含参数不等式成立问题中参数范围的确定

含参数不等式成立问题中参数范围的确定

一．恒成立问题（全称命题） 1．分离参数法

例 1：（2009海南一模）设()()(

)⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡+-+++=n a

n n x f x x x 121lg ，其中a 是实数，n 是

任意给定的自然数且n ≥2，若()x f 当(]1,∞-∈x 时有意义, 求a 的取值范围。 解析： 当(]1,∞-∈x 时，()x f 有意义，故有

()⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛->⇔>+-+++x

x x x

x

x n n n a a n n 11210121

令()⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x

x x n n n x 1121 ϑ，只要对()x ϑ在(]1,∞-上的最大值，此不等式

成立即可。故我们可以利用函数的最值分离出参数a 。 解： 由(]1,∞-∈x 时，()x f 有意义得：

()0121>+-+++a n n x

x

x

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛->⇔x

x x n n n a 1121 ，由指数函数单

调性知上式右边的函数()⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x

x x n n n x 1121 ϑ的最大值是

()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫

⎝⎛-++⎪⎭⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n 1211 ϑ＝()n -12

1

故 a>

()n -12

1

温馨提示：适用题型；（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。

利用这种方法可以顺利解决许多含参数不等式中的取值问题，还可以用来证明一些不等式。 例 2：（2009东营一模）已知向量：0),32,(cos ),cos ,sin 2(2>==→

→

ωωωω其中向量x b x x a ， 函数→→⋅=b a x f )(，若)(x f 图象的相邻两对称轴间的距离为.π （1）求)(x f 的解析式； （2）若对任意实数]3

,6[

π

π∈x ，恒有2|)(|<-m x f 成立，求实数m 的取值范围.

解：（1）)2cos 1(32sin )32,(cos )cos ,sin 2()(2x x x x x x f ωωωωω++=⋅=⋅= 3)3

2sin(2++

=π

ωx

∵相邻两对称轴的距离为2

1

,222,=∴=∴

ωπωππ

3)3

sin(2)(++

=∴π

x x f

（2）]3

2,2[3],3,6[π

πππ

π∈+∴∈x x 32)(32+≤≤∴x f ，

又m x f m m x f +<<+-∴<-2)(2,2|)(|

若对任意]3,6[π

π∈x ，恒有⎪⎩⎪⎨

⎧+≥+≤+-<-3

223

22,2|)(|m m m x f 则有成立

解得3223+≤≤m

例 3：（2009北京市一模）已知函数32

()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-，

32

6()(1)3(0)2

t g x x x t x t -=+

-++> （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；

（Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。 解：（Ⅰ）/

2

()32f x x ax =+∴/(1)31f b a

⎧=-⎨=+⎩， 解得3

2a b =-⎧⎨=-⎩

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在[1,0]-上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减又min max (1)4,(0)0,{()}(2)4,{()}(4)16f f f x f f x f -=-===-== ∴()f x 的值域是[4,16]-

（Ⅲ）令2

()()()(1)3[1,4]2

t h x f x g x x t x x =-=-++-∈

∴要使()()f x g x ≤恒成立，只需()0h x ≤，即2

(2)26t x x x -≥-

（1）当[1,2)x ∈时226

,2x t x x

-≤- 解得1t ≤-；

（2）当2x =时 t R ∈；

（3）当(2,4]x ∈时226

2x t x x

-≥-解得8t ≥；综上所述所求t 的范围是(,1][8,)-∞-+∞

特别说明：分类与整合，千万别忘了整合即最后要写“综上可知”，分类一定要序号化； 2 主参换位法

例4：若对于任意a (]1,1-∈，函数

()()a x a x x f 2442-+-=的

值恒大于0，求x 的取值范围。

分析：此题若把它看成x 的二次函数，由于a, x 都要变，则函数的最小值

很难求出，思路受阻。若视a 为主元，则给解题带来转机。 解： 设 ()()4422

+-+-=x x a x a g ，把它看成关于a 的直线，

由题意知，直线恒在横轴下方。 所以 ()01≥-g ()01>g