第5章克里格法

2、指示克里金法
• 设一区域化变量Z(x)，对于任意 给定的阈值z，引入指示函数 I(x, z)，表达式如下：
• 指示克立格法步骤如下：
• （1）确定一阈值，根据指示函 数将原数据转换为0或1；
• （2）利用转换的数据计算指示 变异函数，并进行拟合；
• （3）建立指示克立格方程组， 计算待估点值。若把指示函数 看做一普通区域化变量，也可 直接由简单或普通克立格方法 来计算待估点的值。
• 用矩阵表示为：
• 将简单克里金方程组表达式带入估计方差表达式得 简单克里金估计方差表达式：
1、简单克里金法
从简单克里金方程组的n个方程中便可求得n个权重系数λi，则YV(x)的简 单克里金估计量为：
简单克里金法的估计精度在很大程度上依赖于m值的准确度，但是通常情 况下很难正确估计m值，从而导致简单克里金估计精度降低。
• 所谓泛克里金法，就是在漂移的形式E[Z(x)]=m(x)，和非平稳随机函数Z(x)的 协方差函数C(h)或变异函数γ(h)为已知的条件下，一种考虑到有漂移的无偏线 性估计量的地统计学方法，这种方法属于线性非平稳地统计学范畴。
（1）漂移和涨落
• 漂移：非平稳区域化变量Z(x)的数学
期望，在任一点x上的漂移就是该点 上区域化变量Z(x)的数学期望。
（2）非平稳区域化变量的协方差函数和变异函数
• 1）基本假设
• 假设Z(x)的增量[Z(x)－Z(y)]具有非平稳的数学期望[m(x)－m(y)]和非平稳的方差 函数，即假设下式存在：
• 2）协方差函数和变异函数 • 当Z(x)=m(x)+R(x)时，Z(x)的协方差函数C(x,y)为：
• Z(x)的变异函数γ(x,y)为：
第五章 克里金法
提纲
一．克里金法概述 二．线性克里金法
1. 简单克里金 2. 普通克里金 3. 泛克里金法
三．非线性克里金法
1. 对数正态克里金法 2. 指示克里金法 3. 析取克里金法
四．协同克里金法
一、克里金法概述
1、克里金法概念及种类
概念：又称为空间局部估计或空间局部插值法,克里金法是建立在变异函数理论 及结构分析基础上，在有限区域内对区域化变量的取值进行线性无偏最优估 计的一种方法。
① 将原始数据转换为标准正态数据 ② 对每个新变量Y(xi)(i=1,2,…,n) 计算埃尔米特多项式的值。 ③ 计算埃尔米特多项式系数，用埃尔米特多项式来拟合正态变形函数。 ④ 计算待估点析取克立格值
（3）Z(x)的泛克里金法估计
• 设Z(x)为一非平稳区域化变量，其 数学期望为m(x)，协方差函数为 C(x,y)且已知，则
• 已知n个样品点xi(i =1,2,…,n)，其 观测值为Z(xi) (i =1,2,…,n)，现要 用这些样品点估计邻域内任一点x
的值Z(x)，Z(x)的泛克里金估计量

E[
Z
* v
(
x)

Zv
( x)]2

min
3、克里金法估值过程
（1）数据检查 （2）模型拟合 （3）模型诊断 （4）模型比较
二、线性克里金法
• 当区域化变量Z(x)的E[Z(x)]=m已知，则称 为简单克里金法
• 若Z(x)的E[Z(x)]未知，则称为普通克里金法
1、简单克里金法
• 设区域化变量Z(x)满足二阶平稳假设，其数学期望为常数m，协方差函数
• 设某一区域气温数据满足二阶平稳假设，协方差函数和变异函数存在，拟合的 变异函数模型为球状模型，如下所示。
• 数据如下，点的空间分布如图所示。现用普通克里金方法根据已知五个点的气 温数据估算0点处的气温值。
3、泛克里金法
• 普通克里金法要求区域化变量Z(x)是二阶平稳或本征的，至少是准二阶平稳或 准本征的。在此条件下，至少在估计邻域内有E[Z(x)]=m（常数）。然而实际 中，许多区域化变量Z(x)在估计邻域内是非平稳的，即E[Z(x)]=m(x)，m(x)称 为漂移，这时就不能用普通克里金方法进行估计了，而是要采用泛克里金法进 行估计。
要求出在满足无偏性条件 下使得估计方差最小的权系数λi(i =1,2,…,n)， 这 是个求条件极值问题。
2、普通克里金法
• 根据拉格朗日乘数法原理，建立拉格朗日函数F。 • 求出函数F对n个权系数λi的偏导数，并令其为0，和无偏性条件联立建立方程组。
• 整理得普通克里金方程组
2、普通克里金法
• 将解出的λi(i =1,2,…,n)带入估计量 公式得到普通克里金估计量：
• 成立。这k+1个子式称为无偏性条 件。
（3）Z(x)的泛克里金法估计
• 2）最优性条件
• 在满足无偏性条件下，用Z*(x)估计 Z(x)的泛克里金估计方差为：
• 将无偏性条件带入得
• 要求出在满足无偏性的条件下使得 估计方差最小的权系数λi(i =1,2,…,n)，需根据拉格朗日乘数 法原理，建立拉格朗日函数F。
2、普通克里金法
• 为了书写简便和便于计算，普通克 里金方程组和普通克里金估计方差 均可用矩阵形式表示。
• 协方差函数表达的普通克里金方程 组展开得
•或
• 普通克里金方程组用矩阵形式表达为：
或
பைடு நூலகம்
• 权重系数
或
• 普通克里金估计方差用矩阵表达为：
• 引入矩阵
或
2、普通克里金法
• 普通克里金计算示例：
主要类型： 简单克里金法 普通克里金法 Ordinary Kriging 泛克里金法 Universal Kriging 对数正态克里金法 Logistic Normal Kriging 指示克里金法 Indicator Kriging 概率克里金 Probability Kriging 析取克里金法 Disjuctive Kriging 协同克里金法 Co-Kriging
• 现要求出权重系数λi(i =1,2,…,n)，使Z*V(x)为ZV(x)的无偏估计量，且估计方 差最小。
2、普通克里金法
（1）无偏性条件 由于
若要满足无偏性条件，需
，则无偏性条件为：
即在权系数之和为1的条件下估计量是无偏的。
（2）最优性条件
即估计方差最小条件，在满足无偏性条件下，有如下估计方差公式
C(h)和变异函数γ (h)存在且平稳。 现要估计中心点在x0 的待估块段V 的均
值ZV(x)， ZV(x)表达式为
Zv (x )
1
v
Z(x )dx
v
• 由于
E[Z(x)]=m已知
•令
Y(x)=Z(x)-m
•则
E[Y(x)]=E[Z(x)-m]= E[Z(x)]-m=0
• 待估块段新待估值
1、简单克里金法
2、克里金估计量
• 设x为研究区域内任一点
待估点的估计 值
克里金估计量
权重系数
n
Z
* v
(
x)

iZ (xi )
i 1
待估点影响范围内的有效样本值
显然，估计的好坏 取决于权重系数λi
i的求解
（1）无偏估计
E[Z
* v
(
x)

Z
v
(
x)]

0
（2）最优估计
Var[Z
* v
(
x)

Zv
( x)]
• 设在待估块段V附近有n个样点xi(i=1,2,…n),其观测值为Z(xi) (i=1,2,…n)，则观 测值新变量为：Y(xi)=Z(xi)-m
• Y(V)的估计值Yv*是Y(xi) (i=1,2,…n)的线性组合，则
则估计Z(V)的问题转化为估计Y(V)的问题
目标：找出一组权重系数 i (i 1,2,, n)，使得Yv*成为Y(V) 的线性、无偏、最优估计量
• 普通克里金方程组和普通克里金估 计方差也可用变异函数γ(h)表示。
• 从普通克里金方程组可得：
• 将此式带入估计方差公式得普通克 里金估计方差，记为 ：
• 在Z(x)满足二阶平稳条件时，可采 用协方差或变异函数表达的普通克 里金方程组及克里金估计方差计算 式进行求解计算；但在本证假设条 件下，则只可采用变异函数的表达 式进行求解计算。
三、非线性克里金法
• 1、对数正态克里金法
• 如果区域化变量经对数变换后是正态分布或近正态分布，则对区域化变量进 行精确估计的地统计学方法称为对数正态克立格法。
• 设区域化变量Z(x)服从对数正态分布，在待估点周围有n个样点xi(i =1,2,…,n),其观测值为Z(xi) (i =1,2,…,n)，区域化变量经对数变换后新变量为 ：Y(x)= lnZ(x)，Y(x)为正态分布。假定Y(x)满足二阶平稳假设，数学期望为 m，协方差函数C(h)和变异函数γ(h)存在且平稳。
（3）Z(x)的泛克里金法估计
• 求出函数F对n个权系数λi的偏导 数，并令其为0，和无偏性条件
联立建立如下方程组。
• 泛克里金方程组可用矩阵表示为：
• 其中
• 整理得估计Z (x)的泛克里金方 程组：
（3）Z(x)的泛克里金法估计
• 从泛克里金方程组可得以下两等式： • 将等式带入估计方差公式可得泛克里金方差，记为：
• 还会碰到采样数据中存在特异值的问题。（特异值是指那些比全部数值的均值 或中位数高的多的数值，其既非分析误差所致，也非采样方法等人为误差引起 ，而是实际存在于所研究的总体之中）。
• 指示克立格法就是为解决上述问题而发展起来的一种非参数地统计学方法。
• 指示克立格法不必去掉重要而实际存在的高值数据的条件下处理各种不同现象 ，并能够给出某点x处随机变量Z(x)的概率分布。
1、简单克里金法
• 在满足以下两个条件时，Yv*是Y(V)的线性、无偏、最优估计量。
（1）无偏性 由于
所以 则 Yv* 不需要任何条件即是Y(V)的无偏估计量。 （2）最优性
在满足无偏条件下，可推导估计方差公式为：
1、简单克里金法
• 为使估计方差最小，需对上式求λi的偏导数并令其为0
• 整理得简单克里金方程组：
• 若选择多个阈值则需重复以上 步骤。
3、析取克里金法
• 析取克立格法：假设已知任意区域化变量（Z, Z）及（Z0, Z）二维概 率分布条件下，对待估点的值或待估点值超过给定阈值的概率进行估 计的一种非线性地统计方法。
• 估值步骤： 设区域化变量Z(x)在待估点x0周围有n个样点xi(i =1,2,…,n),其观测 值为Z(xi) (i =1,2,…,n)，
• 涨落：对于有漂移的区域化变量
Z(x)，假设可分解为漂移和涨落两 部分，
• 漂移经常用邻域模型来研究。可表达 为：在给定的以点x为中心的邻域内 的任一点，其漂移m(x)可用如下函数 表示。
• 式中，m(x) = E[Z(x)]为点x处的漂 移，R(x)称为涨落。
式中，fl(x)为一已知函数；al为未知系数 m(x)通常采用多项式形式，在二维条件 下，漂移可看成坐标x,y的函数。
为：
• 设Z(x)的漂移m(x)可表示为如下
k+1个单项式fl(x)(l=0,1,2,…,k)的线 性组合。
• 为使Z*(x)为Z(x)的无偏最优估计量 ，需在以下两个条件下求解权重系 数λi(i =1,2,…,n)。
（3）Z(x)的泛克里金法估计
• 1）无偏性条件
• 若要满足无偏性条件，需
•则
• 即对任一组系数a0，a1,…,ak等式均 成立，需
• 用变异函数γ(h)表示如下：
（4）泛克里金法计算示例
• 设某一区域气温是非平稳的区域化变量，在南北方向（空间坐标的y方向）上 存在线性漂移，即 。若已知其涨落满足二阶平稳假设，并且拟合的协方差函 数模型为球状模型，如下所示。
• 现用表5-1所示数据，利用泛克里金法根据已知五个点的气温数据来估算0点处 的气温值。
2、普通克里金法
• 设区域化变量Z(x)满足二阶平稳假设，其数学期望为m，为未知常数，协方 差函数C(h)和变异函数γ(h)存在且平稳。现要估计中心点在x0的待估块段V的 均值，即
• 设待估块段V附近有n个样点xi(i =1,2,…,n),其观测值为Z(xi) (i =1,2,…,n)，待 估块段V的真值是估计邻域内n个信息值的线性组合，即
1、简单克里金法
• 简单克里金法计算示例：
• 设某一区域气温数据满足二阶平稳假设，协方差函数和变异函数存在，所有采 样数据的均值为16.08度，并将均值作为此区域化变量的数学期望值，将所有 采样数据剔除数学期望值后拟合的变异函数模型为球状模型，如下所示。
• 现用简单克里金方法根据五个已知点的气温数据来估算0点处的气温值
• 基于对数变换后的采样点数据Y(xi) (i =1,2,…,n)，计算实验变异函数并进行变 异函数模型的拟合和选择，然后利用简单克立格或普通克立格估计待估点x处 的值Y*(x)。
• 由于估计值Y(x)是对数变换后的数值，因此对估计所得Y*(x)需进行反变换。
2、指示克里金法
• 实际研究中常常会需要获取研究区内研究对象大于某一给定阈值的概率分布， 即要获知研究区内任一点x处随机变量Z(x)的概率分布。