全等三角形知识点梳理

全等三角形知识点梳理 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

⎩

⎨⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，BC ＝DC ，

第十二章 全等三角形

杨

1．全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．对应边相等。 2．全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．对应角相等。

证明三角形全等基本思路：

三角形全等的判定(1)

三边分别相等的两个三角形全等，简写成边边边或SSS ．

1.如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ，求证：(1)△ABC ≌△ADC ；(2)∠B ＝∠D.

证明：(1)连接AC ，在△ABC 与△ADC 中，

∴△ABC ≌△ADC(SSS)．

(2)∵△ABC ≌△ADC ，∴∠B ＝∠D.

2.已知在四边形ABCD 中，AB=CD,AD=BC,,求证AD

1.如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A ，B ，D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠

ABC ＝∠EBD＝90°)，连接AE ，CD ，试确定AE 与CD 的关系，并证明你的结论．

解：结论：AE ＝CD ，AE ⊥CD.

证明：延长AE 交CD 于F ，在△ABE 与△CBD 中⎩⎨⎧AB ＝CB ，

∠ABE ＝∠CBD，BE ＝BD ，

，

∴△ABE ≌△CBD(SAS )，∴AE ＝CD ，∠EAB ＝∠DCB， ∵∠DCB ＋∠CDB＝90°，∴∠EAB ＋∠CDB＝90°，

∴∠AFD ＝90°，∴AE ⊥CD.

2.在△ABC 和△CDE 中，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°，AE 与BD 交与点F （1）求证：△ACE ≌△BCD （2）求证：AE ⊥BD

1,利用SAS 证明全等，

AC=BC DC=EC ∠BCD=∠ACE 2，全等得到角相等 ∠CAE=∠DCB ∠CAB+∠EAB+∠ABC=90° ∠DCB ∠EAB+∠ABC=90°

三角形全等的判定(3)

两角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等，简称角边角或ASA ．

两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简称角角边或AAS ．

求证：三角形一边的两端点到这边的中线或中线延长线的距离相等．

如图，AD 为△ABC 的中线，且CF⊥AD 于点F ，BE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，求证：BE ＝CF.

证法1：

∵AD 为△ABC 的中线，∴BD ＝CD.∵BE⊥AD，CF ⊥AD ，

∴∠BED ＝∠CFD＝90°.在△BED 与△CFD 中⎩⎨⎧

∠BED＝∠CFD，

∠BDE ＝∠CDF，BD ＝CD ，

∴△BED ≌△CFD(AAS )，∴BE ＝CF.

证法2：∵S △ABD ＝12AD·BE，S △ACD ＝1

2

AD·CF，

且S △ABD ＝S △ACD (等底同高的两个三角形面积相等)，

∴12AD·BE＝1

2

AD·CF，∴BE ＝CF.

三角形全等的判定(4)

斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，简称“斜边、直角边”或“HL ”．

F

如图，E ，F 分别为线段AC 上的两点，且DE⊥AC 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，若AB ＝CD ，AE ＝

CF ，BD 交AC 于点M. 求证：BM ＝DM ，ME ＝MF.

证明：∵AE＝CF ，∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ∴AF ＝CE.

在Rt △ABF 与Rt △CDE 中⎩

⎨⎧AB ＝CD ，

AF ＝CE ，

∴Rt △ABF ≌Rt △CDE(HL )，

∴BF ＝DE.∵DE⊥AC，BF ⊥AC ， ∴∠DEM ＝∠BFM＝90°.

在△BFM 与△DEM 中⎩⎨⎧

∠BFM＝∠DEM，

∠BMF ＝∠DME，BF ＝DE ，

∴△BFM ≌△DEM(AAS )， ∴BM ＝DM ，ME ＝MF.

角的平分线的性质

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 文字命题的证明方法：

a .明确命题中的已知和求证；

b .根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；

c .经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程． 方法总结：

（1）角平分线的性质是证明线段相等的另一途径．

（2）在已知角平分线的条件下，也可想到翻折构造全等的方法．角平分线的性质是证线段相等的常用方法之一，角平分线的性质与判定通常是交叉使用，作角的平分线或过角的平分线上一点作角两边的垂线段是常用的辅助线．

1.在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，E ，F 分别是AB ，AC 上一点，并且有∠EDF＋∠EAF ＝180°.试判断DE 和DF 的大小关系并说明理由．

解：结论：DE ＝DF.

证明：过点D 作DG⊥AB 于点G ，作DH⊥AC 于点C ， ∵AD 是△ABC 的角平分线，∴DG ＝DH.

∵∠DGA＝∠DHA＝90°，∴∠GDH ＋∠BAC＝180°，

∵∠EDF ＋∠EAF＝180°，∴∠GDH ＝∠EDF，

∴∠GDH －∠EDH＝∠EDF－∠EDH，∴∠GDE ＝∠FDH.

在△DGE 与△DHF 中，⎩⎨⎧

∠DGE＝∠DHF＝90°，

DG ＝DH ，

∠GDE ＝∠HDF，

∴△DGE ≌△DHF(ASA )， ∴DE ＝DF