离散数学第10章 谓词逻辑
离散数学知识点总结
总结离散数学知识点第二章命题逻辑1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假；2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积；3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反；4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假；5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写；6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取；8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假)10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法；第三章谓词逻辑1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质；多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；第四章集合1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0；2.基：集合A中不同元素的个数，|A|；3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)；4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2；5.集合的分划：(等价关系)①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合；②这几个子集相交为空，相并为全(A)；6.集合的分划与覆盖的比较：分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中；覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；第五章关系1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基数为2种不同的关系；mn，A到B上可以定义mn2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系；3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性；空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性；4.前域(domR)：所有元素x组成的集合；后域(ranR)：所有元素y组成的集合；5.自反闭包：r(R)=RUI;x对称闭包：s(R)=RU1-R;传递闭包：t(R)=RU2R U3R U……6.等价关系：集合A上的二元关系R满足自反性，对称性和传递性，则R称为等价关系；7.偏序关系：集合A上的关系R满足自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系；8.covA={<x,y>|x,y属于A，y盖住x}；9.极小元：集合A中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一)；极大元：集合A中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一)；最小元：比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)；最大元：比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)；10.前提：B是A的子集上界：A中的某个元素比B中任意元素都大，称这个元素是B的上界(若存在，可能不唯一)；下界：A中的某个元素比B中任意元素都小，称这个元素是B的下界(若存在，可能不唯一)；上确界：最小的上界(若存在就一定唯一)；下确界：最大的下界(若存在就一定唯一)；第六章函数2种不同的关系，有m n种不同的函1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有mn数；2.在一个有n个元素的集合上，可以有22n种不同的关系，有n n种不同的函数，有n!种不同的双射；3.若|X|=m,|Y|=n，且m<=n，则从X到Y有A m n种不同的单射；4.单射：f:X-Y，对任意x,2x属于X,且1x≠2x，若f(1x)≠f(2x)；1满射：f:X-Y，对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应；双射：f:X-Y，若f既是单射又是满射，则f是双射；5.复合函数：fºg=g(f(x));6.设函数f:A-B，g:B-C，那么①如果f,g都是单射，则fºg也是单射；②如果f,g都是满射，则fºg也是满射；③如果f,g都是双射，则fºg也是双射；④如果fºg是双射，则f是单射，g是满射；第七章代数系统1.二元运算：集合A上的二元运算就是2A到A的映射；2.集合A上可定义的二元运算个数就是从A×A到A上的映射的个数，即从从A×A到A上函数的个数，若|A|=2,则集合A上的二元运算的个数为2*22=42=16种；3.判断二元运算的性质方法：①封闭性：运算表内只有所给元素；②交换律：主对角线两边元素对称相等；③幂等律：主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同；④有幺元：元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同；⑤有零元：元素所对应的行和列的元素都与该元素相同；4.同态映射：<A,*>,<B,^>,满足f(a*b)=f(a)^f(b),则f为由<A,*>到<B,^>的同态映射；若f是双射，则称为同构；第八章群1.广群的性质：封闭性；半群的性质：封闭性，结合律；含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元；群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元；2.群没有零元；3.阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；4.循环群中幺元不能是生成元；5.任何一个循环群必定是阿贝尔群；第十章格与布尔代数1.格：偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界；2.格的基本性质：1) 自反性a≤a 对偶: a≥a2) 反对称性a≤b ^ b≥a => a=b对偶:a≥b ^ b≤a => a=b3) 传递性a≤b ^ b≤c => a≤c对偶:a≥b ^ b≥c => a≥c4) 最大下界描述之一a^b≤a 对偶 avb≥aA^b≤b 对偶 avb≥b5）最大下界描述之二c≤a,c≤b => c≤a^b对偶c≥a,c≥b =>c≥avb6) 结合律a^(b^c)=(a^b)^c对偶 av(bvc)=(avb)vc7)等幂律a^a=a 对偶 ava=a8) 吸收律a^(avb)=a 对偶 av(a^b)=a9) a≤b <=> a^b=a avb=b10) a≤c,b≤d => a^b≤c^d avb≤cvd11) 保序性b≤c => a^b≤a^c avb≤avc12）分配不等式av(b^c)≤(avb)^(avc)对偶 a^(bvc)≥(a^b)v(a^c)13）模不等式a≤c <=> av(b^c)≤(avb)^c3.分配格：满足a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc)；4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；5.链格一定是分配格，分配格必定是模格；6.全上界：集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格<A,<=>的全上界，记为1；(若存在则唯一)全下界：集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格<A,<=>的全下界，记为0；(若存在则唯一)7.有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；8.补元：在有界格内，如果a^b=0,avb=1，则a和b互为补元；9.有补格：在有界格内，每个元素都至少有一个补元；10.有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格；11.布尔代数：一个有补分配格称为布尔代数；第十一章图论1.邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接；2.关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联；3.平凡图：只有一个孤立点构成的图；4.简单图：不含平行边和环的图；5.无向完全图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；有向完全图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；6.无向完全图有n(n-1)/2条边，有向完全图有n(n-1)条边；7.r-正则图：每个节点度数均为r的图；8.握手定理：节点度数的总和等于边的两倍；9.任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个；10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路；12.可达：对于图中的两个节点v,j v，若存在连接i v到j v的路，则称i vi与v相互可达，也称i v与j v是连通的；在有向图中，若存在i v到j v的j路，则称v到j v可达；i13.强连通：有向图章任意两节点相互可达；单向连通：图中两节点至少有一个方向可达；弱连通：无向图的连通；(弱连通必定是单向连通)14.点割集：删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集；割点：如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点；15.关联矩阵：M(G)，m是i v与j e关联的次数，节点为行，边为列；ij无向图：点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2；有向图：点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1，关联矩阵的特点：无向图：①行：每个节点关联的边，即节点的度；②列：每条边关联的节点；有向图：③所有的入度(1)=所有的出度(0);16.邻接矩阵：A(G)，a是i v邻接到j v的边的数目，点为行，点为列；ij17.可达矩阵：P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列； P(G)=A(G)+2A(G)+3A(G)+4A(G)可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路；A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1的通路条数；2A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为2的通路条数；3A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为3的通路条数；4A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为4的通路条数；P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数；18.布尔矩阵：B(G)，v到j v有路为1，无路则为0，点为行，点为列；i19.代价矩阵：邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0；20.生成树：只访问每个节点一次，经过的节点和边构成的子图；21.构造生成树的两种方法：深度优先；广度优先；深度优先：①选定起始点v；②选择一个与v邻接且未被访问过的节点1v；③从v出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所1有邻接点均已被访问时，回到该节点的前一个点，再寻求未被访问过的邻接点，直到所有节点都被访问过一次；广度优先：①选定起始点v；②访问与v邻接的所有节点1v,2v,……,k v,这些作为第一层节点；③在第一层节点中选定一个节点v为起点；1④重复②③，直到所有节点都被访问过一次；22.最小生成树：具有最小权值(T)的生成树；23.构造最小生成树的三种方法：克鲁斯卡尔方法；管梅谷算法；普利姆算法；（1）克鲁斯卡尔方法①将所有权值按从小到大排列；②先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序；③再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，选择时要满足不能出现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序；④重复③，直到所有节点都被访问过一次；（2）管梅谷算法(破圈法)①在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图；②在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图；③重复②，直到所有节点都被访问过一次；（3）普利姆算法①在图中任取一点为起点v，连接边值最小的邻接点2v；1②以邻接点v为起点，找到2v邻接的最小边值，如果最小边值2比v邻接的所有边值都小(除已连接的边值)，直接连接，否则退回1v，1连接v现在的最小边值(除已连接的边值)；1③重复操作，直到所有节点都被访问过一次；24.关键路径例2 求PERT图中各顶点的最早完成时间, 最晚完成时间, 缓冲时间及关键路径.解：最早完成时间TE(v1)=0TE(v2)=max{0+1}=1TE(v3)=max{0+2,1+0}=2TE(v4)=max{0+3,2+2}=4TE(v5)=max{1+3,4+4}=8TE(v6)=max{2+4,8+1}=9TE(v7)=max{1+4,2+4}=6TE(v8)=max{9+1,6+6}=12 最晚完成时间TL(v8)=12TL(v7)=min{12-6}=6TL(v6)=min{12-1}=11TL(v5)=min{11-1}=10TL(v4)=min{10-4}=6TL(v3)=min{6-2,11-4,6-4}=2 TL(v2)=min{2-0,10-3,6-4}=2 TL(v1)=min{2-1,2-2,6-3}=0 缓冲时间TS(v1)=0-0=0TS(v2)=2-1=1TS(v3)=2-2=0TS(v4)=6-4=2TS(v5=10-8=2TS(v6)=11-9=2TS(v7)=6-6=0TS(v8)=12-12=0关键路径: v1-v3-v7-v825.欧拉路：经过图中每条边一次且仅一次的通路；欧拉回路：经过图中每条边一次且仅一次的回路；欧拉图：具有欧拉回路的图；单向欧拉路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路；欧拉单向回路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路；26.（1）无向图中存在欧拉路的充要条件：①连通图；②有0个或2个奇数度节点；（2）无向图中存在欧拉回路的充要条件：①连通图；②所有节点度数均为偶数；（3）连通有向图含有单向欧拉路的充要条件：①除两个节点外，每个节点入度=出度；②这两个节点中，一个节点的入度比出度多1，另一个节点的入；度比出度少1；（4）连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件：图中每个节点的出度=入度；27.哈密顿路：经过图中每个节点一次且仅一次的通路；哈密顿回路：经过图中每个节点一次且仅一次的回路；哈密顿图：具有哈密顿回路的图；28.判定哈密顿图（没有充要条件）必要条件：任意去掉图中n个节点及关联的边后，得到的分图数目小于等于n；充分条件：图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数；29.哈密顿图的应用：安排圆桌会议；方法：将每一个人看做一个节点，将每个人与和他能交流的人连接，找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路(哈密顿图)，即可；30.平面图：将图形的交叉边进行改造后，不会出现边的交叉，则是平面图；31.面次：面的边界回路长度称为该面的次；32.一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍；33.欧拉定理：假设一个连通平面图有v个节点，e条边，r个面，则 v-e+r=2；34.判断是平面图的必要条件：(若不满足，就一定不是平面图)设图G是v个节点，e条边的简单连通平面图，若v>=3，则e<=3v-6；35.同胚：对于两个图G1,G2，如果它们是同构的，或者通过反复插入和除去2度节点可以变成同构的图，则称G1，G2是同胚的；36.判断G是平面图的充要条件：图G不含同胚于K3.3或K5的子图；37.二部图：①无向图的节点集合可以划分为两个子集V1，V2；②图中每条边的一个端点在V1，另一个则在V2中；完全二部图：二部图中V1的每个节点都与V2的每个节点邻接；判定无向图G为二部图的充要条件：图中每条回路经过边的条数均为偶数；38.树：具有n个顶点n-1条边的无回路连通无向图；39.节点的层数：从树根到该节点经过的边的条数；40.树高：层数最大的顶点的层数；41.二叉树：①二叉树额基本结构状态有5种；②二叉树内节点的度数只考虑出度，不考虑入度；③二叉树内树叶的节点度数为0，而树内树叶节点度数为1；④二叉树内节点的度数=边的总数(只算出度)；握手定理“节点数=边的两倍”是在同时计算入度和出度的时成立；⑤二叉树内节点的总数=边的总数+1；⑥位于二叉树第k层上的节点，最多有12 k个(k>=1)；⑦深度为k的二叉树的节点总数最多为k2-1个，最少k个(k>=1)；⑧如果有n个叶子，2n个2度节点，则0n=2n+1；42.二叉树的节点遍历方法：先根顺序（DLR）；中根顺序（LDR）；后根顺序（LRD）；43.哈夫曼树：用哈夫曼算法构造的最优二叉树；44.最优二叉树的构造方法：①将给定的权值按从小到大排序；②取两个最小值分支点的左右子树(左小右大)，去掉已选的这两个权值，并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值；③重复②，直达所有权值构造完毕；45.哈夫曼编码：在最优二叉树上，按照左0右1的规则，用0和1代替所有边的权值；每个节点的编码：从根到该节点经过的0和1组成的一排编码；欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。
《离散数学》谓词逻辑
§3.5 前束范式
§3.6 谓词逻辑的推理
4
谓词与量词
个体词（individual）是一个命题里表示思维
对象的词，表示独立存在的具体或抽象的客体
具体的、确定的个体词称为个体常项，一般用
a, b, c 表示
抽象的、不确定的个体词称为个体变项，一般
用 x, y, z 表示
个体变项的取值范围称作个体域或论域
那么在解释2下该命题是真命题。
24
谓词公式及分类
类似于命题逻辑，也可以对谓词逻辑
公式进行分类：
设 A 为一个谓词公式，若 A 在任何解
释下真值均为真，则称 A 为普遍有效
的公式或逻辑有效式（logically valid
formula）
例
(x)
(P(x)∨P(x))
(x) P(x) P(y)
第三章 谓词逻辑
《离散数学及应用》
第三章 谓词逻辑
苏格拉底三段论：
凡是人都是要死的。
苏格拉底是人。
所以苏格拉底是要死的。
p∧q r
重言式？正确的推理？
2
第三章 谓词逻辑
为了克服命题逻辑的局限性，引入了
3
谓词和量词对原子命题和命题间的相
互关系做进一步的剖析，从而产生了
为谓词。这是一元（目）谓词，以
P(x), Q(x), …表示。
例
Human
(Socrates)
Mortal (Socrates)
7
谓词与量词
如果在命题里的个体词多于一个，那
么表示这几个个体词间的关系的词称
作谓词。这是多元（目）谓词，有 n
个个体的谓词 P(x1, …, xn) 称 n 元（目）
2011离散数学作业10_谓词逻辑
离散数学作业作业10 ——第3章谓词逻辑1. 利用谓词公式翻译下列命题。
(1)所有人都是要呼吸的。
解：M(x):x是人；F(x):x是要呼吸的。
(∀x)(M(x)→F(x))(2)任何整数或是正的或是负的。
解：Z(x):x是整数；P(x):x是正的； N(x):x是负的。
(∀x)(Z(x)→P(x)∨N(x))(3)存在一些数是质数。
解：Z(x):x是数；P(x):x是质数。
(∃x)(Z(x)∧P(x))(4)一些人是聪明的。
解：M(x):x是人；F(x):x是聪明的。
(∃x)(M(x) ∧F(x))(5)并非每个实数都是有理数。
解：R(x):x是实数；Q(x):x是有理数。
(∃x)(R(x) ∧┐Q(x))或者┐(∀x)(R(x)→Q(x))(6) 如果有限个数的乘积是零，那么至少有一个因子等于零；解：E(x):x是有限个数的乘积；F(y,x): y是x的一个因子； Z(x):x 是零。
(∀x)（E(x) ∧Z(x) →(∃y)(F(y,x) ∧Z(y))）(7) 对于每一个实数x，存在一个更大的实数y；解：R(x):x是实数；Q(x,y):x比y大。
(∀x)(R(x)→(∃y)( R(y) ∧Q(y,x)))(8) 存在实数x,y和z，使得x与y之和大于x与z之积；解：R(x):x是实数；Q(x,y):x比y大; f(x,y)=x+y;g(x,y)=xy。
(∃x)(∃y)(∃z)(R(x) ∧ R(y) ∧ R(z) ∧Q(f(x,y),g(x,y)))2. 取个体域为实数集R ，函数f 在a 点连续的定义是：f 在点连续，当且仅当对每个a 0>ε，存在一个0>δ，使得对所有x ，若δ<−a x ，则()()ε<−a f x f 。
把上述定义用符号化的形式表达。
解：设个体域为全体实数，令Q(x,y):x比y大； g 1(x)=a-x; g 2(x)=a+x; f 1(x)=f(a)- ε; f 2(x)=f(a)+ε,则(∀ε)(Q(ε,0)→(∃δ)(Q(δ,0)∧(∀x) (Q(x,g 1( δ))∧Q(g 2 (δ),x)→Q(f(x),f 1(ε))∧Q(f(x), f 2(ε))))。
离散数学谓词
离散数学谓词离散数学是一门研究离散对象和离散结构的数学分支，是计算机科学中的基础课程之一。
谓词是离散数学中的一个重要概念，本文将介绍谓词的概念、性质、表示方法、逻辑联结词和量化符号。
一、谓词的概念谓词是用来描述某些对象的性质的一种符号。
常用的谓词有“是”、“属于”、“含有”等等。
例如，对于集合A={1,2,3}，可以定义一个谓词P(x)，表示x是A中的元素。
则P(1)、P(2)、P(3)为真，而P(4)为假。
谓词可以有多个自变量，例如，对于两个正整数x和y，可以定义一个谓词R(x,y)，表示x是y的因子。
则R(1,5)、R(2,10)、R(5,25)为真，而R(3,5)、R(4,10)、R(6,25)为假。
二、谓词的性质1. 谓词的真值只能是真或假，不能是其他值。
2. 谓词的真值取决于自变量的取值。
3. 谓词可以用逆否命题、否命题、等价命题、充分条件等概念进行推理。
三、谓词的表示方法1. 用符号表示，谓词一般用大写字母表示，例如，P(x)、Q(x,y)。
2. 用语言表示，例如，对于集合A={1,2,3}，可以用语言表示为“x是A中的元素”。
3. 用图形表示，例如，对于一个人集合P，可以用图形表示为：四、逻辑联结词逻辑联结词是用来连接两个或多个命题的词语，例如，“与”、“或”、“非”等。
在离散数学中，逻辑联结词常用于对谓词进行逻辑推理。
1. 与（$\land$）：表示“且”，两个命题都为真时，结果为真，否则结果为假。
五、量化符号量化符号是用来表达命题中“每个”或“存在”的词语，是谓词逻辑中的一个重要概念。
常用的量化符号有全称量词和存在量词。
1. 全称量词（ $\forall$）：表示“对于任意”，例如，$\forall x\in A, P(x)$表示对于集合A中的任意元素x，都有P(x)为真。
六、总结离散数学中的谓词是一个非常重要的概念，它可以用来描述对象的性质，同时也是谓词逻辑的基础。
要想深入理解离散数学，就必须对谓词有深入的认识和理解。
离散数学的谓词逻辑详解
全称量词:
1.全称量词 ： （任意，所有） x: “对一切x”，“对所有的x”， “对任一x”
如： x P(x) ┐ x P(x) x ┐ P(x)
“对一切x，P(x)是真” “并非对一切x，P(x)是真” “对一切x， ┐ P(x) 是真”
如: “ 所有人都是要死的”
于是令 M（x）：x是人。 （1） x（M(x)→D(x)) （2） x (M（x）∧ ┐G（x））
命题符号化(翻译)：
将汉语(或其他自然语言)语句翻译成逻辑表 达式，这在数学、逻辑编程、人工智能、软 件工程以及许多其他学科中都是一项重要的 任务。翻译的目的是生成简单而有用的逻辑 表达式。
命题符号化：
1.谓词与个体词
将简单命题分解成个体与谓词这样两个组成部分。谓词，通 常是用来描述个体的性质或特征，或者个体之间的关系。谓 词逻辑，是命题逻辑的扩充与发展 。
例1：下面两个命题 1. 张华是学生 2. 李明是学生
a: 张华 b:李明 H：是学生 ，则 H（x）:x是学生
1，2可分别表示成 H(a) ，H(b). 这样表示就揭示了两命题间有相同的谓语这一特征。
变元的约束
例1 ： 令 P（x， y）：“ x<y ”， Q（x）：x是有理数； F（x）：x可以表示为分数。
判断下列式子那些是命题函数，那些是命题？
P(x， y)
P(x， y)∧Q(x)
Q(x) → F(x) x（Q(x)→ F(x)) x Q(x)→ F(x)
自由变元与约束变元
[定义] 紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖 域．(量词的辖域是紧接其后的公式，除非辖域是个 原子公式，否则应在公式的两侧插入圆括号。)
离散数学谓词逻辑
VS
复合命题
由原子命题通过逻辑运算符组合而成的命 题，如“John is a student and Mary is a teacher”
逻辑运算符和括号的使用
逻辑运算符
and（合取）、or（析取）、not（否定）、if...then（蕴含）等
括号的使用
对于复杂的命题，需要使用括号来表示逻辑运算的优先级
逻辑模型
通过建立合适的逻辑模型，将实际问题转 化为逻辑推理问题，从而得到最优解或可 行解。
06
总结与展望
离散数学谓词逻辑的重要性和应用价值
离散数学谓词逻辑是计算机科学、人 工智能、通信工程、应用数学等多个 学科领域的基础工具，对于解决这些 领域的问题具有重要的应用价值。
离散数学谓词逻辑提供了一种描述客 观世界中离散结构及其性质的方式， 可以用来刻画和解释计算机科学中的 数据结构和算法、人工智能中的知识 表示和推理等问题。
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离散数学中的逻辑推理方法
演绎推理
定义
演绎推理是根据某些前提，通过推理得出结论的思维 方式。在离散数学中，演绎推理通常涉及逻辑推理、 集合推理、量词推理等。
形式化
演绎推理通常采用的形式是三段论，即大前提、小前 提和结论三个部分。例如，所有的偶数都是整数（大 前提），4是偶数（小前提），所以4是整数（结论） 。
蕴含
用if...then或者⇒表示，如“if John is a student, then Mary is a teacher”
逻辑量词：全称量词和存在量词
全称量词
用for all或者∀表示，如“for all x, x>0”
存在量词
用exists或者∃表示，如“exists x, x>0”
离散数学 谓词逻辑
例1 给定解释I1如下：
(1)个体域为自然数集合N； (2)N中的特定元素a=0； （3）F(x,y):x大于或等于y. 在解释I1下,求下列各式的真值： (1)(∀x)F(x,a)；(2)(∀x∃y)F(x,y) 解 在解释I1下,公式分别解释为： (1)任何自然数都大于或等于零, 为真命题.
(2)对任一自然数x,都存在一自然数y使得x≥y, 为真命题.
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例子
［例2-1.1］ 张明是位大学生。 解：设S(x)：x是大学生,c：张明, 一元谓词：表 则原句的谓词形式为S(c)。 示客体性质 ［例2-1.2］我坐在张三和李四中间。 解：设S(x,y,z)：x坐在y和z之间,i：我,z：张 三,l：李四, 多元谓词：表 示客体间关系 则原句的谓词形式为S(i,z,l)。
★从以上两命题的符号化可以看出,同一命题在不同个体域下 符号化的形式可能不同。
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这里,M(x)称为特性谓词。应该注意 的是,全称量词和存在量词符号化时,引入 特性谓词时的形式是不同的。 用全称量词 符号化时,特性谓词作为条 件式的前件； 用存在量词符号化时则作为合取式的一 项。
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对于任一给定的实数x,都存在着一个实数y,使得 x+y=0。 如果取个体域为实数集合 ∀ x ∃ y H(x, y ) 然而 ∃ y ∀ x H(x, y )： 存在着一个少数y,对于任一实数x,使得x+y=0
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谓词的表示
客体词有两种：客体常元和客体变元。客体常 元表示具体的或特定的客体,一般用小写字母 a、b、c等表示；表示抽象的或泛指的客体的 词称为客体变元,常用小写字母x、y、z等表 示。 谓词,通常用大写的字母A、B、C等表示。
谓词填式：单独一个谓词不是完整的命题, 把谓词字母后填以客体所得的式子。
离散数学谓词逻辑
离散数学谓词逻辑以《离散数学谓词逻辑》为标题，写一篇3000字的中文文章离散数学谓词逻辑（Discrete Mathematics Predicate Logic）是一种非常灵活的数学抽象思维方式，它是用来描述关系的基本逻辑形式。
例如，假设我们有三个人，分别叫做张三、李四和王五，我们可以用离散数学谓词逻辑来描述他们之间的关系。
假设张三、李四和王五是同学，则可以用这样一个谓词逻辑来表示：S(x,y)：表示x和y是同学，x代表一个人，y代表另一个人。
根据谓词逻辑S(x,y)，可以得出如下结论：1、张三和李四是同学，即S(张三,李四)；2、李四和王五是同学，即S(李四,王五)；3、王五和张三不是同学，即~S(王五,张三)，其中“~”表示“取反”，即不成立。
离散数学谓词逻辑的基本概念是由著名数学家许渊冲和英国数学家华罗庚于二十世纪六十年代提出的，它可以用来描述各种复杂系统中的关系和行为规律。
这种数学谓词逻辑是数学逻辑学的一个分支，它将用谓词表达式描述各种复杂的逻辑关系，给出关系的结论。
离散数学谓词逻辑的有点在于，它可以用很详细的方式来描述事实，而且它也可以很容易地描述复杂的系统中的关系和行为规律。
另外，它也是一种很有效的推理工具，可以用来检验某种行为是否符合逻辑规则，从而推断结论。
例如，假设我们有一个机器人A，它可以根据程序执行以下动作：当检测到红色条件时，机器人A会移动到目标地点。
为了模拟这种情况，我们可以定义一组谓词来表示：R(x,y)：表示x处有红色条件，y代表一个位置；M(x,y)：表示x可以移动到y，x代表一个对象，y代表一个位置。
根据上面的谓词表达式，如果给定以下情况：当机器人A检测到位置a处有红色条件时，它应该移动到第b位置，那么我们可以用谓词逻辑来表示：R(a,b)∧M(a,b)，其中“∧”表示“与”，即同时符合R(a,b)与M(a,b)的条件才行。
离散数学谓词逻辑不仅可以用于描述系统中的关系和行为规律，而且还可以用于复杂系统的建模与推理，它在计算机科学中尤为重要。
同等学力-离散数学-真题库-章节分类
同等学力申硕-计算机专业-离散数学-题库一，命题逻辑1.1，命题符号化1，个体域为{a, b, c}，将下列公式写成命题逻辑公式(∀x)P(x)→(∃y)Q(y) (2019/2021年真题)∀: 表示所有的，一切的，全称量词；∃: 表示存在1个，至少有1个，存在量词解：个体域{a,b,c}对于逻辑命题量词∀x所有的，即是个体域做合取计算；个体域{a,b,c}对于逻辑命题量词∃y至少有1个，即是个体域做析取计算；因此得：(P(a)∧P(b)∧P(c))→(Q(a)∨Q(b)∨Q(c))。
2，定义P↑Q=¬(P⋀Q),试仅用与非联结词↑分别表示出。
(2013/2020年真题) (1) ¬P; (2) P⋀Q; (3) P⟶Q; 均要求结果简洁。
解：命题联结词(1) ¬P =¬(P⋀P)=P↑P。
(2) P⋀Q =¬(P↑Q)=(P↑Q)↑(P↑Q)。
(3) P⟶Q=¬P⋁Q =¬(P⋀¬Q)=P↑¬Q =P↑(Q↑Q)。
3，定义P↓Q=∅(P⋁Q),试仅用联结词↓分别表示出。
(2023年真题)(1) ∅P; (2) P⋀Q; (3) P⋁Q; 均要求结果简洁。
解：命题联结词(1) ∅P = ∅(P⋁P)=P↓P。
(2) P⋀Q = ∅(∅P⋁∅Q) =∅P↓∅Q =(P↓P)↓(Q↓Q)。
(3) P⋁Q=∅(P↓Q)=(P↓Q)↓(P↓Q)。
1.2，主析取/主合取范式2、计算下式的主析取范式和主合取范式(¬P∨Q)→(Q∧¬R)写出求解步骤，结果用极小项和极大项数字表示简洁形式。
(2019/2021年真题)解：(¬P∨Q)→(Q∧¬R)⟺m2∨m4∨m5∨m6则主合取范式为：取真值表中结果为0-假的极大项及下标，用合取∧符号组成。
(¬P∨Q)→(Q∧¬R)⟺M0∧M1∧M3∧M7方法二：公式推导求解：(¬P∨Q)→(Q∧¬R)⟺¬(¬P∨Q)∨(Q∧¬R)蕴涵式⟺(P∧¬Q)∨(Q∧¬R)德摩根律⟺((P∧¬Q)∧(R∨¬R))∨((P∨¬P)∧(Q∧¬R))补齐3个命题变元，同一律，排中律⟺((P∧¬Q∧R)∨(P∧¬Q∧¬R))∨((P∧Q∧¬R)∨(¬P∧Q∧¬R))分配律⟺(P∧¬Q∧R)∨(P∧¬Q∧¬R)∨(P∧Q∧¬R)∨(¬P∧Q∧¬R)结合律则主析取范式为：给极小项编码下标，按照3个命题变元真值编码，用析取∨符号组成。
离散数学谓词逻辑python
离散数学谓词逻辑python离散数学是计算机科学的基础学科之一，而谓词逻辑是离散数学中的重要内容之一。
谓词逻辑是一种描述事物之间关系的形式化语言，它使用谓词和变量来表达命题和推理关系。
在计算机科学中，谓词逻辑常用于描述和推理程序的正确性和性能等问题。
在本文中，我们将介绍如何使用Python来处理谓词逻辑。
在Python中，我们可以使用一些库来处理谓词逻辑。
其中一个常用的库是`pyDatalog`，它提供了一种简洁而强大的语法来表示和计算谓词逻辑。
让我们通过一个例子来说明如何使用`pyDatalog`来处理谓词逻辑。
假设我们有一个谓词逻辑的知识库，其中包含了一些事实和规则。
我们可以使用`pyDatalog`来定义这些事实和规则，并进行查询。
首先，我们需要导入`pyDatalog`库：```pythonfrom pyDatalog import pyDatalog```然后，我们可以定义一些谓词和变量。
例如，我们可以定义一个叫做`father`的谓词，它接受两个参数，表示父亲和儿子之间的关系：```pythonpyDatalog.create_terms('father, X, Y')```接下来，我们可以定义一些事实和规则。
例如，我们可以定义一个事实，表示“Tom是John的父亲”：```python+father('Tom', 'John')```我们还可以定义一个规则，表示如果A是B的父亲，那么B是A的儿子：```pythonfather(X, Y) <= father(Y, X)```现在，我们可以对这个谓词逻辑进行查询。
例如，我们可以查询谓词`father`，找出所有的父子关系：```pythonprint(father(X, Y))```运行上述代码，我们可以得到结果`father('Tom', 'John')`，表示Tom是John的父亲。
谓词逻辑 离散数学
实例3
例3 在谓词逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域 (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y)) (2) 令F(x)：x是无理数，G(y)：y是有理数，L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y)) 可见：命题符号化在谓词逻辑中不是唯一的。
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实例4
例4 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 没有不呼吸的人 (2) 不是所有的人都喜欢吃糖 解 (1) F(x): x是人, G(x): x呼吸
x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x))
(2) F(x): x是人, G(x): x喜欢吃糖 x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x))
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约束变元换名（2/2）
例 对(x)(P(x)R(x,y))Q(x,y)换名。 解：可换名为：(z)(P(z)R(z,y))Q(x,y)。 但是不能换名为：(y)(P(y)R(y,y))Q(x,y)、 (z)(P(z)R(x,y))Q(x,y)。
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自由变元代入（1/2）
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实例2
例 2 在谓词逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域 解 (a) (1) xG(x), G(x)：x爱美 (2) xG(x), G(x)：x用左手写字 (b) F(x)：x为人，G(x)：x爱美 (3) x(F(x)G(x)) （对 ，特性谓词做蕴含的前件） (4) x(F(x)G(x)) （对 ，特性谓词做合取项） 1. 引入特性谓词F(x) ，用于限制全总个体域的范围； 2. (3),(4)是谓词逻辑中两个“基本”公式。
离散数学习题课-谓词逻辑
练习2 练习
(4) 没有不爱吃糖的人。 没有不爱吃糖的人。 是人， 设F(x): x是人，G(x): x爱吃糖 是人 爱吃糖 ¬∃x(F(x)∧¬ ∧¬G(x)) 或 ∀x(F(x)→G(x)) ¬∃ ∧¬ → (5) 任何两个不同的人都不一样高。 任何两个不同的人都不一样高。 F(x):x是人 是人, x与y相同 相同, x与y一样高 设F(x):x是人, H(x,y), x与y相同, L(x,y): x与y一样高 →∀y(F(y)∧¬ ∧¬H(x,y)→¬ →¬L(x,y))) ∀x(F(x)→∀ →∀ ∧¬ →¬ ∧¬H(x,y)→¬ →¬L(x,y)) 或 ∀x∀y(F(x)∧F(y)∧¬ ∀ ∧ ∧¬ →¬ (6) 不是所有的汽车都比所有的火车快。 不是所有的汽车都比所有的火车快。 是汽车, 是火车, 设F(x):x是汽车 G(y):y是火车 H(x,y):x比y快 是汽车 是火车 比 快 ¬∀x∀y(F(x)∧G(y)→H(x,y)) ¬∀ ∀ ∧ → ∧¬H(x,y)) 或 ∃x∃y(F(x)∧G(y)∧¬ ∃ ∧ ∧¬
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习题课-谓词逻辑 习题课 谓词逻辑(2) 谓词逻辑
主要内容 一阶逻辑等值式
基本等值式，置换规则、换名规则、 基本等值式，置换规则、换名规则、代替规则
前束范式 推理的形式结构 自然推理系统N 自然推理系统 L
推理定律、 推理定律、推理规则
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习题课-谓词逻辑 习题课 谓词逻辑(2) 谓词逻辑
基本要求 深刻理解并牢记一阶逻辑中的重要等值式, 深刻理解并牢记一阶逻辑中的重要等值式 并能准确而熟练地应用它们． 并能准确而熟练地应用它们． 熟练正确地使用置换规则、换名规则、 熟练正确地使用置换规则、换名规则、代 替规则． 替规则． 能够理解公式的前束范式． 能够理解公式的前束范式． 深刻理解自然推理系统N 的定义，牢记N 深刻理解自然推理系统 L 的定义，牢记 L 中的各条推理规则，特别是注意使用∀− ∀−、 中的各条推理规则，特别是注意使用∀−、 条推理规则的条件． ∀+、∃+、∃− 4条推理规则的条件． 、 、 条推理规则的条件 能正确地给出有效推理的证明． 能正确地给出有效推理的证明．
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结离散数学是数学中的一个分支，研究离散对象及其关系的数学理论。
它与连续数学形成鲜明的对比，连续数学主要研究连续对象和其性质。
离散数学在计算机科学、信息科学、电子工程等领域具有重要的应用价值。
下面将对离散数学的主要知识点进行总结。
1.命题逻辑：命题逻辑研究由命题符号组成的复合命题及其逻辑关系。
其中命题是一个陈述性的语句，可以是真或假。
命题逻辑包括命题的逻辑运算、真值表、命题的等价、充分必要条件等。
2.谓词逻辑：谓词逻辑是对命题逻辑的扩充，引入了量词、谓词和项。
它的研究对象是命题函数，可以表示个体之间的关系。
谓词逻辑包括谓词的运算、量词的运算、公理化和推理规则等。
3.集合论：集合论是研究集合及其操作的数学分支。
集合是一种由确定的对象组成的整体。
集合论包括集合的基本运算（交、并、差、补）、集合的关系（包含、相等、子集、真子集）以及集合的运算律和推导定理等。
5.组合数学：组合数学是研究物体的组合与排列问题的数学分支。
它包括排列、组合、分配、生成函数等内容，经常应用于计数和概率问题中。
6.图论：图论是用来描述物体间其中一种关系的图形结构的数学理论。
它研究的对象是由顶点和边构成的图，包括无向图、有向图、带权图等。
图论研究的内容包括图的性质、连通性、路径、回路、树、图的着色等。
7.代数系统：代数系统是一种由一组元素及其相应的运算规则构成的数学结构。
常见的代数系统有群、环、域、格等，它们分别研究了集合上的不同运算规律和结构。
8.布尔代数：布尔代数是一种应用于逻辑和计算机的代数系统。
它以真和假为基础，通过逻辑运算（与、或、非）构成了布尔代数。
布尔代数在计算机硬件设计和逻辑推理中广泛应用。
9.图的同构与图的着色：图的同构是指两个图在结构上相同，也就是说，它们具有相同的顶点和边的连接关系。
图的同构判断是一个NP难问题，需要借助于图的着色等方法来判断。
图的着色是给图的顶点分配颜色，使得相邻顶点的颜色不同。
离散数学_谓词逻辑
(3) 当个体域为全体整数的集合时： 令P(x): x是正的。N(x): x是负的。则（3）符 号化为 （x）(P(x)∨N(x)) 当个体域为全总个体域时： 令I(x): x是整数。则（3）符号化为 （x）(I(x)(P(x)∨N(x))).
全称量词的一些重要性质： 设P是任意的命题，F(x)与A(x,y)均为谓词， 则有：
【例】设 P 表示命题：张辉是工人。 Q 表示命题：李明是工人。 仅仅从命题符号 P 和 Q 看不出张辉和李明 都是工人这一特性。 【例】 x=3 ? x+y=z ? f(x)=0 ?
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.1 谓词的概念与表示(Predicate and Its Expression)
2.1 谓词的概念与表示(Predicate and Its Expression) 谓词：用来刻划个体的性质或个体之间的相互关系的词。 例如在下面命题中： （1）张明是个劳动模范。 （2）李华是个劳动模范。 刻划客体的性质 （3）王红是个大学生。 （4）小李比小赵高2cm。 （5）点a在b与c之间。 刻划客体之间的相互关系 （6）阿杜与阿寺同岁。 （7） x与y具有关系L。 “是个劳动模范”、“是个大学生”、“…比…高2cm”、 “… 在…与…之间”、“…与…具有关系L”都是谓词。
2.1 谓词的概念与表示(Predicate and Its Expression)
（2）当个体域为人类集合时： 令G(x): x活百岁以上。则（2）符号化为 （ x）G(x) 当个体域为全总个体域时： 令M(x): x是人。则（2）符号化为 （x） (M(x) ∧ G(x))
存在量词的一些重要性质： 设P是任意的命题，F(x)与A(x,y)均为谓词， 则有：
离散数学知识点归纳
离散数学知识点归纳一、集合论。
1. 集合的基本概念。
- 集合是由一些确定的、彼此不同的对象组成的整体。
这些对象称为集合的元素。
例如，A = {1,2,3}，其中1、2、3是集合A的元素。
- 集合的表示方法有列举法（如上述A的表示）和描述法（如B={xx是偶数且x < 10}）。
2. 集合间的关系。
- 子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆ B。
例如，{1,2}⊆{1,2,3}。
- 相等：如果A⊆ B且B⊆ A，则A = B。
- 真子集：如果A⊆ B且A≠ B，则A是B的真子集，记作A⊂ B。
3. 集合的运算。
- 并集：A∪ B={xx∈ A或x∈ B}。
例如，A = {1,2}，B={2,3}，则A∪B={1,2,3}。
- 交集：A∩ B = {xx∈ A且x∈ B}。
对于上述A和B，A∩ B={2}。
- 补集：设全集为U，集合A相对于U的补集¯A=U - A={xx∈ U且x∉ A}。
二、关系。
1. 关系的定义。
- 设A、B是两个集合，A× B的子集R称为从A到B的关系。
当A = B时，R称为A上的关系。
例如，A={1,2}，B = {3,4}，R={(1,3),(2,4)}是从A到B的关系。
2. 关系的表示。
- 关系矩阵：设A={a_1,a_2,·s,a_m}，B={b_1,b_2,·s,b_n}，R是从A到B的关系，则R的关系矩阵M_R=(r_ij)，其中r_ij=<=ft{begin{matrix}1,(a_i,b_j)∈ R0,(a_i,b_j)∉ Rend{matrix}right.。
- 关系图：对于集合A上的关系R，用节点表示A中的元素，若(a,b)∈ R，则用有向边从a指向b。
3. 关系的性质。
- 自反性：对于集合A上的关系R，如果对任意a∈ A，都有(a,a)∈ R，则R 是自反的。
例如，A={1,2,3}，R = {(1,1),(2,2),(3,3)}是自反关系。
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练习题: 在谓词逻辑中将下列命题符号化 。
（1）乌鸦都是黑色的。 令H(x): x是乌鸦。W(x): x是黑色的。 则符号化为： x (H(x) W(x)) （2）有的人天天锻炼身体。 令H(x): x是人。W(x): x天天锻炼身体。 则符号化为： x(H(x)∧ W(x))
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10.2 谓词公式
存在唯一量词：“存在唯一的”、“恰有一个”等，符
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4、基于谓词逻辑的命题符号化 例：在谓词逻辑中将下列命题符号化。
（1）凡是人都呼吸。 （2）有的人是左撇子。 ① 当个体域为人类集合时： 令F(x): x呼吸。G(x): x是左撇子。则 （1）xF(x) (2) xG(x) ② 当个体域为全总个体域时： 令F(x): x呼吸。G(x): x是左撇子。M(x): x是 人。则 （1）x(M(x) F(x)) (2) x(M(x)∧ G(x))
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例：在谓词逻辑中将下列命题符号化。
（1）所有的人都长头发。 （2）有的人吸烟。 解：令 M(x): x是人。 （1） 令F(x): x长头发。则符号化为： x(M(x) F(x)) （2） 令S(x): x吸烟。则符号化为： x(M(x)∧S(x))
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例：在谓词逻辑中将下列命题符号化。
一、谓词公式 定义
（谓词公式的递归定义）
( 1）命题常元、命题变元和简单命题函数都是谓词公式。
（2）如果A是谓词公式，则 רA也是谓词公式。
（3）如果A和B是谓词公式，则（A∨B）、(A∧B）、
(A →B) 、(A↔ B) 也是谓词公式。 xA 和 xA 也是谓词公式。
（4）如果A是谓词公式，x是A中的个体变元，则
不相同。 例 对公式 （y （ P(x, y)∧ z Q(x, z)）） ∨ x R(x, y) 中的自由变元x 带入
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三、换名规则和代入规则
一个公式的约束变元的符号无关紧要，因此可以换名， 但需遵守一定规则
1. 换名规则
（ 1）约束变元换名时，该变元在量词及其辖域中的所有出现 均须同时更改，公式的其余部分不变； （2）换名时，一定要更改为该量词辖域中没有出现过的符号， 最好是公式中未出现过的符号。 例 对公式 x （ P(x)∧ Q(x, y)变元称为自由变元 。
令Q（x）：x是有理数；F（x）：x可以表示为分数
这是一个真值确定的命题。
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例
指出下列各公式中的量词辖域及自由变元和
约束变元。 （1）x P(x)
→
y R(x, y) ；
（2） x （ P(x) ∧ Q(x)） ； （3） x P(x) ∧ Q(x)
2
原因是：P,Q,R这样的表示太粗略，没有把 它们之间的内在联系反映出来。 办法：要反映这种内在联系，就要对原子命 题作进一步的分析，分析出其中的客体、谓 词、量词等，研究它们之间的形式结构及逻 辑关系，总结出正确的推理形式和规则。 这就是谓词逻辑所研究的内容。 谓词逻辑也叫一阶逻辑。
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一个公式的自由变元的符号也允许更改，这种更改称为 带入，需遵守一定规则 2. 代入规则：
（1）对于谓词公式中的自由变元, 可以代入，代入时须 对该自由变元的所有自由出现同时进行代入；
x(P(x, y) yQ (x, y, z) ) S(x, z) （2）代入时所选用的变元符号与原公式中所有变元的符号
第10章 谓词逻辑
为什么要研究谓词逻辑？ ① 为了刻画命题内部的逻辑结构。 命题逻辑中主要研究命题和命题演算，原 子命题是命题演算的基本单位。 命题逻辑不再对原子命题进行分解 两个原子命题之间，常常有一些共同特征。 例如：张三是个大学生，李四是个大学生。 但命题逻辑却无法研究命题内部的逻辑结 构及命题之间的内在联系。
xA
xA
（5）只有由使用上述四条规则有限次而得到的才是谓词公式。
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例1 x (H(x) W(x)) ( x（M（x）→ D（x））∧ M（a）) → D（a）
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二、辖域、约束变元和自由变元
定义
在谓词公式 xA(x) 和 xA(x) 中，x称为量词的指
导变元，而公式A(x)称为量词的辖域。在x 和 x 的辖域 中，x的所有出现称为约束出现 ，且x称为约束变元，而
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例：在谓词逻辑中将下列命题符号化 。
（1）兔子比乌龟跑得快。 （2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。 解：令 H(x): x是兔子。W(y):y是乌龟。 K(x,y):x比y跑得快。 则符号化为： （1）x y(H(x)∧ W(y) K(x,y))
（2） x (H(x)∧ y(W(y) K(x,y)))
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（4）有些命题的符号化形式不止一种。 例 在谓词逻辑中将下列命题符号化 。 （1）没有不能表示为分数的有理数。 解：（1）令 H(x): x是有理数。 W(x):x能表示成分数。 则符号化为： x (H(x) W(x)) 或 רx(H(x)∧ רW(x))
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苏格拉底三段论： 凡是人都是 要死的。 苏格拉底是人。 苏格拉底是要死的。 设：M(x):x是人。D(x):x是要死的。 a:苏格拉底。 则符号化为： x(M(x)D(x)) ∧M(a) D(a)
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10.1 谓词、个体和量词
基本知识点：
1、个体词 2、谓词 3、量词 4、基于谓词逻辑的命题符号化
4
10.1 谓词、个体和量词
基本概念： 1、个体词：可以独立存在的具体的或抽象的客体 个体常元：具体的或特定，一般用a,b,c,…表示 个体变元：抽象的或泛指的，一般用x,y,z,…表示 个体域：个体变元的取值范围： 全总个体域:由宇宙间一切事物组成的.
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谓词分类： 谓词常元：表示具体性质或关系的谓词 如上例中F、G、H等命题 谓词变元：表示抽象或泛指性质或关系的谓 词 如上例中L命题
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由一个谓词和若干个个体变元组成的表 达式称为简单命题函数；由 n元谓词 P和 n 个个体变元x1 , x2 , …, xn 组成的命题函数， 表示为 P(x1 , x2 , …, xn) 。由一个或若干个 简单命题函数以及逻辑联结词组成的的命 题形式称为复合命题函数。 注意： 不带任何个体变元的谓词称为 0 元谓词。 命题逻辑中的命题可看成是0元谓词。
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2、谓词 用来描述个体词性质或个体词之间相互 关系的词。 例: (1)3是有理数。 (2)x是无理数。 (3)小李与小王同岁。 (4)x与y有关系L。 其中“ … 是有理数”、“ … 是无理数”、 “ … 与 … 同岁”、 “ … 与 … 有关系 L” 均 为谓词。
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将上述谓词分别记作大写字母 F、G、H、L， 则上述可表示为： (1)F(3) (2)G(x) (3)H(a,b) a:小李。b:小王。 (4)L(x,y)
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② 命题逻辑在推理方面存在局限性，有些简单的论断也不 能用命题逻辑进行推证。 例如无法判断著名的“苏格拉底三段论”的正确性。 苏格拉底三段论： 令 P:所有的人都是要死的， Q:苏格拉底是人， R:所以苏格拉底是要死的。 在命题逻辑中，只能用 （P ∧ Q） R 表示上述命题， 但它不是重言式。 所以，这个简单而著名的论断就无法用命题逻辑予以推证。
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例：在谓词逻辑中将下列命题符号化 。
（1）每列火车都比有些汽车跑得快。 （2）某些汽车比所有火车慢。 解：（1）令 H(x): x是火车。W(y):y是汽车。 K(x,y):x比y跑得快。 则符号化为： x (H(x) y(W(y) ∧ K(x,y))) （2）令 H(x): x是火车。W(x):x是汽车。 K(x,y):x比y跑得慢。 则符号化为： x(W(x) ∧ y(H(y) K(x,y)))
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说明：
（1）分析命题中表示性质和关系的谓词，要分别符号化为 一元和n(n ≥ 2)元谓词。 （2）根据命题的实际意义选用 或
。
（3）一般来说，当多个量词同时出现时，它们的顺序不能 随意调换。如： 在实数域上用L(x,y)表示x+y=10命题为：对于任意的x,都 存在y使得x+y=10。 可符号化为： xyL(x,y) 真值为1。 若调换顺序后为： yxL(x,y) 真值为0。
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3、量词
用来表示个体常元或变元之间数量关系的词。 量词分为3种： 全称量词：“一切”、“所有”、“凡”、“每一个”、“任意”
等，符号记作。如：x 表示个体域内所有的x。
存在量词 ：“有一个”、“有的”、“存在”、“至少
有一个”等，符号记作 。如 :y 表示个体域内有个体 y 。 而用xF(x), yG(y)等分别表示在个体域里存在个体具 有性质F和存在个体具有性质G。 号记作!。如令命题 P（x）：x是x+1=0的整数解. 则 ! x P（x）。