数学分析 第七章 课件 定积分

y
y f ( x)
A?
o
a b x
x b 所围成.
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
o
a
（四个小矩形）
b
x
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
则它是使
1 1 成立的最大的 x x0
显然，当 x0 0 时 0 可见 的确依赖于 x0 我们得不到一个对 0,1 中每点都适用的函数 也就是说
1 x
在 0,1 不一致连续
现设 c 0 是一个小于1的函数 下面在 c,1 来考虑 由前面难导， 当 x c,1 时
n
xi 1 , xi
的长度记为
i 1, 2,...n
作和式 f i xi 记 max xi
i 1
1i n
（4）求极限 令 0, 若和式 的极限存在 （设为I）且
I 不依赖于分法，也不 依赖于 i 的选取， 则称 f x 在 a, b 是可积的， 否则称为不可积。 I 称为 f x 在 a , b 的定积分，记为
b b b a a a
5.规定 ：
f xdx f x dx
b a a b
f x dx 0
a a
第二节 定积分的基本性质
定理 7.1 (可积函数必有界)
f ( x) 在 [a, b] 上可积，则 f ( x) 在 [a, b]上有界。
但反过来不成立。例如： Dirichlet 函数
某时刻的速度
（2）求和
（3）取极限
s v ( ti ) ti
i 1
n
max{t1 , t 2 ,, t n }
s lim v ( ti )ti
0
i 1 n
路程的精确值
(三) 求曲边梯形的面积
曲边梯形由连续曲线
y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、 x 轴与两条直线 x a 、
f x 在区间 a, b 上有定义，
(1) 分割
在 a, b 内任意插入 n 1 个分点。 a x0 x1 x2 ... xn1 xn b
它将 a, b 分成 n 个小区间， i 个小区间 第 xi xi xi 1 , i 1,2,, n (2) 取点 在每个小区间上任取一点 i xi 1 , xi (3) 作和
1 1 x x0
得：
1 1 1 x0 x x0
1 不妨设 x 0 0
或
x0 x0 x 从而 1 x 1 x0 0
x0 2 x0 2 x x0 1 x0 1 x0
故只要取
x0 2 x0 2 x0 2 min , , x0 1 x0 1 x0 1 x0
b
c
b
f ( x )dx .
反之，若f ( x)在[a, c]和[c, b]都可积，则f ( x) 在[a, b]可积，且上式成立。
定理7.4 （积分的单调性）
如f ( x)，g ( x)在[a, b]上皆可积，且 f ( x) g ( x), x [a, b]
则
推论7.1

b
a
f ( x)dx g ( x)dx.
b a
例2： 变速直线运动的路程，就是速度 v t 在时间段
a, b
上的定积分，即 S
v t dt
b a
例3： 曲边梯形（由
x a, x b, x 轴及曲线
y f x 0 所围成的图形）的面积 A 为
A f x dx
b a
几点说明： 1.定义中的两个任意性。 2.定义中 0 ，表示对 a, b 无限细分 的过程， 0 n 但 n 0
1 例：图7.7曲线 y x
对接近于原点的 x0 , 就取得小一些， 而当
x0 离原点较远时， 却可以取大一些， 对后者
所取的 值， 对前者就不一定适用。 能否找到（是否存在）一个对区间 I 内所有点
y 都适用的 。 从图大致看出， 1 x
在 0 x 1
中就没有公共的 ，有时却需要这种对所有点 都适用的 0 存在，这就需要
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
当
x I ,

x1 x2
x1 , x2 I 时，
f x1 f x2
连续 将函数在区间 一致连续 的定义加以比较， 可见它们
截然不同： 前者（连续）：给定了 和 x0 I 来决定 。
一般说来， 随
而在 0,1 连续但不一致连续。 证明: 在某区间上: 连续与一致连续的关系 引出：Caulor 定理： 定理7.6： 闭区间 a, b 上的连续函数 f x 一定在 a, b 一致连续
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作 不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值， 最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．
（1）分割
T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2
t i t i t i 1
部分路程值
si v( ti )ti
即
f x dx
b a
f x dx lim f x
b a 0 i 1 i
n
i
上述定义用 " " 语言给出。 有了积分概念以后，
上面的例子便可用其表示。
例1： 变力 f x 使质点从 a 移到 为 w
b
所作的功 w
f x dx
3.当我们已知 f x 可积的情况下，可取区间的特殊 这就是用定义 分法和 i 的特殊取法来求积分和。
求积分的依据。 例 用定义求积分：

b
a
xdx (0 a b)
4.定积分只与被积函数和积分区间（上、下限）有关， 与积分变量无关。即
f x dx f t dt f u du
x
Ai f ( i )xi
A f ( i )xi
i 1
n
当分割无限加细,即小区间的最大长度
max{x1 , x2 , xn } 趋近于零 ( 0) 时， n 曲边梯形面积为 A lim f ( i )xi
0 i 1
二、定积分的定义 定义7.1 设函数
a 1 2 1
b
b
a
f ( x)dx k2 g ( x)dx.
a
b
定理7.3 （定积分区间的可加性）
如f ( x)在[a, b]上可积，则对于任意点 c [a, b], f ( x)在[a, c]和[c, b]都可积，并且有
a f ( x )dx a f ( x )dx c
把区间 [a, b] 分成 n 个小区间 [ xi 1 , xi ]， 长度为 xi xi xi 1 ;
y
在每个小区间 [ xi 1 , xi ]
x i 1 i x i x n 1 b o a x1 上任取一点 i， 以 [ xi 1 , xi ]为底， (i ) 为高的小矩形面积为 f
一致连续的定义
设函数
f x 在区间
I 有定义， 若对任给
0 存在只与
有关而与 I 内的点
x
无关的
0 ，使得对任意 x1 , x2 I , 只要 x1 x2
就有 f x1 f x2 则称 f x 在区间 I
一致连续。 用符号： 0,
a
b
如f ( x)在[a, b]上可积，且 f ( x) 0, x [a, b]
则

b
a
f ( x)dx 0
定理7.5
若 f ( x) 在 a, b 可积， 则

b
a
f ( x)dx f ( x) dx
a
b
函数的一致连续性概念
设 f ( x) 在某一区间 I（或开，或闭）连续，按照定义， 也就是 f x 在区间 I 中的每一点都连续，即
x0 I , 0, 0. 使当 x x0 时，
用符号： 0, x0 I , , x0
当 x x0 时， f x f x0 一般说来：对同一个 ，当 x0 不同时， 也不同
f x f x0
函数 f x 在区间 I 非一致连续的肯定叙述：
若存在某个 0 0, 对任意 0 都存在两点 x1 , x2 I 使得 x1 x2 但 f x1 f x2 0 则得 f x 在 I 非一致收敛
1 例1： 证明 f x sin 在 c,1 一致连续， 其中 c 0, x
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与Байду номын сангаас边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
曲边梯形面积求法： 在区间 [a, b]内插入若干 个分点，a x0 x1 x2 xn 1 xn b,
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
c 2 c 2 , x0 , 1 x0 1
则对 c,1 中任意 x0 和 x 只要
f x f x0
x x0
就有
即
f x
1 x
在区间 c,1 是一致连续的
应当注意： 函数在某区间的连续性， 只与区间中每一点 及其附近的 f x 的情形有关 ,是局部性质 而一致连续性， 是整体性质
第七章 定积分
第一节 定积分的概念
一.背景（引入）
例1：变力作功 例2：变速直线运动的路程 例3：曲边梯形的面积 这些例子，都归结为一种和式的极 限，我们把它抽象出来，得到定积分 的定义:
（二）变速直线运动的距离
设某物体作直线运动，已知速度v v (t ) 是 时 间 间 隔 [T1 , T2 ] 上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v ( t ) 0 ，求物体在这段时间内所经过的路程.
1, x为有理数 D x 0, x为无理数
在 0,1 是不可积的
定理7.2(积分的线性性质)
如f ( x)，g ( x)在[a, b]上皆可积，则对于
任意常数k1 , k2 ,函数k1 f ( x) k2 g ( x)在[a, b]上
也可积，且
[k f ( x) k g( x)]dx k
x0 ,

和 x0 而改变， 记为
而后者（一致连续）： 是只给了 就能决定 即 只随

而变， 我们记为
而这种 的情形看：
1 对任意的 x0 都可用。 仍拿 y x
对 x0 0,1 我们不妨求出满足 x x0 时， f x f x0 的 的最大值， 来看看 依赖于 x0 的情况。 从