函数及其图像

0x1 x1
写出
f (x)
的定义域及值域,
并求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
).
解: f (x) 的定义域 D [0, ) y
y1x
值域 f(D ) [0 , ) y2 x
ax b x
(D [a,b])
定义: 点 集 C { (x,y)yf(x),x D }称 为
函 数 yf(x)的 图 形 .
说明：⑴ 习 惯 上 ， x 称 为 自 变 量 ， y称 为 因 变 量 （ 也 称y 是 x的 函 数 ） ；
⑵ 对 于 每 一 个 x D ， 按法f有 则唯一 y值的 与 之对应，y称为函 f在数 x 点 处的函 , 数值 函 数 值 的 全 体 称 为 函 数 的 值 域 ，
第一章 函数、极限与连续
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一章 函数与极限
1.1 函数及其图像 1.2 函数极限 1.3 无穷小量与无穷大量 1.4 数列的极限 1.5 两个重要极限 1.6无穷小的比较 1.7 连续函数及其性质
1.1 函数及其图像
• 一、集合 • 二、常量、变量、函数 • 三、函数的初等性质 • 四、函数的初等运算 • 五、基本初等函数与初等函数 • 六、函数关系的建立
重点：函数的概念、初等函数 难点：复合函数
1.1.1 基础知识回顾
1.集合: 具有某种特定性质的对象（事物）的总体. 组成这个集合的对象称为该集合的元素.
aM, aM, A { a 1 ,a 2 , ,a n } 有限集（列举表示） M{xx所具有的}特 无限征集（命题式表示）
集合：A，B，C…表示；元素：a，b，c…表示
R 3 { (x ,y ,z )|x ,y ,z R }
A
4.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a ,b R ,且 a b .
{xaxb}称为开区间, 记作 （a, b）
oa
b
x
{xaxb} 称为闭区间,记作 [a, b]
oa
b
x
{xaxb} 称为半开区间, 记作[a, b)
x D 4 [ 2 ,4 ];
定义域是D D 1 D 2 D 3 D 4 (3 2， － 1) (1,4].
几个特殊的函数举例
y
(1) 绝对值函数
x, x0
O
x
yxx, x0
y
(2) 符号函数
1 当x0 ysgnx0 当x0
1 当x0
1
o
x
-1
xsgxn x
(3) 取整函数 y=[x]
y 4
: 表示“存在一个”、“至少有一个”
“ x 使得 (x 1 )(x 1 )0 ”
: 表示“蕴含”，“可推出”
“x 1 x 1 0 ” “ ysinx |y| 1 ”
: 表示“当且仅当”、“充分必要”、“等价”
“ x{1,2} x满足方程 x23x20”
在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号
记 为W ， 显 然 W B ，
⑶ 若 x 0 D ， 则 称 函 数 f ( x ) 在 x 0 处 有 定 义 ， 函数 f(x)在 x0处 的 函 数 值 记 为f(x0) 或y|xx0 或f(x)|xx0；
⑷不同的对应法则表示不同的函数 , 如 y f ( x) 、
y g( x)、 y j( x)等等。
练 设 f ( x ) 2 5 x 2 1 a r c s i n x 1 ,
l g ( 2 x 3 )
3
求 f(x)的 定 义 域 .
解
25x20 2x30
2x31
x x D D1 2 [( 5 3 2,5 ,] ;); x D 3 { x |x 1 } ;
x1 1 3
44 4 xx2 2 x2
((22()2)y)yylglgxlxg11;x; 1; xx22x2
(3 ()3 y ) yy a a ra rc c rs c sis in n in x x x 1 1 1 xx x 1 1 .. 3 3 3
解 ( 1 ) 因 为 4 - x 2 0 , 所 以 x 2 . 又 因 为 x 2 0 , 所 以 x 2 , 因 此 函 数 定 义 域 为 ( - 2 , 2 ) ( 2 , + ) .
[x]表示不超过 x的最大整数
3
2
[5.3]=5, [-4.5]= -5.
-4 -3 -2 -1 1o -11 2 3 4 5 x
(4) 狄利克雷函数
-2 -3
-4 阶梯曲线
1当 x是 有 理 数 时 yD (x) 0当 x是 无 理 数 时
y
1
•o
x
无理数点 有理数点
(5) 取最值函数
y= m in { f(x ),g (x )}
U(a,) {x||xa|}(a,a)
a
a
a
x
点 a的去心的 邻域，记作 U (a, )
U (a, ) { x|0 |x a |} (a ,a )(a ,a )
a
a
a x
几个逻辑符号
: 表示对“任意一个”、“对每一个”
“ x R ,1 x 2 0 ” “ , 0 ” .
2
E
o
2
(,0) t
单三角脉冲信号的电压
U 0
(t )
E
0
2
即 U2E(t)
当 t (,) 时 ,U0. U ( , E)
2
UU(t)是一个分段,函E 数
其表达式为
o
(,0) t
2
2Et,
t[0,] 2
U(t)2E0(t, ),
t(,] 2
t(,)
例4.
已知函数yf(x) 1 2x x,,
{xaxb} 称为半开区间, 记作 (a, b]
有限区间
[a,){x a x} (,b){x x b}
无限区间
oa
x (a,)
区间长度的定义:
ob
x (,b]
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
5.邻域: 设a和 是两个实数，且 0.
数集 {x||xa|}称为点 a的 邻域.
点 a叫做这邻域的中心， 叫做这邻域的半径.
1. 函数中有分式,要求分母不能为零 2. 函数中根式,要求负数不能开偶次方 3. 函数中有对数式,要求真数必须大于零 4. 函数中有对数式和反三角函数式,要求符合它们定义域 5. 若函数式是上述各式的混合式,则应取各部分定义域 6. 的交集
例1 求下列函数的定义域
111 (1()1(y)1y) y xxx 22 2 ;;
⑸ 函数有三种表示法：解析法 、图象法 、表格法.
⑹ 在解析法中 , 函数的解析式有两类：一类仅只有 一个解析式表示的函数 , 例如 : 圆的面积S 与半径R 的关
系是 SR2
另一类是由一个以上的解析式表示的函数,这种函数 在定义域内的不同范围用不同的解析式表示,这种函数称 为分段函数 。
例如 ，某市出租车的乘车费 y(元)与里程x(公里)之间 的关系是：
y= m a x {f(x ),g (x )}
y
x
1,
x
1 2
m in{ 1 ,|x|,x1 } | x,|
1 2
x
1
o
x
1, 1 x
y
x, x1
max{1,x,x1}1, 1x0
x1, 0x
o
x
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
例 如 ,f(x) 2 xx 2 1 1 ,,
函数
定义：设 DR是一个非空集合，f 是一个确定的法则，
如果xD, 通过法则 f，存在唯一的 y R 与x相对应，
则称由 f 确定了一个定义于D上，取值于R的函数，记作
yf(x),xD 数集D叫做这个函数的定义域
因变量
自变量
当 x0 D 时，称 f ( x 0 ) 为函数在点 x 0 处的函数值.
定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列 运算:
并集 A B xxA或 xB
交集 A B xxA且 xB
AB
差集 A B xxA且 xB
余集 B A cA B (其 B 中 A )
B AB Ac
直积 A B (x ,y )xA, yB
RR记 R2 为平面上的全体点集 B AB
f(x ) x 2 3 x
f(x 1 ) (x 1 )2 3 (x 1 ) x 2 5 x 4
例2 设 f(x ) 1 21 0 x x 2 1 ,求函 f(x 3 )的 数定 .
因为 f(x) 的定义域是[0, 2], 所以对f(x+3)的有0≤x+3≤2,
解 : f(x) 121 0 x x 2 1即域是-3[≤-x3≤, --11],故. f(x+3)的定义
( 2 ) 因 为 x - 1 > 0 , 所 以 x > 2 或 x < 1 , 所 以 函 数 定 义 域 为 ( - , 1 ) x - 2
( 2 , + ) ( 3 ) 因 为 - 1 x 3 + 1 1 , 所 以 - 3 x + 1 3 , 即 - 4 x 2 .
又 因 为 x + 1 0 , 所 以 x 1 , 因 此 函 数 的 定 义 域 为 1 , 2 .
y 6 6 (x 3 ) 1 .23 0 x x 3
注意：分段函数是一个函数 ，而不是几个函数。
函数的定义域
定 义 域 是 构 成 函 数 的 重 要 因 素 之 一 ,因 此 研 究 函 数 ,就 必 须 注 意 函 数 的 定 义 域 .在 考 虑 实 际 问 题 时 ,应 根 据 问 题 的 实 际 意 义 确 定 定 义 域 .例 如 ,匀 速 直 线 运 动 的 位 移 s=vt,t是 时 间 ,故 只 能 取 非 负 数 .对 于 用 数 学 表 示 的 函 数 ,其 定 义 域 由 函 数 表 达 式 本 身 来 确 定 , 即 使 运 算 有 意 义 .如 :
、
“” 表示 “对每一个”, 或“任取 ”, 或“任意给定
“ ” ”表;示 “存在 ”, 或“至少存在一个或“能够找到”.
如实数”的, 阿基米德 (Archimedes) 公理: 任意给定两个正的实数 a,b,都存在一个自然数n,
使 得 nab. 用逻辑符号 和, 将阿基米德公理改写:
a,b0, nN,使n得 a b.
2.实数与数轴
实数 R有理Q数 分 整数 数 (Z12负 非 ,86整 负 ,)数 整 1,（ 数 2, （n自 N , ： 0） 然 ,1， 2， 数) 集
无理I（ 数，e, 2,）
-1 O 1
x
实数系的连续性：实数的集合与数轴上的点的 集合一一对应
3.集合之间的关系
定义2 . 设有集合A，B，若 xA必有xB,则称
x0 x0
yx21
y2x1
例1 解下列各题
1 、 求 f(x)函 1数 x(3x)的 定 义
x1
x1
解： 3xx00或3xx00 0 x 1 x3,即 [0,1) (1,3]
2 、 设 f ( x 1 ) x 2 x 2 , 求 f ( x 1 )
解： tx令 1,则 xt1，
f(t)(t1)2(t1)2t23t
f(x 3 ) 1 21 0 x x 3 3 2 1
12
3x2 2x1
Fra Baidu bibliotek故定义域是[-3, -1].
例3 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图
所示,写出电压U与时间 t(t0)的函数关系式.
解 当t[0,]时, 2
U
E
t
2E t;
2 当t(,]时,
2
U
( ,E)
A是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 AB. 若AB且 BA,则称 A 与 B 相等, 记作 AB.
例如 NZ, ZQ, QR
例如 A={1,2},
C={xx2-3x+2=0}, 则A=C. 不含任何元素的集合称为空集 (记作 ) 例如 {xx R ,x2+1=0}
规定 空集为任何集合的子集.
6.绝对值:
aaa
a0 a0
运算性质:
abab;
(a0)
a a; bb
a b a b a b .
绝对值不等式:
xa(a0)
a x a ;
xa(a0)
x a 或 x a ;
1.1.2 函数 常量 变量
在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母 a, b, c 等表示常量, 用字母 x, y, t 等表示变量.
函数值全体组成的数集
W { y |y f(x ) ,x D } 称为函数的值域.
x D
f
f(x) W
函数的两要素: 定义域与对应法则.
约定: 如无特别指出，定义域是自变量所能取的 使算式有意义的一切实数值（自然定义域）.
y
例 如y1x2 D :[1,1] y
例如 y 1 D :(1,1) 1x2