您的位置：360文档中心› 级中考数学25题专题训练

级中考数学25题专题训练

合集下载

精品 九年级数学 中考集训题 25

精品 九年级数学 中考集训题 25

中考集训题251.如图1是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格，这时小正方体朝上．．一面的字是（ ） A ．北 B ．京C ．精D ．神2.如图，三个方格代表三位数的数字，且甲、乙两人分别将3、6的号码排列如下，然后等机会在1-9的9个号码中选出一个数，将它在两个空格中填上，则排出的数甲大于乙的概率是（ ）。

A ．21 B. 31 C ．32D ．913.已知5个正数1234a a a a a，，，，的平均数是a ，且12345a a a a a >>>>，则数据12340a a a a a ，，，，，的平均数和中位数是（ ） A ．3a a ，B ．342a aa +， C ．23562a a a +，D ．34562a a a +， 4.函数y ＝ax ＋1与y ＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)的图象可能是( )5.如图，在梯形ABCD 中，AD//BC,∠ABC=60°，AB= DC=2, AD=1，R 、P 分别是BC 、CD 边上的动点（点R 、B 不重合, 点P 、C 不重合），E 、F 分别是AP 、RP 的中点，设BR=x ，EF=y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）6.已知，△ABC 中，∠A=600，BC 为定长，以BC 为直径的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、E ，连接DE ，OE ，下列结论：①BC=2DE ，②D 到OE 的距离不变；③BD+CE=2DE 。

其中结论正确的是（ ）。

A. ①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③7.如图，在正方形ABCD 中，AB=3cm ，动点M 自A 点出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度运动，同时动点N 自A 点出发沿折线AD —DC —CB 以每秒3cm 的速度运动，到达B 点时运动同时停止，设△AMN 的面积为y （cm 2），运动时间为x （秒），则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是（ ）8.直线25y x =-+分别与x 轴，y 轴交于点C 、D ，与反比例函数3y x=的图象交于点A 、B.过点A 作AE ⊥y 轴与点E ，过点B 作BF ⊥x 轴与点F ，连结EF ，下列结论：○1AD ＝BC ；○2EF ∥AB ；○3四边形AEFC 是平行四边形；○4AODBOCSS=.其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49.如图，矩形ABCG （BC AB ）与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，APE ∠的顶点P 在线段BD 上移动，使APE ∠为直角的点P 的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310.如图所示，已知大正方形的边长为10厘米，小正方形的边长为7厘米，则阴影部分面积为（ ）A ．132π平方厘米B ．312π平方厘米C ．25π平方厘米D ．无法计算11.设x 1、x 2是一元二次方程x 2－3x －2＝0的两个实数根，则x 12＋3x 1x 2＋x 22的值为_______ 12.当整数x=______时，分式13+-x x的值是非负整数。

2024年中考数学真题汇编专题25 图形的平移翻折对称+答案详解

2024年中考数学真题汇编专题25 图形的平移翻折对称+答案详解

2024年中考数学真题汇编专题25 图形的平移翻折对称+答案详解（试题部分）一、单选题1．（2024·江苏苏州·中考真题）下列图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2024·天津·中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（2024·重庆·中考真题）下列标点符号中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80cm，则图中阴影图形的周长是（）A．440cm B．320cm C．280cm D．160cm6．（2024·四川眉山·中考真题）下列交通标志中，属于轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．7．（2024·河北·中考真题）如图，AD 与BC 交于点O ，ABO 和CDO 关于直线PQ 对称，点A ，B 的对称点分别是点C ，D ．下列不一定正确的是（ ）A ．AD BC ⊥B ．AC PQ ⊥ C ．ABO CDO △≌△D ．AC BD ∥8．（2024·湖南·中考真题）下列命题中，正确的是（ ）A ．两点之间，线段最短B ．菱形的对角线相等C ．正五边形的外角和为720︒D ．直角三角形是轴对称图形9．（2024·贵州·中考真题）“黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（2024·北京·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 11．（2024·湖北武汉·中考真题）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．（2024·广西·中考真题）端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ）A ．B ．C ．D ．13．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．14．（2024·广东·中考真题）下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．15．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数23y x =−的图象与x 轴相交于点A ，则点A 关于y 轴的对称点是（ ）A ．3,02⎛⎫− ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,3D ．()0,3−16．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中OAB 与ODC 都是等腰三角形，且它们关于直线l 对称，点E ，F 分别是底边AB ，CD 的中点，OE OF ⊥．下列推断错误的是（ ）A ．OB OD ⊥B ．BOC AOB ∠=∠ C ．OE OF =D ．180BOC AOD ∠+∠=︒17．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．若“和点”Q 按上述规则连续平移16次后，到达点()161,9Q −，则点Q 的坐标为（ ）A ．()6,1或()7,1B ．()15,7−或()8,0C ．()6,0或()8,0D ．()5,1或()7,1二、填空题18．（2024·江西·中考真题）在平面直角坐标系中，将点()1,1A 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B ，则点B 的坐标为 ．19．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在ABC 中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()4,1，点C 的坐标为()3,4，点D 在第一象限（不与点C 重合），且ABD △与ABC 全等，点D 的坐标是 ．20．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，4BC =，折叠ABC ，使点A 与点B 重合，折痕DE 与AB 交于点D ，与AC 交于点E ，则CE 的长为 ．21．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰ABC 中，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，将ABC 沿其底边中线AD 向下平移，使A 的对应点A '满足13AA AD '=，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．22．（2024·四川广安·中考真题）如图，在ABCD Y 中，4AB =，5AD =，30ABC ∠=︒，点M 为直线BC 上一动点，则MA MD +的最小值为 ．23．（2024·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，点A 的坐标为()20−，，点E 在边CD 上．将BCE 沿BE 折叠，点C 落在点F 处．若点F 的坐标为()06，，则点E 的坐标为 ．24．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0)，点B 在反比例函数(0)ky x x =>的图像上，BC x ⊥轴于点C ，30BAC ∠=︒，将ABC 沿AB 翻折，若点C 的对应点D 落在该反比例函数的图像上，则k 的值为 ．25．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知50AOB ∠=︒，点P 为AOB ∠内部一点，点M 为射线OA 、点N 为射线OB 上的两个动点，当PMN 的周长最小时，则MPN ∠= ．26．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()3,0A ，()0,2B ，过点B 作y 轴的垂线l ，P 为直线l 上一动点，连接PO ，PA ，则PO PA +的最小值为 ．27．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，点()0,2A −，()1,0B ，将线段AB 平移得到线段DC ，若90ABC ∠=︒，2BC AB =，则点D 的坐标是 ．28．（2024·浙江·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，53AC BD =．线段AB 与A B ''关于过点O 的直线l 对称，点B 的对应点B '在线段OC 上，A B ''交CD 于点E ，则B CE '与四边形OB ED '的面积比为29．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，ABC ，90ACB ∠=︒，5CB =，10CA =，点D ，E 分别在AC AB ，边上，AE =，连接DE ，将ADE V 沿DE 翻折，得到FDE V ，连接CE ，CF ．若CEF △的面积是BEC 面积的2倍，则AD = ．三、解答题30．（2024·河南·中考真题）如图，矩形ABCD 的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC ，BD 相交于点E ，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点A ．(1)求这个反比例函数的表达式．(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A 的三个格点，再画出反比例函数的图象．(3)将矩形ABCD 向左平移，当点E 落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 31．（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD ，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AE FB =），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．图1 图2 图3(1)直接写出AD AB的值； (2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ）图4A．B．C．D．(3)现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE，EF的比例，制作棱长为10cm 的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）32．（2024·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A 、B 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形ABCD ，使其是轴对称图形且点C 、D 均在格点上．(1)在图①中，四边形ABCD 面积为2；(2)在图②中，四边形ABCD 面积为3；(3)在图③中，四边形ABCD 面积为4．33．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,1A −，()2,3B −，()5,2C −．(1)画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △，并写出点1B 的坐标；(2)画出ABC 绕点A 逆时针旋转90︒后得到的22AB C ，并写出点2B 的坐标；(3)在（2）的条件下，求点B 旋转到点2B 的过程中所经过的路径长（结果保留π） 34．（2024·吉林·中考真题）图①、图②均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A ，B ，C ，D ，E ，O 均在格点上．图①中已画出四边形ABCD ，图②中已画出以OE 为半径的O ，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．(1)在图①中，面出四边形ABCD 的一条对称轴．(2)在图②中，画出经过点E 的O 的切线．35．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点()3,0A ，点,B C 在第一象限，且2,60OC AOC ∠==．(1)填空：如图①，点C 的坐标为______，点B 的坐标为______；(2)若P 为x 轴的正半轴上一动点，过点P 作直线l x ⊥轴，沿直线l 折叠该纸片，折叠后点O 的对应点O '落在x 轴的正半轴上，点C 的对应点为C '．设OP t =．①如图②，若直线l 与边CB 相交于点Q ，当折叠后四边形PO C Q ''与OABC 重叠部分为五边形时，O C ''与AB 相交于点E ．试用含有t 的式子表示线段BE 的长，并直接写出t 的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为S ，当21134t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）． 36．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于O 的弦AB 和不在直线AB 上的点C ，给出如下定义：若点C 关于直线AB 的对称点C '在O 上或其内部，且ACB α∠=，则称点C 是弦AB 的“α可及点”．(1)如图，点()0,1A ，()1,0B ．①在点()12,0C ，()21,2C ，31,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭中，点___________是弦AB 的“α可及点”，其中α=____________︒；②若点D 是弦AB 的“90︒可及点”，则点D 的横坐标的最大值为__________；(2)已知P 是直线y =且存在O 的弦MN ，使得点P 是弦MN 的“60︒可及点”．记点P 的横坐标为t ，直接写出t 的取值范围．2024年中考数学真题汇编专题25 图形的平移翻折对称+答案详解（答案详解）一、单选题1．（2024·江苏苏州·中考真题）下列图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】此题主要考查轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的概念是解题的关键．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选：A．2．（2024·天津·中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折,对折后的两部分是完全重合的,那么就称这样的图形为轴对称图形是解题的关键．【详解】解：A.不是轴对称图形；B.不是轴对称图形；C.是轴对称图形；D.不是轴对称图形；故选C．3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题关键．中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可．【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．4．（2024·重庆·中考真题）下列标点符号中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查轴对称图形的识别．解题的关键是理解轴对称的概念（如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴），寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．据此对各选项逐一进行判断即可．【详解】解：A．该标点符号是轴对称图形，故此选项符合题意；B．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：A．5．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80cm，则图中阴影图形的周长是（）A．440cm B．320cm C．280cm D．160cm【答案】A【分析】本题考查平移的性质，利用平移的性质将阴影部分的周长转化为边长是80cm的正方形的周长加上边长是80cm的正方形的两条边长再减去220cm⨯，由此解答即可．【详解】解：由图可得：阴影部分的周长为边长是80cm的正方形的周长加上边长是80cm的正方形的两条边长再减去220cm⨯，∴阴影图形的周长是：480280220440cm⨯+⨯−⨯=，故选：A．6．（2024·四川眉山·中考真题）下列交通标志中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题主要考查了轴对称图形，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可得答案．【详解】解：A.是轴对称图形，故此选项符合题意；B.不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：A．7．（2024·河北·中考真题）如图，AD与BC交于点O，ABO和CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（）A ．AD BC ⊥B ．AC PQ ⊥ C ．ABO CDO △≌△D ．AC BD ∥ 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的性质即可判断B 、C 选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D ．【详解】解：由轴对称图形的性质得到ABO CDO △≌△，,AC PQ BD PQ ⊥⊥，∴AC BD ∥，∴B 、C 、D 选项不符合题意，故选：A ．8．（2024·湖南·中考真题）下列命题中，正确的是（ ）A ．两点之间，线段最短B ．菱形的对角线相等C ．正五边形的外角和为720︒D ．直角三角形是轴对称图形【答案】A【分析】本题考查了命题与定理的知识，多边形外角性质，菱形性质及轴对称图形的特点，解题的关键是掌握这些基础知识点．【详解】解：A 、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意；B 、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意；C 、正五边形的外角和为360︒，选项错误，是假命题，不符合题意；D 、直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假命题，不符合题意；故选：A ．9．（2024·贵州·中考真题）“黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B【分析】本题考查了轴对称图形概念，一个图形沿着某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形．根据轴对称图形概念，结合所给图形即可得出答案．【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意；B．是轴对称图形，符合题意；C．不是轴对称图形，不符合题意；D．不是轴对称图形，不符合题意；故选：B．10．（2024·北京·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键．【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；故选：B．11．（2024·湖北武汉·中考真题）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：C．12．（2024·广西·中考真题）端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题主要考查成轴对称的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可．【详解】A．图案不成轴对称，故不符合题意；B．图案成轴对称，故符合题意；C．图案不成轴对称，故不符合题意；D．图案不成轴对称，故不符合题意；故你：B．13．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 选项不合题意；B 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B 选项符合题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C 选项不合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D 选项不合题意．故选：B ．14．（2024·广东·中考真题）下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；C ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故不符合题意；D ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；故选：C ．15．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数23y x =−的图象与x 轴相交于点A ，则点A 关于y 轴的对称点是（ ）A ．3,02⎛⎫− ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,3D ．()0,3−【答案】A【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，点的对称，属于简单题，求交点坐标是解题关键．16．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中OAB 与ODC 都是等腰三角形，且它们关于直线l 对称，点E ，F 分别是底边AB ，CD 的中点，OE OF ⊥．下列推断错误的是（ ）A ．OB OD ⊥B ．BOC AOB ∠=∠ C ．OE OF =D ．180BOC AOD ∠+∠=︒ 由对称的性质得OAB ODC ≌，由全等三角形的性质即可判断；OH ，可得 GOD ∠=，即可判断；掌握轴对称的性质是解题的关键．A.OE OF ⊥，90︒，点的中点，OAB 与ODC 都是等腰三角形，由对称得OAB ODC ≌，F 分别是底边AB ，，结论正确，故不符合题意；O 作GM OH ⊥，90GOD DOH ∴∠+∠=︒，90BOH DOH ∠+∠=︒，GOD BOH ∴∠=∠，由对称得GOD COH ∴∠=∠，同理可证AOD ∠∴故选：B 17．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．若“和点”Q 按上述规则连续平移16次后，到达点()161,9Q −，则点Q 的坐标为（ ）A ．()6,1或()7,1B ．()15,7−或()8,0C ．()6,0或()8,0D ．()5,1或()7,1【答案】D【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键．先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照16Q 的反向运动理解去分类讨论：①16Q 先向右1个单位，不符合题意；②16Q 先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为()6,1，那么最后一次若向右平移则为()7,1，若向左平移则为()5,1．【详解】解：由点()32,2P 可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到()42,3P ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到()41,3P ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，若“和点”Q 按上述规则连续平移16次后，到达点()161,9Q −，则按照“和点”16Q 反向运动16次求点Q 坐标理解，可以分为两种情况：①16Q 先向右1个单位得到()150,9Q ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是15Q 向右平移1个单位得到16Q ，故矛盾，不成立；②16Q 先向下1个单位得到()151,8Q −，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到16Q ，故符合题意，那么点16Q 先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为()17,98−+−，即()6,1，那么最后一次若向右平移则为()7,1，若向左平移则为()5,1，故选：D ．二、填空题18．（2024·江西·中考真题）在平面直角坐标系中，将点()1,1A 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B ，则点B 的坐标为 ．【答案】()3,4【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移．利用点平移的坐标规律，把A 点的横坐标加2，纵坐标加3即可得到点B 的坐标． 【详解】解：∵点()1,1A 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B ， ∴点B 的坐标为()12,13++，即()3,4．故答案为：()3,4．19．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在ABC 中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()4,1，点C 的坐标为()3,4，点D 在第一象限（不与点C 重合），且ABD △与ABC 全等，点D 的坐标是 ．【答案】()1,4【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的性质．利用数形结合的思想是解题的关键．根据点D 在第一象限（不与点C 重合），且ABD △与ABC 全等，画出图形，结合图形的对称性可直接得出()1,4D ．【详解】解：∵点D 在第一象限（不与点C 重合），且ABD △与ABC 全等，∴AD BC =，AC BD =，∴可画图形如下，由图可知点C 、D 关于线段AB 的垂直平分线2x =对称，则()1,4D ．故答案为：()1,4．20．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，4BC =，折叠ABC ，使点A 与点B 重合，折痕DE 与AB 交于点D ，与AC 交于点E ，则CE 的长为 ．【答案】3【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设CE x =，则8AE BE x ==−，根据勾股定理求解即可．【详解】解：由折叠的性质，得AE BE =，设CE x =，则8AE BE x ==−，由勾股定理，得222BC CE BE +=，∴()22248x x +=−，解得3x =.故答案为：3．21．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰ABC 中，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，将ABC 沿其底边中线AD 向下平移，使A 的对应点A '满足13AA AD '=，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．出A EF A B C ''''∽，根据对应边上的中线比等于相似比，利用面积公式进行求解即可．【详解】解：∵等腰ABC 中，30ABC ∠=︒，AD 为中线，AD BC ⊥，BD CD =，∵将ABC 沿其底边中线,C BC B '∥∴A EF A B C ''''∽，EF A D B C A G'='''， 13AA AD '=，3223DA AD A G '='=2EF A D '22．（2024·四川广安·中考真题）如图，在ABCD Y 中，4AB =，5AD =，30ABC ∠=︒，点M 为直线BC 上一动点，则MA MD +的最小值为 ．∵4AB =，30ABC ∠=︒，在ABCD Y ∴122AH AB ==，AD BC ∥，∴24AA AH '==，AA AD '⊥，∵5AD =，23．（2024·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，点A 的坐标为()20−，，点E 在边CD 上．将BCE 沿BE 折叠，点C 落在点F 处．若点F 的坐标为()06，，则点E 的坐标为 ．【答案】()3,10【分析】设正方形ABCD 的边长为a ，CD 与y 轴相交于G ，先判断四边形AOGD 是矩形，得出OG AD a ==，DG AO =，90EGF ∠=︒，根据折叠的性质得出BF BC a ==，CE FE =，在Rt BOF △中，利用勾股定理构建关于a 的方程，求出a 的值，在Rt EGF 中，利用勾股定理构建关于CE 的方程，求出CE 的值，即可求解．【详解】解∶设正方形ABCD 的边长为a ，CD 与y 轴相交于G ，。

中考数学几何模型专题25函数与正方形存在性问题(老师版)知识点+例题

中考数学几何模型专题25函数与正方形存在性问题(老师版)知识点+例题

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题25函数与正方形存在性问题【例1】（2022•崂山区一模）如图，正方形ABCD，AB＝4cm，点P在线段BC的延长线上．点P从点C出发，沿BC方向运动，速度为2cm/s；点Q从点A同时出发，沿AB方向运动，速度为1cm/s．连接PQ，PQ分别与BD，CD相交于点E，F．设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：（1）线段CF长为多少时，点F为线段PQ中点？（2）当t为何值时，点E在对角线BD中点上？（3）当PQ中点在∠DCP平分线上时，求t的值；（4）设四边形BCFE的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．【分析】（1）可得出C点是BP的中点，从而求得t＝2；（2）证明DEF≌△BEQ，从而得出DF＝BQ＝4﹣t，进而CF＝CD﹣DF＝t，证明△PCF∽△PBQ，从而得出，进而求得t；（3）作OG⊥BP于G，可根据OG＝CG，进一步求得结果；（4）根据△PCF∽△PBQ，△DOF∽△BOG，分别列出比例式表示出CF，DF及EH，进一步求得结果．【解答】解：由题意得，CP＝2t，AQ＝t，BQ＝4﹣t，（1）四边形ABCD是正方形，∴CD∥AB，∴＝1，∴PC＝BC＝4，∴t＝＝2s；（2）∵AB∥CD，∴∠QBE＝∠EDF，∠BQE＝∠DFE，△PCF∽△PBQ，∴，∵点E是BD的中点，∴BE＝DE，∴△DEF≌△BEQ（AAS），∴DF＝BQ＝4﹣t，∴CF＝CD﹣DF＝t，∴t1＝1，t2＝0（舍去），（3）如图1，点O是PQ的中点，CO平分∠DCP，作OG⊥BP于G，同理得：OG＝，PG＝，∴CG＝PC﹣PG＝2t﹣（2+t）＝t﹣2，∵∠COG＝∠OCG＝＝45°，∴OG＝CG，∴，∴t＝；（4）如图2，过点E作GH∥BC，交AB于G，交CD于H，∵CF∥EG∥AB，∴△PCF∽△PBQ，△DEF∽△BEG，∴，＝，∴，＝，∴DF＝CD﹣CF＝4﹣＝，∴＝，∴EH＝，∴S＝S△BCD﹣S△DEF＝﹣＝8﹣．【例2】（2022春•孟村县期末）如图，在平面直角坐标系中．直线l：y＝﹣2x+10（k≠0）经过点C（3，4），与x轴，y轴分别交于点A，B，点D的坐标为（8，4），连接OD，交直线l于点M，连接OC，CD，AD．（1）填空：点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（4，2）；（2）求证：四边形OADC是菱形；（3）直线AP：y＝﹣x+5与y轴交于点P．①连接MP，则MP的长为5；②已知点E在直线AP上，在平面直角坐标系中是否存在一点F，使以O，A，E，F为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A的坐标，又点D的坐标，利用待定系数法可求出直线OD的解析式，再联立两函数解析式，可求出交点M的坐标；（2）过点C作CQ⊥x轴于点Q，利用勾股定理可得出OC＝5，又点C，D的坐标可得出CD＝5，CD ∥x轴，结合点A的坐标，可得出CD＝OA，进而可得出四边形OADC为平行四边形，再结合OC＝OA，即可证出四边形OADC是菱形；（3）①过点M作MN⊥y轴于点N，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点P的坐标，结合点M。

2022中考数学专题25 命题与证明(专项训练)(解析版)

2022中考数学专题25 命题与证明(专项训练)(解析版)

专题25 命题与证明一、单选题1．（2021·河南九年级）能说明命题“关于x 的方程240x x n -+=一定有实根”是假命题的反例为（ ）A ．2n =-B ．1n =-C ．0n =D ． 6.8n =【答案】D【分析】计算一元二次方程根的判别式即可【详解】依题意“关于x 的方程240x x n -+=一定有实根”是假命题则：2(4)40n ∆=--< 解得：4n >故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，命题与假命题的概念，熟悉概念是解题的关键．2．（2021·沙坪坝区·重庆八中）下列命题，真命题是（ ）A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B ．有一个角为直角的四边形为矩形C ．对角线互相垂直的四边形是菱形D ．一组邻边相等的矩形是正方形【答案】D【分析】由题意根据平行四边形的判定定理、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．【详解】解：A 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，本选项说法是假命题；B 、有一个角为直角的平行四边形为矩形，本选项说法是假命题；C 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本选项说法是假命题；D 、一组邻边相等的矩形是正方形，本选项说法是真命题；故选：D ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，注意掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．（2021·山西九年级）《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（）A．数形结合思想B．分类讨论思想C．转化思想D．公理化思想【答案】D【分析】结合题意，根据公理化思想的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想故选：D．【点睛】本题考查了公理化思想的知识；解题的关键是熟练掌握公理化思想的性质，从而完成求解．4．（2021·湖南九年级）下列各命题是真命题的是（）A．矩形的对称轴是两条对角线所在的直线B．平行四边形一定是中心对称图形C．有一个内角为60 的平行四边形是菱形D．三角形的外角等于它的两个内角之和【答案】B【分析】根据矩形的性质、轴对称图形和中心对称图形的概念、三角形的外角性质判断即可．【详解】解：A、矩形的对称轴是任意一边的垂直平分线，两条对角线所在的直线不一定是矩形的对称轴，本选项是假命题；B、平行四边形一定是中心对称图形，本选项是真命题；C、有一个内角为60°的平行四边形不一定是菱形，本选项是假命题；D、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，本选项是假命题；故选：B．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．（2021·广西九年级）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【详解】①一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故该命题正确；②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形（例如筝形，筝形的对角线垂直但不相等，不是正方形），故该命题错误；③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，故该命题正确；④等边三角形是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故该命题错误；故选B ．6．（2021·浙江）下列选项中，可以用来证明命题“若a ＞b ，则1a ＜1b ”是假命题的反例是（ ）A ．a ＝2，b ＝1B ．a ＝2，b ＝﹣1C ．a ＝﹣2，b ＝1D ．a ＝﹣2，b ＝﹣1 【答案】B【分析】把各选项提供的数据代入计算，进行比较即可求解．【详解】解：A.当 a ＝2，b ＝1时，111,12a b ==，则11a b ＜，无法说明原命题为假命题，不合题意； B. 当a ＝2，b ＝﹣1时，111,12a b ==-，则11a b＞，说明原命题为假命题，符合题意； C.当 a ＝﹣2，b ＝1时，a ＜b ，条件错误，无法说明原命题为假命题，不合题意．D.当 a ＝﹣2，b ＝﹣1时，a ＜b ，条件错误，无法说明原命题为假命题，不合题意． 故选：B【点睛】本题考查了命题真假的判断，要说明一个命题是真命题，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可．7．（2021·辽宁九年级）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A ．若a b =，则a b =B ．同位角相等，两直线平行C ．对顶角相等D ．若0a >，0b >，则0a b +>【答案】B【分析】 分别写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．【详解】解：A 、若a b =，则||||a b =的逆命题是若||||a b =，则a b =，逆命题是假命题，不符合题意；B 、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，逆命题是真命题，符合题意；C 、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；D 、若0a >，0b >，则0a b +>的逆命题是若0a b +>，则0a >，0b >，逆命题是假命题，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．8．（2021·辽宁九年级）下列说法错误．．的是（ ） A ．“对顶角相等”的逆命题是真命题B ．通过平移或旋转得到的图形与原图形全等C ．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件D ．函数1y x=-的图象经过点()1,1- 【答案】A【分析】根据平移、旋转的性质、对顶角的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、随机事件的概念判断即可．【详解】解：“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，A 错误，符合题意； 通过平移或旋转得到的图形与原图形全等，B 正确，不符合题意；“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，C 正确，不符合题意；因为1x =时，11y x =-=-，所以函数1y x=-的图象经过点(1,1)-，D 正确，不符合题意； 故选：A ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．9．（2021·湖南九年级）下列说法正确的是（ ）A ．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等B ．平分弦的直径垂直于这条弦C ．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形D ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形【答案】C【分析】根据全等三角形的判定、垂径定理、正方形的性质、平行四边形的判定定理判断即可．【详解】解：A 、有两条边和其夹角对应相等的两个三角形全等，原命题是假命题；B 、平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，原命题是假命题；C 、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，是真命题；D 、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题；故选：C ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．10．（2021·重庆九年级）下列命题中，是真命题的是（ ）A ．对角线相等的四边形是平行四边形B ．对角线互相垂直的平行四边形是矩形C ．菱形的对角线相等D ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形【答案】D【分析】由平行四边形的判定得出A 错误；由矩形的判定得出B 不正确；由菱形的定义得出C 正确；由菱形的判定得出D 正确；即可得出答案．【详解】解：A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴A 不正确；B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴B 不正确；C. 菱形的对角线互相垂直平分∴C 不正确；D. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形∴不正确;故选：D ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，经过推理论证的真命题称为定理．二、填空题11．（2021·山西九年级）若举反例说明命题“若a b <，则ac bc <”是假命题时，令a 的值为5,b -的值为2-，则可给c 取一个具体的值为_______．【答案】1c =-（答案不唯一）【分析】“若a b <时，则ac bc <”是假命题，则a b <时，ac ≥bc ，即可．【详解】解：ac -bc ≥0,c （a -b ）≥0-3c ≥0c ≤0即可.故答案为：1c =-（答案不唯一）.【点睛】本题考查了命题，掌握真假命题是解题的关键．12．（2021·江苏无锡市·）请写出“两直线平行，同位角相等”的逆命题：_____________________________．【答案】如果同位角相等，那么两直线平行【分析】命题是由题设和结论两部分组成的，把原命题的题设作结论，原命题的结论作题设，这样就将原命题变成了它的逆命题．【详解】解：原命题是：两直线平行，同位角相等．改成如果…那么…的形式为：如果两直线平行，那么同位角相等．∴逆命题为：如果同位角相等，那么两直线平行，故答案为：如果同位角相等，那么两直线平行．【点睛】本题是一道命题与定理的概念试题，考查了命题的组成，原命题与逆命题的关系．13．（2021·安徽合肥·）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半逆命题________________【答案】如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的条件是直角三角形，结论是斜边上的中线等于斜边的一半，故其逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．【详解】解：定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了互逆命题的知识及命题的真假判定，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题结论，而第一个命题的结论是第二个命题条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题成为另一个命题的逆命题．14．（2021·安徽九年级）命题“对顶角相等”的逆命题是__________．【答案】相等的角是对顶角【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．【详解】：“对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，所以逆命题是：相等的角是对顶角．【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．15．（2021·江苏九年级）命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是_______【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形【分析】根据逆命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件写出即可.【详解】∵原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”．故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形.【点睛】本题考查命题与逆命题，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．三、解答题16．（2021·贵州九年级）同学们，你们知道吗？三角形的内角和不一定是180°．德国数学家黎曼创立的黎曼几何中描述：在球面上选三个点连线构成一个三角形，这个三角形的内角和大于180°．黎曼几何开创了几何学的新领域，近代黎曼几何在广义相对论里有着重要的应用．同样，在俄国数学家罗巴切夫斯基发表的新几何（简称罗氏几何）中，描述了在双曲面里画出的三角形，它的内角和永远小于180°．罗氏几何在天体理论中有着广泛的应用．而我们所学习的欧氏几何中描述“在平面内，三角形的内角和等于180°”是源于古希腊数学家欧几里得编写的《原本》．欧几里得创造的公理化体系影响了世界2000多年，是整个人类文明史上的里程碑．请你证明：在平面内，三角形的内角和等于180°．要求画出图形．．．．，写出已知．．．．、求证和证明．．．．．． 【答案】见解析【分析】过点A 作//EF BC ，由两直线平行，内错角相等得到1B ∠=∠，2C ∠=∠，再根据平角的定义解题．【详解】已知：如图，ABC ．求证：180A B C ∠+∠+∠=︒．证明：过点A 作//EF BC ，∴1B ∠=∠，2C ∠=∠，∵12180BAC ∠+∠+∠=︒，∴180B BAC C ∠+∠+∠=︒．【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明，涉及平行线性质、平角定义等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．17．（2021·潍坊市寒亭区教学研究室九年级）如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票的数量分别为5张，4张，3张，2张．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小．（1）如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么他们4人是否都能购买到满足条件的票？如果能，请写出每人购买的座位号；如果不能，请说明理由．（2）若乙第一个购票，要使其他3人也能购买到满足条件的票，甲、丙、丁应该按怎样的顺序购票？写出所有符合要求的购票顺序．【答案】（1）甲：1，2，3，4，5；乙：6，8，10，12；丙：7，9，11；丁：13，15；（2）甲丙丁、甲丁丙、丙甲丁、丁甲丙，共4种情况【分析】（1）由所选的座位号之和最小和购票的先后顺序即可推理．（2）根据题意可确定乙的购票结果．再结合所选的座位号之和最小并利用分类讨论的思想确定甲、丙、丁的购票顺序即可得出结果．【详解】（1）由所选的座位号之和最小可知，甲先选：5，3，1，2，4；则乙选：6，8，10，12；丙选11，9，7；丁选15，13．（2）根据题意可确定乙选的座位号为3，1，2，4．①若甲在乙选完之后选，则甲选的座位号为13，11，9，7，5．Ⅰ若丙在甲选完之后选，则丙选的座位号为6，8，10．此时丁可选的座位号为12，14．即在乙选完之后的顺序为：甲、丙、丁．Ⅱ若丁在甲选完之后选，则丁选的座位号为6，8．此时丙可选的座位号为10，12，14．即在乙选完之后的顺序为：甲、丁、丙．②若丙在乙选完之后选，则丙选的座位号为9，7，5．Ⅰ若甲在丙选完之后选，则甲可选的座位号为6，8，10，12，14．此时丁可选的座位号为13，11．即在乙选完之后的顺序为：丙、甲、丁．Ⅱ若丁在丙选完之后选，则丁选的座位号为6，8．此时没有5个相邻的座位的票可供甲选择，此顺序不成立．③若丁在乙选完之后选，则丁选的座位号为7，5．Ⅰ若甲在丁选完之后选，则甲可选的座位号为6，8，10，12，14．此时丙可选的座位号为13，11，9．即在乙选完之后的顺序为：丁、甲、丙．Ⅱ若丙在丁选完之后选，则丙选的座位号为6，8，12．此时没有5个相邻的座位的票可供甲选择，此顺序不成立．综上可知，甲、丙、丁的购票顺序可以为：甲、丙、丁或甲、丁、丙或丙、甲、丁或丁、甲、丙．【点睛】本题考查推理与论证，理解题意并利用分类讨论的思想是解答本题的关键．18．（2021·河南九年级）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”．任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；已知：__________________求证：_________________证明：（2）如图（2），在O 中，弦AB CD ⊥于M ，连接,,,,,AC CB BD DA E F 分别是,AC BC 上的点，EM BD ⊥于,G FM AD ⊥于H ，当M 是AB 中点时，直接写出四边形EMFC 是怎样的特殊四边形：__________．【答案】（1）见解析；（2）菱形【分析】（1）先写出已知、求证，先证明BMF MAF ∠=∠，再证明DE ME =，DE CE =即可证明 （2）先证明CE CF =，再证明AC BC =,由布拉美古塔定理证明ME EC CF FM ===即可证明 【详解】（1）已知：如图，在圆内接四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥于点M ，过点M 作AB 的垂线分别交AB DC 、于点,F E ． 求证：点E 是DC 的中点 证明：,AC BD EF AB ⊥⊥9090BMF AMF MAF AMF ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，，BMF MAF ∴∠=∠，EDM MAF EMD BMF ∠=∠∠=∠，， EDM EMD ∴∠=∠， DE ME ∴=，同理可证ME CE =，DE CE ∴=， ∴点E 是DC 的中点故答案为：已知：如图，在圆内接四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥于点M ，过点M 作AB 的垂线分别交AB DC 、于点,F E ． 求证：点E 是DC 的中点 （2）四边形EMFC 是菱形理由：由布拉美古塔定理可知，,E F 分别是,AC BC 的中点， 11,22CE AC CF CB ∴== AB CD ⊥ 11,22ME AC MF CB ∴== AB CD M ⊥，是AB 中点AC BC ∴=ME EC CF FM ∴===∴四边形EMFC 是菱形 故答案为：四边形EMFC 是菱形 【点睛】本题考查菱形的判定、根据题意写已知求证、灵活进行角的和差关系的转换是解题的关键 19．（2020·江苏鼓楼区·）点E 、F 分别是菱形ABCD 边BC 、CD 上的点． （1）如图，若CE ＝CF ，求证AE ＝AF ；（2）判断命题“若AE ＝AF ，则CE ＝CF ”的真假．若真，请证明；若假，请在备用图上画出反例．【答案】（1）见解析；（2）假命题，见解析 【分析】（1）连接AC ，利用菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可； （2）举出反例解答即可． 【详解】解：（1）连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ACE ＝∠ACF ， 在△ACE 与△ACF 中CE CF ACE ACF AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACE ≌△ACF （SAS ）， ∴AE ＝AF ，（2）当AE ＝AF ＝AF'时，CE ≠CF'，如备用图，∴命题“若AE ＝AF ，则CE ＝CF ”是假命题． 【点睛】此题考查命题与定理，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答．20．（2020·丰台·北京十八中）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：（1）则甲同学错的是第题；（2）丁同学的得分是；（3）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是（写出一种即可）．【答案】（1）5；（2）3；（3）A【分析】(1)分甲从第1题到第5题依次错一道,进而得出其余四道的正确选项,再根据乙,丙的选项和得分判断,进而得出甲具体选错的题号,即可得出结论;(2) 分甲从第1题到第5题依次错一道,进而得出其余四道的正确选项,再根据乙丙的选项和得分判断,进而得出甲具体选错的题号,即可得出结论．(3)由（1）先得出五道题的正确选项,然后留一个正确,其他都错误即可得出结论．【详解】解:（1）当甲选错了第1题,那么,其余四道全对, 针对于乙来看,第1,3,5道错了,做对两道,此时,得分为2,而乙得分3,所以,此种情况不符合题意,当甲选错了第2题,那么其余四道全对,针对于乙来看,第2,3,5道错了,做对2道,此时,得分为2分,而乙得分3分,所以,此种情况不符合题意,当甲选错第3题时,那么其余四道都对,针对于乙来看,第5道错了,而乙的得分是3分,所以,乙只能做对3道,即:第3题乙也选错,即:第3题的选项C正确,针对于丙来看,第1题错了,做对4道,此时,丙的得分为4分,而丙的得分为2分,所以此种情况不符合题意,当甲选错第4题,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第3,4,5道错了,做对了2道,此时,得分2分,而乙的得分为3分,所以,此种情况不符合题意,当甲选错第5题,那么其余四道都对,针对于乙来看,第3道错了,而乙的得分为3分,所以,乙只能做对3道,所以,乙第5题也错了,所以,第5题的选项A是正确的,针对于丙来看,第1,3,5题错了,做对了2道,得分2分,针对于丁来看,第1，3题错了,做对了3道,得分3分,故答案为5;（2）当甲选错了第1题,那么,其余四道全对, 针对于乙来看,第1,3,5道错了,做对两道,此时,得分为2,而乙得分3,所以,此种情况不符合题意,当甲选错了第2题,那么其余四道全对,针对于乙来看,第2,3,5道错了,做对2道,此时,得分为2分,而乙得分3分,所以,此种情况不符合题意,当甲选错第3题时,那么其余四道都对,针对于乙来看,第5道错了,而乙的得分是3分,所以,乙只能做对3道,即:第3题乙也选错,即:第3题的选项C正确,针对于丙来看,第1题错了,做对4道,此时,丙的得分为4分,而丙的得分为2分,所以,此种情况不符合题意,当甲选错第4题,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第3,4,5道错了,做对了2道,此时,得分2分,而乙的得分为3分,所以,此种情况不符合题意,当甲选错第5题,那么其余四道都对,针对于乙来看,第3道错了,而乙的得分为3分,所以,乙只能做对3道,所以,乙第5题也错了,所以,第5题的选项A是正确的,针对于丙来看,第1,3,5题错了,做对了2道,得分2分,针对于丁来看,第1，3题错了,做对了3道,得分3分,故答案为3;（3）由（1）知,五道题的正确选项分别是:CCABA, 如果有一个同学得了1分,那么,只选对1道, 即:他的答案可能是CACCC或CBCCC或CABAB或BBBBB等,故答案为:CACCC或BBBBB（答案不唯一）.【点睛】本题主要考查是推理与论证问题和分类讨论的思想,确定出甲选错的题号是解本题的关键. 21．（2020·浙江台州·九年级期末）定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形．(1)判断下列命题是真命题，还是假命题？①正方形是自相似菱形；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形．③如图1，若菱形ABCD 是自相似菱形，∠ABC =α(0°＜α＜90°)，E 为BC 中点，则在△ABE ，△AED ，△EDC 中，相似的三角形只有△ABE 与△AED ．(2)如图2，菱形ABCD 是自相似菱形，∠ABC 是锐角，边长为4，E 为BC 中点． ①求AE ，DE 的长；②AC ，BD 交于点O ，求tan ∠DBC 的值．【答案】(1)见解析；(2)①DEtan ∠DBC． 【分析】（1）①证明△ABE ≌△DCE （SAS ），得出△ABE ∽△DCE 即可； ②连接AC ，由自相似菱形的定义即可得出结论； ③由自相似菱形的性质即可得出结论； （2）①由（1）③得△ABE ∽△DEA ，得出AB BE AEDE AE AD==，求出AE ＝，DE ＝②过E 作EM ⊥AD 于M ，过D 作DN ⊥BC 于N ，则四边形DMEN 是矩形，得出DN ＝EM ，DM ＝EN ，∠M ＝∠N ＝90°，设AM ＝x ，则EN ＝DM ＝x +4，由勾股定理得出方程，解方程求出AM ＝1，EN ＝DM ＝5，由勾股定理得出DN ＝EM，求出BN ＝7，再由三角函数定义即可得出答案． 【详解】解：(1)①正方形是自相似菱形，是真命题；理由如下： 如图3所示：∵四边形ABCD 是正方形，点E 是BC 的中点， ∴AB =CD ，BE =CE ，∠ABE =∠DCE =90°， 在△ABE 和△DCE 中 AB CD ABE DCE BE CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠， ∴△ABE ≌△DCE (SAS )， ∴△ABE ∽△DCE ， ∴正方形是自相似菱形，故答案为：真命题；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形，是假命题；理由如下：如图4所示：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD，AD∥BC，AB∥CD，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∠DCE=120°，∵点E是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEB=∠DAE=90°，∴只能△AEB与△DAE相似，∵AB∥CD，∴只能∠B=∠AED，若∠AED=∠B=60°，则∠CED=180°﹣90°﹣60°=30°，∴∠CDE=180°﹣120°﹣30°=30°，∴∠CED=∠CDE，∴CD=CE，不成立，∴有一个内角为60°的菱形不是自相似菱形，故答案为：假命题；③若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED，是真命题；理由如下：∵∠ABC=α(0°＜α＜90°)，∴∠C ＞90°，且∠ABC +∠C =180°，△ABE 与△EDC 不能相似， 同理△AED 与△EDC 也不能相似， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ， ∴∠AEB =∠DAE ，当∠AED =∠B 时，△ABE ∽△DEA ，∴若菱形ABCD 是自相似菱形，∠ABC =α(0°＜α＜90°)，E 为BC 中点， 则在△ABE ，△AED ，△EDC 中，相似的三角形只有△ABE 与△AED ， 故答案为：真命题；(2)①∵菱形ABCD 是自相似菱形，∠ABC 是锐角，边长为4，E 为BC 中点， ∴BE =2，AB =AD =4， 由(1)③得：△ABE ∽△DEA ， ∴AB BE AEDE AE AD== ∴AE 2=BE •AD =2×4=8，∴AE DE =AB AE BE ⋅，故答案为：AE DE②过E 作EM ⊥AD 于M ，过D 作DN ⊥BC 于N ，如图2所示：则四边形DMEN 是矩形， ∴DN =EM ，DM =EN ，∠M =∠N =90°， 设AM =x ，则EN =DM =x +4，由勾股定理得：EM 2=DE 2﹣DM 2=AE 2﹣AM 2，即2﹣(x +4)22﹣x 2， 解得：x =1， ∴AM =1，EN =DM =5，∴DN =EM = 在Rt △BDN 中， ∵BN =BE +EN =2+5=7，∴tan ∠DBC =DN BN =【点睛】本题考查了自相似菱形的定义和判定，菱形的性质应用，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的定义，掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．22．（2020·渠县崇德实验学校九年级）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：）则丁同学的得分是；（2）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是（写出一种即可）【答案】（1）3；（2）CACCC【分析】（1）分甲从第1题到第5题依次错一道，进而得出其余四道的正确选项，再根据乙，丙的选项和得分判断，进而得出甲具体选错的题号，即可得出结论；（2）由（1）先得出五道题的正确选项，然后留一个正确，其他都错误即可得出结论．【详解】解：（1）当甲选错了第1题，那么，其余四道全对，针对于乙来看，第1，3，5道错了，做对两道，此时，得分为2，而乙得分3，所以，此种情况不符合题意，当甲选错了第2题，那么其余四道全对，针对于乙来看，第2，3，5道错了，做对2道，此时，得分为2分，而乙得分3分，所以，此种情况不符合题意，当甲选错第3题时，那么其余四道都对，。

专题25 圆的有关计算与证明(共20道)(解析版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

专题25 圆的有关计算与证明(共20道)(解析版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

专题25圆的有关计算与证明（20道）一、填空题1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在O 中，直径AB 与弦CD 交于点 ,2E AC BD=．连接AD ，过点B 的切线与AD 的延长线交于点F ．若68AFB ∠=︒，则DEB ∠=°．【答案】66【分析】连接BD ，则有90ADB ∠=︒，然后可得22,68A ABD ∠=︒∠=︒，则44ADE =︒∠，进而问题可求解．【详解】解：连接BD ，如图所示：∵AB 是O 的直径，且BF 是O 的切线，∴90ADB ABF ∠=∠=︒，∵68AFB ∠=︒，∴22A ∠=︒，∴68ABD ∠=︒，∵ 2AC BD=，∴244ADC A ∠=∠=︒，【答案】0.1【分析】由已知求得AB 与而即可得解．【详解】∵2OA OB AOB ==∠，∴22AB =，∵C 是弦AB 的中点，D 在∴延长DC 可得O 在DC 上，∴22CD OD OC =-=-，∴()22222322CD s AB OA-=+=+=，9022360l ππ⨯⨯==，∴30.1l s π-=-≈．故答案为：0.1．【点睛】本题考查扇形的弧长，掌握垂径定理。

弧长公式是关键．二、解答题3．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB 为O 的直径，延长AC 到点G ，使得CG CB =，连接GB ，过点C 作CD GB ∥，交AB 于点F ，交点O 于点D ，过点D 作DE AB ∥．交GB 的延长线于点E ．(1)求证：DE 与O 相切．(2)若4AC =，2BC =，求BE 的长．【答案】(1)见详解(2)523【分析】（1）连接OD ，结合圆周角定理，根据CG CB =，可得45CGB CBG ∠=∠=︒，再根据平行的性质45ACD CGB ∠=∠=︒，即有290AOD ACD ∠=∠=︒，进而可得90ODE AOD ∠=∠=︒，问题随之得证；（2）过C 点作CK AB ⊥于点K ，先证明四边形BEDF 是平行四边形，即有BE DF =，求出2225AB AC BC =+=，即有152OD AO OB AB ====，利用三角形函数有2sin 5AC ABC AB ∠==，同理1cos 5ABC ∠=，即可得4sin 5KC BC ABC =⨯∠=，2cos 5KB BC ABC =⨯∠=，进而有35OK OB KB =-=，再证明CKF DOF ∽，可得55445OF OD FK CK ===，即可得55359935OF OK ==⨯=，在Rt ODF △中，有∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90GCB ∠=︒，∵CG CB =，∴45CGB CBG ∠=∠=︒，∵CD GB ∥，∴45ACD CGB ∠=∠=︒，∴290AOD ACD ∠=∠=︒，即∵DE AB ∥，∴90ODE AOD ∠=∠=︒，∴半径OD DE ⊥，∴DE 与O 相切；（2）过C 点作CK AB ⊥∵CD GB ∥，DE AB ∥，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴BE DF =，∵4AC =，2BC =，∴222AB AC BC =+=∴152OD AO OB AB ====，∵CK AB ⊥，∴90CKB ACB ∠=︒=∠，∴在Rt ACB △，2sin 5AC ABC AB ∠==，同理1cos 5ABC ∠=，∵在Rt KCB 中，2CB =，∴4sin 5KC BC ABC =⨯∠=，2cos 5KB BC ABC =⨯∠=，∴35OK OB KB =-=，∵CK AB ⊥，OD AB ⊥，∴OD CK ∥，∴CKF DOF ∽，∴55445OF OD FK CK ===，∴59OF OF FK OF OK ==+，∴55359935OF OK ==⨯=，∴在Rt ODF △中，22523DF OD OF =+=，∴523BE DF ==．【点睛】本题是一道综合题，主要考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角函数以及勾股定理等知识，掌握切线的判定以及相似三角形的判定与性质，是解答本题的关键．4．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，等腰三角形OAB 的顶角120AOB ∠=︒，O 和底边AB 相切于点C ，并与两腰OA ，OB 分别相交于D ，E 两点，连接CD ，CE ．(1)求证：四边形ODCE 是菱形；(2)若O 的半径为2，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)4233S π=-阴影【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质可得60AOC BOC ∠=∠=︒，从而可得ODC 和△OD CD CE OE ===，即可解答；（2）连接DE 交OC 于点F ，利用菱形的性质可得利用勾股定理求出DF 的长，从而求出DE ODCE 的面积，进行计算即可解答．【详解】（1）证明：连接OC ，O 和底边AB 相切于点C ，OC AB ∴⊥，OA OB = ，120AOB ∠=︒，1602AOC BOC AOB ∴∠=∠=∠=︒，OD OC = ，OC OE =，ODC ∴ 和OCE △都是等边三角形，OD OC DC \==，OC OE CE ==，OD CD CE OE ∴===，∴四边形ODCE 是菱形；（2）解：连接DE 交OC 于点F ，四边形ODCE 是菱形，112OF OC ∴==，2DE DF =，90OFD ∠=︒，在Rt ODF 中，2OD =，2222213DF OD OF ∴=-=-=，223DE DF ∴==，∴图中阴影部分的面积=扇形ODE 的面积-菱形ODCE 的面积2120213602OC DE π⨯=-⋅4122332π=-⨯⨯4233π=-，∴图中阴影部分的面积为4233π-．【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，过点D 作DF BC ⊥，交BC 的延长线于点F ，交BA 的延长线于点E ，连接BD ．若180EAD BDF ∠+∠=︒．(1)求证：EF 为O 的切线．∵EAD BDF ∠+∠=∴BDF BAD ∠=∠，∵AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒，BFD ∠∴BDF DBF ∠+∠=∴DBF ABD ∠=∠，∵OB OD =，∴DBF ABD ∠=∠=∴OD BF ∥，∴90ODE F ∠=∠=又OD 为O 的半径，∴EF 为O 的切线；（2）连接AC ，则：∵AB 为O 的直径，∴90ACB F ∠=︒=∠，∴AC EF ，∴E BAC BDC ∠=∠=∠，在Rt BFE △中，10BE =，2sin sin 3E BDC =∠=，∴220sin 1033BF BE E =⋅=⨯=，设O 的半径为r ，则：,10OD OB r OE BE OB r ===-=-，∵OD BF ∥，∴ODE BFE ∽，∴OD OE BF BE =，即：1020103r r -=，∴4r =；∴O 的半径为4．【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，重点考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质．题目的综合性较强，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．6．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C ，D 是O 上AB 异侧的两点，DE CB ⊥，交CB 的延长线于点E ，且BD 平分ABE ∠．(1)求证：DE 是O 的切线．(2)若60ABC ∠=︒，4AB =，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)233π-【分析】（1）连接OD ，根据OB OD =，得出OBD ODB ∠=∠．根据BD 平分ABE ∠，得出OBD EBD ∠=∠，则EBD ODB ∠=∠．根据DE CB ⊥得出90EBD EDB ∠+∠=︒，进而得出90ODB EDB ∠+∠=︒，即可求证；（3）连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于点F ，通过证明OBC △为等边三角形，得出60BOC ∠=︒，【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，求扇形面积，解题的关键是掌握经过半径外端切垂直于半径的直线是圆的切线；扇形面积公式7．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知ABC 内接于O ，AB 为O 的直径，N 为 AC 的中点，连接ON 交AC 于点H ．(1)如图①，求证2BC OH =；(2)如图②，点D 在O 上，连接DB ，DO ，DC ，DC 交OH 于点E ，若DB DC =，求证OD AC ∥；(3)如图③，在（2）的条件下，点F 在BD 上，过点F 作FG DO ⊥，交DO 于点G ．DG CH =，过点F 作FR DE ⊥，垂足为R ，连接EF ，EA ，32EF DF =::，点T 在BC 的延长线上，连接AT ，过点T 作TM DC ⊥，交DC 的延长线于点M ，若42FR CM AT ==，，求AB 的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)213【分析】（1）连接OC ，根据N 为 AC 的中点，易证AH HC =，再根据中位线定理得出结论；（2）连接OC ，先证DOB DOC ≌V V 得BDO CDO ∠=∠，再根据OB OD =得DBO BDO ∠=∠，根据ACD ABD ∠=∠即可得出结论；（3）连接AD ，先证DOB DOC ≌V V ，再证四边形ADFE 是矩形，过A 作AS DE ⊥垂足为S ，先证出FR AS =，再能够证出CAS TCM ≌V V 从而CT AC =，得到等腰直角ACT ，利用三角函数求出AC ，再根据EDF BAC ∠=∠求出BC ，最后用勾股定理求出答案即可．【详解】（1）证明：如图，连接OC ，设2BDC α∠=，BD DC = ，DO DO =DOB DOC \≌V V ，12BDO CDO \Ð=Ð=OB OD = ，DBO \ÐACD ABD a Ð=Ð=Q DO AC \∥；（3）解：连接AD ，FG OD ^Q ，90DGF ∴∠=︒，90CHE ∠=︒ ，DGF CHE \Ð=Ð，FDG ECH Ð=ÐQ ，DG CH =，DGF CHE \≌V V ，DF CE ∴=，AH CH = ，OH AC \^，CE AE DF \==，EAC ECA a Ð=Ð=Q ，2AED EAC ECA a Ð=Ð+Ð=，BDC AED ∴∠=∠，DF AE ∴∥，∴四边形ADFE 是平行四边形，AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，∴四边形ADFE 是矩形，90EFD ∴∠=︒，3tan 2EF EDF FD \Ð==，过点A 作AS DE ⊥垂足为S ，sin AS AES AE\Ð=，FR DC ^Q ，sin FR FDR FD\Ð=，FD AE ∥ ，FDR AES \Ð=Ð，sin sin FDR AES \Ð=Ð，FR AS \=，AB 是O 的直径，(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．【答案】(1)32:27(2)①符合，图见详解；②图见详解【分析】（1）根据圆环面积可进行求解；（2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，然后根据平行线所截线段成比例可进行作图．【详解】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为()22318ππ⨯-=；环的“肉”的面积为()223 1.5 6.75ππ⨯-=，∴它们的面积之比为8:6.7532:27ππ=；故答案为32:27；（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A 、B 、C ，则分别以A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段AC 的垂直平分线，线段,AB AC 的垂直平分线的交点即为圆心O ，过圆心O 画一条直径，以O 为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可由作图可知满足比例关系为1:2:1的关系；②按照①中作出圆的圆心O ，过圆心画一条直径AB ，过点A 作一条射线，然后以A 为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C 、D 、E ，连接BE ，然后分别过点C 、D 作BE 的平行线，交AB 于点F 、【点睛】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的基本性质及平行线所截线段成比例是解题的关键．9．（2023·辽宁·统考中考真题）的延长线上，且AFE ABC ∠=∠(1)求证：EF 与O (2)若1sin BF AFE =∠，【答案】(1)见解析(2)245BC =∵ =BEBE ，∴EOB ∠∵2CAB EAB ∠=∠，∴CAB EOB ∠=∠，∵AB 是O 的直径，∴90C ∠=︒，∵AFE ABC ∠=∠，∴OFE ABC ∽△△，∴90OEF C ∠=∠=︒，∵OE 为O 半径，∴EF 与O 相切；（2）解：设O 半径为x ，则1=+OF x ，∵AFE ABC ∠=∠，4sin 5AFE ∠=，∴4sin 5ABC ∠=，在Rt OEF △中，90OEF ∠=︒，4sin 5AFE ∠=，∴45OE OF =，即415x x =+，解得4x =，经检验，4x =是所列方程的解，∴O 半径为4，则8AB =，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，4sin 5ABC ∠=，8AB =，∴32sin 5A AB C AB C ∠==⋅，∴22245BC AB AC =-=．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键．10．（2023·贵州·统考中考真题）如图，已知O 是等边三角形ABC 的外接圆，连接CO 并延长交AB 于点D ，交O 于点E ，连接EA ，EB ．(1)写出图中一个度数为30︒的角：_______，图中与ACD 全等的三角形是_______；(2)求证：AED CEB ∽△△；(3)连接OA ，OB ，判断四边形OAEB 的形状，并说明理由．【答案】(1)1∠、2∠、3∠、4∠；BCD△(2)证明见详解(3)四边形OAEB 是菱形【分析】（1）根据外接圆得到CO 是ACB ∠的角平分线，即可得到30︒的角，根据垂径定理得到90ADC BDC ∠=∠=︒，即可得到答案；（2）根据（1）得到3=2∠∠，根据垂径定理得到5660∠=∠=︒，即可得到证明；（3）连接OA ，OB ，结合5660∠=∠=︒得到OAE △，OBE △是等边三角形，从而得到OA OB AE EB r ====，即可得到证明；【详解】（1）解：∵O 是等边三角形ABC 的外接圆，∴CO 是ACB ∠的角平分线，60ACB ABC CAB ∠=∠=∠=︒，∴1230∠=∠=︒，∵CE 是O 的直径，∴90CAE CBE ∠=∠=︒，∴3430∠=∠=︒，∴30︒的角有：1∠、2∠、3∠、4∠，∵CO 是ACB ∠的角平分线，∴90ADC BDC ∠=∠=︒，56903060∠=∠=︒-︒=︒，在ACD 与BCD △中，∵1290CD CD ADC BDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴ACD BCD ≌，故答案为：1∠、2∠、3∠、4∠，BCD △；（2）证明：∵56∠=∠，3=230∠∠=︒，∴AED CEB ∽△△；（3）解：连接OA ，OB ，∵OA OE OB r ===，5660∠=∠=︒，∴OAE △，OBE △是等边三角形，∴OA OB AE EB r ====，∴四边形OAEB 是菱形．【点睛】本题考查垂径定理，菱形判定，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理，从而得到相应角的等量关系．11．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，AB 为O 的直径，E 为O 上一点，点C 为»EB 的中点，过点C 作CD AE ⊥，交AE 的延长线于点D ，延长DC 交AB 的延长线于点F ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若1DE =，2DC =，求O 的半径长．【答案】(1)证明见解析(2)52【分析】（1）连接OC ，根据弦、弧、圆周角的关系可证DAC CAF ∠=∠，根据圆的性质得OAC OCA ∠=∠，∵点C 为»EB的中点，∴ ECCB =，∴DAC CAF ∠=∠，∵OA OC =，∴OAC OCA∠=∠∵CD AD ⊥，∴90D Ð=°，∵1DE =，2DC =，∴2222215CE CD DE =+=+=，∵D 是 BC的中点，∴ ECCB =，∴EC CB ==5，∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵180DEC AEC ∠+∠=︒，180ABC AEC ∠+∠=︒，∴DEC ABC ∠=∠，∴DEC CBA ∽ ，∴DE CE BC AB=，∴155AB =，∴5AB =，1522AO AB ==∴O 的半径长为52．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．12．（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图①，点A 、B 、P 均在O 上，90AOB ∠=︒，则锐角APB ∠的大小为__________度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，O 是等边三角形ABC 的外接圆，点P 在 AC 上（点P 不与点A 、C 重合），连结PA 、PB 、PC ．求证：PB PA PC =+．小明发现，延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，通过证明PBC EBA ≌△△，可推得PBE 是等边三角形，进而得证．BA BC ∴=，(SAS)PBC EBA ∴ ≌，∴PB EB =，PBC EBA ∠=∠，60EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，PBE ∴ 是等边三角形，PB PE ∴=，PB PE PA AE PA PC ∴==+=+，即PB PA PC =+；应用：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒ ，BCP BAE ∴∠=∠．AB CB = ，(SAS)PBC EBA ∴ ≌，∴PB EB =，PBC EBA ∠=∠，90EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，PBE ∴ 是等腰直角三角形，222PB BE PE ∴+=，222PB PE ∴=，即2PE PB =，PE PA AE PA PC =+=+ ，2PA PC PB ∴+=，22PB PA = ，2224PA PC PA PA ∴+=⨯=，3PC PA ∴=，222233PB PA PC PA ∴==，故答案为：223．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造PBC EBA ≌，进行转换求解．13．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径， BCBD =，DE AC ⊥于点E ，DE 交BF 于点F ，交AB 于点G ，2BOD F ∠=∠，连接BD ．(1)求证：BF 是O 的切线；(2)判断DGB 的形状，并说明理由；(3)当2BD =时，求FG 的长．【答案】(1)见解析(2)DGB 是等腰三角形，理由见解析(3)4FG =【分析】（1）连接CO ，根据圆周角定理得出2BOD BOC BAC ∠=∠=∠，根据已知得出F BAC ∠=∠，根据DE AC ⊥得出90AEG ∠=︒，进而根据对等角相等，以及三角形内角和定理可得90FBG AEG ∠=∠=︒，即可得证；（2）根据题意得出 AD AC=，则ABD ABC ∠=∠，证明EF BC ∥，得出AGE ABC ∠=∠，等量代换得出FGB ABD ∠=∠，即可得出结论；（3）根据FGB ABD ∠=∠，AB BF ⊥，设FGB ABD α∠=∠=，则90DBF F α∠=∠=︒-，等边对等角得出DB DF =，则224FG DG DB ===．【详解】（1）证明：如图所示，连接CO ，∵ BCBD =，∴2BOD BOC BAC ∠=∠=∠，∵2BOD F ∠=∠，∴F BAC ∠=∠，∵DE AC ⊥，∴90AEG ∠=︒，∵AGE FGB∠=∠∴90FBG AEG ∠=∠=︒，即AB BF ⊥，又AB 是O 的直径，∴BF 是O 的切线；（2）∵ BCBD =，AB 是O 的直径，∴ AD AC =，BC AC ⊥，∴ABD ABC ∠=∠，∵DE AC ⊥，BC AC ⊥，∵EF BC ∥，∴AGE ABC ∠=∠，又AGE FGB ∠=∠，∴FGB ABD ∠=∠，∴DGB 是等腰三角形，（3）∵FGB ABD ∠=∠，AB BF ⊥，设FGB ABD α∠=∠=，则90DBF F α∠=∠=︒-，(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若30C ∠=︒，23CD =，求 BD的长．【答案】(1)见解析(2)43π∵OB OD =，∴B ODB ∠=∠,∵AB AC =，∴B C ∠=∠,∴OD AC ∥,∴ODE DEC ∠=∠。

专题25 圆的有关计算与证明(共50题)(原卷版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

专题25 圆的有关计算与证明(共50题)(原卷版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

专题25圆的有关计算与证明（50题）一、单选题1．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在O 中，若30ACB ∠=︒，6OA =，则扇形OAB (阴影部分)的面积是()A ．12πB ．6πC ．4πD ．2π2．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，矩形ABCD 内接于O ，分别以AB BC CD AD 、、、为直径向外作半圆．若4,5==AB BC ，则阴影部分的面积是（）A ．41204π-B ．41202π-C ．20πD ．203．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ AC ），点O 是这段弧所在圆的圆心，B 为 AC 上一点，OB AC ⊥于D ．若3003m AC =，150m BD =，则 AC 的长为（）A ．300m πB ．200m πC ．150m πD ．1003mπA ．21cm 4πB 5．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形段90︒的圆心角的圆心为为A BCD 、、、循环，则A ．40452πB ．20236．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，在等腰直角心，AC 为半径画弧，交AB 于点积是（）A ．π2-B ．2π2-7．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，AB 是半圆O 的直径，点,C D 在半圆上， CDDB =，连接,,OC CA OD ，过点B 作EB AB ⊥，交OD 的延长线于点E ．设OAC 的面积为1,S OBE △的面积为2S ，若1223S S =，则tan ACO ∠的值为（）A ．2B ．223C ．75D ．32二、填空题8．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，E 为BC 的中点，连接AE DE ，，以E 为圆心，EB 长为半径画弧，分别与AE DE ，交于点M ，N ，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留π）9．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，O 的半径为2cm ，AB 为O 的弦，点C 为 AB 上的一点，将 AB 沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，则阴影部分的面积为_______．（结果保留π与根号）10．（2023·重庆·统考中考真题）如图，O 是矩形ABCD 的外接圆，若4,3AB AD ==，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）14．（2023·天津·统考中考真题）如图，在每个小正方形的边长为且顶点A，B均在格点上．（1）线段AB的长为________（2）若点D在圆上，AB与CD为等边三角形，并简要说明点15．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在H AH=．以点A为圆心，,3一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r r-=________________的半径为2r，则1216．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，小珍同学用半径为8cm ，圆心角为100︒的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm 的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是________2cm ．三、解答题17．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，AB 与O 相切于点A ，半径OC AB ∥，BC 与O 相交于点D ，连接AD ．(1)求证：OCA ADC ∠∠=；(2)若12,tan 3AD B ==，求OC 的长．18．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，以ABC 的边AC 为直径作O ，交BC 边于点D ，过点C 作CE AB ∥交O 于点E ，连接AD DE ，，B ADE ∠=∠．(1)求证：AC BC =；(2)若tan 23B CD ==，，求AB 和DE 的长．(1)求证：90ADC BAC ∠-∠=︒；（请用两种证法解答）(2)若ACP ADC ∠=∠，O 的半径为3，4CP =，求AP 的长．(1)求BED ∠的度数；(2)如图2，过点A 作O 的切线交BC 延长线于点F ，过点D 作DG 235,4AD DE ==，求DG 的长．21．（2023·浙江杭州·统考中考真题）在边长为1的正方形ABCD 中，点射线BE 与射线CD 交于点F ．(1)若13ED =，求DF 的长．(2)求证：1AE CF ⋅=．(3)以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段BE 于点G ．若EG ED =，求ED 的长．22．（2023·河北·统考中考真题）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB 为直径的半圆O ，50cm AB =，如图1和图2所示，MN 为水面截线，GH 为台面截线，MN GH ∥．计算：在图1中，已知48cm MN =，作OC MN ⊥于点C ．（1）求OC 的长．操作：将图1中的水面沿GH 向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当30ANM ∠=︒时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为Q ，GH 与半圆的切点为E ，连接OE 交MN 于点D ．探究：在图2中(1)求证：2AOB ∠=∠(2)若4,5AB BC ==径，45ABD ∠=︒，直线l 与三条线段CD 、CA 、DA 的延长线分别交于点E 、F 、G ．且满足45CFE ∠=︒．(1)求证：直线l ⊥直线CE ；(2)若AB DG =；①求证：ABC GDE △≌△；②若312R CE ==，，求四边形ABCD 的周长．25．（2023·天津·统考中考真题）在O 中，半径OC 垂直于弦AB ，垂足为D ，60AOC ∠=︒，E 为弦AB 所对的优弧上一点．(1)如图①，求AOB ∠和CEB ∠的大小；(2)如图②，CE 与AB 相交于点F ，EF EB =，过点E 作O 的切线，与CO 的延长线相交于点G ，若3OA =，求EG 的长．26．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，ABC 是O 的内接三角形，AB 是O 的直径，5,25AC BC ==，点F 在AB 上，连接CF 并延长，交O 于点D ，连接BD ，作BE CD ⊥，垂足为E ．(1)求证：DBE ABC △∽△；(2)若2AF =，求ED 的长．27．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，ABC ABD 、内接于O AB BC P = ，，是OB 延长线上的一点，PAB ACB ∠=∠，AC BD 、相交于点E ．(1)求证：AP 是O 的切线；(2)若24BE DE ==，，30P ∠=︒，求AP 的长．28．（2023·湖南·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，AC 是一条弦，D 是 AC 的中点，DE AB ⊥于点E ，交AC 于点F ，交O 于点H ，DB 交AC 于点G ．(1)求证：AF DF =．(2)若55,sin 25AF ABD =∠=，求O 的半径．29．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，点P 是O 外一点，PA 与O 相切于点A ，点C 为O 上的一点．连接PC 、AC 、OC ，且PC PA =．(1)求证：PC 为O 的切线；(2)延长PC 与AB 的延长线交于点D ，求证：PD OC PA OD ⋅=⋅；(3)若308CAB OD ∠=︒=，，求阴影部分的面积．30．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，ABC 中，以AB 为直径的O 交BC 于点E ．AE 平分BAC ∠，过点E 作ED AC ⊥于点D ，延长DE 交AB 的延长线于点P ．(1)求证：PE 是O 的切线；(2)若1sin ,43P BP ∠==，求CD 的长．31．（2023·安徽·统考中考真题）已知四边形(1)如图1，连接,OA CA ，若OA BD ⊥，求证；CA 平分BCD ∠；(2)如图2，E 为O 内一点，满足,AE BC CE AB ⊥⊥，若BD =32．（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图①，点A 、B 、的大小为__________度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，O 是等边三角形ABC 的外接圆，点P 在 AC 上（点P 不与点A 、C 重合），连结PA 、PB 、PC ．求证：PB PA PC =+．小明发现，延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，通过证明PBC EBA ≌△△，可推得PBE 是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒ ，BCP BAE ∴∠=∠．ABC 是等边三角形．BA BC ∴=，(SAS)PBC EBA ∴ ≌请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，O 是ABC 的外接圆，90ABC AB BC ∠=︒=，，点P 在O 上，且点P 与点B 在AC 的两侧，连结PA 、PB 、PC ．若22PB PA =，则PB PC的值为__________．33．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，210AB =，O 的弦CD AB ⊥于点E ，6CD =．过点C 作O 的切线交AB 的延长线于点F ，连接BC ．∠；(1)求证：BC平分DCF(2)G为 AD上一点，连接CG交AB于点H，若34．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，行弦，弦AB交MC于点H．点A在¼MC上，点⋅=⋅．(1)求证：MH CH AH BH(2)求证：AC BC=．(3)在⊙O中，沿弦ND所在的直线作劣弧ND NG的长．35．（2023·广东·统考中考真题）综合探究如图1，在矩形ABCD中(AB>BD于点E，连接CA'．(1)求证：AA CA '⊥'；(2)以点O 为圆心，OE 为半径作圆．①如图2，O 与CD 相切，求证：3AA CA '='；②如图3，O 与CA '相切，1AD =，求O 的面积．36．（2023·山东·统考中考真题）如图，AB 为O 的直径，C 是圆上一点，D 是 BC 的中点，弦DE AB ⊥，垂足为点F ．(1)求证：BC DE =；(2)P 是»AE 上一点，6,2AC BF ==，求tan BPC ∠；(3)在（2）的条件下，当CP 是ACB ∠的平分线时，求CP 的长．37．（2023·山东·统考中考真题）如图，已知AB 是O 的直径，CD CB =，BE 切O 于点B ，过点C 作CF OE ⊥交BE 于点F ，若2EF BF =．(1)如图1，连接BD ，求证：ADB OBE △≌△；(2)如图2，N 是AD 上一点，在AB 上取一点M ，使60MCN ∠=︒，连接MN ．请问：三条线段MN BM DN ，，有怎样的数量关系？并证明你的结论．38．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，在O 中，直径AB 垂直弦CD 于点E ，连接,,AC AD BC ，作CF AD ⊥于点F ，交线段OB 于点G （不与点,O B 重合），连接OF ．(1)若1BE =，求GE 的长．(2)求证：2BC BG BO =⋅．(3)若FO FG =，猜想CAD ∠的度数，并证明你的结论．39．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图1，已知AB 是O 的直径，PB 是O 的切线，PA 交O 于点C ，43AB PB ==，．(1)填空：PBA ∠的度数是_________，PA 的长为_________；(2)求ABC 的面积；(3)如图2，CD AB ⊥，垂足为D ．E 是 AC 上一点，5AE EC =．延长AE ，与DC ，BP 的延长线分别交于点,F G ，求EF FG的值．40．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，点E 是ABC 的内心，AE 的延长线与边BC 相交于点F ，与ABC 的外接圆相交于点D ．(1)求证：::ABF ACF S S AB AC =△△；(2)求证：::AB AC BF CF =；(3)求证：2AF AB AC BF CF =⋅-⋅；(4)猜想：线段,,DF DE DA 三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）41．（2023·浙江台州·统考中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，AB 是O 的直径，直线l 是O 的切线，B 为切点．P ，Q 是圆上两点（不与点A 重合，且在直径AB 的同侧），分别作射线AP ，AQ 交直线l 于点C ，点D ．(1)如图1，当6AB =，BP的长为π时，求BC 的长．(2)如图2，当34AQ AB =， BP PQ =时，求BC CD的值．(3)如图3，当6sin 4BAQ ∠=，BC CD =时，连接BP ，PQ ，直接写出(1)求CE 的长和y 关于x 的函数表达式．(2)当PH PN <，且长度分别等于PH ，PN ，a 的三条线段组成的三角形与(3)延长PN 交半圆O 于点Q ，当1534NQ x =-时，求43．（2023·新疆·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，点接AF ，过点C 作AF 的垂线，交AF 的延长线于点D 交AC 于点H ．(1)求证：CE 是O 的切线；(2)若tan 34E =，4BE =，求FH 的长．44．（2023·云南·统考中考真题）如图，BC 是O 的直径，A 是O 上异于B C 、的点．O 外的点E 在射线CB 上，直线EA 与CD 垂直，垂足为D ，且DA AC DC AB ⋅=⋅．设ABE 的面积为1,S ACD 的面积为2S ．(1)判断直线EA 与O 的位置关系，并证明你的结论；(2)若21,BC BE S mS ==，求常数m 的值．45．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图1，锐角ABC 内接于O ，D 为BC 的中点，连接AD 并延长交O 于点E ，连接,BE CE ，过C 作AC 的垂线交AE 于点F ，点G 在AD 上，连接,BG CG ，若BC 平分EBG ∠且BCG AFC ∠=∠．(1)求BGC ∠的度数．(2)①求证：AF BC =．②若AG DF =，求tan GBC ∠的值，(3)如图2，当点O 恰好在BG 上且1OG =时，求AC 46．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，四边形D 的直线l 交BA 的延长线于点M ，交BC 的延长线于点(1)求证：MN 是O 的切线；(2)求证：2AD AB CN =⋅；(3)当6AB =，3sin 3DCA ∠=时，求AM 的长．47．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，以Rt ABC △E 是BC 的中点，连接OE DE 、．(1)求证：DE 是O 的切线．(2)若4sin ,55C DE ==，求AD 的长．(3)求证：22DE CD OE =⋅．48．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）已知，AB 是半径为1的O 的弦，O 的另一条弦CD 满足CD AB =，且CD AB ⊥于点H （其中点H 在圆内，且AH BH CH DH >>，）．(1)在图1中用尺规作出弦CD 与点H （不写作法，保留作图痕迹）．(2)连结AD ，猜想，当弦AB 的长度发生变化时，线段AD 的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出AD 的长度；(3)如图2，延长AH 至点F ，使得HF AH =，连结CF ，HCF ∠的平分线CP 交AD 的延长线于点P ，点M 为AP 的中点，连结HM ，若12PD AD =．求证：MH CP ⊥．49．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在O 中，AB 是一条不过圆心O 的弦，点,C D 是 AB 的三等分点，直径CE 交AB 于点F ，连结AD 交CF 于点G ，连结AC ，过点C 的切线交BA 的延长线于点H ．(1)求证：AD HC ∥；(2)若2OG GC=，求tan FAG ∠的值；(3)连结BC 交AD 于点N ，若O ①若52OF =，求BC 的长；②若10AH =，求ANB 的周长；③若88HF AB ⋅=，求BHC △的面积．50．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，以CD AF ⊥交AF 的延长线于点D ，交点N ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)求证：EM EN =；(3)如果N 是CM 的中点，且AB =。

历年初三数学中考总复习专题训练25-特殊值法 通关26题(含答案)

历年初三数学中考总复习专题训练25-特殊值法 通关26题(含答案)

特殊值法通关26题（含答案）1. 若m，n取正数，p，q取负数，则以下式子中其值最大的是( )A. m−(n+p−q)B. m+(n−p−q)C. m−(n−p+q)D. m+(n−p+q)2. 已知ba =513，则a−ba+b的值是( )A. 23B. 32C. 94D. 493. 若0<x<1，则x−1，x，x2的大小关系是( )A. x−1<x<x2B. x<x2<x−1C. x2<x<x−1D. x2<x−1<x4. 下列说法正确的是( )A. 如果a>b，那么a2>b2B. 如果a2>b2，那么a>bC. 如果∣a∣>∣b∣，那么a2>b2D. 如果a>b，那么∣a∣>∣b∣5. 若α，β是方程x2+px+8=0的两个不同实根，且∣α∣>∣β∣，则下面的四个结论中不一定成立的是( )A. ∣α∣>2且∣β∣>2B. ∣α∣+∣β∣>4√2C. ∣α∣>52或∣β∣>52D. ∣α∣>2√2且∣β∣<2√26. 如图，边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为( )A. √10B. √172C. √17 D. 43√107. 已知mn<0且1−m>1−n>0>n+m+1，那么n，m，1n，n+1m的大小关系是( )A. m<1n <n+1m<n B. m<n+1m<1n<nC. n+1m <m<n<1nD. m<n+1m<n<1n8. 记x=(1+2)(1+22)(1+24)(1+28)⋅⋅⋅(1+2256)，则x+1是( )A. 一个奇数B. 一个质数C. 一个整数的平方D. 一个整数的立方9. 设p1，p2，p3，p4是不等于零的有理数，q1，q2，q3，q4是无理数，则下列四个数①p12+q12，②(p2+q2)2，③(p3+q3)q3，④p4(p4+q4)中必为无理数的有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个10. 设a，b，c分别是△ABC的三条边，且∠A=60∘，那么ca+b +ba+c的值是( )A. 1B. 0.5C. 2D. 311. 设a>0>b>c，a+b+c=1，m=b+ca ，n=a+cb，p=a+bc，则m,n,p之间的关系为( )A. m>n>pB. n>p>mC. p>m>nD. p>n>m12. 抛物线y=ax2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是( )A. 14≤a≤1 B. 12≤a≤2 C. 12≤a≤1 D. 14≤a≤213. 正实数a，b，c，d满足a+b+c+d=1，设p=√3a+1+√3b+1+√3c+1+√3d+1，则( )A. p>5B. p=5C. p<5D. p与5的大小关系不确定14. 如果x>y>0，那么y+1x+1yx（填“>”“<”或“=”）．15. 如图所示，四个函数图象对应的表达式分别是：①y=ax2，②y=bx2，③y=cx2，④y=dx2，则a，b，c，d的大小关系是．16. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，tanA=13，则sinB=．17. 若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是ℎ，给出下列结论：①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以√a，√b，√c的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b，c+ℎ，ℎ的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以1a ，1b，1ℎ的长为边的三条线段能组成直角三角形．其中所有正确结论的序号为．18. 如图所示的四个二次函数的图象对应的表达式分别是：①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2，则a，b，c，d的大小关系为．19. （1）直接写出x与y的和的平方：；x与y的平方的和：．（2）试借特殊值，举例说明x2+y2与(x+y)2不同．20. 古希腊的几何学家海伦（约公元50年）在研究中发现：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积S与a，b，c之间的关系式是S=√a+b+c2⋅a+b−c2⋅a+c−b2⋅b+c−a2 ⋯⋯①，请你举出一个例子，说明关系式①是正确的．21. 已知ax3+bx2+cx+d=(4x−1)3，试求：（提示：分别令x=1或x=−1或x=0，并代入条件等式中化简．）（1）a+b+c+d的值；（2）a−b+c−d的值；（3）a−b+c+2012d的值．22. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+2mx−m2−m+1．（1）当抛物线的顶点在x轴上时，求该抛物线的解析式；（2）不论m取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上，求该直线的解析式；（3）若有两点A(−1,0)，B(1,0)，且该抛物线与线段AB始终有交点，请直接写出m的取值范围．23. 认真阅读下面的材料，完成有关问题．材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如∣5−3∣表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；∣5+3∣=∣5−(−3)∣，所以∣5+3∣表示5，−3在数轴上对应的两点之间的距离；∣5∣=∣5−0∣，所以∣5∣表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为∣a−b∣．（1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，−2，1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）．（2）利用数轴探究：①找出满足∣x−3∣+∣x+1∣=6的x的所有值是，②设∣x−3∣+∣x+1∣=p，当x的值取在不小于−1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是；当x的值取在的范围时，∣x∣+∣x−2∣的最小值是．（3）求∣x−3∣+∣x−2∣+∣x+1∣的最小值以及此时x的值．（4）若∣x−3∣+∣x−2∣+∣x∣+∣x+1∣≥a对任意的实数x都成立，求a的取值．24. 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC与BD交于点P，下面给出5个论断：①AB∥CD；②AP=PC；③AB=CD；④∠BAD=∠DCB；⑤AD∥BC．（1）若用①和④论断作为条件，试证明四边形ABCD是矩形；（2）请你另选取两个能推出四边形ABCD为矩形的论断，如：和（不证明，用序号表示即可）；（3）若选取论断③和⑤作为条件，能推出四边形ABCD为矩形吗?若能，请给出证明；若不能，请举反例说明．25. 小李同学在研究这样一个问题：“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍?”请你与他一起参加这项研究活动．（1）如果已知矩形的长为2，宽为1，则符合条件的矩形存在吗?请说明理由．如果已知矩形的长为3，宽为2呢?（2）已知矩形的长为a，宽为b，是否有同样的结论呢?请说明理由．（3）小李又想“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半?”举例，并研究之．26. 某公园对一个边长为a(a>1)的正方形花坛进行改造，由于占地需要，正方形花坛南北方向需要缩短1米，使其形状成为长方形．为了使花坛中的绿植面积不变，公园决定将花坛向东侧扩展，使得到的长方形面积和原来正方形的面积相等．（1）小明说：这太简单了，把正方形南北方向减少1米，在花坛东侧增加1米就行了．这样得到的长方形的周长和面积与原来正方形的周长和面积都相等．你认为小明说的对吗?请你说明理由．（2）如果原来正方形的花坛边长是5米，在只保证面积不变的情况下，请你计算出改造后，向东扩展了多少米?（3）如果正方形的花坛边长是a米，在只保证面积不变的情况下，请你用代数式表示出改造后长方形的长．答案1. B 【解析】特殊值法．令m，n取某一正数，p，q取某一负数，代入计算就可以．2. D 【解析】可以用代入消元法，也可以用特殊值法求解．因为ba =513，所以不妨设a为13，b为5，则a−ba+b =13−513+5=818=49．3. C 【解析】取x=12，则x−1=(12)−1=2，x2=(12)2=14．∴x2<x<x−1．4. C 【解析】若a=1，b=−3，则a2<b2，故A错误；若a=−3，b=1，则a<b，故B错误；如果∣a∣>∣b∣，那么a2>b2，故C正确；若a=1，b=−3，则∣a∣<∣b∣，故D错误．5. A6. C 【解析】提示：当点D与点H重合时如图所示．7. D 【解析】∵mn<0，∴m,n异号．由1−m>1−n>0>n+m+1，可知m<0<n<1<1n，∣m∣>∣n∣．假设符合条件的m=−4，n=0.2，则1n =5，n+1m=0.2−14=−120，所以m<n+1m <n<1n．8. C 【解析】∵x=(1+2)(1+22)(1+24)(1+28)⋅⋅⋅(1+2256)，∴x=(2−1)(1+2)(1+22)(1+24)(1+28)⋅⋅⋅(1+2256) =(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)⋯(2256+1)=2512−1.∴x+1=2512−1+1=2512．9. B 【解析】①当p1=1,q1=√2时，(p12+q12)=3，是有理数；②当p2=1,q2=√2−1时，(p2+q2)2=2，是有理数；③当p3=2,q3=√2−1时，(p3+q3)q3=1，是有理数；④p4(p4+q4)中，无论p、q取何值原式都是无理数．10. A【解析】由于a，b，c分别是△ABC的三条边，且∠A=60∘，则可利用特殊值法，令a=b=c=1，因此ca+b +ba+c=11+1+11+1=1．11. A 【解析】方法一：特殊值法，可得到m>n>p．方法二：因为a+b+c=1，所以b+c=1−a，a+c=1−b，a+b= 1−c．所以m=b+ca =1−aa=1a−1，n=a+cb =1−bb=1b−1，p=a+bc =1−cc=1c−1．又因为a>0>b>c，所以1a >1c>1b，所以m>n>p．12. D 【解析】当抛物线经过点(1,2)时，得a=2；当抛物线经过点(2,1)时，得a=14．所以满足题意的a的取值范围为14≤a≤2．13. A14. >【解析】可以代入特殊值，如x=2，y=1，代入：y+1x+1=23>yx=12，得到结论较快．15. a>b>c>d【解析】因为直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为(1,a)，(1,b)，(1,c)，(1,d)，所以a>b>c>d．16. 3√1010【解析】令BC=1，AC=3．则在Rt△ABC中，AB=√10，sinB=ACAB =√10=3√1010．17. ②③④【解析】用特殊值法，取a=4，b=3，c=5，则ℎ=125，分别代入四个答案排除．18. a>b>d>c【解析】本题采用取特殊点的方法比较二次项系数的大小．由直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为(1,a)，(1,b)，(1,d)，(1,c)，得出a> b>d>c．第三部分19. （1）(x+y)2；x2+y2（2）假设x=1,y=2，则x与y的和的平方：(x+y)2=(1+2)2=9，而x与y的平方的和：x2+y2=12+22=5，所以两者不同．20. 设a=3，b=4，c=5，∵32+42=52，∴S=3×42=6，∵S=√a+b+c 2⋅a+b−c 2⋅a+c−b 2⋅b+c−a 2=√3+4+52×3+4−52×3+5−42×4+5−32=√6×1×2×3=6.∴ S =√a+b+c 2⋅a+b−c 2⋅a+c−b 2⋅b+c−a 2 是正确的．21. （1） 令 x =1 并代入条件等式中，则 a +b +c +d =(4×1−1)3=27．（2） 令 x =−1 并代入条件等式中，则 −a +b −c +d =[4×(−1)−1]3=−125，∴a −b +c −d =125．（3） 令 x =0 并代入条件等式中，得 d =−1．∴a −b +c =125+d =124．∴a −b +c +2012d =124−2012=−1888．22. （1） 由题意可知，方程 x 2−2mx +m 2+m −1=0 的判别式等于 0． Δ=4m 2−4m 2−4m +4=0．m =1．∴ 抛物线的解析式为 y =−x 2+2x −1．（2） 可求抛物线的顶点坐标为 (m,−m +1)．不妨令 m =0或1，得到两点坐标为 (0,1) 和 (1,0)，设直线的解析式为 y =kx +b ，可求 {k =−1,b =1.∴ 直线的解析式为 y =−x +1．（3） m 的取值范围是 −3≤m ≤1．23. （1） ∣x +2∣+∣x −1∣（2） −2，4；4；不小于 0 且不大于 2；2（3） 由分析可知，当 x =2 时能同时满足要求，把 x =2 代入 原式=1+0+3=4．（4） ∣x −3∣+∣x −2∣+∣x∣+∣x +1∣=(∣x −3∣+∣x +1∣)+(∣x −2∣+∣x∣)．要使 ∣x −3∣+∣x +1∣ 的值最小，x 应取 −1 到 3 之间（包括 −1，3）的任意一个数，要使 ∣x −2∣+∣x∣ 的值最小，x 应取 0 到 2 之间（包括 0，2）的任意一个数， 显然当 x 取 0 到 2 之间（包括 0，2）的任意一个数时能同时满足要求， 不妨取 x =0，并将其代入原式，得 ∣x −3∣+∣x −2∣+∣x∣+∣x +1∣=3+2+0+1=6，即 a =6．24. （1） ∵ 四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，∴ ∠BAD +∠DCB =180∘，又 ∵ ∠BAD =∠DCB ，∴ ∠BAD =∠DCB =90∘，又 ∵ AB ∥DC ，∴ ∠BAD +∠ADC =180∘，∴ ∠ADC =90∘，故四边形 ABCD 是矩形．（2） ①；③（答案不唯一）（3） 不能，如图，AD ∥BC ，AB =DC ，但四边形 ABCD 不是矩形．25. （1） 存在，设所求矩形的长和宽分别为 a ，b ，则 {a +b =6,ab =4,解得 a =3+√5，b =3−√5，故存在．同理可求得另一矩形的长和宽分别为 5+√13 和 5−√13．（2） 同样存在．设所求矩形的长和宽分别为 m ，n ，则 {m +n =2(a +b ),mn =2ab,解得 {m =a +b +√a 2+b 2,n =a +b −√a 2+b 2,（3） 由（1）知，这样的矩形是存在的．∵ 长和宽分别为 3+√5 和 3−√5 的矩形的周长和面积分别为 12 和 4；长和宽分别为 2 和 1 的矩形的周长和面积分别为 6 和 2，后一矩形的周长和面积分别是前一矩形周长、面积的一半，但并非所有的矩形都存在．如矩形的长和宽分别为 4 和 2，其周长和面积分别为 12 和 8，另一矩形的长和宽分别为a ，b ，则 {a +b =3,ab =4.此方程组无解． 26. （1） 小明的说法不对． 正方形的周长 4a ，正方形的面积 a 2．长方形的周长 2(a −1)+2(a +1)=4a ．长方形的面积 (a −1)(a +1)=a 2−1．∴ 周长相等，面积缩小了．（2） 设向东延长了 x 米(5−1)(5+x )=25．x =1.25 米∴ 向东延长了 1.25 米．（3）a 2a−1 米．。

中考数学复习考点题型专题讲解25 坐标与新定义问题大题提升训练

中考数学复习考点题型专题讲解25 坐标与新定义问题大题提升训练

中考数学复习考点题型专题讲解中考数学复习考点题型专题讲解（重难点培优30题）专题25 坐标与新定义问题大题提升训练坐标与新定义问题大题提升训练（小题））解答题（（共30小题一．解答题1．（2023秋•埇桥区期中）已知当m、n都是实数，且满足2m＝6+n，则称点ܣ(݉−1，݊2)为“智慧点”．（1）判断点P（4，10）是否为“智慧点”，并说明理由．（2）若点M（a，1﹣2a）是“智慧点”．请判断点M在第几象限？并说明理由．【分析】（1）根据P点坐标，代入(݉−1，݊2)中，求出m和n的值，然后代入2m，6+n 检验等号是否成立即可；（2）直接利用“智慧点”的定义得出a的值进而得出答案．【解答】解（1）点P不是“智慧点”，由题意得݉−1=4，݊2=10，∴m＝5，n＝20，∴2m＝2×5＝10，6+n＝6+20＝26，∴2m≠6+n，∴点P（4，10）不是“智慧点”；（2）点M在第四象限，理由∵点M（a，1﹣2a）是“智慧点”，∴݉−1=ܽ，݊2=1−2ܽ，∴m＝a+1，n＝2﹣4a，∵2n＝6+n，∴2（a+1）＝6+2﹣4a，解得a＝1，∴点M（1，﹣1），∴点M在第四象限．2．（2023春•镇巴县期末）已知a，b都是实数，设点P（a，b），若满足3a＝2b+5，则称点P为“新奇点”．（1）判断点A（3，2）是否为“新奇点”，并说明理由；（2）若点M（m﹣1，3m+2）是“新奇点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．【分析】（1）直接利用“新奇点”的定义得出a，b的值，进而得出答案；（2）直接利用“新奇点”的定义得出m的值，进而得出答案．【解答】解（1）当A（3，2）时，3×3＝9，2×2+5＝4+5＝9，所以3×3＝2×2+5，所以A（3，2）是“新奇点”；（2）点M在第三象限，理由如下∵点M（m﹣1，3m+2）是“新奇点”，∴3（m﹣1）＝2（3m+2）+5，解得m＝﹣4，∴m﹣1＝﹣5，3m+2＝﹣10，∴点M在第三象限．3．（2023秋•漳州期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义点A到x轴、y轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．（1）求点A（﹣5，2）的“长距”；（2）若C（﹣1，k+3），D（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．【分析】（1）即可“长距”的定义解答即可；（2）由等距点的定义求出不同情况下的k值即可．【解答】解（1）点A（﹣5，2）的“长距”为|﹣5|＝5；（2）由题意可知，|k+3|＝4或4k﹣3＝±（k+3），解得k＝1或k＝﹣7（不合题意，舍去）或k＝2或k＝0（不合题意，舍去），∴k＝1或k＝2．4．（2023秋•渠县校级期中）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay）（其中a为常数），则称点Q是点P的“a级关联点”、例如，点P（1，4）的“3级关联点”为点Q（3×1+4，1+3×4），即点Q（7，13）．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，6）的“2级关联点”是点B，求点B的坐标；在平面直角坐标系中，已知点M（m，2m﹣1）的“3级关联点”是点N，且点N位于x 轴上，求点N的坐标．【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论；（2）根据关联点的定义和点M（m，2m﹣1）的“3级关联点”是点N位于x轴上，即可求出N的坐标．【解答】解（1）∵点A（﹣2，6）的“2级关联点”是点B，故点B的坐标为（2×（﹣2）+6，﹣2+2×6）∴B的坐标（2，10）；（2）∵点M（m，2m﹣1）的“3级关联点”为N（3m+2m﹣1，m+3（2m﹣1）），当N位于x轴上时，m+3（2m﹣1）＝0，解得m=37，∴3m+2m﹣1=87，∴点N的坐标为（଼଻，0）．5．（2023秋•天长市月考）在平面直角坐标系中，对于点P、Q两点给出如下定义若点P 到x，y轴的距离的较大值等于点Q到x，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”．如点P（﹣2，5）和点Q（﹣5，﹣1）就是等距点．（1）已知点B的坐标是（﹣4，2），点C的坐标是（m﹣1，m），若点B与点C是“等距点”，求点C的坐标；（2）若点D（3，4+k）与点E（2k﹣5，6）是“等距点”，求k的值．【分析】（1）根据“等距点”的定义解答即可；（2）根据“等距点”的定义分情况讨论即可．【解答】解（1）由题意，可分两种情况①|m﹣1|＝|﹣4|，解得m＝﹣3或5（不合题意，舍去）；②|m|＝|﹣4|，解得m＝﹣4（不合题意，舍去）或m＝4，综上所述，点C的坐标为（﹣4，﹣3）或（3，4）；（2）由题意，可分两种情况①当|2k﹣5|≥6时，|4+k|＝|2k﹣5|，∴4+k＝2k﹣5或4+k＝﹣（2k﹣5），解得k＝9或k=13（不合题意，舍去）；②当|2k﹣5|＜6时，|4+k|＝6，∴4+k＝6或4+k＝﹣6，解得k＝2或k＝﹣10（不合题意，舍去）；综上所述，k＝2或k＝9．6．（2023秋•蚌山区月考）在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（ax+y，x+ay），则称点B是点A的“a级开心点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级开心点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则点P的“3级开心点”的坐标为（2，14） ；（2）若点P的“2级开心点”是点Q（4，8），求点P的坐标；（3）若点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”P'位于坐标轴上，求点P'的坐标．【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．（2）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．（3）根据关联点的定义和点P （m ﹣1，2m ）的“﹣3级开心点”P ′位于坐标轴上，即可求出P ′的坐标．【解答】解 （1）3×（﹣1）+5＝2；﹣1+3×5＝14，∴若点P 的坐标为（﹣1，5），则它的“3级开心点”的坐标为（2，14）． 故答案为 （2，14）；（2）设点P 的坐标为（x ，y ）的“2级开心点”是点Q （4，8）， ∴൜2ݔ+ݕ=4ݔ+2ݕ=8 解得൜ݔ=0ݕ=4，∴点P 的坐标为（0，4）；（3）∵点P （m ﹣1，2m ）的“﹣3级开心点”为P ′（﹣3（m ﹣1）+2m ，m ﹣1+（﹣3）×2m ），①P ′位于x 轴上， ∴m ﹣1+（﹣3）×2m ＝0， 解得 m =−15，∴﹣3（m ﹣1）+2m =165， ∴P ′（ଵ଺ହ，0）．②P ′位于y 轴上， ∴﹣3（m ﹣1）+2m ＝0， 解得 m ＝3∴m ﹣1+（﹣3）×2m ＝﹣16， ∴P ′（0，﹣16）．综上所述，点P ′的坐标为（ଵ଺ହ，0）或（0，﹣16）．7．（2023春•芜湖期中）在平面直角坐标系中，对于点A （x ，y ），若点B 的坐标为（x +ay ，ax+y），则称点B是点A的a级亲密点．例如点A（﹣2，6）的ଵଶ级亲密点为B(−2+12×6，12×(−2)+6)，即点B的坐标为（1，5）．（1）已知点C（﹣1，5）的3级亲密点是点D，则点D的坐标为（14，2） ．（2）已知点M（m﹣1，2m）的﹣3级亲密点M1位于y轴上，求点M1的坐标．（3）若点E在x轴上，点E不与原点重合，点E的a级亲密点为点F，且EF的长度为OE长度的√3倍，求a的值．【分析】（1）根据题意，应用新定义进行计算即可得出答案；（2）根据新定义进行计算可得点M（m﹣1，2m）的﹣3级亲密点是点M1[m﹣1+（﹣3）×2m，﹣1×（m﹣1）+2m]，根据y轴上点的坐标特征进行求解即可得出答案；（3）设E（x，0），则点E的a级亲密点为点F（x，ax），根据平面直角坐标系中距离的计算方法可得，OE＝|x|，EF＝|ax|，则|ax|=√3|x|，计算即可得出答案．【解答】解（1）根据题意可得，点C（﹣1，5）的3级亲密点是点D（﹣1+3×5，﹣1×3+5），即点D的坐标为（14，2）；故答案为（14，2）；（2）根据题意可得，点M（m﹣1，2m）的﹣3级亲密点是点M1[m﹣1+（﹣3）×2m，﹣3×（m﹣1）+2m]，即点M1的坐标为（﹣5m﹣1，﹣m+3），∵M1位于y轴上，∴﹣5m﹣1＝0，∴m=−15，∴M1（0，ଵ଺ହ）；（3）设E（x，0），则点E的a级亲密点为点F（x，ax），根据题意可得，OE＝|x|，EF＝|ax|，则|ax |=√3|x |， 即|a |=√3， 解得 a =±√3．8．（2023秋•舒城县校级月考）点P 坐标为（x ，2x ﹣4），点P 到x 轴、y 轴的距离分别为d 1，d 2．（1）当点P 在坐标轴上时，求d 1+d 2的值； （2）当d 1+d 2＝3时，求点P 的坐标； （3）点P 不可能在哪个象限内？【分析】（1）分点P 在x 轴和y 轴两种情况讨论即可；（2）将d 1+d 2用含x 的式子表示出来，根据x 的范围化简即可； （3）根据x 和2x ﹣4的范围即可得出答案．【解答】解 （1）若点P 在x 轴上，则x ＝0，2x ﹣4＝﹣4， ∴点P 的坐标为（0，﹣4），此时d 1+d 2＝4， 若点P 在y 轴上，则2x ﹣4＝0，得x ＝2， ∴点P 的坐标为（2，0），此时d 1+d 2＝2． （2）若x ≤0，则d 1+d 2＝﹣x ﹣2x +4＝3， 解得x =13（舍）， 若0＜x ＜2，则d 1+d 2＝x ﹣2x +4＝3，解得x ＝1， ∴P （1，﹣2），若x ≥2，则d 1+d 2＝x +2x ﹣4＝3， 解得x =73， ∴P （଻ଷ，ଶଷ）；（3）∵当x ＜0时，2x ﹣4＜0，∴点P不可能在第二象限．9．（2023春•新余期末）已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，就称点P（m﹣1，௡ାଶଶ）为“爱心点”．（1）判断点A（5，3），B（4，8）哪个点为“爱心点”，并说明理由；（2）若点M（a，2a﹣1）是“爱心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．【分析】（1）直接利用“爱心点”的定义得出m，n的值，进而得出答案；（2）直接利用“爱心点”的定义得出a的值进而得出答案．【解答】解（1）当A（5，3）时，m﹣1＝5，௡ାଶଶ=3，解得m＝6，n＝4，则2m＝12，8+n＝12，所以2m＝8+n，所以A（5，3）是“爱心点”；当B（4，8）时，m﹣1＝4，௡ାଶଶ=8，解得m＝5，n＝14，显然2m≠8+n，所以B点不是“爱心点”；（2）点M在第三象限，理由如下∵点M（a，2a﹣1）是“爱心点”，∴m﹣1＝a，௡ାଶଶ=2a﹣1，∴m＝a+1，n＝4a﹣4，代入2m＝8+n有2a+2＝8+4a﹣4，∴a＝﹣1 2a﹣1＝﹣3，∴M（﹣1，﹣3）故点M在第三象限．10．（2023春•商南县校级期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义点A到x轴、y 轴距离中的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．（1）点A（2，3）的“长距”等于3，点B（﹣7，5）的“长距”等于7．（2）若C（﹣1，2k+3），D（6，k﹣2）两点为“等距点”，求k的值．【分析】（1）根据“长距”的定义解答即可；（2）由等距点的定义求出不同情况下的k值即可．【解答】解（1）点A（2，3）的“长距”为|3|＝3；点B（﹣7，5）的“长距”为|﹣7|＝7；故答案为3，7．（2）由题意可知，|2k+3|＝6或2k+3＝±（k﹣2），解得k=32或k＝﹣4.5（不合题意，舍去）或k＝﹣5或k=−13（不合题意，舍去），∴k=32或k＝﹣5．11．（2023春•思明区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义点A到x轴、y 轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．（1）点A（﹣5，2）的“长距”为5；（2）点B（﹣2，﹣2m+1）的“长距”为3，求m的值；（3）若C（﹣1，k+3），D（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．【分析】（1）根据“长距”的定义解答即可；（2）根据“长距”的定义解答即可；（3）由等距点的定义求出不同情况下的k值即可．【解答】解（1）点A（﹣5，2）的“长距”为|﹣5|＝5；故答案为5．（2）由题意可知|﹣2m+1|＝3，解得m ＝﹣1或2．（3）由题意可知，|k +3|＝4或4k ﹣3＝±（k +3），解得k ＝1或k ＝﹣7（不合题意，舍去）或k ＝2或k ＝0（不合题意，舍去）， ∴k ＝1或k ＝2．12．（2023•南京模拟）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），若点Q 的坐标为（ax +y ，x +ay ），其中a 为常数，则称点Q 是点P 的“a 级关联点”例如，点P （1，4）的“3级关联点”为Q （3×1+4，1+3×4），即Q （7，13）．（1）已知点A （2，﹣6）的“ଵଶ级关联点”是点B ，求点B 的坐标； （2）已知点P 的5级关联点为（9，﹣3），求点P 坐标；（3）已知点M （m ﹣1，2m ）的“﹣4级关联点”N 位于坐标轴上，求点N 的坐标． 【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论；（2）设点P 的坐标为（a ，b ），根据关联点的定义，结合点的坐标列方程组即可得出结论；（3）根据关联点的定义和点M （m ﹣1，2m ）的“﹣4级关联点”N 位于坐标轴上，即可求出N 的坐标．【解答】解（1）∵点A （2，﹣6）的“ଵଶ级关联点”是点B ，故点B 的坐标为（ଵଶ×2−6，2−12×6） ∴B 的坐标（﹣5，﹣1）；（2）设点P 的坐标为（a ，b ）， ∵点P 的5级关联点为（9，﹣3）， ∴ቄ5ܽ+ܾ=9ܽ+5ܾ=−3， 解得ቄܽ=2ܾ=−1，∵P （2，﹣1）；（3）∵点M （m ﹣1，2m ）的“﹣4级关联点”为M ′（﹣4（m ﹣1）+2m ，m ﹣1+（﹣4）×2m ），当N位于y轴上时，﹣4（m﹣1）+2m＝0，解得m＝2，∴m﹣1+（﹣4）×2m）＝﹣15，∴N（0，﹣15）；当N位于x轴上时，m﹣1+（﹣4）×2m＝0，解得m=−17，∴﹣4（m﹣1）+2m=307，∴N（ଷ଴଻，0）；综上所述，点N的坐标为（0，﹣15）或（ଷ଴଻，0）．13．（2023春•上杭县期中）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义若点P到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于点Q到x轴、y轴的距离之差的绝对值，则称P，Q两点互为“等差点”．例如，点P（1，2）与点Q（﹣2，3）到x轴、y轴的距离之差的绝对值都等于1，它们互为“等差点”．（1）已知点A的坐标为（3，﹣6），在点B（﹣4，1）．C（﹣3，7）．D（2，﹣5）中，与点A互为等差点的是B与D．（2）若点M（﹣2，4）与点N（1，n+1）互为“等差点”，求点N的坐标．【分析】（1）利用“等差点”的定义，找出到x轴、y轴的距离之差（2）利用“等差点”的定义列方程解答即可．【解答】解（1）∵点A（3，﹣6）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于3，点B（﹣4，1）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于3，点C（﹣3，7）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于4，点D（2，﹣5）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于3，∴与点A互为等差点的是B与D；故答案为B与D；（2）∵点M（﹣2，4）与点N（1，n+1）互为“等差点”，∴n +1﹣1＝|4|﹣|﹣2|或4解得n ＝2或n ＝﹣4，∴点N 的坐标为（1，3）感14．（2023秋•海淀区校级期中b ），P 2（c ，b ），P 3（c 的“完美间距″．例如 如图是1．（1）点Q 1（4，1），Q 2（2）已知点O （0，0①若点O ，A ，B 的“完美间②点O ，A ，B 的“完美间距③已知点C （0，4），D （m ，0），P （m ，n ）的“【分析】（1）分别计算出（2）①分别计算出OA 以“最佳间距”为OA 即可求解y 的值；②由①可得，“最佳间距”﹣|﹣2|＝﹣n ﹣1﹣1， ）或（1，﹣3）．本号资料全部来源于微 信公众号级期中）给出如下定义 在平面直角坐标系xOy 中，，d ），这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点如图，点P 1（﹣1，2），P 2（1，2），P 3（1，3）（5，1），Q 3（5，5）的“完美间距”是 1 ），A （4，0），B （4，y ）．完美间距”是2，则y 的值为 ±2 ； 美间距”的最大值为 4 ；（﹣4，0），点P （m ，n ）为线段CD 上一动点，“完美间距”取最大值时，求此时点P 的坐标．算出Q 1Q 2，Q 2Q 3，Q 1Q 3的长度，比较得出最小值即可，AB 的长度，由于斜边大于直角边，故OB ＞或者AB 的长度，由于“最佳间距”为1，而”为OA 或AB 的长度，当OA ≤AB 时，“最佳间距公众号 数学第 六，已知点P 1（a ，称为点P 1，P 2，P 3）的“完美间距”； ，当O （0，0），E ．值即可； OA ，OB ＞AB ，所OA ＝4，故OB ＝2，佳间距”为OA ＝4，当OA ＞AB 时，“最佳间距③同①，当点O （0，0先求出直线CD 的解析式≥PE 和OE ＜PE 时，求出各的最大值，进一步求解出【解答】解 （1）如图，∵Q 1（4，1），Q 2（5，∴Q 1Q 2＝1，Q 2Q 3＝4，在Rt △Q 1Q 2Q 3中，Q 1Q ∵1＜4＜√17， “最佳距离”为1； 故答案为 1； （2）①如图∵O （0，0），A （4，0∴OA ＝4，AB ＝|y |，间距”为AB ＜4，比较两个“最大间距”，即可解决），E （m ，0），P （m ，n ）的“最佳间距”为OE 析式，用m 表示出线段OE 和线段PE 的长度，分两类求出各自条件下的“最佳间距”，比较m 的范围，解出P 点坐标．，在给出图形中标出点Q 1，Q 2，Q 3，1），Q 3（5，5），3=√17，），B （4，y ），解决；或者PE 的长度，分两类讨论，当OE 确定“最佳间距”在直角△ABO 中，OB ＞又∵点O ，A ，B 的“最佳间且4＞2， ∴|y |＝2， ∴y ＝±2， 故答案为 ±2；②由①可得，OB ＞OA ∴“最佳间距”的值为∵OA ＝4，AB ＝|y |，当AB ≥OA 时，“最佳间距当AB ＜OA 时，“最佳间距∴点O ，A ，B 的“最佳间距故答案为 4；③设直线CD 为y ＝kx +4，﹣4k +4＝0， ∴k ＝1，∴直线CD 的解析式为 ∵E （m ，0），P （m ，n ，∴PE ∥y 轴，∴OE ＝﹣m ，PE ＝n ＝m Ⅰ、当﹣m ≥m +4时，即OA ，OB ＞AB ， 最佳间距”是2， ，OB ＞AB ，OA 或者是AB 的长， 间距”为4， 间距”为|y |＜4， 佳间距”的最大值为4， ，代入点D 得，如图，y ＝x +4，），且P 是线段CD 上的一个动点， +4，即OE ≥PE 时，m ≤﹣2，“最佳间距”为m +4，此时此时m +4≤2，Ⅱ、当﹣m ＜m +4时，即∴点O （0，0），E （m ∴m ＝﹣2， ∴n ＝m +4＝2， ∴P （﹣2，2）．15．（2023春•泗水县期末）对于y ）的横坐标与纵坐标的绝对例如，点P （﹣1，2）的折（1）已知点A （﹣3，4（2）若点M 在x 轴的上方标．【分析】（1）根据题意可以（2）根据题意可知y ＞【解答】解 （1）[A ]＝|所以点A ，点B 的折线距离（2）∵点M 在x 轴的上方∴x ＝±1时，y ＝1或x ∴点M 的坐标为（﹣116．（2023春•思明区校级期中即OE ＜PE 时，﹣2＜m ＜0，“最佳间距“为﹣m ，，0），P （m ，n ）的“最佳间距”取到最大值时，对于平面直角坐标系中的点P （x ，y ）给出如下定义的绝对值之和叫做点P （x ，y ）的折线距离，记作[P ]的折线距离为[P ]＝|﹣1|+|2|＝3．），B （√2，﹣2√2），求点A ，点B 的折线距离．的上方，点M 的横坐标为整数，且满足[M ]＝2，直接写意可以求得折线距离[A ]，[B ]；0，然后根据[M ]＝2，即可求得点M 的坐标． −3|+|4|＝7，[B ]＝|√2|+|﹣2√2|＝3√2； 线距离分别为7、3√2；的上方，其横坐标均为整数，且[M ]＝2， ＝0时，y ＝2，，1），（1，1），（0，2）．级期中）在平面直角坐标系中，对于点P （x ，y ），若点，此时﹣m ＜2， ，m ＝﹣2， 下定义 把点P （x ，，即[P ]＝|x |+|y |，．直接写出点M 的坐若点Q 的坐标为（ax +y ，x +ay ），其中a 为常数，则称点Q 是点P 的“a 级关联点”，例如，点P （1，4）的3级关联点”为Q （3×1+4，1+3×4）即Q （7，13），若点B 的“2级关联点”是B （3，3）．（1）求点B 的坐标；（2）已知点M （m ﹣1，2m ）的“﹣3级关联点”N 位于y 轴上，求N 的坐标． 【分析】（1）由点B 的“2级关联点”是B '（3，3）得出൜2ݔ+ݕ=3ݔ+2ݕ=3，解之求得x 、y 的值即可得；（2）由点M （m ﹣1，2m ）的“﹣3级关联点”N 的坐标为（﹣m +3，﹣5m ﹣1），且点M ′在y 轴上知﹣m +3＝0，据此求得m 的值，再进一步求解可得． 【解答】解 ∵点B 的“2级关联点”是B '（3，3）， ∴൜2ݔ+ݕ=3ݔ+2ݕ=3， 解得 ൜ݔ=1ݕ=1，则点B 的坐标为（1，1）；（2）∵点M （m ﹣1，2m ）的“﹣3级关联点”N 的坐标为（﹣m +3，﹣5m ﹣1），且点N 在y 轴上， ∴﹣m +3＝0， 解得m ＝3， 则﹣5m ﹣1＝﹣16， ∴点N 坐标为（0，﹣16）．17．（2023春•罗山县期末）阅读理解，解答下列问题在平面直角坐标系中，对于点A （x ，y ）若点B 的坐标为（kx +y ，x ﹣ky ），则称点B 为A 的“k 级牵挂点”，如点A （2，5）的“2级牵挂点”为B （2×2+5，2﹣2×5），即B （9，5）．（1）已知点P （﹣5，1）的“﹣3级牵挂点”为P 1，求点P 1的坐标，并写出点P 1到x 轴的距离；（2）已知点Q 的“4级牵挂点”为Q 1（5，﹣3），求Q 点的坐标及所在象限． 【分析】（1）根据“k 级牵挂点”的定义判定结论；（2）设Q （x ，y ），根据点Q 的“4级牵挂点”为Q 1（5，﹣3）可得关于x 、y 的二元一次方程组，解方程组求出x 、y 的值即可．【解答】解 （1）∵点P （﹣5，1）的“﹣3级牵挂点”为P 1， ∴﹣5×（﹣3）+1＝16，﹣5﹣（﹣3）×1＝﹣2， 即P 1（16，﹣2）， 点P 1到x 轴的距离为2；（2）∵点Q 的“4级牵挂点”为Q 1（5，﹣3）， 设Q （x ，y ）． 则有൜4ݔ+ݕ=5ݔ−4ݕ=−3，解得൜ݔ=1ݕ=1，∴Q （1，1），点Q 在第一象限．18．（2023秋•东城区校级期中）对有序数对（m ，n ）定义“f 运算” f （m ，n ）＝（ଵଶm +a ，ଵଶn +b ），其中a ，b 为常数，f 运算的结果也是一个有序数对，在此基础上，可对平面直角坐标系中的任意一点A （x ，y ）规定“F 变换”；点A （x ，y ）在F 的变换下的对应点即为坐标是f （x ，y ）的点A '．（1）当a ＝0，b ＝0时，f （﹣2，4）＝ （﹣1，2） ．（2）若点P （2，﹣2）在F 变换下的对应点是它本身，求ab 的值． 【分析】（1）根据新定义运算法则解得；（2）根据新定义运算法则得到关于a 、b 的方程，通过解方程求得它们的值即可． 【解答】解 （1）依题意得 f （﹣2，4）＝（ଵଶ×（﹣2）+0，ଵଶ×4﹣0）＝（﹣1，2）． 故答案是 （﹣1，2）；（2）依题意得 f （2所以ଵଶ×2+a ＝2，ଵଶ×（﹣所以a ＝1，b ＝﹣1． ∴ab ＝﹣1．19．（2023春•海门市期末）﹣x 1＝y 2﹣y 1≠0，则称点因为2﹣（﹣1）＝6﹣3（1）若点A 的坐标是（点A 的“对角点”为点（2）若点A 的坐标是（﹣（3）若点A 的坐标是（求m ，n 的取值范围．【分析】（1）、（2）读懂新定（3）根据新定义和直角坐标【解答】解 （1）根据新定故答案为 B 2（﹣1，﹣7（2）①当点B 在x 轴上时，﹣2）＝（ଵଶ×2+a ，ଵଶ×（﹣2）﹣b ）＝（2，﹣2）．（﹣2）+b ＝﹣2， ）在平面直角坐标系xOy 中，点A （x 1，y 1），B 称点A 与点B 互为“对角点”，例如 点A （﹣1，3，≠0，所以点A 与点B 互为“对角点”．4，﹣2），则在点B 1（2，0），B 2（﹣1，﹣7），B 2（﹣1，﹣7），B 3（0，﹣6） ；（﹣2，4）的“对角点”B 在坐标轴上，求点B 的坐（3，﹣1）与点B （m ，n ）互为“对角点”，且点懂新定义，根据新定义解题即可；角坐标系中第四象限x 、y 的取值范围确定m 、n 的取据新定义可以得B 2、B 3与A 点互为“对角点”； ），B 3（0，﹣6）； 上时，）． （x 2，y 2），若x 2），点B （2，6），B 3（0，﹣6）中，的坐标； 且点B 在第四象限，的取值范围即可．设B （t ，0），由题意得t ﹣（﹣2）＝0﹣4， 解得t ＝﹣6， ∴B （﹣6，0）． ②当点B 在y 轴上时， 设B （0，b ），由题意得0﹣（﹣2）＝b ﹣4， 解得b ＝6， ∴B （0，6）．综上所述 A 的“对角点”点B 的坐标为（﹣6，0）或（0，6）． （3）由题意得m ﹣3＝n ﹣（﹣1）， ∴m ＝n +4． ∵点B 在第四象限， ∴ቊ݉＞0݊＜0， ∴ቊ݊+4＞0݊＜0，解得﹣4＜n ＜0， 此时0＜n +4＜4， ∴0＜m ＜4．由定义可知 m ≠3，n ≠﹣1，∴0＜m ＜4且m ≠3，﹣4＜n ＜0且n ≠﹣1． 故答案为 0＜m ＜4且m ≠3，﹣4＜n ＜0且n ≠﹣1．20．（2023•朝阳区校级开学）我们规定 在平面直角坐标系xOy 中，任意不重合的两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）之间的“折线距离”为d （M ，N ）＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|．例如图1中，点M （﹣2，3）与点N （1，﹣1）之间的“折线距离”为d （M ，N ）＝|﹣2﹣1|+|3﹣（﹣1）|＝3+4＝7．根据上述知识，解决下面问（1）已知点P （3，﹣4，与点P 之间的“折线距离（2）如图2，已知点P 的值；（3）如图2，已知点P 写出t 的取值范围．【分析】（1）分别求出（2）通过d （P ，Q ）＝（3）d （P ，Q ）＝|3﹣t 【解答】解 （1）由题意得d （P ，B ）＝|3﹣（﹣1d （P ，C ）＝|3﹣（﹣2d （P ，D ）＝|3﹣0|+|﹣4故答案为 A ，B ，D ．（2）d （P ，Q ）＝|3﹣t 解得t ＝﹣1或t ＝7．（3）d （P ，Q ）＝|3﹣t 化简得d （P ，Q ）＝|3当﹣5≤t ≤3时，|3﹣t下面问题），在点A （5，2），B （﹣1，0），C （﹣2，1距离”为8的点是A ，B ，D ；（3，﹣4），若点Q 的坐标为（t ，2），且d （P （3，﹣4），若点Q 的坐标为（t ，t +1），且d （PA ，B ，C ，D 与点P 之间的“折线距离”求解．|3﹣t |+|﹣4﹣（t +1）|＝8求解．|+|﹣4﹣（t +1）|＝8，分类讨论t 的取值范围去绝对题意得d （P ，A ）＝|3﹣5|+|﹣4﹣2|＝8， ）|+|﹣4﹣0|＝8， ）|+|﹣4﹣1|＝10， ﹣1|＝8，|+|﹣4﹣2|＝10， |+|﹣4﹣（t +1）|， ﹣t |+|5+t |，|+|5+t |＝3﹣t +5+t ＝8，满足题意．），D （0，1）中，，Q ）＝10，求t ，Q ）＝8，直接． 去绝对值符号求解．当t ＜﹣5时，|3﹣t |+|5+t 当t ＞3时，|3﹣t |+|5+t |∴﹣5≤t ≤3．21．（2023春•丰台区期末）y 2），定义k |x 1﹣x 2|+（1M （1，3），N （﹣2，4）2）．（1）若点B （0，4），求点（2）若点B 在x 轴上，且点（3）若点B （a ，b ），且点【分析】（1）根据“k 阶距（2）设出点B 的坐标，点B 的坐标，注意x轴上的|＝3﹣t ﹣5﹣t ＝﹣2﹣2t ，不满足题意． ＝t ﹣3+5+t ＝2+2t ，不满足题意． ）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点M （﹣k ）|y 1﹣y 2|为点M 和点N 的“k 阶距离”，其中0）的ଵହ阶距离”为ଵହ|1െሺെ2ሻ|൅ସହ|3െ4|ൌ଻ହ．求点A 和点B 的“ଵସ阶距离”；且点A 和点B 的“ଵଷ阶距离”为4，求点B 的坐标且点A 和点B 的“ଵଶ阶距离”为1，直接写出a +阶距离”的定义计算点A 与点B 之间的“ଵସ阶距离，再根据“ଵଷ阶距离”的定义列出方程，求出字母的轴上的点的纵坐标为0．x 1，y 1），N （x 2，≤k ≤1．例如 点．已知点A （﹣1，的坐标；b 的取值范围． 距离”．字母的值，从而确定（3）根据“ଵଶ阶距离”的定义列出关于字母a 和b 的式子，当a 和b 在不同的取值范围内将含有a 和b 的式子中的绝对值去掉，从而求得a +b 的取值范围．【解答】解 （1）由题知，点A （﹣1，2）和点B （0，4）的“ଵସ阶距离”为ଵସ|−1−0|+（1−14）|2﹣4|=14+64=74．（2）∵点B 在x 轴上，∴设点B 的横坐标为m ，则点B 的坐标为（m ，0）， ∵点A （﹣1，2）和点B （m ，0）的“ଵଷ阶距离”为4， ∴ଵଷ|−1−݉|+(1−ଵଷ)|2−0|=4，ଵଷ|−1−݉|=଼ଷ，|﹣1﹣m |＝8，∴﹣1﹣m ＝8或﹣1﹣m ＝﹣8， ∴m ＝﹣9或7，∴点B 的坐标为（﹣9，0）或（7，0）．（3）∵点A （﹣1，2）和点B （a ，b ）的“ଵଶ阶距离”为1， ∴.ଵଶ|−1−ܽ|+(1−ଵଶ)|2−ܾ|=1，|﹣1﹣a |+|2﹣b |＝2，①当a ≤﹣1，且b ≤2时，得|﹣1﹣a |+|2﹣b |＝﹣1﹣a +2﹣b ，由此得出a +b ＝﹣1， ②当a ≤﹣1，且b ＞2时，得|﹣1﹣a |+|2﹣b |＝﹣1﹣a +b ﹣2，由此得出b ＝5+a ，则a +b ＝2a +5， ∵b ＞2， 即5+a ＞2， ∴a ＞﹣3∵a≤﹣1，∴﹣3＜a≤﹣1∴﹣1＜2a+5≤3，即﹣1＜a+b≤3，③当a＞﹣1，且b＜2时，得|﹣1﹣a|+|2﹣b|＝1+a+2﹣b，由此得出a＝b﹣1，则a+b＝2b﹣1，∵a＞﹣1，即b﹣1＞﹣1，∴b＞0，∵b＜2，∴0＜b＜2，∴﹣1＜2b﹣1＜3，即﹣1＜a+b＜3，④当a＞﹣1，且b≥2时，得|﹣1﹣a|+|2﹣b|＝1+a+b﹣2，由此得出a+b＝3，综上所得，﹣1≤a+b≤3．22．（2023春•福州期末）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义；a＝2x﹣y，b＝x+y，将点M（a，b）与N（b，a）称为点P的一对“关联点”．例如P（2，3）的一对“关联点”是点（1，5）与（5，1）．（1）点Q（4，3）的一对“关联点”是点（5，7） 与（7，5） ．（2）点A（x，8）的一对“关联点”重合，求x的值．（3）点B一个“关联点”的坐标是（﹣1，7），求点B的坐标．【分析】（1）根据“关联点”定义求解；（2）根据“关联点”的定义列方程求解；（3）根据“关联点”的定义列方程组求解，注意分类讨论，不要漏解．【解答】解（1）∵2×4﹣3＝5，4+3＝7，∴点Q（4，3）的一对“关联点”是点（5，7）与（7，5）．故答案为（5，7）与（7，5）．（2）由题意得 2x ﹣8＝x +8， 解得 x ＝16． （3）设B （x ，y ），∴൜2ݔ−ݕ=−1ݔ+ݕ=7或൜2ݔ−ݕ=7ݔ+ݕ=−1， ∴൜ݔ=2ݕ=5或൜ݔ=2ݕ=−3， ∴B （2，5）或B （2，﹣3）．23．（2023春•雨花区校级期中）对于平面直角坐标系中任一点（a ，b ），规定三种变换如下①f （a ，b ）＝（﹣a ，b ）．如 f （7，3）＝（﹣7，3）； ②g （a ，b ）＝（b ，a ）．如 g （7，3）＝（3，7）； ③h （a ，b ）＝（﹣a ，﹣b ）．如 h （7，3）＝（﹣7，﹣3）； 例如 f （g （2，﹣3））＝f （﹣3，2）＝（3，2） 规定坐标的部分规则与运算如下①若a ＝b ，且c ＝d ，则（a ，c ）＝（b ，d ），反之若（a ，c ）＝（b ，d ），则a ＝b ，且c ＝d ．②（a ，c ）+（b ，d ）＝（a +b ，c +d ）；（a ，c ）﹣（b ，d ）＝（a ﹣b ，c ﹣d ）．例如 f （g （2，﹣3））+h （g （2，﹣3））＝f （﹣3，2）+h （﹣3，2）＝（3，2）+（3，﹣2）＝（6，0）． 请回答下列问题（1）化简 f （h （6，﹣3））＝ （6，3） （填写坐标）；（2）化简 h （f （﹣1，﹣2））﹣g （h （﹣1，﹣2））＝ （﹣3，1） （填写坐标）； （3）若f （g （2x ，﹣kx ））﹣h （f （1+y ，﹣2））＝h （g （ky ﹣1，﹣1））+f （h （y ，x ））且k 为绝对值不超过5的整数，点P （x ，y ）在第三象限，求满足条件的k 的所有可能取值．【分析】（1）根据新定义进行化简即可． （2）根据新定义进行化简即可．（3）根据坐标的变换规则和运算规则，对式子进行化简，得到等式，根据点的坐标特点，列出不等式求解即可．【解答】解 （1）f （h （6，﹣3））＝f （﹣6，3）＝（6，3）， 故答案为 （6，3）；（2）h （f （﹣1，﹣2））﹣g （h （﹣1，﹣2））＝h （1，﹣2）﹣g （1，2）＝（﹣1，2）﹣（2，1）＝（﹣3，1）， 故答案为 （﹣3，1）；（3）f （g （2x ，﹣kx ））﹣h （f （1+y ，﹣2））＝f （﹣kx ，2x ）﹣h （﹣1﹣y ，﹣2）＝（kx ，2x ）﹣（1+y ，2）＝（kx ﹣1﹣y ，2x ﹣2），h （g （ky ﹣1，﹣1））+f （h （y ，x ））＝h （﹣1，ky ﹣1）+f （﹣y ，﹣x ）＝（1，1﹣ky ）+（y ，﹣x ）＝（y +1，1﹣ky ﹣x ），∵f （g （2x ，﹣kx ））﹣h （f （1+y ，﹣2））＝h （g （ky ﹣1，﹣1））+f （h （y ，x ））， ∴（kx ﹣1﹣y ，2x ﹣2）＝（y +1，1﹣ky ﹣x ）， ∴൜݇ݔ−1−ݕ=ݕ+12ݔ−2=1−݇ݕ−ݔ， ∴൜݇ݔ−2ݕ=23ݔ+݇ݕ=3， ∴൞ݔ=2݇+6݇2+6ݕ=3݇−6݇2+6， ∵点P （x ，y ）在第三象限， ∴ቊ2݇+6＜03݇−6＜0，∴k ＜﹣3，∵k 为绝对值不超过5的整数， ∴k 的所有可能取值为﹣4、﹣5．24．（2023春•嵩县期末）对于平面直角坐标系中的点P （x ，y ）给出如下定义 把点P （x ，y ）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P （x ，y ）的折线距离，记作[P ]，即[P ]＝|x |+|y |，例如，点P （﹣1，2）的折（1）已知点A （﹣3，4（2）若点M 在x 轴的上方标．【分析】（1）根据题意可以（2）根据题意可知y ＞【解答】解 （1）[A ]＝|（2）∵点M 在x 轴的上方∴x ＝±1时，y ＝1或x ∴点M 的坐标为（﹣125．（2023春•濠江区期末）我们称点P 为“梦之点”（1）判断点A （3，2）是否（2）若点M （m ﹣1，3【分析】（1）直接利用“（2）直接利用“梦之点”【解答】解 （1）当A 解得a ＝1，b ＝1，的折线距离为[P ]＝|﹣1|+|2|＝3．），B （√2，െ3√2），求点A ，点B 的折线距离．的上方，点M 的横坐标为整数，且满足[M ]＝2，直接写意可以求得折线距离[A ]，[B ]；0，然后根据[M ]＝2，即可求得点M 的坐标． −3|+|4|＝7，[B ]＝|√2|+|−3√2|＝4√2； 的上方，其横，纵坐标均为整数，且[M ]＝2， ＝0时，y ＝2，，1），（1，1），（0，2）．）已知a ，b 都是实数，设点P （a +2，௕ାଷଶ），且满”．是否为“梦之点”，并说明理由．m +2）是“梦之点”，请判断点M 在第几象限，并说“梦之点”的定义得出a ，b 的值，进而得出答案”的定义得出m 的值进而得出答案． （3，2）时，a +2＝3，௕ାଷଶ=2，．直接写出点M 的坐且满足3a ＝2+b ，并说明理由． 答案；则3a＝3，2+b＝3，所以3a＝2+b，所以A（3，2），是“梦之点”；（2）点M在第三象限，理由如下∵点M（m﹣1，3m+2）是“梦之点”，∴a+2＝m﹣1，௕ାଷଶ=3݉+2，∴a＝m﹣3，b＝6m+1，∴代入3a＝2+b有3（m﹣3）＝2+（6m+1），解得m＝﹣4，∴m﹣1＝﹣5，3m+2＝﹣10，∴点M在第三象限．26．（2023秋•兴化市校级期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），若x2﹣x1＝y2﹣y1≠0，则称点A与点B互为“对角点”，例如点A（﹣1，3），点B（2，6），因为2﹣（﹣1）＝6﹣3≠0，所以点A与点B互为“对角点”．（1）若点A的坐标是（4，﹣2），则在点B1（2，0），B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）中，点A的“对角点”为点B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）； ；（2）若点A的坐标是（5，﹣3）的“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标；（3）若点A的坐标是（−√3，2√3）与点B（2m，﹣n）互为“对角点”，且m、n互为相反数，求B点的坐标．【分析】（1）、（2）读懂新定（3）根据新定义和直角坐标【解答】解 （1）根据新定故答案为 B 2（﹣1，﹣7（2）①当点B 在x 轴上时设B （t ，0），由题意得解得t ＝﹣8， ∴B （8，0）． ②当点B 在y 轴上时，设B （0，b ），由题意得0﹣5＝b ﹣（﹣解得b ＝﹣8， ∴B （0，﹣8）．综上所述 A 的“对角点”（3）由题意得2m +√3=∴2m ＝﹣n ﹣3√3． ∵m 、n 互为相反数， ∴m +n ＝0，懂新定义，根据新定义解题即可；角坐标系中第四象限x 、y 的取值范围确定m 、n 的取据新定义可以得B 2、B 3与A 点互为“对角点”； ），B 3（0，﹣6）； 上时，t ﹣5＝0﹣（﹣3）， （﹣3）， ”点B 的坐标为（8，0）或（0，﹣8）． =−n ﹣2√3，的取值范围即可．解得m +n +m ＝﹣3√3，∴m ＝﹣3√3，n ＝3√3∴2m ＝﹣6√3， ∴B （﹣6√3，﹣3√3）．27．（2023秋•朝阳区校级期末得到射线OY ，如果点示点P 在平面内的位置，那么点M 在平面内的位置记（1）如图3，若点N 在平面内（2）已知点A 在平面内的位①若点B 在平面内的位置记②若点B 在平面内的位置记③若点B 在平面内的位置记【分析】（1）根据新定义直（2）①先根据新定义画图画图，证明△AOB 是等边三△AOB 1是直角三角形，从而【解答】解 （1）点N 在平故答案为 6，30； （2）①如图，．期末）如图①，将射线OX 按逆时针方向旋转β角（P 为射线OY 上的一点，且OP ＝m ，那么我们规定用，并记为P （m ，β）．例如，图2中，如果OM ＝5，位置记为M （5，110°），根据图形，解答下列问题平面内的位置记为N （6，30°），则ON ＝ 6 ，∠面内的位置记为A （4，30°），位置记为B （3，210°），则A 、B 两点间的距离为位置记为B （m ，90°），且AB ＝4，则m 的值为 位置记为B （3，α），且AB ＝5，则a 的值为 定义直接得到答案；画图，证明A ，O ，B 三点共线，从而可得答案；等边三角形，从而可得答案；③先根据新定义画图从而可得答案．在平面内的位置记为N （6，30°），则ON ＝6，0°≤β＜360°），规定用（m ，β）表∠XOM ＝110°，问题XON ＝ 30 °． 离为 7 ． 4 ．120°或300° ．；②先根据新定义画图，证明△AOB ，，∠XON ＝30°．∵A（4，30°），B（3，210°），∴OA＝4，∠AOX＝30°，OB＝3，∠BOX＝360°﹣210°＝150°，∴∠AOX+∠BOX＝180°，∴A，O，B三点共线，∴AB＝4+3＝7；故答案为7；②如图，∵A（4，30°），B（m，90°），∴OA＝4，∠AOX＝30°，OB＝m，∠BOX＝90°，∴∠AOB＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝4，∴AB＝OA，∴△AOB是等边三角形，∴OB＝m＝4；故答案为4；③如图，∵A （4，30°），B （3，α），∴OA ＝4，∠AOX ＝30°，OB ＝3＝OB 1，∠BOX ＝α或∠B 1OX ＝360°﹣α， ∵AB ＝5，∴OB 2+OA 2＝25＝AB 2， ∴∠AOB ＝90°＝∠AOB 1，∴α＝90°+30°＝120°或α＝120°+180°＝300°． 故答案为 120°或300°．28．（2023秋•大兴区期中）在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，P 不在同一直线上，对于点P 和线段AB 给出如下定义 过点P 向线段AB 所在直线作垂线，若垂足Q 在线段AB 上，则称点P 为线段AB 的内垂点，当垂足Q 满足|AQ ﹣BQ |最小时，称点P 为线段AB 的最佳内垂点．已知点S （﹣3，1），T （1，1）．（1）在点P 1（2，4），P 2（﹣4，0），P 3（﹣2，ଵଶ），P 4（1，3）中，线段ST 的内垂点为 P 3，P 4；（2）若点M 是线段ST 的最佳内垂点，则点M 的坐标可以是 （﹣1，4），（﹣1，2） （写出两个满足条件的点M 即可）； （3）已知点C （m ﹣2，3），D （m ，3），若线段CD 上的每一个点都是线段ST 的内垂点，直接写出m 的取值范围；（4）已知点E （n +2，0），F （n +4，﹣1），若线段EF 上存在线段ST 的最佳内垂点，直接写出n 的取值范围．【分析】（1）利用图象法画（2）满足条件的点在线段（3）构建不等式组解决问题（4）构建不等式组解决问题【解答】解 （1）如图故答案为 P 3，P 4；（2）如图，点M （﹣1故答案为 （﹣1，4）（3）由题意，ቄ݉−2൒݉൑1解得﹣1≤m ≤1．象法画出图形解决问题即可； 线段ST 的中垂线上； 决问题即可； 决问题即可．1中，观察图象可知，线段ST 的内垂点为P 3，，4），M ′（﹣1，2）是线段ST 的最佳内垂点，，（﹣1，2）（答案不唯一）； −3ቄ݉൒−3݉−2൑1，P 4． ，故答案为 ﹣1≤m ≤1．（4）如图2中，观察图象可解得﹣5≤n ≤﹣3．29．（2023春•嘉鱼县期末）以BC 为边在x 轴的上方作（1）点A 的坐标为 （2）将正方形ABCD OMN 重叠的区域（不①当m ＝3时，区域内整点②若区域W 内恰好有3个整【分析】（1）先求出方形（2）①画出正方形A 'B '②在△OMN 中共有6个整数图象可知，m 满足ቄ݊+4൒െ1݊൅2൑െ1，）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B （1，0，上方作正方形ABCD ，点M （﹣5，0），N （0，5（1，4） ；点D 的坐标为 （5，4） ；向左平移m 个单位，得到正方形A 'B 'C 'D '，记含边界）为W内整点（横，纵坐标都是整数）的个数为 3 ；个整点，请直接写出m 的取值范围．正方形的边长为BC ＝4，再求点的坐标即可； C 'D '，结合图形求解即可；个整数点，在平移正方形ABCD ，找到恰好有3个整），点C （5，0），）． 正方形A 'B 'C 'D '与△ 个整数解的情况即可．【解答】解 （1）∵点∴BC ＝4，∵四边形ABCD 是正方形∴A （1，4），D （5，4故答案为 （1，4），（5（2）①如图 共有3个，故答案为 3；②在△OMN 中共有6个整数2，2），（﹣3，1），∵区域W 内恰好有3个整点∴2＜m ≤3或6≤m ＜730．（2023春•李沧区期末）补法来求它们的面积．下面如图1，2所示，分别过三角间的距离d 叫做水平宽；BD 的长叫做这个三角形的l 4，l 3，l 4之间的距离h叫做B （1，0），点C （5，0）， 方形， ）， ，4）； ， 个整数点，分别是（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣1，3（个整点， ．）对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积下面我们再研究一种求某些三角形或四边形面的新过三角形或四边形的顶点A ，C 作水平线的铅；如图1所示，过点B 作水平线的铅垂线交形的铅垂高；如图2所示，分别过四边形的顶点B 叫做四边形的铅垂高．），（﹣2，1），（﹣用面积公式或者用割积的新方法 垂线l 1，l 2，l 1，l 2之AC 于点D ，称线段，D 作水平线l 3，【结论提炼】容易证明“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S=12dh”【结论应用】为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系．已知如图3，点A（﹣5，2），B（5，0），C（0，5），则△ABC的水平宽为10，铅垂高为4，所以△ABC面积的大小为20．【再探新知】三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带着这个问题，我们进行如下探索（1）在图4所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（4，1），D（﹣2，﹣4）四个点，得到四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是36；用其它的方法进行计算得到其面积的大小是37.5，由此发现用“S=12dh”这一方法对求图4中四边形的面积不合适．（填“适合”或“不适合”）（2）在图5所示的平面直角坐标系中，取A（﹣5，2），B（1，5），C（4，2），D（﹣2，﹣3）四个点，得到了四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是36，用其它的方法进行计算得到面积的大小是36，由此发现用“S=12dh”这一方法对求图5中四边形的面积合适．（“适合”或“不适合”）（3）在图6所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（5，1），D（1，﹣5）四个点，得到了四边形ABCD．通过计算发现用“S=12dh”这一方法对求图6中四边形的面积合适．（填“适合”或“不适合”）【归纳总结】我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到当四边形满足某些条件时，可以用“S=12dh”来求面积．那么，可以用“S=12dh”来求面积的四边。

中考数学解答重难专题专题三 第25题综合与实践试题演练

中考数学解答重难专题专题三 第25题综合与实践试题演练

专题三 第25题综合与实践类型一 面积平分问题（2017、2013、2010.25）试题演练1. (1)如图①，已知△ABC ，在BC 上找一点D ，连接AD ，使得AD 平分BC ；(2)如图②，已知直线l 1∥l 2，点A 和点B 分别为直线l 2上两定点，在直线l 1上任取两点M 、N ，连接AM 、AN 、BM 、BN ，AN 与BM 交于点P ，则S △AMP ________S △BNP (用“＞”、“＜”或“＝”表示)；(3)如图③，已知一块Rt △ABC 花园中，∠BAC ＝90°，AC ＝40米，BC ＝50米，AD 为花园内平分花园面积的一条小路(小路宽度忽略不计)，现在要从AB 边上的水源E 点处向BC 边上拉一条笔直的水管，且要使得水管两边的花地面积相等，已知E 点距离A 点为10米，现有与AB 等长的水管，问该水管是否够用？第1题图2. (2019西安交大附中模拟)问题探究(1)如图①，在平面直角坐标系内，M 是边长为4的正方形ABCO 边上一点，请过点M (0，3)作一条直线，使它将正方形的面积平分，求这条直线的解析式；(2)如图②，在平面直角坐标系中有A (1，4)，B (4，0)两点，请过点C (3，43)作一条直线将△ABO 的面积平分，求这条直线的解析式；问题解决(3)农民张伯伯有一块四边形空地如图③，在四边形ABCD 中，AB ＝2km ，BC ＝4km.∠BAD ＝90°，∠BCD ＝90°，∠ABC ＝120°，张伯伯想过点C 修一条路将四边形ABCD 的面积分为相等的两部分，这样的路是否存在？若存在，求出路的长度；若不存在，请说明理由．第2题图3. 问题探究(1)请在图①中作两条直线，使它将半圆O的面积三等分；(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，请在图②中过点A作两条直线，使它们将矩形ABCD 的面积三等分，并说明理由；问题解决(3)如图③，李师傅有一块平行四边形ABCD的菜地，其中AB＝AC＝100米，BC＝120米，菜地A处有一用来灌溉的水源．李师傅现准备修两条笔直的小路将菜地面积三等分后给自己的三个儿子，要求三个儿子能在灌溉时共用A处水源，那么李师傅能否实现自己的想法？若能，请通过计算、画图说明；若不能，请说明理由．第3题图4. (2019陕西黑马卷)问题提出(1)如图①，已知直线a∥b，点A、B是直线a上不同的两点，分别过点A、B作AC⊥b，BD⊥b，垂足记为点C、D，则线段AC和线段BD的数量关系为AC____BD；(填“＞”，“＜”或“＝”) 问题探究(2)如图②，在△ABC中，点M、N分别是AB、AC的中点，过点A作直线a∥BC，点P是直线a上的任意一点，连接PM、P N、MN，若四边形BCNM的面积为3，则△PMN的面积为________；问题解决(3)如图③，有一块四边形空地ABCD, AD∥BC，∠B＝60°，AB＝10米，AD＝30米，BC＝8米，点E 是BC上一点，且BE＝2米．市政为了美化城市，计划将这块空地改造成一片牡丹园，为了方便行人行走，计划在牡丹园中间过点E修一条笔直的小路(路的宽度不计)，使得小路的另一出口在AD上的点F处，且EF恰好将四边形ABCD的面积平分．请你帮助市政设计出小路EF的位置(在图中画出EF)，并求EF的长(结果保留根号)．第4题图类型二面积最值问题(2012、2011.25)试题演练1. (2012陕西25题12分)如图，正三角形ABC的边长为3＋ 3.(1)如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大(不要求写作法)；(2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长；(3)如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．第1题图2.在正方形ABCD中，AB＝100，点E、F分别在边AB、BC上，且∠EDF＝45°.问题探究(1)如图①，请直接写出线段AE，EF，CF之间的数量关系：________；(2)如图②，若AE＝25，求四边形DEBF的面积；问题解决(3)如图③，AB＝100 m，公园设计部门为了给儿童提供更舒适、更安全的活动场地，准备将正方形空地中的DEBF部分作为儿童活动区，并用围栏围起来，只留三个出入口，即点D、E、F，将儿童活动区(即四边形DEBF)划分为△DEF和△BEF两种不同的游戏场地，儿童活动区之外的部分种植花草，则是否存在一种设计方案，使得儿童活动区面积最大？若存在，求出儿童活动区面积的最大值；若不存在，请说明理由．第2题图3. (2019陕师大附中模拟)发现问题(1)如图①，直线a∥b，点B、C在直线b上，点D为AC的中点，过点D的直线与a，b分别相交于M、N 两点，与BA 的延长线交于点P ，若△ABC 的面积为1，则四边形AMNB 的面积为________；探究问题(2)如图②，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠DAC ＝13∠BAC ，DA ＝2，求△ABC 面积的最小值； 拓展应用(3)如图③，矩形花园ABCD 的长AD 为400米，宽CD 为300米，供水点E 在小路AC 上，且AE ＝2CE ，现想沿BC 上一点M 和CD 上一点N 修一条小路MN ，使得MN 经过E ，并在四边形AMCN 围城的区域内种植花卉，剩余区域铺设草坪，根据项目的要求种植花卉的区域要尽量小．请根据相关数据求出四边形AMCN 面积的最小值，及面积取最小时点M 、N 的位置．(小路的宽忽略不计)第3题图类型三 线段最值问题(2018、2016、2015.25)1. 问题探究(1)如图①，点E 是正△ABC 高AD 上的一定点，请在AB 上找一点F ，使EF ＝12AE ，并说明理由； (2)如图②，点M 是边长为2的正△ABC 高AD 上的一动点，连接CM ，求12AM ＋MC 的最小值； 问题解决(3)如图③，A 、B 两地相距600 km ，AC 是沿东西方向向两边延伸的一条笔直的铁路．点B 到AC 的最短距离为360 km.今计划在铁路线AC 上修建一个中转站M ，再在BM 间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍．那么，为使通过铁路由A 到M 再通过公路由M 到B 的总运费最少，请确定中转站M 的位置，并求出AM 的长．(结果保留根号)第1题图2. 问题探究(1)如图①，试在线段BC 上画出点E 使得AE ＋DE 的值最小；(2)如图②，∠B ＝30°，点D 在射线BC 上，且BD ＝10，E 、F 分别为射线BA 、BC 上的两个动点，试求DE ＋EF 的最小值；问题解决：(3)如图③，C 、A 、B 三个城市由三条主道路AC 、AB 、BC 连接，已知AC ＝62，∠A ＝45°，AB ＝10，为缓解因汽车数量“井喷式”增长而导致的交通拥堵，增加人们出行的幸福指数，省规划厅计划分别在线段BC 、AB 、AC 上选取D 、E 、F 处开口修建便捷通道．请说明如何选取D 、E 、F 使得DE ＋EF ＋FD 最小，并请求出该最小值．第2题图3. 问题提出(1)如图①，点M 、N 是直线l 外两点，在直线l 上找一点K ，使得MK ＋NK 最小；问题探究(2)如图②，在等边三角形ABC内有一点P，且P A＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的大小；问题解决(3)如图③，矩形ABCD是某公园的平面图，AB＝303米，BC＝60米，现需要在对角线BD上修一凉亭E，使得到公园出口A、B、C的距离之和最小．是否存在这样的点E？若存在，请画出点E的位置，并求出EA＋EB＋EC的最小值；若不存在，请说明理由．第3题图4. (1)如图①，AD是△ABC的中线，则线段AB＋AC________2AD(填“>”、“<”或“＝”)；(2)如图②，在矩形ABCD中，CD＝3，BC＝4，点E为BC的中点，若点F为CD上任意一点，试确定CF为何值时，△AEF的周长最小；(3)如图③，在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点P为AB上任意一点，Q为AC上任意一点，连接PO、BQ、P Q.若AC＝2，BC＝1，则当点Q在线段AC上何处时，OP＋PQ＋QB取得最小值．第4题图类型四辅助圆问题(2014～2019.25)1.问题提出(1)如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，点O 是△ABC 的外接圆的圆心，则OB 的长为________； 问题探究(2)如图②，已知矩形ABCD ，AB ＝4，AD ＝6，点E 为AD 的中点，以BC 为直径作半圆O ，点P 为半圆O 上一动点，求E 、P 之间的最大距离；问题解决(3)某地有一块如图③所示的果园，果园是由四边形ABCD 和弦CB 所对的劣弧组成的，果园主人现要从入口D 到弧BC ︵上的一点P 修建一条笔直的小路DP .已知AD ∥BC ，∠ADB ＝45°，BD ＝1202米，BC ＝160米，过弦BC 的中点E 作EF ⊥BC 交弧BC ︵于点F ，又测得EF ＝40米．修建小路平均每米需要40元(小路宽度不计)，不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？第1题图2. 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”；(1)如图①，已知筝形ABCD 的两条对角线长分别为a 、b ，则该筝形的面积为________；(2)如图②，已知△ABC ，BC ＝2，∠BAC ＝45°，求BC 边上的高线AD 的最大值；(3)如图③，现有一边长为6 cm 的正方形木料ABCD ，要利用其直角做一个四边形工件，在其相邻的两条边AB 、BC 上，取它们的三等分点E 、F ，要在木料内找一点G ，使得∠EGF ＝30°，且四边形BFGE 的面积最大．问正方形木料ABCD 内，是否存在符合要求的点G ？若存在，请求出四边形BFGE 面积的最大值；若不存在，请说明理由．第2题图3. 在四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠B ＝60°；(1)如图①，已知∠D ＝30°，则∠A ＋∠C ＝________．(2)已知AD ＝3，CD ＝4，在(1)的条件下，利用图①，连接BD ，并求出BD 的长度；(3)如图②，已知∠ADC ＝75°，∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，BD ＝6，现需要截取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧符合如图②所示的四边形，为了尽可能节约，你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由．第3题图4.问题提出(1)如图①，请在正方形ABCD内画出一个以点C为顶点、BC为腰的等腰三角形CBP；(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)如图②，在平面直角坐标系中，已知A(2，0)，B(8，0)，点P是y轴正半轴上一个动点，当∠APB 最大时，求点P的坐标；问题解决(3)某游乐场的平面如图③所示，经测量可知：∠DOC＝60°，OA＝400 m，AB＝200 3 m，场所保卫人员想在线段OD上的一点M处安装监控装置，用来监控OC上的AB段，为了让监控效果达到最佳，必须要求∠AMB最大，请问在线段OD上是否存在这样的一点M？若存在，请求出此时OM的长和∠AMB的度数；若不存在，请说明理由．第4题图5. (2019陕西副题25题12分)问题提出(1)如图①，已知直线l及l外一点A，试在直线l上确定B、C两点，使∠BAC＝90°，并画出这个Rt△ABC；问题探究(2)如图②，O是边长为28的正方形ABCD的对称中心，M是BC边上的中点，连接OM. 试在正方形ABCD的边上确定点N，使线段ON和OM将正方形ABCD分割成面积之比为1∶6的两部分．求点N到点M的距离；问题解决(3)如图③，有一个矩形花园ABCD，AB＝30 m，BC＝40 m. 根据设计要求，点E、F在对角线BD上，且∠EAF＝60°，并在四边形区域AECF内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？(结果保留整数．参考数据：2≈1.4，3≈1.7)第5题图6. (2018西安高新一中模拟)实践探索：(1)如图①，已知线段AB，以AB为弦，在图①中作出一个⊙O；(2)如图②，在矩形ABCD中，AD＝4，点P在边DC上且∠APB＝60°，试判断矩形ABCD的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；(3)如图③，有一块矩形ABCD的板材，AB＝62＋12，BC＝62＋6，现截去了一块等腰直角三角形ADE，工人想将剩下的板材合理利用，截出一个四边形AMFN，且满足点F在边BC上，CF∶BF＝1∶2，点M在AE上，点N在AB上，∠MFN＝90°，这个四边形AMFN的面积是否存在最大值？若存在，试求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．第6题图参考答案类型一面积平分问题1. 解：(1)如解图①，D 为BC 的中点，连接AD ，则AD 平分△ABC 的面积；第1题解图①(2)＝；【解法提示】∵△ABM 和△ABN 的底边相等，高均为l 1与l 2之间的距离， ∴S △ABM ＝S △ABN ，∵S △AMP ＝S △ABM －S △ABP ，S △BNP ＝S △ABN －S △ABP ，∴S △AMP ＝S △BNP .(3)∵AD 平分△ABC 的面积，即S △ABD ＝S △ACD ，∴AD 为斜边BC 上的中线，∴D 为BC 的中点，如解图②，连接DE ，过点A 作AF ∥DE 交BC 于点F ，连接EF 交AD 于点G ，第1题解图②∵AF ∥DE ，由(2)得S △AEG ＝S △DFG ，∵S △BEF ＝S △ABD －S △AEG ＋S △DFG ，S 四边形AEFC ＝S △ACD －S △DFG ＋S △AEG ，∴S △BEF ＝S 四边形AEFC ，∴EF 平分S △ABC ，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，∵△ABC 是直角三角形，AC ＝40米，BC ＝50米，∴AB ＝BC 2－AC 2＝30米，∵AE ＝10米，∴BE ＝20米，∵sin B ＝EH BE ＝AC BC ＝45， ∴EH ＝16米，在Rt △BEH 中，∵BE 2＝EH 2＋BH 2，∴BH ＝12米，∵S △ABC ＝12AB ·AC ＝600(平方米)，EF 平分S △ABC ，∴S △BEF ＝12S △ABC ＝300(平方米)，又∵S △BEF ＝12BF ·EH ，且EH ＝16米，∴BF ＝752米，∴HF ＝BF －BH ＝512米，在Rt △EHF 中，HF ＝512米，EH ＝16米，∴EF ＝HF 2＋EH 2＝51452＞51442＝5×122＝30米＝AB ，∴该水管不够用．2. 解：(1)如解图①，∵四边形ABCO 是正方形，点M 在AO 上，根据中心对称图形面积平分模型，直线必过正方形ABCD 的对称中心，即对角线的交点H ，易知H (2，2)．第2题解图①设直线MH 的解析式为y ＝kx ＋3. ∵直线MH 过点H (2，2)， ∴直线MH ：y ＝－12x ＋3；(2)设直线AB 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1. ∵直线过点A (1，4)，点B (4，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝k 1＋b 10＝4k 1＋b 1，解得⎩⎨⎧k 1＝－43b 1＝163，∴直线AB ：y ＝－43x ＋163，∴C (3，43)在直线AB 上，如解图②.第2题解图②设直线CD 将△AOB 的面积二等分，则S △ADC ＝12S △AOB ＝12×12×4×4＝4.易知直线OA 的解析式为y ＝4x ，如解图②，过点C 作CE ∥x 轴交AD 于点E ， ∴点E 的坐标为(13，43)．∴CE ＝3－13＝83，∴S △ADC ＝CE ·（y A －y D ）2＝4，∴y D ＝1，∴点D 的坐标为(14，1)．设直线CD 的解析式为y ＝k 2x ＋b 2(k 2≠0)． 将点C (3，43)，D (14，1)代入得，⎩⎨⎧3k 2＋b 2＝4314k 2＋b 2＝1，解得⎩⎨⎧k 2＝433b 2＝3233，∴这条直线的解析式为y ＝433x ＋3233；(3)存在．如解图③，建立平面直角坐标系，使AD 在x 轴上，AB 在y 轴上，过点C 作CG ⊥y 轴，CF ⊥x 轴，过点B 作直线BE ∥AC 交x 轴于点E ，连接CE .由题意，得S 四边形ABCD ＝S △CED ，取DE 的中点H ，连接CH ，直线CH 即为所求直线．第2题解图③在Rt △CGB 中，∠CBG ＝180°－∠ABC ＝60°，BC ＝4， ∴GB ＝2，CG ＝OF ＝23， ∴C (23，4)， ∴OG ＝CF ＝4.在Rt △CFD 中，∠CDF ＝180°－∠ABC ＝60°，CF ＝4，∴FD ＝433，∴OD ＝1033，设直线AC 的解析式为y ＝k 3x ， ∵直线过点C (23，4)， ∴直线AC ：y ＝233x .又∵BE ∥AC ，∴直线BE ：y ＝233x ＋2.当y ＝0时，x ＝－3， ∴E (－3，0)．∴DE ＝OE ＋OF ＋FD ＝1333，易得HF ＝536.在Rt △CHF 中，由勾股定理得CH ＝（536）2＋42＝6516(km )．∴存在这样的路，且路的长度为6516km . 3. 解：(1)作直线如解图①所示；第3题解图①(2)如解图②所示，直线AP 、AQ 即为所求． 理由如下：如解图②，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4， ∴矩形ABCD 的面积为12.设过点A 的直线分别交BC 、CD 于点P 、Q ，使直线AP 、AQ 把矩形ABCD 的面积三等分， 则S △ABP ＝S △ADQ ＝4， 即12×3BP ＝12×4DQ ＝4， ∴BP ＝83，DQ ＝2，∴当BP ＝83，DQ ＝2时，直线AP 、AQ 把矩形ABCD 的面积三等分；第3题解图②(3)李师傅能实现自己的想法．如解图③，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E . ∵AB ＝AC ＝100米，BC ＝120米， ∴BE ＝12BC ＝60米，∴在Rt △ABE 中， AE ＝AB 2－BE 2＝80米，∴S ▱ABCD ＝BC ·AE ＝120×80＝9600(平方米)， 过点A 作AF ⊥CD ，垂足为点F ， ∵CD ＝AB ＝100米，CD ·AF ＝BC ·AE ， ∴AF ＝BC ·AE CD ＝120×80100＝96(米)．设过点A 的直线分别交BC 、CD 于点P 、Q ，使直线AP 、AQ 把平行四边形ABCD 的面积三等分，则S △ABP＝S △ADQ ＝13×9600＝3200(平方米)，即12BP ·AE ＝12DQ ·AF ＝3200， ∴BP ＝80米，DQ ＝2003米，∴当BP ＝80米，DQ ＝2003米时，直线AP 、AQ 把平行四边形ABCD 的面积三等分．第3题解图③4. 解：(1)＝； (2)1；【解法提示】∵在△ABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，∴MN ∥BC ，MN ＝12BC ，∴S △AMN ＝14S △ABC ，∴S 四边形BCNM ＝3S △AMN ，∵S 四边形BCNM ＝3，∴S △AMN ＝1.又∵直线a ∥BC ，MN ∥BC ，∴直线a ∥MN ，∴S △PMN ＝S △AMN ＝1.(3)如解图，在CD 上取点G ，使得CG ＝DG ，过点G 作HK ∥AB ，交AD 于点H ，交BC 的延长线于点K ，连接BH 、AK ，相交于点O ，连接EO 并延长交AD 于点F ，此时EF 即为所求．第4题解图过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ，在Rt △ABQ 中，AB ＝10米，∠ABQ ＝60°， ∴BQ ＝5米，AQ ＝53米． ∵BE ＝2米，∴EQ ＝3米．过点E 作EP ⊥DA 交DA 的延长线于点P ，则四边形EQAP 是矩形， ∴EP ＝53米，AP ＝EQ ＝3米． ∵G 是CD 的中点，CK ∥HD ，∴∠KCG ＝∠HDG ，∠CKG ＝∠DHG ，CG ＝DG . ∴△CKG ≌△DHG (AAS )．∴CK ＝DH ，又由作图及题知HK ∥AB ，AD ∥BC . ∴四边形ABKH 是平行四边形， ∴AH ＝BK .∴AH ＝BC ＋CK ＝BC ＋HD ＝AD －HD . ∴HD ＝12(AD －BC )＝12×(30－8)＝11米．∴AH ＝AD －HD ＝30－11＝19米． ∵FH ＝BE ＝2米， ∴AF ＝AH －FH ＝17米． ∴PF ＝P A ＋AF ＝3＋17＝20米．在Rt △EPF 中，由勾股定理得EF ＝EP 2＋PF 2＝（53）2＋202＝519米．类型二 面积最值问题1. 解：(1)如解图①，正方形E ′F ′P ′N ′即为所求；(2分)第1题解图①(2)设正方形E ′F ′P ′N ′的边长为x ， ∵△ABC 为正三角形， ∴AE ′＝BF ′＝33x ， ∴x ＋233x ＝3＋3，∴x ＝9＋3323＋3，即x ＝33－3.∴(1)中作出的正方形E ′F ′P ′N ′的边长是33－3；(3)如解图②，连接NE 、EP 、PN ，则∠NEP ＝∠NEM ＋∠PEH ＝90°.第1题解图②设正方形DEMN 、正方形EFPH 的边长分别为m 、n (m ≥n )，它们的面积和为S ， 则NE ＝2m ，PE ＝2n . ∴PN 2＝NE 2＋PE 2 ＝2m 2＋2n 2 ＝2(m 2＋n 2)． ∴S ＝m 2＋n 2＝12PN 2.延长PH 交ND 于点G ，则PG ⊥ND .在Rt △PGN 中，PN 2＝PG 2＋GN 2＝(m ＋n )2＋(m －n )2. ∵AB ＝AD ＋DE ＋EF ＋BF ＝33m ＋m ＋n ＋33n ＝3＋3， 即m ＋n ＝3，∴①当(m －n )2＝0时，即m ＝n 时，S 最小． ∴S 最小＝(32)2×2＝92.②当(m －n )2最大时，S 最大．即当m 最大且n 最小时，S 最大． ∵m ＋n ＝3，由(2)知，m 最大＝33－3. ∴n 最小＝3－m 最大 ＝3－(33－3) ＝6－3 3.∴S 最大＝(33－3)2＋(6－33)2＝27＋9－183＋36＋27－36 3＝99－54 3.2. 解：(1)EF ＝AE ＋CF ；【解法提示】如解图①，将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCE ′， ∴ED ＝E ′D ，∠ADE ＝∠CDE ′， 又∵∠EDF ＝45°， ∴∠ADE ＋∠FDC ＝45°，即∠CDE ′＋∠FDC ＝∠E ′DF ＝45°， ∴∠EDF ＝∠E ′DF . 在△DEF 和△DE ′F 中， ⎩⎪⎨⎪⎧ED ＝E ′D ∠EDF ＝∠E ′DF DF ＝DF， ∴△DEF ≌△DE ′F (SAS )， ∴EF ＝E ′F ＝E ′C ＋CF ＝AE ＋CF .(2)如解图②，将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°至△DCN ′处， 设EF ＝N ′F ＝a (a ＞0)，∵正方形ABCD 的边长为100，∠EDF ＝45°，AE ＝25， ∴BE ＝100－25＝75， ∴BF ＝a 2－752， ∴a ＝100＋25－a 2－752， 解得a ＝85，∴S 四边形DEBF ＝S 正方形ABCD －S △DFN ′＝1002－12×85×100＝5750；(3)存在．如解图③，连接AC ，将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°至△DCE ″处， 由(2)得S 四边形DEBF ＝S 正方形ABCD －S △DFE ″＝10000－50EF ， ∴当EF 最小时，S 四边形DEBF 最大， ∵EF 2＝BE 2＋BF 2， ∴当BE ＝BF 时，EF 最小， 此时EF ∥AC ， ∴BE BA ＝EF AC ，即BE 100＝EF1002， ∴BE EF ＝22， ∴∠EFB ＝45°， ∴BE ＝BF ，∴AE ＝FC ＝BC －BF ＝100－BE ，∴EF ＝E ″F ＝FC ＋CE ″＝200－2BE ＝2BE ， 解得BE ＝100(2－2)， ∴EF ＝2BE ＝2002－200，∴S 四边形DEBF ＝10000－50×(2002－200)＝20000－10000 2.∴当BE ＝BF ＝100(2－2)m 时，儿童活动区的面积最大，最大面积为(20000－100002)m 2.第2题解图3. 解：(1)1；【解法提示】∵a ∥b ，∴∠MAD ＝∠NCD ，∵AD ＝DC ，∠ADM ＝∠CDN ，∴△ADM ≌△CDN (ASA )，∴S △ADM ＝S △CDN ，∴S 四边形AMNB ＝S △ABC ＝1.(2)如解图①，延长AD 至点F ，使得DF ＝DA ，过点F 作FG ⊥AB 于点G ，交BC 于点H ，FE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，连接EG .∵∠FEA ＝∠FGA ＝∠GAE ＝90°， ∴四边形AEFG 是矩形，∵∠DAC ＝13∠BAC ＝30°，AD ＝DF ＝2,∴AF ＝4，EF ＝12AF ＝2，AE ＝3EF ＝23，∴S 矩形AEFG ＝43，∵矩形AEFG 是中心对称图形，D 是对称中心， ∴过点D 的任意直线平分矩形AEFG 的面积， ∴S 四边形ACHG ＝12S 矩形ABCD ＝23，∵S △ABC ≥S 四边形ACHG , ∴S △ABC ≥23，∴当BC 与GE 重合时，△ABC 的面积最小，最小值为23；图① 图②第3题解图(3)如解图②，取AE 的中点G ，作GH ⊥CD 于点H ，GF ⊥BC 于F ，连接FH ，则四边形GHCF 是矩形． ∵AE ＝2EC ，AG ＝EG ， ∴EC ＝EG ， ∴点E 在FH 上， ∵AC ＝3EC ，∴S △ACM ＝3S △ECM ，S △ACN ＝3S △ECN , ∴S 四边形AMCN ＝3S △CMN ,∴当△CMN 的面积最小时，四边形AMCN 的面积最小， ∵矩形CFGH 是中心对称图形，由(2)可知：当MN 与FH 重合时，△MCN 的面积最小， ∵AC ＝3002＋4002＝500(米), ∴CG ＝23×500＝10003(米),∵GH ∥AD ，∴CG CA ＝GH AD ＝CH CD ，即10003500＝GH 400＝CH300， ∴GH ＝8003米，CH ＝200米，∴△MCN 的面积的最小值为12×200×8003＝800003(平方米),∴四边形AMCN 的面积的最小值为80000平方米， 此时CM ＝CF ＝GH ＝8003米，CN ＝CH ＝200米．类型三 线段最值问题1. 解：(1)如解图①，作EF ⊥AB ，垂足为点F ，点F 即为所求．第1题解图①理由如下：∵点E 是正△ABC 的高AD 上的一点，∴∠BAD ＝30°. ∵EF ⊥AB ， ∴EF ＝12AE ；(2)如解图②，作MN ⊥AB ，垂足为点N ，第1题解图②∵△ABC 是正三角形，AD 为高， ∴∠BAD ＝12∠BAC ＝30°，∵MN ⊥AB ，∴在Rt △AMN 中，MN ＝12AM ，当C 、M 、N 三点共线时，12AM ＋MC ＝MN ＋MC ＝CN .此时12AM ＋MC 的值最小，最小值即为CN 的长．∵△ABC 是边长为2的正三角形， ∴CN ＝BC ·sin60°＝2×32＝3， 即12AM ＋MC 的最小值为3； (3)如解图③，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，在AC 异于点B 的一侧作∠CAN ＝30°. 过点B 作BF ⊥AN ，垂足为点F ，交AC 于点M ，点M 即为所求．第1题解图③在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝6002－3602＝480 km ， 在Rt △MBD 中，∠MBD ＝∠MAF ＝30°， 则MD ＝BD ·tan30°＝120 3 km ， ∴AM ＝(480－1203)km .2. 解：(1)如解图①，过点A 作BC 的对称点A ′，连接A ′D 交BC 于点E .则点E 即为使得AE ＋DE 的值最小的点；第2题解图①(2)如解图②，作点D 关于AB 的对称点D ′，过点D ′作D ′F ⊥BC 于点F ，交AB 于点E ，则DE ＋EF ＝D ′E ＋EF ≥D ′F ，连接BD ′.∵点D 和点D ′关于AB 对称，∴∠D ′BE ＝∠ABC ＝30°，BD ′＝BD ＝10， ∴∠D ′BF ＝2∠ABC ＝60°， ∴D ′F ＝BD ′·sin ∠D ′BF ＝10×32＝53，即DE ＋EF 的最小值为53；第2题解图②(3)如解图③，分别作点D 关于AB 、AC 的对称点D 1、D 2，连接D 1D 2、AD 1、AD 2、ED 1、FD 2，第2题解图③根据对称性，有DE ＝D 1E ，DF ＝D 2F ， 则DE ＋EF ＋DF ＝D 1E ＋EF ＋FD 2≥D 1D 2，由轴对称可得：AD ＝AD 1＝AD 2，∠DAC ＝∠D 2AC ，∠DAB ＝∠D 1AB ，∴D 1D 2是顶角为90°的等腰三角形的底边，要想底边长D 1D 2最小，只要腰长最小，根据垂线段最短，当AD ⊥BC 时，腰长最小，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为点H ，在Rt △ACH ，∵AC ＝62，∴AH ＝CH ＝6，∴BH ＝AB －AH ＝4，在Rt △BHC 中，由勾股定理得BC ＝213，根据等面积法AB ·CH ＝BC ·AD ，∴AD ＝301313，∴D 1D 2＝302613，即DE ＋EF ＋DF 最小值为302613.3. 解：(1)如解图①，连接MN ，与直线l 交于点K ，点K 即为所求；第3题解图①(2)如解图②，把△APB 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACP ′， 由旋转的性质，P ′A ＝P A ＝3，P ′C ＝PB ＝4，∠P AP ′＝60°， ∴△APP ′是等边三角形， ∴PP ′＝P A ＝3，∠AP ′P ＝60°，∵PP ′2＋P ′C 2＝32＋42＝25，PC 2＝52＝25， ∴PP ′2＋P ′C 2＝PC 2， ∴∠PP ′C ＝90°，∴∠AP ′C ＝∠AP ′P ＋∠PP ′C ＝60°＋90°＝150°， ∴∠APB ＝∠AP ′C ＝150°；第3题解图②(3)如解图③，把△ABE 绕点B 逆时针旋转60°得到△A ′BE ′，由旋转的性质，A ′B ＝AB ＝303，BE ′＝BE ，A ′E ′＝AE ，∠E ′BE ＝60°，∠A ′BA ＝60°， ∴△E ′BE 是等边三角形， ∴BE ＝EE ′，∴EA ＋EB ＋EC ＝A ′E ′＋EE ′＋EC ≥A ′C . 即EA ＋EB ＋EC 的最小值为A ′C 的长度．过点A ′作A ′G ⊥BC 交CB 的延长线于点G ，则∠A ′BG ＝90°－∠A ′BA ＝90°－60°＝30°. ∴A ′G ＝12A ′B ＝12AB ＝12×303＝153米，GB ＝3A ′G ＝3×153＝45米，∴GC ＝GB ＋BC ＝45＋60＝105米，在Rt △A ′GC 中，A ′C ＝A ′G 2＋GC 2＝3013米， ∴EA ＋EB ＋EC 的最小值为3013米．第3题解图③4. 解：(1)>；(2)如解图①，作点E 关于CD 的对称点E ′，连接AE ′交DC 于点F ，连接EF 、AE . 若在边CD 上任取与点F 不重合的一点F ′，连接AF ′、EF ′、E ′F ′，由EF ′＋AF ′＝E ′F ′＋AF ′＞AE ′＝E ′F ＋AF ＝EF ＋AF 可知，当点F 为AE ′与DC 的交点时，△AEF 的周长最小．∵在矩形ABCD 中，CD ＝3，BC ＝4，点E 为BC 的中点， ∴AB ＝3，E ′C ＝EC ＝2，BE ′＝6， ∵CF ∥AB ，∴Rt △E ′CF ∽Rt △E ′BA ， ∴CF BA ＝E ′C E ′B， ∴CF ＝E ′C E ′B ·AB ＝26×3＝1，∴当CF 为1时，△AEF 的周长最小；第4题解图①(3)如解图②，作点B 关于AC 的对称点B ′，作点O 关于AB 的对称点O ′，连接AB ′，QB ′，PO ′，B ′O ′，B ′P ，BB ′，AO ′，OO ′，则QB ＝QB ′，OP ＝O ′P .∴OP ＋PQ ＋QB ＝O ′P ＋PQ ＋QB ′，当点Q 在AC 的中点(与点O 重合)，点P 在AB 的中点时，B ′O ′≤B ′P ＋O ′P ≤PQ ＋QB ′＋O ′P ， ∴OP ＋PQ ＋QB 的最小值为B ′O ′.∵在矩形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AC ＝2，BC ＝1， ∴∠BAC ＝30°，AB ＝3，∵点B 、B ′关于AC 对称，点O 、O ′关于AB 对称，∴∠B ′AC ＝30°，AB ′＝AB ＝3，∠O ′AB ＝30°，AO ′＝AO ＝1， ∴∠B ′AO ′＝90°，∴B ′O ′＝AB ′2＋AO ′2＝（3）2＋12＝2， ∴OP ＋PQ ＋QB 的最小值为2. 设B ′O ′交AC 于点Q ′，∵在Rt △AO ′B ′中，AO ′＝1，B ′O ′＝2， ∴∠AB ′O ′＝30°，则∠AO ′B ′＝60°，∵在△AO ′Q ′中，∠Q ′AO ′＝∠Q ′AB ＋∠BAO ′＝60°， ∴△AO ′Q ′是等边三角形， ∴AQ ′＝AO ′＝1＝AO ， ∴点Q ′在AC 的中点处，∴当点Q 为AC 的中点时，OP ＋PQ ＋QB 取得最小值．第4题解图②类型四 辅助圆问题1. 解：(1)254；【解法提示】如解图①，记AO 交BC 于点K ，∵点O 是△ABC 的外接圆的圆心，AB ＝AC ，∴AK ⊥BC ，BK ＝12BC ＝6，∴AK ＝AB 2－BK 2＝8，在Rt △BOK 中，OB 2＝BK 2＋OK 2，设OB ＝x ，∴x 2＝62＋(8－x )2，解得x ＝254， ∴OB ＝254.第1题解图①(2)如解图②，连接EO 并延长，交半圆于点P ，此时E 、P 之间的距离最大，在BC ︵上任取异于点P 的一点P ′，连接OP ′，P ′E ，∴EP ＝EO ＋OP ＝EO ＋OP ′＞EP ′，即EP ＞EP ′. ∵AB ＝4，AD ＝6，∴EO ＝4，OP ＝OC ＝12BC ＝3.∴EP ＝OE ＋OP ＝7.∴E 、P 之间的最大距离为7；第1题解图②(3)如解图③，延长FE 交BD 于点M ， ∵EF ⊥BC ，BE ＝CE ，BC ︵是劣弧， ∴BC ︵所在圆的圆心在射线FE 上， 设圆心为O ，半径为R ，连接OC ，则OC ＝R ，OE ＝R －40，BE ＝CE ＝12BC ＝80,在Rt △OEC 中，R 2＝802＋(R －40)2, 解得：R ＝100， ∴OE ＝OF －EF ＝60.过点D 作DG ⊥BC ，垂足为点G ， ∵AD ∥BC ，∠ADB ＝45°， ∴∠DBC ＝45°.在Rt △BDG 中，DG ＝BG ＝BD2＝120， 在Rt △BEM 中，ME ＝BE ＝80， ∵ME ＞OE .∴点O 在△BDC 内部．∴连接DO 并延长交BC ︵于点P ，则DP 为入口D 到BC ︵上一点P 的最大距离． 在BC 上任取一点异于点P 的点P ′，连接OP ′，P ′D . ∴DP ＝OD ＋OP ＝OD ＋OP ′＞DP ′，即DP ＞DP ′.过点O 作OH ⊥DG ，垂足为点H ，则OH ＝EG ＝BG －BE ＝40，DH ＝DG －HG ＝DG －OE ＝60， ∴OD ＝OH 2＋DH 2＝2013. ∴DP ＝OD ＋OP ＝2013＋100,∴修建这条小路最多要花费40×(2013＋100)＝(80013＋4000)元．第1题解图③2. 解：(1)12ab ；【解法提示】∵四边形ABCD 是筝形，∴AB ＝AD ，CB ＝CD .∵AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC .∴∠DAC ＝∠BAC .∴AC 垂直平分BD .∴S △ABC ＝S △ADC ＝12·12b ·a .∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12ab .(2)∵BC ＝2，∠BAC ＝45°，∴点A 在以BC 为弦，且弦BC 所对的圆心角为90°的BAC ︵上． 设△ABC 的外接圆圆心为O ， ∴∠BOC ＝90°.如解图①，连接OB 、OC ， ∴OB ＝OC ＝22BC ＝1. 要使得BC 边上的高线最长，则点A 在BC 的垂直平分线上， 过点O 作OD ⊥BC 于点D ，延长DO ，交⊙O 于点A . ∵△BOC 是等腰直角三角形，OD ⊥BC ， ∴OD ＝22. ∴BC 边上的高线AD 的最大值为AO ＋OD ＝1＋22；第2题解图①(3)存在．∵四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别为AB 、BC 的三等分点， ∴AB ⊥BC ，BE ＝BF ＝13AB ＝2 cm .∴△BEF 为等腰直角三角形，且S △BEF 为定值，EF ＝2 2 cm . ∴要使得四边形BFGE 面积最大，只需使得△EFG 面积最大即可． ∵∠EGF ＝30°，EF 为定长，∴点G 在以EF 为弦，所对圆心角为60°的EGF ︵上(不含E 、F 两点)． 设△EFG 的外接圆圆心为O ，在△EFG 中，EF 为定长，要使得△EFG 面积最大，即底边EF 上的高取得最大值即可； 如解图②，连接BD ，连接BO 并延长，交⊙O 于点G ，交EF 于点M ，第2题解图②∴BO 垂直平分EF ，即MG 垂直平分EF ，此时△EFG 的面积最大，连接OE 、OF ，则∠EOF ＝60°. ∵OE ＝OF ，∴△EOF 为等边三角形．∴OE ＝OF ＝EF ＝2 2 cm ，OM ＝ 6 cm . ∵OM ⊥EF ， ∴M 为EF 的中点． ∴BM ＝12EF ＝ 2 cm .∴BG ＝BM ＋OM ＋OG ＝(32＋6)cm . ∵△BEF 为等腰直角三角形， ∴BM 为∠EBF 的平分线．∴BG 在正方形ABCD 的对角线所在的直线上，且BD ＝6 2 cm . ∵32＋6＜62，∴点G 在线段BD 上，即点G 在正方形ABCD 内部．∴存在符合要求的点G ，且四边形BFGE 面积的最大值为12EF ·BG ＝12×22×(32＋6)＝(6＋23) cm 2.3. 解：(1)270°；【解法提示】∵∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝360°，且∠B ＝60°，∠D ＝30°， ∴∠A ＋∠C ＝270°.(2)如解图①，将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°得到△BAQ ，连接DQ ， 则∠CBD ＝∠ABQ ，∠C ＝∠BAQ ，CD ＝AQ ＝4，BD ＝BQ ，∠DBQ ＝60°， ∴△BDQ 是等边三角形． ∴BD ＝DQ .∵∠C ＋∠BAD ＝270°， ∴∠BAQ ＋∠BAD ＝270°. ∴∠DAQ ＝90°.则BD ＝DQ ＝AD 2＋AQ 2＝5；第3题解图①(3)能．如解图②，将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°得到△BAH ，连接DH ，作△AHD 的外接圆⊙O ，连接AO ，与DH 交于点K .第3题解图②由(2)知△BDH 是等边三角形，∴S 四边形ABCD ＝S △BAH ＋S △ABD ＝S △DBH －S △ADH .∴当△ADH 面积最大时，四边形ABCD 的面积最小． ∵∠ABC ＝60°，∠ADC ＝75°，∴∠BAD ＋∠BAH ＝∠BAD ＋∠BCD ＝360°－75°－60°＝225°. ∴∠DAH ＝135°. ∵DH ＝DB ＝6，∴点A 在定圆⊙O 上运动，当O 、A 、B 共线时，△ADH 的面积最大，此时OB ⊥DH .则HK ＝KD ＝3. ∵AH ＝AD ，∴∠AHD ＝∠ADH ＝22.5°.在HK 上取一点F ，使得FH ＝F A ，则△AKF 是等腰直角三角形， 设AK ＝FK ＝x ，则FH ＝AF ＝2x , ∴3＝x ＋2x ，解得x ＝32－3.∴△ADH 的面积最大值为12×6×(32－3)＝92－9.∴四边形ABCD 的面积的最小值为34×62－(92－9)＝93－92＋9. 4. 解：(1)如解图①，等腰三角形CBP 即为所求(点P 为正方形ABCD 内的弧BD ︵上的任意一点)；第4题解图①(2)以AB 为弦的圆，圆心Q 必过AB 的垂直平分线，如解图②，取AB 的中点D ，则D (5，0)， ∴圆心Q 的横坐标为5，⊙Q 与y 轴交于点P ，即以AB 为弦的圆，圆半径PQ 最小为5， ∵sin ∠AQD ＝12AB AQ ＝3AQ ，∴当AQ ＝BQ 取得最小值时，sin ∠AQD 最大，∠AQD 最大，即∠AQB 最大，此时其所对圆周角∠APB 最大， 连接PQ .当PQ ＝5时，AQ ＝BQ ＝5，此时PQ ⊥y 轴且点P 为⊙O 与y 轴的切点， 则Q 点的纵坐标为±52－（8－22）2＝±4，∵点P 在y 轴正半轴上， ∴点P 的坐标为(0，4)；第4题解图②(3)存在．如解图③，过点A 、B 作⊙N 且与OD 相切于点M ，连接MN 并延长，交OC 于点E ，连接MA 、MB 、NA 、NB ，过点N 作NF ⊥AB 于点F，第4题解图③∵∠MOA ＝∠BOM ，OM 为⊙N 的切线， ∴∠OMA ＝∠OBM . ∴△OMA ∽△OBM . 即OM OB ＝OAOM， ∴OM 2＝OA ·OB ＝400×(400＋2003)． ∴OM ＝(200＋2003)m . 易得FB ＝12AB ＝1003m ，∵∠O ＝60°，∠OME ＝90°， ∴∠MEO ＝30°. ∵OM ＝(200＋2003)m . ∴OE ＝2OM ＝(400＋4003)m ， ∴BE ＝OE －OB ＝2003m . ∴FE ＝FB ＋BE ＝3003m . ∴在Rt △NFE 中， NF ＝FE ·tan ∠MEO ＝300 m .∴在Rt △BNF 中，tan ∠BNF ＝FB NF ＝1003300＝33.∴∠BNF ＝30°. ∵AB ︵＝AB ︵，∴∠AMB ＝12∠ANB ＝∠BNF ＝30°.5．解：(1)如解图①所示，Rt △ABC 即为所求．(只要画出一个符合要求的Rt △ABC 即可)第5题解图①(2)如解图②，连接OB .∵O 是正方形ABCD 的对称中心，且BM ＝CM ， ∴S △BOM ＝18×282＜17×282.∴点N 不可能在BM 上，由对称性， 可知点N 也不可能在MC 上．显然，点N 不在AD 边上． ∴设点N 在AB 边上，连接ON .由题意，得12(BN ＋14)×14＝17×282，解得BN ＝2.由对称性知，当点N 在CD 边上时，可得CN ＝2.∴MN ＝142＋22＝102；第5题解图②(3)如解图③，过点A 作AH ⊥BD 于点H ，第5题解图③在Rt △ABD 中，AB ＝30，AD ＝40，∴BD ＝50，AH ＝24.易得S △AEF ＝S △CEF .∴S 四边形AECF ＝2S △AEF ＝2×12×EF ·AH ＝24EF . 由题意可知，只有S 四边形AECF 最小时，按设计要求在矩形ABCD 内种植红、黄两种花卉的费用最低． 要使S 四边形AECF 最小，就需EF 最短．∵AH ⊥EF ，tan ∠HAD ＝tan ∠ABD ＝43<3，tan ∠BAH ＝tan ∠ADB ＝34＜3， ∴∠HAD ＜60°，∠BAH ＜60°.又∵∠EAF ＝60°，∴E 、F 两点分布在AH 异侧．∴△AEF 为锐角三角形．作其中任一锐角△AEF 的外接圆⊙O ，过O 作OG ⊥EF 于点G ，连接OA 、OF ，则EF ＝2GF ，∠GOF ＝∠EAF ＝60°.在Rt △OGF 中，OF ＝2OG ，GF ＝3OG ，∴EF ＝23OG ，又∵OA ＋OG ≥AH ，OA ＝OF ＝2OG ，∴2OG ＋OG ≥24，得OG ≥8.∴EF ＝23OG ≥16 3.∴当圆心O 在AH 上，即AE ＝AF 时，EF ＝16 3.∴EH ＝83＜18＝BH ，FH ＝83<32＝HD .∴当AE ＝AF 时，点E 、F 在BD 上．∴S 四边形AECF 的最小值为24×163＝384 3.∴3843×210＋(30×40－3843)×180＝216000＋115203≈235584(元)．∴按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用约为235584元．6. 解：(1)如解图①，⊙O 即为所求；第6题解图①【作法提示】①分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，交AB 两侧于E 、F 两点；②连接EF ，交AB 于点O ；③以点O 为圆心，OA 长为半径作圆，⊙O 即为所求．(2)存在．当△APB 是等边三角形时，矩形ABCD 的面积最小．如解图②，过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，则PQ ＝4，∠P AQ ＝60°，∴AQ ＝PQ tan ∠P AQ ＝4tan60°＝433， 则AB ＝2AQ ＝833，即矩形ABCD 面积的最小值为4×833＝3233；第6题解图②(3)存在．∵AB ＝62＋12，BC ＝62＋6，△ADE 是等腰直角三角形，∴DE ＝AD ＝BC ＝62＋6.∴EC ＝DC －DE ＝AB －DE ＝6.又∵CF BF ＝12， ∴CF ＝BC 2＋1＝6，BF ＝2BC 2＋1＝6 2. 如解图③，连接EF ，则EF ＝CE 2＋CF 2＝62＝BF ，即△ECF 是等腰直角三角形，绕点F 顺时针旋转△FEM ，使得EF 与BF 重合，得到△FBM ′，则∠NFM ′＝∠NFB ＋∠BFM ′＝∠NFB ＋∠EFM ＝180°－∠MFN －∠EFC ＝45°为定角，BF ＝62为定长，第6题解图③∴当NB ＝BM ′时，NM ′最小，则AM ＋AN 最大，即四边形AMFN 面积最大．作△FNM 的外接圆⊙Q ，连接NQ 、QM ′，则∠NQM ′＝2∠NFM ＝90°，由圆的对称性知，∠NQB ＝12∠NQM ′＝45°.由BM ′＋QM ′＝BM ′＋QF ＝BM ′＋2BM ′＝BF ＝62，可得BM ′＝12－62，即NM ′＝2BM ′＝24－122，则AM ＋AN ＝AB ＋AE －(NB ＋ME )＝AB ＋AE －(NB ＋BM ′)＝AB ＋AE － NM ′＝242，则S 四边形AMFN 最大＝12EF ·(AM ＋AN )＝12×62×242＝144.。

重庆中考数学第25题(阅读理解)专题专训(学生版)

重庆中考数学第25题(阅读理解)专题专训(学生版)

重庆中考数学第25题专题专训2501．材料1：若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除；反之也成立．材料2：两位数m和三位数n，它们各个数位上的数字都不为0，将数m 任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数n任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为F（m，n），例如：F（12，345）=13+14=15+23+24+25=114；F（11，369）=13+16+19+13+16+19=96．（1）填空：F（16，123）= ；（2）求证：当n能被3整除时，F（m，n）一定能被6整除；（3）若一个两位数s=21x+y，一个三位数t=121x+y+199（其中1≤x≤4，1≤y≤5，且x、y均为整数），交换三位数t的百位数字和个位数字得到新数t′，当t′与s的个位数字的3倍的和能被11整除时，称这样的两个数s和t为“珊瑚数对”，求所有“珊瑚数对”中F（s，t）的最大值．2502．任意一个正整数n，都可以表示为：n=a×b×c（a≤b≤c，a，b，c均为正整数），在n的所有表示结果中，如果|2b﹣（a+c）|最小，我们就称a ×b×c是n的“阶梯三分法”，并规定：F（n）=，例如：6=1×1×6=1×2×3，因为|2×1﹣（1+6）|=5，|2×2﹣（1+3）|=0，5＞0，所以1×2×3是6的阶梯三分法，即F（6）==2．（1）如果一个正整数p是另一个正整数q的立方，那么称正整数p是立方数，求证：对于任意一个立方数m，总有F（m）=2．（2）t是一个两位正整数，t=10x+y（1≤x≤9，0≤y≤9，且x≥y，x+y≤10，x和y均为整数），t的23倍加上各个数位上的数字之和，结果能被13整除，我们就称这个数t为“满意数”，求所有“满意数”中F（t）的最小值．2503．对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数n，如果它的百位数字、十位数字、个位数字是由依次增加相同的非零数字组成，则称这个三位数为“递增数”，记为D（n），把这个“递增数”的百位数字与个位数字交换位置后，得到321，即E（123）=321，规定F（n）=，如F（123）==1．（1）计算：F（159），F（246）；（2）若D（s）是百位数字为1的数，D（t）是个位数字为9的数，且满足F （s）+F（t）=5，记k=，求k的最大值．2504．有一个n位自然数能被x整除，依次轮换个位数字得到的新数能被x+1整除，再依次轮换个位数字得到的新数能被x 0+2整除，按此规律轮换后，能被x+3整除，…，能被x0+n﹣1整除，则称这个n位数是x的一个“轮换数”．例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2的一个“轮换数”．（1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”．（2）若三位自然数是3的一个“轮换数”，其中a=2，求这个三位自然数．2505．已知，我们把任意形如：的五位自然数（其中c=a+b，1≤a≤9，1≤b≤9）称之为喜马拉雅数，例如：在32523自然数中，3=2=5，所以32523就是一个喜马拉雅数．并规定：能被自然数整除n的最大的喜马拉雅数记为F（n），能被自然数n整除的最小的喜马拉雅数记为I（n）．（1）求证：任意一个喜马拉雅数都能被3整除；（2）求F（3）+I（8）的值．2506．对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y ≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．2507．先阅读下列材料，然后解后面的问题．材料：一个三位自然数（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12．（1）对于“欢喜数”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数”能被99整除；（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．2507．当一个多位数的位数为偶数时，在其中间插入一位数k，（0≤k≤9，且k 为整数）得到一个新数，我们把这个新数称为原数的关联数．如：435729 中间插入数字6可得435729的一个关联数4356729，其中435729=729+435 ×1000，4356729=729+6×1000+435×10000．请阅读以上材料，解决下列问题．（1）现有一个4位数2316，中间插入数字m（0≤m≤9，且m为3的倍数），得其关联数，求证：所得的2316的关联数与原数10倍的差一定能被3整除；（2）一个三位关联数是原来两位数的9倍，请找出满足这样的三位关联数．2509．根据阅读材料，解决问题．数n是一个三位数，各数位上的数字互不相同，且都不为零，从它各数位上的数字中任选两个构成一个两位数，这样就可以得到六个不同的两位数，我们把这六个不同的两位数叫做数n的“生成数”．数n的所有“生成数”之和与22的商记为G（n），例如n=123，它的六个“生成数”是12，13，21，23，31，32，这六个“生成数”的和12+13+21+23+31+32=132，132÷22=6，所以G（123）=6．（1）计算：G（125），G（746）；（2）数s，t是两个三位数，它们都有“生成数”，a，1，4分别是s的百位、十位、个位上的数字，x，y，6分别是t的百位、十位、个位上的数字，规定：k=，若G（s）•G（t）=84，求k的最小值．2510．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．（1）直接写出：最小的“和平数”是，最大的“和平数”是；（2）求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”；（2）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．例如：1423与4132为一组“相关和平数”求证：任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数．2511．对任意一个正整数m，如果m=n（n+1），其中n是正整数，则称m为“优数”，n为m的最优拆分点，例如：72=8×（8+1），则72是一个“优数”，8为72的最优拆分点．（1）请写出一个“优数”，它的最优拆分点是；（2）求证：若“优数”m是5的倍数，则m一定是10的倍数；（3）把“优数”p的2倍与“优数”q的3倍的差记为D（p，q），例如：20=4×5，6=2×3，则D（20，6）=2×20﹣3×6=22．若“优数”p的最优拆分点为t+4，“优数”q的最优拆分点为t，当D（p，q）=76时，求t的值并判断它是否为“优数”．2512．一个整数能表示成a 2+b 2（a 、b 是正整数）的形式，则称这个数为“丰利数”．如2是“丰利数”，因为2=12+12，再如，M=x 2+2xy+2y 2=（x+y ）2+y 2 （x+y ，y 是正整数），所以M 也是“丰利数”．（1）请你写一个最小的三位“丰利数”是 ，并判断20 “丰数”．（填是或不是）；（2）已知S=x 2+y 2+2x ﹣6y+k （x 、y 是整数，k 是常数），要使S 为“丰利数”，试求出符合条件的一个k 值（10≤k ＜200），并说明理由．2513．我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n=p ×q （p 、q 是正整数，且p ≤q ），在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝 对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解．并规定：()qpF n =，例如12 可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4 是12的最佳分解，所以F （12）=．（1）如果一个正整数m 是另外一个正整数n 的平方，我们称正整数m 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m ，总有F （m ）=1； （2）如果一个两位正整数t ，t=10x+y （1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得 的差为36，那么我们称这个数t 为“吉祥数”，求所有“吉祥数”； （3）在（2）所得“吉祥数”中，求F （t ）的最大值．2514．一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等．若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12+13+21+23+31+32=132．（1）求证：M与其“友谊数”的差能被15整除；（2）若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值．2515．若一个两位正整数m的个位数为8，则称m为“好数”．（1）求证：对任意“好数”m，m2﹣64一定为20的倍数；（2）若m=p2﹣q2，且p，q为正整数，则称数对（p，q）为“友好数对”，规定：H（m）=，例如68=182﹣162，称数对（18，16）为“友好数对”，则H（68）==，求小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H（m）的最大值．2515．任意一个正整数都可以进行这样的分解：n=p ×q （p 、q 是正整数，且p≤q ），正整数的所有这种分解中，如果p 、q 两因数之差的绝对值最小， 我们就称p ×q 是正整数的最佳分解．并规定：()qpF n =．例如24可以 分解成1×24，2×12，3×8或4×6，因为24﹣1＞12﹣2＞8﹣3＞6﹣4， 所以4×6是24的最佳分解，所以F （24）=． （1）求F （18）的值；（2）如果一个两位正整数，t=10x+y （1≤x ≤y ≤9，x 、y 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得 的差记为m ，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的 两位正整数所得的和记为n ，若mn 为4752，那么我们称这个数为“最 美数”，求所有“最美数”；（3）在（2）所得“最美数”中，求F （t ）的最大值．2517．阅读下列材料，解决问题材料一：如果一个正整数的个位数字等于除个位数字之外的其他各位数字之和，则称这个数为“刀塔数”，比如：因1+2=3，所以123是“刀塔数”，同理，55，1315也是“刀塔数”．材料二：形如的三位数叫“王者数”，其中x﹣2，x，x+2分别是这个数的百位数字，十位数字，个位数字．例如：135，468均为“王者数”问题：（1）已知a既是“刀塔数”又是“王者数”，若数b（b＞0）使10a+b 为一个“刀塔数”，求b的最小值；（2）已知一个五位“刀塔数”与一个“王者数”的和能被3整除，且c﹣a+d﹣b=4，证明．2518．一个形如的五位自然数，（其中a表示该数的万位上的数字，b表示该数的千位上的数字，c表示该数的百位上的数字，d表示该位数的十位上的数字，e表示该数的个位上的数字，且a≠0，b≠0），若有a=e，b=d 且c=a+b，则把该自然数叫做“对称数”，例如在自然数12321中，3=2+1，则12321是一个“对称数”，同时规定，若该“对称数”的前两位数与后两位数的平方差是693的奇数倍，则称该“对称数”为“智慧对称数”，如在对称数43734中432﹣342=693，则43734是一个“智慧对称数”．（1）将一个“对称数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将千位上与万位上的数字交换位置称交换前后的这两个“对称数”为一组“相关对称数”．例如：12321与21312为一组“相关对称数”．求证：任意的一组“相关对称数”之和是最小“对称数”的倍数；（2）求出所有的“智慧对称数”中最大的“智慧对称数”．2519．我们知道：一个整数的个位数是偶数，则它一定能被2整除；一个整数的各位数字之和能被3整除，则它一定能被3整除．若一个整数既能被2 整除又能被3整除，那么这个整数一定能被6整除．数字6象征顺利、吉祥，我们规定，能被6整除的四位正整数（千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d）是“吉祥数”．请解答下面几个问题：（1）已知是“吉祥数”，则x= ．（2）若正整数是“吉祥数”，试说明：d+4（a+b+c）能被2整除．（3）小明完成第（2）问后认为：四位正整数是“吉祥数”，那么d+4（a+b+c）也能被6整除．你认为他说得对吗？请说明理由．2520．阅读理解：有一个n位自然数（n，n1，n2，n3，…nn是正整数，n≥2，1≤n1，n2，n3，…nn＜9），若交换不同数位上的数字得到一新数则叫这个n位自然数的一个“轮换数”，如：，均是的一个“轮换数”；36是63的一个“轮换数”，243是324的一个“轮换数”．（1）写出213的所有轮换数．（2）证明：任何一个3位自然数与它所有轮换数的和是111的倍数．（3）试求：4213与它所有轮换数的和．2521．对任意一个正整数m，如果m=k（k+1），其中k是正整数，则称m为“矩数”，k 为m的最佳拆分点．例如，56=7×（7+1），则56是一个“矩数”，7为56的最佳拆分点．（1）求证：若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数；（2）把“矩数”p与“矩数”q的差记为 D（p，q），其中p＞q，D（p，q）＞0．例如，20=4×5，6=2×3，则 D（20，6）=20﹣6=14．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s，当 D（p，q）=30时，求的最大值．2522．人和人之间讲友情，有趣的是，数与数之间也有相类似的关系．若两个不同的自然数的所有真因数（即除了自身以外的正约数）之和相等，我们称这两个数为“亲和数”．例如：18的约数有1、2、3、6、9、18，它的真因数之和1+2+3+6+9=21；51的约数有1、3、17、51，它的真因数之和1+3+17=21，所以18和51为“亲和数”．数还可以与动物形象地联系起来，我们称一个两头（首位与末位）都是1的数为“两头蛇数”．（1）6的“亲和数”为25 ；将一个四位的“两头蛇数”去掉两头，得到一个两位数，它恰好是这个“两头蛇数”的约数，求满足条件的“两头蛇数”．（2）已知两个“亲和数”的真因数之和都等于15，且这两个“亲和数”中较大的数能将一个正中间数位（百位）上的数为4的五位“两头蛇数”整除，若这个五位“两头蛇数”的千位上的数字小于十位上的数字，求满足条件的“两头蛇数”．2523．一个形如的五位自然数（其中c表示该数万位和个位上的数字，b 表示千位和十位上的数字，a表示百位上的数字．且c≠0），若有a+c=b，则把该自然数叫做“M数”，例如在自然数25352中，3+2=5，则25352 是一个“M数”，同时规定：与各数位数字之和的差能被自然数n整除的最大“M数”记为P＜＞，与各数位数字之和的差能被自然数n整除的最小“M数”记为Q＜＞．（1）求证：若4c+3a能被9整除，则任意一个“M数”都能被9整数；（2）若“M数”与它各数位数字之和的差能被7整除，请求出P＜＞和Q＜＞．2524．阅读下列材料，解决后面两个问题：一个能被17整除的自然数我们称为“灵动数”．“灵动数”的特征是：若把一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的整倍数（包括0），则原数能被17整除．如果差太大或心算不易看出是否是17的倍数，就继续上述的“截尾、倍大、相减、验差”的过程，直到能清楚判断为止．例如：判断1675282能不能被17整除． 167528﹣2×5=167518，16751﹣8 ×5=16711，1671﹣1×5=1666，166﹣6×5=136，到这里如果你仍然观察不出来，就继续…6×5=30，现在个位×5=30＞剩下的13，就用大数减去小数，30﹣13=17，17÷17=1；所以1675282能被17整除．（1）请用上述方法判断7242和2098754 是否是“灵动数”，并说明理由；（2）已知一个四位整数可表示为，其中个位上的数字为n，十位上的数字为m，0≤m≤9，0≤n≤9且m，n为整数．若这个数能被51整除，请求出这个数．2525.若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是谋略数，如22，797，12321都是谋略数．最小的谋略数是11，没有最大的谋略数，因为数位是无穷的．有一种产生谋略数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，便可得到一个谋略数．如：16的逆序数为61，16+61=77，77是一个谋略数；37的逆序数为73，37+73=110，110的逆序数为11，110+11=121，121是谋略数．（1）请你根据以上材料，直接写出57 产生的第一个谋略数；（2）若将任意一个四位谋略数分解为前两位数所表示的数，和后两位数所表示的数，请你证明这两个数的差一定能被9整除；（3）若将一个三位谋略数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，则满足条件的三位谋略数共有多少个？2526.如果一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”．例：16=52﹣32，16就是一个“智慧数”，小明和小王对自然数中的”智慧数”进行了如下探索：小明的方法是一个一个找出来的：0=02﹣02，1=12﹣02，3=22﹣12，4=22﹣02，5=32﹣22，7=42﹣32，8=32﹣12，9=52﹣42，11=62﹣52，…小王认为小明的方法太麻烦，他想到：设k是自然数，由于（k+1）2﹣k2= （k+1+k）（k+1﹣k）=2k+1．所以，自然数中所有奇数都是“智慧数”．问题：（1）根据上述方法，自然数中第10个“智慧数”是；（2）他们发现0，4，8是“智慧数”，由此猜测4k（k为正整数）都是“智慧数”，请你参考小王的办法证明4k（k为正整数）都是“智慧数”．2527.一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．（1）请判断：2561 （填“是”或“不是”）“和平数”．（2）直接写出：最小的“和平数”是，最大的“和平数”是；（3）如果一个“和平数”的个位上的数字是千位上的数字的两倍，且百位上的数字与十位上的数字之和是14的倍数，求满足条件的所有“和平数”．2528.阅读下列材料，回答问题．正整数m（m≥2）可分解成两个正整数的和，即m=s+t（s、t是正整数，且s≤t），在m的所有这些加和中，若s、t 两加数之差的绝对值最小，称s+r为m的最美加和，并规定F（m）=7s﹣6t，如7=1+6=2+5=3+4，因为6﹣1＞5﹣2＞4﹣3，所以3+4为7的最美加和，所以F（7）=7×3﹣6×4=﹣3．（1）F（8）= ，F（9）= ：（2）对任意的正整数n（n≥2），用含n的代数式分别表示出n为奇数，偶数时的F（n）：（3）若一个三位正整数q是7的倍数，且满足各位数字之和为7，称这个数q为“潜力数“，求所有“潜力数”中F（q）的最大值．2529．阅读理解：把两个相同的数连接在一起就得到一个新数，我们把它称为“连接数”，例如：234234，3939…等，都是连接数，其中，234234称为六位连接数，3939称为四位连接数．（1）请写出一个六位连接数，它（填“能”或“不能”）被13整除．（2）是否任意六位连接数，都能被13整除，请说明理由．（3）若一个四位连接数记为M，它的各位数字之和的3倍记为N，M﹣N的结果能被13整除，这样的四位连接数有几个？2530、一个三位正整数N，各个数位上的数字互不相同都不为0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数．所有这些两位数的和等于这个三位数本身．则称这样的三位数N为“友好数”．例如：132．选择百位数字1和十位数字3所组成的两位数为：13和31．选择百位数字1和个位数字2所组成的两位数为：12和21．选择十位数字3和个位数字2所组成的两位数为：32和23．因为13+31+12+21+32+23=132，所以132是“友好数”．一个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和．则称这样的三位数为“和平数“，（1）判断123是不是“友好数“？请说明理由．（2）一个三位数，如果百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为z，则把这个三位数记作，三位数可用多项式表示为100x+10y+z，比如三位数523可用多项式表示为：5×100+2×10+3．证明：当一个“和平数”是“友好数”时，则z=2x．2531．材料一：一个大于1的正整数，若被N除余1，被（N﹣1）除余1，被（N ﹣2）除余1…，被3除余1，被2除余1，那么称这个正整数为“明N礼”数（N取最大），例如：73（被5除余3）被4除余1，被3除余1，被2 除余1，那么73为“明四礼”数．材料二：设N，（N﹣1），（N﹣2），…3，2的最小公倍数为k，那么“明N 礼”数可以表示为kn+1，（n为正整数），例如：6，5，4，3，2的最小公倍数为60，那么“明六礼”数可以表示为60n+1．（n为正整数）（1）17 “明三礼”数（填“是”或“不是”）；721是“明礼”数；（2）求出最小的三位“明三礼”数；（3）一个“明三礼”数与“明四礼”数的和为32，求出这两个数．2532．对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=，求满足D（m）是完全平方数的所有m．2533．对于任意一个自然数N，将其各个数位上的数字相加得到一个数，我们把这一过程称为一次操作，把这个得到的数进行同样的操作，不断进行下去，最终会得到一个一位数K，我们把K称为N的“中子数”，并记f（x）=K，例如，163→1+6+3=10→1+0=1，∴f（163）=1（1）计算：f（2018888）= ；（2）易知：任意两个自然数M和N，如果各个数位上的数字之和相等，则f（M）=f（N），此时我们称M、N是“特别有缘数”，例如163和28即为“特别有缘数”，若已知一个三位数和一个两位数是“特别有缘数”，请证明它们的差一定能被9整除；（3）有一个三位自然数L=，已知f（L）=6，而且x、y、z都是偶数，我们规定i=y2+xz，请求出i取最大值时的自然数L．2534．我们知道，任意一个大于1的正整数n都可以进行这样的分解：n=x+y（x、y是正整数，且x≤y），在n的所有这种分解中，如果x、y两数的乘积最大，我们就称x+y是n的最佳分解，并规定在最佳分解时：F（n）=xy．例如6可以分解成1+5，2+4或3+3，因为1×5＜2×4＜3×3，所以3+3是6的最佳分解，所以F（6）=3×3=9．（1）计算：F（8）．（2）设两位正整数t=l0a+b（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），数t′十位上的数等于数t十位上的数与t个位上的数之和，数t′个位上的数等于数t十位上的数与t个位上的数之差，若t′﹣t=9，且F（t）能被2整除，求两位正整数t．2535、定义：如果M个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个数的和整除，则称这组数为M个数的祖冲之数组．如（3，6）为两个数的祖冲之数组，因为3×6能被（3+6整除）；又如（15，30，60）为三个数的祖冲之数组，因为（15×30）能被（15+30）整除，（15×60）能被（15+60）整除，（30×60）能被（30+60）整除…（1）我们发现，3和6，4和12，5和20，6和30…，都是两个数的祖冲之数组；由此猜测n和n（n﹣1）（n≥2，n为整数）组成的数组是两个数的祖冲之数组，请证明这一猜想．（2）若（4a，5a，6a）是三个数的祖冲之数组，求满足条件的所有三位正整数a．2535．在一个m （m ≥3，m 为整数）位的正整数中，若从左到右第n （n ≤m ，n为正整数）位上的数字与从右到左第n 位上的数字之和都等于同一个常数 k （k 为正整数），则称这样的数为“对称等和数”．例如在正整数3186 中，因为3+6=1+8=9，所以3186是“对称等和数”，其中k=9．再如在正 整数53697中，因为5+7=3+9=6+6=12，所以53697是“对称等和数”， 其中k=12．（1）已知在一个能被11整除的四位“对称等和数”中k=4．设这个四位“对称等和数”的千位上的数字为s （1≤s ≤9，s 为整数），百位上的数字 为t （0≤t ≤9，t 为整数），是整数，求这个四位“对称等和数”；（2）已知数A ，数B ，数C 都是三位“对称等和数”．A=（1≤a ≤9，a 为整数），设数B 十位上的数字为x （0≤x ≤9，x 为整数），数C 十位上 的数字为y （0≤y ≤9，y 为整数），若A+B+C=1800，求证：y=﹣x+15．2537．任意一个正整数m 都可以表示为：m=a 2×b(a 、b 均为正整数) ,在m 所有表示的结果中，当b a -最小时，规定Q(m)=ab 2，例如：108=12×108=22×27=32×12=62×3，因为1081-＞272-＞123-＞36-，所以Q(m)= 3=1.2538.一个正偶数去掉个位数字得到一个新数，如果原数的个位数字的2倍与新数之和与19的商是一个整数，则称正偶数为“魅力数”，把这个商叫做的魅力系数，记这个商为．如：722去掉个位数字是72，2的2倍与72的和是76，76÷19=4，4是整数，所以722是“魅力数”，722的魅力系数是4，记．（1）计算：；（2）若都是“魅力数”，其中,是整数，规定：．当时，求的值2539.一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同均不为0，那么称为“启航数”，将的两位数位上的数字对调得到一个新数′，把′放在后面组成第一个四位数，把放在′的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为，例如时，（1）计算若为“启航数”，是一个完全平方数，求的值；（2）为“启航数”，其中，且为整数.并规定：，若能被7整除，且，求的最大值.2540.对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“陌生数”，将一个“陌生数”的三个数位上的数字交换顺序，可以得到个不相同的新的“陌生数”，把这个“陌生数”，的和与111的商记为，例如，可以得到，，，，这个新三位数，这个三位数的和为123+132+213+231+312+321=1332，¸，所以（）.（1）计算：，；（2）若，都是“陌生数”，其中，（，，，都是正整数），规定：，当除以余时，求的最大值.。

专题25圆的有关计算(共53题)-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练(全国通用)【原卷版】

专题25圆的有关计算(共53题)-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练(全国通用)【原卷版】

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题25圆的有关计算（共53题）一．选择题（共29小题）1．（2022•武威）如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，半径OA＝90m，圆心角∠AOB＝80°，则这段弯路（）的长度为（）A．20πm B．30πm C．40πm D．50πm2．（2022•丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是（）A．m B．m C．m D．（+2）m3．（2022•孝感）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则的长为（）A．πB．πC．πD．2π4．（2022•台湾）有一直径为AB的圆，且圆上有C、D、E、F四点，其位置如图所示．若AC＝6，AD＝8，AE＝5，AF＝9，AB＝10，则下列弧长关系何者正确？（）A．+＝，+＝B．+＝，+≠C．+≠，+＝D．+≠，+≠5．（2022•河北）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，P A，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（）A．11πcm B．πcm C．7πcm D．πcm6．（2022•广西）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，的长是（）A．πB．πC．πD．π7．（2022•遵义）如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF交AB于点E（E不与A，B重合），交CD于点F．以点O为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点M，N．若AB＝1，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣8．（2022•湖北）一个扇形的弧长是10πcm，其圆心角是150°，此扇形的面积为（）A．30πcm2B．60πcm2C．120πcm2D．180πcm29．（2022•赤峰）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D 落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝4，则图中阴影部分的面积为（）A．2πB．2C．2π﹣4D．2π﹣210．（2022•贺州）如图，在等腰直角△OAB中，点E在OA上，以点O为圆心、OE为半径作圆弧交OB于点F，连接EF，已知阴影部分面积为π﹣2，则EF的长度为（）A．B．2C．2D．311．（2022•山西）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（）A．3π﹣3B．3π﹣C．2π﹣3D．6π﹣12．（2022•荆州）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（）A．﹣B．2﹣πC．D．﹣13．（2022•毕节市）如图，一件扇形艺术品完全打开后，AB，AC夹角为120°，AB的长为45cm，扇面BD 的长为30cm，则扇面的面积是（）A．375πcm2B．450πcm2C．600πcm2D．750πcm214．（2022•台州）一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长80m，宽60m的矩形，有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为（）A．（840+6π）m2B．（840+9π）m2C．840m2D．876m215．（2022•泰安）如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，以点E为圆心，DE为半径，且DE＝6的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为（）A．6π﹣9B．12π﹣9C．6π﹣D．12π﹣16．（2022•达州）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△ABC，分别以点A，B，C为圆心，以AB长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为2π，则此曲边三角形的面积为（）A．2π﹣2B．2π﹣C．2πD．π﹣17．（2022•连云港）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（）A．π﹣B．π﹣C．π﹣2D．π﹣18．（2022•凉山州）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为（）A．米2B．米2C．米2D．米219．（2021•宁夏）如图，已知⊙O的半径为1，AB是直径，分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧．两弧相交于C、D两点，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．20．（2022•大庆）已知圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是（）A．60πB．65πC．90πD．120π21．（2022•赤峰）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为12cm，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为（）A．10cm B．20cm C．5cm D．24cm22．（2022•无锡）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（）A．12πB．15πC．20πD．24π23．（2022•德阳）一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积是（）A．16πB．52πC．36πD．72π24．（2022•宁波）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为（）A．36πcm2B．24πcm2C．16πcm2D．12πcm225．（2022•遂宁）如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（）A．cm2B．cm2C．175πcm2D．350πcm226．（2022•贺州）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6cm；圆柱体底面半径是3cm，液体高是7cm．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm27．（2022•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．4，B．3，πC．2，D．3，2π28．（2022•雅安）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（）A．3B．C．D．329．（2022•成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为（）A．B．C．3D．2二．填空题（共20小题）30．（2022•包头）如图，已知⊙O的半径为2，AB是⊙O的弦．若AB＝2，则劣弧的长为．31．（2022•衡阳）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了cm．（结果保留π）32．（2022•新疆）如图，⊙O的半径为2，点A，B，C都在⊙O上，若∠B＝30°，则的长为．（结果用含有π的式子表示）33．（2022•温州）若扇形的圆心角为120°，半径为，则它的弧长为．34．（2022•哈尔滨）一个扇形的面积为7πcm2，半径为6cm，则此扇形的圆心角是度．35．（2022•广东）扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留π）为．36．（2022•玉林）数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，AB为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形DAB的面积是．37．（2022•河南）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为．38．（2022•广元）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，若AB＝2，则阴影部分的面积为．39．（2022•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E．则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）40．（2022•重庆）如图，菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，CB长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F．若AB＝2，∠BAD＝60°，则图中阴影部分的面积为．（结果不取近似值）41．（2022•绥化）已知圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则其侧面展开图的面积为．42．（2022•黑龙江）若一个圆锥的母线长为5cm，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径为cm．43．（2022•齐齐哈尔）圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥侧面展开图扇形的圆心角为°．44．（2022•云南）某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥．他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是．45．（2022•宿迁）用半径为6cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是cm．46．（2022•黑龙江）已知圆锥的高是12，底面圆的半径为5，则这个圆锥的侧面展开图的周长为．47．（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为度．48．（2022•宿迁）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是．49．（2022•梧州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大于OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交⊙O于点E，F．若OA＝1，则，AE，AB所围成的阴影部分面积为．三．解答题（共4小题）50．（2022•泰州）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．（1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．51．（2022•福建）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．（1）求证：AC＝AF；（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．52．（2022•湘潭）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，0），C（﹣2，2）．将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．（1）请写出A1、B1、C1三点的坐标：A1，B1，C1；（2）求点B旋转到点B1的弧长．53．（2022•金华）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：作法如图2．1．作直径AF．2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．3．连结AM，MN，NA．（1）求∠ABC的度数．（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．（3）从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n 的值．。

中考数学复习重点知识专项训练25---三角形

中考数学复习重点知识专项训练25---三角形

中考数学复习重点知识专项训练25---三角形一、选择题7．（2020·绍兴）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（）A．4B．5C．6D．73．（2020·江苏徐州）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（）A.2cmB. 3cmC. 6cmD.9cm7．（2020·宿迁）在△ABC中，AB＝1，BC．下列选项中，可以作AC的长度的是（）A．3 B．4 C．5 D．62．（2020·陕西）∠A＝23°，则∠A的余角是（）A．57°B．67°C．77°D．157°8．(2020自贡)如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是（）A．50°B．70°C．130°D．160°5．（2020·北京）正五边形的外角和为（）（A）180°（B）360°（C）540°（D）720°4. （2020·淮安）六边形的内角和是A.360°B.540°C.720°D.1080°（2020·济宁）4.一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是（）A. 9B. 8C.7D.66．（2020·扬州）如图，小明从点A出发沿直线前进10来到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C.再向左转45°后沿直线前进10米到达点....照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（）A.100米B.80米C.60米D.40米（第6题图）（2020·德州）6.如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°……照这样趟下去，他第一次回到出发点A其走的路程为A. 80米B. 96米C. 64米D. 48米5．（2020·无锡）正十边形的每一个外角的度数为（ ）A ．36°B ．30°C ．144°D ．150° 3．（2020·乐山）如图，E 是直线CA 上一点，∠FEA ＝40°，射线EB 平分∠CEF ，GE ⊥EF ．则∠GEB ＝（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40° 12．（2020·泰安）如图，点A ，B 的坐标分别为A （2，0），B （0，2），点C 为坐标平面内一点，BC ﹦1，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（ ） A ． 2 ＋1B ． 2 ＋12C ．2 2 ＋1D ．2 2 —124．（2020·怀化）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．96. (2020·湘潭)如图，ACD ∠是△ABC 的外角，若110ACD ︒∠=，50B ︒∠=，则A ∠=（ ）（第9题）A . 40︒B . 50︒C . 55︒D . 60︒4．（2020·广东）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 6．（2020·广东）已知△ABC 的周长为16，点D ，E ，F 分别为△ABC 三条边的中点，则△DEF 的周长为（ ） A ．8B ．22 C ．16 D ．43．（2020·黄冈）已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（ ） A ．7 B ．8 C ．98 D ．106．（2020·宜昌）能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是（ ）.A ．B ．C ．D ．9．（2020·宜昌）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（ ）. A ．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走 B ．每段直路要短 C ．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走 D ．每段直路要长7．（2020·宜宾）如图，M 、N 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点，若∠A ＝65°，∠ANM ＝45°，则∠B ＝（ ）A ．20°B ．45°C ．65°D ．70°11．（2020·恩施）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在AB 上且1BE =，F 为对角线AC 上一动点，则BFE △周长的最小值为（ ）．（第9题）A. 5B. 6C. 7D. 87．（2020·娄底）（2020·娄底）正多边形的一个外角为60，则这个多边形的边数为（ ） A ． 5 B ．6 C ． 7 D ．85.（2020·吉林）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则α∠的大小为（ ）A. 85︒B. 75︒C. 65︒D. 60︒二、填空题 14．（2020•丽水）如图，平移图形M ，与图形N 可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 °． 16．（2019·上海）如图，在正六边形ABCDEF 中，设=BA a ，=BC b ，那么向量=BF _______．14．（2020·重庆A 卷）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是__________．16．（2020·江苏徐州）如图，A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心，若∠ADB =18°，则这个正多边形的边数为 .（第16题）DC BOA图图4A BCDEA BFEDC15．（2020·衡阳）已知一个n 边形的每一个外角都为30° ，则n 等于 .16．（2020·衡阳）一副三角板如图摆放，且AB //CD .则∠1的度数为 .(第 16题图) 12．（2020·陕西）如图，在正五边形ABCDE 中，DM 是边CD 的延长线，连接BD ，则∠BDM 的度数是________．（2020·四川甘孜州）23．三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程x 2－8x ＋12＝0的解，则这个三角形的周长是_________． （2020·济宁）12.已知三角形的两边长分别为3和6,则这个三角形的第三边长可以是__________(写出一个即可)， 15．（2020·北京）如图所示的网格是正方形网格，A ，B ，C ，D 是网格交点，则△ABC 的面积与△ABD 的面积的大小关系为：ABC S ∆ ABD S ∆（填“＞”，“＝”或“＜”）15．（2020·福建）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC 等于_______度.（2020·江西）11.如图，AC 平分DCB ∠，CB CD =，DA 的延长线交BC 于点E ，若49EAC ∠=，则BAE ∠的度数为 ．14．（2020·南京）如图，在边长为2cm 的正六边形ABCDEF 中，点P 在BC 上，则△PEF 的面积为____cm 2.15．（2020·南京）如图，线段AB 、BC 的垂直平分线l 1、l 2相交于点O.若∠1＝39°，则∠AOC ＝____°.15. (2020·连云港)如图，正六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6。

中考数学解答重难专题专题三 第25题综合与实践

中考数学解答重难专题专题三 第25题综合与实践

5. 请你在图①中过点P作一条直线平分平行四边形ABCD的面积；在图②中过点M
作一条直线平分矩形ABCD的面积；在图③中作出两条直线(要求其中一条直线必
须过点 N)四等分正方形ABCD的面积．
解：作图如解图①，直线PO为所要求作的直线；
第5题图
作图如解图②，直线MO为所要求作的直线；作
图如解图③，直线NO，QO为所要求作的直线．
4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是
AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点， 则PM－PO的最大值为___2_13____．
(4)异侧线段差最大值问题
第4题图
问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．
解决思路：将异侧点转化为同侧即可解决．
，2∠DAB＝45°，则△OEF
(2)利用垂线段最短及轴对称性质
问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得 PMN转化在同一条直线上，想到作点P 关于OB的对称点P′，即求P′N＋MN的最小值，因此只要P′M⊥OA.利用垂线段最 短求解．
12. 在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝4，以BC为边在BC的下方作 等边△PBC，则AP的值为___6_____．
第12题图
第13题图
13. 如图，在△ABE中，BE＝，AE＝2，以AB为边向三角形外作正方形ABCD， 连接DE.则DE的最大值为___3___2__．
(2)费马点问题
2．求线段AP的最大值问题
当上图中AP取最大值时，利用旋转可得AP＝A′P，AB＝A′C＝a，且AC＝b，因 为等腰△APA′中，∠APA′＝α为定值，所以AA′取最大值时，AP也取得最大值， 而AA′≤AC＋A′C＝AB＋AC＝a＋b，所以A、C、A′三点共线时，AA′取得最大 值为a＋b，再在等腰△APA′中计算AP最大值即可．

最新2021重庆中考数学第25题几何专题训练2

最新2021重庆中考数学第25题几何专题训练2

GF EDCBA M 证明题1.如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AD ⊥BC ，垂足是D ，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ．在△ABC 外有一点F ，使FA ⊥AE ，FC ⊥BC ． 〔1〕求证：BE=CF ；〔2〕在AB 上取一点M ，使BM=2DE ，连接MC ，交AD 于点N ，连接ME ． 求证：①ME ⊥BC ；②DE=DN ．2.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 为AC 边的中点，过点A 作AD ⊥AB 交BE 的延长线于点D ，CG 平分∠ACB 交BD 于点G ，F 为AB 边上一点，连接CF ，且∠ACF ＝∠CBG 。

求证：〔1〕AF ＝CG ；〔2〕CF ＝2DE3.如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、CD 上的点，AE=CF ，连接EF ，BF ，EF 与对角线AC 交于O 点，且BE=BF ，∠BEF=2∠BAC 。

〔1〕求证：OE=OF ；〔2〕假设BC=23，求AB 的长。

4.，如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，CE=CD ，点F 为CE 的中点，点G 为CD 上的一点，连接DF 、EG 、AG ，∠1=∠2．〔1〕假设CF=2，AE=3，求BE 的长； 〔2〕求证：∠CEG=∠AGE ．5.如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E 角平分线上一点，过点E 作AE 的垂线，过点A 作AB 的线段，两垂线交于点D ，连接DB ，点F 是BD 的中点，DH ⊥AC ，垂足为H ，连接EF ，HF 。

〔1〕如图1，假设点H 是AC 的中点，AC=23，求AB ，BD 的长。

〔2〕如图1，求证：HF=EF 。

〔3〕如图2，连接CF ，CE ，猜测：△CEF 是否是等边三角形？假设是，请证明；假设不是，请说明理由。

6.如图1，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 在AC 边上，连结BE ． 〔1〕假设AF 是△ABE 的中线，且AF ＝5，AE ＝6，连结DF ，求DF 的长； 〔2〕假设AF 是△ABE 的高，延长AF 交BC 于点G ．①如图2，假设点E 是AC 边的中点，连结EG ，求证：AG ＋EG ＝BE ；②如图3，假设点E 是AC 边上的动点，连结DF ．当点E 在AC 边上(不含端点)运动时，∠DFG 的大小是否改变，如果不变，请求出∠DFG 的度数；如果要变，请说明理由．7.在△ABC 中，AB=AC ，∠A=60°，点D 是线段BC 的中点，∠EDF=120°，DE 与线段AB 相交于点E ，DF 与线段AC 〔或AC 的延长线〕相交于点F.〔1〕如图1，假设DF ⊥AC ，垂足为F ，AB=4，求BE 的长；〔2〕如图2，将〔1〕中的∠EDF 绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 扔与线段AC 相交于点F.求证：1CF 2BE AB +=； 〔3〕如图3，将〔2〕中的∠EDF 继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线交与点F ，作DN ⊥AC 于点N ，假设DN=FN ，求证：3()BE CF BE CF +=-.ABF DCE 25题图1 BAF DCEG25题图2 ABF DCEG25题图38.在四边形ABCD中，180ABC ADC∠+∠=︒，AB=BC.〔1〕如图1，假设90BAD∠=︒，AD=2，求CD的长度；〔2〕如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ=AP+CQ，求证：1902PBQ ADC∠=︒-∠；〔3〕如图3，假设点Q运动到DC的延长线上，点P也运动到DA的延长线上时，仍然满足PQ=AP+CQ，那么〔2〕中的结论是否成立？假设成立，请给出证明过程，假设不成立，请写出PBQ∠与ADC∠的数量关系，并给出证明过程.9.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．〔1〕如图1，当E是线段AC的中点，且AB=2时，求△ABC的面积；〔2〕如图2，当点E不是线段AC的中点时，求证：BE=EF；〔3〕如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点时，〔2〕中的结论是否成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，请说明理由．10.如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，假设点E在AB的延长线上，EF∥AD，EF=BE，点P是DE的中点，连接FP并延长交AD于点G．〔1〕过D作DH⊥AB,垂足为H，假设DH=BE=14AB,求DG的长；〔2〕连接CP，求证：CP⊥FP；〔3〕如图2，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，假设点E在CB的延长线上运动，点F在AB的延长线上运动，且BE=BF，连接DE,点P为DE的中点，连接FP、CP，那么第〔2〕问的结论成立吗？假设成立，求出PFCP的值；假设不成立，请说明理由．图1DABCADBCPQ图2ADBCPQ图3G11.如图1，ABC ∆中，BE AC ⊥于点E ，AD BC ⊥于点D ，连接DE . 〔1〕假设AB BC =，1DE =，3BE =，求ABC ∆的周长；〔2〕如图2，假设AB BC =，AD BD =，ADB ∠的角平分线DF 交BE 于点F ，求证：2BF DE =；〔3〕如图3，假设AB BC ≠，AD BD =，将ADC ∆沿着AC 翻折得到AGC ∆，连接DG 、EG ，请猜测线段AE 、BE 、DG 之间的数量关系，并证明你的结论。

重庆中考数学25题二次函数专项训练之三角形的存在性

重庆中考数学25题二次函数专项训练之三角形的存在性

第一讲 三角形的存在性问题例1、如图，抛物线822++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，过点A 的直线2+=x y 与抛物线交于点C ，与y 轴交于点D ．（1）求△ABC 的面积；（2）若点P 为直线AC 上方抛物线上的动点，求点P 到直线AC 距离的最大值；（3）将抛物线沿射线AC 的方向平移23个单位长度，平移后的顶点记作M ，原抛物线的顶点关于新抛物线的对称轴的对称点记作N ，E 为直线AC 上的动点，是否存在点E ，使得以M 、N 、E 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．与y 轴交于点C ，对称轴交抛物线于点Q ，交x 轴于点M ．其中点A （﹣2，0），点B （4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，连接BC ，在第一象限的抛物线上有一点P ，且点P 位于对称轴右侧，过P 作PD△BC 于点D ，PE△MQ 于点E ，求5PD+PE 的最大值及此时点P 的坐标．（3）将抛物线向右平移2个单位长度后得到新抛物线1y ，新抛物线1y 与原抛物线相交于点N ，在新抛物线1y 的对称轴上有一点H ，点F 为1y 与x 轴正半轴的交点，若△NFH 是以NH 为腰的等腰三角形，请直接写出点H 的坐标，并写出求解其中一个H 点的过程．与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD 的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．练习2、已知抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A （2-，0）、B （6，0）两点，与y 轴交于点C （0，3-）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 在直线BC 下方的抛物线上，连接AP 交BC 于点M ，当AMPM 最大时，求点P 的坐标及AM PM 的最大值； （3）在（2）的条件下，过点P 作x 轴的垂线l ，在l 上是否存在点D ，使△BCD 是直角三角形，若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．自我巩固1、如图，抛物线343832++-=x x y 与x 轴相交于点A ，点B （A 在B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接AC ，BC ．（1）求△ABC 的面积；（2）如图，点P 是第一象限内抛物线上的动点，过点P 作PE△y 轴，交直线BC 于点E ，当PE+54CE 有最大值时，求PE+54CE 的最大值与点P 的坐标； （3）将抛物线343832++-=x x y 向右平移2个单位得到新抛物线y ′，点F 为原抛物线y 与新抛物线y ′的交点，点M 是原抛物线y 对称轴上一点，当△AFM 是以FM 为腰的等腰三角形时，直接写出点M 的坐标．。

中考数学狙击重难点系列专题25----与平面展开有关的最短路径问题(含答案)

中考数学狙击重难点系列专题25----与平面展开有关的最短路径问题(含答案)

与平面展开有关的最短路径问题1. 如图是一块长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A. cmB. cmC. cmD. ９cm2. 如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）A. （4+）cm B. 5cm C. 2cm D. 7cmπ3. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是（）A. 15 dmB. 20dmC. 25dmD. 30dm4. 已知AB是圆锥（如图1）底面的直径，P是圆锥的顶点，此圆锥的侧面展开图如图2所示．一只蚂蚁从A点出发，沿着圆锥侧面经过PB上一点，最后回到A点．若此蚂蚁所走的路线最短，那么M，N，S，T（M，N，S，T均在PB上）四个点中，它最有可能经过的点是（）A. MB. NC. SD. T5. 2015年是国际“光”年，某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图）．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为8cm，底面边长为2cm，则这圈金属丝的长度至少为（）A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 15cm6. 如图，圆柱形容器的底面周长是24cm，高为17cm，在外侧底面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（）A. 20cmB. 8 cmC. cmD. 24cm7. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=18cm，BC=12cm，BF=10cm，点M在棱AB上，且AM=6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（）A. 20cmB. 2 cmC. （12+2 ）cmD. 18cm8. 如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，高为3cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请利用侧面展开图计算所用细线最短需要多少________cm．9. 在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 ________cm．（结果保留π）10. 如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是________．11. 如图，是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为5m的半圆，其边缘AB=CD=20cm，小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离为________m．（π取3）12. 如图，某风景区的沿湖公路AB=3千米，BC=4千米，CD=12千米，AD=13千米，其中AB^BC，图中阴影是草地，其余是水面。

九年级数学中考典型及竞赛训练专题25 平面几何的最值问题2(附答案解析)

九年级数学中考典型及竞赛训练专题25 平面几何的最值问题2(附答案解析)
2．如图，已知△ABC的内切圆半径为r，∠A=60°，BC=2 ，则r的取值范围是．（江苏省竞赛试题）
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3．如图⊙O的半径为2，⊙O内的一点P到圆心的距离为1，过点P的弦与劣弧 组成一个弓形，则此弓形面积的最小值为．
4．如图，△ABC的面积为1，点D，G，E和F分别在边AB，AC，BC上，BD＜DA，DG∥BC，DE∥AC，GF∥AB，则梯形DEFG面积的最大可能值为．（上海市竞赛试题）
所以，应选择路线2．
(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1分米，高AB为5分米”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算：
路线1：l12=AC2=25+π2；
路线2：l22=（AB+BC）2=49．∵l12l22，∴l1＜l2（填“＞”或“＜”），所以应选择路线1
8.（1）连结ME，过N作NF⊥AB于F，可证明Rt△EB A≌Rt△MNF，得MF＝AE＝x.∵ME2＝AE2＋AM2，故MB2＝x2＋AM2，即（2－AM）2＝x2＋AM2，AM＝1－ x2，∴S＝ ×AD＝ ×2＝AM＋AM＋MF＝2AM＋AE＝2（1－ x2）＋x＝－ x2＋x＋2.
（2）S＝－ （x2－2x＋1）＋ ＝－ （x－1）2＋ .故当AE＝x＝1时，四边形ADNM的面积最大，此时最大值为 .
(1)当MN为何值时，点P恰好落在BC上？
(2)设MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式，当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（宁夏省中考试题）
B级
1．已知凸四边形ABCD中，AB+AC+CD= 16，且S四边彤ABCD=32，那么当AC=，BD=时，四边形ABCD面积最大，最大值是．（“华杯赛”试题）

中考数学复习专题25：尺规作图（含中考真题解析）

中考数学复习专题25：尺规作图（含中考真题解析）

专题25 尺规作图☞解读考点知识点名师点晴尺规作图尺规作图概念了解什么是尺规作图五种基本作图1．画一条线段等于已知线段会用尺规作图法完成五种基本作图，了解五种基本作图的理由，会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程．2．画一个角等于已知角3．画线段的垂直平分线4．过已知点画已知直线的垂线5．画角平分线会利用基本作图画较简单的图形．1．画三角形会利用基本作图画三角形较简单的图形．2．画圆会利用基本作图画圆．☞2年中考【2015年题组】1．如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．【答案】D．第1 页共32 页考点：作图—复杂作图．考点：作图—复杂作图．2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于12AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（下列结论错误的是（ ）A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC 【答案】D．【解析】【解析】试题分析：∵MN为AB的垂直平分线，∴AD=BD，∠BDE=90°；∵∠ACB=90°，∴CD=BD；∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，∴∠A=∠BED；∵∠A≠60°，AC≠AD，∴EC≠ED，∴∠ECD≠∠EDC．故选D．考点：1．作图—基本作图；2．线段垂直平分线的性质；3．直角三角形斜边上的中线．．直角三角形斜边上的中线． 3．如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（的度数，结果为（ ）A．80°B．90°C．100°D．105°【答案】B．【解析】【解析】试题分析：如图，试题分析：如图，AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，因为直径对的圆周角是90°，所以∠AMB=90°，所以测量∠AMB的度数，结果为90°．故选B．考点：1．等腰三角形的性质；2．作图—基本作图．基本作图．4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．的长是（ ）若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D．基本作图．考点：1．平行线分线段成比例；2．菱形的判定与性质；3．作图—基本作图．5．数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（ ）规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（A．B．C．D．【答案】A．考点：作图—基本作图．考点：作图—基本作图．6．数学课上，老师让学生尺规作图画Rt △ABC ，使其斜边AB=c ，一条直角边BC=a ．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是（是直角的依据是（ ）A ．勾股定理．勾股定理B ．直径所对的圆心角是直角．直径所对的圆心角是直角C ．勾股定理的逆定理．勾股定理的逆定理D ．90°的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径 【答案】B ． 【解析】【解析】试题分析：由作图痕迹可以看出O 为AB 的中点，以O 为圆心，AB 为半径作圆，然后以B 为圆心BC=a 为半径花弧与圆O 交于一点C ，故∠ACB 是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是：直径所对的圆心角是直角．故选B ． 考点：1．作图—复杂作图；2．勾股定理的逆定理；3．圆周 角定理．角定理．7．如图，将线段AB 放在边长为1的小正方形网格，点A 点B 均落在格点上，请用无刻度直尺在线段AB 上画出点P ，使AP=3172，并保留作图痕迹．（备注：本题只是找点不是证明，∴只需连接一对角线就行）证明，∴只需连接一对角线就行）【答案】作图见试题解析．【答案】作图见试题解析．考点：作图—应用与设计作图．考点：作图—应用与设计作图．8．）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小芸的作法如下：小芸的作法如下：老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是 ．请回答：小芸的作图依据是【答案】到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．．作图题．考点：1．作图—基本作图；2．作图题．9．已知⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在AB上．上．（1）在图1中，用尺规作图作∠BAC的平分线AD交⊙O于D（保留作图痕迹，不写作法与证明）；（2）如图2，设∠BAC 的平分线AD 交BC 于E ，⊙O 半径为5，AC=4，连接OD 交BC 于F ．①求证：OD ⊥BC ； ②求EF 的长．的长．【答案】（1）作图见试题解析；（2）①证明见试题解析；②3217．【解析】【解析】 试题分析：（1）按照作角平分线的方法作出即可；）按照作角平分线的方法作出即可；（2）①由AD 是∠BAC 的平分线，得到CD BD =，再由垂径定理推论可得到结论；，再由垂径定理推论可得到结论；②由勾股定理求得CF 的长，然后根据平行线分线段成比例定理求得34EFFD CEAC==，即可求得37EF CF =，继而求得EF 的长．的长．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．圆周．压轴题．角定理；5．作图—复杂作图；6．压轴题．10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）【答案】答案见试题解析．【答案】答案见试题解析．【解析】【解析】试题分析：①以A为圆心，以3为半径作弧，交AD、AB两点，连接即可；②连接AC，在AC上，以A为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交AD、AB两点，连接即可；③以A为端点在AB上截取试题解析：满足条件的所有图形如图所示：试题解析：满足条件的所有图形如图所示：考点：1．作图—应用与设计作图；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理；4．正方形的性质；5．综合题；6．压轴题．．压轴题．11．图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD ，已知OA=5，若扇形OAD （∠AOD ＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于 ．【答案】（1）作图见试题解析；（2）158．【解析】【解析】 试题分析：（1）作AE 的垂直平分线交⊙O 于C ，G ，作∠AOG ，∠EOG 的角平分线，分别交⊙O 于H ，F ，反向延长，反向延长 FO ，HO ，分别交⊙O 于D ，B 顺次连接A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，八边形ABCDEFGH 即为所求；即为所求； （2）由八边形ABCDEFGH 是正八边形，求得∠AOD 的度数，得到AD 的长，设这个圆锥底面圆的半径为R ，根据圆的周长的公式即可求得结论．，根据圆的周长的公式即可求得结论． 试题解析：（1）如图所示，八边形ABCDEFGH 即为所求；即为所求；（2）∵八边形ABCDEFGH 是正八边形，∴∠AOD=3608×3=135°，∵OA=5，∴AD 的长=1355180p ´=154p ，设这个圆锥底面圆的半径为R ，∴2πR=154p，∴R=158，即这个圆锥底面圆的半径为158．故答案为：158．考点：1．正多边形和圆；2．圆锥的计算；3．作图—复杂作图．复杂作图．12．手工课上，老师要求同学们将边长为4cm 的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形，聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线，并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积（注：不同的分法，面积可以相等）等腰直角三角形面积（注：不同的分法，面积可以相等）【答案】答案见试题解析．【答案】答案见试题解析．（2）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC、BD的交点，连接OE、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可；分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可；（3）正方形ABCD中，F、H分别是BC、DA的中点，O是AC、BD的交点，连接HF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可；得到的最小等腰直角三角形面积即可；（4）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC的中点，I是AO的中点，连接OE、OB、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．试题解析：根据分析，可得：试题解析：根据分析，可得：．．操作型．考点：1．作图—应用与设计作图；2．操作型．13．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB）．（要求保留作图痕迹，不写作法）（1）用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心O；（要求保留作图痕迹，不写作法）所在圆的半径．（2）若AB的中点C到弦AB的距离为20m，AB=80m，求AB所在圆的半径．【答案】（1）作图见试题解析；（2）50m．试题解析：（1）如图1，点O为所求；为所求；（2）连接OA，OC，OC交AB于D，如图2，∵C为AB的中点，∴OC⊥AB，∴AD=BD=12AB=40，设⊙O的半径为r，则OA=r，OD=OD﹣CD=r﹣20，在Rt△OAD中，∵222OA OD BD=+，∴222(20)40r r=-+，解得r=50，即AB所在圆的半径是50m．考点：1．作图—复杂作图；2．勾股定理；3．垂径定理的应用；4．作图题．．作图题．14．如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于12GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．（1）求证：AB=AE；（2）若∠A=100°，求∠EBC的度数．的度数．【答案】（1）证明见试题解析；（2）40°．°．考点：1．作图—基本作图；2．等腰三角形的判定与性质．．等腰三角形的判定与性质．15．如图，射线P A切⊙O于点A，连接PO．（1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OP A（用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法），并证明PC是⊙O的切线；的切线；（2）在（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求AB的长．的长．【答案】（1）作图见试题解析，证明见试题解析；（2）839p．【解析】【解析】试题分析：（1）按照作一个角等于已知角的作图方法作图即可，连接OA，作OB⊥PC，由角平分线的性质证明OA=OB即可证明PC是⊙O的切线；的切线；（2）先证明△P AB是等边三角形，则∠APB=60°，进而∠POA=60°，在Rt△AOP中求出OA，用弧长公式计算即可．，用弧长公式计算即可．试题解析：（1）作图如右图，作图如右图，连接连接OA，过O作OB⊥PC，∵P A切⊙O于点A，∴OA⊥P A，又∵∠OPC=∠OP A ，OB ⊥PC ，∴OA=OB ，即d=r ，∴PC 是⊙O 的切线；的切线；（2）∵P A 、PC 是⊙O 的切线，∴PA=PB ，又∵AB=AP=4，∴△P AB 是等边三角形，∴∠APB=60°，∴∠AOB=120°，∠POA=60°，在Rt △AOP 中，tan60°tan60°==4OA ，∴OA=433，∴431203180AB l p ´´==839p ．考点：1．切线的判定与性质；2．弧长的计算；3．作图—基本作图．基本作图．16．如图，AC 是⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，∠ACB=30°．（1）利用尺规作∠ABC 的平分线BD ，交AC 于点E ，交⊙O 于点D ，连接CD （保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，求△ABE 与△CDE 的面积之比．的面积之比．【答案】（1）作图见试题解析；（2）12．试题解析：（1）如图所示；）如图所示；考点：1．作图—复杂作图；2．圆周角定理．．圆周角定理．17．）图①，图②，图③都是4×4×44的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图②中已画出线段AB，在图③中已画出点A．按下列要求画图：图：为一边画一个等腰三角形；（1）在图①中，以格点为顶点，AB为一边画一个等腰三角形；为一边画一个正方形；（2）在图②中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形；（3）在图③中，以点A为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．）作图见试题解析．【答案】（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析；（3）作图见试题解析．【解析】【解析】的等腰三角形即可； 试题分析：（1）根据勾股定理，结合网格结构，作出两边分别为5的等腰三角形即可；的正方形；（2）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出边长为5的正方形；（3）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出最长的线段作为正方形的边长即可．个：试题解析：（1）如图①，符合条件的C点有5个：；的面积最大．（3）如图③，边长为10的正方形ABCD的面积最大．．考点：作图—应用与设计作图．考点：作图—应用与设计作图．18．）图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均，每个小正方形的顶点叫做格点．为1，每个小正方形的顶点叫做格点．（1）在图1中画出等腰直角三角形MON，使点N在格点上，且∠MON=90°；（2）在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD，使正方形ABCD面积等于（1）中等腰直角三角形MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD面积没有剩余（画出一种即可）．【答案】（1）答案见试题解析；（2）答案见试题解析．）答案见试题解析．所示；试题解析：（1）如图1所示；（2）如图2、3所示；所示；考点：作图—应用与设计作图．考点：作图—应用与设计作图． 19．）如图，已知Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝45°． （1）（4分）用尺规作图，在CA 的延长线上截取AD ＝AB ，并连接BD （不写作法，保留作图痕迹）； （2）（4分）求∠BDC 的度数；的度数； （3）（4分）定义：在直角三角形中，一个锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即的对边的邻边A A A ÐÐ=cot ，根据定义，利用图形求cot22.5°的值．的值．【答案】（1）答案见试题解析；（2）22.5°；（3）21+．试题解析：（1）如图，）如图，（2）∵AD=AB ，∴∠ADB=∠ABD ，而∠BAC=∠ADB+∠ABD ，∴∠ADB=12∠BAC=12×45°45°=22.5°=22.5°，即∠BDC 的度数为22.5°；（3）设AC=x ，∵∠C=90°，∠BAC=45°，∴△ACB 为等腰直角三角形，∴BC=AC=x ，AB=2AC=2x ，∴AD=AB=2x ，∴CD=2x x +=(21)x +，在Rt △BCD 中，cot∠BDC=DC BC =(21)xx+=21+，即cot22.5°cot22.5°==21+． 考点：1．作图—复杂作图；2．解直角三角形；3．新定义；4．综合题．．综合题．20．）如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°．（1）尺规作图：作⊙C ，使它与AB 相切于点D ，与AC 相交于点E ，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母；作法，请标明字母；（2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，求DE 的长．的长．【答案】（1）作图见试题解析；（2）32p ．试题解析：（1）如图，）如图，⊙C 为所求；为所求；（2）∵⊙C 切AB 于D ，∴CD ⊥AB ，∴∠ADC=90°，∴∠DCE=90°﹣∠A=90°﹣30°30°=60°=60°，∴∠BCD=90°﹣∠ACD=30°，在Rt △BCD 中，∵cos ∠BCD=CD BC ，∴CD=3cos30°CD=3cos30°==332，∴DE 的长=33602180p ×=32p． 考点：1．作图—复杂作图；2．切线的性质；3．弧长的计算；4．作图题．．作图题．21．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠DAC 是△ABC 的一个外角．的一个外角． 实验与操作：实验与操作：根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法） （1）作∠DAC 的平分线AM ；（2）作线段AC 的垂直平分线，与AM 交于点F ，与BC 边交于点E ，连接AE ，CF ． 猜想并判断四边形AECF 的形状并加以证明．的形状并加以证明．【答案】（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析，四边形AECF 的形状为菱形．的形状为菱形． 【解析】【解析】考点：1．作图—复杂作图；2．角平分线的性质；3．线段垂直平分线的性质；4．作图题；5．探究型；6．菱形的判定．．菱形的判定．22．在边长为1的小正方形组成的方格纸中，的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点若多边形的各顶点都在方格纸的格点若多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a ，边界上的格点数为b ，则格点多边形的面积可表示为1-+=nb ma S ，其中m ，n 为常数．为常数． （1）在下面的方格中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形（非菱形）、菱形；、菱形；（2）利用（1）中的格点多边形确定m ，n 的值．的值．【答案】（1）答案见试题解析；（2）112m n =ìïí=ïî．（2）∵格点多边形内的格点数为a ，边界上的格点数为b ，则格点多边形的面积可表示为：1-+=nb ma S ，其中m ， n 为常数，为常数，∴三角形：3816S m n =+-=，平行四边形：3816S m n =+-=，菱形：5416S m n =+-=，则38165416m n m n +-=ìí+-=î，解得：112m n =ìïí=ïî． 考点：作图—应用与设计作图．考点：作图—应用与设计作图．23．“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a ，b ，c ，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度．的整数个单位长度． （1）用记号（a ，b ，c ）（a≤b≤c ）表示一个满足条件的三角形，如（2，3，3）表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．（2）用直尺和圆规作出三边满足a ＜b ＜c 的三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）．【答案】（1）共9种：（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，3，4），（2，4，4），（3，3，3），（3，3，4），（3，4，4），（4，4，4）；（2）答案见试题解析．）答案见试题解析． 【解析】【解析】 试题分析：（1）应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形；）应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形；（2）首先判断满足条件的三角形只有一个：a=2，b=3，c=4，再作图：①作射线AB ，且取AB=4；②以点A 为圆心，3为半径画弧；以点B 为圆心，2为半径画弧，两弧交于点C ； ③连接AC 、BC ．则△ABC 即为满足条件的三角形．即为满足条件的三角形．考点：1．作图—应用与设计作图；2．三角形三边关系．．三角形三边关系．24．各顶点都在方格纸格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形．．各顶点都在方格纸格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形．如何计算如何计算它的面积？奥地利数学家皮克（G•Pick ，1859～1942年）证明了格点多边形的面积公式121-+=b a S ，其中a 表示多边形内部的格点数，b 表示多边形边界上的格点数，S 表示多边形的面积．如图，4=a ，6=b ，616214=-´+=S ．（1）请在图中画一个格点正方形，使它的内部只含有4个格点，并写出它的面积．个格点，并写出它的面积．（2）请在图乙中画一个格点三角形，使它的面积为27，且每条边上除顶点外无其它格点．（注：图甲、图乙在答题纸上）（注：图甲、图乙在答题纸上）【答案】． 【解析】【解析】 试题分析：（1）根据皮克公式画图计算即可；）根据皮克公式画图计算即可；（2）根据题意可知a=3，b=3，画出满足题意的图形即可．，画出满足题意的图形即可． 试题解析：（1）方法不唯一，如图①或图②所示：）方法不唯一，如图①或图②所示：（2）方法不唯一，如图③或图④所示：）方法不唯一，如图③或图④所示：考点：作图—应用与设计作图．考点：作图—应用与设计作图． 25．【问题提出】【问题提出】用n 根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 【问题探究】【问题探究】不妨假设能搭成m 种不同的等腰三角形，为探究m 与n 之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论． 【探究一】【探究一】（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 此时，显然能搭成一种等腰三角形．此时，显然能搭成一种等腰三角形．所以，当n=3时，m=1．（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．根木棒这一种情况，不能搭成三角形． 所以，当n=4时，m=0．（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形．根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．根木棒，则能搭成一种等腰三角形． 所以，当n=5时，m=1．（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形．根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=6时，m=1． 综上所述，可得：表①综上所述，可得：表①n 3 4 5 6 m 1 0 1 1 【探究二】【探究二】（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？ （仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中）（仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中）（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ （只需把结果填在表②中）（只需把结果填在表②中） 表②表②n 7 8 9 10 m 你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，…【问题解决】：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（设n是正整数，把结果填在表③中）分别等于4k﹣1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中）表③表③n 4k﹣1 4k 4k+1 4k+2 m 【问题应用】：（写能搭成多少种不同的等腰三角形？（写用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余）（只填结果）出解答过程），其中面积最大的等腰三角形每腰用了，其中面积最大的等腰三角形每腰用了 根木棒．（只填结果）【答案】【探究二】：2；1；2；2；【问题解决】：k；k﹣1；k；k；【问题应用】：672．根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？试题解析：（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，能搭成二种等腰三角形，即分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形三角形根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？用10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？根木棒，则能搭成一种等腰三角形分成3根木棒、3根木棒和4根木棒，则能搭成一种等腰三角形根木棒，则能搭成一种等腰三角形分成4根木棒、4根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形所以，当n=10时，m=2．故答案为：2；1；2；2．问题解决：由规律可知，答案为：k；k﹣1；k；k．问题应用：2016÷2016÷4=5044=504，504﹣1=503，当三角形是等边三角形时，面积最大，2016÷2016÷3=6723=672，∴用2016根相同的木棒搭一个三角形，能搭成503种不同的等腰三角形，其中面积最大的等腰三角形每腰用672根木棒．根木棒．考点：1．作图—应用与设计作图；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的判定与性质；4．探究型；5．综合题；6．压轴题．．压轴题．【2014年题组】年题组】1．）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A ′O ′B ′＝∠AOB 的依据是（ ）A ．SASB ．SSSC ．ASAD ．AAS 【答案】B ．考点：作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．考点：作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．2．模）如图，AD 为⊙O 的直径，作⊙O 的内接正三角形ABC ，甲、乙两人的作法分别如下：下：甲：①作OD 的垂直平分线，交⊙O 于B ，C 两点．两点． ②连接AB ，AC ．△ABC 即为所求作的三角形．即为所求作的三角形．乙：①以D为圆心，OD的长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．两点．即为所求作的三角形．②连接AB，BC，CA．△ABC即为所求作的三角形．对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）对于甲、乙两人的作法，可判断（A．甲、乙均正确．甲、乙均错误．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误C．甲正确，乙错误．甲错误，乙正确．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确【答案】A．【解析】【解析】试题分析：根据甲的思路，作出图形如下：试题分析：根据甲的思路，作出图形如下：连接OB，BD,∵OD=BD，OD=OB,∴OD=BD=OB,∴△BOD为等边三角形,∴∠OBD=∠BOD=60°,又BC垂直平分OD，∴OM=DM,∴BM为∠OBD的平分线,∴∠OBM=∠DBM=30°,又OA=OB，且∠BOD为△AOB的外角,∴∠BAO=∠ABO=30°,∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°,同理∠ACB=60°,∴∠BAC=60°,∴∠ABC=∠ACB=∠BAC,∴△ABC 为等边三角形,故乙作法正确,故选A 考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．度角的直角三角形．3．）如图，BC与CD重合，∠ABC＝∠CDE＝90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑），并直接写出旋转角度是，并直接写出旋转角度是 ．【答案】90°．°．【解析】【解析】试题分析：如图所示：旋转角度是90°．°．考点：作图-旋转变换．旋转变换．4．）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为的度数为 【答案】105°．°．考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．5．）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A、C为圆心，大于12AC长为半径画弧，。

中考数学复习专题25等腰三角形、等边三角形试题(A卷,含解析)(2021年整理)

中考数学复习专题25等腰三角形、等边三角形试题(A卷,含解析)(2021年整理)

2018届中考数学复习专题25 等腰三角形、等边三角形试题（A卷，含解析）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018届中考数学复习专题25 等腰三角形、等边三角形试题（A卷，含解析））的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018届中考数学复习专题25 等腰三角形、等边三角形试题（A卷，含解析）的全部内容。

等腰三角形、等边三角形一、选择题1.(山东临沂，12，3分)如图,将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD.则下列结论：①AC=AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形。

其中正确的个数是（）(A)0 （B）1 （C）2 (D)3【答案】D【逐步提示】本题考查等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，先由等边三角形的性质得出∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD，从而得出△ACD是等边三角形，得出①正确；再判断四边形ABCD是菱形，得出②正确；然后根据①结论得出四边形ACED是菱形,得出③正确．【详细解答】解：∵△ABC、△EDC是等边三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD，∴∠ACD=180°－∠ACB－∠DCE=60°,∴△ACD是等边三角形,∴AD=AC，故①正确；由①可得AD=BC=AB=CD，∴四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC，故②正确;由①可得AD=AC=CE=DE,故四边形ACED是菱形，即③正确．综上可得①②③正确，共3个．故选D．【解后反思】解答本题需掌握以下知识：（1）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°；（2)等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形;有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;(3）菱形的判定:①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③四条边都相等的四边形是菱形；（4)菱形的性质：①菱形是四条边都相等；②菱形的对角线互相垂直且平分；③菱形的每一条对角线平分一组对角．【关键词】 等边三角形的判定;等边三角形的性质；菱形的判定；菱形的性质2。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

中考题型训练
1．在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，点D是边AB上任意一点，连结CD．
（1）如图1，若∠BCD＝30°，且BD=2，求线段CD的长．
（2）如图2，若∠BCD＝15°，以线段CD为边在CD的右上方作正△CDE，连结BE，点F在线段CD上，且CF=BD，连结BF．求证：BE=BF．
（3）如图3，若以点C为直角顶点，线段CD为腰在CD的右上方作等腰Rt△CDE，点O是线段DE的中点，连结BO，猜想线段OB与CD有怎样的数量关系，请直接写出结论（不需证明）．
2．如图1，等边△ABC中，CE平分∠ACB，D为BC边上一点，且DE=CD，连接BE．
6，求线段BE的长；
（1）若CE=4，BC=3
（2）如图2，取BE中点P，连接AP，PD，AD，求证：AP⊥PD且AP=3PD；
（3）如图3，把图2中的△CDE绕点C顺时针旋转任意角度，然后连接BE，点P为BE中点，连接AP，PD，AD，问第（2）问中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
3．在ABC ∆中，以AB 为斜边，作直角ABD ∆，使点D 落在ABC ∆内，090=∠ADB ．
（1）如图1，若AC AB =，030=∠BAD ，36=AD ，点M P 、分别为BC 、AB 边的中点，连接PM ，求线段PM 的长；
（2）如图2，若AC AB =，把ABD ∆绕点A 逆时针旋转一定角度，得到ACE ∆，连接ED 并延长交BC 于点P ，求证：CP BP =；
（3）如图3，若BD AD =，过点D 的直线交AC 于点E ，交BC 于点F ，AC EF ⊥，且EC AE =，请直接写出线段AD FC BF 、、之间的关系（不需要证明）．
4．如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，∠ACB=90°，直线l经过点C，AF⊥l于点F，BE⊥l于点E，点D是AB的中点，连接ED．
（1）求证：△ACF≌△CBE；
（2）求证：AF=BE+DE；
（3）如图2，将直线l旋转到△ABC的外部，其他条件不变，（2）中的结论是否仍然成立，如果成立请说明理由，如果不成立AF、BE、DE又满足怎样的关系？并说明理由．
5．已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，分别以AB、AC为边，向Rt△ABC外作等边△ABD和等边△ACE
（1）如图1，连接BE、CD，若BC=2，求BE的长；
（2）如图2，连接DE交AB于点F，作BH⊥AD于H，连接FH．求证：BH=2FH；
（3）如图3，取AB、CD得中点M、N，连接M、N，试探求MN和AE的数量关系，并直接写出结论；
6、在△ABC 中，AB=AC ，D 为射线BC 上一点，DB=DA ，E 为射线AD 上一点，且AE=CD,
连接BE 。

（1）如图1，若∠ADB=120°，求DE 的长。

（2）如图2，若BE=2CD ，连接CE 并延长，交AB 于点F ，求证：CE=2EF.（3）如图3，若BE ⊥AD ，垂足为点E,求证：22211
44AE BE AD +=
7. 某商场某品牌电视机销售情况良好，据统计，去年上半年（1月至6月）的月销售量y（台）与月份x之间呈一次函数关系，其中2月的销量为560台，3月的销量为570台，
（1）求月销售量y（台）与月份x之间的函数关系式；
（2）据悉，6月份每台售价为3200元，受国际经济形势的影响，从7月份开始全国经济出现通货膨胀，商品价格普遍上涨．去年7月份该品牌电视机的售价比6月份上涨了m%，但7月的销售量比6月份下降了2m%．商场为了促进销量，8月份决定对该品牌电视机实行九折优惠促销．受此政策的刺激，该品牌电视机销售量比7月份增加了220台，且总销售额比6月份增加了15.5%，求m的值．
8重庆一中后勤部门每年都要更新一定数量的书桌和椅子.已知2012年采购的书桌价格为120元/张，椅子价格为40元/张，总支出费用34000元；2013年采购的书桌价格上涨为130元/张，椅子价格保持不变，且采购的书桌和椅子的数量与2012年分别相同，总支出费用比2012年多2000元.
（1）求2012年采购的书桌和椅子分别是多少张？
（2）与2012年相比，2014年书桌的价格上涨了%a （其中500<<a ），椅子的
价格上涨了%10，但采购的书桌的数量减少了%21a ，椅子的数量减少了50张，且2014年学校桌子和椅子的总支出费用为34720元，求a 的值. X|
9、每年的3月15日是 “国际消费者权益日”，许多商家都会利用这个契机进行打折促销活动．甲卖家的A 商品成本为500元，在标价800元的基础上打9折销售．
（1）现在甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于10%？
（2）据媒体爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为．乙卖家也销售A 商品，成本、标价与甲卖家一致，以前每周可售出50件，为扩大销量，尽快减少库存，他决定打折促销.但他先将标价提高m 3％，再大幅降价m 26元，使得A 商品在3月15日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了
m 5
12％，这样一天的利润达到了20000元，求m .
10、.若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得
n b a =，即bn a =。

例如若整数a 能被整数3整除，则一定存在整数n ，使得n a =3
，即n a 3=。

（1）若一个多位自然数的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被13整除，那么原多位自然数一定能被13整除。

例如：将数字306371分解为306和371，因为371-306=65，65是13的倍数，,所以306371能被13整除。

请你证明任意一个四位数都满足上述规律。

（2）如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”，例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”，再如：656,9898,37373，171717，……，都是“摆动数”，请你证明任意一个6位摆动数都能被13整除。

11．若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数，如22，797，12321都是对称数．最小的对称数是11，没有最大的对称数，因为数位是无穷的．
（1）有一种产生对称数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，便可得到一个对称数．如：17的逆序数为71，17＋71=88，88是一个对称数；39的逆序数为93，39＋93=132，132的逆序数为231，132＋231=363，363是一个对称数．请你根据以上材料，求以687产生的第一个对称数；
（2）若将任意一个四位对称数分解为前两位数所表示的数，和后两位数所表示的数，请你证明这两个数的差一定能被9整除；
（3）若将一个三位对称数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，则满足条件的三位对称数共有多少个？
12、我们可以将任意三位数表示为abc （其中a 、b 、c 分别表示百位上的数字，十位上的数字和个位上的数字，且0a ≠）.显然，10010abc a b c =++；我们把形如xyz 和zyx 的两个三位数称为一对“姊妹数”（其中x 、y 、z 是三个连续的自然数）如：123和321是一对姊妹数，678和876是一对“姊妹数”。

（1）写出任意三对“姊妹数”， 并判断2331是否一对“姊妹数”的和
（2）如果用x 表示百位数字，求证：任意一对“姊妹数”的和能被37整除。

相关文档
最新文档