《线性代数及其应用》要点整理
线性代数知识点全归纳
线性代数知识点全归纳线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间及其上的线性映射。
它广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
下面将对线性代数的主要知识点进行全面归纳。
1.矩阵及其运算：矩阵是线性代数的基本概念之一，由若干行和列组成的方阵。
常见的矩阵运算有加法、减法、数乘、矩阵乘法和转置等。
2.向量及其运算：向量是一个有序数组，具有大小和方向。
常见的向量运算有加法、减法、数乘、点乘和叉乘等。
3.线性方程组：线性方程组是线性代数的核心内容之一、包括齐次线性方程组和非齐次线性方程组。
解线性方程组的方法有高斯消元法、克莱姆法则和矩阵求逆等。
4.向量空间与线性变换：向量空间是线性代数的基本概念之一，包含零向量、加法和数乘运算。
线性变换是一种保持向量空间结构的映射。
5.基与维度：基是向量空间的一组线性无关向量，可以由基线性组合得到向量空间中的任意向量。
维度是向量空间中基的数量。
6.线性相关与线性无关：向量组中的向量线性相关指存在非零的线性组合，其系数不全为零。
如果向量组中的向量线性无关，则任何线性组合的系数都为零。
7.线性变换与矩阵：线性变换可以用矩阵表示，矩阵的列向量表示线性变换作用于基向量上后的结果。
矩阵乘法可以将多个线性变换组合为一个线性变换。
8.特征值与特征向量：对于一个线性变换，如果存在一个非零向量，使得它在该线性变换下只发生伸缩而不发生旋转，那么这个向量称为该线性变换的特征向量，对应的伸缩比例为特征值。
9.二次型与正定矩阵：二次型是线性代数中的重要概念，是一个关于变量的二次函数。
正定矩阵是指二次型在所有非零向量上的取值都大于零。
10.内积与正交性：内积是向量空间中的一种运算，它满足线性性、对称性和正定性。
正交性是指两个向量的内积为零，表示两个向量互相垂直。
11.正交变换与正交矩阵：正交变换是指保持向量长度和向量之间夹角的变换。
正交矩阵是一种特殊的方阵，它的行向量和列向量两两正交，并且长度为112.奇异值分解与特征值分解：奇异值分解将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，另外两个是对角矩阵。
《线性代数》知识点-归纳整理
《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编01、余子式与代数余子式 .................................................................. 2-02、主对角线............................................................................ 2-03、转置行列式.......................................................................... 2-04、行列式的性质........................................................................ 3-05、计算行列式.......................................................................... 3-06、矩阵中未写出的元素 .................................................................. 4-07、几类特殊的方阵...................................................................... 4-08、矩阵的运算规则...................................................................... 4-09、矩阵多项式.......................................................................... 6-10、对称矩阵............................................................................ 6-11、矩阵的分块.......................................................................... 6-12、矩阵的初等变换...................................................................... 6-13、矩阵等价............................................................................ 6-14、初等矩阵............................................................................ 7-15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵......................................................... 7-16、逆矩阵 ............................................................................. 7-17、充分性与必要性的证明题 .............................................................. 8-18、伴随矩阵............................................................................ 8-19、矩阵的标准形：........................................................................ 9-20、矩阵的秩：........................................................................... 9-21、矩阵的秩的一些定理、推论............................................................. 9-22、线性方程组概念..................................................................... 10-23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组(不含向量) .......................................... 10-24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念................................................ 11-25、线性方程组的向量形式 ............................................................... 11-26、线性相关与线性无关的概念......................................................... 12-27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关 ........................................... 12-28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题................. 12-29、线性表示与线性组合的概念......................................................... 12-30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题........................... 12-31、线性相关(无关)与线性表示的3个定理................................................ 12-32、最大线性无关组与向量组的秩.......................................................... 12-33、线性方程组解的结构…………………………………………………………………………………………12-01、余子式与代数余子式(1)设三阶行列式, 则①元素an,ai,au的余子式分别为：对Mi的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式,这个行列式即元素au的余子式Mi。
《线性代数》知识点归纳整理
《线性代数》知识点归纳整理线性代数是一门研究向量空间和线性映射的数学学科，是数学中的一个重要分支。
它的应用范围非常广泛，包括物理学、工程学、计算机科学、经济学等等。
下面是对线性代数的一些重要知识点的归纳整理。
1.向量和向量空间：-向量的定义和性质：向量是有方向和大小的量，可以进行加法和数乘运算。
-向量空间的定义和性质：向量空间是一组向量的集合，满足加法和数乘运算的封闭性、结合律、交换律、零向量存在性等性质。
2.矩阵和矩阵运算：-矩阵的定义和性质：矩阵是一个由数构成的矩形阵列，可以进行加法和数乘运算。
-矩阵的乘法和转置：矩阵可以进行乘法运算，满足结合律和分配律；矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
3.线性方程组和矩阵求解：-线性方程组的解的存在性和唯一性：线性方程组的解存在的条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩；解的唯一性与线性方程组的自由变量有关。
-矩阵求解线性方程组的方法：高斯消元法、矩阵的逆、克拉默法则等。
4.线性映射和线性变换：-线性映射的定义和性质：线性映射是一种保持向量空间的加法和数乘运算的映射，满足线性性质。
-线性变换的矩阵表示：线性变换可以用矩阵表示，矩阵的列向量是线性变换作用在基向量上的结果。
5.特征值和特征向量：-特征值和特征向量的定义和性质：对于一个线性变换，特征向量是指在这个变换下保持方向不变的向量，特征值是对应特征向量的缩放因子。
-特征值分解：特征值分解是将一个矩阵分解成特征向量和特征值的形式。
6.内积和正交性：-内积的定义和性质：内积是一种度量向量之间夹角的方法，满足对称性、线性性和正定性等性质。
-正交性和正交基：正交向量是指两个向量的内积为零，正交基是一组两两正交的向量。
7.线性相关和线性无关：-线性相关和线性无关的定义和性质：一组向量中，如果存在不全为零的线性组合等于零向量，则称这组向量线性相关；否则称线性无关。
-维数和基：一组线性无关的向量可以作为向量空间的基，基的个数称为向量空间的维数。
大学数学线性代数知识点归纳总结
大学数学线性代数知识点归纳总结线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于各个领域。
作为大学数学的一门核心课程，线性代数为我们提供了一种处理线性方程组、矩阵运算和向量空间等数学工具和理论。
在这篇文章中，我将对大学数学线性代数的知识点进行归纳总结。
1. 向量与向量空间- 向量的定义和性质- 向量的线性组合与线性相关性- 向量空间的定义和基本性质- 子空间与超平面- 线性无关与基2. 线性方程组- 线性方程组的概念与解的存在唯一性- 矩阵形式与增广矩阵- 初等行变换与线性方程组的等价性- 齐次线性方程组与非齐次线性方程组- 线性方程组的解的结构3. 矩阵与矩阵运算- 矩阵的定义和性质- 矩阵的加法与数乘- 矩阵的转置与对称矩阵- 矩阵乘法与矩阵的秩- 逆矩阵与可逆矩阵4. 特征值与特征向量- 特征值与特征向量的定义 - 特征多项式与特征方程- 对角化与可对角化条件- 特征值与矩阵的相似性5. 线性变换与线性映射- 线性变换的基本性质- 线性变换矩阵与基变换- 线性变换的零空间与像空间 - 线性变换的维数定理6. 内积空间与正交性- 内积空间的定义和性质- 正交向量与正交补空间- 正交投影与最小二乘法- 施密特正交化过程7. 特殊矩阵与应用- 对角矩阵与对角化- 正交矩阵与正交对角化- 幂零矩阵与Jordan标准形- 应用：图像处理、数据压缩、网络分析等通过对以上知识点的整理和总结，我们对大学数学线性代数的学习有了更加清晰的认识。
线性代数的理论和方法在计算机科学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用，了解和掌握线性代数知识对于我们的学术研究和职业发展都具有重要意义。
希望本文能帮助读者对线性代数有更深入的了解，并在实际应用中发挥作用。
线性代数知识点归纳,超详细
线性代数知识点归纳,超详细线性代数复习要点第⼀部分⾏列式1. 排列的逆序数2. ⾏列式按⾏（列）展开法则3. ⾏列式的性质及⾏列式的计算⾏列式的定义1.⾏列式的计算：①(定义法)②（降阶法）⾏列式按⾏（列）展开定理：⾏列式等于它的任⼀⾏（列）的各元素与其对应的代数余⼦式的乘积之和.推论：⾏列式某⼀⾏（列）的元素与另⼀⾏（列）的对应元素的代数余⼦式乘积之和等于零.③(化为三⾓型⾏列式)上三⾓、下三⾓、主对⾓⾏列式等于主对⾓线上元素的乘积.④若都是⽅阵（不必同阶）,则⑤关于副对⾓线：⑥范德蒙德⾏列式：证明⽤从第n⾏开始，⾃下⽽上依次的由下⼀⾏减去它上⼀⾏的倍，按第⼀列展开，重复上述操作即可。
⑦型公式：⑧(升阶法)在原⾏列式中增加⼀⾏⼀列，保持原⾏列式不变的⽅法.⑨(递推公式法) 对阶⾏列式找出与或,之间的⼀种关系——称为递推公式，其中,,等结构相同，再由递推公式求出的⽅法称为递推公式法.(拆分法) 把某⼀⾏（或列）的元素写成两数和的形式，再利⽤⾏列式的性质将原⾏列式写成两⾏列式之和，使问题简化以例计算.⑩(数学归纳法)2. 对于阶⾏列式，恒有：，其中为阶主⼦式；3. 证明的⽅法：①、；②、反证法；③、构造齐次⽅程组，证明其有⾮零解；④、利⽤秩，证明；⑤、证明0是其特征值.4. 代数余⼦式和余⼦式的关系：第⼆部分矩阵1.矩阵的运算性质2.矩阵求逆3.矩阵的秩的性质4.矩阵⽅程的求解1.矩阵的定义由个数排成的⾏列的表称为矩阵.记作：或①同型矩阵：两个矩阵的⾏数相等、列数也相等.②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等.③矩阵运算a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为.c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则，其中注：矩阵乘法不满⾜：交换律、消去律, 即公式不成⽴.a. 分块对⾓阵相乘：,b. ⽤对⾓矩阵○左乘⼀个矩阵,相当于⽤的对⾓线上的各元素依次乘此矩阵的○⾏向量；c. ⽤对⾓矩阵○右乘⼀个矩阵,相当于⽤的对⾓线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.d. 两个同阶对⾓矩阵相乘只⽤把对⾓线上的对应元素相乘.④⽅阵的幂的性质：，⑤矩阵的转置：把矩阵的⾏换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.a. 对称矩阵和反对称矩阵:是对称矩阵.是反对称矩阵.b. 分块矩阵的转置矩阵：⑥伴随矩阵：，为中各个元素的代数余⼦式.,, .分块对⾓阵的伴随矩阵：，矩阵转置的性质：矩阵可逆的性质：伴随矩阵的性质：r(A)与r(A*)的关系若r（A）=n，则不等于0，A*=可逆，推出r（A*）=n。
《线性代数及其应用》(同济大学第2版) 第五章 5.1
本节要点 一、基本概念 二、用正交变换化二次型为标准型
一、根本概念
定义 5.1 含有 n 个变量 x1, x2, , xn 的二次
齐次函数
f (x1, x2 , , xn ) a11x12 2a12x1x2 2a1n x1xn a22 x22 2a23x2x3 2a2n x2 xn ann xn2
2 2 0 E A 2 1 2
0 2
( 4)( 1)( 2) 0.
故 1 4, 2 1, 3 2 ．
再求各特征值所属的特征向量．对于1 4 ，
求解 4E A x 0 的基础解系：
2 2 0 1 1 0
2
3
2
0
1
2
0 2 4 0 0 0
解
x1 x2
x2 0, 2x3 0.
A 是对称阵．由第四章定理 4.10 知，必有正
交阵 T ，使 T 1AT D （ D 为对角阵），也即必
有合同变换：T T AT D （ D 为对角阵）．这里，
正交阵T 当然是可逆阵．于是有
定理 5.1 任给二次型 f (x) xT Ax ，必有正 交变换 x Qy ，使 f ( y) yT (QT AQ) y 成为
称为二次型．
取 aij aji ，则 2aij xi xj aij xi xj aji xj xi ，
于是上面二次型可写成
f a11x12 a12 x1x2 a1n x1xn
a21x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn
an1xn x1 an2 xn x2 ann xn2
，
2 3
则令
2 2 1
3
3
3
Q
(η1,
《线性代数》知识点_归纳整理
《线性代数》知识点_归纳整理线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间及其上的线性映射、线性方程组和矩阵等基本概念和性质。
它在数学、物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
下面将对线性代数的一些重要知识点进行归纳整理。
1.向量空间：向量空间是线性代数的核心概念，它是一组向量的集合，满足加法和数乘运算的封闭性、结合律、交换律和分配律等性质。
向量空间的例子包括实数空间R^n、矩阵空间M(m,n)等。
2.线性映射：线性映射是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，满足保持加法和数乘运算的性质。
线性映射可以表示为矩阵乘法的形式，其中矩阵的每一列对应于一个基向量在映射后的值。
3.线性方程组：线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中每个方程都是关于未知数的线性表达式。
解线性方程组的方法包括高斯消元法、矩阵求逆法和克拉默法则等。
4.矩阵：矩阵是由数按矩形排列成的数组，是线性代数的重要工具。
矩阵可以表示线性映射、线性方程组和向量空间的基等。
矩阵的运算包括加法、数乘、矩阵乘法和转置等。
5.行列式：行列式是一个标量，它由矩阵的元素按一定规则计算得到。
行列式可以用于判断方阵的可逆性、计算线性映射的缩放因子和求解线性方程组等。
6.特征值和特征向量：特征值和特征向量是矩阵的重要性质。
特征值是一个标量，特征向量是一个非零向量，它们满足A*v=lambda*v的关系式，其中A是矩阵，v是特征向量，lambda是特征值。
特征值和特征向量可以用于矩阵的对角化和矩阵的谱分解等。
7.正交性：正交性是指向量之间的垂直关系。
在内积空间中，如果两个向量的内积为零，则它们是正交的。
正交向量组和正交矩阵是线性代数中常见的概念，它们在解线性方程组和进行特征值分解等方面具有重要作用。
8.线性相关性和线性无关性：线性相关性和线性无关性是向量组的重要性质。
如果一个向量可以由其他向量线性表示，则称这个向量与其他向量线性相关；如果一个向量不能由其他向量线性表示，则称这个向量与其他向量线性无关。
《线性代数及其应用》(同济大学第2版) 第一章 1.6
1 2 0 0
3
4
0
0
B = 5 6 6 5,
7
8
4
3
9 10 2 1
计算 AB.
解法一 直接求矩阵 A55 和 B54 的乘积.
1 2 1 0 0 1 2 0 0 12 16 6 5
2
0
0
1
0
3
4
0
0
9
12
4
3
AB = 3 1 0 0 1 5 6 6 5 9 12 2 1 .
显然将一个矩阵分块的分块方法很多,其中有两 个分块矩阵应予特别注意,这就是按列分块矩阵 和按行分块矩阵.
设 mn矩阵
a11 a12
A
a21
a22
am1
am 2
a1n
a2 n
,
amn
把 A 的每个列作为一个子块,即在列的方向分成
n 块,就得到 A 的按列分块矩阵,记为
A = a1,a2, ,an ,
A 为分块对角阵如(1.25)式,则
(1) det A det A1 det A2 det As;
A1k
(2)
Ak
=
A2k
;
Ask
(3) A 可逆当且仅当子块 A1 , A2, , As 均可逆,且当 A 可逆时,
A11
A1
=
A21
.
As1
例 1.42 设六阶方阵
2 1
1
2
1. 分块矩阵的加法
设 A , B 为同型矩阵,并进行相同的分块法成为
st 分块矩阵
A11
A
=
As1
A1t
B11
,
线性代数及其应用第五版电子版
线性代数及其应用第五版电子版
线性代数及其应用第五版电子版是针对中等教育阶段学科“线性代数”的一本电子版书籍，主要包括以下内容：
一、矩阵的性质
1、矩阵的行列式及其作用
2、组合的行，列必定在矩阵中有一种极端情形
3、矩阵的法向量及其特征
4、矩阵的行列式与特征值之间的关系
5、全秩矩阵及其几何解释
二、矩阵的运算
1、矩阵的加法与减法
2、矩阵的乘法，以及乘法的解释
3、矩阵式的特殊解释
4、矩阵的逆
5、基底的变换
三、向量的运算
1、距离的计算
2、标量积及其应用
3、空间里的垂直性质
4、空间里的基底变换
5、空间里的坐标变换
四、线性方程组
1、线性方程组的特点
2、系数矩阵的特征
3、求解线性方程组的方法
4、线性方程组的概念
5、未定系数的求解
五、空间矩阵和向量
1、空间矩阵的特点
2、变换矩阵的应用
3、列变换和行变换
4、空间向量的计算
5、空间矩阵的运算
线性代数及其应用第五版电子版涵盖了线性代数的各个方面，包括矩阵的性质、矩阵的运算、向量的运算、线性方程组的求解、空间矩阵
和向量的应用等，为线性代数的大家提供了一本理论讲解及实际应用的完美融合的书籍，为深入理解线性代数奠定了坚实的基础。
《线性代数》知识点归纳整理
《线性代数》知识点归纳整理线性代数是数学的一个分支，主要研究向量、向量空间以及线性映射等概念和性质。
它在数学领域具有广泛的应用，被广泛应用于物理学、计算机科学、经济学、工程学等领域。
以下是对《线性代数》的知识点进行归纳整理：1.矩阵和向量：矩阵是一个二维的数字阵列，可以表示为一个矩阵的形式。
向量是矩阵的特殊情况，只有一个列的矩阵。
矩阵和向量可以进行加法和数乘运算。
2.矩阵乘法：矩阵乘法是矩阵运算中的重要操作，它利用矩阵的行和列的组合，将两个矩阵相乘得到新的矩阵。
3.行列式：行列式是一个标量值，用于判断一些矩阵是否可逆。
行列式的值为0表示矩阵不可逆，非零表示矩阵可逆。
4.向量空间：向量空间是一组向量的集合，满足一定的条件。
向量空间具有加法和数乘运算，并满足一定的性质，如封闭性、结合律、分配律等。
5.线性相关与线性无关：向量集合中的向量如果不能由其他向量线性组合得到，则称这个向量集合是线性无关的；反之，如果存在一个向量可以由其他向量线性组合得到，则称这个向量集合是线性相关的。
6.基与维数：如果向量集合是线性无关的，并且能够生成整个向量空间中的所有向量，则称这个向量集合是向量空间的一组基。
向量空间的维数是指基向量的个数。
7.矩阵的秩：矩阵的秩是指矩阵列向量或行向量中的线性无关向量的个数。
秩表示矩阵中线性无关的方向个数。
8.特征值与特征向量：对于一个n维矩阵A，如果存在一个标量λ和非零向量X，使得AX=λX成立，则λ称为矩阵A的特征值，对应的非零向量X称为矩阵A的特征向量。
9.对角化：如果矩阵A可以通过相似变换得到一个对角矩阵B，则称矩阵A可以被对角化。
对角化后的矩阵可以简化各种计算。
10.线性变换：线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，它满足线性性质。
线性变换可以用矩阵来表示，通过矩阵乘法来表示向量的线性变换。
11.正交性：向量集合中的向量如果互相垂直，则称这个向量集合是正交的。
如果正交向量集合中的每个向量都是单位向量，则称这个向量集合是标准正交的。
线性代数及其应用 (1)
1、定义
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
a11 a12
A
A
a21
a22
am1 am1
a1n
a2n
.
amn
2、数乘矩阵的运算规律 （设 A、B为 m n 矩阵， ,为数）
1 A A; 2 A A A;
3 A B A B.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的 线性运算. 注： 1 A A; (1) A A; 0 A O
k 1
k 1
k 1
为AB AC的(i, j)元.
注意 矩阵一般不满足交换律，即：
AB BA, ABk Ak Bk .
例4 设 A 1 1 B 1 1 1 1 1 1
则
AB 0 0, BA 2 2 ,
0 0
2 2
故 AB BA.
但也有例外，比如设
则有
A 2 0, 0 2
a11
A
a21
am1
a12 a22 am1
a1n a2n amn
(2) 特殊矩阵
方阵 m n ;
上（下）三角阵
a011aa1211aa1222a022
0
an1 0
an
2
a1n 0 a2n0
annann
单位矩阵; 1 10 0 0 0
对角矩阵;
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
说明 只有当两个矩阵是同维矩阵时，才能进 行加法运算.
12 3 5 1 8 9 例如 1 9 0 6 5 4
3 6 8 3 2 1 12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4. 3 3 6 2 8 1 6 8 9
线性代数知识点归纳
线性代数知识点归纳线性代数是现代数学中的一个重要分支，主要研究向量空间及其上的线性映射。
它在许多科学领域中都有广泛的应用，包括物理学、计算机科学、经济学等。
本文将对线性代数中的一些重要知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这门学科。
一、向量与矩阵1. 向量的定义与运算- 向量的表示：向量可以用有序数组表示，也可以用线段箭头表示。
- 向量的加法与减法：向量之间可以进行加法和减法运算，满足交换律和结合律。
- 向量的数乘：向量与实数之间可以进行数乘运算。
- 内积与外积：向量之间有内积和外积两种运算，分别表示向量的夹角和与之垂直的面积。
2. 矩阵的定义与运算- 矩阵的表示：矩阵可以用二维数组表示，其中每个元素称为矩阵的一个元。
- 矩阵的加法与减法：矩阵之间可以进行加法和减法运算，要求矩阵的维度相同。
- 矩阵的数乘：矩阵与实数之间可以进行数乘运算。
- 矩阵乘法：矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律。
二、线性方程组与矩阵运算1. 线性方程组- 线性方程组的定义：线性方程组由一组线性方程组成，其中每个方程都是线性的。
- 解的存在性与唯一性：线性方程组的解可能没有，可能有唯一解，也可能有无穷多解。
- 线性方程组的求解方法：高斯消元法、矩阵求逆、克拉默法则等。
2. 矩阵的逆与行列式- 矩阵的逆：若矩阵A存在逆矩阵A^-1，满足A·A^-1 = A^-1·A = I，其中I为单位矩阵。
- 行列式：行列式是一个与矩阵相关的标量值，用于判断矩阵的可逆性和计算矩阵的特征值。
三、线性映射与特征值问题1. 线性映射- 线性映射的定义：线性映射是一个满足线性性质的函数，将一个向量空间映射到另一个向量空间。
- 线性映射的表示与运算：线性映射可以用矩阵表示，可以进行加法、减法和数乘。
- 线性映射的核与像：线性映射的核是所有映射到零向量的向量集合，像是所有映射到的向量集合。
2. 特征值与特征向量- 特征值与特征向量的定义：对于一个线性映射，若存在一个非零向量使得线性映射作用于该向量后相当于对该向量进行标量乘法，该向量称为特征向量，该标量称为特征值。
线性代数知识点汇总
线性代数知识点汇总线性代数是数学中的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换。
它是现代数学中的一个重要基础学科，广泛应用于各个领域，如物理学、计算机科学、经济学等。
下面是线性代数的主要知识点的汇总。
1.向量空间：向量空间是线性代数的基本概念，它是一个集合，其中的元素称为向量，满足一定的运算规则，如加法和数乘。
向量空间具有加法和数乘封闭性、结合律、分配律等性质。
2.线性变换：线性变换是向量空间之间的一种映射，它保持向量空间中的加法和数乘运算。
线性变换可以用矩阵表示，矩阵的乘法运算对应于线性变换的复合运算。
3.矩阵：矩阵是线性代数中的一种重要工具，它是一个由数构成的矩形阵列。
矩阵可以表示向量空间中的线性变换，也可以用于解线性方程组、计算行列式、求逆矩阵等。
4.行列式：行列式是一个标量值，它是一个方阵的特征量。
行列式的值可以用于判断矩阵的可逆性、计算矩阵的逆、求解线性方程组等。
5.矩阵的逆：对于一个可逆矩阵，存在一个矩阵使得两者的乘积等于单位矩阵。
这个矩阵称为原矩阵的逆矩阵，它具有一些重要的性质，如对角矩阵的逆矩阵等。
6.线性方程组：线性方程组是线性代数中的一种基本问题，它由一组线性方程组成。
线性方程组的解可以通过矩阵的运算（如高斯消元法、矩阵的逆等）来求解。
7.特征值和特征向量：对于一个线性变换，存在一些特殊的向量，使得它们在变换后只改变了大小而没有改变方向。
这些向量称为特征向量，对应的大小称为特征值。
特征值和特征向量可以用于矩阵的对角化、求解差分方程等。
8.内积空间：内积空间是一种向量空间，它定义了一种内积运算。
内积运算满足对称性、线性性、正定性等性质，它可以用于定义向量的长度、角度、正交性等。
9.正交性：在内积空间中，两个非零向量的内积为零时称为正交。
正交性是线性代数中的一个重要概念，它可以用于构造正交基、正交投影、最小二乘法等。
10.最小二乘法：最小二乘法是一种用于拟合数据的方法，它通过最小化残差平方和来确定最优解。
《线性代数及其应用》(同济大学第2版) 第二章 2.3
0
1
0 0 , 2
c 为任意非零常数。
5
0
1
这个解可表示所求解方程组的任一个解，因此此解又称 为通解。
例 2.11 设有含参数 的线性方程组
x1x1
x2 x2
x3 x3
1
x1
x2
x3
2
问 取何值时此方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无
穷多个解？并在有无穷多个解时求出通解。
2 1 1 0
来表示，其中的一行即表示方程组(2.2)中的一个方 程，上面的求解过程可用初等行变换来表示。
1 3 2 4
1 3 2 4
( A,b) 3
2
5
1
r2 r1(3) r3 r1(2)
0
7
1
11
2 1 1 0
0 7 5 8
1 3 2 4
1 3 2 4
r3 r2(1) 0 7 0 0
a21
a22
am1 am2
a1n b1
a2n
b2
amn
bm
为线性方程组(2.1)的增广矩阵。
在中学代数中，已经学过用消元法解二元或三元 一次方程组，现在把它推广到求解一般线性方程组 (2.1)中去。
消元法的基本思想是通过减少未知量的个数把 方程组化成容易求解的同解方程组。
例 2.7 解线性方程组
解法一： 由于系数矩阵是方阵，由克拉默法则知它有唯
一解的充要条件是系数行列式 det A 0 。 由
11 1
1
det A 1 1 0 1 1
11 1 1
11
21
(1 ) 0 1 1 (1 ) 0 0 1
11
1 1
《线性代数》知识点
《线性代数及其应用》一、行列式1、余子式，代数余子式2、几个定理(定理2.2，2.3，2.4)按行展开：1122,1,2,,A =+++= i i i i in in a A a A a A i n 按列展开：1122,1,2,,A =+++= j j j j nj nj a A a A a A j n定理2.411220,+++=≠ i j i j in jn a A a A a A i j ；1122++ i j i j a A a A 3、行列式的性质(1)T||||=A A .(2)之和，即1,,,,j j n ααβα+= (2)(3)初等变换性质i i i j j i i j i j k k +l +l ⨯⨯↔↔⎧−−−→⇒⎪⎪⎪−−−−→⎨⎪−−−−→⎪或或或r c r r c c r r c c A B A B A B A O A B D B =(1)O A A B B D ==-mn 二、矩阵1、矩阵及其运算(加法、数乘、乘法、幂、转置、方阵的行列式、分块运算)(1)乘法的结合律(2)方阵的幂的求解 3.75.9⎧⎪=⨯⎨⎪--⎩二项式定理--例矩阵列行--例3.8、例3.38可对角化例(3)转置的性质：T T T T T T T T T T ()()()()A A A B A B A A AB B A⎧=⎪+=+⎪⎨=⎪⎪=⎩k k (4)方阵的行列式：T ||||;|||;||||||.n |k k ⎧=⎪=⎨⎪=⎩A A A A AB A B (5)分块运算(转置、乘法--例2、初等变换及初等矩阵(1)⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩初等行变换初等列变换(2)[][][]11(),,E E E E --=⎡⎣=i k i i j i j 3、可逆矩阵(1)定义、性质1111T 11T111111()()()()A A A A A A A A AB B A------------⎧=⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩||||()k k (2)伴随矩阵1||||||()()()n r r ***-*⎧==⎪=⎨⎪⎩A A AA A E A A A A 与的关系书111页38题(3)判定：A 可逆||0A ⇔≠(4)逆矩阵的求法[]11( 3.7),,*--⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎡⎤−−→⎪⎣⎦⎪⎩行伴随矩阵法:及运算律命题初等变换法:A A A AB E A E E A(5)分块矩阵的逆111111,.A O O A A O O B O B B O O B A O ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(6)矩阵方程的求解：AX C =，其中A 可逆.法11X A C -=.法21[,][,]A C E X X A C -−−−−→⇒=初等行变换n .4、矩阵的秩与矩阵的相抵(1)矩阵的秩与性质(101页，105-107页)①0()min{,}r m n ≤≤A ；②子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩；③()(),0;r k r k =≠A A ④T()()r r =A A ；⑤()()r r r ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦A O AB O B ；⑥()()()r r r +≤+A B A B ；⑦()()()()(A B AB A +-≤≤r r n r r 或())B r ；若=AB O ，则()()r +r n ≤A B ，其中m n ⨯∈PA ，n s ⨯∈PB .⑧设m n ⨯∈R A ，则T T ()()().r r =r =AA A A A (2)求矩阵的秩(理论依据：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩)A R −−−−→初等变换(行阶梯形矩阵)，则()()r r ==A R R 的非零行的个数.(3)矩阵的相抵(等价)①()(),,.A B A B P Q PAQ B ≅⇔=⇔∃=可逆使得r r ②()()()()r r r r ===PAQ PA AQ A ，其中,P Q 可逆.③()rr r ⎡⎤=⇒=⎢⎥⎣⎦E O A PAQ O O 或r ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦E O A P Q O O .三、线性空间1、向量组的线性相关性的判断(命题4.2、4.3、4.4、4.5、定理4.1、4.2、4.4)(1)证明方法------,,--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩定义转化为齐次线性方程组的求解秩矩阵、向量组的秩(定理4.1定理4.4命题4.5-4.6)坐标化方法定理4.14基本结论(2)基本结论判断向量组线性相关（命题4.2，命题4.3(2),定理4.1及推论1，定理4.2）充要：12,,,s ααα 线性相关⇔其中至少有一个向量可由其余向量线性表示.充分：12,,,s ααα 线性相关⇐12,,,s s s ααα⎧⎪⎨⎪⎩ 某一个部分向量组线性相关向量的个数大于向量分量的个数被个数少于的向量组线性表示判断向量组线性无关（命题4.3(3)，命题4.4的推论）2、等价向量组(1)(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，则r (Ⅰ)≤r (Ⅱ).(2)(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，则r (Ⅰ)=r (Ⅱ).3、子空间的验证(1)非空、加法和数量乘法的封闭；(2)命题4.1(生成子空间)--例4.9，例4.354、向量组的秩及极大无关组(命题4.6，定理4.4及推论2)、(线性)子空间的基与维数(1)写成列向量作初等行变换，确定向量组的秩与极大无关组.(2)对于12(,,,)s W L ααα= ，则12dim (,,,)s W r ααα= ，即生成子空间的维数与基就是向量组12,,,s ααα 的秩与极大无关组.5、坐标的概念、基变换公式与坐标变换公式坐标：1122n n x x x γααα=+++ 在基12,,,n ααα 下的坐标[]T12,,,n x x x .基变换公式：1212(,,,)(,,,)n n βββααα= S坐标变换公式：12121212(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)n n n n βββαααγαααγβββ=⎫⎪=⇒=⎬⎪=⎭S X X SY Y 或1-=Y S X四、线性方程组(含参量、不含参量)1、解的情况(1)()(),,()(),r r n r r n β⎧≠⎪=⇒=⎧⎨=⎨⎪<⎩⎩A A AX A A 无解唯一解无穷多解若A 是方阵，则0,()(),0()(),r r r r β⎧≠⎪=⇒⎧=⎨=⎨⎪≠⎩⎩唯一解无穷多解无解A AX A A A A A (2)齐次线性方程组=0AX 有非零解()r n ⇔<A .若A 是方阵，则齐次线性方程组=0AX 有非零解0⇔=A .2、解的结构齐次=0AX ：(1)解空间N()A 、dimN()()n r =-=A A 基础解系所含向量的个数(2)基础解系不唯一，()A -n r 的线性无关的解均可作为=0AX 的一个基础解系.(2)结构式：通解=基础解系的任意线性组合非齐次β=AX ：(1)非-非=齐(2)结构式：通解=特解+导出组=0AX 的通解五、线性变换1、线性变换的验证(定义5.4)2、线性变换在一个基下的矩阵(定义5.7)、命题5.812121212σ(,,,)(,,,)(,,,)σ()(,,,)n n n n αααααααααααααα=⎫⎪=⇒=⎬⎪=⎭A X Y AXY 3、线性变换在不同基下的矩阵之间的关系(相似)定理5.91212112121212σ(,,,)(,,,)σ(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)n n n n n n ααααααβββββββββααα-=⎫⎪=⇒=⎬⎪=⎭A B B S ASS 六、内积空间nR 1、内积的概念、长度、正交(正交向量组必线性无关)2、施密特正交化3、正交矩阵(1)定义、性质；(2)n 阶实矩阵A 是正交矩阵的充要条件是A 的列(行)向量组是nR 的一个标准正交基.(命题6.2)七、矩阵的相似对角形1、特征值和特征向量的定义、性质(1)1212tr();n n λλλλλλ=+++= A A ；(2)A 与T A 具有相同的特征值(特征向量未必相同)；已知⇒(A ⇔可逆)矩阵A A k A m )(A f 1-A *A 特征值λλk m λ)(λf 1-λ||1A -λ(3)()()(())A A λλ⊆f W W f ；11()()A A λλ--=W W .(4)属于不同特征值的特征向量线性无关(定理5.3、定理5.4及推论).2、相似矩阵的定义、性质(秩、行列式、迹、特征值相等，但特征向量未必相同)相似的判定：若A 与B 可对角化(实对称矩阵)，且A 与B 具有相同的特征值，则A 与B 相似.若A 与B 相似，则矩阵多项式()A f 与()B f 也相似.3、矩阵的相似对角化A 可对角化⇔A 有n 个线性无关的特征向量⇔数域P 内有n 个特征值，每一个特征值的几何重数等于代数重数(充分条件)A 有n 个互不相同的特征值⇒A 可对角化4、实对称矩阵(1)特征值：n 阶实对称矩阵有n 个实特征值.(2)特征向量：实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交.(3)实对称矩阵必正交相似于实对角矩阵(几何重数等于代数重数).(4)若A 与B 均为实对称矩阵，则A 与B 正交相似(相似)⇔A 与B 具有相同的特征值.(正交相似⇒既相似，又合同)八、二次型1、二次型的矩阵及秩(11A -←−→f (对称))2、矩阵的合同：合同必相抵；正交相似⇒既相似，又合同实对称矩阵,A B 合同⇔,A B 的正惯性指数与秩相同3、化二次型为标准形(不唯一)--正交替换法、配方法(满秩线性替换)4、惯性定理：实二次型的规范形唯一(正、负惯性指数，符号差)5、正定二次型(1)判定：①定义；②A 的特征值都大于零(A 的正惯性指数等于n )；③A 与E 合同(与正定矩阵A 合同的实对称矩阵B 正定)；④存在可逆矩阵S ，使得T A S S =；⑤A 的所有顺序主子式都大于零(2)必要条件：(i)0,1,2,,ii a i n >= ；(ii)||0A >特征向量X X X X X X。
线性代数及其应用 (6)
注意：
１. 属于不同特征值的特征向量是线性无关 的．
２. 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量．
３. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值对应的特征向量不唯一； 但一个特征向量却只能属于一个确定的特征值．
因为, 如果设x同时是A的属于特征值 1 , 2的
~
1 0
0 1
1 0 ,
4 1 4 0 0 0
得基础解系
1 p1 0, 1
故对应于1 1的全体特征向量为
k p1
(k 0).
当2 3 2时,解方程A 2I x 0.由
4 A 2I 0
1 0
1 0
~
4 0
1 0
1 0,
4 1 1 0 0 0
得基础解系为：
1 0 2
解 A的特征多项式为
1 1
A I 4 3
1
0
0
0 (2 )(1 )2,
2
所以A的特征值为1 2, 2 3 1.
当 2时,解方程( A 2I )x 0.由 1
3 A 2I 4
1
1 1 0
0 0 0
~
1
0
0
0 1 0
0
0
0
得基础解系
0
p 0,
定义1 设A, B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使 P1 AP B,
则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似.对A进 行运算P1 AP称为对A进行相似变换,可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵.
二、相似矩阵与相似变换的性质
1. 等价关系 (1)反身性 A与A本身相似. ( A I 1AI )
而AT的特征向量却为 x c10,(c 0)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《线性代数及其应用》要点整理[使用方法：同学们参照这个目录进行回忆，发现没有掌握的部分立即查阅教材或复习资料]
一、必须掌握的核心计算方法
1、求线性方程组的解；
2、矩阵的加法及数乘；
3、矩阵乘法；
行列法则，矩阵乘法的性质，矩阵的幂；
4、求线性变换的标准矩阵；
5、矩阵的LU分解；
6、矩阵的转置
7、求矩阵的逆；
化简增广矩阵[A I]，逆矩阵公式（伴随矩阵的求法）；
8、求矩阵的行列式值：
余因子展开法（降阶法），行变换法，三角矩阵行列式值
的特殊求法；
9、通过行列式求平行四边形面积和平行六面体的体积；
10、求矩阵的零空间、列空间的基；
11、求向量在向量空间中相对于一组基的坐标；
12、求矩阵的特征向量和特征值；
13、矩阵的对角化；
14、向量的内积、长度（范数）；
15、向量的正交化：
正交分解，正交投影，The Gram-Schmidt Process，一组基
的正交化、单位正交化；
16、矩阵的QR分解；
17、最小二乘问题：
求最小二乘解，最小二乘误差，求解法方程；
18、对称矩阵的对角化；
19、二次型：
将对称矩阵写为二次型，将二次型还原为对称矩阵，二次
型的变量代换（消去交叉项）；
二、核心概念
1、线性方程组（齐次、非齐次，相容、不相容）；
2、矩阵（系数、增广，阶梯型、简化阶梯型，奇异、非奇异、
可逆、不可逆，单位、初等、对角、三角、对称、相似，
正交）；
3、线性无关和线性相关；
4、线性变换；
5、子空间（零子空间，矩阵的行、列、零空间，同构）；
6、向量空间的维数和秩；
7、向量空间的基；
8、行列式；
9、特征方程、特征值、特征向量；
10、向量的内积、长度；
11、正交集，正交投影，正交补；
12、最小二乘解，最小二乘误差；
13、二次型（正定、负定、不定，几何理解）。
三、核心定理(注明格式m.n；m代表章节数，n代表定理序号，如
1.1代表第一章定理1)
[老师提及过的定理都应该掌握，这里列出最核心的可供同学们发散开来构造知识体系的定理]
1、满射和单射的相关定理（1.11，1.12）；
2、可逆矩阵定理（可查分章概念总结第二章的第2点）；
3、张成集定理（4.5），基定理（2.15，4.12）；
4、行列式的性质定理（5.3）；
5、对角化定理（5.5）；
6、谱定理（7.3）；。