概率中几种数学计算

概率中几种数学计算

一、等可能事件概率计算

此类问题常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力.

例１ 从４名男生和２名女生中任选３人参加演讲比赛.

（１）求所选３人中恰有１名女生的概率；

（２）求所选３人中至少有１名女生的概率.

解：（１）所选３人中恰有１名女生的基本事件数为122

4C C 个，而从６人中选３人的基本事件总数为36C 个，故由等可能事件概率的计算公式得所选３人中恰有１名女生的概率为

12243635

C C C =． （２）所选３人中至少有１名女生的基本事件数为12212

424()C C C C +个，而从６人中选３人的基本事件总数为3

6

C 个，故所选３人中至少有１名女生的概率为122124243645C C C C C +=. 二、相互独立事件同时发生概率计算

此类问题常结合电路的串联与并联等问题考查相互独立事件同时发生的概率的计算方法和运用概率知识解决实际问题的能力.

例2 如图，用Ａ，Ｂ，Ｃ三类不同的元件连接成两个系

统1N ，2N ，当元件A B C ，，都正常工作时，系统1N 正常工作；

当元件Ａ正常工作且元件Ｂ，Ｃ至少有一个正常工作时，系统2

N 正常工作．已知元件A B C ，，正常工作的概率依次为0.80，

0.90，0.90，分别求系统1N ，2N 正常工作的概率1P ，2P ．

解：分别记元件A B C ，，正常工作为事件A B C ，，，且

()0.80()()0.90P A P B P C ===，．

∵事件A B C ，，是相互独立，

故系统1N 正常工作的概率为

1()()()()0.800.900.900.648P P A

B C P A P B P C ===⨯⨯=··． 故系统2N 正常工作的概率为

2[()]()()()[()()()()]P P A B C P A P B C P A P B P C P B P C =+=+=+-····

0.80(0.900.900.900.90)0.792=⨯+-⨯=．

三、独立重复试验概率计算

此类问题常结合实际应用问题考查n 次重复试验中某事件恰好发生k 次的概率的计算方法和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用.

例3 （2002年新课程卷高考题）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（互相独立）.

（1）求至少3人同时上网的概率；

（2）求至少几人同时上网的概率小于0.3.

解：（1）至少3人同时上网的概率等于3人同时上网，4人同时上网，5人同时上网，

6人同时上网的概率的和，即364656666666210.50.50.50.532

P C C C C =+++=． （2）至少4人同时上网的概率为456666611()0.50.332

C C C ++=>； 至少5人同时上网的概率为566667()(0.5)0.364

C C +=<； 故至少５人同时上网的概率小于0.3.

四、随机变量概率分布与期望计算

解决此类问题时，首先应明确随机变量可能取哪些值，然后按照相互独立事件同时发生概率的乘法公式去计算这些可能取值的概率值即可得到分布列，最后根据分布列和期望、方差公式去获解.以此考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率知识解决实际问题的能力.

例４ 一接待中心有A B C D ，，，四部热线电话，已知某一时刻电话A B ，占线的概率均为0.5，电话C D ，占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线，试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.

解：22(0)0.50.60.09P ξ==⨯=；122122

2(1)0.50.60.50.60.40.3P C C ξ==⨯+⨯⨯=； 2221122222222(2)0.50.60.50.40.60.50.40.37P C C C C ξ==⨯+⨯⨯+⨯=；

21212222222(3)0.50.40.60.50.40.2P C C C C ξ==⨯⨯+⨯=；

22(4)0.50.40.04P ξ==⨯=．

于是得到随机变量ξ的概率分布列为：

所以00.091E ξ=⨯+⨯