线性代数 第3章 矩阵的秩与方程组

23
∴ R( A) = 2.
向前 向后 返回 27
⎜⎛ 2 − 1 0 3 − 2⎟⎞
例2
求矩阵
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
3 0 0
1 0 0
−2 4 0
−
5 3 0
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
的秩.
解 ∵ B是一个行阶梯形矩阵， 其非零行有3行，
∴ B 的所有 4 阶子式全为零.
2 −1 3 而 0 3 −2 ≠ 0,
1
2
3÷2
4
(1), (B)
向前 向后 返回 3
解
(1)
1↔ 2 3 ÷2
2−3 3 −21
4 −31
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, 1
⎪⎪ ⎨ ⎪
2 x1 − x2 − x3 + x4 = 2, 2 x1 − 3 x2 + x3 − x4 = 2,
2 3
⎪⎩3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9, 4
=
B2
r4
−
3r1
⎜ ⎝0
3 −3
4
−3
⎟ ⎠
r2 r3
÷ −
2 5r2
⎛ ⎜ ⎜
1 0
r4
−
3r2
⎜0 ⎜
⎝0
1 1 0 0
−2 −1
0 0
1 1 2 1
4⎞
0 −6
⎟ ⎟ ⎟
=
B3
−3
⎟ ⎠
向前 向后
返回 14
⎛ 1 1 −2 1 4⎞
⎜ ⎜
0
⎜0
1 0
−1 0
1 2
0 −6
⎟ ⎟ ⎟
=Βιβλιοθήκη Baidu
B3
⎜ ⎝
c3 ↔ c4 c4 + c1 + c2
⎜⎛ 1 ⎜0
c5
−
4c1
−
3c2
+
3c3
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
0 1 0 0
⎜⎛01 ⎜00 ⎜⎜⎜⎝0100
⎜⎛001 ⎜001 ⎜⎜⎜⎝0000
00001⎞⎟⎟ 00001⎠⎟⎟⎟
0 0 =01F 0
− −
14 13
⎞⎟ ⎟
−
03 0
⎟ ⎠⎟⎟
4 ⎟⎞ 3⎟ − 03⎟⎟⎟⎠
1 −1
2 2
⎟ ⎟ ⎟
=
B1
⎜ ⎝
3
6 −9
7
9
⎟ ⎠
向前 向后 返回 13
⎛ 1 1 −2 1 4 ⎞
⎜ ⎜
2
⎜2
−1 −3
−1 1
1 −1
2 2
⎟ ⎟ ⎟
=
B1
⎜ ⎝
3
6 −9
7
9
⎟ ⎠
r2 r3
− −
r3 2r1
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
1 0 0
1 2 −5
−2 −2
5
1 2 −3
4⎞
0 −6
⎟ ⎟ ⎟
向前 向后 返回 10
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri ↔ rj ri × k ri + krj
逆变换 逆变换 逆变换
ri ↔ rj;
ri
×
(1) k
或
ri
÷
k;
⎪⎪ ⎨ ⎪
x2 − x3 + x4 = 0, 2 x4 = −6,
⎪⎩
x4 = −3,
1 2 3 4
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, 1
3 ↔ 4 ⎪⎪
4 −23
⎨ ⎪
x2 − x3 + x4 = 0, x4 = −3,
2 3
⎪⎩
0 = 0,
4
用“回代”的方法求出解.
(B3 ) (B4 )
m × n 矩阵 A 的秩 R( A) 是 A 中不等于零的 子式的最高阶数.
对于 AT， 显有 R( AT ) = R( A).
向前 向后 返回 26
⎛1 2 3⎞
例1
求矩阵
A
=
⎜ ⎜
2
3
−5
⎟ ⎟
的秩
⎜⎝ 4 7 1⎟⎠
解 又∵ A的 3 阶子式只有一个 A， 且 A = 0，
在 A 中， 1
2 ≠ 0.
0
0
0
1
−3
⎟ ⎠
⎛ 1 1 −2 1 4⎞
r3
↔ r4
⎜ ⎜
0
r4 − 2r3
⎜0 ⎜
1 0
−1 0
1 1
0 −3
⎟ ⎟ ⎟
=
B
4
⎟
⎝0 0 0 0 0⎠
⎛ 1 0 −1 0 4⎞
r1 − r2
⎜ ⎜
0
r2 − r3
⎜0 ⎜
1 0
−1 0
0 1
3 −3
⎟ ⎟ ⎟
=
B
5
⎟
⎝0 0 0 0 0⎠
向前 向后 返回 15
ri + (−k )rj 或 ri − krj .
向前 向后 返回 11
如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B．
等价关系的性质： (1) 反身性 A~A； （2）对称性 若A~B, 则B~A； （3）传递性 若A~B,B~C,则A~C. 具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解，
向前 向后 返回 7
3．上述三种变换都是可逆的． 若 A i ↔ j B , 则 B i ↔ j A； 若 A i × k B， 则 B i ÷ k A； 若 A i + k j B, 则 B i − k j A. 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的
方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
矩阵 F 称为矩阵 B 的标准形 .
向前 向后 返回 19
特点： F的左上角是一个单位矩 阵，其余元素全 为零 .
m × n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形 F = ⎜⎛ Er O ⎟⎞ ⎝ O O ⎠m×n
此标准形由 m,n, r 三个数唯一确定，其中 r 就是 行阶梯形矩阵中非零行 的行数 .
B5 对应的方程组为
⎧ ⎪ ⎨
x1 x2
= =
x3 x3
+ +
4 3
⎪⎩ x4 = −3
或令x3 = k, 方程组的解可记作
x
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
x1 x2 x3 x4
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
=
⎛k
⎜ ⎜
k
⎜
⎜
⎝
+ 4⎞
+
3
⎟ ⎟
k⎟
−3
⎟ ⎠
=
⎛1⎞ ⎛ 4⎞
k
⎜ ⎜ ⎜
1 1
⎟ ⎟ ⎟
+
⎜ ⎜ ⎜
所有非零公共解为
k ( −1,1,1,1)T ，( k ≠ 0).
向前 向后 返回 23
第二节 矩阵的秩
一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的求法 三、小结、思考题
向前 向后 返回 24
4
第三章 矩阵的秩与方程组
一、矩阵秩的概念
任何矩阵 Am×n , 总可经过有限次初等行 变换 把它变为行阶 梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的 . 矩阵的秩
定义1 在 m × n 矩阵 A中任取 k 行 k 列 （1 ≤ k ≤ min{m, n}）,位于这些行列交叉处的
k 2个 元素,不改变它们在 A 中所处的位置次序 而得的k阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式.
向前 向后 返回 25
m
×n
矩阵
A的
k
阶子式共有
Cmk
•
C
k n
个.
定义2 若在矩阵 A中有一个不等于 0的 r 阶子式 Dr，且所有 r + 1 阶子式（若存在）全等于 0，那么 Dr 称为矩阵A的最高阶非零子式，数 r称为矩阵 A 的秩，记作 R(A) .并约定零矩阵的秩等于零.
第三章 矩阵的秩与方程组
第三章 矩阵初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 一、消元法解线性方程组 二、矩阵的初等变换 三、小结、思考题
向前 向后 返回 1
本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵 的秩的概念,并提出求秩的有效方法．再利 用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有 非零解的充分必要条件和非齐次线性方程 组有解的充分必要条件，并介绍用初等变 换解线性方程组的方法．内容丰富，难度 较大.
004
∴ R(B) = 3.
向前 向后 返回 28
⎛ 1 3 −2 2⎞
例3
已知
A
=
⎜ ⎜
0
2
−1
3
⎟ ⎟
，求该矩阵的秩
⎜⎝ −2 0 1 5⎟⎠
解 计算A的3阶子式，
1 3 −2
132
3 −2 2
0 2 −1 = 0, = 0 2 3 = 0, = 2 −1 3 = 0,
−2 0 1
−2 0 5
0 15
=
B5
台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面 的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非 零元．
向前 向后 返回 17
行阶梯形矩阵 B5还称为行最简形矩阵， 即非 零行的第一个非零元为 1，且这些非零元所在的 列 的其他元素都为零 .
对于任何矩阵Am×n , 均可经过有限次初等行 变换把他化为行阶梯形和行最简形.
1⎞
1
⎟ ⎟
1⎟
⎟ 0⎠
+
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
4⎞
3
⎟ ⎟
0⎟
−3
⎟ ⎠
（2）
其中k为任意常数.
向前 向后 返回 6
1
第三章 矩阵的秩与方程组
小结： 1．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如
下三种变换 （1）交换方程次序； （ i 与 j 相互替换） （2）以不等于０的数乘某个方程； （以 i × k 替换 i ） （3）一个方程加上另一个方程的k倍． （以 i + k j 替换 i ）
所有与矩阵 A等价的矩阵组成的一个集合， 称为一个等价类，标准形 F是这个等价类中最简 单的矩阵.
向前 向后 返回 20
三、小结
( ) 1.初等行(列)变换
⎧ ⎪⎪ ⎨
(1)ri (2)ri
↔ rj
× k(ci
ci ×k
↔
);
cj
;
( ) ⎪
⎪⎩ (3)ri + krj ci + kc j .
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．
3
⎟ ⎟
0⎟
⎜⎟ ⎝0⎠
⎜ ⎝
−3
⎟ ⎠
其中k为任意常数.
向前 向后 返回 16
矩阵 B4 和 B5 都称为行阶梯形矩阵 .
特点：
（1）可划出一 条阶梯线，线的 下方全为零；
（2）每个台阶 只 有一行，
⎜⎛ 1 0 − 1 0 4⎟⎞
⎜0
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
1 0 0
−1 0 0
0 1 0
−
3⎟
3 0
⎟ ⎟⎟⎠
向前 向后 返回 2
一、消元法解线性方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
⎧ 2 x1 − x2 − x3 + x4 = 2,
⎪⎪ ⎪⎨4
x1 + x2 − 2 x3 + x4 = x1 − 6 x2 + 2 x3 − 2 x4
4, = 4,
⎪⎩3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9,
问 (I)与 (II) 是否有非零公共解 ? 若有,求出来;若没
有, 说明理由.
向前 向后 返回 22
思考题解答
解 将 (II)的通解代入 (I) 得
⎩⎨⎧−kk1 2++2kk12
+ −
2k2 = 0 k2 = 0
⇒ k1 = −k2 .
故 (II)与 (I)的公共解为
k1(0,1,1,0)T + k2(− 1,2,2,1)T = k2(− 1,1,1,1)T
注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行 阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．
行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标 准形．
向前 向后 返回 18
3
第三章 矩阵的秩与方程组
例如
⎜⎛ 1 0 − 1 0 4⎟⎞
B5
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
1 0 0
−1 0 0
0 1 0
3⎟
−
3 0
⎟ ⎟⎟⎠
就称这两个线性方程组等价
向前 向后 返回 12
2
第三章 矩阵的秩与方程组
用矩阵的初等行变换 解方程组（1）
⎛ 2 −1 −1 1 2⎞
B
=
⎜ ⎜ ⎜
1 4
1 −6
−2 2
1 −2
−4
⎟ ⎟
4⎟
⎜ ⎝3
6 −9
7
⎟ 9⎠
⎛ 1 1 −2 1 4⎞
r1 ↔ r2
⎜ ⎜
2
r3 ÷ 2 ⎜ 2
−1 −3
−1 1
向前 向后 返回 9
二、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
(1) 对调两行（对调 i, j两行,记作ri ↔ rj）； (2) 以数 k ≠ 0 乘以某一行的所有元素 ;
（第 i 行乘 k,记作 ri × k）
(3) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri + krj）.
2. A 初等变换 B ⇒ A ~ B. 3.矩阵等价具有的性质
(1)反身性; (2) 对称性; (3)传递性.
向前 向后 返回 21
思考题
已知四元齐次方程组
(I)
:
⎧ ⎨ ⎩
x1 x2
+ −
x2 x4
= =
0 0
及另一
四元齐次方程组 (II) 的通解为
k1(0,1,1,0)T + k2(− 1,2,2,1)T (k1, k2 ∈ R).
向前 向后 返回 8
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组 的系数和常数进行运算，未知量并未参与运 算．
⎛ 2 −1 −1 1 2 ⎞
若记
B
=
(
A
b)
=
⎜ ⎜ ⎜
1 4
1 −6
−2 2
1 −2
4
⎟ ⎟
4⎟
⎜ ⎝3
6 −9
⎟ 7 9⎠
则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方 程组（1）的增广矩阵）的变换．
向前 向后 返回 5
于是解得
⎧ ⎪ ⎨
x1 x2
= =
x3 x3
+ +
4 3
⎪⎩ x4 = −3
其中x3为任意取值.
或令x3 = k,方程组的解可记作
x
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
x1 x2 x3 x4
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
k + 4⎞
k
+
3
⎟ ⎟
k⎟
−3
⎟ ⎠
,
即
x
=
k
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, 1
⎪⎪ ⎪⎨−
2 x2 5 x2
− +
2 x3 5 x3
+ −
2 x4 3 x4
= =
0, −6,
2 3
⎪⎩ 3 x2 − 3 x3 + 4 x4 = −3, 4
(B1 ) (B2 )
向前 向后 返回 4
2 ×1 2
3 +52 4 −32
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4,
1 −2 2 = 0 −1 3 = 0=, 0. ∵ 1 3 = 2 ≠ 0,