弹性力学第九章柱形杆的扭转和弯曲

Ti
G
ai
3 i
3
(c)
这个横截面上的扭矩为
T
Ti G3
ai
3 i
(d)
由式(c)和式(d)消去 ,得
代回式(a)和式(b),我们得到
Ti
a
i
3 i
a
i
3 i
T
G
3T
ai
3 i
(9-32)
i
3T i
ai
3 i
(9-33)
值得注意的是：由上述公式给出的狭长矩形长边中点的剪应力具有相当高的精确，然而，由于 应力集中的存在，两个狭矩形的连接处，可能存在远大于此的局部剪应力。
1
a1 a2
a1
a1
2
a3
a1 3 a2
a3
a 表示设整个横及截i分面别上表的 示扭i 扭矩杆，横i代截表面该的矩第形i个长狭边矩中形点的附长近度的和剪宽应度力，，Ti表为示单该位矩长形度截扭面转上角承。受则的由扭狭矩长，矩T
形的结果，得
3Ti
(a)
G
a
i
3 i
i
3Ti a i i2
(b)
由式(a)得
由表可见，对于很狭长矩形截面的扭杆，
和(22)分别简化为式(3)和(5)。
图2
a / b 很大，则 和 都趋近于1/3,这时式(21)
§9.8 薄壁杆的扭转
狭长矩形杆件 a/b>10 和 →0.333 最大切应力 单位长度扭转角
max
3T
a 2
3T
Ga 3
一 开口薄壁杆件的扭转
实际工程上经常遇到开口薄壁杆件，例如角钢、槽钢、工字钢等，这些薄壁件其横截面大都 是由等宽的狭长矩形组成。无论是直的还是曲的，根据薄膜比拟，只要狭长矩形具有相同的长 度和宽度，则两个扭杆上的剪应力没有多大差别。
yb 2
max |
zx
yb 2
| 3T ab2
(5)
二 任意边长比的矩形截面杆的扭转 在狭长矩形截面扭杆应力函数(1)的基础上，加上修正项F1，即
F(x,y)b42 y2F1(x,y)
(6)
函数F应满足方程
，将2式F(6)代入2，得到F1满足方程
2 F1 x2
2 F1 y 2
0
(7)
另外，应力函数F在矩形截面的边界处满足如下边界条件
•或
2
T q
z
1
0
• 在边界上，薄膜垂度为零
zs 0
• 扭转应力函数：
2 2
•或
2 1 0
2
• 边界条件
s 0
在薄膜曲面上，形象地表示出横截面上应力的分布情况。想象用一系列和 Oxy平行的平面与薄膜曲线 相截，可得到一系列的曲线。显然，这些曲线是薄膜的等高线图。
Z 0 G 0
s
s
nG s0, sG n
cos(2m1)π ydy，并在区间(-b/2,b/2)积分,得 b
(1)n18b2
An π3(2n1)3ch(2n1)a
2b
8b2
F1(x,y)π3
(1)n1chnxcosny n0(2n1)3ch(2n1)a
2b
得到应力函数
F(x,y)b 4 2y28 π b32n 0((2 n1 )n 1 )13 cc hh n (2 xn co s1 ) nya
§9.1 扭转问题的位移解法----圣维南扭转函数
柱体扭转 横截面翘曲 自由扭转——横截面翘曲变形不受限制 约束扭转——横截面翘曲变形受到限制 弹性力学讨论自由扭转
柱体自由扭转位移解法 自由扭转的位移 1. 2.翘曲假设
位移解法基本方程
u yz v xz
w(x,y)
设单位长度相对扭转角为
(a2a2bb22)ax2 2 by22 1
(c)
将式(c)代入式（9-12）得
T2G dxdy
2 aa22 bb 2G 2a12
x2dx db1y2
y2dx dydxdy (d)
因为
x 2 dx a d 4 3 b ,yy 2 dx a d 4 3,b yd x a db y
得
(a2 b2)T
zy
A
2G a
y
zy B G a
有一很小半圆槽时，槽底的最大剪应力是无槽圆轴最大剪应力的两倍。
§9-６ 厚壁圆筒的扭转
• 研究厚壁圆筒的扭转应力，设外半径为b，内半径为a. 取应力函数
r m ( x 2 y 2 b 2 ) m (2 b 2 )
b
侧面边界条件
a
x
r b, 0 0
2T
ma xπa2b,
2T mi n πa2b
w(x,y)Tπ aG 23ba b23xy
§９-５ 带半圆槽的圆截面杆的扭转 • 半径为a的圆截面杆，具有半径为b的半圆键槽，求扭转应力。
• 半径为b的半圆键槽方程为
(r2 b2)0
• 半径为a的大圆方程（除原点O）
1 2acos 0 r
• 整个边界方程可表示为
弹性力学第九章柱形杆的 扭转和弯曲
目录 §9.1 扭转问题的位移解法(圣维南扭转函数） §9.2 扭转问题的应力解法(普朗特应力函数） §9.3 扭转问题的薄膜比拟法 §9.4 椭圆截面杆件的扭转 §9.5 带半圆形槽的圆轴的扭转 §9.6 厚壁圆筒的扭转 §9.7 矩形截面杆的扭转 §9.8 薄壁杆的扭转
(17)
2b
式（1-17）代入截面系数D的计算式：
D2RFdxdyab3[1 36 π4 5b an 0th((2 2n n 2 b 1 1 ))5πa]
(18)
由此得
T
T
GD
ab3G[136π45 ban 0
th(2n1)πa
2b (2n1)5
]
(19)
由薄膜比拟可以推断，最大剪应力发生在矩形截面长边的中点,其值为
2 C
由：
xzG y, yzG x
(y), (x)
y x
x y
可得： C=-2 边界条件
侧面
k
单连域取为0
端面
T2Gdxdy
S
§9.3 扭转问题的薄膜比拟法
德国力学家普朗特（Prandtl） 基本思想： 作用均匀压力的薄膜与柱体扭转有着相似的微分方程和边界条件。 通过研究薄膜所张成的曲面的等高线，分析柱体扭转时横截面的应力分布 。 薄膜比拟
F(a,y)0,F(x,b)0
(8)
2
2
所以，修正函数F1需满足的边界条件为
F1 (
a 2
,
y)
y2
b2 4
(9)
F1 ( x ,
b 2
)
0
设式(7)的解为:
F 1(x,y)X(x)Y(y)
(10)
将式(10)代入式(7)中，有
X Y 2
(11)
XY
其中， 为任意常数。
由此得方程
X2X0
薄膜的等高线，对应于扭转杆横截面上这样的曲线， 其上各点的应力与曲线向切。这种曲线称为切应力 线。
通过比拟，可以定性地勾画出截面上应力分布的大致情况。要知道哪一点的切应力最大，就看看薄膜 上哪一点的斜率最大。也就是说，薄膜上斜率最大点，就是对应的横截面上最大切应力的作用点。
应力环量 研究图中某一条等高线所围成的薄膜的平衡，设这一部分薄膜的面积为A ，则
F
( y2
b2 )
(1)
4
代入
D2Fdxdy
(2)
得
D 2RF d xd y 2 a 2 a 2 b 2 b 2(y2b 4 2)d y d xa 3 b3
于是
T GD
3T Gab3
(3)
由式(1)求得应力分量
zx
aG
F y
6T ab3
y
(4)
zy
aG
F x
0
这个应力表达式除在狭长矩形截面的短边附近外,对截面的大部分区域都是正确的。最大剪应 力发生在矩形截面的长边上，即 ，其大小为
s
FT
Zds v
qA
sds 2GA
s
ZvG v s
椭圆截面杆件
§9.4 椭圆截面杆件扭转
• 1.求应力函数
• 椭圆截面边界方程为：
x2 y2
a2 b2 1 0
(a)
用逆解法，设应力函数为
B
x2 a2
y2 b2
1
(b)
B为待定常数，将式（b）代入式（9-8）得
2B a2
2B b2
2
则
B
a2b2 (a2 b2 )
• 设有一均匀薄膜，张在一个水平边界上（边界形状和扭转柱体截面形状相同或成比例）。
在微小均匀压力作用下，薄膜产生垂度z （x,y），
薄膜不承受弯矩、扭矩、剪力和面内压 力，只能承受均匀拉力T,
在薄膜中取微单元abcd，其投影为矩形，边 长为dx，dy；其上作用有侧向压力q和张力 T。
q x
z
dx
O dy
z
x22 y2220 (92) 调和函数
Laplace方程
柱体扭转边界条件
侧面边界条件
dy lxm (94)
dn
y 端面边界条件
T G D(9 5 )
x
柱体的自由扭转的位移解法，归结为在边界条件（9-4）下求解方程（9-2）。
§9.2 扭转问题的应力解法----普朗特应力函数
( x, y ) ——普朗特（Prandtl）扭转应力函数
(12)
Y2Y0
(13)
解之得方程(12)和(13)的通解
X (x)B 1 ch xB 2 sh x Y (y ) C 1 c o sy C 2 siny
根据薄膜比拟法，应力函数为坐标x和y的偶函数。所以
F 1(x,y)A ch xco sy
(14)
由边界条件(9)的第二式得
Achxcosb 0
一 狭长矩形截面杆的扭转
设矩形截面的边长为a和b。若a/b的值很大 (图1示)，则称为狭长矩形。由薄膜比拟法 可以推断，应力函数F在横截面的绝大部分上几乎与坐标x无关，于是有
F0, FdF
a
x
y dy
则
2F 2
b
o
x
y
变为常微分方程
d 2F dy2
2
图1
而边界条件为
F(y b) 0 2
此时,方程的解为
y
x T
a
b
dx
dy
d
c
微单元在Oz轴方向的平衡： 各边的拉力及其在Oz轴上的投影：
Tdy Tdy
Tdx Tdx
压力在Oz轴上的投影为
Tdy z x
Tdy
z x
2z x2
dx
Tdx z y
Tdx
z y
2z y2
dy
qdxdy
T
a
b
dx
dy
d
c
• 薄膜平衡方程：
Tx2z2 y2z2 q0
• 即 2z q T
T[1
5 π2
n0
(2n
1)2
1 th (2n
1)πa
]
max
2b (2n 1)πa
(20)
ab2[1 3
64 π5
a b
n0
th (2n
2b 1)5
]
将式(19)和式(20)分别写成
T
(21)
ab3G
max
T a b 2
(22)
a / b 其中 和 都是 仅与比值 有关的参数，这两个因子通过计算可以表示如下：
将
(a2 b2)T
a3b3G
代入式(9-1a)，得
翘曲位移为
u
(a 2 b 2 )T
a 3b 3G
yz
v
(a 2 b 2 )T
a 3b 3G
xz
w(a2a3bb32G)T xy
扭转应力
最大切应力 横截面翘曲
xzπ2 aT3by, yzπ2 aT 3bx
2 xz
2 yz
π2a Tba x2 4b y4 2
(15)
2
由此
n
(2n 1)π b
(n0,1,2,3,...)
代入式(15),并取为如下级数
F1(x,y) Anchnxcosny
(16)
n0
由边界条件(9)的第一式,确定其中的系数An
n 0A nch(2n2 b 1 )π aco s(2 nb 1 )πyy2b 4 2
等式两边同时乘以 代入式(16),得
A O
Bx
(r2b2)12acros0
r
r r 2 x 2 y 2,
y
co sx
• 设 m (x2y2b2) 1x2 2 ayx 2
由
m(r2b2)12acros
2 r 2 2r 1 rr12 2 2 2
m1 2
直角坐标系下的应数力为:函
1(x2 2
y2
b2)1
2a x2
x y2
Βιβλιοθήκη Baidu
(在2F柱形杆2横截面所组成区域R内)。
2、边界条件：
F（( x在,横y )截面k的周界C上）。
对于矩形截面杆件的扭转问题，能否像椭圆截面杆件扭转问题一样假设扭转应力函数为其横 截面的周界方程 ？
若将扭转应力函数取为
F (x ,y) B (x2 a 2)(y2 b 2)
显然这个应力函数虽然满足边界条件，但不能满足泊松方程。根据边界条 件难以直接确定满足基本方程的扭转应力函数。
a3b3G
(e)
• 2.求应力分量
将式(c),（e）代入式（9-7），得
zx2 a T3by, zy2 a T 3bx
截面上任一点的合剪应力为
1
2 zx
2 zy
2aTba x2 2 by222
最大剪应力发生在短半轴的两端
max
2T
ab2
最小剪应力发生在长半轴的两端
min
2T
a2b
O
x
y
• 3. 求位移分量
zx G 1
2ab2 x
x2
y2
2 y
zy
G x a
ab2 (x2 y2 )
x2 y2 2
• 最大剪应力在A点，A（b，0)，得
zx A 0
zy
A
m
ax
2Ga1
2ba
• B（2b，0）点的剪应力
zx B 0
zy
B
Ga1
b2 4a 2
A O
r
Bx
当b<<a
r a , 1 m(a2 b2 )
y
由
22
得
m1 2
求截面常数Ｄ
D 2 dx 2 d 1 A y 1 2 (b 4 a 4 )
b
求单位长度的扭转角
a
x
G MD G(b 24 M a4)
y
求应力分量
§9.7 矩形截面杆件扭转
柱形杆截面的扭转应力函数F(x,y)要满足的条件 ：
1、泊松方程：