大学物理下经典计算题
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dI I dy b
b
y
M
I
b
o
x
y dy N
b/2
1
(1)电流元在M点的磁感强度大小
dB 0dI 2 (1.5b y)
0 I
dy
2 (1.5b y)b
方向如图所示
b
y dB
M
I
b
o
来自百度文库
x
y dy N
M点的磁感强度沿负x方向,大小
b/2
B
dB
b
2b 2
2
0 I
(1.5b
dy y)b
0 I 2b
形面元的磁通量
d1
B1dS
0 I1 2r
ldr
电流I1的磁场，通过矩形的磁通量
I1
r
r1
P l I2 dr
r2 r3
1
d1
r1 r2
r1
0 I1 2r
ldr
0 I1l 2
ln r1
r2 r1
4 107 20 0.25ln 0.30
2
0.10
4
106 ln 3 1.1106(Wb) 2 1
BO B1O B2O
0 2d
R2
I
r2
r2
BO B1O B2O
0 2d
R2
I
r2
d
2
R O O r
d
完
6
6． 截面积为S、密度为的铜导线被弯成正方形的
三边，可以绕水平轴OO转动，如图所示。导线放在
方向竖直向上的匀强磁场中，当导线中的电流为I时，
导线离开原来的竖直位置偏转一个角度而平衡。求
通过矩形的总磁通量
2.2 106(Wb)
完
5
5．在半径为R的无限长金属圆柱体内部挖去一半径为 r的无限长圆柱体，两柱体的轴线平行，相距为d，如 图所示。今有电流沿空心柱体的轴线方向流动，电流I 均匀分布在空心柱体的截面上。分别求圆柱轴线上和 空心部分轴线上O、O点的磁感应强度大小；
解：(1)金属圆柱体挖去小圆柱前 在O、O处的磁感强度可由安培环 路定理求得
ln
2
1
(2)电流元在N点的磁感强度大小
dB 0dI 2 x2 y2
0 I
dy
2b x2 y2
N点的总磁感强度沿y轴方向，大小
B dBy
x dB x2 y2
b
y
M
I
b
o
dB x
y dy N
b/2
1
b
2 b
2
x
0 I
dy
x2 y2 2 b x2 y2
0I arctg b
b
2x
2Sl2 g
1 2
l2
sin
由力矩平衡条件
BIl 2 cos 2Sl 2 g sin 0
O
B 2gS tg
I
2 8.9 103 9.8 2 106 tg15O
10
9.35103(T)
l2
IF l1 mg
完
7
7 ． 半 径 为 R=0.1m 的 半 圆 形 闭 合 线 圈 ， 载 有 电 流
磁 感 应 强 度 。 若 S=2mm2 ， =8.9g/cm3 ， =15º，
I=10A，磁感应强度大小为多少？
O
解：导线受重力和磁场力
磁场力的力矩
MF Fl2 cos BIl1l2 cos BIl 2 cos
O
l2
IF l1 mg
6
重力的力矩
M mg
Sl1g l2 sin 2Sl 2 g sin
I=10A，放在均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行，
如图所示。已知B=0.5T，求
(1)线圈所受力矩的大小和方向(以直径为转轴)；
(2)若线圈受上述磁场作用转到线圈平面与磁场垂直的
位置，则力矩作功为多少？
解：(1)
M pm B
B R
M pmB sin
I
I 1R2 B
2
7
10 1 0.12 0.5
B2
2
0 I 2
(r3
1 2
r2
)
4
P点总磁感强度
B B1 B2
2 0 I1
2
(r1
1 2
r2
)
2 4 107 20 2 0.20
4 105(T)
方向垂直于板面向外。
d
I1
P l I2
r1 r2 r3
4
(2)在矩形面上，距离左边导线电
d
流为r处取长度为l宽度为dr的矩形
面元，电流I1激发的磁场，通过矩
B1O 0
R O O r
d
B1O
0 I1 2d
0 2d
R2
I
r 2
d
2
0 2d
R2
I
r2
d
2
5
(2)挖去的小圆柱在O、O处的磁感强度可由安培环 路定理求得
B2O
0 I2 2d
0 2d
R2
I
r 2
r 2
0 2d
R2
I
r2
r2
B2O 0
R O O r
d
5 (3)金属圆柱体挖去小圆柱后在O、O处的磁感强度
2 0.0785(N m)
方向沿直径向上。
(2) A I
I 1R2 B
R
2
10 1 0.12 0.5
2
0.0785(J)
B I
完
8
8． 在纸面所在平面内有一根通有电流为I的无限长 直导线，其旁边有一个边长为l的等边三角形线圈 ACD，该线圈的AC边与长直导线距离最近且相互平
完
2
2．在半径R=1cm的无限长半圆柱形金属薄片中，有
电流I=5A自下而上通过，如图所示，试求圆柱轴线上
一点P的磁感应强度。
y
解：建立如图所示的坐标
d
系，在导体上平行于电流
方向取宽度为d窄条作为
电流元
R P
x
dB
I
dI I d
dB 0dI 0I d 2R 2R
2
由于电流对称分布，P的磁感强度沿x轴方向。大小
1
1．宽为b的无限长平面导体薄板， 通过电流为I，电流沿板宽度方向均 匀分布，求 (1)在薄板平面内，离板的一边距离 为b的M点处的磁感应强度； (2)通过板的中线并与板面垂直的直 线上的一点N处的磁感应强度，N点 到板面的距离为x。 解：建立如图所示的坐标系，在导 体上平行于电流方向取宽度为dy窄 条作为电流元，其电流为
B dBx sindB
0
sin
0 I 2R
d
0 I 2R
4
107 2 0.01
5
6.37 105(T)
完
3
3．一个塑料圆盘，半径为R，电荷q均匀分布于表面，
圆盘绕通过圆心垂直盘面的轴转动，角速度为。求
圆盘中心处的磁感应强度。
解：在圆盘上取半径为r、宽度为 dr的同心圆环，其带电量
dq
q
R
2
2rdr
dr rR
圆环的电流
dI dq dt
q
R2
2rdr
T
q
R2
2rdr
2 /
q R2
rdr
3
圆环电流在环心的磁感强度大小
dB
0dI
2r
0
2r
q R2
rdr
0q 2R2
dr
圆盘中心处的总磁感强度大小
B
dB
0R
0q 2R2
dr
0q 2R
磁感强度方向垂直于纸面
完
4
4． 两平行长直导线相距d=40cm，
通过导线的电流I1=I2=20A，电流 流向如图所示。求
(1)两导线所在平面内与两导线等 I1
距的一点P处的磁感应强度。
(2)通过图中斜线所示面积的磁通
量（r1=r3=10cm，l=25cm）。
r1
d P l I2 r2 r3
解：(1)两导线电流的P点激发的磁感强度分别为
B1
2
0 I1
(r1
1 2
r2 )
b
y
M
I
b
o
x
y dy N
b/2
1
(1)电流元在M点的磁感强度大小
dB 0dI 2 (1.5b y)
0 I
dy
2 (1.5b y)b
方向如图所示
b
y dB
M
I
b
o
来自百度文库
x
y dy N
M点的磁感强度沿负x方向,大小
b/2
B
dB
b
2b 2
2
0 I
(1.5b
dy y)b
0 I 2b
形面元的磁通量
d1
B1dS
0 I1 2r
ldr
电流I1的磁场，通过矩形的磁通量
I1
r
r1
P l I2 dr
r2 r3
1
d1
r1 r2
r1
0 I1 2r
ldr
0 I1l 2
ln r1
r2 r1
4 107 20 0.25ln 0.30
2
0.10
4
106 ln 3 1.1106(Wb) 2 1
BO B1O B2O
0 2d
R2
I
r2
r2
BO B1O B2O
0 2d
R2
I
r2
d
2
R O O r
d
完
6
6． 截面积为S、密度为的铜导线被弯成正方形的
三边，可以绕水平轴OO转动，如图所示。导线放在
方向竖直向上的匀强磁场中，当导线中的电流为I时，
导线离开原来的竖直位置偏转一个角度而平衡。求
通过矩形的总磁通量
2.2 106(Wb)
完
5
5．在半径为R的无限长金属圆柱体内部挖去一半径为 r的无限长圆柱体，两柱体的轴线平行，相距为d，如 图所示。今有电流沿空心柱体的轴线方向流动，电流I 均匀分布在空心柱体的截面上。分别求圆柱轴线上和 空心部分轴线上O、O点的磁感应强度大小；
解：(1)金属圆柱体挖去小圆柱前 在O、O处的磁感强度可由安培环 路定理求得
ln
2
1
(2)电流元在N点的磁感强度大小
dB 0dI 2 x2 y2
0 I
dy
2b x2 y2
N点的总磁感强度沿y轴方向，大小
B dBy
x dB x2 y2
b
y
M
I
b
o
dB x
y dy N
b/2
1
b
2 b
2
x
0 I
dy
x2 y2 2 b x2 y2
0I arctg b
b
2x
2Sl2 g
1 2
l2
sin
由力矩平衡条件
BIl 2 cos 2Sl 2 g sin 0
O
B 2gS tg
I
2 8.9 103 9.8 2 106 tg15O
10
9.35103(T)
l2
IF l1 mg
完
7
7 ． 半 径 为 R=0.1m 的 半 圆 形 闭 合 线 圈 ， 载 有 电 流
磁 感 应 强 度 。 若 S=2mm2 ， =8.9g/cm3 ， =15º，
I=10A，磁感应强度大小为多少？
O
解：导线受重力和磁场力
磁场力的力矩
MF Fl2 cos BIl1l2 cos BIl 2 cos
O
l2
IF l1 mg
6
重力的力矩
M mg
Sl1g l2 sin 2Sl 2 g sin
I=10A，放在均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行，
如图所示。已知B=0.5T，求
(1)线圈所受力矩的大小和方向(以直径为转轴)；
(2)若线圈受上述磁场作用转到线圈平面与磁场垂直的
位置，则力矩作功为多少？
解：(1)
M pm B
B R
M pmB sin
I
I 1R2 B
2
7
10 1 0.12 0.5
B2
2
0 I 2
(r3
1 2
r2
)
4
P点总磁感强度
B B1 B2
2 0 I1
2
(r1
1 2
r2
)
2 4 107 20 2 0.20
4 105(T)
方向垂直于板面向外。
d
I1
P l I2
r1 r2 r3
4
(2)在矩形面上，距离左边导线电
d
流为r处取长度为l宽度为dr的矩形
面元，电流I1激发的磁场，通过矩
B1O 0
R O O r
d
B1O
0 I1 2d
0 2d
R2
I
r 2
d
2
0 2d
R2
I
r2
d
2
5
(2)挖去的小圆柱在O、O处的磁感强度可由安培环 路定理求得
B2O
0 I2 2d
0 2d
R2
I
r 2
r 2
0 2d
R2
I
r2
r2
B2O 0
R O O r
d
5 (3)金属圆柱体挖去小圆柱后在O、O处的磁感强度
2 0.0785(N m)
方向沿直径向上。
(2) A I
I 1R2 B
R
2
10 1 0.12 0.5
2
0.0785(J)
B I
完
8
8． 在纸面所在平面内有一根通有电流为I的无限长 直导线，其旁边有一个边长为l的等边三角形线圈 ACD，该线圈的AC边与长直导线距离最近且相互平
完
2
2．在半径R=1cm的无限长半圆柱形金属薄片中，有
电流I=5A自下而上通过，如图所示，试求圆柱轴线上
一点P的磁感应强度。
y
解：建立如图所示的坐标
d
系，在导体上平行于电流
方向取宽度为d窄条作为
电流元
R P
x
dB
I
dI I d
dB 0dI 0I d 2R 2R
2
由于电流对称分布，P的磁感强度沿x轴方向。大小
1
1．宽为b的无限长平面导体薄板， 通过电流为I，电流沿板宽度方向均 匀分布，求 (1)在薄板平面内，离板的一边距离 为b的M点处的磁感应强度； (2)通过板的中线并与板面垂直的直 线上的一点N处的磁感应强度，N点 到板面的距离为x。 解：建立如图所示的坐标系，在导 体上平行于电流方向取宽度为dy窄 条作为电流元，其电流为
B dBx sindB
0
sin
0 I 2R
d
0 I 2R
4
107 2 0.01
5
6.37 105(T)
完
3
3．一个塑料圆盘，半径为R，电荷q均匀分布于表面，
圆盘绕通过圆心垂直盘面的轴转动，角速度为。求
圆盘中心处的磁感应强度。
解：在圆盘上取半径为r、宽度为 dr的同心圆环，其带电量
dq
q
R
2
2rdr
dr rR
圆环的电流
dI dq dt
q
R2
2rdr
T
q
R2
2rdr
2 /
q R2
rdr
3
圆环电流在环心的磁感强度大小
dB
0dI
2r
0
2r
q R2
rdr
0q 2R2
dr
圆盘中心处的总磁感强度大小
B
dB
0R
0q 2R2
dr
0q 2R
磁感强度方向垂直于纸面
完
4
4． 两平行长直导线相距d=40cm，
通过导线的电流I1=I2=20A，电流 流向如图所示。求
(1)两导线所在平面内与两导线等 I1
距的一点P处的磁感应强度。
(2)通过图中斜线所示面积的磁通
量（r1=r3=10cm，l=25cm）。
r1
d P l I2 r2 r3
解：(1)两导线电流的P点激发的磁感强度分别为
B1
2
0 I1
(r1
1 2
r2 )