直线与椭圆的综合问题PPT课件
〖2021年整理〗《椭圆的综合问题及应用》完整版教学课件PPT
学而优 · 教有方
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟处理椭圆的中点弦问题的三种途径
1.根与系数的关系法:联立直线方程与椭圆方程构成方程组,消掉其
中的一个未知数,得到一个一元二次方程,利用一元二次方程根与
系数的关系结合中点坐标公式求解.
2.点差法:设出弦的两个端点坐标,代入椭圆方程,两式相减即得弦
的中点与斜率的关系.即“设而不求”思想,这也是此类问题最常用的
方法.
3.中点转移法:先设出弦的一个端点的坐标,结合中点坐标得出弦的
另一个端点的坐标,分别代入椭圆方程作差即得.
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-16
2
,x1x2=
4 +1
12
2
,
4 +1
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探究一
探究二
探究三
素养形成
探究四
由题意可知 ⊥ , ·=0 即
x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0,
2
12(1+ )
∴
2
4 +1
解得
−
2
32
2
+4=0,
4 +1
3
k2=4>4,
∴|AB|= 1 + 2 |x1-x2|
3.1.2椭圆的简单几何性质(第二课时)(教学课件(人教版))
其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之 和与两根之积后代入公式可求得弦长． 提醒：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．
四.直线与椭圆的位置关系
（二）弦长及弦的中点问题
例 3（1）已知直线 y＝x＋1 与椭圆x2＋y2＝1 相交于 A、B 两点，求弦 AB 的长． 4
＝1＋4m＋ n ＋4＝5＋4m＋n ≥5＋2 4m·n ＝9，
nm
nm
nm
四.直线与椭圆的位置关系
（一）直线与椭圆位置关系及判定
跟踪训练（2）已知椭圆的方程为 x2＋2y2＝2.①判断直线 y＝x＋ 3与椭圆的位置关系； ②判断直线 y＝x＋2 与椭圆的位置关系；③在椭圆上找一点 P，使 P 到直线 y＝x＋2 的距离 最小，并求出这个最小距离．
两式相减，得 3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
∵x1≠x2，x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，∴34xy00＝－yx11－ －yx22＝－kPQ.
∵kPQ＝－14，∴y0＝3x0.代入直线
y＝4x＋1，得 2
x 0＝－12， y0＝－32
则直线 PQ 的方程为 y＋3＝－1(x＋1)即 2x＋8y＋13＝0. 2 42
|
2a,所以
a
1 2
(|
F1B
|
|
F2 B
|)
4.1,
b a2 c2 3.4.
所以，所求的椭圆方程为
x2 4.12
y2 3.42
1.
二.和椭圆有关的实际问题
跟踪练习1(多选)嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡查 探测的航天器.202X年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的 着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发 表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入 以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距， 用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是
直线与椭圆相交的综合问题(一题多变)区级公开课
进一步体会几何问题代数化的方法，提升学生思维容量
通过对比发现找寻几何图形的本质特征的重要性
体会向量法在几何问题代数化中的简洁性
多媒体
12
小
结
梳
理
总结几何图形的本质特征
几何条件
行四边OEFP
学生填表
并思考还能提出其他的问题吗？
方法一：表示圆的方程，然后将原点代入
方法二：
方法一：角平分线上的点到角两边距离相等
方法二:
两条直线AE，AF倾斜角互补，斜率互为相反数即
方法： 对角线互相平分
学生思考，分析几何图形特点，寻找等量关系求k
观察图形找等量关系
学生思考回答
讨论总结方法
回忆平行四边形的性质
1对角线互相平分
2对边平行且相等
通过一题多变，让学生对椭圆的这类题目有一个比较全面的认识，通过重复的变式练习体会各种几何问题代数化的方法，
体会方程（组）的思想方法在几何问题代数化中的作用题
给学生提供展示交流的平台，进一步感受一题多解和数形结合的解题思想
在实际问题中体会用代数方法（坐标法）解决几何问题的基本思路
多媒体
8
变
式
训
练
合
作
交
流
解
决
问
题
思
维
迁
移
方法一：直接从已知出发把已知条件坐标化
方法二：挖掘几何图形特点，等腰三角形的性质，三线合一
教学目标
1.教学目标：能解决简单的直线与椭圆的相交问题，体会方程（组）思想和设而不求的解题技巧在解题中的应用；
2.从学生的最近发展区入手，通过一题多变对知识进行延伸，进一步提升几何条件代数化的能力；
直线与椭圆(经典公开课课件)
题型三 直线与椭圆的综合问题
例4
已知椭圆C：ax22＋by22＝1 (a>b>0)的离心率为
3 2
，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
ac＝ 23， 由题意可得2b＝2，
c2＝a2－b2，
解得a2＝4，b2＝1.
故椭圆 C 的标准方程为x42＋y2＝1.
(2)过点P(1,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若△ABO的面积为
则|AB|＝ 1＋14× x1＋x22－4x1x2 ＝ 54－m2＝ 5， 解得 m＝± 3. 所求直线 l 的方程为 y＝12x± 3.
命题点2 中点弦问题 例3 已知P(1,1)为椭圆 x42＋y22＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为__x＋__2_y_－__3_＝__0_.
(2)直线l的斜率为12 ，直线l与椭圆C交于A，B两点.若|AB|＝ 5 ，求直线l的 方程.
设 l 的方程为 y＝12x＋m， 点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立yx8＝ 2＋12y2x2＋＝m1，， 整理，得x2＋2mx＋2m2－4＝0. ∴Δ＝4m2－8m2＋16＞0，解得|m|＜2. ∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.
y＝x－ 3， 联立x42＋y2＝1， 消y得，5x2－8 3x＋8＝0，
则 x1＋x2＝853，x1·x2＝85， 所以|AB|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
＝ 2×
8
5
32－4×85＝85.
即弦 AB 的长为85.
3的.已弦知长椭为圆1，ay22则＋椭bx22圆＝方1(a程>b为>0_y4)_2的＋__右x_2_＝顶__1点_.为A(1,0)，过其焦点且垂直于长轴
高中数学选择性必修一(人教版)《3.1.2第二课时 直线与椭圆的位置关系及应用》课件
又 A(－2,0)，∴―AM→·―A→N ＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)
＝(k2＋1)y1y2＋45k(y1＋y2)＋1265＝0，
即可得∠MAN＝π2，故∠MAN 为定值．
二、应用性——强调学以致用 2．有一椭圆形溜冰场，长轴长是 100 m，短轴长是 60 m，现要
在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形 ABCD，且使这个矩形的面积最大，试确定这个矩形的顶点 的位置．这时矩形的周长是多少？ [析题建模] 由题意结合对称性建立平面直角坐标系，根据 椭圆的对称性，可知矩形面积为点 A 的横、纵坐标之积的 4 倍，再结合椭圆方程求其横、纵坐标的值即可求矩形的周长．
(3)中点转移法 先设出弦的一个端点的坐标，再借助中点得出弦的另一个 端点的坐标，分别代入椭圆方程作差可得． 这三种方法中以点差法最为常用，点差法中体现的设而不 求思想，还可以用于解决对称问题.因为这类问题也与弦中点和 斜率有关．
[对点练清]
已知点 P(4,2)是直线 l：x＋2y－8＝0 被焦点在 x 轴上的椭圆所
(1)求椭圆 M 的方程； (2)若 k＝1，求|AB|的最大值．
a2＝b2＋c2， [解] (1)由题意得ac＝ 36，
2c＝2 2，
所以椭圆 M 的方程为x32＋y2＝1.
解得 a＝ 3，b＝1.
(2)设直线 l 的方程为 y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
y＝x＋m， 由x32＋y2＝1， 得 4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
即xy11－ －yx22＝－ba22xy11＋＋yx22.
因为 kAB＝－12，AB 中点为(4,2)， 所以－12＝－2×ba22，即 a2＝4b2，所以该椭圆的离心率为 e
椭圆的简单几何性质(3) 直线与椭圆位置关系 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
知识巩固
回忆：直线与圆的位置关系
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
问题2：怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
d=r
d<r
代数法： ∆<0
∆=0
∆>0
探究新知
点与椭圆的位置关系
·
·
·
直线与椭圆的位置关系
B
A
C
种类:
点在椭圆内
点在椭圆上
点在椭圆外
d
4 x0 5 y0 40
42 52
4 x0 5 y0 40
41
尝试遇到困难怎么办?
作出直线 l 及椭圆,
观察图形,数形结合思考.
且
x0 2
25
y0 2
9
1
l
m
m
பைடு நூலகம்
直线与椭圆的位置关系
x2 y 2
练1：已知椭圆
1，直线l：
4 x - 5 y 40 0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距
16
4
方程.
x 2y 4 0
x2 y2
10
2.椭圆
1 上的点到直线 x 2 y 2 0 最大距离是________.
16
4
3.已知椭圆的焦点 F1 ( 3, 0), F2 (3, 0) 且和直线 x y 9 0 有公共点,则其中长轴最短
的椭圆方程为______.
△0
m x 2 nx p 0(m 0)
△ =n 2 4m p
方程组有两解
两个交点
相交
椭圆的简单几何性质ppt课件
a=1.81
c=1.2
a=1.81
c=1.5
c
=0.66
a
c
=0.83
a
离心率越大，椭圆越扁
离心率越小，椭圆越圆
c
a 2 b2
b2
e与a,b的关系: e
1 2
2
a
a
a
离心率反映
椭圆的扁平
程度
焦点的位置
焦点在x轴上
y
图形
标准
方程
范围
对称性
顶点坐标
轴长
焦点坐标
a
b
a 2 b 2 1,
消去y,得关于x的一元二次方程.
2
2
相交
当Δ>0时,方程有两个不同解,直线与椭圆_____;
y
当Δ=0时,方程有两个相同解,直线与椭圆_____;
相切
B(x2,y2)
相离
当Δ<0时,方程无解,直线与椭圆_____.
A(x1,y1)
3.弦长公式
设直线l与椭圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
x12
y12
2 1
2
a
b
2
2
x
y
2 2 1
b2
a2
两式相减得：
y1 y1
b2 x1 x2
b2 x0
2
2
x1 x2
a y1 y1
a y0
k AB
2
2
【典例 2】已知椭圆 C:2 + 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,过点 F 的直线 x-y+ 2=0 与椭
新高考数学椭圆-第2课时 直线与椭圆的位置关系精品课件
解:易知F1(-1,0),F2(1,0).①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,∴x1+x2=,x1·x2=.∵A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆C上,∴=1-,=1-,∴|AF1|===,
课堂考点探究
解:将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组将①代入②,整理得7x2+8mx+4m2-12=0③.方程③根的判别式Δ=(8m)2-4×7×(4m2-12)=-48m2+336.(1)当Δ>0,即-<m<时,方程③有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.(2)当Δ=0,即m=±时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
课堂考点探究
例3 已知椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,左焦点为F,椭圆M的离心率为,且过点.(2)若过点N(1,1)的直线与椭圆M交于P,Q两点,且线段PQ的中点恰为点N,求直线PQ的方程.
解:设P(xP,yP),Q(xQ,yQ),∵线段PQ的中点恰为点N,∴xP+xQ=2,yP+yQ=2.由题知+=1,+=1,两式相减可得(xP+xQ)(xP-xQ)+(yP+yQ)·(yP-yQ)=0,∴=-,即直线PQ的斜率为-,∴直线PQ的方程为y-1=-(x-1),即3x+4y-7=0.
课堂考点探究
例2 [2021·辽宁辽阳一模] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,且点在C上.(2)设过F2的直线l与C交于A,B两点,若|AF1|·|BF1|=,求|AB|.
专题三直线与椭圆综合讲解
专题三 直线与椭圆综合1．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b b a +=>>椭圆C 的长轴长为4． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线:l y kx =C 交于A ，B 两点，是否存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．2．（本小题满分14分） 已知椭圆G 的离心率为，其短轴的两个端点分别为A （0,1）,B（0,-1）．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）若,C D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线,AC BD 与x 轴分别交于点,M N ．判断以MN 为直径的圆是否过点A ，并说明理由．3．（本小题满分12分）已知直线l ： 323-=x y 过椭圆C ：2221x a b2y ＋＝（a ＞b＞0）的右焦点，且椭圆的离心率为3（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点D （0，1）的直线与椭圆C 交于点A ，B ，求△AOB 的面积的最大值．4．已知椭圆2222:1x y C a b+=（a>b>0）的两个焦点分别为12,F F ，离心率为12，过1F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且2MNF ∆的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点O 的两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于A,B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值，并求出这个定值．5．已知椭圆的中心为原点，焦点在x 轴上，离心率为，且经过点(4,1)M ，直线:l y x m =+交椭圆于异于M 的不同两点,A B ．直线MA MB x 、与轴分别交于点E F 、．（1）求椭圆标准方程；（2）求m 的取值范围；（3）证明MEF ∆是等腰三角形．6．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为12，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）若过点(0,)P m 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且3AP PB =，求实数m 的取值范围．7．（本小题满分13分）已知点P （一1，32）是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>上一点F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，O 是坐标原点，PF 1⊥x 轴．（1）求椭圆E 的方程；（2）设A ，B 是椭圆E 上两个动点，满足：(04,2)PA PB PO λλλ+=<<≠且，求直线AB 的斜率8．已知椭圆E ：()22221 0, 0x ya b a b +=>>的离心率 e =，并且经过定点1)2P （1）求椭圆 E 的方程；（2）问是否存在直线y=-x+m ，使直线与椭圆交于 A, B 两点，满足OA OB ⊥,若存在求 m 值，若不存在说明理由．9．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,)2A ，离心率为12，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）当2F AB ∆的面积为7时，求直线的方程.10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(2, 1)A ，离心率为2，过点(3, 0)B 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）求BM BN ⋅的取值范围.11．（满分14分）如图在平面直角坐标系xoy 中，12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，顶点B 的坐标是(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1FC .（1）若点C 的坐标为41(,)33，且2BF =，求椭圆的方程； （2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值. 12．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 过点)3,2(A ，且离心率21=e ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在过点)4,0(-B 的直线l 交椭圆于不同的两点M 、N ，且满足167OM ON ⋅=（其中点O 为坐标原点），若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．13．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为e =12）， （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0,0)l y kx m k m =+≠>与椭圆交于P ，Q 两点，且以PQ 为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ 面积的最大值及此时直线的方程.参考答案1．（1）2214y x +=；（2）存在实数2k =±使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ．【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用椭圆的离心率和长轴长列出方程，解出a 和c 的值，再利用222a b c =+计算b 的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，将直线与椭圆联立，消参，利用韦达定理，得到12x x +、12x x ，由于以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，所以0OA OB ∙=，即12120x x y y +=，代入12x x 和12y y ，解出k 的值．试题解析：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得22a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩解得2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩222431b a c =-=-=， 故所求椭圆C 的方程为2214y x +=． （2）存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ．理由如下：设点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则⎪⎩⎪⎨⎧=++=14322x y kx y并整理，得22(4)10k x ++-=．（*）则12x x +=，12214x x k =-+． 因为以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，所以0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=．又2121212()3y y k x x x x =++，()()033121212=++++∴x x k x x k 于是2222163044k k k k +--+=++，解得k = 经检验知：此时（*）式的Δ＞0，符合题意．所以当2k =±时，以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ． 考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系．2．（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）以MN 为直径的圆不过A 点． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件设椭圆G 的方程为：()22211y x a a +＝，＞由c a =可得222,1a b ==由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）设11C x y （，），且10x ≠，则11D x y -（，），由已知条件推导出202011x AM AN y -=+-⋅，()220021x y -＝，由此能求出以线段MN 为直径的圆不过点A ．试题解析：（Ⅰ）设椭圆G 的方程为：()22211y x a a +＝，＞,所以,1b =，2c a =，222a c =，∴21c =，∴222,1a b ==， ∴椭圆方程为2212x y += （Ⅱ）设00(,)C x y ，则00(,)D x y -，001AC y k x -=，001BD y k x +=-, 000011:1,:1,y y AC y x BD y x x x -+=+=-- 令0y =，则0000,,11M N x x x x y y -==-+ ∴0000(,1),(,1)11x x AM AN y y =-=---+，∴2001(1)(1)xAM ANy y-⋅=+-+=2200211x yy--+-∵2212xy+=∴22012xy-=，∴22212xAM ANx-⋅==-，∴AM与AN不垂直，∴以MN为直径的圆不过A点．考点：椭圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系3．（Ⅰ）221 62x y+=;【解析】试题分析：（Ⅰ）通过分析可知直线l与x轴的交点为(2,0)，得2c=，又cea==，得a=2222b a c=-=，可得,22=b即可求得椭圆方程为22162x y+=；（Ⅱ）可设直线AB方程为1y kx=+，设1122(,),(,)A x yB x y，故1112AOB AOD BODS S S OD x x∆∆∆=+=-=，为此可联立221162y kxx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22(31)630k x kx++-=，利用韦达定理，求出12122263,3131kx x x xk k-+==++，可得AOBS∆==令21,31tk=+则AOBS∆==1=t，即0k=时，AOBS∆试题解析：（Ⅰ）∵a b>，∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点，∵直线l与x轴的交点为(2,0)，∴椭圆的焦点为(2,0)，∴2c=， 1分又∵3c e a ==，∴a =2222b a c =-= 3分 ∴椭圆方程为22162x y +=． 4分 （Ⅱ） 直线AB 的斜率显然存在，设直线AB 方程为1y kx =+设1122(,),(,)A x y B x y ，由221162y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(31)630k x kx ++-=， 显然0∆>，12122263,3131k x x x x k k-+==++ 6分 1212AOB AOD BODS S S OD x x∆∆∆=+=-=分====分令2,31t k =+则(]0,1t∈， AOB S ∆==1t ∴=，即0k =时，AOB S ∆分考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与曲线相交问题.4．（Ⅰ）22143x y +=；. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由2MNF ∆的周长为8，得4a=8，由12e =得222222314a c e ab a --＝＝＝，从而可求得b ；（Ⅱ）分情况进行讨论：由题意，当直线AB 的斜率不存在，此时可设0000A x x B x x -（，），（，），再由A 、B 在椭圆上可求0x ，此时易求点O 到直线AB 的距离；当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+m ，代入椭圆方程消掉y 得x 的二次方程，知0∆＞，由OA ⊥OB ，得12120x x y y +=，即12120x x kx m kx m +++=（）（），整理后代入韦达定理即可得m ，k 关系式，由点到直线的距离公式可求得点O 到直线AB 的距离，综合两种情况可得结论，注意检验0∆＞．试题解析：（Ⅰ）由题意知，4a=8，所以a=2，因为12e =，所以222222314a c e ab a --＝＝＝，23b ∴=．所以椭圆C 的方程22143x y +=； （Ⅱ）由题意，当直线AB 的斜率不存在，此时可设0000A x x B x x -（，），（，）．又A ，B 两点在椭圆C 上，222000121437x x x ∴+＝，＝所以点O 到直线AB的距离7d ＝ 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+m ．22143x y kx m y ⎧⎪⎨+=⎩+⎪＝，消去y 得2223484120k x kmx m +++-=（）． 由已知0∆＞，设1122A x y B x y （，），（，）．212122284343412km m x x x x k k -+-++＝，＝， ()()221212121212120010OA OB x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⊥∴+=∴+++=∴++++，．（）（），＝．()22222222284123431071142m k k k m k m m k -∴+++-+∴=+＝．（），满足0∆＞．所以点O 到直线AB的距离7d ＝为定值. 考点：椭圆标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系5．（1）221205x y +=；（2）(5,3)(3,5)---；（3）详见解析． 【解析】 试题分析：（1，得224a b = ，由经过点(4,1)M ，得221611a b +=，联立求,a b 即可；（2）本题考查直线和椭圆位置关系，要注意判别式的隐含条件，联立椭圆方程和直线方程，利用0∆>和直线不经过点(4,1)M ，得关于m 的不等式，解不等式得m 的取值范围；（3）由数形结合可知，要证明MEF ∆是等腰三角形，只需证明120k k +=，表示两条直线的斜率，利用韦达定理设而不求，可证明120k k +=．试题解析：（1）设椭圆的方程为22221,x y a b+=因为e =，所以224a b =， 又因为椭圆过点(4,1)M ，所以221611a b+=，解得225,20b a ==，故椭圆标准方程为 221205x y += 4分 （2）将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200,x mx m ++-= 令 2(8)m ∆=220(420)0m -->，解得 55m -<<．又由题设知直线不过M （4,1），所以41m +≠，3m ≠-，所以m 的取值范围是(5,3)(3,5)---． 8分（3）设直线,MA MB 的斜率分别为1k 和2k ，要证明MEF ∆是等腰三角形，只要证明120k k +=即可．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由（2）知1285m x x +=-，2124205m x x -=．则1212121144y y k k x x --+=+-- 122112(1)(4)(1)(4)(4)(4)y x y x x x --+--=--．1221(1)(4)(1)(4)y x y x --+-- 1221(1)(4)(1)(4)x m x x m x =+--++--=122x x +12(5)()8(1)m x x m -+--22(420)8(5)8(1)55m m m m --=--- =0， 120k k ∴+=， 所以MEF ∆是等腰三角形． 14分考点：1、椭圆标准方程；2、直线和椭圆位置关系；3、韦达定理.6．（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）3([,3)． 【解析】试题分析：（Ⅰ）椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3a c +=，且离心率为12，结合222a b c =+，求得,a b 的值，进而求椭圆方程；（Ⅱ）直线和圆锥曲线位置关系问题，往往会将直线方程和圆锥曲线方程联立，根据其位置关系注意判别式符号的隐含条件，同时要善于利用韦达定理对交点设而不求。
2019-2020学年高中数学选修2-1人教A版课件：第2章 圆锥曲线与方程 2.2 2.2.2 第二课时
2．2 椭 圆 2．2.2 椭圆的简单几何性质 第二课时 直线与椭圆的位置关系
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梳理知识 夯实基础
目标导学
1．掌握点与椭圆、直线与椭圆的位置关系及其研究方法， 并能利用相关性质解决一些实际问题．
2．通过全面理解椭圆的几何性质，培养学生综合利用知识、 灵活解决问题的能力．
)切
D．不确定
解析：∵直线 l：kx－y－k＝0 过点(1,0)，而点(1,0)在椭圆x42 ＋y22＝1 的内部，∴直线 l 与椭圆相交．
答案：A
3．以椭圆x42＋y32＝1 内一点 P(1,1)为中点的弦所在的直线方
程是( )
A．3x－4y＋2＝0
B．3x＋4y－7＝0
C．3x－4y＋7＝0
直线 y＝x＋2 与椭圆xm2＋y32＝1 有两个公
共点，则 m 的取值范围是( )
A．m＞1
B．m＞1 且 m≠3
C．m＞3
D．m＞0 且 m≠3
y＝x＋2， 解析：由xm2＋y32＝1，
得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.
Δ＝16m2－4m3＋m＞0， 由 题 意 ， 得m＞0， m≠3，
解得 m＞1 且
y＝－x＋m， 4x1x2＝9，联立1x22 ＋y42＝1，
得 4x2－6mx＋3m2－12＝0，∴x1
＋x2＝32m，x1x2＝3m24－12，∴94m2－4·3m24－12＝9，得 m2＝4， ∴m＝±2.又(P→A＋P→B)·A→B＝0 等价于 P 与 AB 中点连线与 AB 垂
直，设 AB 中点为 Q，则 kPQ＝1，即xy11＋＋22 xy22－－x20＝1，代入得 x0 ＝m2 ＋2，∴x0＝3 或 1.
位置关系
81椭圆公开课一等奖课件
出最值。
注意事项
03
在求最值时，要注意参数的取值范围，以确保结果的准确性。
典型例题分析
例题一
已知椭圆C的参数方程为{x=4cosθ, y=3sinθ}，求椭圆C上的点到直线 l:4x+3y+10=0距离的最大值和最小 值。
例在平题面二直角坐标系xOy中，已知椭圆
C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的 左、右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0) ，其中c>0，椭圆C与过焦点的直线 l:x=my+c相交于M，N两点。若 △F1F2M的周长为4√2，且△F2MN的 面积的最大值为√2/3，求椭圆C的方 程。
变量分离法
几何意义法
通过变量分离，将定值表示为两个变 量的函数，进而求解该函数的值。
利用椭圆的几何意义，结合已知条件 ，确定定值。
方程思想法
通过建立关于定值的方程，解方程求 得定值。
典型例题解析
例题1
已知椭圆C: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点分别为F1, F2， 点P在椭圆C上，且PF1垂直于PF2，过点P作直线l与椭圆C交于另一点Q，若直线 l的斜率为k，且k > 0，则k的取值范围是____。
竞赛题选讲（二）
01
02
03
04
05
题目：已知椭圆C： x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的左、右焦点 分别为F1、F2，过F1的 直线l与C交于A、B两点 。
(1)若l的倾斜角为30°， 且|F1A|=3|F1B|，求椭 圆的离心率；
(2)若|AF1|=3|F1B|，且 3|BF2|=4|AB|，求l的方 程。
高中数学椭圆公开课全省一等奖PPT课件
03
提高数学思维能力
通过学习和练习，提高数学思 维能力，包括逻辑推理、归纳 分类、化归等思想方法的应用 能力。
04
关注数学文化
了解数学史、数学名著和数学 家的故事等数学文化内容，丰 富自己的数学素养和视野。
2024/1/25
30
感谢您的观看
THANKS
2024/1/25
31
PF_2$，若$Delta PF_1F_2$的面积为9，求椭圆的方程。
7
02
椭圆与直线关系
2024/1/25
圆方程的解的情况，可以确定直线与椭圆的位置关系， 如相切、相交或相离。
判别式法
将直线方程代入椭圆方程，消去一个未知数，得到一个关于另一个未知数的二 次方程，通过判别式Δ的值来判断位置关系。当Δ>0时，直线与椭圆相交；当 Δ=0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离。
例题4
结合实际问题，利用参数方程求 解最值问题。
01
02
例题1
已知椭圆的参数方程，求其普通 方程和焦点坐标。
03
04
例题3
利用参数方程研究椭圆上点的运 动轨迹和性质。
2024/1/25
22
05
高考真题回顾与拓展延伸
2024/1/25
23
历年高考真题回顾
（2019年全国卷II）椭圆的焦点 三角形面积问题
解题思路
首先根据题目条件列出方程或不等式，然后结合图形分析，运用相关知识点进行 求解。在解题过程中，需要注意数形结合思想和转化与化归思想的应用。
2024/1/25
12
03
椭圆在几何图形中应用
2024/1/25
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利用椭圆性质求最值问题
高中数学选择性必修一课件：椭圆的综合问题
又|PM|－|PF1|＝－(|PF1|－|PM|)，则求|PM|－|PF1|的最小值，即求|PF1|－|PM| 的最大值，延长 F1M 交椭圆于点 P2，则 P2 是使|PF1|－|PM|取得最大值的点，即 使|PM|－|PF1|取得最小值的点，于是(|PM|－|PF1|)min＝－|MF1|＝－ 34.
【解析】 (1)由 e＝ac＝ 36及 a2＝b2＋c2，得 a2＝3b2. 又2ca2＝3 2，所以 a2＝3，b2＝1. 所以椭圆方程为x32＋y2＝1.
(2)由 e＝ac＝ 36及 a2＝b2＋c2，得 a2＝3b2，则椭圆的方程为3xb22＋by22＝1， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题意知直线 l 的斜率存在且不为 0，则设 l 的方程为 y＝k(x＋1)(k≠0)，
(2)如图，连接 PF2，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，则|PF1|＝10－|PF2|， 所以|PM|＋|PF1|＝|PM|＋10－|PF2|＝10＋(|PM|－|PF2|)，连接 MF2 并延长交椭圆于 点 P3，则 P3 是使|PM|＋|PF1|取得最大值的点，于是(|PM|＋|PF1|)max＝10＋|MF2| ＝10＋ （2－3）2＋（3－0）2＝10＋ 10.又|PM|＋|PF1|＝10－(|PF2|－|PM|)，延 长 F2M 交椭圆于点 P4，则 P4 是使|PF2|－|PM|取得最大值的点，即使|PM|＋|PF1| 取得最小值的点，于是(|PM|＋|PF1|)min＝10－|MF2|＝10－ 10.
探究 2 求椭圆离心率(或取值范围)的基本方法：
(1)当题中出现焦点三角形的三边关系时，可以直接利用定义 e＝ac求解．另
外，易求 b，c 时，可利用 e＝ b2c＋c2求解；易求 a，b 时，可利用 e＝
直线与椭圆的位置关系PPt省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
求解直线与二次曲线有
关问题旳通法
③ 相离 ∆<0
相切 ∆=0
相交 ∆>0
例：已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ，判断它们 旳位置关系. 2
解：联立方程组
y x1 2
x2+4y2=2
消去y 5x2 4x 1 0 ----- (1)
因为∆=36>0
所以，方程有两个根， 故直线与椭圆有两个交点
则x1
x2
83 5
, x1x2
8 5
从而有 AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2
＝ ２（8 3）2 -４ 8 ＝8
5
55
归纳： 求直线与椭圆旳弦长环节：
①联立方程组 ②消去一种未知数 ③利用弦长公式:
通法 | AB | 1 k 2 | xA xB |
2
2
所以当 5 m 5 时，直线与椭圆有公共点
2
2
探究二：直线与椭圆旳相交弦长旳求法
直线方程为: y kx m ，椭圆方程为：x2 y2 1
直线与椭圆相交旳弦长：
a2 b2
|AB| =
A（x1,y1）
B（x2,y2）
例： 已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆x42＋y2＝1 的 右焦点，交椭圆于 A、B 两点，求弦 AB 的长．
到直线旳距离最小？最小距离是多少？
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4x 5 y 40 0的距离的表达式.
d 4x0 5 y0 40 4x0 5 y0 40 且 x02 y02 1
42 52
41
25 9
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
椭圆高考复习课件ppt
\leqslant
a$和$-b
\leqslant y \leqslant b$
。
椭圆的离心率
椭圆的焦距与长轴长度的
比叫做椭圆的离心率，记
作$e$，即$e
=
\frac{c}{a}$，其中$c$是
椭圆的焦距。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程
以焦点为极点，以长轴端点为极轴建立极坐 标系，则椭圆的极坐标方程为$\rho = \frac{2b^{2}}{1 - e^{2}\cos^{2}\theta}$ 。其中$\rho$为极径，$\theta$为极角。
详细描述
例题3：已知椭圆焦点 在x轴上，中心在原点 ，长轴长为4，短轴长 为2，并且一条切线方 程为y=x+1，求椭圆的 标准方程。
解答
根据椭圆的切线方程和 极坐标方程，可得到原 点为极点，极轴为x轴 ，进而求出椭圆的标准 方程。
谢谢
THANKS
践操作能力。
注重实际应用，培养综合素质
强化应用意识
在复习过程中要强化应用意识，引导考生将所学知识应用 到实际生活中，提高知识的实际应用能力。
提高应试技巧
在复习过程中要注重提高应试技巧，包括答题技巧、时间 分配、心态调整等方面，帮助考生在考试中更加从容应对 。
培养综合素质
在复习过程中要注重培养考生的综合素质，包括语言表达 、思维逻辑、人际交往、心理素质等方面，为未来的学习 和生活打下坚实的基础。
椭圆的参数方程与直角坐 标系下的方程转换
将$\rho = \fr乘$\rho$， 可得$\rho^{2} = \frac{2b^{2}\rho^{2}}{1 - e^{2}\cos^{2}\theta}$，再将其展开得到 $\rho^{2} = (1 - e^{2})x^{2} + y^{2}$，
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(1)求 E 的方程； (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求 l 的方程．
3
【解】 (1)设 F(c,0)，由条件知，2c＝233，得 c＝ 3. 又ac＝ 23，所以 a＝2，b2＝a2－c2＝1. 故 E 的方程为x42＋y2＝1.
2利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题 的核心是在两个参数之间建立等量关系；
3利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参 数的取值范围；
4利用基本不等式求出参数的取值范围； 5利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.
8
（北京高考）已知椭圆 C：ax22＋yb22＝1(a＞b＞0)的一个顶点为 A(2,0)，离心率为 22.直线 y＝k(x－1)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N．
6
因为 t＋4t ≥4，当且仅当 t＝2，即 k＝±27时等号成立， 且满足 Δ>0.
所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y＝ 27x－2 或 y＝－ 27x－2.
7
规律方法 2 在利用代数法解决最值与范围问题时常从 以下五个方面考虑：
1利用判别式பைடு நூலகம்构造不等关系，从而确定参数的取值范 围；
x1＋x22－4x1x2＝4
4k2－3 4k2＋1 .
从而|PQ|＝
1＋k2|x1－x2|＝4
k2＋1· 4k2－3
4k2＋1
.
又点 O 到直线 PQ 的距离 d＝ k22＋1，
所以△OPQ
的面积
S△OPQ＝21d·|PQ|＝4
4k2－3 4k2＋1 .
设 4k2－3＝t，则 t>0，S△OPQ＝t2＋4t 4＝t＋4 4t .
其离心率为 23，故
a2－4 a＝
23，解得
a＝4.
故椭圆 C2 的方程为1y62 ＋x42＝1.
13
(2)法一 A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)， 由O→B＝2O→A及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 y＝kx. 将 y＝kx 代入x42＋y2＝1 中，得(1＋4k2)x2＝4， 所以 x2A＝1＋44k2. 将 y＝kx 代入1y62 ＋x42＝1 中，得(4＋k2)x2＝16， 所以 x2B＝4＋16k2.
14
2019/10/17
15
又由O→B＝2O→A，得 x2B＝4xA2 ，即4＋ 16k2＝1＋164k2， 解得 k＝±1.故直线 AB 的方程为 y＝x 或 y＝－x.
16
法二 A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)， 由O→B＝2O→A及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 y＝kx. 将 y＝kx 代入x42＋y2＝1 中，得(1＋4k2)x2＝4， 所以 x2A＝1＋44k2.
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法二 A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)， 由O→B＝2O→A及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 y＝kx. 将 y＝kx 代入x42＋y2＝1 中，得(1＋4k2)x2＝4， 所以 x2A＝1＋44k2.
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由O→B＝2O→A，得 x2B＝1＋164k2，y2B＝11＋6k42k2. 将 x2B，y2B代入1y62 ＋x42＝1 中，得14＋＋4kk22＝1，即 4＋k2＝1 ＋4k2， 解得 k＝±1.故直线 AB 的方程为 y＝x 或 y＝－x.
椭圆中的相交弦问题
化州市第一中学 张海玲
1
一、直线与椭圆的位置关系的判断
将直线方程与椭圆方程联立，消去一个变量得到关于
x(或 y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或 ay2＋by＋c＝0)．
可考虑一元二次方程的判别式 Δ，有
①Δ＞0⇔直线与圆锥曲线相___交_； ②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相___切_； ③Δ＜0⇔直线与圆锥曲线_相__离___
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考向三 综合应用
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已知椭圆 C1：x42＋y2＝1，椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴， 且与 C1 有相同的离心率．
(1)求椭圆 C2 的方程； (2)设 O 为坐标原点，点 A，B 分别在椭圆 C1 和 C2 上，O→B ＝2O→A，求直线 AB 的方程．
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【解】 (1)由已知可设椭圆 C2 的方程为ya22＋x42＝1(a>2)，
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举一反三 1 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)
为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线
OA 与 l 的距离等于 4?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.
二、圆锥曲线的弦长
设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A、B 两
点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝_1_＋__k_2|_x2_－__x_1_| ＝ －y1|.
1＋k12|y2
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考向二 [144] 最值与范围问题 (2014·课标全国卷Ⅰ)已知点 A(0，－2)，椭圆 E：
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(2)当 l⊥x 轴时不合题意， 故设 l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 将 y＝kx－2 代入x42＋y2＝1 得 (1＋4k2)x2－16kx＋12＝0. 当 Δ＝16(4k2－3)>0 时，则 k2>34， x1＋x2＝1＋164kk2，x1x2＝1＋124k2.
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∴|x1－x2|＝
(1)求椭圆 C 的方程； (2)当△AMN 的面积为 310时，求 k 的值．
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规律方法 直线与椭圆相交问题解题策略 当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数 的关系”设而不求计算弦长；涉及求过定点的弦中点的轨迹 和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法” 设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐 标联系起来，相互转化.其中，判别式大于零是检验所求参数 的值有意义的依据.