变尺度混沌优化方法及其应用

变尺度混沌优化方法及其应用X张　彤(北京航空航天大学14系,100083)　王宏伟　王子才(哈尔滨工业大学)摘　要　基于混沌变量,提出一种变尺度混沌优化方法。

该方法不断缩小优化变量的搜索空间并不断提高搜索精度,从而有较高的搜索效率。

应用该方法对6个测试函数进行优化计算得到了满意的效果。

关键词　变尺度,优化,混沌优化方法分类号　TP 301.61　引 言 混沌(Chaos)是一种较为普遍的非线性现象,它看似一片混乱的变化过程实际上含有内在的规律性。

一个混沌变量在一定范围内有如下特点:1)随机性,即它的表现同随机变量一样杂乱;2)遍历性,即它不重复地历经空间内的所有状态;3)规律性,该变量是由确定的迭代方程导出的。

文献[1]考虑过用混沌变量进行优化搜索。

其基本思想是把混沌变量线性映射到优化变量的取值区间,然后利用混沌变量进行搜索。

几个测试函数优化实例的仿真结果表明混沌优化方法寻优效率明显优于其它随机搜索算法,如模拟退火、遗传算法。

然而进一步的仿真计算表明该方法对于搜索空间小时效果显著,但当搜索空间大时却不能令人满意。

基于此,本文提出了变尺度混沌优化方法,其特点在于:1)根据搜索进程,不断缩小优化变量的搜索空间;2)根据搜索进程,不断改变“二次搜索”的调节系数。

对几个常用的复杂测试函数的仿真计算表明本文所提算法明显优于文献[1]算法。

2　变尺度混沌优化方法 本文选择(1)式产生的混沌变量来进行优化搜索x k +1=L õx k (1.0-x k )(1)其中L =4。

若需优化n 个参数,则任意设定(0,1)区间n 个相异的初值(注意不能为方程(1)的不动点0.25,0.5,0.75),得到n 个轨迹不同的混沌变量。

对连续对象的全局极小值优化问题min f (x 1,x 2,…,x n )x i ∈[a i ,b i ],　i =1,2,…,n(2)本文提出的优化方法步骤如下(记f (x 1,x 2,…,x n )为f (x i )): Step 1　初始化k =0,r =0。

x ki =x i (0),x *i =x i (0),a ri =a i ,b ri =b i ,其中i =1,2,…,n 。

这里k 为混沌变量迭代标志,r 为细搜索标志,x j (0)为(0,1)区间n 个相异的初值,x *i 为当前得到的最优混沌变量,当前最优解f *初始化为一个较大的数。

Vol.14No.3　控　制　与　决　策CON TR OL AN D DE CI S I ON 1999年5月　May 1999X 国家高等学校博士点学科专项科研基金(9521320)资助课题 1997-11-17收稿,1998-04-07修回 Step 2　把x ki 映射到优化变量取值区间成为mx kimx ki =a ri +x ki õ(b ri -a ri )(3) Step 3　用混沌变量进行优化搜索 若f (mx k i )<f *,则f*=f (mx k i ),x *i =x ki ;否则继续。

Step 4　k :=k +1,x ki :=4õx ki (1.0-x ki ) Step 5　重复Step2,3,4,直到一定步数内f *保持不变为止,然后进行以下步骤 Step 6　缩小各变量的搜索范围a r +1i =mx *i -C õ(b r i -a r i )(4)b r +1i =mx *i +C õ(b r i -a r i )(5)其中C ∈(0,0.5),mx *i =a ri +x *i õ(b ri -a ri )为当前最优解。

为使新范围不致越界,需做如下处理:若a r +1i<a ri 则a r +1i=a r i ;若b r +1i>b r i 则b r +1i=b ri 。

另外,x *i 还需做如下还原处理x*i=mx *i -a r +1i b r +1i -a r +1i(6) Step 7　本文设计把x *i 与x ki 的线性组合作为新的混沌变量,用此混沌变量进行搜索y ki =(1-A )x *i +A x ki(7)其中A 为一较小的数。

Step 8　以y k i 为混沌变量进行Step2,3,4的操作。

Step 9　重复Step7,8的操作,直到一定步数内f *保持不变为止。

然后进行以下步骤。

Step10　r :=r +1,减小A 的值,重复Step6,7,8,9的操作。

Step11　重复Step10若干次后结束寻优计算。

Step12　此时的mx *i 即为算法得到的最优变量,f *为算法得到的最优解。

若对全局极大值优化问题max f (õ),则可转化为全局极小值问题-min(-f (õ))。

混沌运动能遍历空间内所有状态,但当空间较大时遍历时间较长。

于是,考虑逐渐缩小寻优变量的搜索空间。

从Step 6可以看出,本文算法的寻优区间最慢将以2C 的速率减小。

另外,我们认为当前的最优变量mx *i 不断朝真值靠进,故不断减小(7)式中A 的值,让mx *i 在小范围内寻找,从而达到细搜索的目的。

需要注意的是Step5及Step9的运行次数较大,以利于当前最优点到达真正最优点附近。

3　优化实例 应用本文提出的变尺度混沌优化算法,对以下6个测试函数进行优化计算。

数字函数优化问题不需要专门领域的知识,且能较好地反映算法本身的实际效能。

由混沌变量的遍历性可知时间足够长时一定能达到最优解。

故我们在设定同样初值的情况下,在找到全局极值所需时间指标上比较本文算法与文献[1]算法。

F 1=100(x 21-x 2)2+(1-x 1)2,　- 2.048≤x i ≤2.048F 4=[1+(x 1+x 2+1)2(19-14x 1+3x 21-14x 2+6x 1x 2+3x 22)]õ[30+(2x 1-3x 2)2(18-32x 1+12x 21+48x 2-36x 1x 2+27x 22)],　-2≤x i ≤2286 控 制 与 决 策1999年F 5=0.002+∑25j =11j +∑2i =1(xi-a ij )6,　-65536<x i <65536其中[a ij ]=-32-1601632-32-16…01632-32-32-32-32-32-16-16…323232F 6=0.5-sin 2x 21+x 22-0.5(1+0.001(x 21+x 22))2,　-100<x i <100Camel 函数f (x ,y )=(4- 2.1x 2+x 43)x 2+xy +(-4+4y 2)y 2,　-100<x ,y <100F 7=(x 21+x 22)0.25[sin 2(50(x 21+x 22)0.1)+ 1.0],　-100<x i <100其中F 5,F 6为求全局极大值,其余为求全局极小值。

在COMPAQ486上对这6个测试函数进行优化计算,仿真结果见表1。

表1　本文方法与文献[1]方法比较函数最优点全局极值找到全局极值的时间文献[1]算法本文算法F 1(1.0,1.0)0约1s 约1s F 4(0.0,-1)3.0000约20s 约5s F 5(-31.978335,-31.978335)1.0020≥9min ≤约1m in F 6(0.0,0.0) 1.0≥1min约8sCamel 函数(-0.0898,0.7126)(0.0898,-0.7126)- 1.031628约10s ≤1s F 7(0.0,0.0)≥5min约30s 从表1可以看出,当优化变量搜索范围较小时(F 3,F 4),本文算法与文献[1]算法结果接近;当优化变量搜索范围较大时,本文算法大大优于文献[1]算法。

4　结 论 混沌优化方法利用混沌变量的自身规律进行搜索,若时间足够,在一定范围内肯定能找到最优解。

变尺度优化方法在优化过程中不断缩小优化变量的搜索空间,不断加深优化变量的搜索精度,搜索效率很高。

本文算法简单易行,编程方便,是一种有潜力的连续对象优化方法,几个仿真实例表明了本文方法的有效性。

参　考　文　献1　李兵,蒋慰孙.混沌优化方法及其应用.控制理论及应用,1997,14(4):613-6152　郝柏林.从抛物线谈起——混沌动力学引论.上海科技教育出版社,1995.1-203　M Srin ivas ,L M Patnaik.Adaptive probabiltities of crossover and mu tation in genetic alogr ith m.IEEE Trans on SMC,1994,24(4):656-667287第14卷第3期张彤等:变尺度混沌优化方法及其应用 Mutative Scale Chaos Optimization Algor ithmand Its ApplicationZhang T ong (Beijin g U nivers ity of Aeronautics and As tronau ics )　Wa ng H ongwei ,Wa ng Zicai(Harbin Insititute of T echnolog y)Abstr act A mutative scale chaos optimization method is pr oposed based on the chaos var iables.By continu-ally r educing the searching spa ce of var iable opt imized and enhancing t he searching precision,the met hod is of high eff iciency .Simulation r esults demonst rated the effectiveness of t he algor ithm .Key wor ds mutat ive scale,optimization,chaos optimization algor it hm作　者　简　介 张　彤　1971年生。

哈尔滨工业大学导航、制导与控制专业博士毕业,现为北京航空航天大学讲师。

研究领域为复杂系统建模与仿真、系统辩识、遗传算法。

王宏伟　1969年生。

现为哈尔滨工业大学导航、制导与控制博士生。

研究领域为模糊辩识与控制、神经网络、遗传算法。

王子才　1934年生,1958年毕业于哈尔滨工业大学,现为哈尔滨工业大学仿真中心主任,教授,博士生导师。