第02课时(正弦定理(2))

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高二数学人教A版必修5教学教案1-1-1正弦定理(2)_1

正弦定理一、教学内容的分析“正弦定理”是人教A版必修五第一章第一节的主要内容。

其主要任务是引入并证明正弦定理．做好正弦定理的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力．二、学生学习情况分析在初中学生已经学习过关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，本节内容是处理任意三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有着密切的联系；这里的一个重要问题是：是否能得到这个边、角关系准确量化的表示．也就是如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．三、设计思想培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。

这就要求教师在教学中引导学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得知识。

所以本节课的教学将以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。

四、三维目标1、知识与技能通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及证明方法，并能解决一些简单的三角形问题。

2、过程与方法通过对特殊三角形边长和角度关系的探索，发现正弦定理，初步学会用特殊到一般的思想方法发现数学规律。

3、情感态度与价值观通过生活实例的探究引出正弦定理，体现数学来源于生活，并应用于生活，激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值。

五、教学重难点重点：正弦定理的证明及其基本运用．难点：（1）正弦定理的探索和证明；（2）已知两边和其中一边的对角解三角形时，判断解的个a cb O B C A 数．六、教学过程设计（一）新课导入如图，河流两岸有A 、B 两村庄，有人说利用测角器与直尺，不过河也可以得到A 、B 两地的距离(假设现在的位置是A 点)，请同学们讨论设计一个方案解决这个问题。

6.4.3余弦定理、正弦定理(第二课时)课件(人教版)

探究新知
下面先研究锐角三角形的情形. 证明：
由分配律，得即也即所以
探究新知
由分配律，得即也即所以
探究新知
探究新知
证明：
由分配律，得即也即所以同理可得，
探究新知
文字语言
符号语言
正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的角的正弦之间的一个定量关系.利用正弦定理，不仅可以解决“已知两角和一边，解三角形”的问题，还可以解决“已知两边和其中一边的对角，解三角形”的问题.
课后思考:探索和证明这个定理的方法很多，有些方法甚至比向量法更加简洁. 你还能想到其他方法证明正弦定理吗？
巩固练习
解：由三角形内角和定理，得由正弦定理，得
跟踪训练
题型一：已知两角及一边解三角形
答案：A.
巩固练习
解：由正弦定理，得：
此时，
巩固练习
此时，
跟踪训练
题型二：已知两边及一边的对角解三角形
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第2课时正弦定理
探究新知
探究1：通过对直角三角形的研究，视察它的角和三边之间的关系，猜想它们之间的联系.1 Nhomakorabeac
思考1：那么对于锐角三角形或钝角三角形，上述关系式是否仍然成立？猜想：对于锐角三角形或钝角三角形，上述关系式仍然成立.
探究新知
思考2：向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦.如何实现转化？
课堂小结
正弦定理
文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的的正弦的比相等
课
已知两角和一边，解三角形
堂小
定理应用
结
已知两边和其中一边的对角，解三角形（注意多解问题）

高中数学必修二课件：正弦定理(第二课时)

例2 当△ABC为钝角三角形时，求证：S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B.
【证明】不妨设B为钝角，如图，过A作AD⊥CB交CB的延长线于D，
则AD＝AB·sin∠ABD＝AB·sin(180°－B)＝ABsin B＝csin B. 又AD＝AC·sin C＝bsin C，∴csin B＝bsin C. ∴S△ABC＝12BC·AD＝12acsin B＝12absin C.同理S△ABC＝12bcsin A＝12acsin B. 所以S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B.
6．4.3 余弦定理、正弦定理(二)(第2课时) 正弦定理
要点1 正弦定理的常见变形
(1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
a (2)sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝2R；
(3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
课后巩固
1．(高考真题·课标全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已
π
π
知b＝2，B＝ 6 ，C＝ 4 ，则△ABC的面积为( B )
A．2 3＋2
B. 3＋1
C．2 3－2
D. 3－1
解析
A＝π－(B＋C)＝π－
π6 ＋π4
＝
7π 12
，由正弦定理
a sin
A
＝
b sin
B
5．(2016·北京)在△ABC中，A＝2π 3 ，a＝ 3c，则bc＝____1____．
解析 ∵a＝ 3c，∴sin A＝ 3sin C，∵A＝2π3 ，∴sin A＝ 23，∴sin C＝ 12，又C必为锐角，∴C＝π6 ，∵A＋B＋C＝π，∴B＝π6 ，∴B＝C，∴b＝c，∴ bc＝1.

6.4.3第二课时正弦定理PPT课件(人教版)

则△ABC的形状是
()
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
解析：由3b＝2 3asin B，得sinb B＝2 33a，根据正弦定理，
得sinb B＝sina A，所以sina A＝2 33a，即sin A＝ 23.又角A是锐
角，所以A＝60°. 又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
c＝b·ssiinn CB＝2×ssiinn 4650°°＝ 6.
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第二课时正弦定理
[思考发现]
1．有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形；
②正弦定理不适用于钝角三角形；
③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；
④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
其中正确的个数是
()
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正确．故选B. 答案：B
由sina A＝sinc C得，c＝assiinnAC＝8×sinsin457°5°
8× ＝
2＋ 4 2
6 ＝4(
3＋1)．所以A＝45°，c＝4(
3＋1)．
2
已知任意两角和一边，解三角形的步骤 (1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角； (2)求边：根据正弦定理，求另外的两边．已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．

正弦定理和余弦定理ppt课件

总结词
正弦定理和余弦定理在物理学中有着广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦定理，我们可以更准确地计算这些力的作用效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。

1.1.1正弦定理2

a b a sin B 1 sin A 解：由 sin A sin B 得 b 2
∵ 在 ABC 中 a b ∴ A 为锐角
A 30
变式：在例 2 中，将已知条件改为以下几种情况，角B的结果有几种？
1 2
b 20, A 60 , a 20 3 ;
S ABC
∴
S ABC
1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
1 1 S ABC ac sin B ab sin C 2 2 1 bc sin A 2 1 1
正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.
即
变式:
a b c sin A sin B sin C
j AB j AC j CB
B A
j
csin A asinC
同理，过点C作 j BC
a c sin A sin C
则
j AB j (AC CB )
变式训练：
（1）在△ABC中，已知b= ， 3 A=
45 ， B=
，求 60 a。
b sin A a b 3 sin 45 = = 2 解： ∵ ∴ a sin B sin A sin B sin 60
（2）在△ABC中，已知c= ， 3A=
， 75B =
60b。，求
a b c 3 2 R（R为△ABC外接圆半径） sin A sin B sin C
a b b c c a 1 ; ; sin A sin B sin B sin C sin C sin A 2sin A : sin B : sin C a : b : c

1.1正弦定理(两课时)

3.思维误区警示：
(1)正弦定理可以解任意三角形； (2)运用该定理解决“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求其它元素”这类问题时，注意对解的判断.
a sin C c 49.57 sin A
已知两边和其中一边的对角,求其他边和角练习
1.根据下列条件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30°.
[B=90°，C=60°， c= ]
(2) b=40，c=20，C=45°.
13 3
注意：
无解
三角形中角的正弦值小于１时，角可能有两解；
然后用大角对大边或三角形三边三角关系进行检验。
例 2 已知a=16， b= 16 3， A=30° . 已知两边和其中一边求角B，C和边c 的对角,求其他边和角 a b 解：由正弦定理 C
sin A sin B b sin A 16 3 sin 30 3 得 sin B a 16 2
16 3
300
16
16
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120° 当Ｂ＝60°时
C=90°
A
B
B
c 32 .
a sin C c 16 . sin A
当Ｂ＝120°时 C=30°
变式: a=30, b=26, A=30°求角B，C和边c
a b 解：由正弦定理 sin A sin B b sin A 26 sin 30 13 A 得 sin B a 30 30
4.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三
角形
定理的应用
已知两角和任意边，求其他两边和一角
。。
例 1 在△ABC 中，已知c = 10,A = 45 , C = 30 求 C a,b. 解： a c ∵

高中数学平面向量及其应用6.4.3第2课时正弦定理课件

=
×°

=
∴B=45°,∴A=180°-60°-45°=75°.
答案:75°

,

4.在△ABC 中,A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且
判断△ABC 的形状.

解法一:由
=
=

得

=

,

,

=

,
∴sin B=cos B,∴tan B=1.
故 B=60°或 B=120°.
①当 B=60°时,C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°.
在 Rt△ABC 中,C=90°,a=2 ,b=6,c=4 ,
故 ac=2 ×4 =24.
②当 B=120°时,C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°,
∴A=C,则有 a=c=2 .

(2)由正弦定理,得 sin A=

=
°

=

.

∵0°<A<180°,∴A=60°或 A=120°.
当 A=60°时,C=75°,

∴c= =
°
°
+
=
;

当 A=120°时,C=15°,

∴c= =
°
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一已知两角和一边解三角形
【例1】在△ABC中,已知A=60°,B=45°,c=2,求C,a,b.
分析:先根据三角形的内角和定理求出角C,再由正弦定理求
a,b.
解:在△ABC中,C=180°-(A+B)=180°-(60°+45°)=75°.

2022年秋高中数学第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理正弦定理第2课时正弦

锐角 A
图形
关系式解的个数
两解
bsin A<a<b ______
a__<_b_s_i_n_A_
无解
【预习自测】
在△ABC中，a＝9，b＝10，A＝60°，判断三角形的解有多少个？
【提示】sin
B＝basin
A＝190×
23＝5 9 3，而
35 2<
9 3<1，所以当B为
锐角时，满足sin
B＝
53 9
ab 2Rc
由正弦定理得sin
B＝bsian
A＝6sin 2
30°＝ 3
23，
又∵0°<B<180°，∴B1＝60°，B2＝120°.
当B1＝60°时，C1＝90°，c1＝assiinn AC1＝2 s3insi3n09°0°＝4 3；
当B2＝120°时，C2＝30°，c2＝assiinn AC2＝2 s3insi3n03°0°＝2 3.
当C＝120°时，B＝15°，b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1.
所以b＝ 3 ＋1，B＝75°，C＝60°或b＝ 3 －1，B＝15°，C＝
120°.
已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路 (1)由三角形的内角和定理求出第三个角． (2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．
范围是
()
A．k＝8 3
B．0＜k≤12
C．k≥12
D．0＜k≤12或k＝8 3
【答案】D
【解析】已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边
的对角的正弦值，由正弦值求角时，需对角的情况进行讨论：当AC＜
BCsin B，即12＜ksin 60°，即k＞8 3 时，三角形无解；当AC＝BC·sin

必修5解三角形第02课时正弦定理2

必修5解三角形第02课时正弦定理2要求：会应用正弦定理求解实际问题、判断三角形的形状、证明平面几何问题重点：求解实际问题、判断三角形的形状难点：证明平面几何问题过程：一、复习一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．1、正弦定理表示形式：R C c B b A a 2sin sin sin ===（外接圆直径）；⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2；C B A cb a sin :sin :sin ::=.2、正弦定理应用范围：利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题. ①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边或角）.3、正弦定理的变形及面积公式：①C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；(R 为△ABC 的外接圆半径) ②R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===；③三角形面积公式：B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ Rabc 4=C B A R s i n s i n s i n 22= r c b a )(21++=（其中r 为△ABC 的内切圆半径）．4、基础练习：(1)在△ABC 中，一定成立的等式是（）A ．B b A a sin sin = B ．B b A a cos cos =C ．A b B a sin sin =D ．A b B a cos cos =(2)在△ABC 中，若2cos 2cos 2cos C c B b A a==，则△ABC 是（）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．等边三有形(3)在∆ABC 中，A =60︒，a =3，则CB A c b a s i n s i n si n ++++等于 .(4)根据下列条件解三角形：b =47,c =38,C =110︒二、正弦定理的应用常规题型及其解法例1：根据下列条件解三角形：a =16，b =26，A =30︒.两解变：(1) a=13，b=26，A=30︒；一解(2) a=12，b=26，A=30︒；零解(3) a=30，b=26，A=30︒.一解归纳：在△ABC中，已知a、b和A时解三角形的各种情况：1．如果A为锐角，当：(1) a=b sin A时有一解；(2) b sin A< a <b时有两解；(3) a≥b时有一解.(4) a < b sin A时无解2．A为直角或钝角，a>b时一解.利用正弦定理求范围例2：在△ABC中，a=x，b=2，B=45︒，若三角形有两解，则x的取值范围是.练习：在△ABC中，a=2，c=1，则角C的取值范围是.例 3.在△ABC 中, 若C =3B , 求b c 的取值范围.这类题型一般是将目标式转化为某个变量的函数解: ∵ A + B + C=π, ∴ C=3B.∴ A=π- 4B>0, ∴ 0<B<4π，∴ 0<sin 2B<21. 又 ∵ sin sin 3sin(2)sin sin sin c C B B B b B B B+=== =3sin 2cos cos 2sin 3sin 4sin sin sin B B B B B B B B+-==3 – 4sin 2B , ∴ 1<3 – 4sin 2B <3, 故1<bc <3.若改条件“C =3B ”为“C =2B ”呢？例 4. 判断满足下列条件的△ABC 的形状：(1) sin 2A+sin 2B=sin 2C ；(2) a cos B =b cos A ； (3) C c B b A a cos cos cos ==； (4)c C b B a A cos cos sin ==.小结：利用正弦定理判断三角形形状的方法1、化角为边的等式，根据勾股定理判断；2、化边为角的等式，根据三角函数的单调性判断.变：在△ABC 中，设BC =a ，CA =b ，=c ，且a ∙b =b ∙c =c ∙a ，判断三角形的形状.提巩固高例 5.在△ABC 中，AD 是∠A 的内（外）角平分线，证明：DC BD AC AB =.利用正弦定理证明平面几何问题把分散的量集中起来！三、课堂小结：1、解的组数的讨论在△ABC 中，已知a 、b 和A 时解三角形的各种情况：（1）如果A 为锐角，当：(1) a =b sin A 时有一解；(2) b sin A < a <b 时有两解；(3) a ≥b 时有一解.(4) a < b sin A 时无解（2）A 为直角或钝角，a >b 时一解.2、利用正弦定理判断三角形形状的方法（1）化角为边的等式，根据勾股定理判断；（2）化边为角的等式，根据三角函数的单调性判断.3、利用正弦定理证明平面几何问题四、课堂巩固1.在△ABC 中，若a·cosA=b·cosB ，则△ABC 是( )(A)等腰三角形 (B)直角三角形(C)等腰或直角三角形 (D)等腰直角三角形2.在△ABC 中，若c b a C B A ：：求,5:4:3::=3.在△ABC 中，若,3,600==a A 求 cb C B C B Ac b a 2sin 2sin )2(sin sin sin )1(++++++的值4.在△ABC 中，若B a sin =C b sin =Ac sin ，试判断三角形的形状五、作业布置1. 在∆ABC 中，若ba B A =tan tan ，则∆ABC 的形状为 . 2. 在∆ABC 中，若3a=2bsinA ，则B= .3. 在∆ABC 中，若a+b=3+2,A=60︒，B=45︒，则c= .4. 在∆ABC 中，若sinA:sinB:sinC=4:5:6，且a+b+c=30，则a= .5. 在∆ABC 中，若b=2，B=45︒，且此三角形有两解，则a 的取值范围是 .6. 在∆ABC 中，已知C=2B ，求c b 的取值范围.7. 在∆ABC 中，已知tanA=21，tanB=31，且最长边的长为55，求： (1)C ；(2)最短边的长.8．在ABC ∆中，若cC b B a A cos cos sin ==，试判断ABC ∆的形状．9.在△ABC 中，已知a =m ，c =10，C =30︒，求b .(1) m =20；(2) m =15；(3) m =8；(4) m =25.参考答案：1. 等腰三角形2. 60︒或120︒3.226+4.85.(2,22)6.(21,1)7.(1)C=π43;(2)最短边长b=58. C B A。

人教A版高中数学必修第二册第6章正弦定理

(5)在△ABC 中，若 A＞B，则必有 sin A＞sin B．
()
√ 提示：A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B．
(6)在△ABC
中， sin
a＋b－c A＋sin B－sin
C＝sina
A．(
)
√ 提示：设sina A＝sinb B＝sinc C＝2R，则 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，可知结论正确．
正弦定理的综合应用
已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．请根据正弦定理探究下列问题．
探究 1：若 3a＝2bsin A，则 B 的大小是多少？提示：由正弦定理，得 3sin A＝2sin Bsin A．因为 sin A≠0，所以 sin B＝ 23，则 B＝π3或23π．探究 2：若 2bcos B＝acos C＋ccos A，则 B 的大小是多少？提示：由正弦定理得 2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin C·cos A＝sin(A ＋C)＝sin B．因为 sin B≠0，所以 cos B＝12，所以 B＝π3．
【例 1】在△ABC 中，已知 b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定
C 解析：由正弦定理sinb B＝sinc C，
得
sin
B＝bsicn
C＝40×20
3 2＝
3>1．
所以角 B 不存在，即满足条件的三角形不存在．
解析：因为 sin B＝12，且 B∈(0，π)，所以 B＝π6或 B＝56π．又 C＝π6，所以 B＝π6，A＝π－B－C＝23π．
又 a＝ 3，由正弦定理得sina A＝sinb B，则 32π＝ b π，

第6章 6.4 6.4.3 第2课时正弦定理-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册课件

释疑难
sin A＝2aR，a＝2Rsin A；sin B＝2bR，b＝2Rsin B；sin C＝2cR，c＝2Rsin
作业
C．由这些变形形式，我们可以实现三角形中边、角关系的转化．返首页
·
24
·
情
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课
境
堂
导
小
学
结
·
探新
【例 3】
在△ABC 中，若 sin A＝2sin Bcos C，且 sin2A＝sin2B
第六章平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理
第2课时正弦定理
2
·
情
学习目标
核心素养
课
境导
1.通过对任意三角形边长和角度 1.通过对正弦定理的推导及应用
堂小
学
结
·
探关系的探索，掌握正弦定理的内容正弦定理判断三角形的形状，培养提
新
素
知及其证明．(难点)
逻辑推理的核心素养．
时分
层
释
疑思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．
作业
难
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·
16
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情境
[跟进训练]
课堂
导
小
学
探新
1．如图，锐角△ABC 的外接圆 O 半径为 R，证明sina A＝2R.
·
结
提素
知
养
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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17
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[证明] 连接 BO 并延长，交外接圆于点 A′，连接 A′C，

第一章 1.1.2 第2课时正弦定理和余弦定理

第2课时正弦定理和余弦定理学习目标 1.熟练掌握正弦、余弦定理及其变形形式.2.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题．知识点一正弦定理、余弦定理及常见变形 1．正弦定理及常见变形(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (其中R 是△ABC 外接圆的半径)； (2)a ＝b sin A sin B ＝c sin A sin C ＝2R sin A ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .2．余弦定理及常见变形 (1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ； (2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.知识点二有关三角形的隐含条件 (1)由A ＋B ＋C ＝180°可得sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ， (2)由大边对大角可得sin A ＞sin B ⇔A ＞B .(3)由锐角△ABC 可得任意两内角之和大于π2，进而可得sin A ＞cos B .1．当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形．( × ) 2．△ABC 中，若cos 2A ＝cos 2B ，则A ＝B .( √ ) 3．在△ABC 中，恒有a 2＝(b －c )2＋2bc (1－cos A )．( √ )4．△ABC 中，若c 2－a 2－b 2>0，则角C 为钝角．( √ )题型一利用正弦、余弦定理解三角形例1 在△ABC 中，若c cos B ＝b cos C ，cos A ＝23，求sin B 的值．解由c cos B ＝b cos C ，结合正弦定理，得sin C cos B ＝sin B cos C ，故sin(B －C )＝0，∵0<B <π，0<C <π， ∴－π<B －C <π，∴B －C ＝0，B ＝C ，故b ＝c .∵cos A ＝23，∴由余弦定理可知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2b 2－2b 2·23＝23b 2，得3a 2＝2b 2，再由余弦定理，得cos B ＝66，故sin B ＝306. 引申探究1．对于本例中的条件，c cos B ＝b cos C ，能否使用余弦定理？解由余弦定理，得c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab .化简得a 2＋c 2－b 2＝a 2＋b 2－c 2， ∴c 2＝b 2，从而c ＝b .2．本例中的条件c cos B ＝b cos C 的几何意义是什么？解如图，作AD ⊥BC ，垂足为D . 则c cos B ＝BD ，b cos C ＝CD .∴c cos B ＝b cos C 的几何意义为边AB ，AC 在BC 边上的射影相等．反思感悟 (1)边、角互化是处理三角形边、角混合条件的常用手段． (2)解题时要画出三角形，将题目条件直观化，根据题目条件，灵活选择公式．跟踪训练1 在△ABC 中，已知b 2＝ac ，a 2－c 2＝ac －bc . (1)求A 的大小； (2)求b sin B c的值．解 (1)由题意及余弦定理知， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝ac ＋bc －ac 2bc ＝12，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(2)由b 2＝ac ，得b c ＝ab ，∴b sin Bc ＝sin B ·a b ＝sin B ·sin A sin B ＝sin A ＝32. 题型二判断三角形形状例2 在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a ＋b a ＝cos B ＋cos A cos B ，试判断三角形的形状．解方法一由正弦定理知，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，R 为△ABC 外接圆半径． ∵a ＋b a ＝cos B ＋cos Acos B ， ∴sin A ＋sin B sin A ＝cos B ＋cos Acos B，∴sin A cos B ＋sin B cos B ＝sin A cos B ＋sin A cos A ， ∴sin B cos B ＝sin A cos A ， ∴sin 2B ＝sin 2A ， ∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．方法二由a ＋b a ＝cos B ＋cos A cos B ，得1＋b a ＝1＋cos Acos B ，b a ＝cos Acos B，由余弦定理，得cos A cos B ＝b 2＋c 2－a 22bc a 2＋c 2－b 22ac＝a b ·b 2＋c 2－a2a 2＋c 2－b 2，∴b a ＝a (b 2＋c 2－a 2)b (a 2＋c 2－b 2). a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， a 2c 2－a 4＝b 2c 2－b 4， c 2(a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2)． ∴a 2＝b 2或c 2＝a 2＋b 2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．反思感悟 (1)要结合题目特征灵活选择使用正弦定理还是使用余弦定理． (2)变形要注意等价性，如sin 2A ＝sin 2B ⇏2A ＝2B . c 2(a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2) ⇏c 2＝a 2＋b 2.跟踪训练2 在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定答案 C解析由正弦定理知，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∴sin 2A ＋sin 2B <sin 2C 可化为 a 2＋b 2<c 2，a 2＋b 2－c 2<0. ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0.∴角C 为钝角，△ABC 为钝角三角形．题型三利用正弦、余弦定理进行求值、化简和证明例3 在△ABC 中，有 (1)a ＝b cos C ＋c cos B ； (2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A ，这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．证明方法一 (1)由正弦定理，得 b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴b cos C ＋c cos B ＝2R sin B cos C ＋2R sin C cos B ＝2R (sin B cos C ＋cos B sin C ) ＝2R sin(B ＋C ) ＝2R sin A ＝a . 即a ＝b cos C ＋c cos B .同理可证(2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A . 方法二 (1)由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，∴b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋b 2－c 22a ＋a 2＋c 2－b 22a ＝2a 22a ＝a .∴a ＝b cos C ＋c cos B .同理可证(2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A .反思感悟证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系．跟踪训练3 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝ . 答案 1解析由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2a cos A c ＝4cos A 3＝1.求三角形一角的值典例在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3或2π3C.π3D.π6或5π6 答案 B解析 ∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，代入已知等式得2ac ·cos B tan B ＝3ac ，即sin B ＝32，则B ＝π3或2π3. [素养评析] 选择运算方法是数学运算素养的内涵之一．运算从一点出发可以有无限个方向．一个式子也可以有无限个变形，逐个试探肯定不现实．那么如何选择运算方向才能算得出，算得快？要点有3个：①公式要熟，如本例至少应知道cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，tan B ＝sin Bcos B .②观察联想，如看到a 2＋c 2－b 2应联想到a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B .③权衡选择，如本例也可把所有的边都化为相应角的正弦，但权衡运算繁简，不如整体把a 2＋c 2－b 2化为2ac cos B 简单.1．在△ABC 中，若b 2＝a 2＋c 2＋ac ，则B 等于( ) A ．60° B ．45°或135° C ．120° D ．30°答案 C解析 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2＋ac ， ∴ac ＝－2ac cos B ，cos B ＝－12，又0°<B <180°， ∴B ＝120°.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B <c sin C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定答案 C解析根据正弦定理可得a 2＋b 2<c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，故C 是钝角，△ABC 是钝角三角形．3．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶3∶2，则cos B 等于( ) A.1116 B.79 C.2116 D.2916 答案 A解析依题意设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝2k (k >0)，则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝16k 2＋4k 2－9k 22×4k ×2k ＝1116.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c cos A ＋a cos C ＝2c ，若a ＝b ，则sin B 等于( ) A.154 B.14 C.34D.32答案 A解析 ∵c cos A ＋a cos C ＝2c ，∴由正弦定理可得sin C cos A ＋sin A cos C ＝2sin C ， ∴sin(A ＋C )＝2sin C ， ∴sin B ＝2sin C ，∴b ＝2c ，又a ＝b ，∴a ＝2c .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4c 2＋c 2－4c 22×2c 2＝14，∵B ∈(0，π)，∴sin B ＝1－cos 2B ＝154.1．熟悉正弦、余弦定理的各种变形，注意观察题目条件的结构特征，根据这些特征尽量使用正弦、余弦定理各种变形整体代换，可以有效减少计算量． 2．对所给条件进行变形，主要有两种方向 (1)化边为角． (2)化角为边．一、选择题1．若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段( ) A ．能组成直角三角形 B ．能组成锐角三角形 C ．能组成钝角三角形 D ．不能组成三角形答案 B解析设最大角为θ，则最大边对应的角的余弦值为 cos θ＝52＋62－722×5×6＝15>0，所以能组成锐角三角形．2．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b 2－2a 2＝ac ＋2c 2，则sin B 等于( ) A.154 B.14 C.32 D.12答案 A解析由2b 2－2a 2＝ac ＋2c 2，得2(a 2＋c 2－b 2)＋ac ＝0. 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ， ∴4ac cos B ＋ac ＝0.∵ac ≠0，∴4cos B ＋1＝0，cos B ＝－14，又B ∈(0，π)，∴sin B ＝1－cos 2B ＝154. 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案 C解析 ∵a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ， ∴13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)．4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23 答案 A解析由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C ， ∴(a ＋b )2－c 2＝2ab (1＋cos C ) ＝2ab (1＋cos 60°)＝3ab ＝4， ∴ab ＝43.5．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c 2－b 2＝ab ，C ＝π3，则sin Asin B 的值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析由余弦定理得c 2－b 2＝a 2－2ab cos C ＝a 2－ab ＝ab ，所以a ＝2b ，所以由正弦定理得sin Asin B ＝a b＝2. 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则C 等于( )A.π3B.3π4C.2π3D.5π6 答案 C解析由正弦定理a sin A ＝b sin B 和3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b ，即b ＝35a ，又b ＋c ＝2a ，∴c ＝75a ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ＝2π3.7．若△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的直径为( )A.922B.924C.928 D ．9 2答案 B解析设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，θ为长度为2,3的两边的夹角，则sin θ＝1－cos 2θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝924.8．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于( )A.1010 B.105 C.31010 D.55答案 C解析在△ABC 中，由余弦定理，得 AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC ·cos ∠ABC ＝(2)2＋32－2×2×3×cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC ，得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABCAC ＝3×sinπ45＝3×225＝31010.二、填空题9．在△ABC 中，B ＝60°，a ＝1，c ＝2，则csin C ＝ .答案 2解析 ∵由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝3，∴b ＝3，∴由正弦定理得，c sin C ＝b sin B ＝332＝2. 10．若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B ，则B ＝ .答案 45°解析由正弦定理，得a 2＋c 2－2ac ＝b 2，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，故cos B ＝22. 又因为B 为三角形的内角，所以B ＝45°.11．在△ABC 中，a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝ .答案 30°解析由sin C ＝23sin B 及正弦定理，得c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝32，又0°<A <180°，所以A ＝30°.三、解答题12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，a 2＋c 2－b 2＝65ac . 求2sin 2A ＋C 2＋sin 2B 的值．考点正弦、余弦定理与其他知识的综合题点正弦、余弦定理与三角变换的综合解由已知得a 2＋c 2－b 22ac ＝35，所以cos B ＝35，又因为角B 为△ABC 的内角，所以sin B >0，所以sin B ＝1－cos 2B ＝45，所以2sin 2A ＋C 2＋sin 2B ＝2cos 2B 2＋sin 2B ＝1＋cos B ＋2sin B cos B＝1＋35＋2×45×35＝6425. 13．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ,C 的对边,且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．解 (1)∵2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，∴2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. ∵0°<A <180°，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°，由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3，∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝3，∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. 又∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°，∴B ＋30°＝90°，即B ＝60°，∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为正三角形．14．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定答案 A解析 ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc＝⎝⎛⎭⎫b －c 22＋3c 242bc >0，∴0°<A <90°，即角A 是锐角．15．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A a ＝3cos C c. (1)求C 的大小；(2)如果a ＋b ＝6，CA →·CB →＝4，求c 的值．考点正弦、余弦定理与其他知识的综合题点正弦、余弦定理与平面向量的综合解 (1)由正弦定理，sin A a ＝3cos C c 可化为sin A 2R sin A ＝3cos C 2R sin C，即tan C ＝ 3.又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3. (2)CA →·CB →＝|C A →||CB →|cos C ＝ab cos C ＝4，且cos C ＝cos π3＝12.∴ab ＝8. 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos π3＝(a ＋b )2－3ab ＝62－3×8＝12.∴c ＝2 3.。

正弦定理2

3、在 ABC中，b 3, B 60 , c 1, 求a和A, C
0
4
、
ABC中，c 6 , A 45 , a 2, 求b和B, C
0
正弦定理的应用
例题讲解
例3 在 ABC 中， B 45, C 60, a 2( 3 1) ，求
ABC 的面积S．解：
a b c （１）正弦定理: 2R sin A sin B sin C
（２）正弦定理解两种类型的三角问题：
(1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；唯一解 (2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。注意解的个数
（３）正弦定理的变形：
①
a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
a b c 同样可证得： A sin B sin C sin
j A C
（1）已知 ABC 中，A= 30°，a=1，b=2，则（） A、有一解 B、有两解 C、无解 D、不能确定
（2）已知ABC 中,A=30°, a= 2，b=2，则（） A、有一解 B、有两解 C、无解 D、不能确定（3）已知 ABC 中,A=30°, a= 1 ，b=2，则（） 2 A、有一解 B、有两解 C、无解 D、不能确定（4）已知 ABC 中，A=30°，a=m ，c=10，有两解，则m范围是。
注意解的情况(利用大边对大角、内角和定理等）
周五作业
1、根据已知条件判断△ABC解的情况. (1) b=1 ，a=2，B=30o (2)b=1， a=3，B=30o (3)b=1，a= 3，B=30o (4)b=1，a= 3 ，B=150o (5)b= 3 ，a=1，B=120o

第1章1.1.1第2课时正弦定理课件人教新课标

1．满足 B＝60°，AC＝12，BC＝k 的△ABC 恰有一个，则 k 的
取值范围是( )
A．k＝8 3
B．0＜k≤12
C．k≥12
D．0＜k≤12 或 k＝8 3
D [已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，由正弦值求角时，需对角的情况进行讨论：当 AC＜ BCsin B，即 12＜ksin 60°，即 k＞8 3时，三角形无解；当 AC＝BCsin B，即 12＝ksin 60°，即 k＝8 3时，三角形有一解；当 BCsin B＜AC ＜BC，即 23k＜12＜k，即 12＜k＜8 3时，三角形有两解；当 0＜ BC≤AC，即 0＜k≤12 时，三角形有一解．综上，0＜k≤12 或 k＝8 3 时，三角形有一解．]
＋B>2π⇔A>π2－B⇔sin A>cos B，cos A<sin B.
【例 3】在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c， m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝－sin 2C.
(1)求 C 的大小； (2)若 c＝2 3，A＝6π，求△ABC 的面积．思路探究：(1)由 m·n＝－sin 2C，利用三角恒等变换求出 C 的大小； (2)由正弦定理可得 b 的大小，利用三角形的面积公式求解．
bsin A<a<b
两__解__
A为
___a_<_b_s_i_n_A_
无解
锐角
思考：在△ABC 中，a＝9，b＝10，A＝60°，判断三角形解的
个数．
[提示] sin B＝basin A＝190× 23＝5 93，
而
35 2<
9

2021高中数学6.4.3余弦定理正弦定理2课件新人教A版必修第二册

(3)在解答三角形的综合题时，如果已知条件的关系式中同时出现角和边，应当利用正弦定理进行消元，实现边角统一，化为仅含边的关系式或仅含角的关系式．即“边角会聚综合题，正弦定理来统一”．
[口诀记忆] 斜三角形把我问，两个定理有区分；余弦定理多见边，正弦定理角必现；边边角，解难辨，正弦值，先计算；等于 1，九十度，大于 1，矛盾出；小于 1 时怎么办？利用大角对大边；边角会聚综合题，正弦定理来统一．
(2)由(1)知 C＝34π，根据余弦定理可得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝
22＋(2 2)2－2×2×2 2×－ 22＝20，所以 c＝2 5. 由正弦定理sinc C＝sinb B，得2 25＝s2in 2B，
2
解得
sin
B＝
55，从而
cos
B＝2
5
5 .
设 BC 的垂直平分线交 BC 于点 E，
(2)与面积有关的问题，一般要用正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
[过关训练]
1．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，
b，c.若△ABC 的面积为a2＋b42－c2，则 C＝
(C )
π
π
A.2
B.3
π
π
C.4
D.6
解析：∵S＝12absin C＝a2＋b42－c2＝2abc4os C＝12abcos C，
(2)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C.
①求角 A 的大小； [解析] ①由正弦定理可得 b2＋c2＝a2＋bc，由余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝12，因为 A∈(0，π)，所以 A＝π3.

【新教材精创】9.1.1 正弦定理及其应用(第2课时)导学案(2)-人教B版高中数学必修第四册

9.1.1 正弦定理及其应用（2）1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题.2.能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.通过正弦定理的灵活运用，提升学生的数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养.重点：熟记正弦定理的有关变形公式．难点：能结合正弦定理解决较为复杂的解三角形问题．1.什么是正弦定理？在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使，，；（2）等价于，，从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

2.课前小测1．思考辨析(1)在△ABC 中，等式b sin A ＝a sin B 总能成立．( )(2)在△ABC 中，若∠A ＝30°，a ＝2，b ＝23，则B ＝60°.( )(3)在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则此三角形有唯一解．( )2．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形sin sin abA B =sin cC =sin a k A =sin b k B =sin c k C =sin sin abA B =sin cC =sin sin abA B =sin sin cbC B =sin aA =sin c C sin sin b A aB =3．在△ABC 中，A ＝30°，a ＝3，b ＝2，则这个三角形有( )A ．一解B ．两解C ．无解D ．无法确定一、探索与研究1.已知△ABC 的外接圆O 的直径长为2R ，试借助△ABC 的外接圆推导出正弦定理．（提示：先考虑直角三角形）2．由a sin A ＝2R ，b sin B ＝2R ，c sin C＝2R 可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么功能？二、例题解析例5．在△ ABC 中，已知222sin sin sin A B C +=，求证：△ ABC 是直角三角形.跟踪训练1.在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状.母题探究：(变条件)将本例题条件“sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ”改为“b ＝a cos C ”其它条件不变，试判断△ABC 的形状．例6.如图9-1-5所示，在△ABC 中，已知∠BAC 的角平分线AD 与边BC 相交于点D ，求证；BD AB DC AC =.跟踪训练2．如果在△ABC 中，角A 的外角平分线AD 与BC 的延长线相交于点D ，求证：BD AB DC AC=.1．满足a ＝4，b ＝3和A ＝45°的△ABC 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．无数多2．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a ＝4，b ＝3，C ＝60°，则△ABC 的面积为( )A ．3B ．3 3C ．6D ．633．在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则b c＝________. 4．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________，a ＝________. 5．在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝1∶3∶5，求2sin A －sin B sin C的值．6．求证：在△ABC 中，sin sin sin A B a b C c++=.1.正弦定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sinB ，c ＝k sinC (k ＞0)．2．正弦定理的应用范围(1)已知两角和任一边，求其他两边和其余一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角．3．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．参考答案：知识梳理2.课前小测1．[答案] (1)√ (2)× (3)×解析：（1）正确(2)由正弦定理可知a sin A ＝b sin B ，即2sin 30°＝23sin B，所以sin B ＝32，则B ＝60°或120°，又因为b >a ，所以B >A ，故B ＝60°或120°. (3)当b sin A <a <b 时，△ABC 有两解．2．B [由正弦定理可得sin A ＝sin C ⇒a ＝c ，所以△ABC 为等腰三角形．]3．A [由b <a 和大边对大角可知三角形的解的个数为一解．]学习过程1.证明：如图，连接BO 并延长交圆O 于点D ，连接CD ，则∠BCD ＝90°，∠BAC ＝∠BDC ，在Rt △BCD 中，BC ＝BD ·sin ∠BDC ，所以a ＝2R sin A ，即a sin A＝2R ，同理b sin B ＝2R ，c sin C＝2R ，所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R .2．由a sin A ＝2R ，b sin B ＝2R ，c sin C＝2R 可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么功能？提示：由a sin A ＝2R ，b sin B ＝2R ，c sin C＝2R 可以得到的变形： sin A ＝a 2R ，a ＝2R sin A ；sin B ＝b 2R，b ＝2R sin B ； sin C ＝c 2R，c ＝2R sin C ．由这些变形形式，我们可以实现三角形中边、角关系的转化．二、例题解析例5．证明：设sin sin sin a b c k A B C ===,则0k ≠,且sin a A k =,sin b B k =,sin c C k=. 又因为222sin sin sin A B C +=,所以222 222 a b c k k k+=,即222+=a b c,因此由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形.跟踪训练1.思路探究：解决本题的关键是利用sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R 把sin2A＝sin2B＋sin2C转化为三角形三边的关系，从而判定出角A，然后再利用sin A＝2sin B cos C求解．[解]法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得asin A＝bsin B＝csin C，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，B＋C＝90°，∴2sin B cos C＝2sin B cos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，∴sin B＝22.∵0°<B<90°，∴B＝45°，C＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形．法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，得asin A＝bsin B＝csin C，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin B cos C，∴sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝2sin B cos C，∴sin(B－C)＝0.又－90°<B－C<90°，∴B－C＝0，∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形．母题探究：(变条件)将本例题条件“sin A＝2sin B cos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C”改为“b＝a cos C”其它条件不变，试判断△ABC的形状．[解]∵b＝a cos C，由正弦定理，得sin B＝sin A cos C．(*)∵B＝π－(A＋C)，∴sin B＝sin(A＋C)，从而(*)式变为sin(A ＋C )＝sin A cos C .∴cos A sin C ＝0.又∵A ，C ∈(0，π)，∴cos A ＝0，A ＝π2，即△ABC 是直角三角形．例6.证明：如图,设ADB α∠=,BAD β∠=,则由题意可知ADC πα∠=-,CAD β∠=.在△ ABD 和△ ADC 中,分别应用正弦定理, 可得sin sin BD AB βα=, sin sin()sin DC AC AC βπαα==-, 两式相除即可得BD AB DC AC =.另解：过点C 作//CE AD ,交BA 的延长线于点E ,如图所示.∵//AD CE ,∴BA BDAE DC =.又∵AD 平分∠BAC ,∴12∠=∠.在△BCE 中,由//AD CE知,1E ∠=∠,23∠∠=,∴3E ∠=∠,∴AE AC =,∴BD BA AB DC AE AC==.跟踪训练2．证明：如图所示,∠BAC 的外角（∠CAE ）的平分线AD 与BC 的延长找相交于点D ,∴DAE CAD ∠=∠,∴sin CAD sin DAE ∠=∠.∵180DAE BAD ∠+∠=︒,∴sin DAE sin BAD ∠=∠.在△CAD 和△BAD 中,由正弦定理得,sin sin sin sin DC AC BD AB CAD ADC BAD ADC==∠∠∠∠, ∴DC BD AC AB =,∴BD AB DC AC =.达标检测1．【答案】B [因为A ＝45°<90°，a ＝4>3＝b ，所以△ABC 的个数为1.]2．【答案】B [由S ＝12ab sin C ＝12×4×3×32得S ＝33，故选B.] 3．【答案】1[由a sin A ＝c sin C 得sin C ＝c sin A a ＝13×32＝12，又0<C <π3，所以C ＝π6，B ＝π－(A ＋C )＝π6. 所以b c ＝sin B sin C ＝sin π6sin π6＝1.] 4．【答案】255210 [由tan A ＝2，得sin A ＝2cos A ，由sin 2A ＋cos 2A ＝1，得sin A ＝255， ∵b ＝5，B ＝π4，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin A sin B ＝2522＝210.] 5．【答案】由条件得a c ＝sin A sin C ＝15， ∴sin A ＝15sin C .同理可得sin B ＝35sin C . ∴2sin A －sin B sin C ＝2×15sin C －35sin C sin C ＝－15. 6．证明：令(0)sin sin sin a b c k k A B C===>,则sin a A k =,sin b B k =,sin c C k=. ∴sin sin sin a b A B a b k a b k k c C k c ck++++==⋅=. 另解：由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==, 得sin sin a Ac C =,sin sin bBc C =, ∴sin sin sin a b A Bc C ++=.。

正弦定理高中数学人教A版必修第二册

+ -
所以 sin(B+C)=sin
Bcos
C+cos Bsin C=2sin Bcos C,
所以 a=2b·

,得 b=c,所以△ABC 是等腰直角三角形.
所以 sin(B-C)=0.
又-90°<B-C<90°,所以 B-C=0,
所以 B=C,所以△ABC 是等腰直角三角形.
[针对训练] 已知在△ABC中,内角A,B所对的边分别是a和b,若acos B=bcos A,则
b
C
(1)当 ABC是锐角三角形时,结论是否还成立呢?
如图:作AB上的高是CD,根椐
三角形的定义,得到
CD a sin B, CD b sin A
所以 a sin B b sin A
得到
a
b

sin A sin B
b
c
同理,作AE BC .有

sin B sin C
a
b
c

sin A sin B sin C
(2)若△ABC 的面积为 ,BC=2,C=60°,求边 AB 的长度.

解:(1)法一
B=105°,
解:(2)法一因为
由 SA=30°,C=45°,所以
△ABC= AC·BCsin C= ,得 AC=2,

AB2=AC
2+BC2-2AC·BC·
由余弦定理得
由正弦定理得
=
,
2

由

=

°

°
,得 a=
=10×
=10 .
因为 sin B=sin 105°=sin 75°=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=

第2课时——正弦定理(2)(教、学案)

第2课时正弦定理（2）【学习导航】知识网络正弦定理→测量问题中的应用学习要求1．正弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；2．学会用计算器，计算三角形中数据。

【课堂互动】自学评价1．正弦定理：在△ABC 中，===Cc B b A a sin sin sin R 2, 变形：（1）A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=（2）R a A 2sin =，R b B 2sin =，Rc C 2sin = 2．三角形的面积公式：（1）C ab s sin 21==A bc sin 21=B ca sin 21 （2）s=C B A R sin sin sin 22（3）Rabc s 4= 【精典范例】【例1】如图，某登山队在山脚Ａ处测得山顶Ｂ的仰角为３５°，沿倾斜角为２０°的斜坡前进１０００ｍ后到达Ｄ处，又测得山顶的仰角为６５°，求山的高度ＢＣ（精确到１ｍ）．分析：要求ＢＣ，只要求ＡＢ，为此考虑解△ＡＢＤ．【解】过点Ｄ作ＤＥ ∥ＡＣ交ＢＣ于Ｅ，因为 ∠ＤＡＣ＝２０°，所以∠ＡＤＥ＝１６０°，于是∠ＡＤＢ＝３６０°－１６０°－６５°＝１３５°．又∠ＢＡＤ＝３５°－２０°＝１５°，所以∠ＡＢＤ＝３０°．在△ＡＢＤ中，由正弦定理，得21000sin sin =∠∠=ABD ADB AD AB （ｍ）．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＢＣ＝ＡＢｓｉｎ３５°＝１0002ｓｉｎ３５°≈８１１（ｍ）．答山的高度约为８１１ｍ．【例2】在埃及，有许多金字塔形的王陵，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了，考古人员在研究中测得一座金字塔的横截面如图（顶部已经坍塌了），∠A=050，∠B=055，AB=120m ，如何求得它的高？（819.055sin ,766.050sin 00≈≈）分析：本题可以转化成：（1）解三角形，确定顶点C ；（2）求三角形的高。

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1．在ABC ∆中，若5:4:3sin :sin :sin =C B A ，则ABC ∆的形状是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 2．在ABC ∆中，若
2
cos
2cos
2cos
C c B b A a =
=
，则ABC ∆的形状是（）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰或直角三角形
D ．等边三角形
3．在ABC ∆中，若︒=60A ，3=
a ，则
=++++C
B A c b a sin sin sin ________________．
4．在ABC ∆中，C a b cos =，则ABC ∆是________________三角形．
5．在ABC ∆中，计算)sin (sin )sin (sin )sin (sin B A c A C b C B a -+-+-的值．
例题剖析
例1 如图，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，一艘船正在向南航行，
在B 处测得小岛A 在船的南偏东︒30，航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东︒45，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？
D A
C
B
在ABC ∆中，已知C
c B
b A
a cos cos cos =
=
，试判断ABC ∆的形状．
在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，用正弦定理证明：DC
BD BD
AB =
．
巩固练习
1．根据下列条件，判断ABC ∆的形状：（1）C B A 2
2
2
sin
sin
sin =+；（2）B b A a cos cos =．
2．已知ABC ∆的外接圆的面积是π4，求
C
B A c b a sin sin sin ++++的值．
3．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B ，要测算出A ，B
两点间的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得m BC 78=，︒=∠60B ，︒=∠45C ，试计算AB 的长．
课堂小结
正弦定理的应用．
例2 例3
课后训练
班级：高一（）班姓名：____________
一基础题
1．在ABC ∆中，已知2
cos sin sin 2A C B =，则ABC ∆的形状是________________．
2．在ABC ∆中，已知，B C 3=，则
b
c 的取值范围是________________．
3．在ABC ∆中，已知︒<<<90C B A ，︒=60B ，2
13)2cos 1)(2cos 1(-=
++C A ，
则b a 2+
________c 2（填不等号）
． 4．在ABC ∆中，已知21tan =A ，31
tan =B ，且最长边为1，则最短边的长为________．
5．在ABC ∆中，已知)(4
12
2b a S ABC +=∆，求C B A ，，．
6．为了测量校园里旗杆AB 的高度，学生们在D C ，两处测得A 点的仰角分别为︒30和
︒45，测得DC 的距离为m 10，那么旗杆的高度是多少米？
二提高题
7．海上有B A ，两个小岛相距10海里，从A 岛观测C 岛与B 岛成︒60的视角，从B 岛观测A 岛和C 岛成︒75的视角，那么B 岛与C 岛之间的距离是多少海里？
8．在ABC ∆中，A ∠的外角平分线交BC 的延长线于D ，用正弦定理证明：DC
BD AC
AB =
．
9．在ABC ∆中，设a BC =，b CA =，c AB =，已知a c c b b a ∙=∙=∙，
证明ABC ∆为正三角形．
三能力题 10．在ABC ∆中，已知D 为AB 上一点，α=∠ACD ，
β=∠BCD ，BD AD CD ∙=2
，求证：
βαs i n s i n s i n s i n =B A ．
A
B
C D。