信号分析与处理 杨西侠版 第2章习题答案

2-1 画出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别

1）x 1(t) = sin Ω t ·u(t )

2）x 2(t) = sin[ Ω ( t – t 0 ) ]·u(t )

3）x 3(t) = sin Ω t ·u ( t – t 0 )

-1

4）x2(t) = sin[ ( t – t0) ]·u( t – t0)

2-2 已知波形图如图2-76所示，试画出经下列各种运算后的波形图

（1）x ( t-2 )

（2）x ( t+2 )

（3）x (2t)

（4）x ( t/2 )

（5）x (-t)

（6）x (-t-2)

（7）x ( -t/2-2 )

（8）dx/dt

2-3 应用脉冲函数的抽样特性，求下列表达式的函数值

(1)⎰+∞

∞--)(0t t x δ(t) dt = x(-t 0) (2)⎰+∞

∞--)(0t t x δ(t) dt = x(t 0) (3)⎰+∞∞

--)(0t t δ u(t -

20t ) dt = u(2

t )

(4)⎰+∞

∞--)(0t t δ u(t – 2t 0) dt = u(-t 0) (5)()

⎰+∞∞

--+t e

t

δ(t+2) dt = e 2-2

(6)()⎰+∞

∞-+t t sin δ(t-6π

) dt =

6

π

+

2

1

(7) ()()[]⎰+∞

∞-Ω---dt t t t e t

j 0δδ

=()⎰+∞

∞

-Ω-dt t e

t

j δ–⎰+∞∞

-Ω--dt t t e t j )(0δ

= 1-0

t j e

Ω- = 1 – cos Ωt 0 + jsin Ωt 0

2-4 求下列各函数x 1(t)与x 2(t) 之卷积，x 1(t)* x 2(t) (1) x 1(t) = u(t), x 2(t) = e -at · u(t) ( a>0 ) x 1(t)* x 2(t) =⎰+∞

∞---ττττ

d t u

e u a )()( =

⎰-t

a d e 0

ττ = )1(1at

e a

--

x 1(t)* x 2(t) =ττδτδτπ

d t t u t )]1()1([)]()4

[cos(---+-+Ω⎰+∞

∞-

= cos[Ω(t+1)+

4

π

]u(t+1) – cos[Ω(t-1)+

4

π

]u(t-1)

(3) x 1(t) = u(t) – u(t-1) , x 2(t) = u(t) – u(t-2) x 1(t)* x 2(t) =

⎰

+∞

∞

-+-----τττττd t u t u u u )]1()()][2()([

当 t <0时，x 1(t)* x 2(t) = 0 当 0

t

d τ⎰ = t 当 1

1d τ⎰

= 1

当 2

2

t d τ-⎰=3-t 当 3

(4) x 1(t) = u(t-1) , x 2(t) = sin t · u(t) x 1(t)* x 2(t) =⎰

+∞

∞---ττττd t u u )1( )( )sin(

=⎰⎰∞

==01

-t 0

1

-t 0| cos - d sin 1)d --u(t sin ττττττ

= 1- cos(t-1)

2-5 已知周期函数x(t)前1/4周期的波形如图2-77所示，根据下列各种情况的要求画出x(t)在一个周期( 0

(1) x(t)是偶函数，只含有偶次谐波分量

f(t) = f(-t), f(t) = f(t ±T/2)

(2) x(t)是偶函数，只含有奇次谐波分量 f(t) = f(-t), f(t) = -f(t ±T/2)

(3) x(t)是偶函数，含有偶次和奇次谐波分量f(t) = f(-t)

(4) x(t)是奇函数，只含有奇次谐波分量

f(t) = -f(-t), f(t) = -f(t±T/2)

(5) x(t)是奇函数，只含有偶次谐波分量

f(t) = -f(-t), f(t) = f(t±T/2)

(6) x(t)是奇函数，含有偶次和奇次谐波分量

f(t) = -f(-t)

2-6 利用信号x(t)的对称性，定性判断图2-78所示各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量

(a)

这是一个非奇、非偶、非奇偶谐波函数，且正负半波不对称，所以含有直流、正弦等所有谐波分量，因为去除直流后为奇函数。(b)

这是一个奇函数。也是一个奇谐波函数，所以只含有基波、奇次正弦谐波分量。

(c)

除去直流分量后是奇函数，又f(t) = f(t±T/2)，是偶谐波函数，所以含有直流、偶次正弦谐波。