运输问题模型.pptx
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第7章运输问题.pptx
一季度 二季度 三季度 四季度
生产能力（台） 单位成本（万元）
25
10.8
35
11.1
30
11.0
10
11.3
管理运筹学
8
§3 运输问题的应用
解： 设 xij为第 i 季度生产的第 j 季度交货的柴油机数目，那么应满足：
交货：x11
= 10
生产：x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 25
山西盂县 河北临城
需要量
一区 1.80 1.60 3000
二区 1.70 1.50 1000
三区 1.55 1.75 2000
产量 4000 1500
由于需大于供，经院研究决定一区供应量可减少0--300吨，二区必须满 足需求量，三区供应量不少于1500吨，试求总费用为最低的调运方案。
解： 根据题意，作出产销平衡与运价表：
第七章 运 输 问 题
• §1 运 输 模 型 • §2 运输问题的计算机求解 • §3 运输问题的应用 • §4* 运输问题的表上作业法
管理运筹学
1
§1 运 输 模 型
例1、某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地 的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所
s.t.
xij = si i = 1,2,…,m
j=1
m
xij = dj j = 1,2,…,n
i=1
xij ≥ 0 (i = 1,2,…,m ; j = 1,2,…,n) • 变化：
1）有时目标函数求最大。如求利润最大或营业额最大等；
2）当某些运输线路上的能力有限制时，在模型中直接加入约束条件
《管理运筹学》课件05-运输模型PPT课件
26
.
5.2 表上作业法
调整非优方案的一般步骤与规则
1°进基变量的确定——规则Ⅰ
按
min {σij︱σij< 0 } = σlk
确定xlk进基。
若有多个σlk同时最小，则选其中最小运价min{clk} 所对应的那个 xlk进基; 又若有多个这样的clk同时最小， 则从中任选一个clk对应xlk的 进基。进而画出进基变量xlk的闭回路及奇偶点。
个数，即m+n-1个 。
(2) 可行：满足所有约束条件。 (3) 表中不存在“以画圈数字为顶点的闭回路”。
16
.
5.2 表上作业法
A1 A2 A3
销量
画圈数字为顶点的闭回路
B1
6
B2 31
B3 21
B4 53
72
5
8
4
3
22 9
71
2
3
1
4
产量
5 2 3
17
.
5.2 表上作业法
二、最大差额法 步骤如下：
1 3 1 1 55
列3
1
61
差
2
1
19
.
5.2 表上作业法
5.2.2 最优性检验 一、位势法 在初始方案表中, 可将基变量所在格的运价cij分解为两部分
ui + vj = cij
其中ui代表产地Ai所在行的行位势量，vj代表销地Bj所在列 的列位势量，cij为画圈数字所在格的运价。
所有ui，vj的值确定以后，可以证明，σij可按下式计算：
(2) 在确定为最小元素的某一空格上，若该变量 xij = min { ai, bj } = 0
此时也不能保留该空格，而必须把 0 填上并画圈。 (3) 最后一个空格必须画圈，即便该格的xij= 0也要
最新第四章-运输问题课件PPT
产量 B4
A1
18
14
17
12
100
A2
5
8
13
15
100
A3
17
7
12
9
150
销量
50
70
60
80
❖ 请问，应如何调运产品，使得总运费最少？
❖ 总销量>总产量
❖ 某公司有从三个产地A1，A2，A3，将物品运送到五个销地B1， B2，B3，B4， B5，各产地的产量、各销地的销量、各产地到各 销地的单位运价如下表所示：
20
A3
80
销量
80
B2
B3
120
40
100
30
50
110
140
120
B4 110 90 60 140
产量
160 100 220
❖ 请问，应如何调运产品，使得总运费最少？
闭回路法检验解的最优性
从每一个非基变量的空格出发，构造闭回路。若非基
变量所对应的检验数 ij 0 ，则当前解即为最优解。
其中：
3
6
5
6
❖ 请用最小元素法确定初始基本可行解，并用闭回路法检验初始基 本可行解是否为最优解。
2.表上作业法（产销不平衡的运输问题）
❖ 总产量>总销量
某公司有从三个产地A1，A2，A3，将物品运送到三个销地B1 ，B2，B3，各产地的产量、各销地的销量、各产地到各销地的单 位运价如下表所示：
销地
产地
销地 产地
A1 A2 销量
B1 7 10 300
B2 6 4 350
B3 8 5 250
产量
400 200
运筹学-第三章-运输问题ppt课件
45
46
首先建立电子表格
47
区域名称
产量 单位运价 实际产量 实际销量 销量 运输量 总费用
单元格 I9:I11 C4:F6 G9:G11 C12:F12 C14:F14 C9:F11
I14
48
49
Excel 求解结果为：
50
9
§3-2 表上作业法(运输单纯形法)
表上作业法的计算步骤： 1. 确定初始方案，即找出初始基可行解； 2. 求非基变量检验数，判断最优； 3. 用闭回路法调整； 4. 重复2, 3 ，直至求出最优解。
10
一、确定初始基可行解(两种方法)
1. 最小元素法(“就近调运”) 1)找到运价中最小的元素，确定供销关系；
34
解：
v 该问题要求满足不同顾客的需求(采购量)，即最小采购 量实际供给量最大采购量。三个工厂的总产量为20000件， 4个顾客的最低采购量为12000件，最高采购量为30000件， 大于总产量。为保持产销平衡，虚拟一个工厂4，其产量 为10000件。
v 由于每个顾客的需求分为必须满足和不一定满足两部分， 故将其视为两个顾客。必须满足的顾客其采购量不能由虚 拟工厂提供，令其单位利润为M (M为任意大正数)，不 一定满足的顾客其采购量能由虚拟工厂提供，令其单位利 润为0。由此可得该问题的产销平衡及单位利润表，如表324所示。
§3-1 运输问题的数学模型
一、示例 例1
4
二、运输问题描述
v 有m 个产地Ai ，产量为 ai, i=1,2, …m (sources) v 供n 个销地 Bj , 需求量 bj, j=1,2, …n (destinations)
v 已知 Ai到 Bj的单位运价为 cij v 问如何调运使总运费最小？
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首先建立电子表格
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区域名称
产量 单位运价 实际产量 实际销量 销量 运输量 总费用
单元格 I9:I11 C4:F6 G9:G11 C12:F12 C14:F14 C9:F11
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Excel 求解结果为：
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§3-2 表上作业法(运输单纯形法)
表上作业法的计算步骤： 1. 确定初始方案，即找出初始基可行解； 2. 求非基变量检验数，判断最优； 3. 用闭回路法调整； 4. 重复2, 3 ，直至求出最优解。
10
一、确定初始基可行解(两种方法)
1. 最小元素法(“就近调运”) 1)找到运价中最小的元素，确定供销关系；
34
解：
v 该问题要求满足不同顾客的需求(采购量)，即最小采购 量实际供给量最大采购量。三个工厂的总产量为20000件， 4个顾客的最低采购量为12000件，最高采购量为30000件， 大于总产量。为保持产销平衡，虚拟一个工厂4，其产量 为10000件。
v 由于每个顾客的需求分为必须满足和不一定满足两部分， 故将其视为两个顾客。必须满足的顾客其采购量不能由虚 拟工厂提供，令其单位利润为M (M为任意大正数)，不 一定满足的顾客其采购量能由虚拟工厂提供，令其单位利 润为0。由此可得该问题的产销平衡及单位利润表，如表324所示。
§3-1 运输问题的数学模型
一、示例 例1
4
二、运输问题描述
v 有m 个产地Ai ，产量为 ai, i=1,2, …m (sources) v 供n 个销地 Bj , 需求量 bj, j=1,2, …n (destinations)
v 已知 Ai到 Bj的单位运价为 cij v 问如何调运使总运费最小？
第三章 运输问题 运筹学 PPT课件
定理： 若变量组 x ,x , i1j1 i2j2 ,xisjs
(s= m+n-1)是运输问题的基变量，xij是一个非
基变量，则变量组 xij,xi1j1,xi2j2, ,xisjs
中存在包含xij 的唯一闭回路。
14
§2 求解运输问题的表上作业法
运输问题是一种特殊的线性规划问题， 根据其特殊性设计的表上作业法，仍然重复 单纯形法的思想，但验证最优标准和可行性 的方法有些变化，其求解步骤如下： （1）给出初始基可行解； （2）检验是否是最优解，如果是最优解， 则计算结束；否则转入（3）； （3）确定进基变量和出基变量，求出新的 基可行解，返回（2）。
推论： 若变量组 xi1j1,xi2j2, ,xirjr
中有一个部分组构成闭回路，则该变量 组对应的系数列向量线性相关。
推论：m+n-1个变量构成基变量的充要 条件是不含闭回路。
13
若变量组中某一个变量是其所在行或所 在列中包含在该变量组中的唯一变量，则称 这个变量是变量组的孤立点。
不包含任何闭回路的变量组中必有孤立点。
n
xij ai
j 1
m行
1
1
1
1
1
1
1 1 1
m
xij b j
i 1
n行
1
1
1 1
1
1
1
1
7 1
该矩阵的元素全部是0或1。每一列 只有两个元素为1，其余为0。若用Pij表示 xij的系数列向量，则在Pij中第i个和第m+j 个元素为1，其余为0。即
0
1
5
产销平衡的运输问题
m
n
ai bj
i1
j 1
(s= m+n-1)是运输问题的基变量，xij是一个非
基变量，则变量组 xij,xi1j1,xi2j2, ,xisjs
中存在包含xij 的唯一闭回路。
14
§2 求解运输问题的表上作业法
运输问题是一种特殊的线性规划问题， 根据其特殊性设计的表上作业法，仍然重复 单纯形法的思想，但验证最优标准和可行性 的方法有些变化，其求解步骤如下： （1）给出初始基可行解； （2）检验是否是最优解，如果是最优解， 则计算结束；否则转入（3）； （3）确定进基变量和出基变量，求出新的 基可行解，返回（2）。
推论： 若变量组 xi1j1,xi2j2, ,xirjr
中有一个部分组构成闭回路，则该变量 组对应的系数列向量线性相关。
推论：m+n-1个变量构成基变量的充要 条件是不含闭回路。
13
若变量组中某一个变量是其所在行或所 在列中包含在该变量组中的唯一变量，则称 这个变量是变量组的孤立点。
不包含任何闭回路的变量组中必有孤立点。
n
xij ai
j 1
m行
1
1
1
1
1
1
1 1 1
m
xij b j
i 1
n行
1
1
1 1
1
1
1
1
7 1
该矩阵的元素全部是0或1。每一列 只有两个元素为1，其余为0。若用Pij表示 xij的系数列向量，则在Pij中第i个和第m+j 个元素为1，其余为0。即
0
1
5
产销平衡的运输问题
m
n
ai bj
i1
j 1
运输问题(运筹学教学)演示课件.ppt
精选课件
2、求检验数--闭回路法: 例1
销地 产地
B1 3
B2 11
B3 3
B4
ai
10
注: 1)数字格检 验数均为0
A1
④
③
7 2)空格检验数
1
2
A2
③1
9
2
①
8
以某空格为起点，用水平或垂直
4 线往前划，每碰到一个数字格转
1
-1
90。，然后继续前进，直到回到起
7
4
10
5
A3
⑥
③
9 点。根据回路计算该空格对应变
精选课件
用网络优化软件
运费 一区1 一区2 二区 三区1 三区2 供应量
山西盂县 1.65 1.65 1.7 1.75 1.75 4000
河北临城 1.6 1.6 1.65 1.7
1.7 1500
假想地点 M
0
M
M
0
500
6000 需求量 2700 300 1000 1500 500
6000
精选课件
运输问题的表格表示
需求地
1
供应地
16
28
35
合计 13
2
7 4 9 21
3
5 2 10 9
4
3 7 6 7
合计
25 10 15
精选课件
运输问题线性规划模型
min z = 6x11 + 7x12 + 5x13 + 3x14 + 8x21 + 4x22 + 2x23 + 7x24 + 5x31 + 9x32 +10x33 + 6x34
2、求检验数--闭回路法: 例1
销地 产地
B1 3
B2 11
B3 3
B4
ai
10
注: 1)数字格检 验数均为0
A1
④
③
7 2)空格检验数
1
2
A2
③1
9
2
①
8
以某空格为起点，用水平或垂直
4 线往前划，每碰到一个数字格转
1
-1
90。，然后继续前进，直到回到起
7
4
10
5
A3
⑥
③
9 点。根据回路计算该空格对应变
精选课件
用网络优化软件
运费 一区1 一区2 二区 三区1 三区2 供应量
山西盂县 1.65 1.65 1.7 1.75 1.75 4000
河北临城 1.6 1.6 1.65 1.7
1.7 1500
假想地点 M
0
M
M
0
500
6000 需求量 2700 300 1000 1500 500
6000
精选课件
运输问题的表格表示
需求地
1
供应地
16
28
35
合计 13
2
7 4 9 21
3
5 2 10 9
4
3 7 6 7
合计
25 10 15
精选课件
运输问题线性规划模型
min z = 6x11 + 7x12 + 5x13 + 3x14 + 8x21 + 4x22 + 2x23 + 7x24 + 5x31 + 9x32 +10x33 + 6x34
第3章+线性规划(运输问题)PPT课件
精选PPT课件
21
初前例始中：可最行小元解素法的求初获始得解
1
2
3
4
9
12
9
6
1
30
20
7 2
3
7
7
40
20
6
5
3
40
9
11
10
dj
40
40
60
20
0
0
40
0
10
0 精选PPT课件
si 50 30 0 60 20 0 50 10 0
22
伏格尔法
思路：一产地的产品假如不能按最小运费就近 供应，就考虑次小运费，这就有一个差额。差 额越大，说明不能按最小运费调运时，运费增 加越多，因而，对差额最大处，就应当采用最 小运费调运。
具体计算过程在表中进行
精选PPT课件
33
位势及检验数的计算
1
2
3
4
ui
9
12
9 -7 6 -12
1
0
40
10
77 3
7
7 -2
2
-9
30
30
3
6 4509
11
-7
30
20
vj
9
12
16
18
注：格子中，带数字为基本可行解，不带数字为
检验数
精选PPT课件
34
闭回路法
一个可以作为表上作业法初始方案的表中， 共有m+n-1个实格和mn-(m+n-1)个空格。 从一个空格出发，沿水平或竖直方向前进，
精选PPT课件
36
在闭回路中，转向之处称为顶点。从空格算起第奇 数转向的称为奇数顶点，第偶数次转向的称为偶数 顶点。
运输问题模型和表上作业法步骤 PPT课件
s.t. x11 x12 x13 x14
14
供 应
x21 x 22 x 23 x24
27 地
约
x 31 x 32 x 33 x 34 19 束
x11
x21
x31
x12
x22
x32
x13
x23
x33
x14
x24
x34
22 需
13 求
12
地 约
13 束
x11 x12 x13 x14 x 21 x 22 x 23 x 24 x31 x32 x33 x34
表2—2
销地
产地
B1
B2
B3
B4
A1
x11
x12
A2
x21
x24
A3
x32
x34
x11、 x12、 x32、 x34、 x24、 x21 构成一个闭回路. 这里有： i1 = 1， i2 = 3， i3 = 2；j1 = 1， j2 = 2， j3 = 4. 若把闭回路 的顶点在表中画出, 并且把相邻两个变量用一条直线相连
Transportation Problem 运输问题
运输问题的表示 网络图、线性规划模型、运输表 初始基础可行解 西北角法、最小元素法 非基变量的检验数 闭回路法、对偶变量法 确定进基变量，调整运量，确定离基 变量
运输问题
人们在从事生产活动中，不可避免地要进 行物资调运工作。如某时期内将生产基 地的煤、钢铁、粮食等各类物资，分别 运到需要这些物资的地区，根据各地的 生产量和需要量及各地之间的运输费用， 如何制定一个运输方案，使总的运输费 用最小。这样的问题称为运输问题。
A 0 0 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0
怎样掌握运输问题的数学模型.pptx
在运费表中找出最小元素，尽最大 可能用完一个厂的产量，或满足一个商 家的销量。得到满足者用线划去。
逐次寻找最小元素，直至分配完毕
注意：如填写一个数字同时满足了 一厂一商，则需在同行或同列中填写一 个数字0，以保证恰好有m+n-1个数字。
OR2
8
例1 之初始方案（P119）
最小元素法：圈定C24
B1 B2 B3 A1 8 7 3 A2 4 7 5 A3 2 4 9 销量 3 2 4
4季度正常生产 M M M 11.1 0 28
4季度加班生产 M M M 14.1 0 8
需求量
25 30 15 45 11 126
126
OR2
37
例四 结果：
生产 交货
. 生产
1季度正常生产 2季度正常生产 3季度正常生产 3季度加班生产 4季度正常生产 4季度加班生产
需求量
闲置 产量
1 2 3 4 能力
B4 产量 21
/5 9 4
64
5
OR2
9
例1初始方案（续1）
圈定C31
B1 B2 B3 B4 产量 A1 8 7 3 2 1
A2 4 7 5 /5 9 4 A3 /3 4 9 6 4 1
销量 3 2 4 5
OR2
10
例1初始方案（续2）
圈定C13
B1 B2 A1 8 7
A2 4 7
A3 /3 4
OR2
21
新方案检验
计算空格处（即非基变量）的检验数，
σij=cij-(ui+vj)，所有σij ≥0 ，已得最优解。
B1 B2 B3 B4 ui A1 6 3 0 3 A2 0 1 0 0 A3 0 0 6 7 vj
逐次寻找最小元素，直至分配完毕
注意：如填写一个数字同时满足了 一厂一商，则需在同行或同列中填写一 个数字0，以保证恰好有m+n-1个数字。
OR2
8
例1 之初始方案（P119）
最小元素法：圈定C24
B1 B2 B3 A1 8 7 3 A2 4 7 5 A3 2 4 9 销量 3 2 4
4季度正常生产 M M M 11.1 0 28
4季度加班生产 M M M 14.1 0 8
需求量
25 30 15 45 11 126
126
OR2
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例四 结果：
生产 交货
. 生产
1季度正常生产 2季度正常生产 3季度正常生产 3季度加班生产 4季度正常生产 4季度加班生产
需求量
闲置 产量
1 2 3 4 能力
B4 产量 21
/5 9 4
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5
OR2
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例1初始方案（续1）
圈定C31
B1 B2 B3 B4 产量 A1 8 7 3 2 1
A2 4 7 5 /5 9 4 A3 /3 4 9 6 4 1
销量 3 2 4 5
OR2
10
例1初始方案（续2）
圈定C13
B1 B2 A1 8 7
A2 4 7
A3 /3 4
OR2
21
新方案检验
计算空格处（即非基变量）的检验数，
σij=cij-(ui+vj)，所有σij ≥0 ，已得最优解。
B1 B2 B3 B4 ui A1 6 3 0 3 A2 0 1 0 0 A3 0 0 6 7 vj
运输问题-课件
Cij表示把物资从产地Ai运到销地Bj的单位运价。 同样设Xij表示从产地Ai运到销地Bj的运输量。
《运筹学》
第三章 运输问题
Slide 5
则产销平衡的运输问题的线性规划模型如下所示：
运输问题有mn个决策变量，m+n 个约束条件。由于 产销平衡条件，只有m+n–1个相互独立，因此，运输问 题的基变量只有m+n–1 个。
3、调整改进的闭环回路方法——迭代
若有两个或两个以上的负检验数时，一般选其中最小的 负检验数。以(24)格为调入格，以此格为出发点，作一闭 环回路。
在闭回路上进行运量调整，使选定空格处的运量尽可能 地增加（即取相邻两数字格中较小的）。
运量调整后，必然使某个数字格变成零。把一个变成零 的数字格抹去，得新的调运方案。经检验，所有检验数都 非负，故达到最优，最优方案总运费最小是85元。
例4．设有三个化肥厂供应四个地区的农用化肥。假定 等量的化肥在这些地区使用效果相同。各化肥厂年产量， 各地区年需要量及从各化肥厂到各地区运送单位化肥的运 价如下表所示，试求出总的运费最节省的化肥调运方案。
《运筹学》
第三章 运输问题
Slide 36
三个化肥厂共可供应化肥160吨。 问：根据现有三个化肥厂的产量， 地区 IV 最高需求是否 可以不限？最高需求是多少？ 160－ 30－70－0＝60吨
产销平衡表
《运筹学》
第三章 运输问题
Slide 10
43
3
1
6
3
1 找出最小运价为1，先将A2的产品供应给B1，因a2>b1， A2除满足B1的全部需要外，还可多余1吨产品。在(A2,B1)的 交叉格处填上3。并将B1列运价划去。
2 在未划去的元素中再找出最小运价2，确定A2多余的1 吨供应B3。在(A2,B3)的交叉格处填上1。并将A2行运价划去 3 在未划去的元素中再找出最小的运价3，这样一步步进 行下去，直到运价表上的所有元素划去为止。
《运筹学》
第三章 运输问题
Slide 5
则产销平衡的运输问题的线性规划模型如下所示：
运输问题有mn个决策变量，m+n 个约束条件。由于 产销平衡条件，只有m+n–1个相互独立，因此，运输问 题的基变量只有m+n–1 个。
3、调整改进的闭环回路方法——迭代
若有两个或两个以上的负检验数时，一般选其中最小的 负检验数。以(24)格为调入格，以此格为出发点，作一闭 环回路。
在闭回路上进行运量调整，使选定空格处的运量尽可能 地增加（即取相邻两数字格中较小的）。
运量调整后，必然使某个数字格变成零。把一个变成零 的数字格抹去，得新的调运方案。经检验，所有检验数都 非负，故达到最优，最优方案总运费最小是85元。
例4．设有三个化肥厂供应四个地区的农用化肥。假定 等量的化肥在这些地区使用效果相同。各化肥厂年产量， 各地区年需要量及从各化肥厂到各地区运送单位化肥的运 价如下表所示，试求出总的运费最节省的化肥调运方案。
《运筹学》
第三章 运输问题
Slide 36
三个化肥厂共可供应化肥160吨。 问：根据现有三个化肥厂的产量， 地区 IV 最高需求是否 可以不限？最高需求是多少？ 160－ 30－70－0＝60吨
产销平衡表
《运筹学》
第三章 运输问题
Slide 10
43
3
1
6
3
1 找出最小运价为1，先将A2的产品供应给B1，因a2>b1， A2除满足B1的全部需要外，还可多余1吨产品。在(A2,B1)的 交叉格处填上3。并将B1列运价划去。
2 在未划去的元素中再找出最小运价2，确定A2多余的1 吨供应B3。在(A2,B3)的交叉格处填上1。并将A2行运价划去 3 在未划去的元素中再找出最小的运价3，这样一步步进 行下去，直到运价表上的所有元素划去为止。
《运输问题》课件
动态规划模型
动态规划是一种数学方法，用于解决具有重叠子问题和最 优子结构的问题。在运输问题中，动态规划模型通常用于 解决具有时间序列或阶段性的运输问题。
动态规划模型将运输问题分解为一系列的子问题，并逐一 解决这些子问题以找到最优解。
启发式算法
启发式算法是一种基于经验或直观的 算法，用于在可接受的时间内找到近 似最优解。在运输问题中，启发式算 法通常用于解决大规模或复杂的运输 问题。
注意事项：载重优化需要考虑货物的特 点和限制条件，如易碎、易燃、易腐蚀 等货物需要特殊处理，同时需要关注货 物的安全性和稳定性，防止发生意外事
故。
时间优化
总结词
时间优化是运输问题中的关键策略，通过合理安排运输时间，降低运输延迟和提高运输效率。
详细描述
时间优化主要考虑如何将运输时间进行合理的安排和管理，以最小化运输延迟和提高运输效率。这需 要考虑运输需求的时间分布、交通状况、天气等多种因素，以及如何合理安排运输计划和调度。
分类
根据货物的需求量、运输能力、运输方式等因素，运输问题可以分为多种类型 ，如产销平衡运输问题、产销不平衡运输问题、多品种运输问题、多模式运输 问题等。
运输问题的特点
01
优化目标
最小化运输成本。
02
03
04
约束条件
货物的需求量、运输能力、时 间限制等。
决策变量
每个运输路线的运输量。
线性规划
运输问题的目标函数和约束条 件都是线性的，可以使用线性
04
运输问题的优化策略
路径优化
总结词
路径优化是运输问题中常用的策略，通 过合理规划运输路线，降低运输成本和 时间。
VS
详细描述
路径优化主要考虑如何选择最佳的运输路 径，以最小化运输时间和成本。这需要考 虑路况、距离、交通状况等多种因素，以 及如何合理安排车辆和人员，确保运输效 率最大化。
运输问题 PPT课件
《运筹学》 第三章 运输问题 Slide 4
使运输费最小的目标函数为： minz＝6X11+4X12+6X13+6X21+5X22+5X23 Xij>=0 一般运输问题的线性规划的模型： 有m个产地生产某种物资，有n个地区需要该类物资。 Al，A2，…，Am表示某种物资的m个产地；Bl，B2，… ，Bn表示某种物资的n个销地； 令a1, a2, …, am表示各产地产量， b1, b2, …, bn表示各 销地的销量，ai=bj 称为产销平衡。 Cij表示把物资从产地Ai运到销地Bj的单位运价。 同样设Xij表示从产地Ai运到销地Bj的运输量。
《运筹学》 第三章 运输问题 Slide 8
证：记∑ai= ∑bj=Q Xij=aibj/Q就是一个可行解，因为Xij≥0，且满足 ∑Xij=ai, ∑Xij=bj 又因为Cij≥0,Xij≥0,所以目标函数有下界零。 因而运输问题一定有最优解。 1、确定初始基可行解 最常用的方法是最小元素法。——既简便，又尽可能接近 最优解。 最小元素法的基本思想是就近供应，即从单位运价表中最 小的运价开始确定供销关系，同时兼顾各产销地的需求，然 后次小，一直到给出初始基可行解为止。
销地 运输量 产地 A1 A2 销量 B1 X11 X21 150 B2 X12 X22 150 B3 X13 X23 200 产量 （件） 200 300 500
满足产地产量的约束条件为： X11+X12+X13=200 X21+X22+X23=300 满足销地销量的约束条件为： X11+X21＝150 X12+X22＝150 X13+X23＝200
《运筹学》 第三章 运输问题 Slide 9
使运输费最小的目标函数为： minz＝6X11+4X12+6X13+6X21+5X22+5X23 Xij>=0 一般运输问题的线性规划的模型： 有m个产地生产某种物资，有n个地区需要该类物资。 Al，A2，…，Am表示某种物资的m个产地；Bl，B2，… ，Bn表示某种物资的n个销地； 令a1, a2, …, am表示各产地产量， b1, b2, …, bn表示各 销地的销量，ai=bj 称为产销平衡。 Cij表示把物资从产地Ai运到销地Bj的单位运价。 同样设Xij表示从产地Ai运到销地Bj的运输量。
《运筹学》 第三章 运输问题 Slide 8
证：记∑ai= ∑bj=Q Xij=aibj/Q就是一个可行解，因为Xij≥0，且满足 ∑Xij=ai, ∑Xij=bj 又因为Cij≥0,Xij≥0,所以目标函数有下界零。 因而运输问题一定有最优解。 1、确定初始基可行解 最常用的方法是最小元素法。——既简便，又尽可能接近 最优解。 最小元素法的基本思想是就近供应，即从单位运价表中最 小的运价开始确定供销关系，同时兼顾各产销地的需求，然 后次小，一直到给出初始基可行解为止。
销地 运输量 产地 A1 A2 销量 B1 X11 X21 150 B2 X12 X22 150 B3 X13 X23 200 产量 （件） 200 300 500
满足产地产量的约束条件为： X11+X12+X13=200 X21+X22+X23=300 满足销地销量的约束条件为： X11+X21＝150 X12+X22＝150 X13+X23＝200
《运筹学》 第三章 运输问题 Slide 9
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nn
min z
cij xij
i1 j1
n
xij ai , i 1,, m
j 1
s.t.
n
xij bj , j 1,, n
xij
i 1
0,i
1,, m;
j
1,, n
运输问题本质是一个线性规划问题
运输问题变量比较多，系数矩阵为0-1 矩阵，其中大部分元素为零。计算运 输问题我们有比单纯形法更好的专门 求解运输问题的算法。
9 5,2,0 7,3,0
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
×
×
4
2
9
10
7
3
×
×
2
1
3
4
2
×
3
4
×
8
4
2
5
3 ,0
8,5 4，0 6,4,0
9,5 5,2,0 7,3,0
填上x14=4后,第4列自然 被去掉
记住每填一个数据减少一 行或一列。
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
×
i1 j1
n
xij ai , i 1,, m
j 1
s.t.
n
xij bj , j 1,, n
xij
i 1
0,i
1,, m;
j
1,, n
2. 产大于销问题的数学模型
销大于产时，
ai bj
i
j
各个销地的需求一定能够得到满足， 但各个产地的物资不一定全部运走。 运输问题的数学模型为
产销不平衡运输问题也有类似的 Lingo模型
产销平衡运输问题的初始解
1. 西北角法 在运价表的西北角选择运量和销量中
的较小数作为运量（初始基变量）， 每确定一个初始基变量后，划去需求 变成零的剩余列元素或划去运量变成 零的剩余行元素。
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
2
A2
×
1 A3
×8
9
10
7 9,6
5
×
4
2
9
10
7
3
×
×
2
1
3
4
2
×
3
4
×
8
4
2
5
3 ,0
8,5 4，0 6,4,0
9,5 5,2,0 7,3,0
3. 位势法求检验数
对每个基变量xij，计算ui和vj，使
ui+vj=cij
其中u1=0
A1 u1=0 A2
A3
销量
B1
B2
B3
B4
产量
V2=9
V4=7
×
5
×
4
2
9
10
7 9,5
3
×
×
9
10
×
3
4
4
4
2
8
4，0
79 2 5，2 5 7，3 6
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
×
×
2
9
10
7
3
×
×
2
1
3
4
2
×
4
8
4
2
5
3 ,0
8
4，0 6,4
9 5,2,0 7，3
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
×
×
2
9
10
7
3
×
×
2
1
3
4
2
×
3
4
×
8
4
2
5
3 ,0
8,5 4，0 6,4
中的较小数作为运量（初始基变量）， 每确定一个初始基变量后，划去需求 变成零的剩余列元素或划去运量变成 零的剩余行元素。
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
× 2
3 1
× 8
3 ,0
9
10
3
4
4
2
8
4
79 2 5，2 57 6
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
× 2
3 1
× 8
3 ,0
杭州电子科技大学
运输问题模型
杭州电子科技大学
数学教研室
沈灏
二0一0年四月
运输问题的一般描述
设某种物资有m个产地A1,A2,…,Am， 和n个销地B1,B2,…,Bn,其中Ai的产量 为ai,Bj的销量为bj，产地Ai运往销地 Bj的单位运价Cij,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n. 求尽可能满足销地需求且总费用最小的 运输方案。
3
4
25
4
2
57
销量
3 ,0
8
4
6
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
6
×
×
2
A2
×
9
10
7 9,6,0
1
3
4
25
A3
×8
4
2
57
销量
3 ,0
8,2 4
6
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
3
6
×
×
2
9
10
7 9,6,0
×
2
1
3
4
2 5,3
× 8× 4
2
3 ,0
8,2,0 4
57 6
B1
B2
B3
B4
解：设产地Ai运往销地Bj
的运量为 xij
运输问题的数学模型可以分以下3种情 况讨论：
1. 产销平衡问题
2. 销大于产问题
产大于销问题
1.产销平衡问题的数学模型
产销平衡时，
ai bj
i
j
各个产地的物资总和正好满足所有 销地的需求，运输问题的数学模型 为
nn
min z
cij xij
C=c(1,1) c(1,2) … c(1,n), c(2,1) c(2,2) … c(2,n), … c(m,1) c(m,2) … c(m,n);
enddata [OBJ]min=@sum(link(i,j):c(i,j)*x(i,j)); @for(row(i):@sum(arrange(j):x(i,j))=a(i);); @for(arrange(j):@sum(row(i):x(i,j))=b(j);); @for(link(i,j):x(i,j)>=0;); END
注意到每填一个数据恰好减少一 行或一列。
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
3
6
×
×
2
9
10
7
×
2
3
1
3
4× 2
1
6
× 8× 4
2
5
3 ,0
8,2,0 4,1,0 6
9,6,0 5,3,0 7,6
总共填写m+n个数据
填上去的m+n个数据为基变 量
产销平衡运输问题的初始解
2. 最小元素法 选择运价表中最小运价，运量和销量
产量
A1 A2 A3 销量36××2
9
10
7
×
2
3
1
3
4× 2
9,6,0 5,3,0
× 8× 4
2
3 ,0
8,2,0 4,1
57 6
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
3
6
×
×
2
9
10
7
×
2
3
1
3
4× 2
1
× 8× 4
2
5
3 ,0
8,2,0 4,1,0 6
9,6,0 5,3,0 7,6
填上x33=1后,自然少去一列(第 3列),这时不要再去掉第3行。
产销平衡运输问题的求解
定理 产销平衡运输问题一定
存在最优解 。
产销平衡运输问题的Lingo模型
MODEL: sets: row/1..m/:a; arrange/1..n/:b; link(row,arrange):c,x; endsets data: a=a(1) a(2) … a(m); b=b(1) b(2) … b(n);
×
2
1
3
i1 j1
n
xij ai , i 1,, m
j 1
s.t.
n
xij bj , j 1,, n
xij
i 1
0,i
1,, m;
j
1,, n
2. 销大于产问题的数学模型
销大于产时，
ai bj
i
j
各个销地的需求不一定能够得到 满足，运输问题的数学模型为
nn
min z
cij xij