∠BAP∴∠BAP=∠FCP∵∠FCP+∠CMP=90°，∠AMF=∠CMP ∴∠AMF+∠PAB=90°∴∠AFM=90°∴CF⊥AB（3）过点C作CN⊥BG，垂足为N∵CF⊥AB，BG⊥AB∴四边形BFCN为矩形，FC∥BN∴∠CPN=∠PCF=∠EAP=∠PAB又AP=CP，∠ABP=∠CNP=90°∴△PCN≌△APB(AAS)∴CN=PB=BF，PN=AB∵△AEP≌△CEP∴AE=CE∴AE+EF+AF=CE+EF+AF=BN+AF=PN+PB+AF=AB+BF+AF=2AB=16【点睛】本题为四边形综合题，涉及到正方形的性质、三角形全等等知识点，其中（3），证明△PCN ≌△APB （AAS ），是本题的关键．24．（1）见解析；（2）2；（3）-3．【解析】【分析】（1）根据成轴对称图形的性质画出图象即可；（2）用割补法求出三角形的面积；（3）根据点A 与点Q 的对称关系，求出m ，n 的值，再计算最后结果．【详解】（1）如图为所作，略；（2）111232213112222A B C S '''=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=△；（3）∵点A(m －1，3)与点Q(－2，n+1)关于x 轴对称∴m －1=－2，n+1=－3解得m=－1，n=－4∴m 2+n 的=(－1)2+(－4)=－3．【点睛】本题考查了轴对称图形的画法及面积计算，坐标计算，熟知轴对称图形的性质是解题的关键．25．见解析【解析】【分析】先观察要证的线段分别在哪两个三角形，再证出全等即可．【详解】证明：∵AB ∥CD ，∴∠B=∠D ，∠A=∠C ，在△ABE 和△CDE 中，∠B=∠D ，∠A=∠C ，BE=DE ，∴△ABE ≌△CDE （AAS ）．【点睛】本题考查全等三角形的全等的判定问题，关键掌握全等三角形的证明方法，一般采用证三角形全等来证线段或角相等，这是一种很重要的方法．26．（1）证明见解析；（2）∠APN 的度数为108°．【解析】【分析】（1）利用正五边形的性质得出AB=BC ，∠ABM=∠C ，再利用全等三角形的判定得出即可；（2）利用全等三角形的性质得出∠BAM+∠ABP=∠APN ，进而得出∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC 即可得出答案．【详解】证明：（1）∵正五边形ABCDE ，∴AB=BC ，∠ABM=∠C ，∴在△ABM 和△BCN 中AB BC ABM C BM CN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM ≌△BCN （SAS ）；（2）∵△ABM ≌△BCN ，∴∠BAM=∠CBN ，∵∠BAM+∠ABP=∠APN ，∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC=()521805-⨯ =108°．即∠APN 的度数为108°．。
2024年北京昌平一中初二(上)期中数学试题及答案
2024北京昌平一中初二（上）期中数 学2024.10本试卷共4 页，4 道大题，29 个小题，满分110 分。
考试时间 120 分钟。
考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，请交回答题卡。
一.选择题（共8道小题，每小题2分，共16分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1. 9的算术平方根是（A ）3 （B ）±3 （C ）81 （D ）±81 2．若分式32aa −有意义，则a 的取值范围是 （A ）a ≠2（B ）a ≠0 （C ）a ＜2（D ）a ≥23．下列计算错误．．的是（A ）3=− （B ===4．若将分式32xx y+中的x ，y 都扩大10倍，则分式的值（A ）不改变 （B ）缩小为原来的110（C ）缩小为原来的1100（D ）扩大为原来的10倍 5．下列各式从左到右变形正确的是（A ）11n n m m +=+ （B ） 22n n m m = （C ） n m n m m n mn −−= （D ）2362x x x =6．x成立的条件是 （A ）0≤x ＜6 （B ） 0≤x ≤ 6 （C ）x ≥6 （D ）x ＞6且x ≠07是同类二次根式，则a 的平方根是（A ）a =2（B ）a =±2（C ）（D ）±8．对于分式x nx m−−（,m n 为常数），若当0≥x 时，该分式总有意义；当0x =时，该分式的值为负数. 则,m n 与0的大小关系正确的是（A ）0n m << （B ）0m n << （C ）0m n << （D ）0n m << 二.填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9．有意义，则实数a 的取值范围是 ． 10．若分式121xx −+的值为0，则x = . 11．比较大小：（填“>”，“=”或“<”）．12．已知a ，b 是有理数，且满足()210a +=． 那么a b = . 13．关于x 的方程2111ax x =+−−（a 为常数）无解，则a= .14．实数m 的结果为 ．15．如图所示，点F 、O 、D 、A 是数轴上四个点，O 与原点重合，边长为3的正方形OABC 被分成形状、大小完全相同的四个直角三角形和一个小正方形，OD =2，DE =DF .则小正方形的边长DE = ，点F 表示的数是 ．16.北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中曾记载了宋代行军时的后勤供应情况：人负米六斗，卒自携一斗，人食日二升．其大意为，在行军过程中，民夫可以背负六斗（60升）米，士兵可以自己背一斗（10升）米，民夫（士兵）每人一天行军会消耗2升米．若每个士兵雇佣4个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的米支持行军的天数为天；若每个士兵雇佣n 个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的米支持行军的天数为 （用含有n 的代数式表示）.三.解答题（本题共13道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分）17−.18.计算：2）+−. 19．计算：（1）23122x x x x −−−−−. （2）22.y x y x y⋅÷（） 20．计算：221.42x x x+−− 21.解方程：12.3x x =+m22.解方程：31.11x x x +=−+23.学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：22111x x −−−，甲、乙两位同学的解答过程分别如下：老师发现这两位同学的解答过程都有错误．请你从两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． （1）我选择 同学的解答过程进行分析；（填“甲”或“乙”） （2）该同学的解答从第 步开始出现错误；（填序号） （3）请写出正确解答过程． 24.已知x y ==，求代数式x 2-3xy+y 2的值.25.已知2340m m +−=，求代数式253222m m m m m−⎛⎫+−÷ ⎪−−⎝⎭的值． 26. 列方程解应用题.随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传：根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量.27.小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律．= ==，=== =，= （填写运算结果）． （2）观察、归纳，得出猜想．如果n 为正整数，用含n 的式子表示上述的运算规律为： ． （3）证明你的猜想． （4）应用运算规律．= ；=（a ，b 均为正整数），则a b +的值为 ． 28. 我们已经学过()()()2---,x a x b x a b x ab =++如果关于x 的分式方程满足abx a b x+=+（a ,b 分别为非零整数），且方程的两个跟分别为12=,x a x b =. 我们称这样的方程为“十字方程”. 例如：2=3x x +可化为1212=3x x⨯+=+ ∴12=1,2x x = 再如：6=-5x x+可化为()()-2-3-2-3=-5x x ⨯+= ∴12=-2,-3x x = 应用上面的结论解答下列问题： （1）“十字方程”8-6x x+=，则12= , x x =; （2）“十字方程”2--1x x=的两个解分别为12,x a x b ==，求11a b +的值；（3）关于x 的 “十字方程”2243n nx n x ++=+−的两个解分别为1212,()x x x x <，求211x x +的值. 四、附加题（10分）29. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a ＞0，b ＞0时，∵（a －b ）2＝a －2ab ＋b ≥0，∴a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）当x ＞0时，x ＋x 1的最小值为 ；当x ＜0时，x ＋x1的最大值为 ； （2）当x ＞0时，求当x 取何值，y ＝xx x 1632++有最小值，最小值是多少？（3）如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，则四边形ABCD 的面积的最小值为 .C参考答案一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）2−＝. ………………………………………………………5分18. 解：原式 33−⨯＝ ………………………………………………3分 ＝4 ……………………………………………………4分 ＝…………………………………………………5分19. 解：（1）原式=2312x x x −−−−（）（）=2312x x x −−+−…………………………………………… 1分=22x x −−=1 ……………………………………………2分（2）原式=2221y x x y y ⋅⋅……………………………………… 4分 2.x =…………………………………………………5分 20. 21(2)(2)2x x x x =−+−−原式 ……………………………… 1分22(2)(2)(2)(2)x x x x x x +=−+−+− ……………………………… 2分222)(2)x x x x −−=+−（ ……………………………………………… 3分 2(2)(2)x x x −=+− ……………………………………………… 4分1.2x =+ ……………………………………………… 5分 21.解：去分母，得： x + 3= 2x ……………………………………2分 移项，得： x - 2x = - 3合并同类项，得： -x = -3 ………………………………………3分 系数化1，得： x = 3. ……………………………………………4分 经检验：x = 3是原方程的解. ………………………………………… 5分 ∴原方程的解是x = 3．22．解：去分母，得： x （x +1）+3（x -1）= （x +1）（x -1） …………………1分 去括号，得： x 2+x +3x -3= x 2-1 ……………………2分 移项并合并同类项，得： 4x = 2 ……………………………3分 系数化为1，得： 12x = . ……………………… 4分 经检验：12x =是原方程的解. …………………………………………… 5分 ∴原方程的解是12x =． 23．解：（1）甲（或乙）． ………………………………1分 （2）②（或③）． …………………………………………………2分 （3） 22111x x −−−()()21111x x x =−+−−()()()()211111x x x x x +=−+−+−…………………………3分()()2111x x x −−=+−…………………………………………4分()()111x x x −=+−…………………………………………5分11x =−+ ………………………………………………6分24．解：（解法1）∵x y==x y−=−∴…………………………1分.xy=∴=1…………………………2分2222()317.x y xx xy yy=−=−=−+∴-（…………………………4分…………………………6分（解法2）∵x y==225x==+∴…………………………2分225y=−=−∴…………………………4分.xy=∴=1…………………………5分2253573.x xy y=++−−+=∴…………………………6分25.解：原式2245223m m mm m−−−=⋅−−…………………………………………2分()()()33223m m m mm m+−−=⋅−−……………………………………………4分23m m=+…………………………………………………5分∵2340m m+−=，∴234m m+=，∴原式4=…………………………………………6分26.解：设新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为(20)x−吨. ………………………1分根据题意，得96072020x x=−……………………………………3分解得80x=. …………………………………4分检验：当80x =时，(20)0x x −≠且符合实际问题的意义. ……………………………5分 所以，所列分式方程的解为80x =.答：新型机器人每天搬运的货物量为80吨. …………………………6分27．（1） ………………………… 1分（2=n 为正整数）． ………………………… 3分（3）证明：左边==∵n 为正整数，∴左边== ………………………… 5分又∵右边= ∴左边=右边．=． （4）①20；②57． ………………………… 7分 28.（1）1x =-2, 2x =-4; ……………………………… 2分 (2)解： ∵21x x−=− ∴21x x−+=− ∴1(2)1(2)1x x⨯−+=+−=− ∴11x a ==，22x b ==−∴111122a b a b ab +−+===− ……………………………… 4分 （3）解：∵2243n n x n x ++=+−为关于x 的“十字方程”∴2(3)213n nx n x +−+=+−∴(1)(3)(1)3n n x n n x +−+=++−∴3x n −=或31x n −=+ ……………………………… 6分 ∵12x x <∴13x n =+或24x n =+ ∴214411314x n n x n n ++===++++ ……………………………… 7分 四、附加题（10分）29.（1）2；-2； ……………………………… 4分（2）y ＝2316163,x x x x x ++=++ ……………………………… 6分 ∵x ＞0163311,x x ++=∴≥∴当x =4时y 的最小值为11. ……………………………… 8分（3）25.……………………………… 10分。
2023-2024学年北京市第八中学八年级上学期期中考试数学试卷含详解精选全文完整版
北京八中2023—2024学年度第一学期期中练习题年级：初二科目：数学一、选择题（每题2分，共20分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个．．．．是正确的．1.下面四个图形中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列运算正确的是（）A.336x x x += B.2510x x x ⋅= C.()3666x x = D.()22422x x =3.如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（）A.ASAB.AASC.SASD.SSS4.下列说法错误．．的是（）A.直角三角形两锐角互余B.直角边、斜边分别相等的两个直角三角形全等C.如果两个三角形全等，则它们一定是关于某条直线成轴对称D.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上5.如图，已知DBE BCA ≌△△，85DBE C =∠=︒∠，55BDE ∠=︒，则EBC ∠的度数等于（）A.30︒B.25︒C.35︒D.40︒6.使()()2x p x -+展开整理后不含x 项，则p 的值为（）A.1B.2C.3D.47.如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B ，C 所在直线为x 轴、队形的对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系．若飞机E 的坐标为(40，a )，则飞机D 的坐标为（）A.(40,)a -B.(40,)a -C.(40,)a -- D.(,40)a -8.已知2x a ab =-，2y ab b =-，x 与y 的大小关系是（）A.x y≥ B.x y≤ C.x y< D.x y>9.在ABC 中，5AC =，中线4=AD ，那么边AB 的取值范围为（）A .19AB << B.313AB << C.513AB << D.913AB <<10.甲、乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流ABC 及A B C ''' 对应的边或角添加等量条件（点A '，B '，C '分别是点A ，B ，C 的对应点），某轮添加条件后，若能判定ABC 与A B C ''' 全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．轮次行动者添加条件1甲2cmAB A B ''==2乙4cmBC B C ''==3甲…上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是（）①若第3轮甲添加5cm AC A C ''==，则乙获胜；②若甲想获胜，第3轮可以添加条件30C C '==︒∠∠：③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为90A A '∠=∠=︒．A.①②B.①③C.②③D.①②③二、填空题（每题3分，共24分）11.计算：()01π-=_____．12.若一个多边形的内角和等于1260°，它是_____边形，从这个多边形的一个顶点出发共有_____条对角线．13.已知3m a =，4n a =，则2m n a +的值是_________．14.如图，将一把含有45︒角的三角尺的直角顶点放在一张宽3cm 的纸带边沿上，另一个顶点放在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一直角边与纸带的一边所在的直线成30︒，则三角尺的直角边的长为______cm ．15.等腰三角形的一个内角为50︒，则它的顶角的度数为___________．16.如图，6cm AB AC ==，DB DC =，若60ABC ∠=︒，则BE =______cm ．17.如图，在ABC 中，,||AB AC AB CD =，过点B 作BE AC ⊥于E ，BD CD ⊥于D ，8,3,CD BD ABE == 的周长为_________．18.已知在长方形纸片ABCD 中，6AB =，5AD =，现将两个边长分别为a 和b 的正方形纸片按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片中均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为1S ，图2中阴影部分的面积为2S ；若213-=S S 时，则1b -值为______．三、解答题（19题每题4分，共16分；20，21，23每题6分，22题5分；24题8分；25题9分；解答题共56分）．19.计算（1）()22124a babc -⋅；（2）()()325n n -+；（3）()()22x y x y ----；（4）()()32222362x y x y xy xy -+÷．20.先化简，再求值：2(21)6(1)(32)(32)a a a a a -++-+-，其中2220230a a +-=．21.如图，在△ABC 和△CED 中，AB ∥CD ，AB =CE ，AC =CD .求证：∠B =∠E .22.作图并填空．在ABC 中，（1）利用尺规作出BC 的垂直平分线，交BC 于D ，连接AD ；（2）画出ADC △的高CH ，CH 与BD 的大小关系为______；（3）画出ADC △的角平分线DM 交AC 点M ，若60ABC S =△，10DCM S =△，设AD a =，DC b =，则:a b =______．23.如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC 三个顶点分别为()2,6A -，()5,1B -，()3,1C ．点B 与点C 关于直线l 对称（1）画出直线l ，写出点A 关于l 的对称点A '坐标；（2）则A BC ' 的面积为______；（3）若点P 在直线l 上，90BPC ∠=︒，直接写出点P 坐标．24.如图，ABC 是等边三角形，D 为BC 的中点，BE AB ⊥交AD 的延长线于点E ，点F 在AE 上，且AF BE =，连接CF 、CE ．求证：（1）ACF BCE ∠=∠：（2）CF EF =．25.如图，在ABC 中，120180BAC ︒<<︒，AB AC =．AD BC ⊥于点D ．以AC 为边作等边ACE △，直线BE 交直线AD 于点F ．连接CF 交AE 于M ．（1）求证：FEA FCA ∠=∠：（2）探索FE ，FA ，FC 之间的数量关系，并证明你的结论．四、附加题（26题4分，27题6分，共10分）26.小明同学用四张长为x ，宽为y 的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）．（1）通过计算小正方形面积，可推出()2x y +，xy ，()2x y -三者之间的等量关系式为______；（2）利用（1）中的结论，试求：当()()3002001996x x --=时，求()22500x -的值．27.在平面直角坐标系xOy 中，若点P 和点1P 关于y 轴对称，点1P 和点2P 关于直线l 对称，则称点2P 是点P 关于y 轴、直线l 的“二次对称点”．（1）已知点()A 3,5，直线l 是经过()0,2且平行于x 轴的一条直线，点A '为点A 关于y 轴，直线l 的“二次对称点”，则点A '的坐标为______；（2）如图1，正方形ABCD 的顶点坐标分别是()0,1A ，()0,3B ，()2,3C ，()2,1D ；点E 的坐标为()1,1，若点M 为正方形ABCD （不含边界）内一点，点M '为点M 关于y 轴，直线OE 的“二次对称点”，则点M '的横坐标x 的取值范围是______；（3）如图2，(),0T t （0t ≥）是x 轴上的动点，线段RS 经过点T ，且点R 、点S 的坐标分别是(),1R t ，(),1S t -，直线l 经过()0,1且与x 轴夹角为60︒，在点T 的运动过程中，若线段RS 上存在点N ，使得点N '是点N 关于y 轴，直线l 的“二次对称点”，且点N '在y 轴上，则点N '纵坐标y 的取值范围是______．北京八中2023—2024学年度第一学期期中练习题年级：初二科目：数学一、选择题（每题2分，共20分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个．．．．是正确的．1.下面四个图形中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．【详解】∵不是轴对称图形，∴A 不符合题意；∵不是轴对称图形，∴B 不符合题意；∵不是轴对称图形，∴C 不符合题意；∵是轴对称图形，∴D 符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了轴对称图形即沿直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，熟记定义是解题的关键．2.下列运算正确的是（）A.336x x x +=B.2510x x x ⋅= C.()3666x x = D.()22422x x =【答案】C【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方．根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，积的乘方法则进行判断即可．【详解】解：A 、33362x x x x +=≠，选项错误，不符合题意；B 、21075x x x x ⋅=≠，选项错误，不符合题意；C 、()3666x x =，选项正确，符合题意；D 、()2244242x x x =≠，选项错误，不符合题意．故选：C ．3.如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（）A.ASAB.AASC.SASD.SSS【答案】A【分析】根据图形可知两角及夹边是已知条件即可判断．【详解】解：由图可知，左下角和右下角可测量，为已知条件，两角的夹边也可测量，为已知条件，故可根据ASA 得到与原图形全等的三角形，故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的的判定定理，掌握全等三角形的的判定定理是关键．4.下列说法错误．．的是（）A.直角三角形两锐角互余B.直角边、斜边分别相等的两个直角三角形全等C.如果两个三角形全等，则它们一定是关于某条直线成轴对称D.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上【答案】C【分析】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定．根据直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定等知识，一一判断即可．【详解】解：A 、直角三角形两锐角互余，故A 不符合题意；B 、直角边、斜边分别相等的两个直角三角形全等，故B 不符合题意；C 、如果两个三角形全等，则它们不一定是关于某条直线成轴对称，故C 符合题意；D 、与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故D 不符合题意．故选：C ．5.如图，已知DBE BCA ≌△△，85DBE C =∠=︒∠，55BDE ∠=︒，则EBC ∠的度数等于（）A.30︒B.25︒C.35︒D.40︒【答案】A【分析】本题考查三角形全等的性质、三角形内角和的应用，根据DBE BCA ≌△△可得55ABC BDE ∠=∠=︒，再根据DBE ABC EBC =∠-∠∠即可求解．【详解】解：∵DBE BCA ≌△△，∴55ABC BDE ∠=∠=︒，∵85DBE C =∠=︒∠，∴30DB EBC E ABC -∠=︒∠=∠，故选：A ．6.使()()2x p x -+展开整理后不含x 项，则p 的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【分析】本题主要考查多项式乘多项式．根据多项式乘多项式的运算法则可进行把含x 的多项式进行展开，然后再根据题意可求解．【详解】解：()()()2222222x p x x px x p x p x p -+=-+-=+--，∵展开后不含x 项，∴20p -=，解得：2p =；故选：B ．7.如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B ，C 所在直线为x 轴、队形的对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系．若飞机E 的坐标为(40，a )，则飞机D 的坐标为（）A.(40,)a -B.(40,)a -C.(40,)a --D.(,40)a -【答案】B【分析】直接利用关于y 轴对称，纵坐标相同，横坐标互为相反数，进而得出答案．【详解】解：根据题意，点E 与点D 关于y 轴对称，∵飞机E 的坐标为(40，a )，∴飞机D 的坐标为(-40，a )，故选：B ．【点睛】此题主要考查了关于y 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．8.已知2x a ab =-，2y ab b =-，x 与y 的大小关系是（）A.x y ≥B.x y≤ C.x y< D.x y>【答案】A【分析】本题主要考查完全平方公式、比较大小．利用作差法即可比较大小关系．【详解】解：已知2x a ab =-，2y ab b =-，则()22a a x yb ab b-=---22a ab ab b =-+-()20a b =-≥，所以x y ≥．故选：A ．9.在ABC 中，5AC =，中线4=AD ，那么边AB 的取值范围为（）A.19AB <<B.313AB << C.513AB << D.913AB <<【答案】B【分析】作辅助线（延长AD 至E ，使4DE AD ==，连接BE ）构建全等三角形BDE ADC △≌△，然后由全等三角形的对应边相等知5BE AC ==；而三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，据此可以求得AB 的取值范围．【详解】解：延长AD 至E ，使4DE AD ==，连接BE ，则8AE =，∵AD 是边BC 上的中线，D 是中点，∴BD CD =，又∵,DE AD BDE ADC =∠=∠，∴()BDE ADC SAS ≌，∴5BE AC ==，由三角形三边关系，得AE BE AB AE BE -<<+，即8585AB -<<+，∴313AB <<．故选：B ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，解题关键是正确作出辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质判定对应线段相等．10.甲、乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流ABC 及A B C ''' 对应的边或角添加等量条件（点A '，B '，C '分别是点A ，B ，C 的对应点），某轮添加条件后，若能判定ABC 与A B C ''' 全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．轮次行动者添加条件1甲2cm AB A B ''==2乙4cm BC B C ''==3甲…上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是（）①若第3轮甲添加5cm AC A C ''==，则乙获胜；②若甲想获胜，第3轮可以添加条件30C C '==︒∠∠：③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为90A A '∠=∠=︒．A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理逐一分析判断即可．【详解】解：①∵如果甲添加5cm AC A C ''==，又∵2cm AB A B ''==，4cm BC B C ''==，∴()SSS ABC A B C '''△≌△，∴乙获胜，故结论①正确；②∵如果甲添加30C C '==︒∠∠，又12AB BC =，反证法，假设90CAB ∠≠︒，那么在AC 上存在另一点D ，使得∠90CDB =︒，则在Rt CDB △中30︒角的对边为斜边的一半，即是12cm 2BD BC ==，又因为一点到直线的垂直线段长度最短，且交点唯一，那么A 与D 应重合，90CDB CAB ∠=∠=︒，∴ABC 是直角三角形，且90A ∠=︒，∴这两个三角形的三边长度就确定下来，且必然对应相等，∴这两个三角形全等，故甲会输，故结论②错误，③如果第二轮条件修改为90A A '∠=∠=︒，则第3轮甲无论添加任何对应的边或角的等量条件，都能判定A ABC B C '''≌△△，则甲失败，乙获胜，故说法正确，符合题意．故选：B ．二、填空题（每题3分，共24分）11.计算：()01π-=_____．【答案】1【分析】根据零指数幂的意义即可求出答案．【详解】∵10π-≠，∴()011π-=，故答案为1.【点睛】本题考查零指数幂的意义，解题的关键是熟练运用零指数幂的意义，本题属于基础题型．12.若一个多边形的内角和等于1260°，它是_____边形，从这个多边形的一个顶点出发共有_____条对角线．【答案】①.九②.27【分析】根据多边形内角和公式得到多边形边数，根据多边形对角线的条数的计算公式进行计算即可得到答案.【详解】设这个多边形的边数为n ，∴（n ﹣2）×180°＝1260°，解得n ＝9，∴这个多边形为九边形；∴对角线的条数＝(93)92-⨯＝27条．故答案为九；27【点睛】本题考查多边形内角和、多边形对角线的条数，解题的关键是掌握多边形内角和、多边形对角线的条数的计算.13.已知3m a =，4n a =，则2m n a +的值是_________．【答案】36【分析】根据()222m n m n mn a a a a a +==g g 求解即可得到答案．【详解】解：∵3m a =，4n a =∴()()22223436m n m n mn a a a a a +===⨯=g g ，故答案为：36．【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解．14.如图，将一把含有45︒角的三角尺的直角顶点放在一张宽3cm 的纸带边沿上，另一个顶点放在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一直角边与纸带的一边所在的直线成30︒，则三角尺的直角边的长为______cm ．【答案】6【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质．如图，作AH CD ⊥于H ，根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：如图，作AH CD ⊥于H ，∵三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30︒角，即30ACH ∠=︒，3cm AH =，∴等腰直角三角形的直角边()26cm BC AC AH ===，故答案为：6．15.等腰三角形的一个内角为50︒，则它的顶角的度数为___________．【答案】80︒或50︒【分析】分50︒的内角是等腰三角形的底角或顶角两种情况，利用三角形内角和定理求解．【详解】解：当50︒的内角是等腰三角形的底角时，它的顶角的度数为：180505080︒-︒-︒=︒；当50︒的内角是等腰三角形的顶角时，它的底角的度数为：()118050652⨯︒-︒=︒，符合要求；故答案为：80︒或50︒．【点睛】本题考查等腰三角形的定义、三角形内角和定理，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解．16.如图，6cm AB AC ==，DB DC =，若60ABC ∠=︒，则BE =______cm ．【答案】3【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质；先根据AB AC =，DB DC =，得AD 是BC 的垂直平分线，进而证明ABC 是等边三角形，即可求解．【详解】解：∵AB AC =，DB DC =，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴AD BC ⊥，BE CE =，∵60ABC ∠=︒，AB AC =，∴60ACB ∠=︒，∴60BAC ∠=︒，∴ABC 是等边三角形，∴6cm BC AB AC ===，∴13cm 2BE BC ==，故答案为：3．17.如图，在ABC 中，,||AB AC AB CD =，过点B 作BE AC ⊥于E ，BD CD ⊥于D ，8,3,CD BD ABE == 的周长为_________．【答案】11【分析】根据角平分线的性质得出BE BD =，再证明Rt Rt (HL)BEC BDC ≌，得出CE CD =即可求解．【详解】解：∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，∵||AB CD ，∴ABC BCD ∠=∠，∴BCD ACB ∠=∠，∴CB 平分ACD ∠，∵BD CD ⊥，BE AC ⊥，∴BE BD =，∵BC BC =，∴Rt Rt (HL)BEC BDC ≌，∴CE CD =，∵ABE 的周长AE BE AB =++，∵AB AC =，即ABE 的周长=CA AE BE CE BE CD ++=+=8311BD +=+=，故答案为：11．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．18.已知在长方形纸片ABCD 中，6AB =，5AD =，现将两个边长分别为a 和b 的正方形纸片按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片中均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为1S ，图2中阴影部分的面积为2S ；若213-=S S 时，则1b -值为______．【答案】2【分析】本题主要考查整式的混合运算的实际应用．利用面积的和差关系，分别表示出1S 和2S ，再表示出21S S -，结合213-=S S ，即可求解．【详解】∵四边形ABCD 是长方形，∴6AB CD ==，5AD BC ==，∵2216(5)()(6)30666306S a a b a a a b a ab b a ab =-+--=-+--+=--+，225(6)()(5)30555S a a b a a a b a ab =-+-⋅-=-+--+，∵213-=S S ，∴()212230555306S b S -+--=----++2230555306a a b a ab b a ab=-+--+-++-b =，∵213-=S S ，∴3b =，∴12-=b ．故答案是：2．三、解答题（19题每题4分，共16分；20，21，23每题6分，22题5分；24题8分；25题9分；解答题共56分）．19.计算（1）()22124a b abc -⋅；（2）()()325n n -+；（3）()()22x y x y ----；（4）()()32222362x y x y xy xy -+÷．【答案】（1）53a b c（2）231310n n +-（3）2244x xy y ++（4）2332x y xy -+【分析】本题考查了整式的混合运算．（1）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可；（2）利用多项式乘多项式的运算法则即可求解．（3）利用完全平方公式计算即可；（4）利用多项式除单项式的运算法则即可求解．【小问1详解】解：()22124a b abc -⋅24144a b abc =⋅53a b c =；【小问2详解】解：()()325n n -+2321510n n n -+-=231310n n =+-；【小问3详解】解：()()22x y x y ----()22x y =--2244x xy y =++；【小问4详解】解：()()32222362x y x y xy xy -+÷()()()3222223262x y xy x y xy xy xy =÷-÷+÷2332x y xy =-+．20.先化简，再求值：2(21)6(1)(32)(32)a a a a a -++-+-，其中2220230a a +-=．【答案】225a a ++，2028【分析】此题主要考查了整式的混合运算－化简求值．直接利用乘法公式以及整式的混合运算法则化简，再利用已知变形代入即可．【详解】解：2(21)6(1)(32)(32)a a a a a -++-+-2224416694a a a a a =-+++-+，225a a =++，∵2220230a a +-=，∴222023a a +=，∴原式202352028=+=．21.如图，在△ABC 和△CED 中，AB ∥CD ，AB =CE ，AC =CD .求证：∠B =∠E .【答案】证明见解析.【详解】试卷分析：根据AB//CD 得出∠DCA=∠CAB ，结合AB=CE ，AC=CD 得出△CAB ≌△DCE ，从而得出答案.试卷解析：∵AB//CD ，∴∠DCA=∠CAB 又∵AB=CE ，AC=CD ，∴△CAB ≌△DCE ∴∠B=∠E.考点：（1）平行线的性质；（2）三角形全等的判定与性质22.作图并填空．在ABC 中，（1）利用尺规作出BC 的垂直平分线，交BC 于D ，连接AD ；（2）画出ADC △的高CH ，CH 与BD 的大小关系为______；（3）画出ADC △的角平分线DM 交AC 点M ，若60ABC S =△，10DCM S =△，设AD a =，DC b =，则:a b =______．【答案】（1）见解析（2）CH BD<（3）2:1【分析】本题考查了作图−基本作图，角平分线的性质．（1）利用基本作图，作BC 的垂直平分线；（2）根据斜边大于直角边以及线段中点的意义即可求解；（3）作ME CD ⊥于点E ，MF AD ⊥于点F ，利用角平分线的性质求得ME MF =，利用面积法即可求解．【小问1详解】解：如图，直线l 为所作；【小问2详解】解：ADC △的高CH 如图所示，∵CH DH ⊥，∴90H ∠=︒，∴CH CD <，∵BC 的垂直平分线，交BC 于D ，∴BD CD =，∴CH BD <，故答案为：CH BD <；【小问3详解】解：ADC △的角平分线DM 如图所示，作ME CD ⊥于点E ，MF AD ⊥于点F，∵BD CD =，60ABC S =△，∴1302ADC ABC S S == ，∵10DCM S =△，∴20ADM S =△，∵DM 是ADC ∠的角平分线，ME CD ⊥，MF AD ⊥，∴ME MF =，∵12022a AD MF MF ⨯=⨯=，11022b CD MF MF ⨯=⨯=，∴40220a MF b ME ==，∴:2:1a b =故答案为：2:1．23.如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC 三个顶点分别为()2,6A -，()5,1B -，()3,1C ．点B 与点C 关于直线l 对称（1）画出直线l ，写出点A 关于l 的对称点A '坐标；（2）则A BC ' 的面积为______；（3）若点P 在直线l 上，90BPC ∠=︒，直接写出点P 坐标．【答案】（1）直线l 见解析，点A 关于l 的对称点A '坐标为()06，；（2）20（3）点P 的坐标为()1,5-和()1,3--．【分析】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质和判定，垂直平分线的性质．（1）根据点B 与点C 的坐标求出中点坐标D ，然后过点D 作BC 的垂线即可得出直线l ；（2）根据三角形面积公式求出结果即可；（3）分两种情况：当P 在直线BC 上方时，当P 在直线BC 下方时，分别求出结果即可．【小问1详解】解：∵()5,1B -，()3,1C ，∴中点D 的坐标为()1,1-，过点D 作BC 的垂线，即为所求作的直线l ，如图所示：；∴点A 关于l 的对称点A '坐标为()06，；【小问2详解】解：如图，()1861202A BC S '=⨯⨯-= ；故答案为：20；【小问3详解】解：∵B 与点C 关于直线l 对称，∴直线l 垂直平分BC ，∵点P 在直线l 上，∴BP CP =，∵PD BC ⊥，∴PD 平分BPC ∠，∵90BPC ∠=︒，∴190452BPD CPD ∠=∠=⨯︒=︒，∴BPD △为等腰直角三角形，∴142PD BD BC ===，当P 在直线BC 上方时，如图所示：此时点P 的纵坐标为：145+=，∴此时点P 的坐标为()15-，；当P 在直线BC 下方时，如图所示：此时点P 的纵坐标为：143-=-，∴此时点P 的坐标为()1,3--；综上分析可知，点P 的坐标为()1,5-和()1,3--．24.如图，ABC 是等边三角形，D 为BC 的中点，BE AB ⊥交AD 的延长线于点E ，点F 在AE 上，且AF BE =，连接CF 、CE ．求证：（1）ACF BCE ∠=∠：（2）CF EF =．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）先根据条件得到AD 是ABC 的中线，同时是角平分线，高线，再结合BE AB ⊥利用角之间的变换得到EBD CAD ∠=∠，从而证明()SAS CAF CBE ≌，即可得到结论；（2）先根据垂直平分线的性质得到CE BE =，进而得到CE CF =，再根据三角形外角的性质得到60CFD CAF ACF ∠=∠+∠=︒即可证明CFE 是等边三角形，即可得到结论．【小问1详解】证明：∵ABC 是等边三角形，D 为BC 的中点，∴AD 是ABC 的中线，同时是角平分线，高线，AC BC =，∴AD BC ⊥，CAD BAD ∠=∠，∴90DBA BAD ∠+∠=︒，∵BE AB ⊥，∴90DBA EBD ∠+∠=︒，∴EBD BAD ∠=∠，∴EBD CAD ∠=∠，∵AF BE =，AC BC =，∴()SAS CAF CBE ≌，∴ACF BCE ∠=∠；【小问2详解】证明：∵ABC 是等边三角形，∴AC AB =，∴AD 是BC 的垂直平分线，∵点E 在AD 的延长线上，∴CE BE =，由（1）得：()SAS CAF CBE ≌，∴CF BE =，CF AF =，∴CE CF =，∵ABC 是等边三角形，D 为BC 的中点，∴AD 是ABC 的中线，同时是角平分线，高线，∴1302CAD CAB ACF ∠=∠=︒=∠，∴60CFD CAF ACF ∠=∠+∠=︒，∴CFE 是等边三角形，∴CF EF =；【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角形全等的判定与性质，三角形外角性质，看到等边三角形要想到三线合一，一般证明两个角相等都会用到三角形全等．25.如图，在ABC 中，120180BAC ︒<<︒，AB AC =．AD BC ⊥于点D ．以AC 为边作等边ACE △，直线BE 交直线AD 于点F ．连接CF 交AE 于M ．（1）求证：FEA FCA ∠=∠：（2）探索FE ，FA ，FC 之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）见解析（2）2FE FA FD +=，见解析【分析】（1）由等边三角形的性质及等腰三角形的性质，求得FEA FBA ∠=∠，根据线段垂直平分线的性质求得ABE ACF ∠=∠，据此可得出答案；（2）在FC 上截取FN ，使FN FE =，连接EN ，根据等边三角形的性质得出60EFM ∠=︒，根据等边三角形的判定得出EFN 是等边三角形，求出60FEN ∠=︒，EN EF =，求出AEF CEN ∠=∠，根据SAS 推出EFA ENC △≌，根据全等得出FA NC =，求出2FC FD =，即可得出答案．【小问1详解】证明：AD 为边BC 的垂直平分线，AB AC ∴=，ACE Q V 为等边三角形，AC AE ∴=，AB AE =∴，FEA FBA ∴∠=∠；∵直线AD 垂直平分BC ，AB AC ∴=，FB FC =，ABC ACB FBC FCB ∴∠=∠∠=∠，，FBC ABC FCB ACB ∴∠-∠=∠-∠，即ABE ACF ∠=∠，ABE AEF ∠=∠ ，∴FEA FBA ∠=∠；【小问2详解】解：2FE FA FD +=，证明：在FC 上截取FN ，使FN FE =，连接EN ，如图2，由（1）得：AEF ACF ∠=∠，FME CMA ∠=∠ ，EFC CAE ∴∠=∠，等边三角形ACE 中，60CAE ∠=︒，60EFC ∴∠=︒．FN FE = ，EFN ∴ 是等边三角形，60FEN ∴∠=︒，EN EF =，ACE Q V 为等边三角形，60AEC ∴∠=︒，EA EC =，FEN AEC ∴∠=∠，FEN MEN AEC MEN ∴∠-∠=∠-∠，即AEF CEN ∠=∠，在EFA △和ENC ∠中，EF EN AEF CEN EA EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS EFA ENC ∴ ≌，FA NC ∴=，FE FA FN NC FC ∴+=+=，60EFC FBC FCB ∠=∠+∠=︒ ，FBC FCB ∠=∠，160302FCB ∴∠=⨯︒=︒，AD BC ⊥ ，90FDC ∴∠=︒，2FC FD ∴=，2FE FA FD ∴+=．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，含30︒角的直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．四、附加题（26题4分，27题6分，共10分）26.小明同学用四张长为x ，宽为y 的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）．（1）通过计算小正方形面积，可推出()2x y +，xy ，()2x y -三者之间的等量关系式为______；（2）利用（1）中的结论，试求：当()()3002001996x x --=时，求()22500x -的值．【答案】（1）()()224x y x y xy-=+-（2）()22500x -的值是2016．【分析】本题主要考查几何图形与整式乘法．（1）直接利用图象面积得出答案；（2）利用多项式乘法将已知条件变形，即可求出答案．【小问1详解】解：由题意得，小正方形的面积=大正方形的面积4-个长方形的面积和，()()224x y x y xy ∴-=+-，故答案为：()()224x y x y xy -=+-；【小问2详解】解：设300A x =-，200B x =-，∴100A B +=-，2500A B x -=-，1996AB =，∴22()()4A B A B AB -=+-，∴()()222500100419962016x -=--⨯=，故()22500x -的值是2016．27.在平面直角坐标系xOy 中，若点P 和点1P 关于y 轴对称，点1P 和点2P 关于直线l 对称，则称点2P 是点P 关于y 轴、直线l 的“二次对称点”．（1）已知点()A 3,5，直线l 是经过()0,2且平行于x 轴的一条直线，点A '为点A 关于y 轴，直线l 的“二次对称点”，则点A '的坐标为______；（2）如图1，正方形ABCD 的顶点坐标分别是()0,1A ，()0,3B ，()2,3C ，()2,1D ；点E 的坐标为()1,1，若点M 为正方形ABCD （不含边界）内一点，点M '为点M 关于y 轴，直线OE 的“二次对称点”，则点M '的横坐标x 的取值范围是______；（3）如图2，(),0T t （0t ≥）是x 轴上的动点，线段RS 经过点T ，且点R 、点S 的坐标分别是(),1R t ，(),1S t -，直线l 经过()0,1且与x 轴夹角为60︒，在点T 的运动过程中，若线段RS 上存在点N ，使得点N '是点N 关于y 轴，直线l 的“二次对称点”，且点N '在y 轴上，则点N '纵坐标y 的取值范围是______．【答案】（1）()3,1--（2）13x <<（3）31N y '-≤≤【分析】（1）根据“二次对称点”的定义求解即可；（2）由题意，直线OE 的解析式为y x =，点M 关于y 轴对称的点的轴坐标的取值范围为13y <<，由直线OE 的解析式为y x =，得M 关于y 轴，直线OE 的“二次对称点”点M '的横坐标即是关于y 轴的纵坐标，，由此可得结论；（3）如图2中，当点N 与S 重合，且N '在y 轴上时，连接SN ''交直线于点K ，交y 轴于点J ，连接KN '，设直线l 交x 轴于点D ，交y 轴于点C ，如图3中，当点T 与原点重合，N 与()01，重合时，N '和N ''都与()01，重合，此时()01N '，．求出这两种特殊位置N '的坐标，可得结论．【小问1详解】解∶点()A 3,5关于y 轴的对称点为()13,5A -，∵直线l 是经过()0,2且平行于x 轴的一条直线，∴点()13,5A -关于直线l 的对称点为()3,1A '--；故答案为：()3,1--【小问2详解】解∶如图，设直线OE 的解析式为y kx =，∵点E 的坐标为()1,1，∴1k =，∴直线OE 的解析式为y x =，∵()0,1A ，()0,3B ，()2,3C ，()2,1D ,∴点M 关于y 轴对称的点的轴坐标的取值范围为13y <<，∴点M 关于y 轴，直线OE 的“二次对称点”点M '的横坐标x 的取值范围是13x <<，故答案为：13x <<；【小问3详解】解∶如图2，设点N 关于y 轴的对称点为点N ''当点N 与S 重合，且N '在y 轴上时，连接SN ''交直线于点K ，交y 轴于点J ，连接KN '，设直线l 交x 轴于点D ，交y 轴于点C ，∵,60CDO ∠=︒OD KJ ∥，OD OC ⊥，∴60CKJ CDO ∠=∠=︒，30KCJ ∠=︒∵N '和N ''关于直线l 对称，∴18060120CKN CKN ︒'''∠=∠=︒-︒=，∴1801203030KN J KCJ '∠=︒-︒-︒=︒=∠，∴KC KN '=，∵KJ CN '⊥，∴2CJ JN '==，∴3ON '=，∴此时点()0,3N '-，如图3，当点T 与原点重合，N 与()01，重合时，N '和N ''都与()01，重合，此时()01N '，．根据题意得：0t ≥，观察图象得：满足条件的N '的纵坐标为31N y '-≤≤．故答案为：31N y '-≤≤【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，轴对称变换，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置，解决问题，属于中考压轴题．。
江西省南昌市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题(含答案)
南昌市2023—2024学年第一学期期中形成性测试八年级（初二）数学试卷说明：本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟。
一、选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．2023年暑假期间，国家高度重视预防溺水安全工作，要求各级各类学校积极落实防溺水安全教育，以下与防溺水相关的标志中是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，是线段的垂直平分线，为直线上的一点，已知线段，则线段的长度为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．33．下列计算正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞圈能沿着伞柄滑动，伞不论张开还是缩拢，伞柄始终平分同一平面内所成的角，为了证明这个结论，我们的依据是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，在Rt 中，是角平分线，，则的面积为（）CD AB P CD 5PA =PB 3332b b b ⋅=()()2222x x x +-=-22(2)4a a -=222()a b a b +=+D AP BAC ∠SAS SSS AAS ASAABC △90,C AF ∠=︒35,2AB CF ==AFB △A ．5 B． C ． D ．6．如图，在Rt 中，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为______________．8．分解因式：______________．9．如图所示，已知是上的一点，，请再添加一个条件：______________，使得．10．已知：，则______________．11．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是14，腰的垂直平分线分别交于点，若点为底边的中点．点为线段上一动点，则的周长的最小值为______________．11．已知中，如果过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线．如图1，Rt 中，显然直线是的关于点的二分割线．在图2的中，，若直线是的关于点154152132ABC △90C ∠=︒ABC △ABC △()2,5y 22ax ay -=P AD ABP ACP ∠=∠ABP ACP △≌△2,3m na a ==2m n a +=ABC BC AB EF ,AB AC E F 、D BC M EF BDM △ABC △B ABC △B ABC △BD ABC △B ABC △110ABC ∠=︒BD ABC △B的二分割线，则的度数是______________．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（1）计算：（2）如图，点在一条直线上，，．求证：．14．先化简，再求值：，其中．15．如图所示，的顶点分别为．（1）画出关于直线（平行于轴且该直线上的点的横坐标均为2）对称的图形，则的坐标分别为（______________），（______________），（______________）；（2）求的面积．16．如果，那么我们规定，例如：因为，所以．（1）【理解】根据上述规定，填空：______________，______________；（2）【应用】若，试求之间的等量关系．17．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅CDB ∠()()424242y y y y +÷--,,,B E C F ,B DEF BE CF ∠=∠=A D ∠=∠AB DE =()()()2232a b ab b b a b a b --÷-+-1,12a b ==-ABC △()()()2,3,4,1,1,2A B C ---ABC △2x =y 111A B C △111,,A B C 1A 1B 1C 111A B C △nx y =(),x y n =239=()3,92=()2,8=()2,4=()()()4,12,4,5,4,60a b c ===,,a b c 66⨯ABC △用无刻度的直尺在给定的网格中完成作图．（1）在图1中，作边上的中线；（2）在图2中，作边上的高．四、（本大题3小题，每小题8分，共24分）18．为了测量一幢高楼的高，在旗杆与楼之间选定一点．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底距离与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为米，求楼高是多少米？19．如图，甲长方形的两边长分别为，面积为；乙长方形的两边长分别为．面积为（其中为正整数）．（1）现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积与图中的甲长方形面积的差（即）是一个常数，求出这个常数；（2）试比较与的大小．20．如图：已知等边中，是的中点，是延长线上的一点，且，垂足为．AC BH AC BD AB CD P C PC 17DPC ∠=︒A PA 73APB ∠=︒P PB 33DB =AB 1,7m m ++1S 2,4m m ++2S m S 1S 1S S -1S 2S ABC △D AC E BC ,CE CD DM BC =⊥M（1）试问和有何数量关系？并证明之；（2）求证：是的中点．五、（本大题2小题，每小题9分，共18分）21．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的正方形的周长等于______________；（2）观察图2，请直接写出下列三个代数式之间的等量关系；（3）运用你所得到的公式，计算：若为实数，且，试求的值；（4）如图3，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．22．课本再现：如图，一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等，我们把这种图形的变换叫全等变换．生活体验：（1）数学作图工具中有一个三角尺是等腰直角三角形，它的两个锐角相等，都是______________．问题解决：（2）如图1，在等腰直角三角形中，为边上的一点（不与点重合），连接，把绕点顺时针旋转后，得到，点与点恰好重合，连接．DM DE M BE 2a 2b 22(),(),a b a b ab +-m n 、3,4mn m n =-=m n +C AB AC BC 、8AB =1226S S +=︒AOB 90,,AOB AO BO C ∠=︒=AB ,A B OC AOC △O 90︒BOD △A B CD①填空：______________；______________．②若，求的度数．结论猜想：（3）如图1，如果是直线上的一点（不与点重合），其他条件不变，请猜想与的数量关系，并直接写出猜想结论．六、（本大题共12分）23．【探究发现】（1）如图1，中，，点为的中点，分别为边上两点，若满足，则之间满足的数量关系是______________．【类比应用】（2）如图2，中，，点为的中点，分别为边上两点，若满足，试探究之间满足的数量关系，并说明理由．【拓展延伸】（3）在中，，点为的中点，分别为直线上两点，若满足，请直接写出的长．OC OD COD ∠=30AOC ∠=︒BDC ∠C AB ,A B AOC ∠BDC ∠ABC △,90AB AC BAC =∠=︒D BC E F 、AC AB 、90EDF ∠=︒AE AF AB 、、ABC △,120AB AC BAC =∠=︒D BC E F 、AC AB 、60EDF ∠=︒AE AF AB 、、ABC △5,120AB AC BAC ==∠=︒D BC E F 、AC AB 、1,60CE EDF =∠=︒AF南昌市2023—2024学年第一学期期中形成性测试八年级（初二）数学试卷参考答案一．选择题（共6小题）1.D2.B ．3.C ．4.B5.B6.C二．填空题（共6小题）7．（﹣2，5）．8． ． 9. ∠BAP=∠CAP 或∠APB=∠APC 或AP 平分∠BAC(答案不唯一) ．10. 12 11. 9． 12. 140°或90°或40°三．解答题13．（1）计算：解：（1）y 4+（y 2）4÷y 4﹣（﹣y 2）2＝y 4+y 8÷y 4﹣y 4＝y 4+y 4﹣y 4＝y 4；……………………3分（2）证明：∵BE=CF∴BE+EC=CF+EC即BC=EF……………………1分在△ABC 和△EDF 中，∴△ABC ≌△DEF （AAS ），∴AB=DE……………………3分14.解：原式…………………1分…………………3分…………………4分将代入上式得，原式…………………6分15.，，，则为所求作的三角形，…………………4分如图所示：()()y x y x a -+⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EF BC DEFB D A 22222()a ab b a b =----22222a ab b a b =---+2ab =-112a b ==-，12(1)2=-⨯⨯-1=()16,3A ()18,1B ()15,2C 111A B C △1111111111A B C DA C EB C FA B DEB F S S S S S =--- 矩形…………………6分16.解：（1）23＝8，（2，8）＝3，，（2，4）＝2，故答案为：3；2；……………………2分（2）证明：∵（4，12）＝a ，（4，5）＝b ，（4，60）＝c ，∴4a ＝12，4b ＝5，4c ＝60，∴4a ×4b ＝60，∴4a ×4b ＝4c ，∴a +b ＝c ；………………6分17.即中线BH 为所求 ………………3分即高BD 为所求 ………………6分18.，，，，………………2分在和中，，∴（ASA ）， (5)分11132132211222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯2=17CPD ∠=︒ 73APB ∠=︒90CDP ABP ∠=∠=︒73DCP APB ∴∠=∠=︒CPD ∆PAB ∆CDP ABP DC PBDCP APB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩CPD PAB ≅，米，米，………………7分（米)，答：楼高是25米．………………8分19.解：（1）图中的甲长方形周长为2（m +7+m +1）4＝4m +16，∴该正方形边长为m +4，∴S ﹣S 1＝（m +4）（m +4）﹣（m +1）（m +7）=(m 2+8m +16) -（m 2+8m +7）＝9，∴该正方形面积S 与图中的甲长方形面积S 1的差是一个常数9；……………4分（2）S 1＝（m +1）（m +7）＝m 2+8m +7，S 2＝（m +2）（m +4））＝m 2+6m +8，S 1﹣S 2＝（m 2+8m +7）﹣（m 2+6m +8）＝2m ﹣1，∵m 为正整数，∴2m ﹣1＞0，∴S 1＞S 2.……………………8分20.（1）DM 和DE 有何数量关系为：DE=2DM证明：∵三角形ABC 是等边△ABC ，∴∠ACB ＝∠ABC ＝60°，又∵CE ＝CD ，∴∠E ＝∠CDE ，又∵∠ACB ＝∠E +∠CDE ，∴∠E=∠ACB ＝30°；又∵∠DME=90°∴DE=2DM………………………4分（2）证明：连接BD ，∵等边△ABC 中，D 是AC 的中点，∴∠DBC=∠ABC ＝30°由（1）知∠E ＝30°∴∠DBC ＝∠E ＝30°∴DB ＝DE又∵DM ⊥BC∴M 是BE 的中点．………………………8分21.（1）阴影部分的正方形边长为a -b ，故周长为4(a -b )=4a -4b ；故答案：4a -4b ；………………………1分（2）大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：4ab +(a -b )2，大正方形边长为a+b ，故面积也可表达为：(a +b )2，因此(a +b )2=(a -b )2+4ab ；故答案为:(a +b )2=(a -b )2+4ab ； (3)分为DP AB ∴=33DB = 8PB =33825AB ∴=-=AB（3）由(2)知：(m +n )2=(m -n )2+4mn ；………………………4分已知m -n =4，mn =-3；所以(m +n )2=42+4×(-3)=16-12=4；所以m +n =2或一2；………………………6分（4）设AC =a ，BC =b ；因为AB =8，S 1+S 2=26；所以a +b =8，a 2+b 2=26；因为(a +b )2=a 2+b 2+2ab ，所以64=26+2ab ，解得ab =19，由题意：∠ACF =90°，所以S 阴影=ab =，故答案为：．………………………9分22.解：（1）∵三角形的内角和为180°，等腰直角三角形的两个锐角相等，∴它的两个锐角都是；故答案为：．………………………1分（2）①根据旋转可得，∴，∴，∴是等腰直角三角形，故答案为：．………………………3分②∵等腰直角三角形中，，∴，∵，∴∵∴∵是等腰直角三角形，∴，∴………………………7分（3）当在上时，1219219245︒45ACO BDO ≌AOC BOD ∠=∠OC OD=90COD AOB ∠=∠=︒COD △90=︒，AOB 90,AOB AO BO ∠=︒=45A ∠=︒30AOC ∠=︒105ACO ∠=︒ACO BDO≌105BDO ∠=︒COD △45CDO ∠=︒60BDC BDO CDO ∠=∠-∠=︒C AB∵，∵∴∵是等腰直角三角形，∴，∴即；………………………8分当在的延长线上时，如图所示，∵，∵∴∵是等腰直角三角形，∴，∴即；当在的延长线上，如图所示，∵，∵∴∵是等腰直角三角形，∴，∴即；………………………9分综上所述，或．23.（1）()180135ACO A AOC AOC ∠=︒-∠+∠=︒-∠ACO BDO≌135BDO AOC AOC∠=∠=︒-∠COD △45CDO ∠=︒90BDC BDO CDO AOC∠=∠-∠=︒-∠90AOC BDC ∠+∠=︒C BA 45ACO AOC ∠=︒-∠ACO BDO≌45BDO AOC AOC∠=∠=︒-∠COD △45CDO ∠=︒454590BDC BDO CDO AOC AOC ∠=∠+∠=︒+︒-∠=︒-∠90AOC BDC ∠+∠=︒C AB 180135ACO BAC AOC AOC ∠=-∠-∠=︒-∠ACO BDO≌135BDO AOC AOC∠=∠=︒-∠COD △45CDO ∠=︒()4513590BDC CDO BDO AOC AOC ∠=∠-∠=︒-︒-∠=∠-︒90AOC BDC ∠-︒=∠90AOC BDC ∠+∠=︒90AOC BDC ∠-︒=∠如图1，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＝∠C ＝45°，∵D 为BC 中点，∴AD ⊥BC ，∠BAD ＝∠CAD ＝45°，AD ＝BD ＝CD ，∴∠ADB ＝∠ADF +∠BDF ＝90°，∵∠EDF ＝∠ADE +∠ADF ＝90°，∴∠BDF ＝∠ADE ，∵BD ＝AD ，∠B ＝∠CAD ＝45°，∴△BDF ≌△ADE （ASA ），∴BF ＝AE ，∴AB ＝AF +BF ＝AF +AE ；故答案为：AB ＝AF +AE ；………………………2分（2）AE +AF＝AB ．理由是：………………………4分如图2，作AG=AD ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，点D 为BC 的中点，∴∠BAD ＝∠CAD ＝60°，AD ⊥BC又∵AG=AD∴△AGD 为等边三角形∴DG ＝AG ＝AD∴∠GDA ＝∠BAD ＝60°，即∠GDF +∠FDA ＝60°，又∵∠FAD +∠ADE ＝∠FDE ＝60°，∴∠GDF ＝∠ADE ，在和中，12GDF ∆ADE ∆，∴（ASA ）∴GF ＝AE ，∵AD ⊥BC ，∠BAD=60°∴∠B=90°-60°=30°又∵∠AGD=60°∴∠GDB=∠AGD-∠B=60°-30°=30°∴BG=GD又∵GD=AG∴AG=BG∴AG＝AB ＝AF +FG ＝AE +AF ，∴AE +AF ＝AB ；………………………8分（3）当点E 在线段AC 上时，如图3，作AH=AD 同理可得△AD H 为等边三角形当AB ＝AC ＝5，CE ＝1，∠EDF ＝60°时，AE ＝4，此时F 在BA 的延长线上，∴∠DAF=180-∠BAD=180°-60°=120° ∠DHC=180-∠AHD=180°-60°=120°∴∠FAD=∠CHD=120°同（2）可得：△ADF ≌△HDE （ASA ），∴AF ＝HE ，同（2）可得：DH=HC ，AH=DH∴AH=HC∵AH ＝CH ＝AC ＝，CE ＝1，∴，GDF ADE DG ADAGD DAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩GDF ADE ≅ 1212125253122AF HE CH CE ==-=-=当点E 在AC 延长线上时，如图4，同理可得：；综上：AF 的长为或．………………………12分57122AF HE CH CE ==+=+=3272。
2023-2024学年北京顺义区仁和中学初二(上)期中数学试卷及答案
仁和中学2023━2024学年度第一学期期中考试初二年级数学试卷2023.11.一.选择题.本大题共10个小题,每个小题2分,共20分.在每小题所给的四个选项中,只有一个是符合题意的,请将正确答案填涂在答题卡相应的位置.1．在代数式32,252,43,32,1,32222-++x x x x xy x x 中，分式共有()．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．下列各组线段能组成三角形的是()．(A)3cm 、3cm 、6cm (B)2cm 、3cm 、6cm (C)5cm 、8cm 、12cm(D)4cm 、7cm 、11cm3．下列分式中x 取任何实数时一定有意义的是()．A ．112+-x x B ．21xx +C ．1122-+x x D ．12+x x 4．下列各式的计算中，正确的是()．A 6==B ．7434322=+=+C ．9181404122=⨯=-D ．2323=5.下列说法正确的是()．A.三角形的中线是由顶点出发平分对边的射线；B.三角形的角平分线就是三角形的内角平分线；C.三角形的高就是顶点到对边的垂线；D.三角形的中线，角平分线，高线都是线段.6．如图，在数轴上表示实数15的点可能是()．A ．P 点B ．Q 点C ．M 点D ．N 点7．下列各组二次根式（字母均为正数）化成最简二次根式后的被开方数完全相同的是()．A ．ab 与2ab B mn 与nm 11+C ．22n m +与22n m -D ．2398b a 与4329b a 8．若22347x x ++的值为14，则21681x x +-的值为()．A ．1B ．－1C ．－17D ．1595a =-，则a 的取值范围是（）A．a >5B．a <5C．5a ≥D．5a ≤10．当nn m m n 1,1,+有意义时,下列等式中永远不成立的是（）A.n m n m 111+=+ B.mn m n = C.22++=m n m n D.nmm n 32=二.填空题.本大题共10个小题,每个小题2分,共20分.请将正确答案填在答题卡的相应位置上.11．当x ______有意义，当x ______时，12--x 有意义．12．当x ______时，分式122+-x 的值为正．13．若分式1||2--x xx 的值为0，则x 的值为______．14．25的算术平方根是______的立方根是______．15．比较大小：（1）--（2-16.如图所示，直线12//l l ，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为.17．已知01a a b x ≠≠=，，是方程2100ax bx +-=的一个解，那么代数式2222a b a b--的值是____________．18．如果关于x 的方程xmx x -=--552无解，则m 的值为______．19．在实数范围内分解因式：x x 53-=20．对于一类特殊的二次根式，它的被开方数由整数与分数的和构成，且将根号内的整数直接移到根号外面，所得的结果不变，我们把反映上述相等关系的式子叫做“和谐等式”.如322322=+，833833=+，15441544=+等都是“和谐等式”.请写出第四个“和谐等式”；如果n 为整数，且n ＞1，请用含n 的式子表示“和谐等式”.三.解答题.本大题共11个小题,共60分.请把所有的答案答在答题卡上,答在试卷上的答案无效.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.21．计算：（每题3分，共6分）（1）⋅+----112223x x xx x x （2）⋅-÷+--2422(x xx x x x 22．解方程：（每题3分，共6分）（1）214+111x x x +=--（2）0)1(213=-+--x x x x 23．先化简，再求值：（3分）222244(2)22y x xy y xy y x y xy-+÷-⋅-，其中x =24.计算：（每题3分，共15分）（1）18+2−−22+1−（2）2+8−18（3(÷-（4）（212−348）÷23（5）21)2)-+-25．（4分）已知数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：化简：||)(||22b b c c a a ---++-26．（4分）已知032≠=b a ，求代数式2252(2)4a ba b a b -⋅--的值．27．（4分）已知55x y =+=-求22x y xy-的值。
2023-2024学年全国初二上数学人教版期中考试试卷(含答案解析)
20232024学年全国初二上数学人教版期中考试试卷(含答案解析)（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（每题2分，共30分）1. （2分）下列选项中，哪一个数是平方根？A. 4B. 4C. √4D. √42. （2分）如果a+b=5，ab=3，那么a²+b²的值是？A. 16B. 18C. 20D. 223. （2分）下列函数中，哪一个是一次函数？A. y=x²B. y=2xC. y=x³D. y=√x4. （2分）下列等式中，哪一个是不等式？A. 2x+3=7B. 3x5>2C. 4x2=8D. 5x+1<35. （2分）在直角坐标系中，点(3,4)位于第几象限？A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6. （2分）下列哪个比例是正确的？A. 3:6=9:12B. 4:8=6:12C. 5:10=8:15D. 7:14=10:207. （2分）如果|a|=3，那么a的值可能是？A. 3B. 3C. 0D. 6二、判断题（每题1分，共20分）8. （1分）所有的偶数都是整数。
（）9. （1分）所有的质数都是奇数。
（）10. （1分）如果a>b，那么a²>b²。
（）11. （1分）平行线的斜率相等。
（）12. （1分）直角三角形的两个锐角互余。
（）13. （1分）任何两个正数都有最大公约数。
（）14. （1分）负数没有平方根。
（）三、填空题（每空1分，共10分）15. （1分）若3x5=14，则x=______。
16. （1分）若a:b=3:4，且a=9，则b=______。
17. （1分）在直角三角形中，若一个锐角为30°，则另一个锐角为______°。
18. （1分）若|a|=5，则a的值为______或______。
19. （1分）若x²5x+6=0，则x的值为______或______。
2024年全新初二数学上册期中试卷及答案(人教版)
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列哪个数是有理数？A. √2B. 3/4C. πD. √12. 如果a > b，那么下列哪个选项一定成立？A. a b > 0B. a + b > 0C. a b < 0D. a + b < 03. 下列哪个数是整数？A. 3.5B. 2/3C. 1/2D. 04. 下列哪个数是无理数？A. 1/2B. √9C. √16D. √15. 下列哪个数的平方是9？A. 3B. 3C. 2D. 2二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个有理数的和一定是有理数。
（）2. 任何两个整数的积一定是整数。
（）3. 任何两个整数的和一定是整数。
（）4. 任何两个有理数的积一定是有理数。
（）5. 任何两个整数的差一定是整数。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 如果a > b，那么a b = _______。
2. 如果a < b，那么a + b = _______。
3. 如果a > b，那么a + b = _______。
4. 如果a < b，那么a b = _______。
5. 如果a > b，那么a b = _______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简要解释有理数的定义。
2. 请简要解释整数的定义。
3. 请简要解释无理数的定义。
4. 请简要解释实数的定义。
5. 请简要解释平方的定义。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 如果a = 3，b = 2，那么a + b = _______。
2. 如果a = 4，b = 3，那么a b = _______。
3. 如果a = 5，b = 2，那么a b = _______。
4. 如果a = 6，b = 3，那么a / b = _______。
5. 如果a = 7，b = 4，那么a + b = _______。
六、分析题（每题5分，共10分）1. 请分析并解释有理数和无理数的区别。
人教版数学初二上学期期中试卷及解答参考
人教版数学初二上学期期中模拟试卷(答案在后面)一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1、（选择题）小明骑自行车去图书馆，他每小时可以骑行10公里。
如果图书馆距离小明家20公里，那么小明骑自行车去图书馆需要的时间是（）小时。
A、1.5B、2C、2.5D、32、（选择题）一个长方形的长是12厘米，宽是长的一半，那么这个长方形的面积是（）平方厘米。
A、60B、72C、48D、363、下列各数中，有理数是（）A、√2B、πC、3.14D、−2√54、下列方程中，方程的解集是实数集的是（）A、x2+1=0B、x2−4=0C、x2−1=0D、x2+2x+1=05、已知直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，求斜边的长度。
A. 5cmB. 5√2cmC. 7cmD. 8cm6、一个长方形的长是宽的2倍，若长方形的周长是48cm，求长方形的长和宽。
A. 长为20cm，宽为10cmB. 长为16cm，宽为8cmC. 长为24cm，宽为12cmD. 长为18cm，宽为9cm7、（1）下列各数中，有理数是：（）A. √16B. √-9C. πD. 2/38、（2）已知函数f(x) = 2x - 3，若f(x)的值比x的值大1，则x的值为：（）A. 2B. 3C. 4D. 59、已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC上的高AD垂直于BC，且BD=DC=4cm，AD=6cm。
求三角形ABC的周长。
A. 20cmB. 24cmC. 28cmD. 32cm 10、一个长方形的长是a，宽是b，它的面积是ab。
如果长方形的长和宽分别增加20%，那么新的长方形的面积是多少？A. 1.2abB. 1.44abC. 1.6abD. 2.4ab二、填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分）1、已知等腰三角形底边长为6cm，腰长为8cm，则该三角形的周长为______cm。
2、若一个数的平方加上3倍这个数等于25，则这个数是 ______ 。
北师大版八年级上册数学期中考试试卷及答案
北师大版八年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列各数是无理数的是（）A．227B．（4﹣π）0C．﹣πD2．下列函数中，y是x的正比例函数的是（）A．y＝5x﹣1B．y＝12x C．y＝x2D．y＝3x3．如果点P(2，y)在第四象限，则y的取值范围是（）A．y＜0B．y＞0C．y≤0D．y≥04）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间5．下列各组数为勾股数的是（）A．6，12，13B．3，4，7C．4，7.5，8.5D．8，15，17 6．下列计算正确的是（）A B＝1CD7．在一次函数y＝﹣3x+9的图象上有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），已知x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．无法确定8．有一长、宽、高分别为5cm，4cm，4cm的长方体木块，一只蚂蚁沿如图所示路径从顶点A处在长方体的表面爬到长方体上和A相对的中点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A B C D．2cm9．已知正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，则一次函数y=kx﹣k的图象可能是下图中的（）A ．B ．C ．D ．10．已知点12(4,),(2,)y y -都在直线122y x =+上，则1y 和2y 的大小关系是（）A ．12y y >B ．12y y =C ．12y y <D ．无法确定二、填空题11．函数y =中，自变量x 的取值范围是________．12．若直角三角形的两直角边长分别为3cm ，4cm ，则斜边的长为__________cm ．13．在平面直角坐标系中，点()1,1A -和()1,1B 关于______轴对称．14．已知一次函数y ＝2x ﹣1的图象经过A （x 1，1），B （x 2，3）两点，则x 1_____x 2（填“＞”“＜”或“＝”）．15．已知实数x，y 满足2y =，则()2011y x -的值为__________．16．若某个正数的两个不同的平方根分别是2m ﹣4与2，则m 的值是________．17．已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高AD ＝8．则边BC 的长为_______．三、解答题18．191|﹣3）0+．20．已知函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()2,1A -，点51,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）求直线AB 的解析式；（2）若在直线AB上存在点C，使1=2ACO ABOS S∆∆，求出点C坐标．21．小明用的练习本可在甲、乙两个商店买到.已知两个商店的标价都是每本1元.但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的七折卖；乙商店的优惠条件是：从第一本开始就按标价的八五折卖.⑴当购买数量超过10本时，分别写出在甲、乙两商店购买练习本的费用y(元)与购买数量x(本)之间的关系式；⑵小明要买30本练习本，到哪个商店购买较省钱？22．如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝10，折叠纸片的一边AD，使点D落在BC 边上的点F处，AE为折痕．请回答下列问题：（1）AF＝________；（2）试求线段DE的长度．23．在平面直角坐标系xOy中， ABC三个顶点的坐标分别为A(0，2)，B(2，0)，C(5，3)．（1）点C关于x轴对称的点C1的坐标为，点C关于y轴对称的点C2的坐标为．（2）试说明 ABC是直角三角形．（3）已知点P在x轴上，若12PBC ABCS S＝△△，求点P的坐标．24．如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(3，1)，C(－2，－1)．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1并写出坐标；（2）求出△A1B1C1的面积．25．如图，在平面直角坐标系中，过点B(6，0)的直线AB与y轴相交于点C(0，6)，与直线OA相交于点A且点A的纵坐标为2，动点P沿路线O A C→→运动.（1）求直线BC的解析式；（2）在y轴上找一点M，使得△MAB的周长最小，则点M的坐标为______；（请直接写出结果）（3）当△OPC的面积是△OAC的面积的14时，求出这时P的坐标.参考答案1．C【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【详解】解：A、227是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；B、（4﹣π）0＝1，1是有理数，故此选项不符合题意；C、﹣π是无理数，故此选项符合题意；D2，2是有理数，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是无理数的定义，掌握“无限不循环的小数是无理数”是解题的关键.2．B【解析】【分析】一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y＝kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数，据此判断即可．【详解】解：A．y＝5x﹣1不属于正比例函数，不合题意；B．y＝12x属于正比例函数，符合题意；C．y＝x2不属于正比例函数，不合题意；D．y＝3x不属于正比例函数，不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了正比例函数的识别，熟知形如y＝kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数是解本题的关键．3．A【解析】【分析】根据第四象限的点的坐标特点解答即可．解：∵点P（2，y）在第四象限，∴y＜0．故选：A．【点睛】本题考查了点的坐标特征，熟练掌握四个象限内点的坐标特征是解本题的关键．4．B【解析】【详解】根据9＜13＜16，可知32＜13＜42，可知34．故选B．【点睛】此题主要考查了二次根式的估算，解题关键是要找到被开方数相接近的平方数，即找到附近的平方数，确定开方的结果即可．5．D【解析】【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．【详解】解：A、62+122≠132，故不符合题意，B、32+42≠72，故不符合题意，C、7.5，8.5不是正整数，故不符合题意，D、82+152=172，故符合题意．故选：D．6．C【解析】【分析】根据二次根式的运算方法判断选项的正确性．解：A选项错误，不是同类二次根式不可以加减；B选项错误，不是同类二次根式不可以加减；C选项正确；D选项错误，2故选：C．7．A【解析】根据一次函数解析式一次项系数的正负判断函数的增减关系．【详解】解：∵一次函数的一次项系数k=-3<0，∴y随着x的增大而减小，∵x1＞x2，∴y1＜y2．故选：A．8．A【解析】根据勾股定理即可得到结论．【详解】如图，，，故选：A．【点睛】此题考查最短路径问题，解题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段．9．D根据正比例函数y kx =的图象经过第一,三象限可得: 0k >,因此在一次函数y kx k =-中0k >, 0b k =-<,根据0k >直线倾斜方向向右上方, 0b <直线与y 轴的交点在y 轴负半轴,画出图象即可求解.【详解】根据正比例函数y kx =的图象经过第一,三象限可得:所以0k >,所以一次函数y kx k =-中0k >,0b k =-<,所以一次函数图象经过一,三,四象限,故选D.【点睛】本题主要考查一次函数图象象限分布性质,解决本题的关键是要熟练掌握一次函数图象图象的象限分布性质.10．C 【解析】【分析】根据一次函数的增减性进行判断．【详解】∵122y x =+，k >0，∴y 随x 的增大而增大，又∵点12(4,),(2,)y y -在直线122y x =+上，且-4<2，∴y 1<y 2．故选：C ．【点睛】考查了一次函数的性质，解题关键是熟记一次函数的性质：一次函数y=kx+b ，当k>0时，图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大；当k<0时，图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小．11．x≥0【解析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数列不等式即可得答案．【详解】∵y=∴x≥0．故答案为：x≥0【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，主要涉及二次根式有意义的条件，解题关键是熟记二次根式有意义的条件为：被开方数必须大于或等于0．12．5【解析】【分析】直接根据勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方进行计算．【详解】根据勾股定理，得斜边的长5=（cm）．故答案为：5【点睛】此题考查勾股定理，解题关键在于掌握运算法则．13．x【解析】【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数即可对称结论．【详解】解：点A（1，−1）和B（1，1）关于x轴对称，故答案为：x．【点睛】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．14．＜【解析】【分析】由k＝2＞0，可得出y随x的增大而增大，结合1＜3，即可得出x1＜x2．【详解】解：∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大．又∵1＜3，∴x1＜x2．故答案为：＜．【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”．15．-1【解析】【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．【详解】都有意义，∴x=3，则y=2，故（y-x）2011=-1．故答案为：-1．【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，正确得出x的值是解题关键．16．1【解析】【分析】根据平方根的定义得出2m﹣4+2＝0，再进行求解即可得出答案．【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是2m ﹣4与2，∴2m ﹣4+2＝0，∴m ＝1；故答案为：1．【点睛】本题考查了平方根的应用，能得出关于m 的方程是解此题的关键，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．17．21或9【解析】【分析】根据题意，ABC 可能是锐角三角形或者钝角三角形，分两种情况进行讨论作图，然后利用勾股定理即可求解．【详解】解：在ABC 中，17AB =，10AC =，BC 边上高8AD =，如图所示，当ABC 为锐角三角形时，在Rt ABD △中17AB =，8AD =，由勾股定理得：22222178225BD AB AD =-=-=，∴15BD =，在Rt ACD △中10AC =，8AD =，由勾股定理得：2222210836CD AC AD =-=-=，∴6CD =，∴BC 的长为：15621BC BD DC =+=+=；如图所示：当ABC 为钝角三角形时，在Rt ABD △中17AB =，8AD =，由勾股定理得：22222178225BD AB AD =-=-=，∴15BD =，在Rt ACD △中10AC =，8AD =，由勾股定理得：2222210836CD AC AD =-=-=，∴6CD =，∴BC 的长为：1569BC BD DC =-=-=；综上可得：BC 的长为：21或9．故答案为：21或9．【点睛】题目主要考查勾股定理，进行分类讨论作出图象运用勾股定理解直角三角形是解题关键．18．56【解析】【分析】化简二次根式，然后先进行二次根式分母有理化计算，最后算加减．【详解】125024223226232)22622⨯2610262+-6526+-＝5-．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握二次根式的混合运算的运算顺序和计算法则是解答本题的关键．19+2【解析】【分析】利用零指数幂、平方差公式和绝对值的意义以及二次根式的混合计算法则进行计算即可．【详解】解：原式)1153=--+-1153=+-+-2．【点睛】本题主要考查了零指数幂、平方差公式和绝对值的意义以及二次根式的混合计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．20．（1）y=12x+2；（2）C （-1274，）或（-1736，）；【解析】【分析】（1）根据点A 、B 的坐标利用待定系数法求出一次函数的解析式，此题得解．（2）根据题意得到C 是线段AB 的中点，或A 是线段BC 的三等分点，即可求得C 的坐标．【详解】（1）∵一次函数y=kx+b 的图象经过点A （-2，1）、点B （1，52）．∴2152k b k b -+⎧⎪⎨+⎪⎩＝＝，解得：122k b ＝＝⎧⎪⎨⎪⎩．∴这个一次函数的解析式为：y=12x+2．（2）如图，∵在直线AB 上存在点C ，使S △ACO =12S △ABO ，∴C是线段AB的中点，或A是线段BC的三等分点，∵A（-2，1），B（1，5 2）．∴C（-1274，）或（-7124，）；【点睛】此题考查待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键．21．（1）y甲=0.7x+3，y乙=0.85x．（2）在甲商店购买较省钱.【解析】【分析】（1）根据题意：甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的七折卖；乙商店的优惠条件是：从第一本开始就按标价的八五折卖，列出函数关系式即可；（2）把x=30，分别代入甲乙的解析式，求出y的值就可以得出结论．【详解】⑴当x＞10时，y甲=10+0.7(x-10)=0.7x+3，y乙=0.85x．⑵当x=30时，y甲=0.7×30+3=24元；y乙=0.85×30=25.5元；∵y甲<y乙，∴在甲商店购买较省钱.【点睛】此题考查一次函数的应用：关键在于根据题意用一次函数表示两个变量的关系，然后利用一次函数的性质解决问题．22．（1）10；（2）DE=5．【解析】【分析】（1）由折叠性质可得AF＝AD，根据矩形的性质即可得到AF的长；（2）利用勾股定理可求出BF的长，进而求出CF的长，设DE＝x，根据折叠性质可得EF=DE=x，利用勾股定理列出方程求得x的值即可得答案．【详解】（1）在长方形ABCD中，BC＝10，∴AD＝BC=10，∵折叠纸片的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，AE为折痕．∴AF＝AD＝10，故答案为：10（2）∵AB=8，AF=10，在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，∴6BF==，∴CF＝BC﹣BF＝10-6=4，设DE＝x，则CE＝8﹣x，∵折叠纸片的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，AE为折痕．∴EF=DE=x，∠D=∠AFE=90°，∴EF2＝CF2+CE2，即x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5，∴DE＝5．【点睛】本题考查矩形的性质、折叠性质及勾股定理，熟练掌握折叠的性质，正确找出对应边与对应角是解题关键．23．（1）(5，-3)，(﹣5，3)；（2）见解析；（3）P(0，0)或(4，0)【解析】（1）根据平面直角坐标系中关于坐标轴为对称点的特点可直接得到结果；（2）根据勾股定理求出AB2，AC2，BC2，再根据勾股定理的逆定理即可证得结论；（3）先求出S△ABC ＝6，设P点坐标为（t，0），根据三角形面积公式得到12×5×|t﹣2|＝12×6＝3，然后求出t的值，则可得到P点坐标．【详解】解：（1）∵C点的坐标为（5，3），∴点C关于x轴对称的点C1的坐标为（5，﹣3），点C关于y轴对称的点C2的坐标为（﹣5，3），故答案为：（5，-3），（﹣5，3）；（2）∵AB 2＝22+22＝8，AC 2＝（3﹣2）2+52＝26，BC 2＝（5﹣2）2+32＝18，∴AB 2+BC 2＝8+18＝26＝AC 2，∴△ABC 是直角三角形；（3）S △ABC ＝3×5﹣12×2×2﹣12×（5﹣2）×3﹣12×（3﹣2）×5＝6，设P 点坐标为（t ，0），∵S △PBC ＝12S △ABC ，∴12×3×|t ﹣2|＝12×6＝3，∴t ﹣2＝±2，∴t ＝0或t ＝4，∴P 点坐标为（0，0）或（4，0）．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，关于坐标轴对称的点的坐标特征，勾股定理的逆定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．24．（1）图见解析；点A 1的坐标为（﹣1,2），点B 1的坐标为（﹣3,1），点C 1的坐标为（2,﹣1）；（2）92.【解析】【分析】（1）先根据轴对称的性质作出△A 1B 1C 1，然后再写出各点坐标即可；（2）用一个长方形将△A 1B 1C 1框住，再利用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可.【详解】解：（1）如图所示：△A 1B 1C 1即为所求.由图可知：点A 1的坐标为（﹣1,2），点B 1的坐标为（﹣3,1），点C 1的坐标为（2,﹣1）.（2）用一个长方形将△A 1B 1C 1框住，如上图所示：由图可知：△A 1B 1C 1的面积=5×3－12×1×2－12×2×5－12×3×3=92【点睛】此题考查的是画关于y 轴对称的图形和网格中求面积，掌握关于y 轴对称的图形的画法和用长方形将△A 1B 1C 1框住，再利用长方形的面积减去三个直角三角形的面积，是解决此题的关键.25．（1）BC 解析式为6y x =-+；（2）M （0，65）；（3）点P 的坐标为(1，12)或(1，5).【解析】【分析】（1）设直线BC 的解析式是y=kx+b ，把B 、C 的坐标代入，求出k 、b 即可；（2）先确定出点M 的位置，进而求出直线AB'的解析式即可得出结论；（3）分为两种情况：①当P 在OA 上，此时OP ：AO=1：4，根据A 点的坐标求出即可；②当P 在AC 上，此时CP ：AC=1：4，求出P 即可．【详解】（1）设直线BC的解析式是y=kx+b，根据题意得：606bk b ⎧⎨+⎩＝＝解得16 kb-⎧⎨⎩＝＝则直线BC的解析式是：y=-x+6；（2）如图，作点B（6，0）关于y轴的对称点B'，∴B'（-6，0），连接AB'交y轴于M，此时MA+MB最小，得到△MAB的周长最小设直线AB'的解析式为y=mx+n，∵A（4，2），∴42 60 m nm n+⎧⎨-+⎩＝＝，∴1565 mn⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝，∴直线AB'的解析式为y=16 55x+，令x=0，∴y=6 5，∴M（0，6 5），（3）设OA的解析式是y=ax，则4a=2，解得：a＝12，则直线的解析式是：y＝12 x，①当P在OA上时，∵当△OPC的面积是△OAC的面积的14时，∴P的横坐标是14×4＝1，在y＝12x中，当x=1时，y＝12，则P的坐标是(1，12)；②当P在AC上时，∵△OPC的面积是△OAC的面积的1 4，∴CP：AP=1：5，∵A（4，2）∴在y=-x+6中，当x=1时，y=5，则P的坐标是（1，5），∴P的坐标是：P1(1，12)或P2(1，5)．【点睛】此题考查一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，能求出符合的所有情况是解题的关键．。
2023-2024学年北京通州区初二(上)期中数学试题及答案
2023北京通州初二（上）期中数 学考生须知：1．本试卷共6页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟．2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束后，请将答题卡交回．一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 要使分式12x x +−有意义，x 的取值应满足（ ） A. 2x ≠ B. 2x ≠且1x ≠− C. 1x ≠− D. 2x = 2. 如图所示，AD 是ACE 中CE 边上的高，延长EC 至点B ，使BC CE =，连接AB ．设ABC 的面积为1S ，ACE △的面积为2S ，那么下列判断正确的是（ ）A. 12S S >B. 12S SC. 12S S <D. 不能确定 3. 如果把分式xy x y +中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大3倍 C. 扩大6倍 D. 扩大9倍 4. 已知三条线段的长分别是3，8，a ，如果这三条线段首尾顺次相接能构成一个三角形，那么整数a 的最大值是（ ）A. 11B. 10C. 9D. 75. 计算2112x m m x−⋅+的结果正确的是（ ） A. 12m − B. 12+m C. 12m x − D. 122m m −+ 6. 如果113x y +=，那么分式6xy x y +的值是（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 127. 如图，AC 与BD 相交于点O ，AB DC =，要使ABO DCO △≌△，则需添加的一个条件可以是（ ）A. OB OC =B. A D ∠=∠C. OA OD =D. AOB DOC ∠=∠ 8. 如图，测量河两岸相对的两点A ，B 的距离时，先在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD ＝BC ，再过点D 画出BF 的垂线DE ，当点A ，C ，E 在同一直线上时，可证明△EDC ≌△ABC ，从而得到ED ＝AB ，则测得ED 的长就是两点A ，B 的距离．判定△EDC ≌△ABC 的依据是（ ）A. “边边边”B. “角边角”C. “全等三角形定义”D. “边角边”二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9. 如图，ABC DEF ≅△△，7BC =，4EC =，则CF 的长为_____．10. 计算a b a b b a+−−22的结果是______． 11. 如图，已知AC 平分BAD ∠．请添加一个条件：______，使ABC ADC △△≌．12. 分式方程123x x =+的解为________． 13. 如图，在ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边上的中线，BE AC ⊥，垂足为E ，已知25CBE ∠=︒．那么BAC ∠的度数为______．14. 分式216x y 和234xy 的最简公分母为______． 15. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰三角形ABC 是是“倍长三角形”，底边BC 长为5，则等腰三角形ABC 的周长为______．16. 定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“赋整分式”． 例如：112122323(1)53(1)551;31111111111x x x x x x x x x x x x x x x x +−+−−+−+−−==+=+==+=+−−−−−+++++；将“赋整分式”4121x x +−化为一个整数与一个分子为常数的分式的利的形式是______． 三、解答题（本题共68分，第17－24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：2221a a b a b−−+． 18.解分式方程：22111x x x −=+−． 19. 如图，在ABC 中，延长AC 到点E ，使EA AB =，过点E 作ED AB ∥且ED AC =，连接AD ． 求证：AD BC =．20. 如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 在BC 边上，且AD AE =．求证：BAD CAE ∠=∠．21.先化简，再求值：2231b a a b a b⎛⎫−÷ ⎪+−⎝⎭，其中6a b −=． 22. 如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，CE AB ⊥于点E ，如果50B ∠=︒，30ACE ∠=︒，求ADC ∠的度数．23. 下面是学习了分式混合运算后，甲，乙两名同学解答一道题目中第一步的做法，选择其中一名同学的做法，完成解答过程．24. 如图，在ABC 中，点E 是BC 边上一点，且AB EB =，点D 在AC 上，连接BD ，DE ，如果AD ED =，80A ∠=︒，40CDE ∠=︒，求C ∠的度数．25. 列分式方程解应用题：2022年10月16日，习总书记在中国共产党第二十次全国代表大会上的报告中提出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A 型和B 型两款汽车，已知每辆A 型汽车的进价是每辆B 型汽车的进价的1.5倍，若用1500万元购进A 型汽车的数量比1200万元购进B 型汽车的数量少10辆．求A 型和B 型汽车的进价分别为每辆多少万元？26. 如图，在ABC 中，点 E 在边AB 上，点 D 在边BC 上，且BD BE =，连接AD 、CE ，AD 与CE 相交于点 F ，BAD BCE ∠=∠．求证：（1）BA BC =；（2）AF CF =．27. 如果两个分式M 与N 的差为整数a ，那么称M 为N 的“汇整分式”，整数a 称为“汇整值”，如分式2222222(1),,2111111x x x x M N M N x x x x x x −−==−=−===−−−−−−，则M 为N 的“汇整分式”，“汇整值”2a =．（1）已知分式22692,93x x x A B x x −+==−+，判断A 是否为B 的“汇整分式”，若不是，说明理由；若是，请求出“汇整值”a ；（2）已知分式22,442E x C D x x x −==+++，其中E 为多项式，且C 为D 的“汇整分式”且“汇整值1a =，求E 所表示的多项式．28. 如图，在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，任DA 延长线上报一点F ，使得CF AB =．（1）求证：F BAD ∠=∠；完成下面的证明过程：证明：过点C 作CG AB ∥，交AD 的延长线于点G ．如图1，G BAD ∴∠=∠∵AD 为BC 边上的中线，∴BD =CD ．在ADB 和GDC 中，BAD G ADB GDC BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADB GDC ≌△△．∴______．又∵CF =AB ，∴______．∴______．∵G BAD ∠=∠∴F BAD ∠=∠．（2）过点C 作CE AD ⊥于点E ，如图2．用等式表示线段AF DE 、之间的数量关系，并证明．参考答案一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】A【分析】根据分式的分母不为0可得关于x 的不等式，解不等式即得答案，熟练掌握分式有意义的条件是解题关键． 【详解】解：要使分式12x x +−有意义，则20x −≠，所以2x ≠． 故选：A ．2. 【答案】B【分析】因为BC CE =，AD 是ABC 的高，也是ACE △的高，根据三角形的面积公式即可得出结果，确定两个三角形等底同高是解决本题的关键．【详解】解：根据等底同高，可得：12S S ． 故选B ．3. 【答案】B【分析】根据已知列出算式，再根据分式的基本性质进行化简即可． 【详解】解：()3393333x y xy xy x y x y x y⨯==+++ 即如果把分式xy x y+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值扩大3倍， 故选：B ．【点睛】本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行化简是解此题的关键． 4. 【答案】B【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．根据“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，即可求解．【详解】解：根据题意得：8383a −<<+，即511a <<，∴整数a 的最大值是10．故选：B5. 【答案】A【分析】本题考查了分式的乘法，把分子分解因式约分即可． 【详解】解：()()2211112121m m x m x m m x m x +−−⋅⋅=+−=+． 故选A ．6. 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键根据113x y+=得出3x y xy +=． 【详解】解：∵113x y+=， ∴3x y xy+=， 即3x y xy +=， ∴6623xy xy x y xy==+， 故选：C ．7. 【答案】B【分析】根据全等三角形的判定方法，进行判断即可．【详解】解：AB DC =（已知），AOB DOC ∠=∠（对顶角相等），A 、当OB OC =时，SSA 无法证明ABO DCO △≌△，不符合题意；B 、当A D ∠=∠时，AAS ，可以证明ABO DCO △≌△，符合题意；C 、当OA OD =时，SSA 无法证明ABO DCO △≌△，不符合题意；D 、AOB DOC ∠=∠，两个条件无法证明ABO DCO △≌△，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．8. 【答案】B【分析】由“ASA ”可证△EDC ≌△ABC ．【详解】解：由题意可得∠ABC ＝∠CDE =90°，在△EDC 和△ABC 中ACB DCE CD BC ABC CDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△EDC ≌△ABC （ASA ），故选：B ．【点睛】本题考查三角形全等的判定，掌握判定方法正确推理论证是解题关键．二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9. 【答案】3【分析】利用全等三角形的性质可得7EF BC ==，再解即可．【详解】解：∵ABC DFE ≅，∴7EF BC ==，∵4EC =，∴3CF =，故答案为：3．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．10. 【答案】a b +【分析】根据分式的加减运算进行计算即可求解． 【详解】解：a b a b b a+−−22 22a b a b−=− ()()a b a b a b+−=− a b =+，故答案为：a b +．【点睛】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题的关键．11. 【答案】AB AD =（答案不唯一）【分析】由角平分线的性质可得BAC DAC ∠=∠，要使ABC ADC △△≌，由于AC 是公共边，即已知一组边和一组角分别对应相等，根据全等三角形的判定并结合条件的特点，可补充一组对应边相等或补充一组对应角相等．【详解】解：∵AC 平分BAD ∠，∴BAC DAC ∠=∠，添加AB AD =时，证明ABC ADC △△≌的理由如下：在ABC 与ADC △中，AB AD BAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABC ADC △△≌；添加B D ∠=∠时，证明ABC ADC △△≌的理由如下：在ABC 与ADC △中，B D BAC DAC AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABC ADC ≌；添加ACB ACD ∠=∠时，证明ABC ADC △△≌的理由如下：在ABC 与ADC △中，BAC DAC AC ACACB ACD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()ASA ABC ADC ≌；∴添加一个条件是：AB AD =或B D ∠=∠或ACB ACD ∠=∠．故答案为：AB AD =或B D ∠=∠或ACB ACD ∠=∠．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个一般三角形全等的方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS ，判定两个直角三角形全等的方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．理解和掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．12. 【答案】3x =【分析】先去分母化为整式方程，解整式方程，检验即可． 【详解】解：123x x =+， 方程两边都乘以()3x x +约去分母得：32x x +=，解这个整式方程得3x =，检验：当3x =时，()30x x +≠，∴3x =是原分式方程的解．故答案为：3x =．【点睛】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．13. 【答案】50︒【分析】根据三角形三线合一的性质可得CAD BAD ∠=∠，根据同角的余角相等可得：CBE CAD ∠=∠，再根据等量关系即可求解，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．【详解】解：AB AC =，AD 是BC 边上的中线，CAD BAD ∴∠=∠，AD BC ⊥，BE AC ⊥，90CBE C CAD C ∴∠+∠=∠+∠=︒，25CBE CAD ∴∠=∠=︒，250BAC CAD ∴∠=∠=︒．故答案为：50︒．14. 【答案】2212x y【分析】根据确定最简公分母的方法：取各分母系数的最小公倍数；凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．即可求解，熟练掌握最简公分母的相关知识是解题的关键．【详解】解：分式216x y ，234xy的最简公分母为2212x y ， 故答案为：2212x y ．15. 【答案】25【分析】由等腰ABC 是“倍长三角形”，可知2AB BC =或2BC AB =，若210AB BC ==，可得AB 的长为10；若25BC AB ==，因2.5 2.55+=，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．【详解】解：∵等腰ABC 是“倍长三角形”，∴2AB BC =或2BC AB =，若210AB BC ==，则ABC 三边分别是10、10、5，符合题意，等腰三角形ABC 的周长为1010525++=；若25BC AB ==，则 2.5AB =，ABC 三边分别是2.5、2.5、5，∵2.5 2.55+=，∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；综上所述，等腰三角形ABC 的周长为25，故答案为：25．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系，读懂题意，理解“倍长三角形”是解本题的关键．16. 【答案】3221x +− 【分析】根据分式的加减法及提公因式法整理计算即可，理解题意是解题关键． 【详解】解：4121x x +− 2(21)321x x −+=− 2(21)32121x x x −=+−− 3221x =+−， 故答案为：3221x +−． 三、解答题（本题共68分，第17－24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 【答案】1a b− 【分析】先通分，化成同分母分式，再根据同分母分式加减法法则计算即可．【详解】原式2=()()()()a ab a b a b a b a b −−+−+− 2=()()a a b a b a b −++− =()()a b a b a b ++− 1=a b −． 【点睛】本题主要考查了异分母分式加减法，掌握运算法则是解题的关键．18.【答案】无解【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：22111x x x −=+−， 去分母得：()2121x x x −−=−，解得：=1x −，检验：当=1x −时，210x ，∴原方程无解．19. 【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得到E EAB ∠=∠，再证明()SAS AED BAC △≌△，可得结论，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．【详解】解：∵ED AB ∥，∴E EAB ∠=∠，在AED △和BAC 中， ED AC E EAB EA AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS AED BAC △≌△，∴AD BC =．20. 【答案】见解析【分析】先根据等边对等角得出B C ∠=∠，ADE AED ∠=∠，再由三角形外角的性质即可得出结果，熟练掌握等腰三角形及三角形外角的性质是解题关键．【详解】证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，又∵AD AE =，∴ADE AED ∠=∠，∴BAD CAE ∠=∠．21. 【答案】3a b −，2 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．先计算括号内的，再计算除法，然后把6a b −=代入化简后的结果，即可． 【详解】解：2231b a a b a b ⎛⎫−÷ ⎪+−⎝⎭ ()()3a b a b a b b a b a+−+−=⨯+ ()()3a b a b a a b a+−=⨯+ 3a b −=， 当6a b −=时，原式623==． 22. 【答案】80︒【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，根据三角形内角和定理可得60BAC ∠=︒，从而得到1432DAE BAC ∠=∠=︒，再由直角三角形两锐角互余，即可求解． 【详解】解：∵50B ∠=︒，CE AB ⊥，∴9040BCE B ∠∠=︒−=︒，∴403070ACB BCE ACE ∠∠∠=+=︒+︒=︒，∴18060BAC B ACB ∠=︒−∠−∠=︒．∵AD 平分BAC ∠， ∴1302DAC BAC ∠=∠=︒． ∴18080ADC DAC ACB ∠=︒−∠−∠=︒．23. 【答案】甲或乙，过程见解析【分析】题目主要考查分式的混和运算，熟练掌握分式的四则混和运算法则是解题关键．【详解】解：选择甲同学：231112x x x x x x−⎛⎫−⋅ ⎪−+⎝⎭ 23(1)(1)1(1)(1)(1)(1)2x x x x x x x x x x ⎡⎤+−−=−⋅⎢⎥−+−+⎣⎦3(1)(1)(1)(1)(1)(1)2x x x x x x x x x ⎡⎤+−−+−=⋅⎢⎥−+⎣⎦ 2(2)(1)(1)(1)(1)2x x x x x x x++−=⋅−+ 2x =+；选择乙同学：231112x x x x x x −⎛⎫−⋅ ⎪−+⎝⎭ 3(1)(1)112x x x x x x x +−⎡⎤=−⋅⎢⎥−+⎣⎦ 3(1)(1)(1)(1)1212x x x x x x x x x x+−+−=⋅−⋅−+ 3(1)(1)22x x +−=− 2x =+．24. 【答案】40︒【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，全等三角形的判定与性质，先证明ABD EBD △≌△，可得80BED ∠=︒，再利用三角形的外角和的性质可得答案，证明80BED ∠=︒是解本题的关键．全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等．全等三角形的判定：SSS ，SAS ，AAS ，ASA ，HL ．【详解】解：∵AB EB =，AD ED =，BD BD =，∴()SSS ABD EBD △≌△，∵80A ∠=︒，∴80BED A ∠=∠=︒，∵40CDE ∠=︒，∴40C BED CDE ∠=∠−∠=︒．25. 【答案】B 型汽车的进价为每辆20万元，A 型汽车的进价为每辆30万元．【分析】本题考查了分式方程的应用．设B 型汽车的进价为每辆x 万元，则A 型汽车的进价为每辆1.5x 万元，列出分式方程，解方程即可；正确列出方程是解决本题的关键．【详解】解：设B 型汽车的进价为每辆x 万元，则A 型汽车的进价为每辆1.5x 万元， 依题意得：12001500101.5x x −=， 解得：20x， 经检验，20x 是方程的解且符合实际意义，∴1.530x =，答： B 型汽车的进价为每辆20万元，A 型汽车的进价为每辆30万元．26. 【答案】（1）见解析 （2）见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质；（1）根据“AAS ”证明ABD △≌CBE △，再根据全等三角形的性质得出答案；（2）先根据（1）的结论得BAC BCA ∠=∠，再根据BAD BCE ∠=∠，即可得出FAC FCA ∠=∠，进而证明；【小问1详解】证明：在ABD △和CBE △中，BAD BCE B BBD BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABD △≌CBE △，∴BA BC =；【小问2详解】∵ABD △≌CBE △，∴BAD BCE ∠=∠．∵BA BC =，∴BAC BCA ∠=∠，∴BAC BAD BCA BCE ∠−∠=∠−∠，即FAC FCA ∠=∠，∴FA FC =．27. 【答案】（1）是，1a =−（2）48E x =+【分析】题目主要考查分式的加减混和运算，（1）根据题意，直接计算A B −，根据结果判断即可；（2）先求2(2)(2)1(2)E x x C D x −−+−==+，结合新定义可得2(2)(2)(2)E x x x −−+=+，化简可得E 所代表的多项式，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．【小问1详解】 解：2269293x x x A B x x −+−=−−+ 2(3)2(3)(3)3x x x x x −=−+−+ 3233x x x x −=−++323x x x −−=+ 33x x +=−+ 1=−，∴1a =−；【小问2详解】根据题意得：22222(2)(2)(2)(2)1442(2)(2)(2)E x E x x E x x C D x x x x x x −−+−−+−=−=−==++++++ ∴2(2)(2)(2)E x x x −−+=+，∴48E x =+．28. 【答案】（1）见解析 （2）2AF DE =，证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质.（1）根据题意中全等三角形的性质得出AB CG =，再由等量代换确定CF GC =，利用等边对等角及等量代换即可证明；（2）同（1）方法类似，过点C 作CG AB ∥，交AD 的延长线于点G ，根据等腰三角形的性质及全等三角形的性质，结合图形对相应线段进行等量代换即可得出结果.【小问1详解】证明：过点C 作CG AB ∥，交AD 的延长线于点G ．如图1，G BAD ∴∠=∠∵AD 为BC 边上的中线，∴BD CD =．在ADB 和GDC 中，BAD G ADB GDC BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADB GDC ≌△△．∴AB CG =．又∵CF AB =，∴CF GC =．∴G F ∠=∠．∵G BAD ∠=∠∴F BAD ∠=∠．【小问2详解】过点C 作CG AB ∥，交AD 的延长线于点G ．由（1）得FC GC =，∴FCG ∆是等腰三角形，∵CE FG ⊥，∴CE 平分FG ，∴EF GE =，由（1）得ADB GDC ≌△△，∴AD GD =，∵EG DE DG =+，∴EG AD DE =+，∵EF AF AE =+，∴AD DE AF AE +=+，∴AE DE DE AE AF ++=+，∴2DE AF =，∴2AF DE =．。
初二上期中数学试卷及答案
一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -2B. -1C. 0D. 12. 已知a > 0，b < 0，则下列不等式中正确的是（）A. a > bB. a < bC. -a > -bD. -a < -b3. 下列代数式中，正确的是（）A. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2B. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2C. (a + b)^2 = a^2 - 2ab + b^2D. (a - b)^2 = a^2 + 2ab - b^24. 若x^2 - 5x + 6 = 0，则x的值为（）A. 2B. 3C. 2 或 3D. 无法确定5. 下列函数中，是二次函数的是（）A. y = x^2 + 2x + 1B. y = x^2 + 2C. y = 2x^2 - 4x + 3D. y = 2x + 3二、填空题（每题4分，共20分）6. 若a = 3，b = -2，则a^2 + b^2的值为______。
7. 分数2/3的倒数是______。
8. 若x = 4，则2x + 1的值为______。
9. 若a = -3，b = 2，则a^2 - b^2的值为______。
10. 下列方程中，方程x^2 - 5x + 6 = 0的解为______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 简化下列代数式：（1）(a + b)(a - b)（2）(a - b)^2 - (a + b)^2（3）(x - 1)(x + 1) - (x - 2)(x + 2)12. 解下列方程：（1）2x - 5 = 3x + 1（2）x^2 - 6x + 9 = 013. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若a > 0，b < 0，c > 0，则函数的图像是（）A. 上升的抛物线B. 下降的抛物线C. 上升的直线D. 下降的直线四、应用题（每题10分，共20分）14. 小明骑自行车从A地到B地，若以每小时10公里的速度行驶，则全程需要3小时；若以每小时15公里的速度行驶，则全程需要2小时。
2023-2024学年北京西城区十三中初二(上)期中数学试题及答案
2023北京十三中初二（上）期中数 学考生须知：1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共4页．2．本试卷满分100分，考试时间100分钟．3．在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号．4．考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师．第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1. 在刚过去的10月份中，同学们以饱满的精神状态参加了北京市中学生体育过程性考核．在下列常见的体测项目图标中，是轴对称图形的是（ ）A. 坐位体前屈B. 立定跳远C. 仰卧起坐D. 引体向上2. 下列计算正确的是（ ）A. 236a a a ⋅=B. ()326a aC. 33()ab a b =D.()2222a a b a ab −+=−+3. 下列四个图形中，线段BE 是ABC 的高的是（ ）A.B. C. D.4. 在生物实验课上，老师布置了“测量雉形瓶内部底面内径”的任务．小亮同学想到了以下这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD ，BC 的中点O 固定，利用全等三角形的性质，只要测得C ，D 之间的距离，就可知道内径AB 的长度．此方案中，判定AOB 和DOC △是全等三角形的依据是（ ）A. SSSB. SASC. ASAD. AAS5. 一副三角板拼成如图所示的图形，那么DAC ∠的度数为（ ）A. 60︒B. 75︒C. 90︒D. 105︒6. 若2x my +与2x y −的乘积结果中不含xy 项，则m 的值为（ ）A. 4B. 4−C. 2D. 2−7. 如图1，某温室屋顶结构外框为ABC ，其中30B C ∠=∠=︒，立柱2m AD =，且与横梁BC 垂直．冬季将至，为了增大向阳面面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为EBC （点E 在BA 的延长线上），立柱EFBC ⊥，如图2所示．若此时立柱3m EF =，则向阳面斜梁增加部分AE 的长度为（ ）A. 0.5mB. 1mC. 1.5mD. 2m8. 在平面直角坐标系中，点()0,2A ，点(),0B a ，点(),(0)C m n n >．若ABC 是等腰直角三角形且AB BC =，当12a <<时，点C 的横坐标m 的取值范围是（ ）A. 12m <<B. 23m <<C. 34m <<D. 4m >第Ⅱ卷二、填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分）9. 在平面直角坐标系xOy 中，点()3,1−关于x 轴对称的点的坐标为________．10. 计算：()328124x x x −÷=________．11. 学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动后，邀请同学们参与设计航天纪念章．小明以正八边形为边框，设计了如图所示的作品，则此正八边形徽章一个内角的大小为________°．12. 如图，AD BC =，AD BC ∥，点E 、F 在AC 上，且要使AFD CEB △≌△，还需添加一个条件为：________．13. 在校运动会举办前夕，李老师想设计一款等腰三角形彩旗幡悬挂于赛场上，为同学们加油助威．已知每面彩旗的腰长6AC BC ==，若其底边AB 长度为整数，则底边AB 长度的最大值为________．14. 如图，点O 是ABC 内一点，BO 平分ABC ∠，OD BC ⊥于点D ，连接OA ．若3OD =，10AB =，则AOB 的面积是 ________ ．15. 如图是一个可折叠式的餐桌，其桌面由一个大正方形和四个全等的小正方形构成．当桌角全部打开时（如图①，桌面的最大长度为a ；当桌角全部收起时（如图②，桌面未被桌角覆盖部分的长度为b ．那么，当桌角全部收起时（图②中），桌面未被桌角覆盖的阴影部分面积是________（用含a 、b 的代数式表示）．16. 如图1，在ABC 中，AB AC =，点D 是边BC 的中点，连接AD ，边AC 的垂直平分线MN 交AD于点P ，连接BP ．（1）当60BAC ∠=︒时，如图2，则PBD ∠的度数为________°；（2）当BAC α∠=时，PBD ∠的度数为________（用含α的式子表示）．三、解答题：（本大题共8小题，共68分．其中17题10分，18-21、26题6分，22-25题7分）17. 计算：（1）()()2132x x x −+− （2）()2(2)3x x x −+− 18. 先化简，再求值：()()2324141(2)63x x x x x +−−+÷，其中=1x −． 19. 已知，如图，点A 、E 、F 、B 在同一条直线上，CA AB ⊥，DB AB ⊥，AE FB =，CF DE =．求证：AFC DEB ∠=∠．甲同学很快给出了自己的解答，请你阅读他的解法，并补全相应的证明过程及推理依据．Rt DBERt Rt CAF DBE≌20. 如图，点A 、C 、B 、D 在同一条直线上，BE DF ∥，A F ∠=∠，AB FD =．（1）求证：AE FC =．（2）若25FCD ∠=︒，110A ∠=︒，求EBD ∠的度数．21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的三个顶点的坐标分别是()2,3A ，()10B ,，()1,2C ．（1）在图中作出ABC 关于y 轴对称的111A B C △．（2）如果要使以B ，C ，D 为顶点的三角形与ABC 全等，写出所有符合条件的点D 坐标．22. 我们在学习整式乘法时发现，通过计算几何图形的面积可以得到一些代数恒等式．如图1可以得到222()2a b a ab b +=++，基于此想法，请回答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式： ．（2）利用图3中若干张边长为a 的正方形，边长为b 的正方形和长、宽分别为b 和a 的长方形，可以拼出一个面积为()()22a b a b ++的长方形，请你仿照图2画出拼图方式并标注上对应字母．利用这个长方形面积我们可以得到()()22a b a b ++= ．（3）实际上，通过计算立体图形的体积也可以得到一些代数恒等式．如图4表示的是一个棱长为x 的正方体挖去一个小长方体后重新拼出的一个新长方体，根据此图的变化关系，写出一个代数恒等式： ． 23. 在十一作业中同学们参与了“自制角分仪”的活动，下图是一个同学的作品，他将四根木条顺次钉在一起，其中AB AD =，BC DC =，两根木条的连接处是可以转动的．同学们在一起讨论这个工具的用途．（1）小羽说用这个工具可以快速作出角平分线．在下面的几种用法中，能作出MON ∠的平分线的有 ．（写出所有正确的序号）①OC 是MON ∠的平分线②OB MON ∠的平分线③OA 是MON ∠的平分线（2）对于这个工具的其它用途，小泽发现可以用它作线段的垂直平分线．请结合右图补全求证，并给出证明．如图，已知：AB AD =，BC DC =求证： 垂直平分 ．证明：（3）对于这个工具的其它用途，小高认为通过两次操作可以用它作平行线．右图为第1次操作角分仪的摆放方式，请你在此基础上画出第2次操作的摆放方式（角分仪的对应顶点依次标记为A '，B '，C '，D ），并指明图中的一组平行线．24. 如图，已知点M 是AB 的中点，DC 是过点M 的一条直线，且ACM BDM AE CD BF CD ∠=∠⊥⊥，，，垂足分别为点E ，F ．（1）试说明：AME BMF ≅；（2）猜想MF 与CD 之间的数量关系，并说明理由．25. 如图，已知等边ABC ，点P 在BC 边上，()030PAB αα︒∠=<<︒，点Q 是点P 关于直线AB 的对称点，点D 在AP 上满足120ADQ ∠=︒，延长QD 交AC 于点E ．（1）直接写出DAE ∠和AED ∠的度数（用含α的式子表示）；（2）探究线段AE 、BP 、PC 满足的等量关系，并证明；（3）若4AB =，M 为AB 中点，连接MQ ．当MQ 最短时，直接写出此时BP 的值．26. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(),M a b ，我们将经过点(),0a 且垂直于x 轴的直线记为直线x a =，将经过点()0,b 且垂直于y 轴的直线记为直线y b =．对于点P 给出如下定义，将点P 关于直线x a =对称得到点P '，再将点P '关于直线y b =对称得到点Q ，称点Q 为点P 关于M 的“对应点”．对于图形G 给出如下定义，将图形G 关于直线x a =对称得到图形G '，再将图形G '关于直线y b =对称得到图形W ，称图形W 为图形G 关于M 的“对应图形”．已知ABC 的顶点坐标为()2,0A ，()4,0B ，()3,3C −（1）如图1，若点()1,1M①由定义知，将点A 关于直线1x =对称得到点()0,0，再将点()0,0关于直线1y =对称，得到点()0,2，则点A 关于M 的对应点为()0,2．那么，点()4,0B 关于M 的对应点为 ，点C 关于M 的对应点为 ． ②已知点()11,P n −和点()21,1P n −+，若线段12PP 关于M 的对应线段12Q Q 位于ABC 的内部（不含三角形的边），求n 的取值范围．（2）若y 轴上存在点D ，使得点D 关于M 的对应点恰好落在ABC 的边上，直接写出M 点横坐标a 的取值范围．参考答案第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1. 【答案】D【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．【详解】解：选项A 、B 、C 均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；选项D 能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：D ．2. 【答案】B【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方以及单项式乘以多项式，熟练掌握各个运算法则逐项计算判断即可．【详解】解：A 、2356a a a a ⋅=≠，本选项错误，不符合题意；B 、()326a a =，本选项正确，符合题意；C 、3333()ab a b a b =≠，本选项错误，不符合题意；D 、()2222222a a b a ab a ab −+=−−≠−+，本选项错误，不符合题意， 故选：B ．3. 【答案】C【分析】根据三角形高的画法知，过点B 作AC 边上的高，垂足为E ，其中线段BE 是ABC 的高，再结合图形进行判断．【详解】解：根据三角形高的画法知，过点B 作AC 边上的高，垂足为E ，则线段BE 是ABC 的高，观察四个选项，所以线段BE 是ABC 的高的图是选项C ．故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．4. 【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据题意确定全等三角形的判定条件是解题的关键． 由题意可证()SAS AOB DOC △≌△，然后作答即可．【详解】解：由题意知，OB OC =，AOB DOC ∠=∠，OA OD =，∴()SAS AOB DOC △≌△，故选：B ．5. 【答案】D【分析】本题考查了三角形外角性质，三角板中的角度计算，找准题目中的角度准确计算，利用外角性质求解即可．【详解】解：由题意可知：=45ABC ∠︒，60ACB ∠=︒，4560105DAC ABC ACB ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．故选：D ．6. 【答案】A【分析】本题考查多项式乘多项式，利用多项式乘多项式运算法则将原式展开，然后合并同类项，使xy 项系数为零即可解答．【详解】(2)(2)x y x my −+22242x mxy xy my =+−−()22242x m xy my =+−−，∵2x my +与2x y −的乘积结果中不含xy 项，∴40m −=，解得：4m =，故选：A ．7. 【答案】D【分析】本题主要考查30︒角的直角三角形的性质，掌握30︒角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．【详解】解：∵立柱AD 垂直平分横梁BC ，30B C ∠=∠=︒，∴24m AB AC AD ===，∵30B ∠=︒，∴26m BE EF ==，∴642m AE EB AB =−=−=．故选D ．8. 【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定及性质，过点C 作CD BO ⊥，根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定及性质可得2AOBD OD OB m a ，熟练掌握三角形的判定及性质是解题的关键．【详解】解：过点C 作CD BO ⊥于点D ，如图：AB BC =，90CDB BOA ABC ∠∠∠，90CBD ABO BAO ∠∠∠，在CBD △和BAO 中，CBD BAO CDB BOA CB BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)CBD BAO ≌，AO BD ∴=，()0,2A ，(),0B a ，(),(0)C m n n >，2AO BD OD OB m a ，12a <<，34m ∴<<，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分）9. 【答案】()3,1【分析】本题考查了关于x 轴对称的点的坐标特点，根据关于x 轴对称的点的坐标特点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此即可得到答案．【详解】解：点()3,1−关于x 轴对称的点的坐标为()3,1，故答案为：()3,1．10. 【答案】223x x −【分析】本题考查了多项式除以单项式，运用相应的运算法则作答即可．【详解】()328124x x x −÷3284124x x x x =÷−÷223x x =−，故答案为：223x x −．11. 【答案】135【分析】本题考查正多边形的外角和以及内角与外角之间的关系，利用多边形的外角和求出一个外角的大小，然后再用180度减去外角度数即可．【详解】解：∵正八边形的外角和为360︒，∴每个外角为360845︒÷=︒，∴每个内角为18045135︒−︒=︒，故答案为：135．12. 【答案】D B ∠=∠（答案不唯一）【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定方法有SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL ．由AD BC ∥，可得A C ∠=∠，结合AD BC =，添加一组角相等，可判定AFD CEB △≌△．结合已知在图形上的位置进行选取是解决问题的关键．【详解】解：∵AD BC ∥，∴A C ∠=∠，∵AD BC =，∴可添加D B ∠=∠，在AFD △和CEB 中，A C AD BC D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA AFD CEB ≌，故答案为：D B ∠=∠（答案不唯一）．13. 【答案】11【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系可得012AB ，进而可求解，熟记：“三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键．【详解】解：依题意得：06612AB ，底边AB 长度为整数，∴底边AB 长度的最大值为11，故答案为：11．14. 【答案】15【分析】过O 作OE AB ⊥于点E ，根据角平分线的性质求出OE ，最后用三角形的面积公式即可解答，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．【详解】解：过O 作OE AB ⊥于点E ，∵BO 平分ABC OD BC ∠⊥，于点D ，∴3OE OD ==，∴AOB 的面积为：111031522AB OE ⋅=⨯⨯=， 故答案为：15．15. 【答案】ab【分析】本题考查了整式混合运算的应用，根据图形求出小正方形的边长，再计算出大正方形的边长，然后根据阴影部分面积等于大正方形的面积减去4个小正方形的面积列式计算即可． 【详解】解：由题意得，小正方形的边长为4a b −， ∴大正方形的边长为2422a b a b b −+⨯=+， ∴桌面未被桌角覆盖的阴影部分面积是22222222422444a b a b a ab b a ab b ab −++−+⎛⎫⎛⎫+−⨯=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：ab ．16. 【答案】 ①. 30 ②. 90α︒−##90α−+︒【分析】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．（1）根据等腰三角形的性质及点D 是边BC 的中点，边AC 的垂直平分线MN 交AD 于点P ，得到AP BP =，30BAP ABP ∠=∠=︒，再由60ABC ∠=︒，即可得出结果；（2）根据等腰三角形的性质及点D 是边BC 的中点，边AC 的垂直平分线MN 交AD 于点P ，得到AP BP =，2BAP ABP α∠=∠=，再由1802ABC α∠=︒−，即可得出结果． 【详解】解：（1）AB AC =，∴ABC 是等腰三角形，点D 是边BC 的中点，边AC 的垂直平分线MN 交AD 于点P ，∴AP BP =，60BAC ∠=︒，∴18060602ABC ︒−︒∠==︒， 30BAP ABP ∠=∠=︒，∴30PBD ABC ABP ∠=∠−∠=︒，故答案为：30；（2）AB AC =，∴ABC 是等腰三角形，点D 是边BC 的中点，边AC 的垂直平分线MN 交AD 于点P ，∴AP BP =，BAC α∠=，∴1809022ABC αα︒−∠==︒−，2BAP ABP α∠=∠=，∴90PBD ABC ABP α∠=∠−∠=︒−，故答案为：90α︒−．三、解答题：（本大题共8小题，共68分．其中17题10分，18-21、26题6分，22-25题7分）17. 【答案】（1）223x x −+−（2）2274x x −+【分析】本题考查了整式混合运算，重点是多项式乘多项式法则以及完全平方公式的运用；（1）先算乘法，再合并同类项；（2）先用完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+去括号，再算加减； 【小问1详解】原式22332x x x x =+−−−223x x =−+− ；【小问2详解】原式22443x x x x =−++−2274x x ．18. 【答案】21221x x +−，9【分析】此题主要考查了整式化简求值，先利用整式的乘法和除法运算法则运算，再合并同类项，再把已知数据代入得出答案．【详解】解：原式2216142x x x =−−+21221x x =+−将=1x −代入，原式()212(1)2119=⨯−+⨯−−=． 19. 【答案】AF ；BE ；AF BE =；CE DF =；HL ；全等三角形对应角相等【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，灵活运用垂直的性质根据三角形全等的判定方法证明()Rt Rt HL CAF DBE ≌，即可得出结论．【详解】证明：∵AE FB =，∴AE EF FB EF +=+，即AF BE =．∵CA AB ⊥，DB AB ⊥，∴90A B ∠=∠=︒，在Rt CAF △与Rt DBE 中，AF BE CE DF=⎧⎨−⎩， ∴()Rt Rt HL CAF DBE ≌ ，∴AFC DEB ∠=∠（全等三角形的对应角相等）．20. 【答案】（1）见解析 （2）135︒【分析】（1）根据BE DF ∥，可得ABE D ∠=∠，再证ABE 和FDC △全等即可；（2）利用全等三角形的性质，求出E ∠，根据EBD E A ∠=∠+∠即可解决问题．【小问1详解】证明：∵BE DF ∥，∴ABE D ∠=∠，在ABE 和FDC △中，ABE D AB FD A F ∠=∠=∠=∠，，∴ABE FDC ≌，∴AE FC =；【小问2详解】解：∵ABE FDC ≌， ∴25E FCD ∠=∠=︒，∴25110135EBD E A ∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．21. 【答案】（1）见解析；（2）()0,3、()0,1−、2,1．【分析】（1）由关于y 轴对称的点的坐标的特征先确定A 1，B 1，C 1三点的坐标，再描点，连线即可； （2）根据全等三角形的判定可画出图形，根据图形可直接写出符合条件的点D 坐标．【小问1详解】解：如图1，111A B C △即为所求；【小问2详解】解：如图2所示，点D 的坐标为()0,3或()0,1−或2,1；【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定等，解题关键是牢固掌握关于坐标轴对称的点的坐标的特征并能灵活运用．22. 【答案】（1）2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++（2）拼图见解析，22252a ab b ++（3）()()311x x x x x −=+− 【分析】本题考查了整式的混合运算：（1）依据大正方形的面积等于小图形的面积之和即可求解；（2）根据新长方形的边长画出图形，再根据图形得出等式即可求解；（3）依据原几何体的体积与新几何体的体积相等建立等式即可；利用直接法或间接法分别求出几何图形的面积或体积，然后根据他们的面积或体积相等列出等式是解题的关键．【小问1详解】解：由图可得，正方形的面积()2a b c =++，正方形的面积222222a b c ab ac bc =+++++，2222()222a b c a b c ab bc ac ∴++=+++++，故答案为：2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++．【小问2详解】如图：()()2222252a b a b a ab b ∴++=++．【小问3详解】由图4得：原几何体的体积3311x x x x ， 新几何体的体积11x x x ，()()311x x x x x ∴−=+−，故答案为：()()311x x x x x −=+−． 23. 【答案】（1）①③ （2）AC ，BD ，证明见解析（3）见解析【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定及平行线的性质，三角形全等的判定与性质． （1）根据全等三角形的判定SSS 判断即可；（2）根据垂直平分线的判定解答即可；（3）根据线段垂直平分线的性质及平行线的性质解答即可．【小问1详解】解：①如图所示；在ABC 和ADC △中，AD AB CD CB AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()SSS ABC ADC ∴≌，DAC BAC ∴∠=∠，即MOC NOC ∠=∠，∴OC 是MON ∠的平分线，故①正确；②中AOB 和COM 不全等，不能得出AOB COB ∠=∠，故②错误；类比①的证法，可得出③中BAC DAC ≌，MOA NOA ∴∠=∠，即OC 是MON ∠的平分线，故③正确；故答案为：①③；【小问2详解】结论：AC 垂直平分BD ，证明：∵AD AB =，∴点A 在BD 的垂直平分线上，∵BC DC =，∴点C 在BD 的垂直平分线上，∴AC 垂直平分BD ；【小问3详解】解：同意；理由如下，如图所示：第1次操作为，作BAD ∠的角平分线AC ，连接BD ；第2次操作为，将角分仪点A 与,AC BD 交点的重合，作B A D ∠'''的角平分线A C ''且与A B '重合，由（2）可知、AC 垂直平分BD ，BD 垂直平分B D ''，AC BD ∴⊥，BD B D ''⊥，AC B D '∴∥．24. 【答案】（1）见解析 （2）猜想：2MF CD =，理由见解析．【分析】（1）由题意可得AM BM =、90AEM BFM ∠=∠=︒，再结合ACM BDM ∠=∠运用AAS 即可证明结论；（2）由题意可得90AEM BFM ∠=∠=︒，再根据AME BMF ≅可得EM FM AE BF ==，，进而证明()AAS ACE BDF ≅可得DF CE =，然后根据线段的和差以及等量代换即可解答．【小问1详解】解：∵点M 是AB 的中点，∴AM BM =，∵AE CD BF CD ⊥⊥，，∴90AEM BFM ∠=∠=︒．在AME △和BMF 中，90AEM BFM AME BMFAM AM ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS AME BMF ≅．【小问2详解】解：猜想：2MF CD =．理由如下：∵AE CD BF CD ⊥⊥，，∴90AEM BFM ∠=∠=︒．∵AME BMF ≅，∴EM FM AE BF ==，．在ACE △和BDF 中，90AEC BFD ACM BDMAE BF ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS ACE BDF ≅．∴DF CE =．∵DF CD CF CE EF CF =+=+，，∴CD EF =．∵EF EM FM EM FM =+=，．∴2MF CD =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、全等三角形的判定等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质定理是解答本题的关键．25. 【答案】（1）60DAE α∠︒=−，60AED α∠︒=+（2）PC AE BP =+，证明见解析（3）1【分析】（1）利用等边三角形的性质可得60BAC ∠=︒，结合角的和差运算可得60DAE α∠︒=−，再利用三角形的外角的性质可得60AED α∠︒=+；（2）连接AQ ，在BC 上截取CF BP =，连接AF ．证明AQ QE =， 再证明ABP ACF ≌，可得AP AF =，FAC PAB α∠=∠=，可得AQ AP QE AF ===．再证明AQE PAF △≌△，可得AE PF =，再结合线段的和差可得结论；（3）如图，过M 作MS BC ⊥于S ，连接MQ ，MP ，则90MSB ∠=︒，证明122BM AB ==，MQ MP =，求解112BS BM ==，MS =S ，P 重合时，MP 最小，则MQ 最小，从而可得答案．【小问1详解】解：∵ABC 为等边三角形，∴60BAC ∠=︒，而()030PAB αα︒∠=<<︒， ∴60DAE α∠︒=−，∵120ADQ ∠=︒，∴()1206060AED αα∠=︒−︒−=︒+；【小问2详解】PC AE BP =+；证：连接AQ ，在BC 上截取CF BP =，连接AF ．∵点Q 是点P 关于直线AB 的对称点，∴AQ AP =，QAB PAB α∠=∠=．∵60BAC ∠=︒，∴60QAC QAB BAC AEQ α︒∠=∠+∠=+=∠，∴AQ QE =，180602Q QAC AEQ α∠=−∠−=︒∠−︒．∵ABC 为等边三角形，∴AB AC =，60B C ∠=∠=︒．在ABP 与ACF △中∵AB AC =，60B C ∠=∠=︒，BP CF =，∴()SAS ABP ACF △≌△，∴AP AF =，FAC PAB α∠=∠=，∴602PAF BAC PAB FAC α∠=∠−∠−∠=−︒． ∵AQ AP =，AQ QE =，AP AF =，∴AQ AP QE AF ===．又∵602Q PAF α∠=∠=−︒，∴()SAS AQE PAF △≌△∴AE PF =，∴PC PF FC AE BP =+=+．【小问3详解】如图，过M 作MS BC ⊥于S ，连接MQ ，MP ，则90MSB ∠=︒，∵M 为AB 的中点，4AB =， ∴122BM AB ==， ∵点Q 是点P 关于直线AB 的对称点，∴MQ MP =，∵=60B ∠︒，则906030BMS ∠=︒−︒=︒， ∴112BS BM ==， 当S ，P 重合时，MP 最小，则MQ 最小，∴1BP BS ==．【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，三角形的内角和定理的应用，轴对称的性质，含30︒的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．26. 【答案】（1）①()2,2−，()1,5−；②24n <<（2）12a ≤≤【分析】（1）①根据题目的新定义求解即可；②根据新定义表达出2Q 和1Q ，结合图形即可作答； （2）设点()0,D d ，则点D 关于M 的对应点()2,2D a b d '−，根据点D 关于M 的对应点恰好落在ABC 的边上，可得224a ≤≤，问题得解．【小问1详解】①将点()4,0B 关于直线1x =对称得到点()2,0−，再将点()2,0−关于直线1y =对称得到点()2,2−，则点()4,0B 关于M 的“对应点”为()2,2−，将点()3,3C −关于直线1x =对称得到点()1,3−−，再将点()1,3−−关于直线1y =对称得到点()1,5−，则点()3,3C −关于M 的“对应点”为()1,5−，故答案为：()2,2−，()1,5−；②解：由上述可得点()11,P n −关于M 的“对应点”1Q 为()3,2n −，点()21,1P n −+关于M 的“对应点”2Q 为()3,1n −．如图，线段12Q Q 在ABC 内部，此时只需1Q 在x 轴下方，2Q 在()3,3C −轴上方，即2013n n −<⎧⎨−>−⎩， 解得24n <<；∴n 的取值范围是：24n <<．【小问2详解】设点()0,D d ，∵(),M a b ，∴点D 关于M 的对应点()2,2D a b d '−，∵点D 关于M 的对应点恰好落在ABC 的边上，结合图形有：224a ≤≤，∴12a ≤≤，即a 的取值范围：12a ≤≤．【点睛】本题考查了平面直角坐标系的新定义，轴对称的性质，坐标与图形等知识，解决本题的关键是掌握“对应点”的定义，结合轴对称表示出对应点的坐标，是解答本题的关键．。
人教版八年级上册数学期中考试试卷及答案
人教版八年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．以下列四组线段的长为边，能组成三角形的是（）A．1，4，7B．2，5，8C．3，6，9D．6，8，103．下列图形中具有稳定性的是（）A．直角三角形B．长方形C．正方形D．平行四边形4．图中三角形的个数是（）A．4个B．6个C．8个D．10个5．下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形6．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是（）A．2B．3C．3D．47．如图，△ABC≌△ADE，点D 在BC 上，且∠B＝60°，则∠EDC 的度数等于（）A．30°B．45°C．60°D．75°8．一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为（）A．17B．22C．27D．17或229．如图，ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将ABC 分为三个三角形，则ABO S ：BCO S △：CAO S △等于（）A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：510．如图，已知ΔABC 和ΔDCE 均是等边三角形，点B、C、E 在同一条直线上，AE 与CD 交于点G，AC 与BD 交于点F，连接FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG ＝BF；③FG∥BE；④CF＝CG．其中正确的结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题11．点A（3，﹣1）关于y 轴对称的点的坐标是___________．12．如图，120ACD ∠= ，20B ∠= ，则A ∠的度数是__________.13．如图，AC DC =，BC EC =，请你添加一个适当的条件：_____，使得ABC DEC△≌△14．如图，在△ABC 中，已知点D，E，F 分别为边BC，AD，CE 的中点，且24cm ABC S =△，则S =阴影_________．15．小明从平面镜子中看到镜中电子钟示数的像如图所示，这时的时刻应是________．16．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为_________．17．如图，ABC 中，7565A B ∠=︒∠=︒，，将纸片的一角折叠，使点C 落在ABC 内，若120∠=︒，则2∠的度数是_____________.三、解答题18．如图，作∠BAC 的平分线AP （用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）19．如图，在△ABC 中，∠B=40°，∠C=60°，AE、AD 分别是角平分线和高．求∠DAE 的度数．20．如图，四边形ABCD 中，AB AC =，B C ∠=∠，求证：BD CD =．21．已知：如图，AC=BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD=BC22．如图，在平面直角坐标系中，(2,4)A ，(3,1)B ，(2,1)C --．（1）在图中作出ABC 关于x 轴的对称图形111A B C △；（2）点1A ，1B ，1C 的坐标分别是______，______，______；（3）ABC 的面积为______．23．如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，求证：AM 平分DAB ∠．24．已知：如图，∠A＝∠D＝90°，点E、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：△OEF 是等腰三角形．25．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝10cm，若点M 从点B 出发以2cm/s 的速度向点A 运动，点N 从点A 出发以1cm/s 的速度向点C 运动，设M，N 分别从点B，A 同时出发，运动的时间为ts．（1）用含t 的式子表示线段AM，AN 的长；（2）当t 为何值时，△AMN 是以MN 为底边的等腰三角形？（3）当t 为何值时，MN∥BC？26．如图，AD 与BC 相交于点O，OA OC =，A C ∠=∠，BE DE =．（1）求证：OE 是BD 的垂直平分线；（2）如图2，若OE 与BD 的交点K 是OE 的中点，写出图中所有的等腰三角形．参考答案1．B【解析】【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可．【详解】解：根据轴对称图形的概念可知：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项正确．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．D【解析】【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断后即可得出答案．【详解】解：A、∵1+4=5＜7，∴1，4，7不能组成三角形，故本选项错误；B、∵2+5=7＜8，∴2，5，8不能组成三角形，故本选项错误；C、∵3+6=9，∴3，6，9不能组成三角形，故本选项错误；D、6+8=14＞10∴6，8，10能组成三角形，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边是解题的关键．3．A【解析】【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．【详解】解：三角形具有稳定性．故选：A．【点睛】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性．4．C【解析】【分析】根据三角形的定义即可得．【详解】图中的三角形是,,,,,,,ABC ABE ACD BCF BCE BCD BDF CEF ，共8个故选：C．【点睛】本题考查了三角形的定义，掌握理解三角形的概念是解题关键．5．B【解析】【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意得（n-2）•180°=360°，解得n=4．故选：B．6．A【分析】利用角平分线的性质解答．【详解】解：过点P作PE⊥OA于E，∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，∴PE=PD=2，故选：A．【点睛】此题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．7．C【解析】【分析】根据全等三角形的性质：对应角和对应边相等解答即可．【详解】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠ADE=60°，AB=AD，∴∠ADB=∠B=60°，∴∠EDC=60°．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．8．B【解析】【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：（1）若4为腰长，9为底边长，由于4+4＜9，则三角形不存在；（2）若9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为9+9+4=22．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．9．C【解析】【分析】过点O 作OD AC ⊥于D ，OE AB ⊥于E ，OF BC ⊥于F ，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得：OE OF OD ==，依据三角形面积公式求比值即可得．【详解】解：过点O 作OD AC ⊥于D ，OE AB ⊥于E ，OF BC ⊥于F ，点O 是三条角平分线交点，OE OF OD \==，ABO S ∴ ：BCO S △：12CAO S AB OE =⋅⋅ ：12BC OF ⋅⋅：12AC OD ⋅⋅::2:3:4AB BC AC ==，故选：C．【点睛】题目主要考查角平分线的性质及三角形面积公式，理解角平分线的性质是解题关键．10．A【解析】【分析】首先根据等边三角形的性质，得到BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠BCD=60°，然后由SAS 判定△BCD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；又由全等三角形的对应角相等，得到∠CBD=∠CAE，根据ASA，证得△BCF≌△ACG，即可得到②正确，证得CF=CG，得到△CFG是等边三角形，易得③④正确．【详解】解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠BCD=∠ACE，∠ACD=60°，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE=BD，（①正确）∠CBD=∠CAE，∵∠BCA=∠ACG=60°，AC=BC，∴△BCF≌△ACG（ASA），∴AG=BF，（②正确）CF=CG，∴△CFG是等边三角形，∴CF=CG∴∠CFG=∠FCB=60°，∴FG∥BE，（③④正确）正确的结论为①②③④，故选A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，此题图形比较复杂，解题的关键是仔细识图，合理应用数形结合思想．11．（－3，－1）【解析】【分析】根据关于y 轴对称点的坐标特点，纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数．【详解】点坐标关于y 轴对称的变换规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变，则点()3,1A -关于y 轴对称的点的坐标是()3,1--，故答案为：()3,1--．【点睛】本题考查了点坐标规律探索，熟练掌握点坐标关于y 轴对称的变换规律是解题关键．12．100︒【解析】【分析】根据三角形外角定理求解即可．【详解】∵120ACD B A ∠=∠+∠= ，且20B ∠= ，∴12012020100A B ∠=︒-∠=︒-︒=︒．故答案为：100︒【点睛】本题主要考查三角形外角定理，熟练掌握定理是关键．13．AB=DE（答案不唯一）．【解析】【详解】解：添加条件是：AB=DE，在△ABC 与△DEC 中，AC DC BC EC AB DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△DEC．故答案为AB=DE．本题答案不唯一．14．21cm 【解析】【分析】因为点F 是CE 的中点，所以△BEF 的底是△BEC 的底的一半，△BEF 高等于△BEC 的高，所以S△BEF＝12S△BEC，同理可求△EBC 的面积是△ABC 面积的一半，据此求解即可．【详解】解：点F 是CE 的中点，∴△BEF 的底是EF，△BEC 的底是EC，即EF＝12EC，而高相等，∴S△BEF＝12S△BEC，∵E 是AD 的中点，∴S△BDE＝12S△ABD，S△CDE＝12S△ACD，∴S△EBC＝12S△ABC，∴S△BEF＝14S△ABC，∵24cm ABC S =△，∴S△BEF＝12cm ，即S =阴影12cm ，故答案为：21cm ．本题主要考查了三角形中线的性质，三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．15．16:25:08【解析】【分析】关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字．【详解】解：∵是从镜子中看，∴对称轴为竖直方向的直线，∵5的对称数字为2，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，∴这时的时刻应是16:25:08.故答案为16:25:08.【点睛】本题考查镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5，5的对称数字是2．16．50︒或80︒．【解析】【分析】讨论这个50︒的角是顶角或是底角两种情况求解即可．解：若50︒的角是顶角，则底角是18050652°-°=°，成立；若50︒的角是底角，则顶角是18025080︒-⨯︒=︒，成立；顶角为50°或80°．故答案是：50︒或80︒．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．17．60︒【解析】【分析】根据题意，已知∠A=65°，∠B=75°，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解．【详解】解：∵∠A=75°，∠B=65°，∴∠C=180°-（65°+75°）=40°，∴∠CDE+∠CED=180°-∠C=140°，∴∠2=360°-（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）=360°-300°=60°．故答案为:60°.【点睛】本题通过折叠变换考查三角形、四边形内角和定理．注意折叠前后图形全等；三角形内角和为180°；四边形内角和等于360度．18．见解析【解析】按角平分线的画法作图即可．【详解】解：如下图，射线AP为所求作，19．10°．【分析】先根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠EAC=12∠BAC，而∠DAC=90°-∠C，然后利用∠DAE=∠EAC-∠DAC进行计算即可．【详解】在△ABC中，∵∠B=40°，∠C=60°∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠EAC=12∠BAC=12×80°=40°，∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°∴在△ADC中，∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-60°=30°，∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=40°-30°=10°．20．见解析连接BC，利用等腰三角形的等边对等角证得A ABC CB =∠∠，进而证得DBC DCB ∠=∠，再根据等腰三角形的等角对等边即可得证．【详解】连接BC ，如图，∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，又∵ABD ACD ∠=∠，∴DBC DCB ∠=∠，∴BD CD =．21．见解析【分析】连接CD，利用HL 定理得出Rt△ADC≌Rt△BCD 进而得出答案．【详解】证明：如图，连接CD，∵AD⊥AC，BC⊥BD，∴∠A=∠B=90°，在Rt△ADC 和Rt△BCD 中CD CDAC BD =⎧⎨=⎩，∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL），∴AD=BC．22．（1）见解析；（2）(2,4)-；(3,1)-；(2,1)-；（3）172．【分析】（1）首先作出A、B、C 三点关于x 轴的对称点，再顺次连接即可；（2）根据（1）得出对应点位置进而得出答案；（3）直接利用△ABC 所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．【详解】解：（1）如图所示，（2）点1A ，1B ，1C 的坐标分别是(2,4)-；(3,1)-；(2,1)-；故答案为：(2,4)-；(3,1)-；(2,1)-；（3）S△ABC =5×5-12×4×5-12×1×3-12×2×5=172；故答案为：17 2．【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．23．见解析【解析】【分析】由题意利用角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，以及到角两边距离相等的点在角的角平分线上进行分析证明．【详解】解：如图，过点M作ME⊥AD于F，∵∠C=90°，DM平分∠ADC，∴ME=MC，∵M是BC的中点，∴BM=CM，∴BM=EM，又∵∠B=90°，∴点M在∠BAD的平分线上，∴AM 平分∠DAB．【点睛】本题考查角平分线性质和角平分线的判定，熟练掌握角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键．24．见解析【解析】【分析】证明Rt△ABF≌Rt△DCE，根据全等三角形的性质得到∠AFB＝∠DEC，根据等腰三角形的判定定理证明结论．【详解】证明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，在Rt△ABF 和Rt△DCE 中，AB DC BF CE=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）∴∠AFB＝∠DEC，∴OE＝OF，∴△OEF 是等腰三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．25．（1）AM＝10－2t，AN＝t；（2）t＝103；（3）t＝2.5【解析】【分析】（1）根据线段的和差即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∴AM=AN，列方程即可得到结论；（3）根据题意列方程即可得到结论．【详解】解：（1）AM=AB-BM=10-2t，AN=t；（2）∵△AMN是以MN为底的等腰三角形，∴AM=AN，即10-2t=t，解得，103 t=∴当103t=时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形；（3）当MN⊥AC时，MN∥BC．∵∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=30°∵MN∥BC，∴∠NMA=30°∴AN=12AM，∴t=12（10-2t），解得t=2.5，∴当t=2.5时，MN∥BC．【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定及平行线的判定与性质，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键．26．（1）见解析；（2）DBO ，DEB ，EBO △，DEO【解析】【分析】（1）先证△ABO 和△CDO 全等，得到BO=OD，结合BE DE =，利用垂直平分线的判定即可得解；（2）结合已知和已证及垂直平分线的性质，由图直接写出即可；【详解】解：（1）在△ABO 和△CDO 中，A C OA OC AOB COD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ABO CDO △≌△，∴OB OD =，∴点O 在线段BD 的垂直平分线上，又∵BE DE =，∴点E 在线段BD 的垂直平分线上，∴OE 是BD 的垂直平分线；（2）∵OE 是BD 的垂直平分线；又∵K 是OE 的中点，∴,,OB BE OD DE ==∵BE DE =，∴=OB BE OD DE==故等腰三角形有：DBO ，DEB ，EBO △，DEO。
人教版八年级上册数学期中考试试卷附答案
人教版八年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，ABC 中，65,50A B ∠=︒∠=︒，点D 在BC 延长线上，则ACD ∠的度数是（）A ．65B ．105C ．115D ．1253．要使如图所示的五边形木架不变形，至少要再钉上几根木条（）A ．1根B ．2根C ．3根D ．4根4．如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS5．如图，∠A ＝∠D ，BC ＝EF ，要得到△ABC ≌△DEF ，可以添加（）A ．DE//AB B ．EF//BC C ．AB ＝DED ．AC ＝DF6．将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中α∠的度数是（）A．15°B．30°C．65°D．75°7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD平分∠BAC，交BC边于点D．若CD＝3，则△ABD的面积为（）A．15B．30C．10D．208．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点C落在四边形ABDE的外部时，此时测得∠1＝110°，∠C＝36°，则∠2的度数为（）°A．35B．36C．37D．389．如图，AE是△ABC的角平分线，AD是△AEC的角平分线，若∠BAC＝80°，则∠EAD ＝（）A．30°B．45°C．20°D．60°10．如图所示，AC和BD相交于O，AO＝DO，AB⊥AC，CD⊥BD，那么AB与CD的关系是（）A．一定相等B．可能相等也可能不相等C．一定不相等D．增加条件后，它们相等二、填空题11．一个正多边形的每个外角都等于72°，则它的边数是________．12．若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为__________．13．一个七边形的内角和等于________°．14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD 于点G，交BE于点H，下面说法正确的有___．①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④AF＝FB．15．如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D为AB的延长线上一点，且∠CBD＝120°，则∠C ＝_____．16．如图，△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB ＝6cm，AC＝8cm，则△AEC的面积为_____．三、解答题17．（1）利用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD交BC于点D（保留作图痕迹，不用写作法）；（2）若AB＝AC，求证：BD＝CD．18．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝40°，∠C＝72°，求∠AEC和∠DAE的度数．19．如图，在平面直角坐标系中，已知∠DAO＝∠CBO＝90°，DO⊥CO于点O，CO平分∠BCD．（1）求证：DO平分∠ADC；（2）若点A的坐标是（﹣3，0），求点B的坐标．20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA 于点E，点F在AC上，且BD＝DF．（1）求证：AC＝AE；（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长．21．如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE交于点H，连CH．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）求证：HC平分∠AHE；（3）求∠CHE的度数（用含α的式子表示）．22．如图，已知四边形ABCD和直线l，求作四边形ABCD以直线l为对称轴的对称图形A1B1C1D1．23．如图，∠ABD＝125°，∠A＝50°，求∠ACE的度数．24．已知：如图，点E，A，C在同一条直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：BC=ED．25．（1）如图（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE＝BD+CE；（2）如图（2）将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m 上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE 是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．参考答案1．B【解析】【分析】利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；B、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．2．C【解析】【分析】先利用三角形内角和定理求出∠ACB的度数，然后根据补角的定义求出∠ACD即可.【详解】解：∵∠A=65°，∠B=50°∴∠ACB=180°-∠A-∠B=65°∵∠ACB+∠ACD=180°∴∠ACD=115°故选C.【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理和补角的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.3．B【解析】【分析】三角形具有稳定性，钉上木条后，使五边形变为三角形的组合即可解题．【详解】AC CE，使五边形变为三个三角形，解：如图，钉上木条,根据三角形具有稳定性，可知这样的五边形不变形，故选：B．【点睛】本题考查三角形的稳定性，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．4．D【解析】【分析】根据作图过程，可知,OA OB CE EF BA CF ====，进而即可得判定图中两三角形全等的条件．【详解】如图，由作图可知,OA OB CE EF BA CF====在AOB 与CEF △中AO CE OB EF AB CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴AOB ≌CEF △（SSS ）故选D【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．5．B【解析】【分析】根据三角形全等的判定方法求解即可．判定三角形全等的方法有：SSS ，SAS ，AAS ，ASA ，HL(直角三角形)．【详解】解：A 、∵DE//AB ，∴∠A ＝∠D ，又∵BC ＝EF ，只有两组相等的条件，∴不能判定△ABC ≌△DEF ，不符合题意；B 、∵EF//BC ，∴∠EFC=∠BCF ，又∵∠A ＝∠D ，BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF(AAS)，∴可以证明△ABC ≌△DEF ，符合题意；C 、∵AB ＝DE ，又∵∠A ＝∠D ，BC ＝EF ，两边及其一边的对角对应相等不能证明两个三角形全等，∴不能证明△ABC ≌△DEF ，不符合题意；D 、∵AC ＝DF ，又∵∠A ＝∠D ，BC ＝EF ，两边及其一边的对角对应相等不能证明两个三角形全等，∴不能证明△ABC ≌△DEF ，不符合题意．故选：B ．6．D【解析】根据三角形内角和定理求出即可．【详解】解：如图，∵ABC ∆和DEF ∆都是直角三角形，且30,45B E ∠=︒∠=︒∴45,60EFD ACB ∠=︒∠=︒∵++180EFD ACB FAC ∠∠∠=︒∴180456075FAC ∠=︒-︒-︒=︒，即75α=︒故选：D．【点睛】此题主要考查了三角形的内角和，熟练掌握三角形内角和定理是解答此题的关键．7．A【解析】【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD=3，∴△ABD的面积=12AB•DE=12×10×3=15．故选：A．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并求出AB边上的高是解题的关键．8．D【解析】【分析】根据折叠性质得出∠C′=∠C=35°，根据三角形外角性质得出∠DOC=∠1-∠C=74°，∠2=∠DOC-∠C′=38°．【详解】解：如图，设C′D与AC交于点O，∵∠C=36°，∴∠C′=∠C=36°，∵∠1=∠DOC+∠C，∠1=110°，∴∠DOC=∠1-∠C=110°-36°=74°，∵∠DOC=∠2+∠C′，∴∠2=∠DOC-∠C′=74°-36°=38°．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和定理及三角形的外角定理是解题的关键．9．C【解析】【分析】根据角平分线的性质即可求解．【详解】∵∠BAC＝80°，AE是△ABC的角平分线，∴∠EAC＝12∠BAC＝40°，∵AD是△AEC的角平分线，∴∠EAD＝12∠EAC＝20°．故选C．【点睛】考查了三角形的角平分线．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．10．A【解析】根据已知条件证明△OAB ≌△ODC ，即可求解.【详解】∵AB ⊥AC ，CD ⊥BD ，∴∠A ＝∠D ＝90°，在△OAB 和△ODC 中，A D OA D AOB DOC O ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△OAB ≌△ODC （ASA ），∴AB ＝CD ，故选A ．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知ASA 判定三角形全等.11．5【解析】【分析】多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．【详解】解：360÷72=5．故它的边数是5．故答案为：5．【点睛】考查了多边形内角与外角，根据正多边形的外角和求多边形的边数是常用的一种方法，需要熟记．12．17【解析】【分析】有两种情况：①腰长为3，底边长为7；②腰长为7，底边长为3，分别讨论计算即可.①腰长为3，底边长为7时，3+3＜7，不能构成三角形，故舍去；②腰长为7，底边长为3时，周长=7+7+3=17.故答案为17.【点睛】本题考查等腰三角形的性质，当腰和底不明确的时候，需要分类讨论，并利用三边关系舍去不符合题意的情况.13．900【解析】【分析】根据多边形的内角和公式(2)180n -⋅︒进行计算即可．【详解】解：一个七边形的内角和等于(72)18=9000-︒⋅︒，故答案为：900．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，记住内角和公式是解题的关键．14．①②③【解析】【分析】根据三角形中线的性质可证明①；根据三角形的高线可得∠ABC=∠CAD ，利用三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解∠AFC=∠AGF ，可判定②；根据角平分线的定义可求解③；根据已知条件无法判定④．【详解】解：∵BE 是△ABC 的中线，∴AE=CE ，∴△ABE 的面积等于△BCE 的面积，故①正确；∵AD 是△ABC 的高线，∴∠ADC=90°，∴∠ABC+∠BAD=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAD=90°，∴∠ABC=∠CAD，∵CF为△ABC的角平分线，∴∠ACF=∠BCF=12∠ACB，∵∠AFC=∠ABC+∠BCF，∠AGF=∠ACF+∠CAD，∴∠AFC=∠AGF=∠AFG，故②正确；∵∠BAD+∠CAD=∠ACB+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠ACD，∴∠BAD=2∠ACF，即∠FAG=2∠ACF，故③正确；因为CF是∠ACB的角平分线，只有AC=BC时，才能得到AF=FB，由已知∠BAC=90°，则有AC＜BC，所以AF≠FB根据已知条件无法证明AF=FB，故④错误，故答案为：①②③．【点睛】本题主要考查三角形的中线，高线，角平分线，灵活运用三角形的中线，高线，角平分线的性质是解题的关键．15．80°【解析】【分析】根据三角形的外角定理即可求解.【详解】由三角形的外角性质得，∠C＝∠CBD﹣∠A＝120°﹣40°＝80°．故答案为80°【点睛】此题主要考查三角形的外角定理，解题的关键熟知三角形的外角性质.【解析】【分析】先求出△ABC 的面积，再利用中线的性质求出△AEC 的面积.【详解】△ABC 的面积＝12×6×8＝24，∵AE 是△ABC 和中线，∴△AEC 的面积＝12×△ABC 的面积＝12（cm 2），故答案为12cm 2．17．（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）利用角平分线的作法得出AD 即可；（2）证明△ABD ≌△ACD 即可得到结论．【详解】解：（1）如图，AD即为所求；（2）∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD=∠CAD ，在△ABD 和△ACD 中，AB ACBAD CAD AD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD （SAS ），【点睛】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质，得出△ABD≌△ACD是解题关键．18．74°，16°【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义得到∠BAE=∠CAE=12∠BAC=34°，根据三角形的外角性质求出∠AEC，根据直角三角形的性质求出∠DAE．【详解】解：∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∠B=40°，∠C=72°，∴∠BAC=68°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=34°，∴∠AEC=∠B+∠BAE=74°，∵AD⊥BC，∴∠ADE=90°，∴∠DAE=90°-∠AEC=16°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的高和角平分线，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．19．（1）见解析；（2）（3，0）【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义以及等角的余角相等得出∠5=∠6，即可得出结论；（2）过点O作OF⊥CD于F，根据全等三角形的判定和性质即可求解．【详解】解：（1）证明：∵CO平分∠BCD，∠1=∠2∵∠CBO=90°，∴∠2+∠3=90°，∵DO⊥CO，∴∠DOC=90°，∴∠3+∠4=90°，∠1+∠6=90°，∴∠2=∠4，∴∠1=∠2=∠4，∵∠DAO=90°，∴∠4+∠5=90°，∵∠1+∠6=90°，∠1=∠2=∠4，∴∠5=∠6，∴DO平分∠ADC；（2）解：过点O作OF⊥CD于F，∴∠DFO=90°，∵∠DAO=90°，∴∠DFO=∠DAO，在△DFO和△DAO中，56DAO DFO DO DO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DFO ≌△DAO （AAS ），∴OA=OF ，同理可得：OF=OB ，∴OA=OB ，∵点A 的坐标是（-3，0），∴点B 的坐标是（3，0）．【点睛】本题考查平分线的定义，全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质，证明△DFO ≌△DAO 是解题的关键．20．（1）见解析；（2）3【解析】【分析】（1）证明△ACD ≌△AED （AAS ），即可得出结论；（2）在AB 上截取AM=AF ，连接MD ，证△FAD ≌△MAD （SAS ），得FD=MD ，∠ADF=∠ADM ，再证Rt △MDE ≌Rt △BDE （HL ），得ME=BE ，求出MB=AB-AM=6，即可求解．【详解】解：（1）证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC=∠DAE ，∵DE ⊥BA ，∴∠DEA=∠DEB=90°，∵∠C=90°，∴∠C=∠DEA=90°，在△ACD 和△AED 中，C DEA DAC DAE AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△AED （AAS ），（2）在AB 上截取AM=AF ，连接MD ，在△FAD 和△MAD 中，AF AM DAF DAM AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FAD ≌△MAD （SAS ），∴FD=MD ，∠ADF=∠ADM ，∵BD=DF ，∴BD=MD ，在Rt △MDE 和Rt △BDE 中，MD BD DE DE =⎧⎨=⎩，∴Rt △MDE ≌Rt △BDE （HL ），∴ME=BE ，∵AF=AM ，且AF=1.4，∴AM=1.4，∵AB=7.4，∴MB=AB-AM=7.4-1.4=6，∴BE ＝12BM ＝3，即BE 的长为3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明△FAD ≌△MAD 和Rt △MDE ≌Rt △BDE 是解题的关键．21．（1）见解析；（2）见解析；（3）90°-12α【分析】（1）由CA=CB ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=α，利用SAS ，即可判定：△ACD ≌△BCE ；（2）首先作CM ⊥AD 于M ，CN ⊥BE 于N ，由△ACD ≌△BCE ，可得CM=CN ，即可证得HC 平分∠AHE ；（3）由△ACD ≌△BCE ，可得∠CAD=∠CBE ，继而求得∠AHB=∠ACB=α，则可求得∠CHE 的度数．【详解】解：（1）证明：∵∠ACB=∠DCE=α，∴∠ACD=∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，CA CBACD BCE CD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）；（2）证明：过点C 作CM ⊥AD 于M ，CN ⊥BE 于N，∵△ACD ≌△BCE ，,AD BE ∴=∴CM=CN ，∴HC 平分∠AHE ；（3）∵△ACD ≌△BCE ，∴∠CAD=∠CBE ，∴∠AHB=∠ACB=α，∴∠AHE=180°-α，∴∠CHE=12∠AHE=90°-12α．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．22．见解析【解析】【分析】从四点向L引垂线并延长，分别找到四点的对称点，然后顺次连接即可.【详解】如图所示，四边形A1B1C1D1即为所求．【点睛】考查的是作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质．基本作法：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．23．105°【解析】【分析】根据平角的性质先求出∠ABC，再利用外角定理求出∠ACE的度数.【详解】∵∠ABD＝125°，∴∠ABC＝180°﹣125°＝55°，∴∠ACE＝∠ABC+∠A＝55°+50°＝105°【点睛】此题主要考查三角形的外角，解题的关键是熟知三角形的外角定理.24．见解析【解析】【分析】首先由AB∥CD，根据平行线的性质可得∠BAC=∠ECD，再由条件AB=CE，AC=CD可证出△BAC和△ECD全等，再根据全等三角形对应边相等证出CB=ED．【详解】证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ECD，∵在△BAC和△ECD中，AB=EC，∠BAC=∠ECD，AC=CD，∴△BAC≌△ECD（SAS）.∴CB=ED．【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质．25．（1）见解析；（2）成立，理由见解析【解析】【分析】（1）根据AAS证明△ADB≌△CEA，得到AE＝BD，AD＝CE，即可证明；（2）同理证明△ADB≌△CEA，得到AE＝BD，AD＝CE，即可证明；【详解】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，ABD CAEBDA CEA AB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE ＝BD ，AD ＝CE ，∴DE ＝AE+AD ＝BD+CE ；（2）∵∠BDA ＝∠BAC ＝α，∴∠DBA+∠BAD ＝∠BAD+∠CAE ＝180°﹣α，∴∠CAE ＝∠ABD ，∵在△ADB 和△CEA 中，ABD CAEBDA CEA AB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE ＝BD ，AD ＝CE ，∴DE ＝AE+AD ＝BD+CE ．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理.。
2024年人教版初二数学上册期中考试卷(附答案)
2024年人教版初二数学上册期中考试卷(附答案)一、选择题（每题1分，共5分）1.下列哪个数是质数？A. 4B. 6C. 7D. 92.下列哪个图形是轴对称图形？A. 正方形B. 矩形C. 梯形D. 圆3.下列哪个不等式成立？A. 3x < 5B. 2x > 8C. 4x = 12D. 5x ≤ 154.下列哪个数是平方数？A. 3B. 4C. 5D. 65.下列哪个函数是一次函数？A. y = 2x + 3B. y = x^2C. y = 3x^3D. y = 4x + 5x二、判断题（每题1分，共5分）1.两个偶数的和一定是偶数。
（）2.一个等腰三角形的底边长度是腰长的一半。
（）3.一个正方形的对角线长度等于边长的根号2倍。
（）4.一个数的立方根等于它的平方根的平方。
（）5.两个相邻的整数一定互质。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1.一个正方形的周长是20厘米，它的边长是______厘米。
2.一个长方体的长、宽、高分别是2厘米、3厘米、4厘米，它的体积是______立方厘米。
3.一个等腰三角形的底边长是10厘米，腰长是8厘米，它的面积是______平方厘米。
4.一个数是另一个数的两倍，它们的差是______。
5.一个一次函数的斜率是2，它经过点（1，3），这个函数的解析式是______。
四、简答题（每题2分，共10分）1.简述平行四边形的性质。
2.简述一次函数的定义。
3.简述等差数列的定义。
4.简述平方根的定义。
5.简述圆的性质。
五、应用题（每题2分，共10分）1.一个长方形的长是10厘米，宽是6厘米，求它的周长和面积。
2.一个等腰三角形的底边长是8厘米，腰长是5厘米，求它的面积。
3.一个一次函数的斜率是3，它经过点（2，5），求这个函数的解析式。
4.一个数的立方是64，求这个数。
5.一个圆的半径是4厘米，求它的周长和面积。
六、分析题（每题5分，共10分）1.分析正方形的性质，并举例说明。
初二数学上册期中试卷及答案
初二数学上册期中试卷及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列数中是无理数的是：A. √2B. √4C. 3D. 0.3答案：A2. 已知等差数列的前5项和为25，公差为2，首项为：A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B3. 下列函数中，奇函数是：A. y = x²B. y = x³C. y = |x|D. y = 2x答案：B4. 若平行四边形ABCD的对角线交于点E，已知BE=4，CE=6，那么BD的长度是：A. 5B. 10C. 20D. 12答案：B5. 在三角形ABC中，a=8, b=10, sinA=3/5，那么sinB的值是：A. 4/5B. 3/5C. 2/5D. 1/5答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知等差数列的首项为3，公差为2，第10项为________。
答案：212. 若向量a=(2,3)，向量b=(-1,2)，那么向量a+b的坐标为________。
答案：(1,5)3. 函数y=2x+3的逆函数为________。
答案：y=1/2x-3/24. 在直角坐标系中，点P(3,-2)关于y轴的对称点坐标为________。
答案：(-3,-2)5. 三角形ABC中，a=8, b=10, sinA=3/5，那么cosB的值是________。
答案：4/5三、解答题（每题10分，共30分）1. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求该数列的前10项和。
答案：1002. 解方程组：\[\begin{cases}x+y=6 \\x-y=2\end{cases}\]答案：x=4, y=23. 函数y=2x+3的图象上任意一点P(x,y)满足y-5=3(x-2)，求点P的坐标。
答案：P(2,5)四、应用题（每题10分，共20分）1. 小明家距学校8千米，他骑自行车去学校，速度为15米/分钟，求他到学校需要的时间。
答案：53.33分钟2. 某商品原价为1000元，商店举行打折活动，折扣率为8折，求打折后的商品价格。
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2018-2019学年第一学期期中考试
初二数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的考试号、姓名、班级，用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在答题纸相对应的位置上，并认真核对；
2．考生答题必须答在答题纸上，答在试卷和草稿纸上一律无效．
一．选择题：(本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确答案填写在答题卷相应的位置)
1．下列图形中，是轴对称图形的有 (▲)
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．在4π，1．736227，2等数中，无理数的个数为 (▲) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3．下列说法正确的是 (▲)
A ±1
B ．1的立方根是±1
C ．一个数的算术平方根一定是正数
D ．9的平方根是±3
4+3的值 (▲)
A ．在5到6之间
B ．在6到7之间
C ．在7到8之间
D ．在8到9之间
5．己知等腰三角形的一个外角为140°，那么这个等腰三角形的顶角等于 (▲)
A ．100°
B ．40°
C ．40°或70°
D ．40°或100°
6．下列各组数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是 (▲)
A ．6，8，10
B ．5，12，13
C ．9，40，41
D ．7，9，12
7．如图，△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、AB 于
点E 、O 、F ，则图中全等的三角形的对数是 (▲)
A ．2对
B ．3对
C ．4对
D ．5对
8．如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC=5， DE=2，则△BCE 的面积等于 (▲)
A ．10
B ．7
C ．5
D ．4
9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，若点A 关于CD 所在直线
的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是(▲)
A．30°B．45°C．60°D．75°
10．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得△AFB，连接EF，下列结论：
①△AE D≌△AEF；②△ABC的面积等于四边形AFBD的面积：③BE+DC=DE；
④BE2+DC2=DE2；⑤∠DAC=22．5°，其中正确的是(▲)
A．①③④B．③④⑤C．①②④D．①②⑤
二．填空题：(本大题共10小题，每题3分，共30分，把答案填写在答题卷相应位置上)
11的算术平方根是▲．
12．若一个正数的两个平方根分别为2a－7与－a + 2，则这个正数等于：▲．13．由四舍五入法得到的近似数1．1 0×104，它是精确到▲位．
x-，则(x + y)2015的值是▲．
14．若x、y为实数，且满足2
15．如图，已知AB=AC，DE垂直平分AB分别交AB、AC于D、E两点，若∠A=40°，则∠EBC= ▲°．
16．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= ▲度．
17．在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为▲．
18．把一张矩形纸片(矩形ABCD) 按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF，若AB=3cm，BC=5cm，则重叠部分△DEF的面积为▲cm 2．
l9．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，BE=1，F为AB上一点，AF=2，P 为AC上一点，则PF+PE的最小值为▲。
20．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一动点(不与B、C重合)，在AC上取E点，使∠ADE=45°，当△ADE是等腰三角形时，AE的长为▲．三．解答题：(本大题共9题，共70分，请写出必要的计算过程或推演步骤)
21．(本题满分5分)计算：1-
22．(每小题5分，共10分) 求下列各式中x的值．
①4(x－1)2－25=0；②(x + 5)3=－64．
23．(本题满分8分) 已知5a+ 2的立方根是3，3a + b－1
的算术平方根是4，c是13的
整数部分，求3a－b + c的平方根。
24．(本题满分4分) 如图，在Rt△A BC中，∠ACB=90°．
(1) 用尺规在边BC上求作一点P，使P A=PB
(不写作法，保留作图痕迹)
(2) 连结AP，当∠B为度时，AP平分∠CAB．
25．(本题满分7分) 如图，点B、F、C、E存同一直线上，AC、DF相交于点G，A B⊥BE，垂足为B，D E⊥BE，．垂
足为E，且AB=DE，BF=CE．
(1) 求证：△ABC≌△DEF；
(2) 若∠A=65°，求∠AGF的度数．
26．(本题满分8分) 如图，已知点D、F分别是△ABC的边BC上两点，点E是边AC上一点，∠BFE=∠FEA，
AB=13，AD=12，BD=5，AE=10，DF=4．
(1) 求证：A D⊥BC；
(2) 求△ABC的面积．
27．(本题满分8分) 如图，在⊿ABC中，点D在边AC上，DB=BC，
点E是CD的中点，点F是AB的中点．(1) 试说明：EF=1
2 AB；
(2) 过点A作AG∥EF，交BE的延长线于点G，求证：⊿AB E
≌⊿AGE．
28．(本题满分10分) 如图，等边△ABC的边长为4 cm，动点D从点B出发，沿射线BC 方向移动，以AD为边作等边△ADE，连结CE．
(1) 如图①，在点D从点B开始移动至点C的过程中，
①当AD= 时，△ADE的面积最小；
②求证：CE+CD=AB；
(2) 如图②，若点D在BC延长线上，线段CD，CE和AB有怎样的数量关系? 证明你
的结论．
29．(本题满分10分) 已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点．
(1) 如图1，若∠DAB=60°，则∠AFG= ；如图2，若∠DAB=90°，则∠
AFG= ；
(2) 如图3，若∠DAB=α，试探究∠AFG与α的数量关系，并给予证明；
图1 图2 图3
参考答案一选择题
1-10 BBDCD DCCAC
二填空题
11、2
12、9
13、百
14、-1
15、30
16、15
17、4或14
18、5.1
19、
20、或
21、
22、（1）7/2或3/2
23、
24、作图正确得2分，30°得2分
25、证明（1）∵BF=CE
∴BF+FC=CE+FC，即BC=EF
又∵AB⊥BE，DE⊥BE
∴∠B=∠E=90°
又∵AB=DE
∴△ABC≌△DEF ；
（2）50°
26
27.证明：(1) 连结BE，
∵DB=BC，点E是CD的中点，∴BE⊥CD．
∵点F是Rt△ABE中斜边上的中点，∴EF=；
(2) [方法一]在△中，，，∴．
在△和△中，,∠AEB=∠AEG=90°，∴△ABE≌△AGE；[方法二]由(1)得，EF=AF，∴∠AEF=∠FAE．
∵EF//AG，∴∠AEF=∠EAG．
∴∠EAF=∠EAG．
∵AE=AE，∠AEB=∠AEG=90°，∴△ABE≌△AGE．
29、解：（1）60°，45°；
（2）解：连接AG
∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAC=∠BAE.
又AD=AB，AC=AE，
∴△ADC≌△ABE（SAS）
∴∠1=∠2.
又，，于是DG=BF.且AD=AB，
∴△ADG≌△ABF（SAS）
∴AG=AF且∠DAG=∠BAF，于是易得∠GAF=∠DAB=.
也就是说△AGF为顶角为的等腰三角形，
∴∠AFG=.(3)简易画图步骤：1.先画等腰直角三角形AMN；
2.找个点C，使得CM⊥CN；
3.在CM延长线上任取一点B，连接AB，AC.(作图不计分)。