证明切线的方法

E D

C

O B

A

D

C

B

A

O

G F E D'

A'D

C

B A 圆心滚动的路径长度

1、如图（1），设大圆的半径为R ，小圆的半径为r 。如果小圆沿着大圆外边缘作无滑动的滚动，那么当小圆滚动一周回到始发位置时，小圆的圆心经过的路径长度是多少？

2、如图（2），设正三角形的周长为L ，小圆的半径为r 。如果小圆沿着正三角形的外边缘作无滑动的滚动，那么当小圆滚动一周回到始发位置时，小圆的圆心经过的路径长度是多少？如果小圆沿着正n 边形的外边缘作无滑动滚动呢？

3、如图（3），设多边形的周长为L ，小圆的半径为r 。如果小圆沿着多边形的外边缘作无滑动的滚动，那么当小圆滚动一周回到始发位置时，小圆的圆心经过的路径长度是多少？

(3)

(2)

(1)

证明切线的方法

证明一条直线是圆的切线，可分两种情况进行分析。

（1）圆和直线的唯一公共点已知，方法是：连半径，证垂直（比较常用）。 （2）圆和直线的公共点位置未知，方法是：作垂直，证半径。

例 如图，△ABC 是等腰三角形，AB ＝AC ，点O 在线段AB 上，以O 为圆心、 OB 为半径作圆交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于E 。DE 是圆O 的切线吗？ 提示：连接OD

动态几何问题

如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，AD 为BC 边上的高，且AD ＝3，将△ACD 沿着箭头所示的方向平移，得到△A ’CD ’，A ’D ’交AB 于E ，A ’C 分别交AB 和AD 于G 、F ，以DD ’为直径作圆O 。设BD ’长为x ，圆O 的面积为y ．

（1） 求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围（不考虑端点）；

（2） 当BD ’的长为多少时，圆O 的面积与△ABD 的面积相等？（ 取3，结果精确到0.1） （3） 连接EF ，求EF 与圆O 相切时BD ’的长．

O

G F E D'

A'D

C

B A 圆心滚动的路径长度答案

1、此时小圆圆心经过的路径是一个圆，这个圆的圆心为大圆圆心，半径为两圆半径之和。所以小圆的圆心经过的路径长度为2)(r R +π

2、此时小圆的圆心运动如右图。正多边形情况与正三角形情况类似。 此时小圆的圆心经过的路径长度为L ＋2r π

3、与2类似，此时小圆的圆心经过的路径长度为L ＋2r π

证明切线的方法答案

证明：连接OD 。

∵△ABC 是等腰三角形，AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C 。 又∵OB ＝OD ， ∴∠B ＝∠1。 ∴∠1＝∠C 。 而DE ⊥AC ， ∴∠C ＋∠2＝90°。 ∴∠1＋∠2＝90°。

∴∠ODE ＝90°，即OD ⊥DE ，OD 是圆O 的半径。 ∴DE 是圆O 的切线。

动态几何问题答案

解 （1）在Rt △ABD 中，AB ＝5，AD ＝3，

∴BD ＝4。

∴D ’D ＝BD －BD ’＝4－x 。

∴圆O 的半径为

2

4x

-。 ∴)40(4242422

<<+-=⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=x x x x y ππππ。

（2）S △ABD ＝3×4÷2＝6。

当

)40(6

424

2<<=+-x x x πππ

时，解得x 1≈1.2，x 2≈6.8（舍）。

即当BD ’为1.2时，圆O 的面积与△ABD 的面积相等。

（3）当圆O 与EF 相切时，圆O 的半径＝ED ’。

由△BED ’～△BAD ，得ED ’：AD ＝BD ’：BD ，即ED ’：3＝x ：4。

∴ED ’＝x 4

3

。 ∴5

8

2443=

∴-=x x x 。

2

1E D

C

O B

A