图的连通性

第二章 图的连通性连通图：任二顶点间有路相连。

例可见在连通图中，连通的程度也是有高有低。

本章的目的就是定义一种参数来度量连通图连通程度的高低。

§2.1 割边、割点与连通度一、割点：定义2.1.1 设)(G V v ∈，如果)()(G w v G w >-，则称v 为G 的一个割点。

（该定义与某些著作有所不同，主要是在有环边的顶点是否算作割点上有区别）。

例定理2.1.1 如果点v 是图G 的一个割点，则边集E (G)可划分为两个非空子集1E 和2E ，使得][1E G 和][2E G 恰好有一个公共顶点v 。

推论2.1.1 对连通图G ，顶点v 是G 的割点当且仅当v G -不连通。

以上两个结论的证明留作习题。

定理2.1.2 设v 是树T 的顶点，则v 是T 的割点当且仅当1)(>v d 。

证明：必要性：设v 是T 的割点，下面用反证法证明1)(>v d 。

若0)(=v d ，则1K T ≅，显然v 不是割点。

若1)(=v d ，则v T -是有1)(--v T ν条边的无圈图，故是树。

从而)(1)(T w v T w ==-。

因此v 不是割点。

以上均与条件矛盾。

充分性：设1)(>v d ，则v 至少有两个邻点u ,w 。

路uvw 是T 中一条),(w u 路。

因T 是树，uvw 是T 中唯一的),(w u 路，从而)(1)(T w v T w =>-。

故v 是割点。

证毕。

推论2.1.2 每个非平凡无环连通图至少有两个顶点不是割点。

证明：设T 是G 的生成树，则T 至少有两个叶子u ,v ，由上一定理知，u ,v 都不是T 的割点，即1)()(==-T w u T w 。

由于u T -是图u G -的生成树，故)(1)()()(G w T w u T w u G w ===-=-，因此u 不是G 的割点。

同理v 也不是G 的割点。

证毕。

二、顶点割集：定义2.1.2 对图G ，若V(G)的子集V '使得)()(G w V G w >'-，则称V '为图G 的一个顶点割集。

含有k 个顶点的顶点割集称为k -顶点割集。

注：（1）割点是1－顶点割集。

（2）完全图没有顶点割集。

三、连通度：V V G ''=||min{|)(κ是G 的顶点割集}。

完全图的连通度定义为1)(-=νκνK ，空图的连通度定义为0。

注：(1) 使得)(||G V κ='的顶点割集V '称为G 的最小顶点割集。

（2）若k G ≥)(κ，则称G 为k 连通的。

（3）若G 不连通，则0)(=G κ。

（4）若G 是平凡图，则0)(=G κ。

（4）所有非平凡连通图都是1连通的。

例：四、割边定义2.1.3 设)(G E e ∈，如果)()(G w e G w >-，则称e 为G 的一条割边。

定理2.1.3 边e 是G 的割边当且仅当e 不在G 的任何圈中。

证明：证其逆否命题：e 不是割边当且仅当e 含在G 的某个圈中。

必要性：设e = xy 不是割边。

假定e 位于G 的某个连通分支1G 中，则e G -1仍连通。

故在e G -1中有),(y x 路P ，P + e 便构成1G 中一个含有e 的圈。

充分性：设e 含在G 的某个圈C 中，而C 含于某连通分支1G 中，则e G -1仍连通。

故)()(G w e G w =-，这说明e 不是割边。

证毕。

定理2.1.4 一个连通图是树当且仅当它的每条边都是割边。

证明：连通图G 是树⇔G 无圈⇔任何边e 不含在圈中⇔任何边e 是G 的割边。

证毕。

五、边割集定义2.1.4对图G ，若E(G)的子集E '使得)()(G w E G w >'-，则称E '为图G 的一个边割集。

含有k 条边的边割集称为k-边割集。

注：(1) 对非平凡图G ，若E '是一个边割集，则E G '\不连通。

(2) 一条割边构成一个1－边割集。

(3) 设)(G V S ⊂，)(G V S ⊂'，φ≠'S S ,，记号],[S S '表示一端在S 中另一端在S '中的所有边的集合。

对图G 的每个边割集E '，必存在非空的)(G V S ⊂，使得],[S S 是G 的一个边割集，其中S V S \=。

六、边连通度：φκ≠⊂∀='S G V S S S G ),(||],[min{|)(}。

完全图的边连通度定义为1)(-='νκνK 。

空图的边连通度定义为0。

注：(1)对平凡图或不连通图G ，0)(='G κ。

（2）若图G 是含有割边的连通图，则1)(='G κ。

（3）若k G ≥')(κ，则称G 为k －边连通的。

（5）所有非平凡连通图都是1－边连通的。

（6）使得)(||G E κ'='的边割集E '称为G 的最小边割集。

定理2.1.5 )()()(G G G δκκ≤'≤。

证明：先证)()(G G κκ'≤。

若G 不连通，则0)()(='=G G κκ。

若G 是完全图，则1)()(-='=νκκG G 。

下设G 连通但不是完全图。

则G 有边割集含有κ'（11-<'≤νκ）条边。

设这个边割集为E '。

对E '中每条边，选取一个端点，去掉这些端点（至多κ'个）后，G 便成为不连通图，故这些端点构成一个点割集V '，κ'≤'||V 。

因此)(||)(G V G κκ'≤'≤。

再证)()(G G δκ≤'。

设δ=)(v d 。

删去与v 关联的δ条边后，G 变成不连通图，故这δ条边构成G 的一个边割集。

因此)()(G G δκ≤'。

证毕。

§2.2连通图的性质－whitney 定理1． 块（block ）：无割点的连通图。

2． 图的块：若满足下列三条：（1） H 是图G 的子图；（2）H 本身是一个块；（3）H 是具有此性质的极大子图。

则称H 是图G 的一个块。

例：块 含4个块的图注：至少有三个顶点的图是块当且仅当它是2－连通图。

（若只有两个顶点，则有反例，例如2K 是个块，但不是2连通的。

）3．Whitney 定理定理2.2.1 (Whitney,1932) 3≥ν的图G 是2－连通图（块）当且仅当G 中任二顶点共圈。

证明：充分性：设G 中任二顶点在同一圈上，欲证G 是2－连通的。

对)(G V w ∈∀，任取)(,w G V v u -∈。

由条件，u ,v 在G 中共处于某个圈C 上。

若C w ∉，则在w G \中u ,v 仍在圈C 上；若C w ∈，则w G -中u ,v 在路w C -上。

总之u ,v在w G -中有路相连。

由u ,v 的任意性，w G -是连通图，故w 不是G 的割点。

再由w 的任意性知，G 无割点，即G 是2－连通的。

必要性：设G 是2－连通图，欲证任二顶点u,v 都在同一圈上。

对距离),(v u d 作归纳法。

1),(=v u d 时，因2≥≥'κκ，故边uv 不是割边，uv G -仍连通。

因此uv G -中存在一条),(v u 路1P 。

这表明在G 中u , v 都在圈uv P+1上。

假定k v u d <),(时，结论成立。

下证k v u d =),(时结论也成立。

当k v u d =),(时，设wv u P =0是长为k 的一条),(v u 路，则1),(-=k w u d 。

由归纳法假设，u ,w 在同一圈上，故在u ,w 间有两条无公共内部顶点的路P 和Q 。

因G 是2连通图，故w G -仍连通。

在w G -中存在),(v u 路P '。

令x 是P '上最后一个与Q P 的公共顶点（因Q P u ∈，这样的x 存在）。

不妨设P x ∈，则P 上),(x u 段＋P '上),(v x 段与wv Q +是两条内部无公共点的),(v u 路。

故u ,v 在同一圈上。

归纳法完成。

证毕。

推论2.2.1 3≥ν的图G 是2连通图（块）当且仅当G 中任二顶点被至少两条内部无公共顶点的路所连。

推论2.2.2 若3≥ν的图G 是2连通图（块），则G 的任二边都位于同一圈上。

证明：设G 是3≥ν的2连通图，且)(,21G E e e ∈，在1e 和2e 上各添加一个新的顶点1v 和2v ，构成一个新图G '。

G '仍是2连通的。

由Whitney 定理，1v 和2v 在G '中位于同一个圈上。

故1e 和2e 在G 中位于同一个圈上。

证毕。

注：Whitney 定理可推广到k 连通图，得到Menger 型定理：Menger 定理1 1+≥k ν的图G 是k 连通图当且仅当G 中任二顶点至少被k 条内部无公共顶点的路所连。

Menger 定理2 图G 是k 边连通图当且仅当G 中任二顶点至少被k 条无公共边的路所连。

§2.3 关于割点、割边和块的其它结论定理2.3.1 设v 是连通图G 的一个顶点，则下列命题等价： （1） v 是G 的割点；（2） 存在)(,G V w u ∈，使得v w u ≠,且v 在每条),(w u 路上；（3） 存在}{\)(v G V 的一个划分：}{\)(v G V W U =，φ=W U ，使得对Uu ∈∀和W w ∈∀，v 在每条),(w u 路上。

证明：（1）⇒（3）因v 是割点，故v G -至少有两个连通分支1G 、2G 。

令)(1G V U =而}){)((\)(1v G V G V W =，则对U u ∈∀和W w ∈∀，u 、w 分别属于v G -的不同的连通分支。

可见G 中所有的),(w u 路必经过v （否则v G -中仍有),(w u 路，这与u 、w 分别属于v G -的不同的连通分支矛盾）。

（3）⇒（2）显然。

（2）⇒（1）若v 在每条),(w u 路上，则v G -中不存在),(w u 路，即v G -不连通，故v 是G 的割点。

证毕。

定理2.3.2 设e 是连通图G 的一条边，则下列命题等价： （1） 是G 的割边； （2） e 不在G 的任何圈上；（3） 存在)(,G V v u ∈，使得e 在每条),(v u 路上；（4） 存在)(G V 的一个划分：)(G V W U =，φ=W U ，使得对U u ∈∀和W w ∈∀，e 在每条),(w u 路上。

证明：（1）⇔（2）定理2.1.1已证。

（1）⇒（4）⇒（3）⇒（1）的证明与上一定理的证明类似。