第四节分布函数的拟合优度检验
分布函数与概率密度函数的拟合方法及评估
分布函数与概率密度函数的拟合方法及评估一、引言在统计学和概率论中，分布函数和概率密度函数是描述随机变量的重要工具。
它们能够帮助我们了解随机变量的分布规律和特征。
然而，实际数据往往不符合理想的分布函数或概率密度函数，因此我们需要进行拟合来逼近真实数据的分布。
本文将介绍一些常见的分布函数与概率密度函数的拟合方法，并对其评估进行讨论。
二、常见的分布函数与概率密度函数1. 正态分布正态分布是最为常见的一种分布函数，其概率密度函数呈钟形曲线。
在实际数据分析中，如果数据的分布近似于正态分布，则可以使用正态分布进行拟合。
2. 指数分布指数分布常用于描述事件发生的时间间隔，其概率密度函数呈指数下降趋势。
指数分布可用于对时间数据进行拟合。
3. 伽玛分布伽玛分布广泛应用于描述正偏斜且非对称的连续随机变量，如等待时间、寿命等。
伽玛分布的概率密度函数具有较高的灵活性，适用于各种具有不同形状的分布数据。
4. 泊松分布泊松分布常用于描述单位时间内随机事件发生的次数，如客流量、电话接通次数等。
泊松分布的概率密度函数对应的函数图像为上凸的离散分布。
三、分布函数与概率密度函数的拟合方法1. 最大似然估计法最大似然估计法是一种常用的参数估计方法，可以用于拟合分布函数与概率密度函数。
通过选择使得样本观测值出现的概率最大的概率密度函数参数值，得到最佳的拟合结果。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常见的数学优化方法，也可用于拟合分布函数与概率密度函数。
通过最小化实际观测值与拟合值之间的误差平方和，得到最佳的拟合结果。
3. 几何插值法几何插值法是一种通过在不同数据点之间插值来拟合分布函数与概率密度函数的方法。
通过在已有数据点之间绘制曲线，并根据曲线的形状进行插值，得到拟合结果。
四、拟合结果评估方法1. 拟合优度检验拟合优度检验可以用于评估拟合结果的好坏。
常用的拟合优度检验方法有卡方拟合优度检验和Kolmogorov-Smirnov检验，通过计算观测值与拟合值之间的差异，从而判断拟合效果。
拟合优度检验步骤
拟合优度检验步骤以拟合优度检验步骤为标题，本文将从拟合优度的概念和意义入手，详细介绍拟合优度检验步骤及其常见方法。
一、拟合优度的概念和意义拟合优度是指统计模型中观测值与模型预测值之间的接近程度，通常用拟合优度系数来衡量。
拟合优度系数越接近于1，说明模型的拟合程度越好；越接近于0，说明模型的拟合程度越差。
拟合优度检验的意义在于对于一个给定的数据集，评估模型的拟合程度，进而判断模型是否可信。
如果拟合优度系数很低，说明模型不适合该数据集，需要重新调整模型；如果拟合优度系数很高，说明模型能够很好地描述数据，可信度较高。
1. 提出假设拟合优度检验的假设是：H0：该模型和数据集拟合较好；H1：该模型和数据集拟合较差。
2. 计算拟合优度系数拟合优度系数的计算方法根据不同的模型而异。
例如，对于线性回归模型，可以使用R平方值来计算拟合优度系数；对于逻辑回归模型，可以使用ROC曲线下面积（AUC）来计算拟合优度系数。
3. 确定显著性水平显著性水平决定了判断拟合优度系数是否足够显著的标准。
通常显著性水平被设定为0.05或0.01，意味着只有当拟合优度系数的概率小于0.05或0.01时，才能拒绝原假设。
4. 计算p值p值是指在原假设成立的情况下，观测到当前拟合优度系数或更极端情况的概率。
如果p值小于显著性水平，就可以拒绝原假设，认为模型拟合程度较差。
5. 判断结果根据p值的大小和显著性水平的设定，判断拟合优度系数是否显著。
如果p值小于显著性水平，就拒绝原假设，认为模型拟合程度较差；如果p值大于显著性水平，就接受原假设，认为模型拟合程度较好。
三、常见的拟合优度检验方法1. R平方R平方是线性回归模型中最常用的拟合优度系数之一，其值介于0和1之间。
R平方越接近于1，说明模型的拟合程度越好。
但是R 平方只适用于线性回归模型，对于其他类型的模型不适用。
2. 残差分析残差分析是一种通过分析模型残差的方法来评估模型拟合程度的方法。
拟合优度检验课件
为了解决上述问题，以 Ti 为权求加权值
自由度的确定
变量之间存在着一个制约关系： 故统计量 渐近 (k-1) 个自由度的 分布。
在 F(x) 尚未完全给定的情况下，每个未知参数用相应的估计量代替，就相当于增加一个制约条件，因此，自由度也随之减少一个。
1
若有 r 个未知参数需用相应的估计量来代替，自由度就减少 r 个。
【例1】
子二代
子一代
…
黄色纯系
…
绿色纯系
他的一组观察结果为：
黄70，绿27
近似为2.59:1，与理论值相近。
根据他的理论，子二代中，黄、绿之比 近似为3:1，
添加标题
提出假设H0: O-T=0 (p1=3/4，p2=1/4)
添加标题
这里，n=70+27=97，k=2,
添加标题
检验孟德尔的3:1理论:
04解：05 Nhomakorabea将有关计算结果列表如下:
06
因H0所假设的理论分布中有一个未知参数 λ，故自由度为4-1-1=2。
将npi < 5的组予以合并，即将发生3次及4次战争的组归并为一组。
按α =0.05，自由度为4-1-1=2，查表得： 统计量: 未落入拒绝域。 故认为每年发生战争的次数 X 服从参数为 0.69的泊松分布。
【例】下表给出不同给药方式与给药效果，求证：给药方式与给药效果有无关联。
若事件 A 和事件 B 是相互独立的，则
提出零假设：假设实测数与理论数无差异。即H0：O－T＝0。 计算理论数：若事件 A 和事件 B 是相互独立的，则 P(AB)=P(A)P(B)。 例如：在给药方式和效果之间是相互独立的前提下，计算口服（事件B）有效（事件A）的概率 P(BA)＝P(B)P(A) = (98/193) (122/193)。其理论数T1＝(98/193)(122/193) 193 = (98)(122)/193 。 每个理论值用Tij表示，Tij=(i行总数)(j列总数)/总数。
分布函数的拟合优度检验在企业经营管理中的应用
．
－
，
的次 数 为 （ ＋，＋… ：”。显 然 ，在 ｔ次 试验 中 ，事件 ． ， ） １ 出现 的频数 与期 望数 ， 有 差异 ，卡 尔・ 尔逊 提 出 了这 种 差异程 度 的 皮
Ａ
【 ２ 】吴远芬 ：浅析 抽样 调 查在应 用 中的局 限一 ｌ． ＩＪ 商场 现代 化 ， ￣］
２）６ ８ 总第４ ５ （ 年 月 ０ ７ 期
０３ 月 年 员工的 文化水 平 、实际操 作能 力 、研 发能 力等 等多 方面进 行考 核 版 社 ，２ ０ 年 ６
与培训 ，合 格者 上 岗 ，否 则待 岗培训 。生产 技术 科 的技术 员郝佳 负 责员工 文化成 绩 的分 析 工作 ，她 首先 将青 工数学 成绩进 行分析 ： 下 面 给 出 了一 次数 学考 试 的 成绩 ：试取 ＝０１ 验 数 据来 自 ． 检
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定 条件 下 ，可 以先 用极 大似 然估 计 方法估 计 这 ， 参数 ，然后再 算 个 出 ｎ， ，这 时统 计量 ÷ （ …， 一
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、 ＝２ ９ ０ ～ ０ ９—２ ０＝ ９ ０ ０ ９
Ｖ（ ０ １ 。 ６ ．５）
就需 要根据 样本来 检验 关于分 布 的假 设 。 拟 合检 验法 、 、 一 来检验 关于 总体分 布 的假 设 ： ． Ｈ． （ ：总体 的分 布 函数为Ｆ 、 （）
：
这 是 在 总 体 的 分 布 为 未 知 时 ， 根 据 样 本 本 期各 培训班 的培 训人 员名单 。
定理 ：当 ， 为总体 的真 实概 率 时 ，由上式 定义 的统计 量 …，
拟合优度检验
单位: 例1：为检验棉纱的拉力强度 单位 千克 服 ：为检验棉纱的拉力强度X(单位 千克) 从正态分布，从一批棉纱中随机抽取300条进 从正态分布，从一批棉纱中随机抽取 条进 行拉力试验，结果列在表8.2中 给定α= 0.01, 行拉力试验，结果列在表 中。给定 检验假设 H0：拉力强度 X ~ N(µ, σ2) .
(5). H0 的显著性水平为 的检验 的显著性水平为α
因为 k = 2 α = 0.05 ， ，
2 0.592 = χ2 < χk-1(α) = χ12 (0.05) = 3.841.
所以，接受原假设， 所以，接受原假设，即认为豌豆的黄绿 之比为3:1。 之比为 。
例3：某医院一年中出生的婴儿共计 ：某医院一年中出生的婴儿共计1521人, 人 其中男婴802人，女婴 ， 其中男婴 人 女婴719人。给定 α =0.05， 人 试问：能否认为男婴、女婴出生概率相同？ 试问：能否认为男婴、女婴出生概率相同？ 表示服从两点分布的随机变量, 解：用 X表示服从两点分布的随机变量 X 取 表示服从两点分布的随机变量 0, 1两个值，X=1表示男婴， X=0表是女婴。 两个值， 表示男婴， 表是女婴。 两个值 表示男婴 表是女婴 则问题就是检验假设 H0：p1 =P{X=0}=0.5. (1). 将 (-∞, ∞)分成两个区间 分成两个区间
ai −1.41 ai−1 −1.41 ˆ ˆ ˆ σ ˆ pi ∆ pi (µ， ) = Φ − Φ ， 0.26 0.26 i =1 2 L 13. ， ， ，
2
ˆ 因np1 ≈ 0.46 np2 ≈1.85 np12 ≈1.85 np13 ≈ 0.46 ，ˆ ，ˆ ，ˆ ， ˆ ， ，ˆ 而np3 L np11 均大于， 所以， 我们将前两组和 5 所以，
拟合优度检验
拟合优度检验引言在统计学和数据分析中，拟合优度检验是一种常用的方法，用于评估分类模型或回归模型的拟合程度。
拟合优度检验可以帮助我们确定模型是否适合我们的数据，并提供了一个衡量模型质量的指标。
拟合优度检验的基本概念拟合优度检验是通过比较观察到的数据和模型预测得到的数据之间的差异来评估模型的拟合程度。
在分类模型中，拟合优度检验通常用于验证模型的准确性和预测能力。
在回归模型中，拟合优度检验则用于衡量模型对实际数据的解释程度。
在进行拟合优度检验之前，通常会建立一个原假设和替代假设。
原假设指的是模型与数据没有显著的差异，而替代假设则指的是模型与数据存在显著的差异。
通过检验原假设的可行性，我们可以确定模型的拟合程度。
常见的拟合优度检验方法1. 卡方拟合优度检验卡方拟合优度检验用于检验观察到的数据与理论上期望的数据之间的差异。
它常用于评估分类模型中观测值与理论值之间的差异。
卡方拟合优度检验通过计算观察值与期望值之间的卡方统计量来确定模型的拟合程度。
如果卡方统计量足够小，或者p值足够大，则原假设成立。
2. 残差分析残差分析是一种常用的拟合优度检验方法，用于评估回归模型对实际数据的解释能力。
在残差分析中，我们通过计算观测值与预测值之间的差异来评估模型的拟合程度。
如果残差足够小，并且呈现出随机分布的特征，则说明模型对实际数据的解释能力较好。
3. R平方值R平方值是一种常用的回归模型拟合优度检验指标。
它可以衡量模型对因变量变异的解释程度。
R平方值的取值范围为0到1，其值越接近1，说明模型对实际数据的解释能力越强。
4. Decoding方法Decoding方法是一种用于评估分类模型拟合优度的方法。
它通过计算模型的准确率、精确率、召回率等指标来评估模型的分类性能。
较高的准确率和精确率，以及较低的误判率和漏判率，都表明模型的拟合优度较高。
拟合优度检验的应用领域拟合优度检验在各个领域都有广泛的应用。
在医学领域，拟合优度检验可以用于评估某种治疗方法对患者病情的预测能力。
拟合优度检验
拟合优度检验拟合优度检验是统计学中常用的一种方法，用于评估一个统计模型对观测数据的拟合程度。
在实际应用中，拟合优度检验可以帮助我们确定一个模型是否能够较好地解释数据，并且用于比较不同模型之间的优劣。
本文将介绍拟合优度检验的基本原理和常用方法，并结合实例解释其应用。
首先，让我们来了解一下什么是拟合优度。
拟合优度是指统计模型中的参数估计值与实际观测值之间的差异程度。
如果模型能够很好地解释观测数据，那么拟合优度就会很高；反之，如果模型不能很好地解释数据，拟合优度就会较低。
通过拟合优度检验，我们可以用一些统计指标来度量模型的拟合程度，以便进行模型选择和优化。
常见的拟合优度检验方法包括卡方检验、残差平方和检验和相关系数检验等。
其中，卡方检验是指比较观测值与理论值之间的差异程度，从而判断模型的适配性。
残差平方和检验则是比较统计模型中预测值与实际观测值之间的平方差异，通过计算残差平方和的大小来评估模型的拟合程度。
相关系数检验则是通过计算模型预测值与实际观测值之间的相关系数，来评估模型解释数据的能力。
在实际应用中，拟合优度检验通常需要结合统计图形一起进行分析。
常见的统计图形包括散点图、回归曲线图和残差图等。
通过观察统计图形，我们可以直观地了解模型的拟合情况，并根据所得结果进行模型的选择和验证。
举个例子来说明拟合优度检验的应用。
假设我们想要建立一个线性回归模型来预测房价。
首先，我们收集了一些房屋的特征数据，如房间数量、卧室数量和房屋面积等，并且对这些数据进行了建模。
然后，通过拟合优度检验，我们可以评估模型的拟合程度。
如果拟合优度很高，说明我们的模型能够很好地解释房价的变动；如果拟合优度较低，说明模型可能存在问题，需要进行修正或选择其他模型。
在进行拟合优度检验时，我们还需要注意一些统计假设和条件。
首先，拟合优度检验通常基于一定的统计分布假设，如正态分布假设。
如果观测数据不满足这些假设，可能会影响拟合优度检验的结果。
《拟合优度检验》课件
柯克伦科夫勒检验
总结词
柯克伦科夫勒检验是一种基于概率的拟合优度检验方法，用于检验观测频数与期望频数之间的差异是否显著。
详细描述
柯克伦科夫勒检验基于二项分布，通过计算观测频数与期望频数的离差平方和，得到柯克伦科夫勒统计量。在样 本量足够大的情况下，柯克伦科夫勒统计量近似服从正态分布。通过比较柯克伦科夫勒统计量与临界值，可以判 断观测频数与期望频数是否存在显著差异。
03
拟合优度检验的步骤
Chapter
确定检验假设
零假设（H0）
样本数据与理论分布无显著差异。
对立假设（H1）
样本数据与理论分布存在显著差异。
计算检验统计量
统计量计算
根据样本数据和理论分布的性质，计 算相应的统计量，如卡方统计量、熵 值统计量等。
统计量性质
了解统计量的分布特性，以便后续的 临界值判断。
斯皮尔曼秩检验
总结词
斯皮尔曼秩检验是一种非参数拟合优度检验方法，用于检验观测频数与期望频数之间的差异是否显著 。
详细描述
斯皮尔曼秩检验基于秩次，通过将观测频数与期望频数按照大小排序，并计算秩次之差得到秩次统计 量。在自由度等于分类数减一的情况下，秩次统计量服从F分布。通过比较秩次统计量与临界值，可 以判断观测频数与期望频数是否存在显著差异。
Chapter
皮尔逊卡方检验
总结词
皮尔逊卡方检验是最常用的拟合优度检验方法之一 ，用于检验观测频数与期望频数之间的差异是否显 著。
详细描述
皮尔逊卡方检验基于卡方分布，通过计算观测频数 与期望频数的离差平方和，得到卡方统计量。在自 由度等于分类数减一的情况下，卡方统计量服从卡 方分布。通过比较卡方统计量与临界值，可以判断 观测频数与期望频数是否存在显著差异。
分布函数的假设检验
∑ n=100
( fi nPi )2
fi - nPi
nPi
-1.55 0.3668
-2.56 0.6206
4.28 1.0338
4.69 0.9859
-2.89 0.4199
-4.29 1.3848
2.32 0.5560 5.3678
K 7，r 2，α 0.10，
χ
2 α
(
k
r
1)
χ
2 0.10
3 [109.5,119.5) 22 0.1772 17.72
4 [119.5,129.5) 27 0.2231 22.31
5 [129.5,139.5) 17 0.1989 19.89
6 [139.5,149.5) 9 0.1329 13.29
7 [149.5,159.5) 5 0.0661 6.61 8 [159.5, ＋∞) 7 0.0307 3.07
解：原假设
H0
: Pi
P{ X
xi }
1 6
(i 1,2, ,6)
检验统计量： χ 2 6 ( fi nPi )2
i 1
nPi
拒绝域：
W
{χ2
χ
2 α
(k
r
1)}
K 6，r 0， α 0.05，
χ
2 α
(k
r
1)
χ
2 0.05
(5)
11.071
W { χ 2 11.071}
例1.某个城市在某一时期内共发生交通事故600次，
按不同颜色小汽车分类如下
汽车颜色 红 棕 黄 白 灰 蓝 事故次数 75 125 70 80 135 115
问：交通事故是否与汽车的颜色有关？(α 0.05) 分析：
拟合优度检验
Hale Waihona Puke 例2：孟德尔豌豆试验中，发现黄色豌豆为25 粒, 绿色豌豆11粒，试在α=0.05下, 检验豌豆 黄绿之比为3:1。
解：定义随机变量 X
1, 豌豆为黄色， X 0, 豌豆为绿色.
计数符号，取集 合中元素的个数
(4). 计算理论频数与实际频数的偏差平方和。
2 k [fi
i1
nip (ˆ)2 ]， nip (ˆ)
( 2)
每一项n用 pi(ˆ)去除的其目的是理：论缩
频数比较大的那和些式项中在的影响力
可以证明：在 H0 成立，且n→∞时,
2k 2-1r ， -
( 3 )
即2统计量的分布由 收度 敛k为 到 r自 1
于是，拒绝原假设，即认为棉纱拉力强
度不服从正态分布。
χ 2检验的一个著名应用例子是孟德尔豌豆 实验。奥地利生物学家孟德尔在1865年发表的 论文，事实上提出了基因学说，奠定了现代遗 传学的基础。他的这项伟大发现的过程有力地 证明了统计方法在科学研究中的作用。因此， 我们有必要在这里将这一情况介绍给大家。
H0：总体X的分布函数为F(x) ； (1)
对立假设为H1：总体 X 的分布函数非F(x)。 如果F(x)形式已知，但含有未知参数θ 或参
数向量θ =(θ1, θ2,…, θr ) ，则记其为F(x,θ )。
这种检验通常称为拟合优度检验。
不妨设总体 X 是连续型分布。检验思想 与步骤如下:
(1). 将总体X的取值范围分成k个互不重叠的 小区间 I1, I2, …, Ik，
概率论课件分布拟合检验
其中i=1,2, , k, a0 -; ak ，我们称npi (i 1, 2, k) 为第i个区间上的理论频数；pi为理论频率.
（3）抽取大样本，统计落在各个区间上的个体个数
ni (i 1, 2, , k), 称ni为第i个区间上的实际频数.
(4)选用检验H0的统计量，直观上，如果H0成立, 那么 npi与ni的差别不应该太大，因此可以利用ni与npi之间 的差异来检验H0.能够体现它们的差异大小的统计量 之一是
查表得
02.0（5 5） 11.071，拒绝域为 2 11.071 现 2的值没有落入拒绝域，故接受H0,即可认为这颗骰子
是均匀的.
2 (k
r
1)就拒绝H
，
0
否则就接受H0.
例1为检验一颗骰子的六个面是否均匀，掷骰子120次， 得到结果如下：
点数 1 2 3 4 5 6 频数ni 21 28 19 24 16 12
试在 =0.05的水平下对他作出检验.
解 一颗骰子的六个面是否均匀就是检验每个面出 现的概率是否都是1/6。即可做假设
H0
:
P{X
k} 1 (k 6 Nhomakorabea 1, 2,..., 6),我们分6组
并计算各组的理论频数120 1 20,从而得到统计量 2的值
6
2 （21 20）2 （28 20）2 （12 20）2 8
20
20
20
由于假设H0中无未知参数，所以r 0，对于 0.05，
5.5 分布拟合检验
前面几节讨论了关于总体分布中未知参数的假设检验， 在这些检验中总体的分布是已知的。然而在许多情况下，并 不知道总体分布的类型，此时需要根据样本提供的信息，对
第四节分布函数的拟合优度检验
例1.某个城市在某一时期内共发生交通事故600次，
按不同颜色小汽车分类如下
汽车颜色 红 棕 黄 白 灰 蓝 事故次数 75 125 70 80 135 115
问：交通事故是否与汽车的颜色有关？ (α0.05) 分析：
如果交通事故的发生与汽车的颜色无关，则每种 颜色的小汽车发生交通事故的可能性是一样的.
所以拒绝H0，认为交通事故与汽车的颜色有关.
例2.某电话交换台，在100分钟内记录了每分钟被呼 唤的次数X，设f i为出现该 X值的频数，结果如下：
X 0123456789 f i 0 7 12 18 17 20 13 6 3 4
问总体X（电话交换台每分钟呼唤次数）服从泊松 分布吗？ (α0.05)
(3) 若在原假设 H0下，总体分布的形式已知，但有r 个参数未知，这时需要用极大似然估计法先估计这 r 个参数. 2. 将 x 轴分成K个互不重迭的小区间：
（ ， b 1 ） ,[ b 1 ， b 2 ） , ,[ b K 1 ， ）
3.计算样本的n个观察值落入以上每个区间的个数， 记为fi （ i=1,2, ……,K），称其为实际频数. 所有实 际频数之和 f1+ f2+ …+ fk 等于样本容量n.
P {1.4 5 9 X 1.5 5 } 9Φ （ 1.8） 7 Φ （ 1.3） 0 0 .96 0 9 .93 0 0 3 .02 661
P{X15.5}91Φ（1.8） 7 10.969 0.03307
列表计算：
X 分组
fi
Pi
nPi
1 (－∞，99.5) 5 0.0655 6.55
2.32 0.5560 5.3678
§8.4分布函数拟合检验
( ni npi )2 n→∞ χ2 = ∑ χ 2 ( r k 1) → npi i =1
k
(6)给定显著性水平 ,拒绝域为 )给定显著性水平α,
W = { χ 2 > χα 2 ( r k 1)}
注: (1)每一组上的 pi 不能太小,一般不少于5;分组数 是 )每一组上的n ;分组数k 一般为n/5—n/10之间,当n很大时,一般取20组即可. (2)分布中未知参数估计一般采用极大似然估计 )
§8.4 分布函数的拟合检验
H0:F(x)=F0(x), H1:F(x)≠F0(x), , , 总体X离散 总体 离散→ H0:P(X=xi)=pi,i=1,2,… 离散 总体X连续 总体 连续→ H0:p(x)=p0(x),x∈R 连续 , ∈
皮尔逊χ 一.皮尔逊χ2拟合检验法 皮尔逊 案例: 假设某企业早, 案例: 假设某企业早,中,晚三班在发生事 故的概率上无差别 即 班次 事故率 早 1/3 中 1/3 晚 1/3
一段时间记录到15次生产事故,其中早,晚各 次 中班3次 一段时间记录到 次生产事故,其中早,晚各6次,中班 次. 次生产事故 这些数据使人怀疑各班次的事故率不完全相同, 这些数据使人怀疑各班次的事故率不完全相同,需要进一 步检验. 步检验. 基本想法: 找一个反映数据与假设的偏差的量χ 越小, 基本想法: 找一个反映数据与假设的偏差的量χ2 , χ2越小, 数据与假设之间的拟合程度就越好 (6-15×1/3)2+ (3-15×1/3)2 + (6-15×1/3)2 × × × 2= χ ～ χ2 (3-1) 15×1/3 15×1/3 15×1/3 × × ×
拟合检验法的基本想法: χ2 拟合检验法的基本想法: H0:F(x)=F0(x), H1:F(x)≠F0(x) , (1)把随机试验的样本空间分成 个互不相容的事件 )把随机试验的样本空间分成k个互不相容的事件 A1,A2,…,Ak,也称为 个组; 也称为k个组 个组; (2)计算落在每一组上的实际频数ni; )计算落在每一组上的实际频数 (3)计算落在每一组上的理论频数 pi ;其中 i 是 其中p )计算落在每一组上的理论频数n 当H0为真时,落在每一组上的概率; (4)当H0为真时,计算 ) (5)构造统计量 )
第三章 第四节 拟合优度检验
著性水平 5%下，能否认为距离与生化需氧量无关？
解：要检验 H 0 : ρ = 0
( H1 : ρ ≠ 0 ) ， ρ 的极大似然估计是样本
i
ˆ 相关系数 ρ =
∑(X
i =1
n
− X ) (Yi − Y )
n
∑(X
i =1
n
。当 H 0 成立时，由样本观
− X ) 2 ∑ (Yi − Y ) 2 i
以后我们把一个拒绝域为
W1 = {( x1 ,K , xn ) : t ( x1 ,K , xn ) > c} 的检验写作
“当 t ( x1 ,K , xn ) > c 时拒绝原假设 H 0 ” ，其中
t ( X 1 ,K , X n ) 是检验统计量。
（一） χ 2 拟合优度检验 例：为了检查一颗骰子是否均匀，把它掷了 120 次，得结果如下：
平 α =0.25 下能否认为 X 服从泊松分布？
例：为了检验某厂生产的灯泡的使用寿命是否 服从指数分布，随机地抽查了 150 只灯泡，测 得它们的平均使用寿命 x = 200 (小时 ) ，把这 150 个数据分组整理后如下表：
寿命范围 频数
[0,100] (100, 200] ( 200,300] ( 300, ∞ )
设 ( X 1 ,K , X n ) 是取自总体 X 的一个样本， X 的分布 函数为 F ( x ) ， F ( x ) 未知，要检验
H 0 : F ( x ) = F0 ( x;θ1 ,Lθ k ) ， (θ1 ,Lθ k ) ∈ Θ
1．在原假设成立时，求出未知参数的极大似然估计值，
ˆ ˆ 然后考虑检验简单假设： H 0 : F ( x ) = F0 x;θ1 ,Lθ k
分布函数的假设检验
xi
x
4.33
检验统计量： χ 2 ( fi nPi )2
i
nPi
拒绝域：
W
{χ2
χ
2 α
(
k
r
1)}
列表计算：
X
fi
Pi
≤1 7 2 12 3 18 4 17 5 20 6 13 76 ≥8 7
∑ n=100
0.0702 0.1234 0.1782 0.1929 0.1670 0.1205 0.0746 0.0732
拒绝域：
W
{χ2
χ
2 α
(k
r 1)}
K 6，r 0， α 0.05，
χ
2 α
(k
r
1)
χ
2 0.05
(5)
11.071
W { χ 2 11.071}
列表计算
汽车
颜色
fi
Pi
红
75
1/6
棕
125
1/6
黄
70
1/6
白
80
1/6
灰
135
1/6
蓝
115
1/6
7 [149.5,159.5) 5 0.0661 6.61 8 [159.5, ＋∞) 7 0.0307 3.07
∑ n=100
( fi nPi )2
fi - nPi
nPi
-1.55 0.3668
-2.56 0.6206
4.28 1.0338
4.69 0.9859
-2.89 0.4199
-4.29 1.3848
i
浅谈总体分布的拟合优度检验
浅谈总体分布的拟合优度检验引言在统计学中，拟合优度检验（Goodness-of-fit test）是用来检验一个样本是否来自于某个特定的总体分布的方法。
总体分布指的是一个概率分布，比如正态分布、伯努利分布等。
拟合优度检验的目的是评估样本数据与总体分布之间的吻合程度，从而判断样本数据是否可以通过总体分布来描述。
拟合优度检验在许多领域都有广泛的应用，比如生物学、医学、经济学等。
本文将讨论拟合优度检验的概念、常用的方法以及实际应用。
1. 拟合优度检验的概念拟合优度检验是一种用来评估观察到的数据与理论分布之间的吻合程度的方法。
它的核心思想是通过统计检验的方法来判断样本数据是否与某个总体分布一致。
拟合优度检验的原假设（null hypothesis）通常是样本数据符合某个特定的总体分布。
而备择假设（alternative hypothesis）则是样本数据不符合该总体分布。
常用的拟合优度检验方法有卡方检验（chi-square test），Kolmogorov-Smirnov检验等。
2. 卡方检验（Chi-square test）卡方检验是一种常用的拟合优度检验方法，它适用于分类数据或离散数据。
其基本思想是通过计算观察频数和期望频数之间的差异来判断样本数据是否来自于某个特定的总体分布。
卡方检验的步骤如下：1.设置原假设和备择假设：原假设通常是样本数据符合某个总体分布，备择假设则是样本数据不符合该总体分布。
2.计算期望频数：根据原假设和样本数据的大小，计算期望频数。
3.计算卡方统计量：利用观察频数和期望频数计算卡方统计量，该统计量反映了观察值与期望值之间的差异。
4.设置显著性水平：选择适当的显著性水平（一般为0.05）。
5.比较卡方值和临界值：利用显著性水平和自由度，比较计算得到的卡方值和临界值。
6.做出判断：如果计算得到的卡方值小于临界值，则接受原假设，即样本数据可以通过总体分布来描述。
如果计算得到的卡方值大于临界值，则拒绝原假设，即样本数据不符合总体分布。
第四节分布函数拟合优度检验
拒绝域：
W
{χ2
χ
2 α
(k
r 1)}
K 6，r 0， α 0.05，
χ
2 α
(k
r
1)
χ
2 0.05
(5)
11.071
W { χ 2 11.071}
列表计算
汽车
颜色
fi
Pi
红
75
1/6
棕
125
1/6
黄
70
1/6
白
80
1/6
灰
135
1/6
蓝
115
1/6
的差异应不会太大，皮尔逊由此引进统计量：
χ 2 k ( f i nPi )2
i 1
nPi
并证明了如下定理：
定理（皮尔逊）若 n 充分大，H0为真时，不论 H0
中的分布属于什么类型，统计量
χ 2 k ( f i nPi )2
i 1
nPi
总是近似服从自由度为K-r-1的 χ 2分布，即
1.3099
K 8，r 1， α 0.05，
χ
2 α
(k
r
1)
χ
2 0.05
(6)
12.592
W { χ 2 12.592}
χ 2 1.3099 12.592 因为 χ 2 W 所以接受H0， 认为电话交换台每分钟呼唤次数X 服从泊松分布. 说明: 将n=0和n=1合并，n=8与n≥9合并是为了
解：按题意，原假设 H 0 : X ~ N（μ，σ 2）
由于μ,σ2未知，首先须用极大似然估计法，求得 其估计值（看教科书七章二节例2）：
拟合优度检验PPT课件
，否则就认为差异不显著而接受原假设。
ห้องสมุดไป่ตู้
连续性矫正
当df＝1时应做连续性矫正，矫正方法如 下：
k
2
Oi Ti 0.5 2
i 1
Ti
授课：XXX
20
皮尔逊定理小结
皮尔逊定理是在 n 无限增大时推导出来 的，因而在使用时要注意 n 要足够大，以 及 npi 不太小这两个条件。
根据计算实践，要求 n 不小于50，以及 npi 都不小于 5。否则应适当合并区间，使 npi 满足这个要求 。
3. 根据所假设的理论分布，可以算出总体 X 的值落入每个 Ai 的概率 pi，npi就是 落入区间 Ai 的样本值的理论频数。
授课：XXX
10
4. 观测频数与理论频数比较，判断二者 不符合程度是否由于机会所造成。
实测频数
fi npi 理论频数
皮尔逊引进如下统计量表示经验分布与理论分布
之间的差异:
授课：XXX
15
统计量的选择
为了解决上述问题，以 Ti 为权求加权值
kk
ii11
TTii
OOii TTii TTii
2
kk ii11
Oii Ti Tii
22
k
i 1
fi npi 2 npi
授课：XXX
16
自由度的确定
2 k ( fi npi )2
i 1
npi
变量之间存在着一个制约关系：
2 k ( fi npi )2
i 1
npi
在理论分布 已知的条件下,
npi是常量
两个问题：
统计量 2 的分布是什么?
皮尔逊为什么会选用这个统计量?
授课：XXX
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xi
x
4.33
检验统计量： χ 2 ( fi nPi )2
i
nPi
拒绝域：
W
{χ2
χ
2 α
(
k
r
1)}
列表计算：
X
fi
Pi
≤1 7 2 12 3 18 4 17 5 20 6 13 76 ≥8 7
∑ n=100
0.0702 0.1234 0.1782 0.1929 0.1670 0.1205 0.0746 0.0732
的，所以在使用时必须注意 n要足够大及 npi不能太小， 根据实际经验，要求 n ≥50，理论频数npi ≥4 ，否则
要适当合并区间以满足这个要求。
例1.某个城市在某一时期内共发生交通事故600次，
按不同颜色小汽车分类如下
汽车颜色 红 棕 黄 白 灰 蓝 事故次数 75 125 70 80 135 115
拒绝域：
W
{χ2
χ
2 α
(k
r 1)}
K 6，r 0， α 0.05，
χ
2 α
(k
r
1)
χ
2 0.05
(5)
11.071
W { χ 2 11.071}
列表计算
汽车
颜色
fi
Pi
红
75
1/6
棕
125
1/6
黄
70
1/6
白
80
1/6
灰
135
1/6
蓝
115
1/6
第四节 分布函数的拟合优度检验
前面几节中讨论了总体分布形式已知时关于 总体参数的假设检验。但在许多实际问题中并不 能预先知道总体分布的形式。这时，就需要根据 样本提供的信息，对总体的分布作出假设，并对 此假设进行检验。本节我们将介绍由英国统计学
家卡尔·皮尔逊提出的 χ 2 拟合优度检验法。
χ 2拟合优度检验法的基本原理和步骤：
际频数之和 f1+ f2+ …+ fk 等于样本容量n.
4.在原假设H0为真时，计算总体落入每个区间的概
率Pi=F（bi）- F（bi-1）（ i=1,2, ……,K），于是npi
就是落入第i个区间的样本值的理论频数.
f i nPi反映了实际频数与理论频数的差异.
当原假设H0为真，样本容量又充分大时，两者
1. 提出原假设 H0 ：总体 X 的分布函数为F (x) 备择假设H1 ：总体 X 的分布函不是F (x)
说明: (1)备择假设可以不必写出. (2)若X是离散型总体，原假设相当于：
H0 ：总体 X 的分布律为：P{X=xi}= pi ,i=1,2, … … 若X是连续型总体，原假设相当于：
H0 ：总体 X 的概率密度为f (x).
χ 2 k ( f i nPi )2 ~ χ（2 K r 1）
i 1
nPi
其中r是分布中被估计的参数的个数.
由此得
5.检验统计量：χ 2 k ( fi nPi )2
i 1
nPi
拒绝域： W { χ 2 χ 2（α K r 1）}
注: χ 2 拟合优度检验法是在n充分大的条件下得到
∑ n=600
nP i
100
f i - nP i
-25
( f i nPi )2 nPi
6.25
100
25
6.25
100
30
9
100
-20
4
100
35
12.25
100
15
2.25
40
χ 2 40 11.071
因为 χ 2 W
所以拒绝H0，认为交通事故与汽车的颜色有关.
例2.某电话交换台，在100分钟内记录了每分钟被呼 唤的次数X，设f i为出现该 X值的频数，结果如下：
2 [99.5,109.5) 8 7 [149.5，159.5) 5
3 [109.5，119.5) 22 8 [159.5，169.5) 5
的差异应不会太大，皮尔逊由此引进统计量：
χ 2 k ( f i nPi )2
i 1
nPi
并证明了如下定理：
定理（皮尔逊）若 n 充分大，H0为真时，不论 H0
中的分布属于什么类型，统计量
χ 2 k ( f i nPi )2
i 1
nPi
总是近似服从自由度为K-r-1的 χ 2分布，即
1.3099
K 8，r 1， α 0.05，
χ
2 α
(k
r
1)
χ
2 0.05
(6)
12.592
W { χ 2 12.592}
χ 2 1.3099 12.592 因为 χ 2 W 所以接受H0， 认为电话交换台每分钟呼唤次数X 服从泊松分布. 说明: 将n=0和n=1合并，n=8与n≥9合并是为了
nP i
7.02 12.34 17.82 19.29 16.70 12.05 7.46 7.32
f i - nP i
-0.02 -0.34 0.18 -2.29 3.30 0.95 -1.46 -0.32
( f i nPi )2 nPi
0.00006 0.0094 0.0018 0.2719 0.6521 0.0749 0.2857 0.0140
保证理论频数npi ≥4.
例3.为了研究患某种疾病的21~59岁男子的血压
（收缩压，单位：mm-Hg ）这一总体X，抽查了
100个男子，得 x 126.37 ，b2 17.752 ，样本值
分组如下：
序 号
分组
序 fi 号
分组
fi
1 （－∞，99.5) 5 6 [139.5，149.5) 9
问：交通事故是否与பைடு நூலகம்车的颜色有关？(α 0.05) 分析：
如果交通事故的发生与汽车的颜色无关，则每种 颜色的小汽车发生交通事故的可能性是一样的.
解：原假设
H0
: Pi
P{ X
xi }
1 6
(i 1,2,,6)
检验统计量： χ 2 6 ( fi nPi )2
i 1
nPi
X 0123456789 f i 0 7 12 18 17 20 13 6 3 4
问总体X（电话交换台每分钟呼唤次数）服从泊松 分布吗？ (α 0.05)
解：按题意，原假设 H 0 : X ~ π( λ)
由于λ未知，首先须用极大似然估计法，求得 λ的估计值（看七章二节例5）：
λˆ
1 n
n i 1
(3) 若在原假设 H0下，总体分布的形式已知，但有r 个参数未知，这时需要用极大似然估计法先估计这 r 个参数. 2. 将 x 轴分成K个互不重迭的小区间：
（ ，b1）,[b1，b2）,,[bK1， ）
3.计算样本的n个观察值落入以上每个区间的个数，
记为fi （ i=1,2, ……,K），称其为实际频数. 所有实