上海海事大学 高等数学A 2003-2004 B卷 试题+答案

上 海 海 事 大 学《高等数学A 》试题(B)
班级 学号 姓名 成绩
一、解答下列各题：（6分×3=18分）
1、求极限 lim
sin .x x x e e x
x x
→----02 2、求极限．lim(sin cos )x x
x x →+0
1
3、．求数列的极限)12
11
1(
lim 2
2
2
n
n n n n ++++
+∞
→
二、解答下列各题：（6分×5=30分）
1、设　，求．y x e
dy x x
()=-22
2、设　，，求反函数的导数．y x x x x y =-<<
'sin cos ()ππ
32
3、一直线在xoz 坐标面上，且过原点又垂直于直线x y z -=+-=
-23125
1
，求它的对称式方程。

4、．求
⎰
∞
++0
4
)1(x dx
5、⎰
-x x
x d 162
2
求
三、计算题（8分）
已知：，求的值．lim x x x
t a t
dt a →+=⎰
04
1
12
四、应用题（8×2=16分）
1、
.8
23
2体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y == 2、在抛物线找出到直线的距离为最短的点
y x xk y =-=2
342
五、计算题：（8分）
设
a b =-=--{,,},{,,}212111，试求
（1）()()232
a b a b -⋅+ （2）()()3558
a b a b -⨯-
六、综合题（7分×2=14分） 1、
.
)(),(,1)(),()(,],[)(x x f x b a x f b a b x f a b a x f =≠'<<值适合内有仅有一个证明在上有在且上可导在设函数
2、证明当时　x e x x
>>+01
七、解答题：（6分）
不计算积分，试比较与大小．x x dx x dx 1101
1++⎰⎰ln()
上 海 海 事 大 学《高等数学A 》试题(B)解答
三、解答下列各题：（6分×3=18分）
1、解原式=+--→-lim cos x x x e e x 02
1
2分
=-→-lim
sin x x x
e e x
0 4分
x e e x
x x cos lim
0-→+= 5分 =2
6分
2、原式=+→lim(sin )
x x
x 0
1
212 2分
=+→⋅⋅lim(sin )
sin sin x x x
x
x 0
122212 4分
=e
6分
3、证有又有s n n n n s n n n n
s n n n n n n
n n n
n n n =
++
+++
+<++++=>++++++=
+1
11
21
1111
1
111
2222222 2分
即：
n n n s n 2
1+<< 4分
而，所以lim
lim lim lim(
)
n n n n n n
n n
s n n n n
→∞
→∞
→∞
→∞
+===++
+++
+2
2
2
2
111
11
12
1 5分
=1 6分
四、解答下列各题：（6分×5=30分）
1、dy y x dx ='()
2分
　=--2122
()x e dx x x
6 分
2、'=+≠<<
y x x x cos sin 032
，ππ
3分
'=
+<<
x y x x x ()cos sin 132，ππ
6分
3、所求直线的方向向量为
j =-=-1
2103{,,}
3分
故所求直线为
x y z
103
==
- 6分
4、原式=+→+∞⎰
lim
()b b
x
x dx 13
2分
dx x x b
b ⎰
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-+=+∞→0
32
)1(1
)
1(1lim
=-+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥→+∞
lim ()b b
x x 1112120
4分分
=-+++→+∞
lim (
()
)b b b 12111212 =
12
6分
5、
16442
2
-==⎰
x x dx x t dx tdt 令 sin cos =⋅=⎰
⎰44162
2cos cos sin cot t t
t
dt tdt 3分 =-=--+⎰(csc )cot 21t dt t t c
4分
=---+164
2x x x c arcsin .
6分
三、计算题（8分）
lim
lim x x x t a t dt
x x a x x →→+=+⎰
4
03
2
3
2
24 4分 =
12a
6分
1211
4
a
a ==
， 8分 四、应用题（8×2=16分）
1、解 :,,.x x x x x x 23
231128
8204==== 2分
V x x d x x x d x x =-⎡⎣⎢⎤⎦
⎥=-⎰
⎰π
π()()()22320
4
4
6
0428464 4分
=⋅-
⋅π()14151641757
4
x x 6分
π=-π=35
512)7151(
44 8分 2、设抛物线上任点到直线的距离为(,),x x 2
d x x x x =
--+=-+342
916
1
5
43222() 3分
'=-=''=
>d x x d 1
58338
85
0()
唯一驻点 最小时故当d x ,8
3
=
6分
即点，到直线的距离最短3
89643420⎛⎝ ⎫⎭
⎪--=x y
8分
五、计算题：（8分）
1）()()2322 a b a b -⋅+= a b a b 2
263-+⋅=
4分
（2）()()3558
a b a b a b -⨯-=⨯
=---=--1
211
303{,,} 8分
六、综合题（7分×2=14分）
1、证明：设在上可导从而在上连续
因则．F x f x x a b a b a f x b F a f a a F b f b b F a F b ()()[,],[,](),()(),()()()()=-<<-->=-<<00
则在上至少有一实根F x a b ()[,]=0 3分
再证设在最多有一个实根
反证设在上至少有两个实根设使,()(,),()(,),,()()F x a b F x a b x x F x F x ==<==0001212()又在连续在可导利用罗尔定理则至少存在F x x x x x x x a b (),,[,],(,)(,)
121212ξ∈⊂
使即这与矛盾'='=∈'≠F f a b f x (),(),(,),()ξξξ011
6分
上最多有一个实根在即),()(b a x x f = .),()(内只有一个实根在故b a x x f =
7分 2、设f x e x x
()=--1
2分 f ()00=
3分 '=-f x e x ()1
4分
[)当时 在上单调增 故x f x f x f x f >'>+∞>=00000
(),(),()()
6分
即e x x >+1
7分
七、解答题：（6分）
由微分中值定理，可得
ln()1110+=
+>+<<x x x
x
x ξξ， 3分
所以ln()1101
1
+>+⎰
⎰x dx x
x
dx 6分。