4.4 两个三角形相似的判定(3)

4cm
5cm
3cm
探究活动
在有平行横线的练习薄上画一条线段AB,使线段的 两端点A,B恰好在两条平行线上,线段AB就被平行线分 成了相等的三小段,你能说出这一事实的数学原理吗?
新浙教版数学九年级（上）
4.4 两个三角形相似的判定（3）
定义
判定方法
全等 三角、三边对 边 S 边 S 角 A 角 A 斜 H
三角 应相等的两个 边 S 角 A 边 S 角 A 边 L
形
三角形全等
边S 边S 角A 边S 与 直
相似 三角对应相等, 三
角
三角 边对应成比例的两
边
形 个三角形相似
判定三角形相似，是不是也有这么多种方法呢？
条件?你有几种添加条件的不同方法?
A
Ｄ B
方法一:添加一个角相等
Ｅ
如 ∠ADC=∠ACB 或 ∠ACD=∠B
C
方法二:添加两边对应成比例
如：AD AC

AC AB
或
AC2=AD·AB
已知：AB BC AC ，求证：∠BAD=∠CAE。
AD DE AE
A
解：∵ AB BC AC ，
3、如图,在 ABCD中，E是边BC
上的一点，且BE:EC=3:2，连接
ABEE:AD、=_3B_:_5D__，交BF于:FD点=_F__3，_:_5。A则
D
4、如图，在△ABC中，
F
∠C的平分线交AB于D， B
EC B
过点D作DE∥BC交AC于
E，若AD:DB=3:2，则 D
EC:BC=__3_:_5__。
条件
定义
三边对应成比例，三个角对应相等
方法１ 方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ２
平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形
有两个角对应相等
方法３ 两边对应成比例,且夹角相等
方法４ 三边对应成比例
------判定两个三角形相似的方法
三角形相似与全等的三种常用判定方法的区别和联系
判定 两个三角形相似的条件 两个三角形全等的条件 方法
2、 如图：在△ABC中，D，E分别为AB、AC上 的点，若AD=4，BD=3.5，AE=5，EC=1，则 下列结论错误的是（C ）
A A.1.5DE=BC
Ｄ B
B.△ABC∽△AED
Ｅ
C.∠ADE=∠B C D.∠AED=∠B
3、 如图,D为△ABC的边AB上一点.若使 △ACD与△ABC相似,可添加一个什么
A
EC
5.如图：在△ABC中，点M是 BC上任一点， MD∥AC， D
A E
ME∥AB， BD = 2 ,求CE .B 2份 M 3份 C
AB 5 AC
5份
解：∵MD∥AC， ∴△BDM∽△BAC
∴
BD BA=
BBMC=
2， 5
MC BC
=
3 5
又∵ ME∥AB，
∴△CEM∽△CAB
∴ CE= CA
证明 ∵ AB 6 1 BC 8 1
AB 18 3 BC 24 3
∴ AC 10 1 AB BC AC
AC 30 3 AB BC AC
∴ △ABC∽△A′B′C′（如果一个三角形的 三条边和另一个三角形的三条边对应成比例， 那么这两个三角形相似）．
1 两边对应成比例， 两边对应相等，
夹角相等
夹角相等
2 两个角对应相等 两个角和一边对 应相等
3 三边对应成比例 三边对应相等
------类比 探究
1、 在△ABC和△A′B′C′中，已知： AB＝6cm，BC＝8cm， AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试证 明△ABC与△A′B′C′相似．
CM = 3 CB 5
学以致用
1、如图判断4×4方格中的两个三角形是否相
似,并说明理由。
D
想一想：找角的关系容易， 还是找边的关系容易？
解：根据勾股定理，得：
EB
CA 2 AB 2 2 BC 10
A C
DE 5 EF 2 5 FD 5
CA AB BC 2 DE EF FD 5
A1
A
D
E
B
C B1
C1
∴ A1D DE A1E
A1B1 B1C1 A1C1
又
AB A1B1

BC B1C1

AC A1C1
,
A1D

AB
∴ DE BC , A1E AC
B1C1 B1C1 A1C1 A1C1
∴ DE BC, A1E AC
∴
A1DE≌ABC（SSS）
∵ ∴
E
AD DE AE
∴ΔABC∽ΔADE
D
C
∴∠BAC=∠DAE B
∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC
即∠BAD=∠CAE
1. 判断下列说法是否正确？并说明理由。
（1）所有的等腰三角形都相似。× （2）所有的等腰直角三角形都相似。√
（3）所有的等边三角形都相似。√ （4）所有的直角三角形都相似。× （5）有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似。√ （6）有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似。× （7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。√ （8）相似的两个三角形一定大小不等。×
F
∴△ABC∽△EFD
2如.如图图在在正方正形方网形格网上格有上A有1B1△C1和Ａ1AＢ2 B12ＣC21，和△ Ａ它2们Ｂ相2Ｃ似2吗,它？们如相果似相似吗，？求如出果相相似似比；，如求果出 相不似相比似；，请如说果明不理相由似。，请说明理由。
答案是2:1
请你帮忙：
图纸上上有不锈钢三角架的长分别为 3cm,4cm,5cm,库存的不锈钢条有两根中，一根长 60cm,另一根长180cm,工人师傅想用其中一根做 三角架的一边，在另一根上取两截，用来做三角 架的另外两边，使做成的三角架与图纸上的形状 相同(即图形相似)。请帮他确定：共有几种不同 的做法(焊接用料略去不计)？哪一种放大的倍数 最大？最大的倍数是多少？
A1DE∽A1B1C1 ABC∽A1B1C1
判定三角形相似的定理3
边S 边S
√边 S
如果两个三角形的三组对应边的比 相等三，边那对么应这成两比个例三，角两形三相角似形。相似。
A
B
C
B1
A1
即：
如果
AB A1B1

BC B1C1

AC A1C1
,
C1 那么 △ABC∽△A1B1C1.
一起小结
边S 边S 边S
A
AB BC AC
已知： A1B1 B1C1 A1C1 .
求证：△ABC∽△A1B1C1. A1
B
C B1
C1
有效利用判定定理一去求证。
A
D
A1 E
B
C B1
C1
证明：在线段 A1B1（或它的延长线）上截
取 A1D AB ，过点D作 DE∥B1C1 ，交 A1C1 于点E 根据前面的定理可得 A1DE∽A1B1C1 .